9
9
Óptica geométrica
Óptica geométrica
9.1
9.1
Indica las
Indica las características
características de la
de la imagen qu
imagen que observ
e observa una
a una persona
persona que se
que se está mirando
está mirando en un
en un espejo
espejo
plano.
plano.
La imagen es virtual y derecha. Virtual, porque se puede ver pero no se puede proyectar sobre una pantalla. La imagen es virtual y derecha. Virtual, porque se puede ver pero no se puede proyectar sobre una pantalla. Es derecha porque se encuentra en la
Es derecha porque se encuentra en la misma posición que el objeto.misma posición que el objeto.
9.2
9.2
Indica
Indica el sig
el signo de
no de todas
todas las
las magnitudes
magnitudes que e
que están
stán representadas
representadas en
en la im
la imagen su
agen superior.
perior.
La altura del objeto y > 0. La altura del objeto y > 0. La posición del objeto s < 0. La posición del objeto s < 0. La posición de la imagen s’ > 0. La posición de la imagen s’ > 0. La altura de la imagen y’ > 0. La altura de la imagen y’ > 0.
9.3
9.3
Calcula la
Calcula la posición de
posición de las focales
las focales objeto e
objeto e imagen de
imagen de un sistema
un sistema óptico formad
óptico formado por
o por una canica
una canica de
de
vidrio de índice de refracción n = 1,4 y radio R = 2 cm. Si la canica tiene una burbuja a 1 cm de su
vidrio de índice de refracción n = 1,4 y radio R = 2 cm. Si la canica tiene una burbuja a 1 cm de su
centro, ¿en qué posición la verá un
centro, ¿en qué posición la verá un observador?
observador?
Calculamos la posición de las focales: Calculamos la posición de las focales:
cm cm 7 7 m m 07 07 ,, 0 0 1 1 4 4 ,, 1 1 02 02 ,, 0 0 ·· 4 4 ,, 1 1 n n n n R R n n '' f f 1 1 2 2 2 2 == == − − = = − − = = ; ; 00,,0505mm 1 1 4 4 ,, 1 1 02 02 ,, 0 0 n n n n R R n n f f 1 1 2 2 1 1 ==−− − − − − = = − − − − = = Se calcula el valor de
Se calcula el valor des’ s’ a partir de laa partir de las s conocida. El valor de s = 0,01 m, el de R = 0,02 m, nconocida. El valor de s = 0,01 m, el de R = 0,02 m, n11= 1,4; n= 1,4; n22=1=1
mm mm 3 3 ,, 8 8 m m 0083 0083 ,, 0 0 '' s s 02 02 ,, 0 0 4 4 ,, 1 1 1 1 01 01 ,, 0 0 4 4 ,, 1 1 '' s s 1 1 ;; R R n n n n s s n n '' s s n n22 11 22 11 = = = = − − = = − − − − = = − −
9.4
9.4
Calcula la
Calcula la profundidad
profundidad real a
real a la que
la que se encuentra
se encuentra un pez
un pez que observam
que observamos a
os a 1 m
1 m de profund
de profundidad, en
idad, en el
el
agua n = 1,33. Recuerda que lo que vemos es la profundidad aparente.
agua n = 1,33. Recuerda que lo que vemos es la profundidad aparente.
Aplicamos la ecuación: Aplicamos la ecuación: m m 33 33 ,, 1 1 s s 33 33 ,, 1 1 1 1 s s 1 1 ;; n n n n s s '' s s real real d d profundida profundida aparente aparente d d profundida profundida 1 1 2 2 == == = = = =
9.5
9.5
Ante un
Ante un espejo cóncavo
espejo cóncavo de 80
de 80 cm de
cm de radio y
radio y a 2
a 2 m de
m de distancia se
distancia se coloca un
coloca un objeto de
objeto de 10 cm
10 cm de altura.
de altura.
Calcula la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño.
Calcula la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño.
La distancia focal es:
La distancia focal es: 00,,44mm 2 2 8 8 ,, 0 0 2 2 R R f f == == −− ==−−
Aplicando la ecuación de los espejos:
Aplicando la ecuación de los espejos: ss'' 00,,55 mm 4 4 ,, 0 0 1 1 2 2 1 1 '' s s 1 1 f f 1 1 s s 1 1 '' s s 1 1 − − = = − − = = − − + + = = + + Utilizando
Utilizando la la expresión expresión del del aumento aumento lateral: lateral: 00,,025025 mm 2 2 5 5 ,, 0 0 1 1 ,, 0 0 '' y y s s '' s s y y '' y y − − = = − − − − ⋅⋅ − − = = − − = = = = β β
9.6
9.6
Delante de
Delante de un espejo
un espejo plano y
plano y a 30 c
a 30 cm de é
m de él se c
l se coloca un o
oloca un objeto de
bjeto de 1 m
1 m de altura.
de altura. Calcula la
Calcula la distancia a
distancia a
la que se forma la imagen y su tamaño.
la que se forma la imagen y su tamaño.
Al tratarse de un espejo plano, la imagen es del mismo tamaño que el objeto y se sitúa en s’ = 30 cm (dado Al tratarse de un espejo plano, la imagen es del mismo tamaño que el objeto y se sitúa en s’ = 30 cm (dado que s = –30 cm).
9.7
9.7
Sin hacer
Sin hacer cálculos, ind
cálculos, indica las
ica las características de
características de la imagen
la imagen que se
que se formará e
formará en un
n un espejo de
espejo de 15 cm
15 cm de
de
radio, cuando el objeto está situado a 7 cm.
radio, cuando el objeto está situado a 7 cm.
Como el objeto se ha situado muy cerca del foco Como el objeto se ha situado muy cerca del foco
2 2 R R f
f == , la imagen del mismo se formara muy lejos (si, la imagen del mismo se formara muy lejos (si estuviera en el foco se formaría en el infinito).
estuviera en el foco se formaría en el infinito).
9.8
9.8
Calcula el
Calcula el número
número de imágen
de imágenes que
es que se forman
se forman cuando d
cuando dos espejos
os espejos planos f
planos forman un
orman un ángulo d
ángulo de 120º.
e 120º.
Encuentra de forma grafica su posición para
Encuentra de forma grafica su posición para una posición aleatoria de un objeto.
una posición aleatoria de un objeto.
Aplicando la fórmula que nos da el número de imágenes:
Aplicando la fórmula que nos da el número de imágenes: 11 33 11 22 ºº 120 120 ºº 360 360 1 1 ºº 360 360 n n −− == −− == −− == α α = = imágenesimágenes
La gráfica muestra la posición en que
La gráfica muestra la posición en que se verían las imágenes en los dos se verían las imágenes en los dos espejos.espejos. O O O’ O’22 O’ O’11
9.9
9.9
Calcula el
Calcula el valor de
valor de la distancia
la distancia focal de
focal de una lente
una lente biconvexa simé
biconvexa simétrica de
trica de radio R
radio R = 2
= 2 m y
m y n =
n = 1,5.
1,5.
Aplicamos la ecuación del constructor de lentes con R
Aplicamos la ecuación del constructor de lentes con R11> 0 y R> 0 y R22< 0.< 0.
(
(
)
)
(
(
))
00,,55 f f '' 22mm 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 5 5 ,, 1 1 '' f f 1 1 R R 1 1 R R 1 1 1 1 n n '' f f 1 1 2 2 1 1 = = = = − − − − − − = = − − − − = =9.10
9.10 Sin realizar ningún
Sin realizar ningún tipo de cálculos,
tipo de cálculos, indica las característi
indica las características de la imagen
cas de la imagen formada por un
formada por una lente
a lente
divergente cuando el objeto se sitúa muy lejos de la lente.
divergente cuando el objeto se sitúa muy lejos de la lente.
Las imágenes formadas por lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y menores que el origi Las imágenes formadas por lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y menores que el origi nal.nal.
9.11
9.11 ¿Cuál debe ser
¿Cuál debe ser la distancia f
la distancia focal de una
ocal de una lupa para
lupa para que su aum
que su aumento sea 2X
ento sea 2X (dos aumentos)
(dos aumentos)?
?
La expresión del aumento angular de una lupa es: La expresión del aumento angular de una lupa es:
dioptrías dioptrías 8 8 f f 1 1 P P m m 125 125 ,, 0 0 2 2 25 25 ,, 0 0 M M 25 25 ,, 0 0 f f f f 25 25 ,, 0 0 '' M M == ′′ = = = = = = = = ′′ ′′ = = θ θ θ θ = =
9.12
9.12 A partir del
A partir del trazado de rayos
trazado de rayos de los telescopios
de los telescopios de Newton y Cassegr
de Newton y Cassegrain, indica si las
ain, indica si las imágenes se
imágenes se
ven derechas o invertidas.
ven derechas o invertidas.
En los dos telescopios se cruzan los rayos, de
En los dos telescopios se cruzan los rayos, de modo que en ambos se ven modo que en ambos se ven las imágenes invertidas.las imágenes invertidas.
9.13
9.13 El punto próximo de
El punto próximo de un ojo hipermétrope es
un ojo hipermétrope está a 1 m. Indica las caracter
tá a 1 m. Indica las características de la lente que
ísticas de la lente que
corregirá este problema si se considera que
corregirá este problema si se considera que el punto próximo debe estar a
el punto próximo debe estar a 25 cm.
25 cm.
Calculamos el valor de la focal de la lente que hace que un objeto situado a 25 cm tenga su imagen a 1 m Calculamos el valor de la focal de la lente que hace que un objeto situado a 25 cm tenga su imagen a 1 m para que el ojo hipermétrope crea que lo está viendo en su posición.
para que el ojo hipermétrope crea que lo está viendo en su posición.
dioptrías dioptrías 3 3 P P m m 333 333 ,, 0 0 cm cm 3 3 ,, 33 33 '' f f '' f f 1 1 25 25 1 1 100 100 1 1 f f 1 1 s s 1 1 '' s s 1 1 = = = = = = = = − − − − − − = = − −
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
DIÓPTRICO ESFÉRICO
DIÓPTRICO ESFÉRICO
9.14 Una moneda de plata está en el fondo de una piscina de 4 m de profundidad. Un haz de luz reflejado en
la moneda emerge de la piscina formando un ángulo de 20º respecto a la superficie del agua y entra en
el ojo de un observador. Dibuja el esquema de rayos. Calcula la profundidad a la que el observador ve
la moneda. Compara esta altura con la que se apreciaría si el observador se situara en la vertical de la
moneda.
9.14 Una moneda de plata está en el fondo de una piscina de 4 m de profundidad. Un haz de luz reflejado en
la moneda emerge de la piscina formando un ángulo de 20º respecto a la superficie del agua y entra en
el ojo de un observador. Dibuja el esquema de rayos. Calcula la profundidad a la que el observador ve
la moneda. Compara esta altura con la que se apreciaría si el observador se situara en la vertical de la
moneda.
Aplicando la ley de la reflexión de Snell: Aplicando la ley de la reflexión de Snell:
º 29 , 46 3 , 1 º 70 sen sen arc 3 , 1 º 70 sen sen º 70 sen 1 sen 3 , 1 = = α = α = α
Del triánguloOAP calculamos la distanciaAP .
m 18 , 4 º 29 , 46 tg · 4 tg 4 AP 4 AP tgα= = α= =
En el triángulo superior OBP’ , se conoceOB =AP , luego se puede calcular la distanciaBP’ .
m 52 , 1 º 20 tg · 18 , 4 º 20 tg OB ' BP OB ' BP º 20 tg = = = =
Si se observa desde la vertical, se pueden considerar los rayos paraxiales. Aplicando la ecuación del dioptrio plano: m 08 , 3 4 · 3 , 1 1 ' s s n n ' s n n s ' s 1 2 1 2 = = = = 70º 20º 20º B A P n2= 1,3 0 α P’ 4,18 m 4 m
9.15 En una pecera esférica de 35 cm de radio y llena de agua con índice de refracción n = 1,33, se
encuentra un pez situado exactamente en el centro de la misma. Calcula la posición en que se
observará el pez desde el exterior, si el índice de refracción del aire es n = 1.
Los datos que tenemos son: s = 35 cm, n1= 1,33; n2= 1; R = 35 cm
Sustituimos en la ecuación del dioptrio.
cm 35 ' s 35 1 35 33 , 0 35 33 , 1 ' s 1 35 33 , 1 1 35 33 , 1 ' s 1 R n n s n ' s n2 − 1 = 2− 1 − = − = − = =
9.16 Un dioptrio esférico cóncavo tiene un índice de refracción de n = 1,5 y un radio de 40 cm. Delante del
dioptrio a una distancia de 80 cm, se sitúa un objeto de 3 cm de altura. Calcula la posición y el tamaño
de la imagen.
Al ser cóncavo, el radio es negativo.
Los datos que tenemos son: s = –80 cm, n1= 1; n2= 1,5 ; R = –40 cm
Sustituimos en la ecuación del dioptrio.
cm 60 ' s 60 1 80 1 40 5 , 0 5 , 1 1 ' s 1 40 1 5 , 1 80 1 ' s 5 , 1 R n n s n ' s n2 1 2 1 − = − = − − = − − = − − − = −
El aumento lateral del dioptrio se obtiene mediante la expresión:
(
)
(
)
23 1,5cm 1 y 2 1 ' y 2 1 80 · 5 , 1 60 · 1 s n ' s n y ' y 2 1 = = = = − − = = = β9.17 Una varilla larga de vidrio se encuentra sumergida en un líquido de índice de refracción
desconocido. La varilla tiene un índice de refracción n = 1,66 y termina en una superficie esférica
convexa de radio 5 cm. En su interior, hay una burbuja situada sobre el eje de la varilla a 50 cm del
extremo. Su imagen se forma en el interior de la varilla a una distancia de 80 cm del extremo. Calcula
el índice de refracción del líquido.
A partir del enunciado, los datos del problema son: s = 50 cm; n1= 1,66; s’ = 80 cm; R = 5 cm.
Sustituyendo en la ecuación del dioptrio esférico:
59 , 1 n 50 6 , 16 66 , 1 80 16 80 1 n 5 66 , 1 50 66 , 1 5 n 80 n 5 66 , 1 n 50 66 , 1 80 n R n n s n ' s n 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 = − = − − = − − = − − = − R = 5 cm n2= ? n1= 1,66 50 cm
9.18 Un cilindro de vidrio termina en dos semiesferas convexas de radio 10 cm e índice de refracción
n = 1,5. Fuera de la varilla y sobre el eje de la misma se sitúa un objeto a 30 cm de la superficie
esférica. Sabiendo que su imagen se forma a 10 cm del extremo opuesto de la varilla, indica la
longitud de dicha varilla.
A partir del enunciado, los datos del problema son: s = –30 cm; n1 = 1; n2= 1,5; R = 10 cm.
Sustituyendo en la ecuación del dioptrio esférico:
cm 90 ' s 90 1 30 1 20 1 5 , 1 1 ' s 1 10 1 5 , 1 30 1 ' s 5 , 1 R n n s n ' s n2 1 2 1 = = − = − = − − − = −
Como el enunciado dice que la imagen se forma a 10 cm del extremo opuesto de la varilla, la longitud de esta será 1 m.
ESPEJOS
9.19 Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura
R. Dibuja los diagramas de rayos necesarios
para localizar la imagen de un objeto pequeño en forma de flecha situado sobre el eje del espejo a
una distancia
ddel extremo del espejo en los casos siguientes:
a) d = 2R
b) d =
3
R
Indica en cada caso si la imagen es virtual o real, derecha o invertida y reducida o ampliada.
a) Diagrama de rayos: b) Diagrama de rayos:
F R C y y’ 2R F R C y y’
9.20 Discute físicamente, ayudándote de un diagrama de rayos, si la siguiente afirmación es verdadera o
falsa: “Un espejo cóncavo no puede producir una imagen virtual, derecha y mayor de un objeto”.
9.20 Discute físicamente, ayudándote de un diagrama de rayos, si la siguiente afirmación es verdadera o
falsa: “Un espejo cóncavo no puede producir una imagen virtual, derecha y mayor de un objeto”.
La afirmación es falsa; cuando un mismo objeto se va acercando al espejo, su imagen pasa de ser invertida, real y menor a invertida, real y mayor, y cuando el objeto se acerca tanto que se sitúa entre el foco y el espejo la imagen que se f orma es derecha, virtual y mayor, como se puede observar en el esquema de rayos.
La afirmación es falsa; cuando un mismo objeto se va acercando al espejo, su imagen pasa de ser invertida, real y menor a invertida, real y mayor, y cuando el objeto se acerca tanto que se sitúa entre el foco y el espejo la imagen que se f orma es derecha, virtual y mayor, como se puede observar en el esquema de rayos.
F C 1 2 3 2’ 3’ 1’
9.21 Un objeto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es de 10 cm. Utiliza el diagrama
de rayos para encontrar su imagen, indicando si es real o virtual, derecha o invertida.
9.21 Un objeto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es de 10 cm. Utiliza el diagrama
de rayos para encontrar su imagen, indicando si es real o virtual, derecha o invertida.
En un espejo convexo, la imagen siempre es derecha, menor y virtual, con independencia de cuál sea la posición del objeto respecto del espejo.
En un espejo convexo, la imagen siempre es derecha, menor y virtual, con independencia de cuál sea la posición del objeto respecto del espejo.
F y
R = 10 cm
10 cm
C
9.22 Considera un espejo esférico cóncavo de 1 m de radio. Para este espejo determina:
9.22 Considera un espejo esférico cóncavo de 1 m de radio. Para este espejo determina:
a) Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su
imagen sea derecha.
a) Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su
imagen sea derecha.
b) Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su
imagen sea real.
b) Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su
imagen sea real.
c) La posición del objeto si su imagen es real y el aumento lateral vale –1.
c) La posición del objeto si su imagen es real y el aumento lateral vale –1.
Realizamos un dibujo de las imágenes que se obtienen en cada una de las posiciones en que podemos colocar el objeto.
Realizamos un dibujo de las imágenes que se obtienen en cada una de las posiciones en que podemos colocar el objeto. F C 1 2 3 2’ 3’ 1’
a) La única posibilidad de que la imagen sea derecha es que el objeto se coloque entre el foco y el espejo. b) Las imágenes son reales (invertidas) si se colocan los objetos en cualquier punto del eje entre el foco e
infinito.
c) Utilizando la expresión del aumento en función de la posiciones tenemos:
1 s
' s A=− =−
Multiplicando por s’ a ambos lados de la ecuación de los espejos, se tiene:
f ' s s ' s ' s ' s ' s · f 1 ' s · s 1 ' s 1 f 1 s 1 ' s 1 = + = + = +
Comparando ambas expresiones: s' 2f R
f ' s 2 f ' s A 1− = = = =
Cuando el objeto se coloca en el centro del espejo, su aumento es –1.
9.23 Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 60 cm. A 100 cm por delante del espejo
colocamos un objeto de 10 cm de altura.
a) Calcula la posición de la imagen de este objeto. Di si la imagen es real o virtual.
b) Calcula la altura de la imagen y di si esta es derecha o invertida.
c) Haz un diagrama de rayos que represente la situación descrita en el que también aparezca la
imagen.
a) Como el radio es R =
−
60 cm, el foco del espejo está en: 0,3m 2R f = =−
Aplicamos la ecuación de los espejos:
( ) (
)
(
0,3)
0,43m 1 3 , 0 · 1 f s f · s s f · s f s ' s 1 ; f 1 s 1 ' s 1 − = − − − − − = − = ′ − = = +La imagen se forma 43 cm a la izquierda del espejo, luego es una imagen real. b) Calculamos el aumento a partir de las distanciass ys’ .
m 043 , 0 1 , 0 · 43 , 0 ' y 43 , 0 y ' y A 43 , 0 1 43 , 0 s ' s A − = − = − = = − = − − − = − =
La altura de la imagen es 4,3 cm y, al ser negativo el aumento, está invertida. c) Diagrama de rayos. F C y 100 cm 60 cm
9.24 Un espejo esférico y cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,5 m. Determina analítica y gráficamente
la posición y el aumento de la imagen de un objeto de 5 cm de altura situado en dos posiciones
diferentes:
9.24 Un espejo esférico y cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,5 m. Determina analítica y gráficamente
la posición y el aumento de la imagen de un objeto de 5 cm de altura situado en dos posiciones
diferentes:
a) a 1 m del espejo.
a) a 1 m del espejo.
b) a 0,30 m del espejo.
b) a 0,30 m del espejo.
La focal de los espejos es la mitad del valor del radio de curvatura, f = –0,25 m La focal de los espejos es la mitad del valor del radio de curvatura, f = –0,25 m Aplicamos la ecuación de los espejos a cada una de las distancias dadas: Aplicamos la ecuación de los espejos a cada una de las distancias dadas: a) s1=
−
1 m a) s1=−
1 m m 33 , 0 s 3 s 1 25 , 0 1 1 1 s 1 f 1 s 1 s 1 ' 1 ' 1 ' 1 1 ' 1 − = − = − = − + = + b) s2=−
0,30 m m 5 , 1 s 667 , 0 s 1 25 , 0 1 30 , 0 1 s 1 f 1 s 1 s 1 ' 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 − = − = − = − + = + 2’ F 2 1’ C 19.25 En unos almacenes se utilizan espejos convexos, para conseguir un amplio margen de observación y
vigilancia con un espejo de tamaño razonable. Uno de los espejos permite a la dependienta, situada a
5 m del mismo, inspeccionar el local entero. Tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente está a
10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? ¿Está detrás o delante
del espejo? Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen?
En los espejos convexos, las imágenes siempre son derechas, menores y virtuales. Hacemos un trazado de rayos de la imagen del cliente. El foco está situado a 0,6 m.
Aplicamos las ecuaciones de los espejos:
m 57 , 0 6 , 10 6 ' s 6 6 , 10 10 1 6 , 0 1 ' s 1 f 1 s 1 ' s 1 = = = + = = +
A partir del aumento, calculamos la altura del objeto:
m 114 , 0 10 57 , 0 · 2 s ' s y ' y s ' s y ' y A = − − = − = − = =
La imagen se sitúa a 0,57 m por detrás del espejo y tiene una altura de 11,4 cm. C y’ y
R 2
9.26 Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño 1 cm sobre la
pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3 cm. Sabiendo que la pantalla ha
de estar colocada a 2 m del objeto, calcula:
a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción geométrica.
b) El radio del espejo y la distancia focal.
a) Como la pantalla ha de estar colocada a dos metros del objeto:
s 3 ' s 3 s ' s A m 2 s ' s − = − =− = − = m 3 ' s ; m 1 s m 2 s s 3 − =− =− =− C F
b) Conocidos todos los datos, se aplica la ecuación de los espejos:
m 75 , 0 4 3 f 3 4 3 1 1 f 1 ' s 1 s 1 f 1 − = − = − = − − = + =
El radio del espejo es el doble de la distancia focal: R = –1,5 m
9.27 Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de distancia focal, y a 25 cm de él, se encuentra un objeto de
1 cm de altura dispuesto perpendicularmente al eje del espejo. Calcula la posición y el tamaño de la
imagen.
Aplicamos la ecuación de los espejos y escribimos todos los datos en cm:
f 1 ' s 1 s 1 = + cm 50 ' s 50 1 50 2 50 1 25 1 50 1 ' s 1 50 1 ' s 1 25 1 = = + − = + − = − = + −
Como el valor de s’ es positivo, la imagen que se forma está situada a la derecha del espejo, luego será virtual. Lo vemos mejor con un gráfico.
cm 2 1 · 2 y A ' y y ' y A 2 25 50 s ' s A = = = = = − − = − =
9.28 ¿Puede formarse una imagen virtual con un espejo cóncavo? Razona la respuesta utilizando las
construcciones gráficas que consideres oportunas.
Sí, cuando el objeto se sitúa ente el foco y el espejo. Dibujamos las tres posiciones del objeto para ver los lugares donde salen las imágenes.
La imagen del objeto 3 es virtual.
F C 1 2 3 2’ 3’ 1’
9.29 ¿Se está mirando la Venus de Velázquez a sí misma en el espejo? Razona la respuesta.
9.29 ¿Se está mirando la Venus de Velázquez a sí misma en el espejo? Razona la respuesta.
En la posición que se encuentra el espejo, los rayos que parten del rostro de la Venus llegan hasta la posición en la que nos encontramos nosotros, situados detrás de sus caderas. Por tanto, la Venus no puede verse a sí misma el rostro.
En la posición que se encuentra el espejo, los rayos que parten del rostro de la Venus llegan hasta la posición en la que nos encontramos nosotros, situados detrás de sus caderas. Por tanto, la Venus no puede verse a sí misma el rostro.
Si el espejo estuviese colocado para que la Venus se viese a sí misma, nosotros no podríamos ver su cara, sino la parte de la habitación que está a la derecha de su cabeza.
Si el espejo estuviese colocado para que la Venus se viese a sí misma, nosotros no podríamos ver su cara, sino la parte de la habitación que está a la derecha de su cabeza.
El fundamento se encuentra en las leyes de la reflexión. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal a la superficie es igual que el que forma el rayo reflejado.
El fundamento se encuentra en las leyes de la reflexión. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal a la superficie es igual que el que forma el rayo reflejado.
LENTES Y SISTEMAS DE LENTES
LENTES Y SISTEMAS DE LENTES
9.30 Obtén gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada convergente
igual a dos veces su distancia focal. Indica las características de la imagen obtenida.
9.30 Obtén gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada convergente
igual a dos veces su distancia focal. Indica las características de la imagen obtenida.
Hacemos el trazado de rayos: Hacemos el trazado de rayos:
s ' f 2 ' s ' f 2 1 ' f 2 1 ' f 1 ' s 1 s 1 ' f 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = = = − + = + = = − y s s y ' y s ' s y ' y s ' s y ' y − = − = ⋅ = =
La imagen es real, invertida y del mismo tamaño.
F F’
s
s’
y
9.31 Una lupa se emplea para poder observar con detalle objetos de pequeño tamaño.
a) Explica el funcionamiento óptico de una lupa: ¿qué tipo de lente es? ¿Dónde debe situarse el
objeto? Su imagen, ¿es real o virtual?, ¿derecha o invertida?
b) Dibuja un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de imagen de una
lupa.
a) La función de las lupas es aumentar el tamaño de objetos cercanos que se observan a través de ellas. Para ello, se utilizan lentes convergentes, ya que son las únicas que pueden aumentar de tamaño la imagen de los objetos.
Para que una lente convergente aumente el tamaño de un objeto, este debe situarse entre el foco y la lente. De este modo, la imagen que se forma es derecha y virtual.
b) Realizamos un trazado de rayos que aclare y justifique lo dicho.
y y’
F F’
9.32 La lente delgada convergente de la figura tiene una focal imagen f’ = 40 cm.
a) Calcula la posición y el tamaño de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la
figura,
O 1y
O 2, ambos de altura y = 2 cm.
b) Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos.
30 cm 60 cm
F’ F
O1 O2
a) Aplicamos la ecuación de las lentes y la del aumento lateral a ambas lentes:
s 1 ' f 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 + = = − cm 120 s 120 1 1200 40 30 30 1 40 1 s 1 2 2 O O − = − = − + − = − + = cm 120 s 120 1 2400 40 60 60 1 40 1 s 1 1 1 O O = = − + − = − + = s ' s y ' y s ' s y ' y ⋅ = = 8cm; 30 120 2 s s y y 2 2 2 2 = − − ⋅ = ′ ⋅ = ′ 4cm 60 120 2 s s y y 1 1 1 1 = − − ⋅ = ′ ⋅ = ′ b) Trazado de rayos: y1 y2 1 y’ 2 y’ F O1 O2 F’
9.33 Realiza un trazado de rayos que te permita elegir la respuesta correcta. En las lentes divergentes, la
imagen siempre es:
9.33 Realiza un trazado de rayos que te permita elegir la respuesta correcta. En las lentes divergentes, la
imagen siempre es:
a) Derecha, mayor y real.
a) Derecha, mayor y real.
b) Derecha, menor y virtual.
b) Derecha, menor y virtual.
c) Derecha, menor y real.
c) Derecha, menor y real.
La imagen de una lente divergente siempre es virtual, derecha y de menor tamaño con independencia del lugar en que se coloque el objeto, luego la respuesta correcta es la b). Para su comprobación, realizamos la construcción geométrica.
La imagen de una lente divergente siempre es virtual, derecha y de menor tamaño con independencia del lugar en que se coloque el objeto, luego la respuesta correcta es la b). Para su comprobación, realizamos la construcción geométrica. F F’ 1 2’ 1’ 2
9.34 Una lente delgada convergente se quiere utilizar para obtener una imagen de un objeto que sea más
grande que su tamaño real. Usa el diagrama de rayos para indicar dónde se debería colocar el objeto
respecto a la lente para conseguir lo anterior en los casos:
9.34 Una lente delgada convergente se quiere utilizar para obtener una imagen de un objeto que sea más
grande que su tamaño real. Usa el diagrama de rayos para indicar dónde se debería colocar el objeto
respecto a la lente para conseguir lo anterior en los casos:
a) La imagen ha de estar derecha.
a) La imagen ha de estar derecha.
b) La imagen ha de estar invertida.
b) La imagen ha de estar invertida.
a) Si el objeto está a la derecha del foco objeto, su imagen será derecha y más grande (B en la figura). a) Si el objeto está a la derecha del foco objeto, su imagen será derecha y más grande (B en la figura). b) Si el objeto está a la izquierda del foco objeto y en una posición tal que f’ <
│
s│
< 2f’, su imagen estaráinvertida y más grande (Aen la figura)
b) Si el objeto está a la izquierda del foco objeto y en una posición tal que f’ <
│
s│
< 2f’, su imagen estará invertida y más grande (Aen la figura)F A’
A
B
F’ B’
9.35 Situamos un objeto de 2,0 cm de altura a 15 cm de una lente de 5 dioptrías.
a) Realiza el trazado de rayos.
b) Calcula la posición de la imagen.
c) ¿Cuál es el aumento?
a) A partir de la potencia, conocemos la distancia focal de la lente: 0,2m 20 cm 5 1 P 1 f ′= = = = F y F’ y’
b) Aplicamos la ecuación de las lentes:
cm 60 m 6 , 0 ' s 15 , 0 1 2 , 0 1 ' s 1 15 , 0 1 ' s 1 2 , 0 1 s 1 ' s 1 ' f 1 − = − = − = − − = − =
c) El aumento lo calculamos como: 4
15 , 0 6 , 0 s ' s y ' y = − − = = = β
9.36 Una lente divergente se emplea para formar la imagen virtual de un objeto real. El objeto se coloca a
80 cm a la izquierda de la lente, y la imagen se localiza a 40 cm a la izquierda de la lente.
a) Determina la distancia focal de la lente.
b) Si el objeto tiene un tamaño de 3 cm, ¿qué tamaño tendrá la imagen?
a) Sustituyendo en la ecuación de las lentes delgadas:
cm 80 ' f ' f 1 80 1 ' f 1 80 1 80 2 ' f 1 80 1 40 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = = − = + − = − − − = −
La focalf’ está situada a la izquierda de la lente (por ser negativa) y a 80 cm de esta. b) El aumento lateral es.
5 , 0 80 40 s s = − − = ′ = β
El tamaño de la imagen es: y' ·y 0,5·3 1,5cm y ' y = = β = = β
9.37 Dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente para obtener una imagen virtual y derecha:
a) Si la lente es convergente.
b) Si la lente es divergente.
Realiza en ambos casos las construcciones geométricas e indica si la imagen es mayor o menor que
el objeto.
a) Se obtiene una imagen virtual y derecha con una lente convergente cuando el objeto se sitúa entre el foco y la lente.
F F’
y’
y
b) Se obtiene una imagen virtual y derecha con una lente divergente siempre. Lo comprobamos colocando el objeto entre el foco y la lente, y colocándolo en otra posición muy alejada de la lente.
F F’
x y
x’ y’
9.38 Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcula la posición y el aumento de la
imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a 50 cm y a 15 cm.
9.38 Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcula la posición y el aumento de la
imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a 50 cm y a 15 cm.
Realiza el trazado de rayos en ambos casos.
Realiza el trazado de rayos en ambos casos.
Aplicamos en cada caso la ecuación del las l entes delgadas. Aplicamos en cada caso la ecuación del las l entes delgadas.
' f s ' sf ' s ' sf ' f s ' s 1 s 1 ' f 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 + = + = + = = − ; s ' s A= Cuando s = –50 cm: 33,3cm 30 1000 20 50 20 · 50 ' s = − − = + − − =
Se sitúa 33,3 cm a la derecha de la lente.
67 , 0 50 3 , 33 − = − = β Cuando s = –15 cm: 60cm 5 300 20 15 20 · 15 ' s = − =− + − − =
Se sitúa 60 cm a la izquierda de la lente.
4 15 60 = − − = β F F’ S1 S2 2 S’ 1 S’
9.39 La potencia de una lente es de 5 dioptrías.
a) Si a 10 cm a su izquierda se coloca un objeto de 2 mm de altura, halla la posición y el tamaño de la
imagen.
b) Si dicha lente es de vidrio (n = 1,5) y una de sus caras tiene un radio de curvatura de 10 cm, ¿cuál
es el radio de curvatura de la otra? ¿De qué tipo de lente se trata?
a) Aplicando la ecuación de las lentes delgadas: s 0,2m
1 , 0 1 ' s 1 5 s 1 ' s 1 ' f 1 − = ′ − − = − =
La imagen se obtiene 20 cm a la izquierda de la lente.
Para calcular el aumento, hay que conocer previamente el valor del aumento lateral.
mm 4 y 2 ' y 2 y ' y 2 1 , 0 2 , 0 s ' s = = = = β = − − = = β
b) Para que la potencia sea positiva, la lente debe ser biconvexa, plano convexa o un menisco convergente. En los tres casos, el valor de R1> 0, de modo que lo aplicamos a la ecuación del fabricante de lentes.
(
)
− − = 2 1 v R 1 R 1 1 n P ; el paréntesis − 2 1 R 1 R 1tiene que valer: 10
R 1 R 1 R 1 R 1 · 5 , 0 5 2 1 2 1 = − − = Sustituyendo R1= 0,1 se obtiene: − = − = − = 2 =∞ 2 2 R 0 1 , 0 1 10 R 1 10 R 1 1 , 0 1
9.40 Un objeto de 1 cm de altura se sitúa a 15 cm delante de una lente convergente de 10 cm de distancia
focal.
a) Determina la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada, efectuando su
construcción geométrica.
b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una segunda lente convergente de 20 cm
de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito?
a) Se trazan dos rayos para encontrar la imagen. El que pasa por el foco sale paralelo al eje óptico. El que entra paralelo al sistema sale por el foco imagen.
La posición de la imagen es: s 30cm
150 5 10 1 15 1 s 1 f 1 s 1 s 1 ' 1 ' 1 ' 1 1 ' 1 = = + − = = −
El aumento lateral vale: y 2y y 2cm
15 30 y 2 s s y y ' 1 1 1 ' 1 1 ' 1 1 ' 1 =− =− − = − = = = β
La imagen es real, invertida y de mayor tamaño que la real. F’ F
y
y’
b) Para que la imagen se forme en el infinito, el foco objeto de la segunda lente debe coincidir con la posición en la que se forma la imagen debida a la primera lente; por tanto:
Distancia de separación de las lentes = s’ (1º lente) + f (segunda lente) = 50 cm
9.41 El objetivo de una cierta cámara de fotos de foco fijo, de 35 mm de distancia focal, consiste en una
lente biconvexa con radios de curvatura de 3 y 5 cm.
a) ¿Cuál es la potencia de la lente? ¿Es convergente o divergente?
b) Calcula el índice de refracción de la lente.
c) Determina la distancia necesaria entre la lente y la película fotográfica para formar la imagen
enfocada de un objeto situado a 1 m de distancia, y obtén el aumento lateral para dicho objeto.
a) La potencia es el inverso de la distancia focal cuando esta viene expresada en metros.
57 , 28 035 , 0 1 ' f 1 P = = = dioptrías
Como la distanciaf’ es positiva, se trata de una lente convergente.
b) En una lente biconvexa se considera que r 1> 0 y r 2< 0. La potencia viene dada por la expresión:
(
)
0,54 05 , 0 1 03 , 0 1 57 , 28 1 n r 1 r 1 P 1 n r 1 r 1 1 n P 2 1 2 1 = − − = − − = − − − = ;n = 1 + 0,54 = 1,54c) Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:
mm 36 m 036 , 0 ' s 57 , 27 035 , 0 965 , 0 ' s 1 1 035 , 0 1 ' s 1 s 1 ' f 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 = = = = − = + = = − El aumento: 0,036 1 036 , 0 s ' s − = − = = β
9.42 Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal, están separadas 35 cm. Un
objeto está 20 cm a la izquierda de la primera lente.
9.42 Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal, están separadas 35 cm. Un
objeto está 20 cm a la izquierda de la primera lente.
a) Halla la posición de la imagen final utilizando un diagrama de rayos y la ecuación de las lentes
delgadas.
a) Halla la posición de la imagen final utilizando un diagrama de rayos y la ecuación de las lentes
delgadas.
b) ¿La imagen es real o virtual?, ¿derecha o invertida?
b) ¿La imagen es real o virtual?, ¿derecha o invertida?
c) ¿Cuál es la amplificación lateral total de la imagen?
c) ¿Cuál es la amplificación lateral total de la imagen?
a) Hacemos el trazado de rayos: a) Hacemos el trazado de rayos:
Aplicando la ecuación de las lentes a la primera lente: Aplicando la ecuación de las lentes a la primera lente:
+ = = − s 1 ' f 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 cm 20 ' s 20 1 200 10 20 20 1 10 1 ' s 1 = = − + − = − + = A la segunda lente: s'' 30cm 150 5 150 10 15 15 1 10 1 ' s 1 ' f 1 ' ' s 1 = = − + − = − + = + =
La imagen se forma 30 cm a la derecha de la segunda lente.
1 F’ F’2 1 F F 2 y y’ y’’
b) A la vista del trazado de rayos, se puede comprobar que la imagen final es real y derecha.
c) Calculamos la amplificación de la lente: y s ' s ' y s ' s y ' y = =
Amplificación de la primera lente: y y
20 20 ' y y s ' s ' y = − − = =
Calculamos la de la segunda lente: y' 2y' 2y 15 30 y y ' s s y =− = − = ′′ ′ ′′ = ′′
La imagen final tiene un tamaño doble que el objeto.
9.43 Dado un sistema de lentes, formado por dos lentes convergentes idénticas de distancia focal f = 10 cm
y separadas por una distancia de 40 cm según el eje
x, si colocamos un objeto de 10 cm de altura a
20 cm de una de ellas:
a) Calcula el tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes.
b) ¿Qué ocurriría si la separación de las lentes fuese mayor?
a) El sistema de lentes es el siguiente:
En el trazado de rayos, podemos apreciar que la imagen obtenida es real, derecha e igual que el objeto. Lo comprobamos analíticamente aplicando la ecuación de las lentes.
m 2 , 0 ' s 1 , 0 1 2 , 0 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 = + − = =
− El aumento de tamaño es: 1
2 , 0 2 , 0 s ' s − = − = = β
Si aplicamos estas ecuaciones a la segunda lente, nos vuelven a salir otros 20 cm y aumento –1, de modo que el producto de los aumentos hace que la imagen final sea igual que la original.
F’ F’
F F
y
y’
y’’
b) Si la distancia entre las lentes fuese mayor, el tamaño de la imagen final sería menor que el objeto original.
9.44 La lente de un cierto proyector es simétrica, está hecha de un vidrio de 1,42 de índice de refracción y
tiene una distancia focal de 25 cm.
a) Calcula la velocidad de la luz dentro de la lente.
b) Determina los radios de curvatura de las dos superficies de la lente.
c) ¿A qué distancia del foco objeto de la lente hay que situar una transparencia para proyectar su
imagen, enfocada, sobre una pantalla situada a 3 m de la lente?
a) Calculamos la velocidad de la luz a partir de la definición de índice de refracción.
1 8 8 m m s m 10 · 11 , 2 42 , 1 10 · 00 , 3 n c v v c n= = = = −
b) Al ser la lente simétrica, los dos radios serán iguales. Aplicamos correctamente el signo a la ecuación del fabricante de lentes y queda:
(
)
(
)
(
)
r 2 1 n ' f 1 r 1 r 1 1 n ' f 1 r 1 r 1 1 n ' f 1 2 1 − = + − = − − =(
n 1)
2·0,25·0,42 0,21m ' f 2 r = − = =c) Dibujamos primeramente la situación descrita en el enunciado y después calculamos la posición del objeto. ' f 1 ' s 1 s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = = − s 0,27 25 , 0 1 3 1 s 1 − = − = m s s’ F F’
DEFECTOS DE LA VISIÓN
9.45 Una persona acude al oftalmólogo porque no puede ver con claridad los objetos que se encuentran
situados a más de 3 m de distancia. Determina:
a) ¿Qué tipo de defecto visual padece?
b) ¿Qué tipo de lentes debe usar? ¿Cuál es el valor de su distancia focal?
c) La potencia de dichas lentes.
a) Se trata de un caso de miopía.
b) La miopía se corrige con lentes divergentes. Estas lentes deben ser tales que los objetos situados en el infinito deben formar su imagen a 3 m para que el ojo miope pueda verlos.
m 3 ' f ' f 1 1 3 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = = ∞ − − = −
c) La potencia de la lente es el inverso de su focal.
dioptrías 333 , 0 3 1 ' f 1 P =− − = =
9.46 A un niño con hipermetropía le han resuelto su problema de visión con unas gafas de 2,75 dioptrías.
Indica qué tipo de lentes deben ir montadas en dichas gafas. Calcula:
9.46 A un niño con hipermetropía le han resuelto su problema de visión con unas gafas de 2,75 dioptrías.
Indica qué tipo de lentes deben ir montadas en dichas gafas. Calcula:
a) La distancia focal de las lentes.
a) La distancia focal de las lentes.
b) ¿A qué distancia tenía el punto próximo el muchacho antes de colocarse las gafas?
b) ¿A qué distancia tenía el punto próximo el muchacho antes de colocarse las gafas?
a) Debe llevar unas lentes convergentes cuya focal sea de
a) Debe llevar unas lentes convergentes cuya focal sea de 0,36m 75
, 2
1
f ′= = .
b) La lente hace que los objetos situados en su punto próximo 25 cm se coloquen en el punto donde él ve cómodamente. Aplicando estas condiciones a la ecuación de las lentes:
cm 82 ' s 900 11 900 36 25 25 1 36 1 ' s 1 36 1 25 1 ' s 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = − = − = − = = − − = −
El punto próximo del ojo está situado a 82 cm de distancia.
9.47 Realiza el trazado de rayos de las lentes que debe llevar una persona miope para corregir que su punto
próximo se encuentre a 10 cm.
Del objeto 1 salen unos rayos que forman la imagen antes de la retina, de modo que para solucionarlo se coloca una lente divergente que forma del objeto 1 la imagen 2. Esta está situada dentro de la zona donde enfoca bien el ojo miope, de modo que el trazado de rayos de este objeto (sin tener ya en cuenta la lente) forma su imagen en la retina 2’.
F cristalino 1 1’ F cristalino F lente 2 2’ 2’’
9.48 Una persona tiene el punto remoto de cada uno de sus ojos a diferente distancia. El del ojo derecho se
encuentra a 6 m y el del izquierdo lo tiene a 3 m. Indica:
a) ¿Qué defecto en la visión tiene esta persona?
b) Las dioptrías de las lentes que corrigen este defecto.
c) ¿En qué zona se encuentra cómodo para leer de cerca?
a) El punto remoto de los miopes se acerca; por tanto, esta persona tiene miopía. b) Necesita dos lentes divergentes diferentes, una para cada ojo.
m 6 f f 1 1 6 1 ; f 1 s 1 ' s 1 ' D ' D ' D − = = ∞ − − = −
La lente del ojo derecho debe ser de
−
0,17 dioptrías.m 3 f f 1 1 3 1 ; f 1 s 1 ' s 1 ' I ' I ' I − = = ∞ − − = −
c) El punto próximo se encuentra en sitios diferentes para cada ojo: Para el derecho: m 24 , 0 s 6 1 s 1 25 , 0 1 f 1 s 1 ' s 1 ' D = − = − = − Para el izquierdo: m 23 , 0 s 3 1 s 1 25 , 0 1 f 1 s 1 ' s 1 ' D = − = − = −
Por tanto, habría que tomar el ojo cuyo punto próximo es más cercano.
9.49 El punto próximo de un miope se encuentra a 15 cm. Para corregir su miopía se tiene en cuenta que
su punto remoto está situado a 4 m. Calcula en estas condiciones a qué distancia leerá los libros con
las lentes que corrigen su miopía.
Como se han construido las gafas corrigiendo el defecto del punto remoto, la distancia focal de las lentes será: m 4 ' f ' f 1 1 4 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = = ∞ − − = −
Las lentes son de –0,25 dioptrías.
El punto próximo (punto cuya imagen se forma a 15 cm) en estas condiciones se encuentra a:
m 16 , 0 s 4 1 s 1 15 , 0 1 ' f 1 s 1 ' s 1 − = − = − − = −
El defecto se ha corregido de forma irregular; se deben fabricar las lentes corrigiendo el punto próximo.
9.50 Una persona mayor padece presbicia y debe alejar los objetos para poder verlos de cerca. Su punto
próximo se ha alejado hasta los 80 cm. Indica el tipo de lentes que corrigen su defecto y el valor de
su focal para que el punto próximo de nuevo se encuentre a 25 cm.
La presbicia, al igual que la hipermetropía, se corrige con lentes convergentes. Para calcular su focal, se considera que de los objetos situados a 25 cm (punto próximo) se debe formar la imagen en el punto donde el ojo tiene su punto próximo, en este caso 80 cm.
cm 36 , 36 ' f ' f 1 25 1 80 1 ' f 1 s 1 ' s 1 = = − − − = −
9.51 Considera un sistema compuesto formado por una lente delgada convergente y un espejo plano.
Consideramos que el centro del sistema utilizado para medir distancias está situado en la posición de
la lente.
9.51 Considera un sistema compuesto formado por una lente delgada convergente y un espejo plano.
Consideramos que el centro del sistema utilizado para medir distancias está situado en la posición de
la lente.
La distancia focal de la lente es f’ = 9 cm y el espejo se encuentra 10 cm a la derecha de la lente. Se
coloca a 12 cm, a la izquierda de la lente, un objeto luminoso. Calcula dónde se forma la imagen, indica
si es real o virtual y realiza un esquema gráfico de la formación de la imagen.
La distancia focal de la lente es f’ = 9 cm y el espejo se encuentra 10 cm a la derecha de la lente. Se
coloca a 12 cm, a la izquierda de la lente, un objeto luminoso. Calcula dónde se forma la imagen, indica
si es real o virtual y realiza un esquema gráfico de la formación de la imagen.
En primer lugar, los rayos procedentes del objeto atraviesan la lente y forman una imagen en: En primer lugar, los rayos procedentes del objeto atraviesan la lente y forman una imagen en:
cm 36 ' s 12 1 ' s 1 9 1 s 1 ' s 1 ' f 1 = − − = − =
pero, como a 10 cm de la lente se encuentra un espejo plano, la imagen se convertirá en virtual de las mismas dimensiones que el objeto y tendrá su posición en s' = –16 cm. En dicha posición, los rayos encuentran de nuevo, en su camino, a la lente. Dada la reversibilidad de los rayos, y2 es la imagen formada por la lente de y’.
cm 76 , 5 s s 1 16 1 9 1 − = − − =
Es decir, la imagen final del objeto luminoso se encuentra a 5,76 cm de la lente hacia la izquierda; es una imagen real y está invertida.
Veamos el aumento. Para el primer caso a t ravés de la lente:
y 3 y 12 36 y y 1 1 = − − =
En el segundo caso, el espejo mantiene el tamaño de la imagen; de ese modo:
y 3 y ; y y 1 y y m 2 1 2 1 2 2 = =+ = =
Por último, nos encontramos de nuevo con la lente:
2 2 3 y 0,36y 76 , 5 16 y y m ′= − − = ′ =
Considerando todos los aumentos:
(
)
1,08 y ' y m y 08 , 1 y 3 36 , 0 y 36 , 0 ' y = 2 = − =− final= = − 9 cm 12cm 10cm F FImagen formada por la lente sin espejo Imagen virtual que
produciría el espejo si no encontrase la lente F’ y1 y2 y’
9.52 El sistema de la figura está formado por un espejo cóncavo y una lente convergente. El observador
ve dos imágenes del mismo tamaño, una está derecha y la otra invertida. Sabemos que la distancia
entre el espejo y la lente es de 25 cm, que la focal de la lente es 10 cm y que la imagen que se ve
tiene un tamaño doble que el del objeto situado. Calcula el radio del espejo.
Para que la imagen se pueda ver, debe ser virtual; entonces, el objeto debe estar situado entre la lente y el foco.
Teniendo en cuenta que el tamaño final debe ser el doble, y’ = 2y, equivale a que s’ = 2s
La focal de una lente convergente es positiva, pero en este caso, como hacemos que la luz viaje de derecha a izquierda, la focal se sitúa a la izquierda, de modo que es negativa.
cm 10 ' s ; cm 5 s 10 1 s 2 1 10 1 s 1 s 2 1 ' f 1 s 1 ' s 1 = = − = − − = − = −
Para que se puedan ver dos imágenes, el espejo debe formar una imagen del objeto situada en la misma posición que el objeto e invertida. Con relación al espejo, s = s’ =
−
20 cmcm 10 f f 1 20 1 20 1 f 1 s 1 ' s 1 − = = − + − = +
Por tanto, el radio del espejo es de 20 cm.
F
F’
25 cm 10 cm