Ejercicios Pórticos

(1)

FLEXION. PORTICOS

Problema nº 27

Dado el pórtico de la figura sometido a las cargas indicadas, se pide obtener los diagramas de esfuerzos axiales P(x), esfuerzos cortante V(x) y momentos flectores M(x), acotando sus valores e indicando sus signos en cada tramo.

5 kN/m A B C 20 kN 4 m 5 m Solución:

a) Hallemos las reacciones en los apoyos R_Ax_{, R}_Ay y R_By.

5 kN/m A B C 20 kN 4 m 5 m RAy RAx RBy

El pórtico es una estructura isostáticas donde tenemos 3 reacciones y 3 ecuaciones: Σ Fx = 0 ⇒ RAx = 20 kN

Σ Fy = 0 ⇒ RAy + RBy = 5 kN/m ⋅ 5 m = 25 kN

Σ M_A_{= 0 ⇒ R}_By 5 = 20 kN ⋅ 4m + (5 kN/m ⋅ 5m) 2,5 m = 142,5 kNm ⇒ R_By_{= 28,5 kN}

Resolviendo el sistema hallamos:

R_Ax_{= 20 kN; R}_Ay_{= -3,5 kN y R}_By_{= 28,5 kN}

b) Establezcamos el equilibrio en la barra BC 5 kN/m B 28,5 kN M_AB C RAB 5 kN/m B 28,5 kN 80kNm C 3,5 kN ⇒ Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_AB = (5 ⋅ 5) - 28,5 = -3,5 kN Σ M_A_{= 0 ⇒ M}_AB = (5 ⋅ 5) 2,5 - 28,5 ⋅ 5 = - 80 kNm

c) Establezcamos el equilibrio en la barra AB

Por el principio de acción-reacción en el nudo B entre las barras AB y BC ⇒

R_AB = - R_BC_{= 3,5 kN} M_AB = - M_BC = 80 kNm

(2)

A B 20 kN 20 kN 3,5 kN A B 20 kN 80kNm 20 kN 3,5 kN 3,5 kN MBC R_BC ⇒

d) Hallemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x).

d.1) Barra AB A B P( x ) 3, 5 kN V( x ) 20 k N M( x ) 80 k N m 3, 5 kN 20 k N 20 kN 80kNm 20 kN 3,5 kN 3,5 kN ν(x ) d.2) Barra BC 5 kN/m B 28,5 kN 80kNm C 3,5 kN -3,5 kN -28,5 kN V(x) +80 kNm M(x) ν(x)

Deformada del pórtico.

A

B C

ν(x)

(3)

Problema nº 28

Dado el pórtico de la figura sometido a una carga puntual P. Hallar los esfuerzos axial P(x) y cortante V(x); y momento flector M(x) y la deformada en C.

A B C P Lv Lc Solución:

a) Hallemos las reacciones en el empotramiento R_A_{y M}_A_.

A B C RA P L_v Lc MA B M_AB P C = PL R_AB= P A B MBC R_BC R_A= P M_A= P L = P L = P v v v

El pórtico es una estructura isostática donde tenemos 2 reacciones y 2 ecuaciones: Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_A_{= P}

Σ M_A_{= 0 ⇒ M}_A = P L_v

b) Establezcamos el equilibrio en las barras AB y BC

b.1) Barra AB Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_BC_{= R}_A_{= P} Σ M_A_{= 0 ⇒ M}_BC_{= M}_A_{= P L}_v b.2) Barra BC Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_AB_{= P} Σ M_A_{= 0 ⇒ M}_AB_{= P L}_v

c) Tracemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x).

A B C R_A P M_A V(x) P A B C R_A P M_A M(x) A B C R_A P M_A P(x) PL P v

(4)

c) Hallemos la deformada en el punto C A C P B A B θ_B θ_Bθ_B PL νCI ν_CIIνC L_v Lc

La deformada en el punto C es ν_C = ν_CI + ν_CII ; donde:

ν_CI : Deformación debida al giro del nudo B (θ_B) producida por el momento M_BC_{= P L}_v ν_CII : Deformación debida a la carga P en el extremo de una barra en voladizo.

c.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por el momento M_BC_{= P L}_v

Aplicando el 1º teorema de Mohr

I E L L P _V _C B = ⇒θ

c.2) Hallemos la deformación en el punto C provocada por el giro θ_B

Al tratarse de un giro pequeño podemos asimilar el desplazamiento ν_CI como el arco de un ángulo θ_B_{y radio} I E L L P L L C 2 V V B CI V ⇒ν =θ =

c.3) Hallemos la deformación del punto C provocado por la carga P

I E 3 L P _V3 C = ν

c.4) Hallemos la deformada en el punto C

I E 3 L L 3 L P I E 3 L P I E L L P 2 C V V 3 V C 2 V CII CI C + = + = + =ν ν ν

(5)

Problema nº 29

Dado el pórtico isostático de la figura sometido a las cargas indicadas, se pide obtener los diagramas de esfuerzos axiales P(x), esfuerzos cortante V(x) y momentos flectores M(x), acotando sus valores e indicando sus signos en cada barra.

A B C 20 kN 4 m 5 m 30 kN 2 2 2,5 2,5 Solución:

a) Hallemos las reacciones en los apoyos R_Ax_{, R}_Ay y R_By.

A B C 20 kN _{4 m} 5 m RAy R_Ax R_By 30 kN

El pórtico es una estructura isostáticas donde tenemos 3 reacciones y 3 ecuaciones: Σ F_x_{= 0 ⇒ R}_Ax_{= 20 kN}

Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_Ay_{+ R}_By_{= 30 kN}

Σ M_A_{= 0 ⇒ R}_By_{5 = 20 kN 2m +30 kN 2,5 m = 115 kNm ⇒ R}_By_{= 23 kN} Resolviendo el sistema hallamos:

R_Ax= 20 kN; R_Ay_{=7 kN y R}_By_{= 23 kN}

b) Establezcamos el equilibrio en la barra BC

B C 30 kN MAB R_AB B C 30 kN 40 kNm ⇒ 23 kN 7 kN 23 kN Σ F_y_{= 0 ⇒ R}_AB= 30 - 23 = 7 kN Σ M_A_{= 0 ⇒ M}_AB = 30 2,5 -23 ⋅ 5 = - 40 kNm

c) Establezcamos el equilibrio en la barra AB

Por el principio de acción-reacción en el nudo B entre las barras AB y BC ⇒

(6)

M_AB = - M_BC = 40 kNm A B 20 kN 20 kN A B 40kNm 20 kN 7 kN M_BC R_BC ⇒ 7 kN 20 kN 7 kN

d) Hallemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x).

B V(x) A B M(x) B P(x) A A C C C 7 kN 20 kN 23 kN 7 kN 57,5 kNm 40 kNm 40 kN m Problema nº 30

Dado el pórtico de la figura sometido a una carga puntual P, hallar las reacciones.

A

B C

P Lv

L_c

Solución:

Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, ya que tenemos 3 ecuaciones de equilibrio ( Σ F_x = 0; Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 4 reacciones ( R_Ax_{; R}_Ay_{; M}_A_{y R}_Cy_). A B C RAy P Lv L_c MA RCy R_Ax A B C P Lv L_c MAI R_AxI = + A B C RAyII L_v L_c MAII RCy Caso I Caso II

(7)

a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio.

Σ F_x = 0 ⇒ R_Ax_{= P}

Σ F_y = 0 ⇒ R_Ay_{= - R}_Cy

Σ M_A = 0 ⇒ M_A_{= P L}_c - R_Cy L_v

b) Consideremos el caso hiperestático como la superposición de dos casos isostáticos.

Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a ambos casos, y hallemos la deformación en el punto C I) Caso I A B C P M(x) A B C P P P L_c V(x) P A C P B A B θB θBθB ν_CI L_v L_c

En el caso I la deformada en el punto C es ν_CI debida al giro del nudo B (θ_B) producida por la carga P

I.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por la carga P.

I E 2 L P _C2 B= ⇒θ

I.2) Hallemos la deformación en el punto C provocada por el giro θ_B

Al tratarse de un giro pequeño podemos asimilar el desplazamiento ν_CI como el arco de un ángulo θ_B_{y radio L}_v_⇒ I E 2 L L P L V 2 C V B CI =θ = ν II) Caso II A B _C M(x) A B C V(x) A C B A B θ_B θ_B θ_B ν_cIIa L_v L_c R_cy R_cy R_cy R L_cy _v R L_cy _v R_cy νcIIb ν cII R L cy v R_cy R L cy v

En el caso II la deformada en el punto C es ν_CII = ν_CIIa + ν_CIIb; donde:

ν_CIIa : Deformación debida al giro del nudo B (θ_B) producida por el momento M_BC_{= R}_cy L_v ν_CIIb : Deformación debida a la carga R_cy en el extremo de una barra en voladizo.

(8)

I E 3 L L 3 L R I E 3 L R I E L L R ₂ _C _V V Cy 3 V Cy C 2 V Cy b CII a CII CII + = + = + =ν ν ν

c) Apliquemos la ecuación de compatibilidad

La ecuación de compatibilidad es que el punto C no sufre desplazamiento alguno en dirección del eje OY

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ) L L 3 ( L 2 L P 3 R I E 3 L L 3 L R I E 2 L L P V C V 2 C Cy V C 2 V Cy V 2 C CII CI ν ν (Por equilibrio) ) L L 3 ( L 2 L P 3 R R 0 F V C V 2 C Cy Ay y = ⇒ =− =− ₊ ∑ ) L L 3 ( 2 L L P 2 L P 3 ) L L 3 ( 2 L P 3 L P L R L P M 0 M V C V C 2 C V C 2 C C V Cy C A A ₊ + = + − = − = ∑ = ⇒

d) Tracemos los diagramas de cortante V(x) y flector M(x).

Por el principio de superposición las gráficas de cortante y flector resultan de la suma de los casos I y II. A B P M(x) A B C V(x) C A C B δx punto inflexión ν(x) Problema nº 31

Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. La viga soporta una carga uniformemente distribuida. Hallar las reacciones, la condición necesaria para que la deformada de la viga presente puntos de inflexión y las gráficas del esfuerzo cortante V(x) y del momento flector M(x).

q(x) Lv a a Lc A B C D Solución:

Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 3 reacciones (R_A_{; R}_B_{y R}_C_).

(9)

q(x) Lv Lc A B C D Ra Rb Rc q(x) A B C D ν I ν II ν III

Σ F_y = 0 ⇒ R_A_{+ R}_B_{= q L}_v - R_C

Σ M_D = 0 ⇒ R_A_{= R}_B

b) Consideremos el caso hiperestático como la superposición de 3 casos isostáticos.

Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformación en el punto medio de la viga D.

q(x) A B D A B D R c _C R c D

Caso I Caso II Caso III

La ecuación de compatibilidad en el punto central de la viga D será:

III II I ν ν ν = + donde = = = ⇒ A E L R ; I E 48 L R ; 384 L q 5 _C _C III 3 V C II 4 V I ν ν ν

(

)

⇒ + = ⇒ + = C 3 V 4 C C C C 3 V C 4 V L I 48 L A 8 L I A E q 5 R A E L R I E 48 L R 384 L q 5 (Por equilibrio)

(

)

(

)

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + − = = C 3 V 4 C V C 3 V 4 C V B A L I 48 L A 16 L I A E 5 2 L q L I 48 L A 16 L I A E q 5 2 L q R R

c) Condición para que la deformada presente puntos de inflexión.

En el tramo AD las ecuaciones del cortante y del flector son: x R x 2 q ) x ( M y R x q ) x ( V_AD =− + _A _AD =− 2+ _A

La deformada de la viga tendrá 2 puntos de inflexión si la ecuación del flector presenta una raíz en el intervalo AD⇒

q R 2 q 0 R R x ; 0 x a 2 c a 4 b b x A 2 A A 2 = − − ± − = = ⇒ − ± − =

Observemos los siguientes puntos de esta expresión:

(

C

)

3 V 4 C V L I 48 L A 8 L I A E 5 L x + −

= . Observemos los siguientes puntos de esta expresión: a) El valor de x no depende de q sino de la geometría de la estructura

b) El término

(

)

0 L I 48 L A 16 L I A E 5 C 3 V 4 C _>

(10)

c) Al ser

[

V

]

A _x ₀ _x ₀_,_L q R 2 x= ⇒ > ⇒ ∈

Para que la deformada tenga puntos de inflexión, x deberá pertenecer al intervalo ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 L , 0 V

(

)

(

)

2 L L I 48 L A 8 L I A E 5 2 L L I 48 L A 8 L I A E 5 L q R 2 x V C 3 V 4 C V C 3 V 4 C V A _> + ⇒ < + − = = d) Gráficas de V(x) y M(x) q(x) Lv Lc A B C D RB R_c V(x) M(x) ν(x) R_A RC q(x) Lv Lc A B C D RB R_c V(x) M(x) ν(x) R_A RC Problema nº 32

La columna del pórtico de la figura, se encuentra sometida a un incremento de temperatura de valor Δt = 25 °C en su cara izquierda y de valor -25 °C en su cara derecha.

Datos: E = 20 106 kN/m2 ; α = 10-5; sección pilar = 0,3 x 0,3 m; sección viga = 0,3 x 0,4 m. Hallar las reacciones en las sustentaciones; el diagrama de momentos flectores acotando sus valores, y el dibujo de la deformada.

A B C 5 m 4m 0,4m 0,3m Viga 0,3m 0,3m Colum na -25°C 25°C Solución:

Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 3 reacciones ( R_A_{; M}_A_{y R}_C_).

(11)

A B C R_A 5 m 4m M_A R_C A B C = + A B C R_A M_A R_C Caso I Caso II 5 m 4m 5 m 4m -25°C 25°C 25°C -25°C

Σ Fy = 0 ⇒ RA = - RC Σ MA = 0 ⇒ MA = 5 RC

b) Consideremos el caso hiperestático como la superposición de dos casos isostáticos.

Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a ambos casos, y hallemos la deformación en el punto C I) Caso I A B _C A C B A B θ_B θ_Bθ_B ν_CI 4m -25°C 25°C -2 5 °C CURVATURA ν''(x)= α Δt h 5m 25 °C

En el caso I la deformada en el punto C es ν_CI debida al giro del nudo B (θ_B) producida por las diferencias de temperatura en las caras de la columna.

I.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por Δt. La diferencia de temperatura induce una curvatura k:

(

)

3 5 2 1 10 3 5 50 3 , 0 10 T T h ' ' k − − = = − = =ν α

Aplicando el 1º teorema de Mohr a la gráfica de la curvatura B C 10 3 3 20 L k = − = θ ⇒ I.2) Hallemos la deformación en el punto C provocada por el giro θ_B

Al tratarse de un giro pequeño podemos asimilar el desplazamiento ν_CI como el arco de un ángulo θ_B_{y radio L}_v 30 1 LV B CI=θ = ν ⇒

(12)

II) Caso II A B _C M(x) A B C V(x) A C B A B θ_B θ_B θ_B ν cIIa L_v L_c R_c R_c R_c R L_c _v R L_c _v R_c ν_cIIb_ν cII R L c v R L c v R_c

El momento de inercia de la viga 4 4

3 3 V 16 10 m 12 4 , 0 3 , 0 12 h b I = = ⋅ = ⋅ − .

El momento de inercia de la columna 4 4

3 3 C 10 m 4 27 12 3 , 0 3 , 0 12 h b I = = ⋅ = ⋅ − .

En el caso II la deformada en el punto C es ν_CII = ν_CIIa + ν_CIIb ; donde:

ν_CIIa : Deformación debida al giro del nudo B (θ_B) producida por el momento M_BC_{= R}_c L_v ν_CIIb : Deformación debida a la carga R_c en el extremo de una barra en voladizo.

Del problema anterior conocemos el valor de esta deformación = + = + = V 3 V C C C 2 V C CIIb CIIa CII I E 3 L R I E L L R ν ν ν [Sustituyendo] C 3 C 8,71 10 R R 34560 301 ₌ _⋅ − =

c) Apliquemos la ecuación de compatibilidad

La ecuación de compatibilidad es que el punto C no sufre desplazamiento alguno ⇒ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = kN 3,83 kN 301 1152 R R 34560 301 30 1 C C CII CI ν ν (Por equilibrio) ∑Fy=0⇒RA=−RC =−3,83 kN ∑ = ⇒ = kN.m= 19,14 kN.m 301 5760 M 0 MA A

d) Tracemos los diagramas de cortante V(x) y flector M(x).

El caso I no produce esfuerzos internos al tratarse de un caso isostático, por tanto, sólo el caso II provoca esfuerzos internos V(x) y M(x).

A B _C M(x) A B C V(x) 3,83 3,83 3,83 19 ,1 3,83 19,1 19,1 e) Trazado de la deformada

Al trazar la deformada tenemos que tener en cuenta que en la columna se presentan 2 curvaturas de signo contrario.

(13)

e.1) La producida por la diferencia térmica

(

)

5 3 3 2 1 10 1,66 10 3 5 50 3 , 0 10 T T h ' ' k − − − ⋅ = = = − = =ν α

e.2) La producida por el momento flector

3 C 10 42 , 1 22575 32 I E M ' ' k=ν =− =− = ⋅ −

Podemos observar que es mayor la curvatura provocada por la diferencia térmica, por tanto la deformada será: A B _C -25°C_{ν''(x)= α Δt} h 25°C A B _C ν''(x)= -M EI + A C B δx ν(x) = Problema nº 33

Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. La viga soporta un incremento de temperatura ΔT₁ en su cara superior y ΔT₂ en su cara inferior (ΔT₂ > ΔT₁). Hallar las reacciones y dibujar las gráficas del esfuerzo cortante V(x), el momento flector M(x), de la curvatura y de la deformada.

Lv a a Lc A B C D ΔT₁ ΔT₂ ΔT₁ ΔT₂ Solución:

Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 3 reacciones (R_A_{; R}_B_{y R}_C_). R_A R_B R_C Lv a a Lc A B C D ΔT₁ ΔT₂ ΔT₁ ΔT₂ A B C D ν_I ν_II ν_III

(14)

Σ M_D = 0 ⇒ R_A_{= R}_B

Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformación en el punto medio de la viga D.

A B D A B D R_c C R_c D + =

Caso I Caso II Caso III

ΔT₁ ΔT₂

b.1) Hallemos ν_I_{debido al incremento térmico en una viga apoyada-apoyada.}

A B ν'' D ΔT₁ ΔT₂ E BE = L v 4 D' νI

Sabemos que la curvatura

(

1 2

)

V T T h ' ' = α Δ −Δ

ν y dada la simetría del problema, la tangente D' E es horizontal y por tanto, aplicando el 2º teorema de Mohr al intervalo [D, B]:

BE = ν_I = Momento estático del área sombreada respecto al eje vertical en B =

(

)

(

1 2

)

V 2 V V V 2 1 V T T h 8 L 4 L 2 L T T h BE α Δ Δ _⎟⎟ =α Δ −Δ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = Al ser

(

1 2

)

V 2 V I 2 1 T T h 8 L , T T Δ ν α Δ Δ Δ < = −

b.2) Conocemos las deformaciones en los casos II y III

A E L R ; I E 48 L R C C III 3 V C II = ν = ν

b.3) Apliquemos la ecuación de compatibilidad en el punto central de la viga D. ⇒ ν + ν = ν_I _II _III

(

)

₍

₎

(

−

)

⇒ + = ⇒ + = − ₂ ₁ C 3 V V 2 V C C C 3 V C 1 2 V 2 V T T L I 48 L A h L I A E 6 R A E L R EI 48 L R T T h 8 L _Δ _Δ α _Δ _Δ α (Por equilibrio)

(

2 1

)

C 3 V V 2 V B A T T ) L I 48 L A ( h L I A E 3 R R α Δ −Δ + = = ⇒ c) Gráficas de V(x), M(x), ν''(x) y ν(x)

Los esfuerzos cortantes y flectores de la viga AB son debidos al caso II, ya que al ser el caso I isostático la variación térmica no genera esfuerzo.

(15)

Lv Lc A B C D R_B R_c V(x) M(x) RA R_C R A RB Lv Lc A B C D R_c ν(x) R A RB ν '' (x) ν '' (x) Esfuerzos Tem peratura + Problema nº 34

La viga AB de la figura se encuentra sometida en toda su longitud a un incremento de temperatura de valor Δt = -25 °C en su cara superior y de valor +25 °C en su cara inferior. En el punto central de esta viga se ancla el cable CD. Hallar

a) La fuerza R que debe aplicarse en el extremo C del cable para que este punto no sufra ningún desplazamiento vertical.

b) Las gráficas acotadas de cortantes y flectores en la viga AB c) Las gráficas de la curvatura y deformada de la viga AB Datos: Cable CD: E = 20 ⋅106 kN/m2 ; A = 10-4 m2 ; y viga AB: E = 20 ⋅106 kN/m2 ; I = 10-5 m4 ; α = 10-5 ; Canto= 15 cm 4 2 2 2 A B C D - 25° + 25° R - 25° + 25° Solución:

El punto C de esta estructura se comporta como si se tratase de una estructura ya que en dicho punto se genera una fuerza R_C_{y no se produce desplazamiento o giro alguno.} Por tanto el problema propuesto es equivalente a la figura siguiente, y son aplicables las ecuaciones del problema anterior,

(16)

RA RB R_C 2 A B C D -25° -25° +25° +25° 4 2 2 A B C D ν_I ν_II ν_III

Σ F_y = 0 ⇒ R_A_{+ R}_B_{= R}_C

Σ M_D = 0 ⇒ R_A_{= R}_B

b) Apliquemos la ecuación de compatibilidad en el punto central de la viga D.

ν_I_{= ν}_II_{+ ν}_III_⇒

(

)

(

)

150 1 25 25 15 , 0 8 4 10 T T h 8 L 5 2 1 2 V 2 V I _⋅ − − = ⋅ = − =α Δ Δ − ν 150 R I E 48 L R C 3 V C II = = ν y = = ⇒ 1000 R A E L RC C C III ν

(

)

(

−

)

= = ⇒ + = 0,869565 kN 23 20 T T L I 48 L A h L I A E 6 R 2 1 C 3 V V 2 V C Δ Δ α (Por equilibrio) kN 434782 , 0 46 20 R RA= B= = ⇒ c) Gráficas de V(x), M(x), ν''(x) y ν(x) A B C D 0,87 kN V(x) M(x) A B C D ν(x) ν '' (x) ν '' (x) Esfuerzos Tem peratura + 0,43 kN 0,43 kN -0,43 kN 0,43 kN 0,87 kNm 0,0087 m−1 0,0033 m−1 0,87 kN

(17)

Problema nº 35

Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. El cable CD soporta una disminución de temperatura ΔT . Hallar las reacciones.

Lv a a Lc A B C D ΔT Solución:

Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 3 reacciones (R_A_{; R}_B_{y R}_C_). RA RB R_C Lv a a Lc A B C D ΔT A B C D δ_Δt ν δ Rc

Σ F_y = 0 ⇒ R_A_{+ R}_B_{= R}_C

Σ M_D = 0 ⇒ R_A_{= R}_B

Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformación en el punto D. A B D Rc C Rc D =

Caso I Caso III

C D

Caso II

-ΔT

b.1) Caso I: Conocemos la flecha en el punto central del vano de una viga apoyada-poyado que soporta una carga puntual centrada

I E 48 L RC C3 I = ⇒ν

Caso II: Conocemos el acortamiento que sufre una barra sometida a una disminución de temperatura ΔT ⇒ δ_Δ_t= α ΔT L_C.

(18)

A E L RC C RC = δ

b.2) Apliquemos la ecuación de compatibilidad en el punto D ⇒ ν_I_{= δ}_Δt_{- δ}_Rc ⇒ ⇒ + = ⇒ − = C 3 V C C C C C 3 V C L I 48 L A L I A E T 48 R A E L R L T I E 48 L R _α_Δ αΔ (Por equilibrio) C 3 V C B A L I 48 L A L I A E T 24 R R + = = ⇒ αΔ

(19)

FLEXION. VIGAS CONTINUAS

Problema nº 36

Dada la viga continua de la figura se pide hallar las reacciones en las sustentaciones y trazar las gráficas de esfuerzo cortante V(x) y momento flector M(x). El vano AB presenta una rótula. 4 8 q= 4 Mp/m Rótula 1,5 2 10 Mp A B C Solución. a) Grado hiperestático

La estructura es hiperestática externa de grado 1, pero al presentar una rótula en el vano AB perdemos un grado hiperestático, y por tanto estamos ante una estructura isostática.

b) Cálculo de las reacciones

Ecuaciones estáticas

ΣFy = 0 ⇒ RA + RB + RC = 42 ΣMA = 0 ⇒ 4 RB + 12 RC + 20 = 256

Una rótula añade una ecuación más. La suma de momentos de cualquiera de las dos partes de en que la rótula divide a la estructura respecto al punto donde se halla la rótula es nulo. En este caso tomemos la parte izquierda.

ΣMRot Izq = 0 ⇒ 1,5 RA = 35 ⇒ RA = 70/3 = 23,33 Mp Resolviendo el sistema: ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + Mp 16 , 20 R Mp 50 , 1 R 236 R 12 R 4 3 56 R R C B C B C B

c) Dibujo de las gráficas.

En el trazado del momento flector debemos tener en cuenta que la rótula se caracteriza por presentar momento flector cero.

(20)

23,3 Mp 1 ,5 M p 10Mp 20,16Mp V(x) M(x) Rótula Pico Máximo Problema nº 37

Dada la viga continua de la figura hallar las reacciones y las gráficas V(x) y M(x)

8 kN 10 kN/m 10 kN/m 2 m 2 m 2 m 3 m 1 m 6 m A B C Solución:

a)Hallemos el momento M_b en el apoyo b,

Apliquemos la ecuación de los 3 momentos para hallar M_b, Conocemos M_a = 0 y Mc = 8 kNm M = 0 a Mb Mb M = -8c A = 0_b 20 kN.m A_a x_a B B C A En la gráfica de momentos

(

)

, y x 3 3 280 2 20 2 20 3 2 2 A A_a _a ⎟+ ⋅ = _a = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ = ⇒ Sustituyendo en la ecuación: ⇒ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ b b b b a a a a b b c b b a a b a a a L I x A 6 L I x A 6 I L M I L I L M 2 I L M

(

) ( )

kNm 14,22km 9 128 M 280 3 8 3 6 M 2 _b + + − ⋅ =− ⇒ _b=− =−

(21)

b)Hallemos las reacciones en los apoyos. 8 kNm 14,22 kNm R_a R_bI R_bII R_c 20 - 14 , 22 6 20 + 14 , 22 6 14,22 kNm 17,63 kNm 22,37 kNm 14,22 3 − 8 3 14,22 3 + 8 3 8 -2,07 kNm 5,92 kNm R_a= R_isostático 17,63kN 6 22 , 14 20 L M a b ₌ ₋ ₌ − R_bI_{= R}_isostático 22,37kN 6 22 , 14 20 L M a b ₌ ₊ ₌ + R_bII_{= R}_isostático 2,07 kN R R R 24,44 kN 3 8 3 22 , 14 0 L M L M bII bI b b c b b ₋ ₌ ₊ ₋ ₌ _⇒ ₌ ₊ ₌ + R_cI_{= R}_isostático 5,92 kN 3 8 3 22 , 14 8 L M L M b c b b ₊ ₌ ₋ ₊ ₌ −

c)Dibujemos las gráficas V(x), M(x) y ν(x)

8 kN 10 kN/m 10 kN/m A B C 2,37 kN 17,63 kN 22,37 kN 2,07 kN 5,92 kN 8 kN V(x) -8 kNm -14,22 kNm M(x) Punto inflexión _ν(x)

d) Comprobemos que el momento Mb es correcto

Vamos a comprobar que el giro a ambos lados del apoyo B es el mismo:

(

)

(

)

I E 22 , 18 a L 2 I E L 24 a q a L 2 I E L 24 a q I E 3 L M 2 a 2 2 2 a 2 a b 2 q 1 q Mb Bizq=−θ +θ +θ =− + − + − = θ I E 22 , 18 I E 6 L M I E 3 L M_b _b _c _b Mc Mb Bder =θ +θ = + = θ

(22)

Problema nº 38

Dada la viga continua de la figura hallar las reacciones y las gráficas V(x) y M(x)

20 kN/m A B C D 100 kN 8m 8m 10m 4m 4m Solución:

Esta viga continua es una estructura hiperestática de grado 2, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio (Σ F_y = 0; Σ M = 0) y 4 reacciones ( R_A_{; R}_B_{; R}_C_{y R}_D_).

a)Hallemos los momentos M_B_{y M}_C_{en los apoyos B y C.}

Sabemos que M_a_{= 0 y M}_d_{= 0.} A 100 kN B P L 4 = 200 kN M_B M_B B C M_C 20 kN/m C M_C D q L2 8 = 250 kNm x =4a x =5_C

a.1) Apliquemos la ecuación de los 3 momentos a los tramos AB y BC.

En la gráfica de momentos 4m;A 0 2 L x ; m 800 8 L P L 4 L P 2 1 A A a b 2 2 a AB⇒ = = = = = = Sustituyendo en la ecuación: ⇒ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ b b b b a a a a b b c b b a a b a a a L I x A 6 L I x A 6 I L M I L I L M 2 I L M

(

800 4

)

M M 300 I 8 6 I 8 M I 8 I 8 M 2 _b ⎟+ _c =− ⋅ ⇒ _b+ _c=− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

a.2) Apliquemos la ecuación de los 3 momentos a los tramos BC y CD.

En la gráfica de momentos 5m;A 0 2 L x ; m 3 5000 L 8 L q 3 2 A A c b 2 2 c AC⇒ = = = = = Sustituyendo en la ecuación: ⇒ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ c c c c b b b b c c d c c b b c b b b L I x A 6 L I x A 6 I L M I L I L M 2 I L M 5000 M 36 M 8 5 3 5000 I 10 6 I 10 I 8 M 2 I 8 Mb c ⎟⇒ b+ c=− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +

a.3) Resolviendo el sistema:

⎩ ⎨ ⎧ − = − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = + − = + kNm 4 , 129 M kNm 65 , 42 M 5000 M 36 M 8 300 M M 4 c b c b c b

(23)

b)Hallemos las reacciones en los apoyos. A 100 kN B B C 20 kN/m C D 42,7 kNm 129,4 kNm RA= 50 -42,7 8 44,7 kN 55,3 kN RBI= 50 +42,7 8 RBII= 42,7 8 129,4 8 -10,8 kN RCI= 42,7 8 129,4 8 -10,8 kN RCII= 100+ 129,4 10 112,9 kN RDI= 100-129,4 10 87,1 kN R = 44,5 kN_B R = 123,7 kN_C kN 7 , 44 8 7 , 42 50 L M R R a b isostática a = − = − = kN 3 , 55 8 7 , 42 50 L M kN 3 , 55 8 7 . 42 50 L M R R a b a b isostática bI = + = + = + = + = kN 5 , 44 R R R kN 8 , 10 8 4 , 129 8 7 , 42 0 L M L M R R _b _b_I _b_II b c b b isostática bI = + − = + − =− ⇒ = + = kN 8 , 10 8 4 , 129 8 7 , 42 0 L M L M R R b c b b isostática cI = − + = − + =− kN 7 , 123 R R R kN 9 , 112 8 4 , 129 100 L M R R _c _c_I _c_II c c isostática cI = + = + = ⇒ = + = kN 87 8 4 , 129 100 L M R R c c isostática dI = − = − =

c)Dibujemos las gráficas V(x), M(x) y ν(x)

20 kN/m A B C D 100 kN 44,7 kN -55,3 kN -10,8 kN -10,8 kN 112,9 kN 87 kN 200 kNm 42,7 kNm 129,4 kNm 189,16 kNm A B C D P unt o in fl ex ió n Pu n to in fl ex ió n

(24)

Problema nº 39

Dada la viga continua de la figura hallar a) el momento flector en el punto B aplicando el método de los 3 momentos; b) las reacciones en los apoyos; c) las gráficas de cortantes y flectores, acotando sus valores y direcciones y d) el momento positivo máximo en el primer vano. 5 kN 10 kN/m 3 m 1 m 6 m A B C 6 kN Solución:

a)Hallemos el momento M_b_{en el apoyo b,}

Apliquemos la ecuación de los 3 momentos para hallar M_b, Conocemos M_a = 0 y M_c_{= -5 kNm} M = 0_a M_b M_b M = - 5c Mmax= 45 kN.m A_a x_a C B B A 10 kN/m Mmax= 4,5 kN.m x_b 6 kN

En las gráficas de momentos

(

)

6,75, y x 1,5 2 3 5 , 4 A ; 3 x y , 180 6 45 3 2 Aa a b = b= ⋅ = = = ⋅ = ⇒ Sustituyendo en la ecuación: ⇒ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ b b b b a a a a b b c b b a a b a a a L I x A 6 L I x A 6 I L M I L I L M 2 I L M

(

)

M 30,2917kNm 3 5 , 1 75 , 6 6 6 3 180 6 3 5 3 6 M 2 _b + − ⋅ =− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ _b= −

b)Hallemos las reacciones en los apoyos.

5 kNm 30,29 kNm R_a R_bI R_bII R_c 30 - 30,29 6 30 + 6 30,29 kNm 24,95 kNm 35,04 kNm 30,29 3 − 5 3 30,29 3 + 5 3 5+3 -11,43 kNm -0,43 kNm 10 kN/m _{6 kN} 30,29 3 + R_a_{= R}_isostático 24,95kN 6 29 , 30 30 L M a b ₌ ₋ ₌ −

(25)

R_bI_{= R}_isostático 35,05kN 6 29 , 30 30 L M a b ₌ ₊ ₌ + R_bII_{= R}_isostático 11,43kN R R R 46,48kN 3 5 3 29 , 30 3 L M L M II b I b b b c b b ₋ ₌ ₊ ₋ ₌ _⇒ ₌ ₊ ₌ + R_cI_{= R}_isostático 0,43kN 3 5 3 29 , 30 3 5 L M L M b c b b ₊ ₌ ₊ ₋ ₊ ₌₋ −

c)Dibujemos las gráficas V(x), M(x).

5 kN 10 kN/m A B C 24,95 kN 35.04kN 11,43 kN 5 kNV(x) -5 kNm -30,29 kNm M(x) 6 kN 5,43 kN 31,12 kN

d) Hallemos el valor máximo del momento flector en el tramo AB V(x) = -10 x + 24,95 ⇒ Si V(x) = 0 ⇒ x = 2,49 m M(x) = -5 x2 + 24,95 x = (en x = 2,49) = 31,12 kNm