Diseño, modelaje y estimación paramétrica en máquinas sincrónicas de polos salientes del Proyecto Hidroeléctrico "Manuel Piar", en Tocoma

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Texto completo

(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. DISEÑO, MODELAJE Y ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA EN MÁQUINAS SINCRÓNICAS DE POLOS SALIENTES DEL PROYECTO HIDROELÉCTRICO “MANUEL PIAR”, EN TOCOMA. Br. Paola C. Castellano L.. Mérida, Enero, 2010.

(2) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. DISEÑO, MODELAJE Y ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA EN MÁQUINAS SINCRÓNICAS DE POLOS SALIENTES DEL PROYECTO HIDROELÉCTRICO “MANUEL PIAR,” EN TOCOMA Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Electricista. Br. Paola C. Castellano L. Tutor: Ing. Jean C. Hernández Asesor: Ing. Juan Toledo. Mérida, Enero, 2010.

(3) ii UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. APROBACIÓN. DISEÑO, MODELAJE Y ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA EN MÁQUINAS SINCRÓNICAS DE POLOS SALIENTES DEL PROYECTO HIDROELÉCTRICO “MANUEL PIAR”, EN TOCOMA. Br. Paola C. Castellano L.. Trabajo de Grado, presentado en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al título de Ingeniero Electricista, aprobado en nombre de la Universidad de Los Andes por el siguiente Jurado.. __________________________. Prof. Jean C. Hernández C.I: V-12.778.547. ___________________________. Prof. Carlos A. Muñoz C.I: V-8.008.441. ___________________________. Prof. José G. Contreras C.I: V-4.490.926.

(4) iii. AGRADECIMIENTOS A Dios Todopoderoso, por iluminar siempre mi camino y darme la sabiduría para enfrentar cada reto. Tú y la Virgen están presentes en cada instante haciéndome sentir segura y capaz de lograr lo que me propongo. A mis Padres Zaira y Gustavo, son las personas más importantes de mi vida, a quienes les debo todo lo que soy, gracias por darme tanto amor y tener para mí las palabras precisas que me llenan de aliento y fortaleza siempre que lo necesito. Ustedes son un ejemplo a seguir, los Amo! Mi Vane, hermana y amiga, con tu ejemplo me has demostrado que cada meta propuesta puede lograrse con constancia, dedicación y en algunos casos sacrificio. Aquí estoy siguiendo tus pasos, gracias por tu apoyo y cariño. Te Quiero! A mis Abuelitos Teresa y Eulogio, su amor y bendiciones siempre me acompañan, son dos seres especiales y maravillosos. Gracias por TODO, los quiero mucho! Luis, desde el inicio de la carrera siempre he podido contar contigo, gracias por los momentos compartidos, por tu valiosa ayuda y solidaridad incondicional. A mi familia en Puerto Ordaz: el tío Julio y Marina, me trataron como una hija, tío Julio me diste la oportunidad de vivir una experiencia muy enriquecedora, agradezco tu ayuda en todo momento. Marina, me acogiste en tu hogar como una más de tu familia, gracias por tu alegría y complicidad. Junto a ustedes me sentí como en casa. A EDELCA, por abrirme sus puertas, en especial al personal del Departamento de Ing. Eléctrica, TODOS me trataron de forma muy especial, gracias por brindarme sus conocimientos y amistad, ustedes hicieron grato mi día a día. Particularmente quiero expresar mi agradecimiento al Ingeniero y amigo Juan Manuel Ñañez, siempre tuviste la disposición de ayudarme. A mis tutores Ing. Juan Toledo e Ing. Jean C. Hernández, por su apoyo y conocimientos. Al Ingeniero Pedro Carvajal, por dedicarme parte de su tiempo y compartir conmigo tanto saber, su ayuda para el desarrollo de este trabajo fue determinante. Al Departamento de Ing. Mecánica (EDELCA), por recibirme como una más de ustedes, ahí encontré muy buenos amigos. Especialmente al Ing. Reginald, por tener una respuesta a cada pregunta. A mi tío Ramón, sé que esto representa un orgullo para ti, gracias por tu apoyo. A la Universidad de Los Andes, especialmente a los profesores, por ofrecerme la oportunidad de alcanzar no sólo una formación profesional sino también mi crecimiento como persona..

(5) iv Castellano L. Paola C. Diseño, Modelaje y Estimación Paramétrica en Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes del Proyecto Hidroeléctrico “Manuel Piar”, en Tocoma. Universidad de Los Andes. Tutor: Prof. Jean Carlos Hernández. Enero 2010.. RESUMEN Debido al incremento en la demanda de energía eléctrica en el país, Electricidad del Caroní (EDELCA), una de las empresas hidroeléctricas más importantes de Venezuela, se ha visto en la necesidad de crear nuevos proyectos de generación de energía, siendo uno de ellos el Proyecto Tocoma. El diseño e instalación de las Máquinas Sincrónicas a operar en este desarrollo hidroeléctrico está a cargo de la empresa IMPSA. Dicha empresa fabricante entrega al cliente un conjunto de documentos que muestran algunos cálculos y los resultados del diseño de los generadores en cuestión así como también los parámetros eléctricos de los mismos. Por lo tanto, la presente investigación está orientada a realizar un estudio de las unidades a instalar con la finalidad de comparar los resultados obtenidos mediante cálculos, con la información proporcionada por IMPSA y de esta forma verificarla. En el siguiente trabajo se describe a la Máquina Sincrónica, sus conceptos básicos e idealización así como también las distintas ecuaciones que rigen su comportamiento. Asimismo, se hace uso de la Trasformada de Park para llevar el generador a dos ejes imaginarios: eje directo (eje “d”) y eje en cuadratura (eje “q”), luego se presenta el Sistema en Por Unidad (P.U.) con la finalidad de que el estudio de la máquina sea más sencillo. Se realiza el Cálculo Electromagnético de los generadores, se obtienen algunos de los parámetros eléctricos de la máquina mediante la aplicación de los Modelos Matemáticos de Kilgore y Talaat, basados en fórmulas generadas en función de las dimensiones físicas de los generadores. Por otra parte, con base en los parámetros obtenidos y aplicando un conjunto de ecuaciones se hallan los Circuitos Equivalentes de la Máquina Sincrónica en los ejes “d” y “q”. Finalmente se calcula la Frecuencia Natural de Oscilación para tres condiciones de carga y se realiza un análisis del Mapa de Densidad de Flujo Magnético entregado por el fabricante. Ahora bien, según los resultados obtenidos en esta investigación se logró verificar la información en estudio que suministró la empresa fabricante, pues los valores encontrados mediante este trabajo resultaron ser prácticamente iguales a los que proporcionó IMPSA.. Descriptores: Máquina Sincrónica, Transformada de Park, Reactancias, Constantes de Tiempo, Alternador, Diseño..

(6) v. ÍNDICE GENERAL APROBACIÓN DEDICATORIA AGRADECIMIENTOS RESUMEN INTRODUCCIÓN. ii iii iv v 1. Capítulo 1. EL PROBLEMA 1.1 Planteamiento del Problema 1.2 Justificación 1.3 Objetivo General 1.4 Objetivos Específicos 1.5 Delimitación del Problema 1.6 Metodología. pp 4 4 5 6 6 6 7. 2. LA EMPRESA 2.1 Reseña Histórica y Descripción de la Empresa 2.2 Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”, en Tocoma 2.2.1 Descripción 2.2.2 Generalidades 2.2.3 Selección de la Capacidad de los Generadores 2.2.4 Características Principales de los Generadores. 13 13 15 15 15 16 16. 3. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA 3.1 Máquina Sincrónica 3.1.1 Definición 3.1.2 Partes del Estator 3.1.3 Partes del Rotor 3.1.4 Tipos 3.1.5 Velocidad de Rotación 3.1.6 Conceptos Generales 3.1.7 Campo Magnético Giratorio 3.1.8 Voltaje Generado 3.1.9 Potencia Eléctrica de Salida en función de las Dimensiones de la Máquina 3.1.10 Circuito Equivalente de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes en Régimen Permanente 3.1.11 Potencia Eléctrica de Salida Real y Momento de Torsión. 17 17 17 18 20 21 21 21 22 23 24 25 27.

(7) vi 3.1.12 Devanado Amortiguador 3.1.13 Máquina Sincrónica Idealizada 3.1.14 Ecuaciones de la Máquina Sincrónica 3.2 Transformada de Park 3.2.1 Matriz de Park para las Tensiones 3.2.2 Flujos en los Devanados de la Máquina Sincrónica 3.3 Sistema en Por Unidad 3.3.1 Bases del Estator 3.3.2 Bases del Rotor 3.3.3 Igualdad entre Inductancias Mutuas 3.3.4 Ecuaciones de Park en Por Unidad. 28 30 31 34 37 38 39 39 40 42 44. 4. VERIFICACIÓN DEL CÁLCULO ELECTROMAGNÉTICO DEL GENERADOR 4.1 Diagramas de la Máquina Sincrónica 4.2 Método de Cálculo 4.2.1 Datos Básicos para el Diseño del Generador 4.2.2 Cálculo de la Corriente Nominal de la Máquina 4.2.3 Cálculo del Número de Polos 4.2.4 Cálculo del Coeficiente de Inercia 4.2.5 Cálculo del Coeficiente de Utilización Provisional 4.2.6 Cálculo del Diámetro interno del Núcleo Estatórico 4.2.7 Cálculo del Paso Polar 4.2.8 Selección del Número de Conductores por Ranura 4.2.9 Número de Circuitos en Paralelo 4.2.10 Cálculo de la Corriente por Ranura 4.2.11 Cálculo de la Densidad Lineal de Corriente 4.2.12 Cálculo del Paso Dental Aproximado 4.2.13 Cálculo del Número de Ranuras 4.2.14 Cálculo del Número de Ranuras por Polo y Fase 4.2.15 Cálculo del número de Conductores en Serie por Fase 4.2.16 Cálculo del Coeficiente de Utilización 4.2.17 Cálculo de la Longitud del Núcleo Magnético 4.2.18 Cálculo del Entrehierro Mínimo 4.2.19 Cálculo del Efecto Volante del Generador 4.2.20 Cálculo del Momento de Inercia 4.2.21 Cálculo de la Velocidad Periférica Nominal 4.2.22 Cálculo de la Velocidad Periférica de Embalamiento 4.2.23 Cálculo de la Longitud Total de los Ductos de Ventilación 4.2.24 Cálculo del Número de Ductos de Ventilación. 45 45 48 48 49 49 49 50 50 51 51 51 52 53 53 53 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 56.

(8) vii 4.2.25 4.2.26 4.2.27 4.2.28 4.2.29 4.2.30 4.2.31 4.2.32. Cálculo del Largo Neto del Núcleo Magnético Cálculo del Paso Diametral Cálculo del Factor de Acortamiento Cálculo del Coeficiente de Acortamiento Cálculo Coeficiente de Distribución Cálculo del Coeficiente de Bobinado Cálculo del Paso Dental Cálculo del Flujo Útil por Polo para obtener la Tensión Nominal en Bornes de la Máquina 4.2.33 Cálculo del Flujo Real por Polo en Vacío 4.2.34 Cálculo de la Inducción en el Entrehierro en Vacío 4.2.35 Ampere-Vueltas del Entrehierro en Vacío 4.2.36 Ampere-Vueltas de Reacción del Inducido 4.2.37 Cálculo de la Fuerza Electromotriz Interna del Generador en Condición de Carga Nominal 4.2.38 Cálculo de la Inducción en el Diente con Carga 4.2.39 Cálculo de la Inducción en la Corona con Carga 4.2.40 Cálculo de los Ampere-Vueltas del Entrehierro con Carga 4.2.41 Ampere-Vueltas del Diente del Estator con Carga 4.2.42 Ampere-Vueltas de la Corona del Estator con Carga 4.2.43 Cálculo de los Ampere-Vueltas de Estator 4.2.44 Cálculo de los Ampere-Vueltas del Estator tomando en cuenta la Reacción del Inducido 4.2.45 Cálculo de la Inducción en la Base del Polo con Carga Nominal 4.2.46 Flujo en la Base del Polo con Carga Nominal 4.2.47 Cálculo de los Ampere-Vueltas por Polo en Carga 4.2.48 Cálculo de los Ampere-Vueltas por Junta en Carga 4.2.49 Cálculo de los Ampere-Vueltas totales del Generador 4.2.50 Cálculo de la Corriente de Excitación 4.3 Resultados Obtenidos 4.3.1 Datos 4.3.2 Primera Etapa de Cálculos 4.3.3 Segunda Etapa de Cálculos 4.3.4 Tercera Etapa de Cálculos 4.3.5 Primer Análisis de Resultados 4.3.6 Cuarta Etapa de Cálculos 4.3.7 Segundo Análisis de Resultados 4.3.8 Quinta Etapa de Cálculos 4.3.9 Tercer Análisis de Resultados 4.3.10 Sexta Etapa de Cálculos. 57 57 57 58 58 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62 63 63 64 64 64 64 65 66 67 67 67 67 67 68 69 70 70 71 72 73 74 74.

(9) viii 4.3.11 Cuarto Análisis de Resultados 4.3.12 Séptima Etapa de Cálculos 4.3.13 Quinto Análisis de Resultados 5. VERIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS ELÉCTRICOS DEL GENERADOR 5.1 Definiciones 5.1.1 Reactancia de Dispersión de Armadura 5.1.2 Reactancia de Reacción de Armadura 5.1.3 Reactancias Sincrónicas de Armadura 5.1.4 Reactancia Transitoria del Eje “d” 5.1.5 Reactancias Subtransitorias 5.1.6 Reactancia de Secuencia Negativa 5.1.7 Reactancia de Secuencia Cero 5.1.8 Diferencias entre las Reactancias del Eje “d” en los distintos Regímenes 5.1.9 Diferencias entre las Reactancias del Eje “q” en los distintos Regímenes 5.1.10 Diferencia entre las Reactancias de Régimen Permanente 5.2 Modelo Matemático de Talaat 5.2.1 Factor de Reactancia 5.2.2 Reactancia de Dispersión de Armadura 5.2.3 Reactancias de Reacción de Armadura 5.2.4 Reactancias Sincrónicas de Armadura 5.2.5 Reactancia Transitoria del Eje “d” 5.2.6 Reactancia Subtransitoria en el Eje “d” 5.2.7 Reactancia Subtransitoria en el Eje “q” 5.2.8 Reactancia de Secuencia Negativa 5.2.9 Reactancia de Secuencia Cero 5.2.10 Constantes de Tiempo 5.3 Modelo Matemático de Kilgore 5.3.1 Reactancia de Dispersión de Armadura 5.3.2 Reactancias de Reacción de Armadura 5.3.3 Reactancias Sincrónicas de Armadura 5.3.4 Reactancia Transitoria del Eje “d” 5.3.5 Permeanzas Equivalentes de Dispersión del Devanado Amortiguador 5.3.6 Reactancias Subtransitorias 5.3.7 Reactancias de Secuencia Negativa y Cero y Constantes de Tiempo 5.4 Aplicación del Modelo Matemático de Talaat 5.4.1 Datos para la Aplicación del Modelo Matemático de Talaat 5.4.2 Dimensiones del Generador 5.4.3 Cálculos según la Aplicación del Modelo Matemático de Talaat. 75 76 76. 80 80 80 81 81 82 82 82 82 83 84 85 85 86 86 86 87 87 89 90 91 91 92 92 92 93 93 93 94 95 95 95 95 96 98.

(10) ix 5.4.4. Comparación de los Parámetros Calculados con los Proporcionados por el Fabricante 5.5 Aplicación del Modelo Matemático de Kilgore 5.5.1 Datos para la Aplicación del Modelo Matemático de Kilgore 5.5.2 Dimensiones del Generador 5.5.3 Cálculos según la Aplicación del Modelo Matemático de Kilgore 5.5.4 Comparación de los Parámetros Calculados con los Proporcionados por el Fabricante 5.6 Comparación entre Errores de Ambos Modelos 5.7 Análisis de Resultados 6. DETERMINACIÓN DE LOS CIRCUITOS EQUIVALENTES EN POR UNIDAD DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA DE POLOS SALIENTES EN SUS EJES “d” Y “q” 6.1 Deducción de las Ecuaciones 6.2 Circuito Equivalente en el Eje “d” 6.3 Circuito Equivalente en el Eje “q” 6.4 Parámetros Eléctricos en función del Circuito Equivalente en P.U de la Máquina Sincrónica en el Eje “d” 6.4.1 Régimen Subtransitorio 6.4.2 Régimen Transitorio 6.4.3 Régimen Permanente 6.5 Parámetros Eléctricos en función del Circuito Equivalente en P.U de la Máquina Sincrónica en el Eje “q” 6.5.1 Régimen Subtransitorio 6.5.2 Régimen Permanente 6.6 Cálculo de las Resistencias en P.U presentes en los Circuitos Equivalentes 6.6.1 Resistencia del Devanado de Campo 6.6.2 Resistencia del Devanado Amortiguador del Eje “d” 6.6.3 Resistencia del Devanado Amortiguador del Eje “q” 6.7 Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Talaat 6.7.1 Datos 6.7.2 Cálculos 6.7.3 Circuitos Equivalentes de la Máquina Sincrónica 6.8 Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Kilgore 6.8.1 Datos 6.8.2 Cálculos 6.8.3 Circuitos Equivalentes de la Máquina Sincrónica 7. ESTIMACIÓN DE LA FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN Y ANÁLISIS DEL MAPA DE DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO. 99 100 100 101 101 102 103 104. 107 107 109 110 110 111 112 113 114 114 115 115 115 116 118 119 119 120 120 121 121 122 122. 124.

(11) x 7.1 Frecuencia Natural de Oscilación 7.1.1 Definición 7.1.2 Condiciones de Operación solicitadas por EDELCA 7.1.3 Diagrama del Modelo 7.1.4 Diagrama Fasorial del Modelo 7.1.5 Procedimiento de Cálculo 7.1.6 Datos para el Cálculo 7.1.7 Cálculos 7.1.8 Comparación entre Valores de Frecuencia Calculados y los Proporcionados por el Fabricante 7.1.9 Análisis de Resultados 7.2 Análisis del Mapa de Densidad de Flujo Magnético 7.2.1 Mapa de Distribución de la Densidad de Flujo del Generador en Vacío 7.2.2 Mapa de Distribución de la Densidad de Flujo del Generador en Carga 7.2.3 Análisis de los Mapas de Distribución de la Densidad de Flujo. 124 124 125 125 125 126 128 128. CONCLUSIONES RECOMENDACIONES REFERENCIAS. 133 135 136. 129 129 130 130 131 132.

(12) xi. LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 Flujograma general de la investigación 1.2 Flujograma de la verificación del Cálculo Electromagnético del generador 1.3 Flujograma de la verificación de los parámetros eléctricos con la aplicación de Modelos Matemáticos 1.4 Verificación de la Frecuencia de Oscilación y Análisis del Mapa de Densidad de Flujo Magnético 2.1 Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní 3.1 Rotor y Estator de una Máquina Sincrónica 3.2 Carcasa y Núcleo de una Máquina Sincrónica 3.3 Devanado estatórico de una Máquina Sincrónica 3.4 Rotor y Eje de una Máquina Sincrónica 3.5 Diagrama Fasorial de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes 3.6 Diagrama Fasorial para determinar la Potencia de Salida de un Generador Sincrónico de Polos Salientes 3.7 Posición de los devanados de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes 3.8 Arrollamiento de una bobina con los sentidos y direcciones de cada uno de los parámetros 3.9 Posición de los devanados de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes luego de aplicar la Transformada de Park 3.10 Diagrama de Flujos Mutuos entre los Devanados de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes 3.11 Diagrama de Flujos de Dispersión en el eje “d” 4.1 Vista de las Terminaciones de Bobina 4.2 Vista Superior de los Polos y del Estator de una Máquina Sincrónica 4.3 Acercamiento de la Cara Polar (Vista Superior) 4.4 Vista Superior del Polo 4.5 Vista Lateral del Polo 4.6 Vista Superior de una parte del Estator 5.1 Esquema de las Reactancias en el eje “d” 5.2 Esquema de las Reactancias del eje “q” 6.1 Circuito Equivalente en P.U. del eje “d” 6.2 Circuito Equivalente en P.U. del eje “q” 6.3 Circuito Equivalente para hallar los Parámetros Eléctricos en P.U. del eje “d” 6.4 Circuito Equivalente para hallar los Parámetros Eléctricos en P.U. del eje “q” 6.5 Circuitos Equivalentes con base a los Parámetros obtenidos según Talaat 6.6 Circuitos Equivalentes con base a los Parámetros obtenidos según Kilgore 7.1 Diagrama del modelo para el cálculo de la Frecuencia Natural de Oscilación. pp 7 8 10 12 14 18 19 19 20 27 27 29 31 35 38 43 45 46 46 47 47 48 84 85 109 110 111 114 121 123 125.

(13) xii 7.2 Diagrama Fasorial del modelo para el cálculo de la Frecuencia de Oscilación 7.3 Mapa de Distribución de la Densidad de Flujo del Generador en Vacío 7.4 Mapa de Distribución de la Densidad de Flujo del Generador en Carga. 126 130 131.

(14) xiii. LISTA DE TABLAS TABLAS 2.1 Principales características de los generadores 4.1 Conductores por ranura del generador según el tipo de bobinado 4.2 Corriente máxima por circuito según el tipo de bobinado 4.3 Corriente por ranura según el tipo de generador 4.4 Inducción media en carga de la corona en función de la frecuencia 4.5 Datos del Generador 4.6 Primera Etapa de Cálculos 4.7 Selección de 𝐶𝑟 , 𝐶 y Primeras Condiciones Requeridas 4.8 Segunda Etapa de Cálculos 4.9 Condiciones requeridas 4.10 Tercera Etapa de Cálculos 4.11 Comparación de las Principales Dimensiones del generador calculadas con las dadas por IMPSA 4.12 Cuarta Etapa de Cálculos (parte A) 4.13 Cuarta Etapa de Cálculos (parte B) 4.14 Comparación de los valores de ℎ𝑐 y 𝐷𝑒𝑒𝑠 del generador calculados con los valores dados por IMPSA 4.15 Quinta Etapa de Cálculos 4.16 Comparación de los valores de 𝐵𝑑 y 𝐵𝑐 del generador calculados con los valores dados por IMPSA 4.17 Sexta Etapa de Cálculo 4.18 Comparación de 𝐵𝑏𝑝 del generador calculado con el valor dado por IMPSA 4.19 Séptima Etapa de Cálculo 4.20 Comparación de los Parámetros calculados con respecto a los dados por IMPSA 5.1 Datos del Generador para la aplicación del modelo de Talaat 5.2 Dimensiones del Generador 5.3 Cálculo de los Parámetros según Talaat 5.4 Comparación de los Parámetros calculados según Talaat con los proporcionados por el Fabricante 5.5 Datos del Generador para la aplicación del modelo de Kilgore 5.6 Cálculo de los parámetros según Kilgore 5.7 Comparación de los parámetros calculados según Kilgore con los proporcionados por el fabricante 5.8 Comparación entre los errores arrojados en la aplicación de cada uno de los modelos 6.1 Datos para hallar los Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Talaat. pp 16 51 52 53 63 68 68 69 69 70 70 71 71 72 72 73 74 74 75 76 77 96 97 98 99 100 101 102 103 119.

(15) xiv 6.2 Cálculos de los Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Talaat 6.3 Datos para hallar los Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Kilgore 6.4 Cálculos de los Circuitos Equivalentes en base a los Parámetros obtenidos según Kilgore 7.1 Datos para el cálculo de la Frecuencia de Oscilación del generador en estudio 7.2 Cálculos para obtener la Frecuencia de Oscilación del generador en estudio 7.3 Comparación entre valores de de Frecuencia Natural de Oscilación calculados y los proporcionados por el fabricante. 120 121 122 128 128 129.

(16) INTRODUCCIÓN Es bien sabido, tanto a nivel nacional como internacional, el gran potencial hidroeléctrico con el cual cuenta Venezuela, uno de los recursos más importantes es el gran Río Caroní, ubicado en el oriente del país, específicamente en el Estado Bolívar, por tal razón, las principales represas hidroeléctricas con las cuales cuenta el país, se encuentran ubicadas a lo largo de este gran afluente del Río Orinoco.. En vista de que en los últimos años se ha venido produciendo un significativo aumento en los niveles de demanda de energía eléctrica, la empresa hidroeléctrica más importante del país, EDELCA, se ha visto en la necesidad de elaborar nuevos proyectos de generación de energía para satisfacer la creciente demanda nacional. Uno de estos proyectos, que actualmente está en ejecución, es el Proyecto Hidroeléctrico “Manuel Piar” ubicado en Tocoma, Estado Bolívar, con el cual se espera agregar unos 2300 MVA a la red eléctrica nacional. Para tal fin, dicha empresa procedió a realizar un proceso de licitación internacional para la construcción de diez Máquinas Sincrónicas generadoras de 230 MVA cada una.. Dicha licitación fue ganada por la empresa argentina IMPSA, la cual deberá diseñar y construir los generadores, haciendo que cumplan con todas las especificaciones técnicas exigidas por EDELCA, ésto debe ser verificado y comprobado por la empresa que licita.. Ahora bien, con base en lo anteriormente expuesto, y con la finalidad de dar cumplimiento a uno de los requisitos exigidos por la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de los Andes como lo es el Trabajo de Grado; la presente investigación, la cual fue realizada para la empresa EDELCA a fin de cubrir una de sus necesidades, está orientada a realizar un estudio acerca de las Máquinas Sincrónicas a instalar en el Proyecto Tocoma.. En tal sentido, dicho estudio comprende la realización del Cálculo Electromagnético de los generadores, la aplicación de los Modelos Matemáticos de Kilgore (1956) y Talaat (1931) con el objetivo de conseguir algunos de los parámetros eléctricos más importantes de éstos..

(17) 2. Además, se dedicó una sección para hallar los Circuitos Equivalentes de la máquina en sus ejes “d” y “q”, también se consiguió la Frecuencia Natural de Oscilación del generador y se hizo un análisis del Mapa de Densidad de Flujo entregado por la empresa fabricante. Todo esto con la finalidad de verificar que la información aportada por la empresa IMPSA con respecto a las especificaciones técnicas de los generadores a instalar en el mencionado proyecto hidroeléctrico sea realmente cierta.. Ahora bien, los resultados obtenidos en esta investigación son bastantes satisfactorios y se dieron a conocer a la empresa contratante EDELCA, pues los mismos, al ser prácticamente iguales a los datos suministrados por IMPSA en cuanto a diseño y parámetros eléctricos, permitieron comprobar que la contratista efectivamente cumplió con los requerimientos técnicos exigidos en el diseño de los generadores.. El presente trabajo se estructuró en los siguientes capítulos:. El Capítulo I: El Problema, el cual incluye el Planteamiento del Problema, la Justificación de la investigación, Objetivos a alcanzar, Delimitación y la Metodología empleada en la realización del trabajo.. El Capítulo II: La Empresa, está comprendido por la Reseña Histórica y Descripción de la Empresa en general, además en él se dan las especificaciones acerca de la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”, en Tocoma.. El Capítulo III: Conceptos Básicos de la Máquina Sincrónica, el cual contiene la fundamentación teórica y definición de términos básicos en esta investigación, así como también las transformaciones hechas a la máquina para poder estudiarla de una forma más sencilla.. El Capítulo IV: Verificación del Cálculo Electromagnético del Generador, constituido por todas las fórmulas necesarias para realizar dicho cálculo a una Máquina Sincrónica, se.

(18) 3. muestran los resultados obtenidos específicamente para Tocoma y se compara dicha información con la suministrada por IMPSA.. El Capítulo V: Verificación de los Parámetros Eléctricos del Generador, contiene la definición y aplicación de los Modelos Matemáticos de Kilgore y Talaat para hallar los parámetros eléctricos de las Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes a instalar, finalmente se hace una comparación entre los resultados obtenidos con los datos entregador por IMPSA así como también entre los errores conseguidos en cada uno de los modelos aplicados.. El Capítulo VI: Determinación de los Circuitos Equivalentes en Por Unidad de la Máquina Sincrónica de Polos salientes en sus ejes “d” y “q”, tal como lo indica su nombre este capítulo se encarga de hallar dichos circuitos.. El Capítulo VII: Estimación de la Frecuencia Natural de Oscilación y Análisis del Mapa de Densidad de Flujo Magnético, el cual como lo refleja su nombre, comprende el hallazgo de la frecuencia a la cual oscila la máquina para tres condiciones de carga y la comparación de los valores obtenidos con los proporcionados por IMPSA. Además, muestra dos figuras de la densidad magnética en el generador: para la condición de vacío y carga, analizando y comparando ambos casos.. Finalmente, se presentan las Conclusiones y Recomendaciones..

(19) CAPÍTULO I EL PROBLEMA A continuación se da una breve explicación sobre el tema a investigar y además se justifica la importancia del mismo así como también los objetivos a alcanzar. Por otra parte, se delimita el problema y se muestra un flujograma con los pasos a seguir en la investigación realizada.. 1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Debido al gran potencial hidroeléctrico que presenta la geografía nacional, la energía eléctrica en nuestro país es obtenida principalmente a través de los recursos hidráulicos de los cuales dispone la Nación. EDELCA, propiedad del Estado Venezolano, es la empresa de generación hidroeléctrica más importante que posee Venezuela, está encargada actualmente de generar más del 70% de la energía eléctrica consumida en el país a través de tres proyectos hidroeléctricos, teniendo un total de cincuenta unidades generadoras instaladas y en funcionamiento. (EDELCA, 2009).. En tal sentido, con la finalidad de completar el desarrollo hidroeléctrico del Bajo Caroní, actualmente está en construcción la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”, en Tocoma, Estado Bolívar, la cual poseerá diez (10) Generadores Sincrónicos de Polos Salientes encargados de generar 230 MVA cada uno, con lo que se espera suplir en el país gran parte de la demanda de energía requerida.. El diseño y construcción de dichas unidades generadoras se encuentra en manos de la empresa contratista (IMPSA), la cual entrega al cliente el diseño realizado a través de programas computacionales, regidos por su experiencia y criterio, sin embargo en algunos.

(20) 5. casos, las empresas fabricantes sólo proporcionan los resultados de las dimensiones y ciertos parámetros sin detallar los procedimientos utilizados para tal fin. La presente investigación está dirigida al diseño, Cálculo Electromagnético y estimación paramétrica de las Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes a instalar en la Central Hidroeléctrica antes mencionada, con la finalidad de comparar los resultados obtenidos respecto a la información suministrada por la empresa fabricante (IMPSA) y de esta manera verificar la veracidad de dicha información.. 1.2 JUSTIFICACIÓN En el desarrollo de un proyecto, toda empresa debe definir un conjunto de exigencias o especificaciones requeridas en lo que respecta a las características de los equipos a instalar, esto debe hacerse antes de llamar a licitación para la fabricación de los mismos. Las características y cualidades de dichos equipos deben especificarse en los pliegos de licitación y deberán ser cumplidas cabalmente por el fabricante, lo cual debe ser constatado y verificado por la empresa que licita.. Por lo tanto, se considera que la investigación desarrollada es de gran importancia, pues en el caso específico del proyecto Tocoma, es EDELCA quien bajo exigencias de las Especificaciones Técnicas del contrato está en la obligación de la revisión de la ingeniería de detalle, cálculo electromagnético, diseño, modelaje y estimación paramétrica de las Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes, verificando así todas las características técnicas que el contratista debe cumplir una vez diseñado e instalado el equipo.. Por otra parte, en la etapa previa a la puesta en servicio, es necesario conocer el funcionamiento de la unidad, con la finalidad de hacer las modificaciones necesarias en el sistema actual, evitando así retrasos futuros de la obra. Para ello, EDELCA hace uso de los parámetros suministrados por el fabricante, siendo los mismos, encontrados a través de programas computacionales avanzados, es por ello que éstos deben ser calculados por EDELCA a fin de confirmar sus valores y tener total confiabilidad en los mismos..

(21) 6. Ahora bien, teniendo certeza de la información suministrada (parámetros y características de las unidades), ésta puede ser utilizada para modelar matemáticamente las Máquinas Sincrónicas, lo cual es necesario y de gran relevancia para que la empresa realice sus estudios de estabilidad dinámica y transitoria en el sistema nacional de potencia.. 1.3 OBJETIVO GENERAL Diseñar, modelar y estimar paramétricamente las Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes del Proyecto Hidroeléctrico “Manuel Piar”, en Tocoma.. 1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Describir, modelar y hacer las transformaciones de las Máquinas Sincrónicas.  Estudiar el régimen permanente. Diagrama fasorial. Potencia y par eléctrico.  Analizar y verificar el cálculo electromagnético del generador entregado por el fabricante IMPSA, en cuanto al dimensionamiento estatórico, rotórico, pesos de los componentes, características eléctricas, pérdidas, cálculo de reactancias, constantes de tiempo, coeficientes de trabajo, calentamiento, inducciones magnéticas, y efectos electrodinámicos.  Calcular las constantes de tiempo y parámetros en régimen transitorio  Analizar y verificar los valores entregados por el fabricante sobre la hoja de datos del generador  Obtener con los valores calculados de los parámetros, los Circuitos Equivalentes en los ejes “d” y “q” de la máquina.  Calcular, analizar y verificar la Frecuencia Natural de Oscilación del generador.  Analizar el Mapa de Densidad de Flujo Magnético de la Máquina Sincrónica.. 1.5 DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA La investigación fue realizada en la empresa EDELCA, en la División de Ingeniería en Construcción, ubicada en Tocoma, Puerto Ordaz, Estado Bolívar, específicamente en el.

(22) 7. Departamento de Ingeniería Eléctrica. La investigación estuvo orientada a realizar el diseño y Cálculo Electromagnético de las unidades generadoras a instalar en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”. Por otra parte, se aplicaron los Modelos Matemáticos desarrollados por Kilgore (Kilgore, 1931) y Talaat (Talaat, 1956) para conseguir los parámetros de la máquina en función de las dimensiones físicas de la misma.. 1.6 METODOLOGÍA La metodología empleada en la investigación se muestra a continuación a través de varios flujogramas que explican el procedimiento seguido. La figura 1.1 presenta de forma general las cuatro etapas de la investigación realizada, enumeradas según el orden en que deben ser ejecutadas, siendo el origen de cada una de ellas la recopilación de toda la información necesaria acerca de los generadores a instalar. En primer lugar se realiza la Verificación del Cálculo Electromagnético de las máquinas (etapa N° 1), luego se aplican los Modelos Matemáticos de Kilgore y Talaat para hallar los parámetros eléctricos de los generadores y de esta forma verificarlos (etapa N° 2). Seguidamente se calcula la Frecuencia Natural de Oscilación de la máquina (etapa N° 3) a fin de compararla con el valor proporcionado por IMPSA y así verificar este último. Finalmente, se realiza la etapa N° 4 donde se hace un análisis de los Mapas de Densidad de Flujo Magnético de los generadores proporcionados por la empresa contratista con el objetivo de observar un adelanto del comportamiento de la máquina en cuanto a densidad de flujo se refiere.. Figura 1.1 Flujograma general de la investigación.

(23) 8. El flujograma de la etapa N° 1 (figura 1.2), muestra mediante bloques de forma resumida los pasos que deben seguirse a la hora de realizar el Cálculo Electromagnético de una Máquina Sincrónica, en primer lugar tal y como se observa es necesario conocer algunas dimensiones del generador, posteriormente se tiene un proceso combinado de cálculos y selección de parámetros de la máquina, estas selecciones deben hacerse tomando en cuenta ciertas condiciones.. Ahora bien, es importante destacar que todas las condiciones mostradas en la figura 1.2 deben cumplirse a la vez, por lo que al principio el Cálculo Electromagnético de un generador no es un proceso lineal, pues si una vez seleccionado un primer parámetro luego otro no cumple una condición, se debe regresar al comienzo y modificar el primero para ayudar a que el segundo cumpla el requerimiento respectivo, en fin se trata de jugar con todos los parámetros, dándoles valores de modo de que todos hagan cumplir los diferentes requisitos.. Figura 1.2 Flujograma de la verificación del Cálculo Electromagnético del generador.

(24) 9. Figura 1.2 (Cont.) Flujograma de la verificación del Cálculo Electromagnético del generador. (*) Esta condición debe ser verificada luego de que se calcule 𝑞 y se escriba de la forma G+F/Dx. Por otra parte. indica que al llegar a ese nodo se debe decidir qué camino seguir:. escoger de nuevo 𝑛𝑟 ó seleccionar de nuevo 𝐶. Si se optó por cambiar 𝑛𝑟 y aún así alguna condición sigue sin cumplirse entonces luego se tomará el camino donde deba cambiarse 𝐶.. Una vez que esto se logra, se calculan dimensiones, característica mecánicas, coeficientes, flujos, inducciones y fuerzas magnetomotrices en varias partes de la máquina, con lo que se puede calcular la corriente de excitación necesaria del generador. Finalmente, la verificación se hace comparando los resultados con datos de IMPSA.. En la figura 1.3 se muestra el flujograma de la etapa N° 2, en este se observa cada uno de los cálculos que deben realizarse progresivamente para hallar los parámetros eléctricos de las Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes, según el Modelo Matemático que se quiera aplicar (Kilgore o Talaat), en ambos casos es indispensable conocer todas las dimensiones del generador, pues como ya se ha mencionado las fórmulas de dichos modelos dependen de éstas..

(25) 10. El proceso comienza con el cálculo de un factor de reactancia, el cual es importante pues de él depende la determinación de varios parámetros que se hallan posteriormente, en general ambos modelos consisten en calcular las distintas dispersiones de flujo que posee la máquina, así como también de conseguir ciertas constantes determinantes en el cálculo de los parámetros eléctricos de la misma, al seguir los pasos mostrados en los bloques de la figura 1.3 es posible conseguir las diferentes reactancias del generador.. Ahora bien, una vez conseguidas las reactancias se calcula la inductancia propia de la máquina y posteriormente se hallan las principales constantes de tiempo del generador. Luego, se comparan los resultados obtenidos según cada modelo con la información entregada por IMPSA para poder corroborar que ésta es correcta. Finalmente, en base a los resultados encontrados según Kilgore y Talaat se obtienen los Circuitos Equivalentes en P.U. en los ejes “d” y “q” de las unidades a instalar.. Figura 1.3 Flujograma de la verificación de los parámetros eléctricos.

(26) 11. Figura 1.3 (Cont.) Flujograma de la verificación de los parámetros eléctricos.

(27) 12. Por otra parte, en las figuras 1.4a y 1.4b se aprecian las etapas N° 3 y N° 4 respectivamente. En la etapa N° 3 es necesario conocer inicialmente las condiciones de operación de la máquina que EDELCA exige para poder calcular la Frecuencia Natural de Oscilación. En general, se deben hallar distintas tensiones y ángulos del sistema en estudio y con ello obtener la potencia sincronizante del generador, en base a estos parámetros podrá calcularse 𝑓𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 . Finalmente, como lo indica el último bloque de la figura 1.4a se verifica la información de IMPSA comparándola con los resultados obtenidos.. Ahora bien, en la figura 1.4b, como puede observarse, se presentan dos Mapas de Densidad de Flujo Magnético, uno en vacío y otro con carga, para ser analizados y comparados posteriormente, ésto con el objetivo de tener una idea del comportamiento de la máquina respecto a la densidad de flujo previo a la instalación de las unidades.. a) Verif. Frecuencia de Osc. b) Análisis del Mapa de 𝑩 Figura 1.4 Verificación de la Frecuencia de Oscilación y Análisis del Mapa de Densidad de Flujo Magnético.

(28) CAPÍTULO II LA EMPRESA El presente capítulo da una descripción de la empresa donde se desarrolló la investigación, haciendo una reseña histórica y una breve descripción de la misma, además se ofrece información sobre el Proyecto Hidroeléctrico “Manuel Piar”, en Tocoma y de las principales características de los generadores a instalar en el mismo.. 2.1 RESEÑA HISTÓRICA Y DESCRIPCIÓN DE LA EMPRESA La empresa Electrificación del Caroní (EDELCA) nace de la necesidad de utilizar el gran potencial eléctrico del Río Caroní en el Estado Bolívar, lo que permitiría el aprovechamiento de los recursos naturales de la región Guayana.. EDELCA, filial de la Corporación Eléctrica Nacional, es la empresa de generación hidroeléctrica más importante que posee Venezuela. Forma parte del conglomerado industrial de la C.V.G. ubicado en la región Guayana, conformado por las empresas básicas del aluminio, hierro, acero, carbón, bauxita y actividades afines. Su ubicación en las caudalosas aguas del río Caroní, al sur del país, le permite producir electricidad en armonía con el ambiente, a un costo razonable y con un significativo ahorro de petróleo.. EDELCA quedó constituida el 23 de Julio de 1963 como empresa de la C.V.G. encargada del desarrollo de Proyectos Hidroeléctricos en la región. EDELCA opera las Centrales Hidroeléctricas Simón Bolívar en Guri con una capacidad instalada de 10000 MW, considerada la segunda en importancia en el mundo, la Central Hidroeléctrica.

(29) 14. Antonio José de Sucre en Macagua con una capacidad instalada de 3140 MW y Francisco de Miranda en Caruachi, con una capacidad instalada de 2280 MW.. EDELCA posee una extensa red de líneas de transmisión que superan los 5700 km cuyo sistema a 800 KV es el quinto sistema instalado en el mundo con líneas de Ultra Alta Tensión en operación.. Durante los últimos años, EDELCA ha aportado más del 70% de la producción nacional de electricidad a través de sus grandes Centrales Hidroeléctricas, desempeñando un papel fundamental en el desarrollo económico y social de Venezuela. (EDELCA, 2009).. El área de generación de EDELCA está ubicada sobre la cuenca del Río Caroní, la cual está situada en el Estado Bolívar, dicha cuenca hidrográfica cubre aproximadamente 95.000 km2 lo que representa el 10,5 % del territorio nacional, la misma posee el mayor potencial hidroeléctrico de Venezuela y uno de los mayores del mundo. El complejo hidroeléctrico del Bajo Caroní está conformado por los Proyectos Hidroeléctricos Gurí, Macagua I, II y III, Caruachi y Tocoma (en construcción), como lo muestra la figura 2.1:. MAR CARIBE Caracas Maracaibo. VENEZUELA Pto. Ordaz. TOCOMA GURI. CARUACHI. COLOMBIA GURI. M.S.N.M. ELEVACION mts.. BRASIL. 300. MACAGUA. ELEV. 271. 250 200 150. TOCOMA ELEV. 127. CARUACHI ELEV. 91,25. 100. MACAGUA I - II y III ELEV. 54,5. 50 0 110 100 90. 80. 70 60 50 40 DISTANCIA Kmts.. 30. 20. 10. Figura 2.1 Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní [EDELCA, 2009]. 0.

(30) 15. 2.2 CENTRAL HIDROELÉCTRICA “MANUEL PIAR”, EN TOCOMA 2.2.1 Descripción El Proyecto de la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”, en Tocoma, es el último de los desarrollos hidroeléctricos que constituyen el aprovechamiento del complejo Hidroeléctrico del Bajo Caroní, conjuntamente con las centrales Simón Bolívar, Antonio José de Sucre y Francisco de Miranda en Caruachi. El Proyecto Tocoma está ubicado a unos 15 km aguas abajo de la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar.. Una vez que se hayan ejecutado todas las obras, se creará un lago a la cota de 127 m.s.n.m., inundando un área de 87 km2 (EDELCA, 2009).. En los actuales momentos este proyecto se encuentra en construcción y se estima que la primera unidad entre en operación comercial en el año 2012 y que la Central esté culminada para el año 2014.. 2.2.2 Generalidades. Las obras para controlar el embalse incluyen la construcción de un Aliviadero con compuertas radiales y las Presas de cierre correspondientes. La Casa de Máquinas y la Nave de Montaje serán del tipo integrado con la Estructura de Toma.. La Casa de Máquinas del Proyecto Tocoma es diseñada para la instalación de diez (10) generadores de eje vertical, accionados mediante turbinas hidraúlicas del tipo Kaplan. Cada turbina tendrá una potencia de salida nominal, garantizada, no menor de 216 MW para una caída nominal neta de 34,65 m y una velocidad nominal de 90 rpm, mientras que la potencia máxima garantizada de salida de la turbina será no menor de 223 MW para una caída neta máxima de 36 m..

(31) 16. 2.2.3 Selección de la Capacidad de los Generadores. Se tomará como base para dimensionar el generador la potencia nominal garantizada de la turbina de 216 MW, debido a que la potencia máxima únicamente se desarrolla en condiciones poco frecuentes y cuando se encuentra operando un número limitado de unidades.. Se estimará una eficiencia del generador no menor al 98%, con ello su capacidad de salida sería de 211,7 MW, así mismo se tomará un factor de potencia de 0,93 recomendado por la empresa (EDELCA, 2002).. Teniendo en cuenta los factores mencionados anteriormente, la máquina debe tener una capacidad de 227,6 MVA la cual se aproxima y se especifica como 230 MVA. El diseño del generador se realizará para que éste desarrolle esta capacidad continuamente, con voltaje, frecuencia y factor de potencia nominales, permitiendo que el aire que sale del sistema de enfriamiento no supere la temperatura de 40 °C.. 2.2.4 Características Principales de los Generadores. A continuación se indican las principales características eléctricas y mecánicas de los generadores, las cuales corresponden a datos estándar de fabricación: Tabla 2.1 Principales características de los generadores. [Memorándum de Diseño Eléctrico E01 “Generadores” (EDELCA), 2002] Capacidad continua, MVA 230 Factor de Potencia 0,93 Voltaje nominal, kV 13,8 Frecuencia, Hz 60 Número de fases 3 Eficiencia, no menor, % 98 Velocidad nominal, rpm 90 Velocidad máx. de embalamiento (rpm) 250 Sentido de giro (visto desde arriba) Sentido de las agujas del reloj Efecto Volante combinado, no menor (ton-m2) 81020.

(32) CAPÍTULO III CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA El objetivo de este capítulo es presentar todas las bases teóricas de la Máquina Sincrónica: describir en detalle las características y conceptos fundamentales de ésta y expresar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la misma. Por otra parte se muestran las posiciones originales de los devanados del generador y luego de explicar la Transformada de Park se lleva la máquina hacia un modelo más sencillo para estudiarla. Finalmente se presenta un sistema en por unidad: bases y Ecuaciones de Park.. 3.1 MÁQUINA SINCRÓNICA 3.1.1 Definición. La Máquina Sincrónica es un convertidor electromecánico de energía, está formada por una parte fija denominada estator, en éste se encuentran los conductores que suministran la energía eléctrica de corriente alterna, el nombre que recibe este devanado es inducido, posee también una pieza giratoria llamada rotor, aquí se encuentra el devanado inductor el cual es excitado con corriente continua mediante los anillos rozantes con sus respectivas escobillas. (Aller, 2008; Mora, 2003). En la figura 3.1 se muestra una Máquina Sincrónica de Polos Salientes, se observa como la foto fue tomada mientras se instalaba el rotor dentro del estator del generador.. Ahora bien, cada una de las partes de la máquina, mencionadas anteriormente, pueden a su vez dividirse en otros elementos que a continuación se definen..

(33) 18. Figura 3.1 Rotor y Estator de una Máquina Sincrónica [Curso Hidrogeneradores (IMPSA), 2009]. 3.1.2. Partes del Estator. El estator de una Máquina Sincrónica se divide en tres partes principales que son:. Carcasa o Bastidor: es el sistema de soporte del núcleo magnético, protege los componentes internos contra los agentes del medio ambiente. La figura 3.2a presenta la carcasa de un generador construido por la empresa IMPSA.. Núcleo: se encuentra formado por chapas de acero al silicio, en éste se aloja el devanado inducido en sus respectivas ranuras. En la figura 3.2b se aprecia el núcleo magnético de un generador, allí se ve como éste está formado por numerosas chapas de acero magnético que son apiladas una sobre otra para disminuir pérdidas. Por otra parte, se observan distintos espacios en el núcleo estatórico, los verticales corresponden a las ranuras donde se aloja el devanado inducido, mientras que los horizontales son los ductos de ventilación..

(34) 19. a) Carcasa b) Núcleo Figura 3.2 Carcasa y Núcleo de una Máquina Sincrónica [Curso Hidrogeneradores (IMPSA), 2009]. Devanado: está constituido por bobinas preformadas que pueden ser remplazadas por barras de cobre de sección rectangular. Estas barras están formadas por espiras retorcidas 180° (transposición Roebel), cuya finalidad es evitar calentamientos no homogéneos causados por las corrientes parásitas y el efecto pelicular (Sánchez, 1995). La figura 3.3 muestra las terminaciones de bobina del devanado inducido de una Máquina Sincrónica, en la cual la cabeza de bobina tiene forma de codo.. Figura 3.3 Devanado estatórico de una Máquina Sincrónica [Curso Hidrogeneradores (IMPSA), 2009].

(35) 20. 3.1.3 Partes del Rotor. Al igual que el estator, el rotor se divide en tres partes fundamentales que son:. Núcleo: es donde se encuentra colocado el devanado de campo que origina el flujo magnético y es el lugar por donde fluye el mismo. La figura 3.4a expone el rotor de una Máquina Sincrónica de Polos Salientes de la Central Hidroeléctrica Caruachi, en donde puede observarse el núcleo de la máquina (indicado con una flecha en la figura), el cual está formado por polos, también se aprecia que el devanado inductor se aloja en cada uno de los polos (lo que se ve de color dorado arriba de cada polo).. Eje: es quien soporta al núcleo y lo acopla físicamente con la turbina o accionamiento, de forma tal que se pueda transferir la energía mecánica rotativa (ver figura 3.4b).. Núcleo. a) Rotor. b) Eje. Figura 3.4 Rotor y Eje de una Máquina Sincrónica [Central Hidroeléctrica Caruachi]. Devanado de campo: es el conjunto de espiras destinado a producir flujo magnético, cuando es recorrido por una corriente eléctrica. En los devanados de polos salientes, la bobina es generalmente una sola espiral en forma de solenoide. En la figura 3.4a se observa en color dorado alrededor de los polos el devanado inductor de una Máquina Sincrónica..

(36) 21. 3.1.4 Tipos. Según la forma que poseen los polos de una Máquina Sincrónica ésta se clasifica en dos tipos:. Máquina Sincrónica de Polos Cilíndricos: este tipo de máquina se caracteriza por tener un entrehierro uniforme, es el modelo de las máquinas con grandes velocidades y pocos polos utilizadas en centrales termoeléctricas.. Máquina Sincrónica de Polos Salientes: está diseñada de forma tal que presenta un entrehierro no uniforme, este diseño se realiza por razones económicas y estructurales en las máquinas utilizadas en Centrales Hidroeléctricas, las cuales son multipolares y se caracterizan por ser de diámetro grande y velocidades bajas. Las Máquinas Sincrónicas a utilizar en el Proyecto Hidroeléctrico “Manuel Piar”, en Tocoma, son de polos salientes.. 3.1.5 Velocidad de Rotación. La velocidad mecánica de rotación del generador está sincronizada con la frecuencia eléctrica que se produce, y se relacionan mediante la siguiente fórmula (Chapman, 1995):. 𝑓=. 𝜂𝑠 ∗ 𝑃 120. (3.1). 3.1.6 Conceptos Generales. Existen tres conceptos magnéticos fundamentales que son:. Campo Magnético (𝐻): es la región del espacio en la que se manifiestan los fenómenos magnéticos. Dichos fenómenos actúan según líneas imaginarias llamadas “líneas de fuerza”, las cuales determinan el camino que sigue la fuerza magnética (Sánchez, 1995). Flujo Magnético (𝜙): se define como flujo magnético al número total de líneas de fuerza que produce un campo magnético..

(37) 22. Densidad de Flujo o Inducción Magnética (𝐵): es el número de líneas de fuerza que atraviesa una sección perpendicular a la dirección de flujo.. 3.1.7 Campo Magnético Giratorio. El estator posee en la mayoría de los casos un sistema trifásico de corrientes alternas balanceadas, todas con igual magnitud y desfasadas entre sí 120°, dicho sistema genera un campo magnético que gira y tiene una magnitud constante. Las corrientes que circulan por los devanados se describen de la siguiente manera (Sánchez, 1995): 𝑖𝑎 𝑡 = 𝐼𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 2𝛱 3 4𝛱 𝑖𝑐 𝑡 = 𝐼𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 − 3 𝑖𝑏 𝑡 = 𝐼𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 −. (3.2) (3.3) (3.4). Las corrientes mencionadas anteriormente producen una fuerza magnetomotriz en cada arrollamiento, si se determinan dichas fuerzas en un punto del entrehierro ubicado a 𝜃 grados, se obtiene: 𝐹𝑎 𝑡 = 𝐹𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 θ ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡. 𝐹𝑏 𝑡 = 𝐹𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 θ −. 2𝛱 2𝛱 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 − 3 3. 𝐹𝑐 𝑡 = 𝐹𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 θ −. 4𝛱 4𝛱 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 − 3 3. (3.5). (3.6). (3.7). Donde:. 𝐹𝑚 =. 4 × 𝐾𝑤 × 𝑁𝑝ℎ × 𝐼𝑚 2×𝑃×𝛱. (3.8).

(38) 23. 3.1.8 Voltaje Generado Debido a que el devanado de campo produce una onda sinusoidal de densidad de flujo 𝐵 en el entrehierro que gira a una velocidad constante, se induce en el devanado inducido una fuerza electromotriz también sinusoidal. En un punto cualquiera del entrehierro la densidad de flujo se expresa como (Carvajal, 2005): 𝐵 = 𝐵𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃. (3.9). Mientras que el flujo máximo en el entrehierro, debido a un solo polo es: 𝛱 2. 𝛷= −𝛱 2. 𝐵𝑚 𝐵𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑙 ∗ 𝑟 ∗ 𝑑𝜃 = ∗𝑑∗𝑙∗𝛱 𝑃 𝑃. (3.10). Cuando el rotor gira a una velocidad constante (𝑤) los enlaces de flujo con el embobinado de estator se definen así: 𝜆𝑓 = 𝑁 ∗ 𝛷 ∗ cos 𝑤𝑡. 3.11. La aparición de corrientes inducidas en conductores mediante la variación de campos magnéticos fue descubierta por Michael Faraday en 1830 (Wikipedia, 2009). Todos los experimentos realizados demostraron que siempre que un flujo magnético variable atraviesa un circuito eléctrico aparece en el circuito una fuerza electromotriz inducida. Según la Ley de Faraday, la tensión inducida en una bobina del estator es (Carvajal, 2005):. 𝑒=. 𝑑𝜆𝑓 𝑑𝛷 =𝑁∗ ∗ cos 𝑤𝑡 − 𝑁 ∗ 𝛷 ∗ 𝑤 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡. (3.12). Cuando el generador funciona normalmente en estado estable, la onda de flujo en el entrehierro (𝛷) mantiene un valor, en todo instante, igual a una constante por lo que la tensión inducida es entonces: 𝑒 = −𝑁 ∗ 𝛷 ∗ 𝑤 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡. (3.13).

(39) 24. Siendo su valor máximo: 𝐸𝑚 = 𝑁 ∗ 𝛷 ∗ 𝑤 = 𝑁 ∗ 𝛷 ∗ 2𝛱 ∗ 𝑓. (3.14). En devanados distribuidos se tiene por fase: 𝐸𝑟𝑚𝑠 = 2 ∗ 𝛱 ∗ 𝑓 ∗ 𝐾𝑤 ∗ 𝑁𝑝ℎ ∗ 𝛷. (3.15). 3.1.9 Potencia Eléctrica de Salida en función de las Dimensiones de la Máquina. En el desarrollo de las máquinas eléctricas uno de los aspectos más resaltantes ha sido el constante aumento de la potencia de salida que se puede obtener de una carcasa de ciertas dimensiones. El evidente incremento de la potencia en relación al peso se debe a distintos factores que se han optimizado, entre los más importantes se tiene la mejora de las propiedades magnéticas de las planchas de acero que se utilizan como material del núcleo, así mismo se han desarrollado materiales aislantes con gran capacidad para soportar temperaturas altas, ventilación y refrigeración dispuestas de forma más óptima y una tendencia general hacia una mayor velocidad de rotación.. Existe una ecuación en las máquinas giratorias denominada ecuación de potencia de salida, la cual presenta una relación específica entre las principales dimensiones de la máquina y su potencia en kVA. A continuación se observa su deducción (Langsdorf, 1967): 𝑆 = 𝑚 × 𝑉 × 𝐼𝐴 × 10−3 𝑘𝑉𝐴. 3.16. Sustituyendo 𝐸 por la ecuación 3.15 se tiene: 𝑆 = 2 × 𝛱 × 𝑚 × 𝐾𝑤 × 𝑁𝑝ℎ × 𝑓 × 𝛷 × 𝐼𝐴 × 10−3 𝑘𝑉𝐴. (3.17).

(40) 25. Si en la ecuación anterior se sustituye 𝑓 por la ecuación 3.1, 𝛷 por la ecuación 3.10 y 𝑁𝑝ℎ por 2𝑁𝑐𝑠𝑝. donde 𝑁𝑐𝑠𝑝 es el número de conductores en serie por fase se obtiene. entonces: 2 ∗ 𝛱2 𝑆= ∗ 𝐾𝑤 ∗ 𝐵𝑚 ∗ 𝑑 ∗ 𝑙 ∗ 𝜂𝑚 ∗ 𝑚 ∗ 𝐼𝐴 ∗ 𝑁𝑐𝑠𝑝 𝑘𝑉𝐴 103. (3.18). Además, si la capa ampérica se define como:. 𝐴=. 𝑚 ∗ 𝑁𝑐𝑠𝑝 ∗ 𝐼𝐴 𝛱∗𝑑. (3.19). Y el coeficiente de utilización se expresa así: 2 ∗ 𝛱3 ∗ 𝐾𝑤 ∗ 𝐵𝑚 ∗ 𝐴 𝐾𝑢 = 103. (3.20). Entonces la potencia de salida viene descrita por la ecuación: 𝑆 = 𝐾𝑢 ∗ 𝑑 2 ∗ 𝑙 ∗ 𝜂𝑚 𝑘𝑉𝐴. (3.21). Aquí puede observarse claramente como la potencia de salida depende directamente de las dos dimensiones fundamentales de la máquina como son 𝑑 y 𝑙, también vendrá determinada por el valor del coeficiente de utilización de la máquina.. 3.1.10 Circuito Equivalente de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes en Régimen Permanente. Al deducir el circuito equivalente de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes es necesario saber que en ésta, a diferencia de la de polos cilíndricos, debe tomarse en cuenta que establecer un campo magnético en ciertas direcciones es más fácil que en otras. Asimismo, al producirse un campo magnético en el estator éste a su vez induce un campo magnético en el rotor cuyo flujo se origina a lo largo de su eje, al existir un ángulo 𝛿 entre dichos campos, se.

(41) 26. produce un momento de torsión cuyo propósito es colocar el rotor en la misma dirección del campo del estator (Chapman, 1995). Cuando se hace girar el rotor de un generador sincrónico, se induce una tensión 𝐸𝐴 en los bobinados del estator, al conectarse una carga en los bornes del generador comienza a circular corriente por el devanado estatórico, un flujo de corriente trifásica en el estator genera una fuerza magnetomotriz en el mismo, dicha fuerza origina un campo magnético, este campo produce una distorsión del campo magnético original del rotor, lo que hace que la tensión inicial en los bornes del generador se modifique. Ahora bien, como ya se dijo es más fácil producir un campo magnético en la dirección del rotor que hacerlo en dirección perpendicular a él, se produce más flujo a lo largo del eje del rotor del que se produce ortogonalmente a éste, por ello se descompone la fuerza magnetomotriz del estator en dos componentes, una paralela al eje del rotor y otra perpendicular al él, creándose entonces dos ejes: el eje directo “𝑑”(en dirección del eje del rotor) y el eje en cuadratura “𝑞” (ortogonal al eje del rotor).. Las componentes del campo magnético del estator producen por sí mismas un voltaje en el bobinado del estator por reacción del inducido, estos voltajes se representan en los ejes “d” y “q”, cada tensión de reacción de inducido es directamente proporcional a la corriente del estator además de estar atrasada 90° respecto a ésta. En el Circuito Equivalente debe tenerse en cuenta la reactancia de dispersión y la resistencia del inducido. La reactancia de dispersión 𝑋𝑙 no depende de la posición del rotor por ello se suma a las reactancias de reacción de inducido en cada uno de los ejes. La caída de tensión debida a la resistencia del inducido, se expresa como el valor de la misma, es decir 𝑅𝑎 , por la corriente que circula por el inducido 𝐼𝐴 , finalmente la expresión de la tensión en cada una de las fases del estator es: 𝑉𝑓 = 𝐸𝐴 − 𝑗𝑋𝑑 ∗ 𝐼𝑑 − 𝑗𝑋𝑞 ∗ 𝐼𝑞 − 𝑅𝑎 ∗ 𝐼𝐴. 𝑉. 3.22. Tomando como referencia el eje “𝑞”, en cuya dirección se encuentra 𝐸𝐴 , el diagrama fasorial correspondiente a una Máquina Sincrónica de Polos Salientes es el que se muestra en la figura 3.5..

(42) 27. Figura 3.5 Diagrama Fasorial de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes [Mora, 2003]. 3.1.11 Potencia Eléctrica de Salida Real y Momento de Torsión. Para deducir las ecuaciones que definen los parámetros de potencia y par eléctrico se asume que la resistencia del inducido es despreciable, con ello se obtiene el diagrama fasorial de la figura 3.6:. Figura 3.6: Diagrama Fasorial para determinar la Potencia de Salida de un Generador Sincrónico de Polos Salientes. [Mora, 2003]. La potencia de un generador sincrónico de polos salientes se compone de la potencia que origina la corriente que pasa por el eje “d” más la potencia debida a la corriente del eje “q”, es decir, se determina por la ecuación 3.23 (Chapman, 1995):.

(43) 28. P = 𝑃𝑑′ + 𝑃𝑞 P = 3 ∗ 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑑 ∗ cos 90 − 𝛿 + 3 ∗ 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑞 ∗ cos 𝛿. (3.23) (3.24). A partir de la figura 3.13 las corrientes 𝐼𝑑 e 𝐼𝑞 corresponden a las ecuaciones:. 𝐼𝑑 =. 𝐸𝐴 − 𝑉𝑓 ∗ cos 𝛿 𝑋𝑑. 3.25. 𝑉𝑓 ∗ sen 𝛿 𝑋𝑞. (3.26). 𝐼𝑞 =. Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación 3.24 se obtiene que la potencia de salida de la Máquina Sincrónica es:. P=. 3 ∗ 𝑉𝑓 ∗ 𝐸𝐴 3 ∗ 𝑉𝑓 2 𝑋𝑑 − 𝑋𝑞 ∗ sen 𝛿 + ∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛿 𝑋𝑑 2 𝑋𝑑 ∗ 𝑋𝑞. (3.27). Entonces, el momento de torsión inducido en el motor se expresa como: 3 ∗ 𝑉𝑓 2 𝑋𝑑 − 𝑋𝑞 3 ∗ 𝑉𝑓 ∗ 𝐸𝐴 ∗ sen 𝛿 + ∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛿 𝑇𝑖𝑛𝑑 = 2 ∗ 𝑤𝑛 𝑋𝑑 ∗ 𝑋𝑞 𝑋𝑑 ∗ 𝑤𝑛. (3.28). 3.1.12 Devanado Amortiguador. El devanado amortiguador en las Máquinas Sincrónicas no permite que los campos que se producen en el estator corten a los conductores del devanado de campo en los momentos en que la velocidad de la máquina sea distinta a la sincrónica. Si sucede que el flujo principal corta a los conductores de campo, pueden inducirse fuerzas electromotrices con magnitudes tan grandes que sean capaces de lograr la ruptura dieléctrica del aislamiento. En conclusión puede decirse que el devanado amortiguador vela por la integridad del aislamiento del.

(44) 29. devanado de excitación, evitando que el flujo principal corte a los conductores de este devanado. Además de esto el devanado amortiguador mejora la respuesta dinámica propia de la máquina.. Sin embargo, cuando se incluye en el rotor de la Máquina Sincrónica un devanado amortiguador, la reluctancia del camino principal aumenta, por lo que el flujo estaría disminuyendo, debido a esto la fuerza electromotriz del campo disminuye, para contrarrestar este efecto, la corriente de alimentación del devanado de excitación debe aumentarse. El modelado del devanado amortiguador de las Máquinas Sincrónicas se hace mediante dos bobinas cortocircuitadas, una ubicada en el eje “d” y la otra en el eje “q” (Carvajal, 2005).. A continuación (figura 3.7) se muestra un esquema de la Máquina Sincrónica donde se representan los ejes magnéticos, los ejes directo y en cuadratura, así como también los distintos arrollados y su ubicación:. Figura 3.7 Posición de los devanados de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes. [Carvajal, 2005]. En la figura 3.7 están representados los arrollamientos inducidos de la fase “a”, “b” y “c” los cuales se encuentran ubicados en sus respectivos ejes magnéticos, además se observan los ejes “d” y “q” en los cuales se representa el devanado amortiguador de la máquina, se tendrá.

(45) 30. un devanado amortiguador para el eje “d” y otro para el eje “q”, mientras que el devanado inductor se ubica en el eje “d”.. 3.1.13 Máquina Sincrónica Idealizada. Con la finalidad de deducir las ecuaciones de la máquina, es necesario hacer idealizaciones, y despreciar determinados factores con el fin de simplificar las expresiones y sus cálculos.. Características: la Máquina Sincrónica ideal posee las siguientes características (Carvajal, 2005): . Las bobinas correspondientes a la fase 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son representadas por tres solenoides,. los cuales se encuentran ubicados en sus ejes magnéticos. . Los devanados amortiguadores de la máquina se representan a través de dos arrollados,. el primero de ellos 𝐾𝑑 ubicado en el eje “𝑑” y el segundo 𝐾𝑞 en el eje “𝑞”. . La bobina del devanado de campo del rotor 𝑓 se ubica en el eje “𝑑”.. Efectos a despreciar: No serán tomados en cuenta los siguientes efectos . Los acoplamientos capacitivos existentes entre los arrollados.. . El efecto piel, el cual aumenta las resistencias y a su vez disminuye las inductancias.. . La histéresis y corrientes de Foucault en el hierro.. . La saturación del circuito magnético.. . La influencia de las masas polares.. . La influencia del cambio de temperatura sobre los valores de las resistencias..

(46) 31. Es importante destacar también que se asume la repartición de las fuerzas magnetomotrices en el tiempo y el espacio de forma sinusoidal.. 3.1.14 Ecuaciones de la Máquina Sincrónica. Según las suposiciones hechas anteriormente y con base en las relaciones existentes entre los parámetros que gobiernan el funcionamiento de la máquina, como las corrientes, los flujos, las fuerzas electromotrices (fem), entre otros, se pueden deducir las ecuaciones que definen a la misma. A partir de esto se encontrará un sistema de ecuaciones diferenciales complejo, el cual deberá transformarse con el objetivo de hacerlo más sencillo y manejable.. Ecuaciones Eléctricas: Para la obtención de dichas ecuaciones es necesario conocer la convención de signos a utilizar, obsérvese la figura 3.8, en la cual puede apreciarse los sentidos que tienen la inducción magnética, la corriente, el flujo y la tensión inducida según se alimente la bobina (Carvajal, 2005):. Figura 3.8 Arrollamiento de una bobina con los sentidos y direcciones de cada uno de los parámetros. [Carvajal, 2005]. Se asumirá que: . Las corrientes positivas generan un campo donde las líneas de fuerza tienen la misma. dirección que el vector de inducción “𝐵”..

(47) 32. . Una fuerza electromotriz positiva “𝐸” hará circular una corriente “𝐼” positiva y. viceversa, es decir, el sentido de la las fem será igual al de las corrientes. La ley de Lenz establece que: “La polaridad de la fem inducida es tal que ésta tiende a producir una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del circuito”, por lo tanto entonces la ley de Lenz se escribirá así:. 𝐸=−. 𝑑Ф 𝑑𝑡. . El sentido de rotación positivo será el mismo que se tome para medir los fasores.. . El orden se sucesión de las fases es el sentido de rotación 𝑎, 𝑏, 𝑐.. Teniendo en cuenta lo descrito anteriormente y aplicando la ley de Kirchoff en cada uno de los arrollados de la figura 3.14, se encuentra que: 𝑉𝑎 = −𝑅𝑎 × 𝐼𝑎 + 𝐸𝐴. (3.29). Además se sabe que:. 𝐸𝐴 = −. 𝑑 Ф𝑎 = −𝑝 × Ф 𝑑𝑡. (3.30). Donde:. 𝑝=−. 𝑑 𝑑𝑡. Entonces para el arrollado de la fase a: 𝑉𝑎 = −𝑅𝑎 × 𝐼𝑎 − 𝑝 × Ф𝑎. (3.31).

(48) 33. Al aplicar la ecuación de Kirchoff en los arrollados restantes y escribir el conjunto de ecuaciones de forma matricial se consigue lo siguiente: 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐 = 𝑁 + 𝑂 𝑉𝑓 0 0 −𝑝 0 0 −𝑝 0 0 𝑁= 0 0 0 0 0 0 −𝑅𝑎 0 0 𝑂= 0 0 0. 0 −𝑅𝑎 0 0 0 0. 0 0 0 0 −𝑝 0 0 𝑝 0 0 0 0. 0 0 −𝑅𝑎 0 0 0. 0 0 0. 𝑅𝑓 0 0. (3.32). Ф𝑎 0 Ф𝑏 0 Ф𝑐 0 ∗ Ф 0 𝑓 Ф𝐾𝑑 0 Ф𝐾𝑞 𝑝. 0 0 0 0 𝑝 0 0 0 0 0 𝑅𝐾𝑑 0. 0 𝐼𝑎 0 𝐼𝑏 0 𝐼𝑐 0 ∗ 𝐼𝑓 𝐼𝐾𝑑 0 𝐼𝐾𝑞 𝑅𝐾𝑞. (3.33). (3.34). Ecuaciones de los Flujos: Los flujos están ligados directamente a los valores de la inductancia propia, de las inductancias mutuas y las corrientes que circulan. Como ya se mencionó, debido a la estructura de la Máquina Sincrónica de Polos Salientes, el valor de la reluctancia varía dependiendo de la posición del rotor, es decir, las inductancias propias y mutuas son función del ángulo 𝜃, el cual se mide en el sentido de giro del rotor. A continuación se escribe en forma matricial las ecuaciones que rigen a los flujos en cada uno de los arrollados (Carvajal, 2005): 𝐿𝑎 Ф𝑎 0 Ф𝑏 Ф𝑐 0 Ф𝑓 = 0 Ф𝐾𝑑 0 Ф𝐾𝑞 0. 𝑀𝑎𝑏 𝐿𝑏 0 0 0 0. 𝑀𝑎𝑐 𝑀𝑏𝑐 𝐿𝑐 0 0 0. 𝑀𝑎𝑓 𝑀𝑏𝑓 𝑀𝑐𝑓 𝐿𝑓 0 0. 𝑀𝑎𝐾𝑑 𝑀𝑏𝐾𝑑 𝑀𝑐𝐾𝑑 𝑀𝑓𝐾𝑑 𝐿𝐾𝑑 0. 𝑀𝑎𝐾𝑞 𝐼𝑎 𝑀𝑏𝐾𝑞 𝐼𝑏 𝑀𝑐𝐾𝑞 𝐼𝑐 × 𝐼𝑓 𝑀𝑓𝐾𝑞 𝐼𝐾𝑑 𝑀𝐾𝑑𝐾𝑞 𝐼𝐾𝑞 𝐿𝐾𝑞. (3.35).

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