GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
Geometría Descriptiva CAPÍTULOIntersección
Autor:Víctor Vidal Barrena Universidad
Nacional de Ingeniería
Intersección
Recta
INTERSECCIÓN
DE RECTA CON
INTERSECCIÓN DE RECTA CON POLIEDRO.
DE RECTA CON
POLIEDRO
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE
COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES
INTERSECCIONES SON COMUNES EN LAS
CONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA,
CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIER
CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS
LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA
7.1
INTRODUCCIÓN.-CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS
LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA
INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LA
SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE
INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE
RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONO
SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO COPLANARES. A C D VERTICE D IAG O NA L 7.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN. H E G F B ARISTA CA RA
a).-
LAS CARAS:
formadas por polígonos que limitan el poliedro.
b).-
LAS
ARISTAS:
que
son
los
lados
del
polígono.
c).-
LOS VÉRTICES:
que son los extremos de las aristas.
7.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.
d).-
LAS DIAGONALES:
aristas que unen dos vértices opuestos.
e).-
LOS DIEDROS:
formados por dos
caras consecutivas.
f).-
ANGULOS POLIEDRICOS:
formados por aristas que concurren en
un vértice.
1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo:
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
D A D B C C F D B C TETRAEDRO A B H E F HEXAEDRO B G OCTAEDRO E A D B
2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:
L K J I H I H K M C H I J K L M
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
D F E A C B E B F D C A PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO PRISMA HEXAGONAL OBLICUO A B C D E F PRISMA HEXAGONAL RECTO
1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una línea poligonal o directriz C A B K L G J H I C A D
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
PRISMA HEXAGONAL D F E F E D A B C H PRISMA CUADRADO E F G C A B PRISMA TRIANGULAR
2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz.
V
V
V
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
PIRAMIDE TRIANGULAR B C A PIRAMIDE DE BASE CUADRADA A D B C E PIRAMIDE HEXAGONAL B F A D C
Hallar la intersección
de la recta
MN
con
el
prisma
ABCD-EFGH.
Mostrar
la
visibilidad
de
la
intersección.
PROBLEMA Nº 7.1:M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) ,
M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) ,
A(10, 9, 17) , B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),
D(9, 7, 20),
E(3,5,12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),
H(2, 3, 15).
SOLUCION 7.1: H G EH M HH H DH NH AH CH H B 14 13 12 11 15 19 17 20 16 HH EF G F F F F M FH F DF A F C F N BF grafico de los puntos 3 2 4 5 6 9 10 12 13 3 4 1 5 7 11 9 8
SOLUCION 7.1. H A H B H C D H H E GH H H H M H N a b c d 1 2 16 11 20 17 19 12 14 15 13 F A F B CF D F E F FH FF GF H H F M F N a b c d 1 2 solucion final 4 9 12 13 3 5 6 10 2 11 1 4 3 7 9 5 8
Hallar la intersección
de la recta
MN
con la pirámide V – ABCD.
Mostrar
la
visibilidad
de
la
intersección.
PROBLEMA Nº 7.2:M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) ,
A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12),
D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13)
PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS. VH NH H C A H D H H M H B
GRAFICO DE
LAS
COORDENADAS
11 12 13 15 18 19 D VF F B MF F NH F C NF F A 4.5 2 3 1 9 7 5 7.5 5 6.5 9.5 11H V AH BH CH DH H H N 2 1 1 BVC MN + + - + - + F H
RECTA PLANO H F INT H F
13 18 15 12 19 11 PC -1 VF AF BF CF DF MF NF 2 1 1 BVC MN + + - + - + + MN + ABCD + - 2 + -9.5 11 3 7 4.5 1 6.5 5 5 9 7.5 2
SOLUCION SOMBREADA: DH C N H H B H A 2 1
SOLUCION
SOMBREADA
H V H DF F A BF C MF NH F 2 1SOMBREADA
VF NFABCD y EFGH, son las bases de un prisma de
base cuadrada determinar la intersección
y
mostrar la visibilidad de la recta MN con el
prisma dado Hallar la tabla de visibilidad.
PROBLEMA Nº 7.3:
A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),
A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),
D(9, 7, 20); E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),
H(2, 3, 15)
M(8, 9, 20) N(8, 1, 11).
PROBLEMA Nº 7.3: Solución EH N F H HH G A H M DH H H B CH 14 11 12 16 15 17 19 20
GRAFICO DE
LAS
COORDENADAS
F H GF EF F C F F NF F MF F D N FH H A BF 1 3 2 3 5 9 7 5 11 8 6 9 10 12 13PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION: H A H B H C DH H E F GH H H H M N 1 2 19 12 14 15 16 11 20 17
RECTA H F PLANO H F INT H F
TABLA DE VIS
PC -1 PC -2 F A F B CF DF EF FH FF GF HF F M F N b H N 1 2 + + + + + -- + -+ - + 9 10 5 6 5 2 8 11 1 9 12 13 3 3 7 MN AEDH BFCG 1 2 MNPROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION SOMBREADA HH E GH 2 C M D 1 H H H A H B H
SOLUCION
SOMBREADA
HF C 1 GF EF FF NF 2 M H E H F A F DF H N F F B FSOMBREADA
PROBLEMA Nº 7.4
Si
el
poliedro
tiene
sección
transversal
convexa, la recta lo
interseca
en
dos
puntos; en cambio, si
es cóncava, es posible
es cóncava, es posible
que la recta interseque
en más de dos puntos.
Hallar la intersección de la recta
MN
con el prisma ABCD-EFGH.
Mostrar
la
visibilidad
de
la
intersección.
PROBLEMA Nº 7.5:Hallar la intersección de la recta
MN
con la Pirámide V-ABCD.
Mostrar
la
visibilidad
de
la
intersección.
PROBLEMA Nº 7.6:INTERSECCION
DE RECTA CON
INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIE.
DE RECTA CON
SUPERFICIE
7.6 Superficies: Cono Cilindro.
CONO.-Es una superficie generada por una recta llamada generatriz, que se desplaza apoyada sobre una curva(directriz) y pasando siempre por un punto (vértice).
CILINDRO.-Es una superficie generada por una recta (generatriz) al desplazarse paralelamente a sí misma y apoyada sobre una curva(directriz).
7.7 REGLAS DE VISIBILIDAD
1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de intersección es visible.
2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas están ocultas, el punto de intersección es invisible.
3. Si dos círculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto de intersección es visible.
4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están 4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están
ocultas, el punto de intersección es invisible.
Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:
1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible. 2. No se plica la regla de los signos.
7.8 Representación de Superficies.
El cono está engendrado por el movimiento de una línea recta
llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y que
pasa siempre por un punto fijo llamado vértice; véase la figura 11.2.
7.8.1 REPRESENTACIÓN DE CONOS
7.9 Representación de Superficies.
El cilindro es engendrado por el movimiento de una línea recta (generatriz) que se desplaza sobre una línea curva plana (directriz) permaneciendo siempre en todas sus posiciones paralela a su posición; véase la figura 11.3.
7.9.1 Representación de Cilindros.
Hallar la intersección de la recta MN
con
un
cono
oblicuo
de
base
horizontal de 6 cm de diámetro;
siendo O el centro de su base y V el
vértice. Mostrar la visibilidad
.
Problema 7.5:
vértice. Mostrar la visibilidad
.
M(5, 6, 16), N(13, 3, 12) , V(13.5, 7, 17) , O(8, 1.5, 13).
SOLUCION 12 13 OH H N 16 17 H MH V grafico de los puntos 1.5 3 6 7 V MF OF NF F puntos
SOLUCION 13 12 17 16 MH NH OH H V A 1 2 M'H MN + + FV - + 2 - + GENER MN RECTA + + H F EV + H + + H F 1 INT + F F N 1.5 5 13 OF 8 13.5 3 6 7 MF VF solucion final EH F H AH H B F B AF E F FF 1 2 M'F
AB es el eje de un cilindro de bases
horizontales de 5cm de diámetro.
Determinar la intersección y mostrar
la visibilidad de la recta MN con el
cilindro dado. Cortar al cilindro por
PROBLEMA 7.6:
cilindro dado. Cortar al cilindro por
el extremo B.
A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) , M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).
SOLUCION
12 N H 21 19.5 15 H A MH BH GRAFICO DE LOS PUNTOS 2.5 1 10 8.5 A 4 7 8.5 F MF N N F H 12 F BSOLUCION
15 AH 19.5 BH 21 H M H M' H Y 1 2 Z GENER H RECTA MN MN + + Z1 F + + S2 + -H F -+ INT 2 1 F H -+ -+ H solucion final 12 7 2.5 F A 8.5 BF 12 10 1 MF NH NF F X XH F M' YF S S Z 2 1 8.5 H F F solucion finalProblema 11.3:PROBLEMA 7.7: