Q, entonces b equivale a un radical. Es decir:

U

U

N

N

I

I

D

D

A

A

D

D

2

2

:

:

P

P

O

O

T

T

E

E

N

N

C

C

I

I

A

A

C

C

I

I

Ó

Ó

N

N

,

,

R

R

A

A

D

D

I

I

C

C

A

A

C

C

I

I

Ó

Ó

N

N

Y

Y

L

L

O

O

G

G

A

A

R

R

I

I

T

T

M

M

A

A

C

C

I

I

Ó

Ó

N

N

2.1 POTENCIACIÓN

La potenciación se utiliza para expresar un producto de factores iguales. Es una operación matemática entre dos términos denominados base y exponente.

2.1.1 Elementos de la potenciación Si b,p,nR, entonces en la expresión bn  p b se denomina base. n se denomina exponente. p se denomina potencia. La expresión n

b _{se lee usualmente como «}b elevado a la n». La forma como se calcula bn varía según el

conjunto numérico al cual pertenezca el exponente:

 Cuando el exponente es un número natural (nN), entonces bn _{equivale a multiplicar} b por sí mismo n

veces. Es decir

b b

b

bn   

 Cuando el exponente es un número real negativo, es decir si _ 

R

n , entonces bn equivale a su inverso

multiplicativo. Es decir:

n n

b b  1

 Cuando el exponente es una fracción irreducible de la forma m_n Q, entonces n m b _{equivale a un radical. Es} decir: n m n m b b  2.1.2 Signos de la potenciación En la expresión bn  p:

 Si n es impar y b es positivo, entonces p es positivo.

 Si n es impar y b es negativo, entonces p es negativo.

 Si n es par, entonces pes positivo independientemente del signo que tenga b.

Desarrolle las siguientes potencias:

veces

n

2.1.3 Propiedades de la potenciación

La propiedades de la potenciación son reglas generales que permiten simplificar expresiones algebraicas:

 Producto de potencias de igual base: Si b,m,nR, entonces: n m n m b b b   

 Cociente de potencias de igual base: Si b,m,nR y b0 entonces: n m n m b b b _ 

 Potencia de una potencia: Si b,m,nR, entonces:

 

m n m n b b    Potencia de un producto: Si a,b,nR, entonces:





n n n b a b a    Potencia de un cociente: Si a,b,nR y b0, entonces: n n n b a b a       

 Potencias con exponente cero:

Si bR y b0, entonces: 1

0 

b

 Potencia con exponente uno:

Si bR, entonces: b

b1 

 Potencia de un cociente con exponente negativo: Si a,bR, nR y a,b0entonces: n n a b b a              

Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones: Resuelva las siguientes potencias:

a.

 

5 2 1  b. 3 5 c. 4 3 2 Solución: a.

           

          1₂  2 1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 32 1  b.       5 5 5 1 5 1 5 3 ₃ 125 1 c.        4 4 3 _{2 2 2} 1 2 1 2 1 2 4 3 4 3 4 8 1 Ejemplo No. 15

2.2 RADICACIÓN

La raíz n-enésima de un número a es un número b, si y solamente si la n-ésima potencia de b es a. Es

decir: b a n   bn a a.









2 7 2 5 5 2 3 10 10 2 10 2 10 2              b. 2 4 1 0 2 3 2 2 1 3 3 2                  b a b a b a ab c.

 

 

₂ 4 5 3    k k k k b b b d. 2 1 1            y x y x Solución: a.









 

2 9 11 2 2 9 5 5 6 7 2 9 5 5 5 2 3 2 2 7 2 5 5 2 3 10 10 2 10 2 10 10 2 10 2 10 2 10 2 10 10 2 10 2 10 2                                            



2 10



24 104



2 2 2 2



10 10 10 10



2 2 2           

 

16 10000



 160000 b.

 

 

 

 

₄ 2 2 3 3 3 3 3 2 4 3 3 3 3 2 4 2 3 2 2 2 4 1 0 2 3 2 2 1 3 6 3 6 3 3 2 3 3 2                                                   b a b a b a b a b aa bb aa b a b a b a ab 

 



 

         b a b a b a b a b a 216 9 3 216 3 6 3 8 6 2 9 9 2 4 2 6 3 3 3 9 b a 24 3 c.

 

 

                              8 4 5 4 8 4 5 4 8 4 5 3 8 4 5 3 2 4 5 3 4 2 5 3 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b b b b b 2_3 k b d.

_

_

_ 

 

                                                             2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 xy xy xy y x y x y x xy y x y x y x y x y x _{2 2} y x

2.2.1 Elementos de la radicación Si a,bR y nZentonces en la expresión n a b a se denomina radicando. n se denomina índice. b se denomina raíz. se denomina radical. La expresión n _a

se lee usualmente como «raíz n-ésima de a». 2.2.2 Signos de la radicación

Radicando: a Índice: n Raíz: b

Positivo _Impar Par Positiva o negativa _Positiva Negativo _Impar Par No existe en _Negativa R 2.2.3 Potencias de base real con exponente fraccionario

Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en un radical. Es decir, si

R b y m_n Q, entonces: n m n m b b 

En cada caso exprese en forma de radical y simplifique el número, si es posible:

a.

 

3 1 8  b. 2 1 81 c.





2 1 25  Solución: a.

 

      3  3 3 3 3 3 1 2 2 8 8 2 b.       ₂  2 4 2 4 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 81 1 81 1 81 9 1 c.



25



2 25 1    (no existe en R) Ejemplo No. 16

2.2.4 Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son reglas generales que permiten simplificar radicales. Simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Un radical está simplificado si:

 El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual que el índice.

 El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto de 1.

 Raíz n-ésima de un número elevado a la n :

Si aR y nZ, entonces: a

a

n n 

 Raíz n- ésima de un producto:

Si a,bR y nZ, entonces: n

n

n _a_b  _a _b

 Raíz n- ésima de un cociente:

Si a,bR; nZ y b0, entonces: n n n b a b a _

 Raíz de una raíz:

Si aR y m,nZ, entonces: n

m n m

m n _a  _a   _a

 Raíz n- ésima de una potencia:

Si a,mR y nZ, entonces:

 

n m m n n m a a a   En particular: n n _{a a} 1 

En cada caso exprese el radical con exponente fraccionario y simplifique, si es posible:

a. 2 16y b. 5 5 10 n m c. 3 6 27x d. 6 12 18 n m Solución: a. y 

 

y 2 

   

y2  4 y 2y 1 2 2 2 2 16 16 16 2 1 2 1 2 1 y 4 b. 



    

 5  1 10 5 1 5 5 1 10 5 5 5 10 n m n m n m mn2 c. 







 

   

 ₃ 2  1 3 3 1 6 3 1 3 1 6 3 6 3 27 27 27x x x x 3x2 d. 



    

 6  1 18 6 1 12 6 1 18 12 6 12 18 n m n m n m m2n3 Ejemplo No. 17

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones: a. 3₃ 4 64 b. 3 12 18 n m c. 4 12 4 8 2 64 z y x   d. 3 8 3 10 16x y z e. 3 9 3 15 10 16 27 y x y x f.





4 3 2 2x  Solución: a. ₃ 3 3  3 3 3 3 3  3 3 2 2 2 8 2 8 16 4 64 4 64 ₃ 2 2 b.      6  18 6 12 6 18 6 12 6 12 18 3 12 18 n m n m n m n m m2n3 c. 3 4 8 4 4 12 4 4 4 8 4 4 12 4 8 4 4 12 4 8 4 12 4 8 2 16 32 32 32 2 64 z y x z y x z y x z y x z y x _{  }   _      3 2 4_{16 2} z y x          3 2 4 4 4 3 2 4 4 _{16 2 2 2} z y x z y x 3 2 4 2 2 z y x d. 3_16x8_y3_z10 3₁₆3 _x8 _{3 y}3 3 _z10 3 ₈₂3 _x6_x2 _{3 y}3 3 _z9_z 3 3 9 3 3 3 2 3 6 3 3 2 8  x  x  y  z  z  3 3 9 3 2 3 6 3 3 3 2 2  x  x yz  z 





  ₂3 _{2 x}2_yz3 3 _x2 3 _{z 2}3 _{2 x}2_yz33 _x2_z e.      3 3 3 5 3 3 3 3 9 3 3 9 15 3 3 9 3 10 15 3 9 3 15 10 2 2 3 2 2 3 16 27 16 27 xy x y x y x xy x y x y x y x y x 3 2 2 2 2 3x y x f.



3  2



4 3



 2



4 3

 

 4

 

2 4 3 8 3 3 6 2  2 2 16 2 2 2x x x x x x 2x23 2x2 Ejemplo No. 18

Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones: a. ₁1 ₁1 4 3 4 3       _d.







_{5 4}



3 2 4 3 2     q p q p b. 4 3 1 5 2 4 6 3 6   xy y x y x y x e. 2 2 6 4 6 4 2 6           z xy z y x c. 3 1 3 2 4 6 3          z xy y x f. 4 3 4 4 2 3 4 3 15           z y x z y x

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 3 14 24 17 w n m e. 3128a10b11c12 b. 3 14 10 8 n z w f. 6 64x12y23z50 c. 5 8 10 3 64 y m a g. 8 9 81a b d. 4 13 2 5 6 64 2 b a b a  h. 8 10 4 4 2 3 14 6 30            z y x z y x 2.2.5 Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice.

Determine si 45, 27, 20 y 75 son radicales semejantes.

Solución:

La simplificación de cada radical es la siguiente:

 45 95 325 32  53 5

 27  93 323 32  33 3

 20 45 225 22  52 5

 75 253 523 52  35 3

De esta manera son semejantes los radicales 3 5, 2 5 y 3 3, 5 3



Actividad No. 4 Actividad No. 3

2.2.6 Operaciones con radicales

 Adición y sustracción de radicales: Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se reducen los radicales semejantes:

 Multiplicación de radicales: Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo índice. Multiplique los siguientes radicales:

a. 3 3 2

18 3a  a

Sume los siguientes radicales:

a. 3₁₆3 ₅₄3 ₂₅₀ b. 3 112 6 1 48 36 4 252 5  4   c. 64ax2  81a2x 144ax2  25a2x d. 3 ₄₈₂6 ₄₃3 ₆₃6 ₂₅₆ Solución: a. 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  2 5 2 3 2 2 2 5 2 3 2 2 250 54 16 ₄3 ₂ b. 3 4 7 6 6 48 6 4 7 6 5 7 4 3 6 6 48 6 4 7 6 5 112 3 6 1 48 36 4 252 5 2 4 2 2 2 4 2 2 4                     612 730 74 68 612 7 6 48 6 4 7 30 2 1 6 4 7 18  c. 64ax2  81a2x 144ax2  25a2x  82ax2  92a2x 122ax2  52a2x x a a x x a a x 2 5 12 9 8      14a x 4x a d. 3 ₄₈₂6 ₄₃3 ₆₃6 ₂₅₆ 3 ₂3₆₂6 ₄₃3 ₆₃6 ₂6₄ 23 626 433 6326 4 23 626 433 666 4  6 3 6 4 8  Ejemplo No. 20 Ejemplo No. 21

 División de radicales: Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo índice. Divida los siguientes radicales:

a. 3 4 7 3 7 4 2 16 y x y x b. 1 3 4 3 9 2 3 3  mn n m c. 3 4 3 5 8 4 16 m m Solución: a. _            ₃ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 4 4 7 3 4 7 3 7 4 2 2 8 2 16 2 16 y x y x y x y x y x y x y x y x 2 b.  _    2 2 1 3 1 3 4 3 9 2 6 1 3 3 36 6 3 3 n m mn n m mn n m mn 6 1 c.   3   3 3 3 4 5 3 4 3 5 2 2 2 4 1 8 16 4 1 8 4 16 m m m m m 3 2 4 1 m b. 3 _9x2 3 _27x5_y9 c. 6 _2x4_y16 6 _32w6_x4_y2 d. 5 6 13 5 4 12 125 350m n  m n Solución: a. 3 3 2 3

 



 

2 3 3 3 3 3  2 3 54 18 3 18 3a a a a a a _3a3 ₂ b. 3 _9x2 3 _27x5_y9 3

  

_9x2  _27x5_y9



3 _243x7_y9 3 ₃3₃2_x6_xy9  2 33 9 3x y x c. 6 4 16 6 6 4 2 6



4 16



6 4 2



6 8 18 6 6 6 6 2 18 6 2 64 32 2 32 2x y  z x y  x y z x y  x y z  x x y z 6 2 3 2xy z x  6 2 3 2xy zx   3  1 3 2xy zx 3 3 2xy z x d. 5 6 13 5 4 12 5



6 13

 

4 12



5 10 25 43750 125 350 125 350m n  m n  m n  m n  m n      5 5 5 2 5 5 2 14 5 14 3125 m n n m 5m2n5514 Ejemplo No. 22

Realice las operaciones indicadas: a. 3 2 3 2 3 2 27 7 3 8 12 x  x  x f. mn 32mn 2  b. 3 3 3 375 81 4 24 3     g.



a x



2 a x



c. x x 75x 7 2 45 4 3 _{  h.}







2 3 2 3    x x d. 1252 180 245 i. ₂9 50 2 1   e. 8 12 18 27 j. 10 5 3 4 3 4 2 16   n m n m 2.3 RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales, consiste en expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la racionalización de una fracción se distinguen dos casos:

2.3.1 Racionalización de monomios

Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para tal efecto si el denominador contiene un factor de la forma n k

a , con kn, entonces al multiplicar numerador y denominador por n n k

a 

desaparece el radical del denominador. Este proceso se llama racionalización del denominador. Racionalice las siguientes expresiones:

a. x 5 3 b. 4 3 2 2 2 y x c. 5 3 2 3 9 x y x Solución: a.   

_{   }

_  2 2  5 5 3 5 5 5 3 5 5 5 3 5 3 x x x x x x x x x x x 5 5 3 b.   

_

_{ }

_

_

  _xyxy  y x xy xy y x xy xy xy y x y x 2 8 2 2 8 2 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 4 2 4 3 2 3 2 4 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 xy xy 4 2 8 Actividad No. 5 Ejemplo No. 23

2.3.2 Racionalización de binomios

Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Dos expresiones con dos términos cada una, se dice que son conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo término.

1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:

Actividad No. 6

Racionalice las siguientes expresiones: a. x y x  2 b. 2 6 2 12   c.





y x y x   3 Solución: a.

_{   }





          2 2 2 2 2 2 2 2 _{y x} x y x x y x y x y x x y x x y x xy   2 2 b.







   

6 2 2 2 6 2 24 72 2 6 2 6 2 12 2 6 2 6 2 6 2 12 2 6 2 12 2 2                  4 2 2 6 2 6 2 2 6 4 2 2 6 2 24 72 2  2              4 2 4 4 2 2 6 2 6 2 2 6 2 c.

















   











                y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x 3 3 3 3 2 2 3



x  y



c.

   

       x x y x x x y x x x x y x x x x y x x y x 3 3 9 3 3 9 3 3 3 9 3 3 3 9 3 9 2 5 4 2 5 5 5 5 4 2 2 5 3 4 2 5 4 2 2 5 4 2 5 4 2 5 3 2 5 3 2 5 2 81 3xy x Ejemplo No. 24

a. 5 9y2 x e. n m m  4 b. ab ab 3 3 5 f. 3 2 2 8  c. _{3 3} 2 5 mn m g. 2 3 2 5 2 3   d. 3



x_x_y_y



h. 5 3 2 2 15 c ab abc

2. Simplifique cada expresión y racionalice si es necesario:

a. 5 8 5 7 2 3 x y x _{c. 5 8 5 4} 2 4 4 3 y x y x b. ₃3 ₂ 3 6 2 x x d. 3 2 3 3 y x

1. Simplifique las siguientes expresiones:

a.

   

3 2 3 4 3 2 4 5 3 7 a b b a  _c.





6 3 2 3 2 3 2 1     b b a a a b b.



_{k k}k

  

_kk _k y x z z x y z x 1 2 2 3 . 3 2  





d. 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1        

_

a a a a a a

2. Realice las siguientes operaciones:

a. 3 4 2 3 2 3 2 a b  a ab c.



3 4x3 2y



3 4x310



b. _3y4 _48x5 _x4 _3x5_y4 d. 3 2



3 4 3 3 5 4



8 4 3ab a b  a b 2.4 LOGARITMACIÓN

El logaritmo en base b de un número N es n si y solamente si la n-ésima potencia de b es N . Es decir: n

N

Log_b   bn N

En otras palabras, el logaritmo del número N en base b, es el exponente al cual debe elevarse la base b para

obtener el número N .

2.4.1 Elementos de la logaritmación

Si _ 

R b

N, y nR entonces en la expresión Log_bN n

N

se denomina argumento.

b se denomina base. n se denomina logaritmo.

La expresión LogbN n se lee usualmente como « logaritmo en base b de N »

2.4.2 Propiedades logarítmicas  Logaritmo de un producto:

 

xy Log x Log y Log_b  _b  _b  Logaritmo de un cociente: y Log x Log y x Log_{b } _b  _b     

 Logaritmo de una potencia:

x nLog x Log_b n  _b 2.4.3 Ecuaciones de cancelación

 

  n b n b Log n Log n b b  

Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes logaritmos: a. Log280Log25

b. Log432Log42

c. 4

3 243

4Log

Forma exponencial Forma logarítmica

1000 103  Log₁₀10003Log10003 16 42  Log₄162 32 1 2 1 5        ₅ 32 1 2 1  Log 25 1 52  2 32 1 5  Log Ejemplo No. 25 Ejemplo No. 26

2.4.4 Logaritmos comunes

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no es necesario indicar la base, por lo tanto LogN significa Log₁₀N. El logaritmo común de un número real positivo N

es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener N. Es decir:

n

LogN  10n N 2.4.5 Logaritmos naturales

Los logaritmos de base e, donde e2.7183 se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan con

logaritmos naturales no es necesario indicar la base y la palabra Log se cambia por Ln, por lo tanto LnN

significa Log_eN. El logaritmo natural de un número real positivo N es el exponente al que se debe elevar la base

e para obtener N. Es decir:

n

LnN  en N 2.4.6 Cambio de base

Para cualesquiera bases de logaritmos b y B, y cualquier número positivo N , se tiene que: b Log N Log N Log B B b  En particular: z Lnb LnN N Log Logb LogN N Log b b  

Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:

100 1000 Log Solución: Solución: a.          16 5 80 5 80 _{2 2 2}

2 Log Log Log

Log 4

b. Log432Log42Log4



324



Log4

 

64 Log464 3

c. 4 243

 

4 243 4  ₃243 3 4 3 Log Log Log 5 Ejemplo No. 27

1. Calcule los siguientes logaritmos: a. Log₄16 c. Log10000 b. Log₂1024 d. 81 16 3 2 Log Actividad No. 8

Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número se duplica cada hora, entonces el número de bacterias al cabo de t horas puede calcularse mediante la fórmula:

 

t

N 1000 2

a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias? b) Obtenga el modelo logarítmico correspondiente.

Solución:

a) Se debe reemplazar a N por 30000 y despejar t. Veamos:

 

t 2 1000 30000  2t 1000 30000 _  t 2 30  Log₂

 

30 Log₂

 

2t  Log2

 

30 t 

 

 

2 30 Ln Ln t   6931 . 0 4011 . 3  t  t4.9070

Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias aproximadamente en 5 horas. b) Se debe despejar t de la ecuación N 1000

 

2 t. Veamos:

 

t N 1000 2  N 2t 1000   t 2 30  Ln N Ln

 

2t 1000     

 

2 1000 tLn N Ln       

 

t Ln N Ln        2 1000  t N Log       1000 2

Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es 

      1000 2 N Log t   1000 100 100 1000 Log Log Log 3 2 Ejemplo No. 28

2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los siguientes logaritmos:

a. Log₂96Log₂3 c. 4

3 27

4Log

b. Log₄8Log₄2 d. Log₄ 4.096

3. Aplique cambio de base para calcular los siguiente logaritmos:

a. Log₁₀₀10 c. Log₃9

b. Log₈32 d. Log₂₅125

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. La simplificación de 2 2 2 3 3 5 25          y x y x _es: A. 2 2 25x y C. 10 10 25y x B. 10₁₀ 25x y _D. 25 10 10 y x

2. 3 2 es una solución de la ecuación:

A. x ₂ ₀ C. x2 6x50 B. x26x70 D. 3x 20 3. La simplificación de 5

 

3 7 16 128 x y es: A. _2x2_y35 _2y C. _2x16_y11_4xy B. _2xy115 _4xy D. _2x4_y35 _4xy

4. El resultado de la operación con radicales 24 122 3 es:

A. 62 3 C. 2 6 B. 4 3 D. 4 64 3 5. Al resolver mn 32mn 2  se obtiene: A. 2 2 5 mn _C. 2 2 7 1 mn B. 2 2 9 mn _D. mn Autoevaluación No. 1

6. La simplificación de la expresión



_



_



_

4 5 4 5 2 3 2 3     _es: A. 4 C. 1 B. 5 D. 1 7. El resultado de la operación



3 ₃





3 2 ₃ 3 2



y xy x y x    es: A. xy C. _x₂3 _xy _y B. x 3 xy2  y 4 D. x 3 xy2  3 x2y y 2 2 8. La racionalización de la expresión 2 3 2  es: A. 11 2  C. 7 2 2 3  B. 11 4 2 3  _D. 7 2 9. La expresión y x xy y-2 x   es la racionalización de: A. y x y xy   C. y x y x   B. y x y x   D. xy y x

10. La expresión 3Log_bx2Log_by en un solo logaritmo es:

A.



3 2



y x Log_b  C. _      2 3 y x Log_b B. _      y x Log_b 2 3 D. _      y x Log_b 2 3