estado de esfuerzos.pdf

1.

1.7.

7. Ti

Tipos

pos de e

de est

stad

ado d

o de es

e esfu

fuer

erzo

zoss

1.7

1.7.1.

.1. Est

Estad

ado d

o de e

e esfu

sfuerz

erzo n

o nulo

ulo

Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que no existe acción de cargas, Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que no existe acción de cargas, por lo que las invariantes de esfuerzo son nulas:

por lo que las invariantes de esfuerzo son nulas:

   11 ==   22 ==   33 = = 00 ⇒⇒ 11 == 22 == 33 = = 00 σ σ ==

⎡

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎣

0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00

⎤

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎦

Gra

Grafificando los esfuerzos principales en los ejes del sistema mostrado en la Fig. 1.22, llamadocando los esfuerzos principales en los ejes del sistema mostrado en la Fig. 1.22, llamado elipsoide de Lamé, la cual se degenera a un punto.

elipsoide de Lamé, la cual se degenera a un punto.

Figura 1.22: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos. Figura 1.22: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.

1.7

1.7.2.

.2. Est

Estad

ado un

o uniax

iaxial d

ial de es

e esfue

fuerzo

rzo

Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que sólo se presenta la acción Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que sólo se presenta la acción de cargas en una dirección, por lo que sus invariantes son:

de cargas en una dirección, por lo que sus invariantes son:  

 11 66= = 00,,   22 ==   33 = 0= 0

La ecuación característica dada en la ec. (1.24) queda como: La ecuación característica dada en la ec. (1.24) queda como:



33−−  ₁₁22 = = 00 ⇒⇒ 22((−−  ₁₁) ) = = 00 ⇒⇒ ((−−0)0) ((−−0)0) ((−−  ₁₁) ) = = 00

Por consiguiente, los esfuerzos principales son: Por consiguiente, los esfuerzos principales son:



1.7 Tipos de estado de esfuerzos σ =

⎡

⎢

⎢

⎣

1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎤

⎥

⎥

⎦

Graficando los esfuerzos principales mostrados en la Fig. 1.23, la elipsoide de Lamé se degenera a una línea.

Figura 1.23: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.

1.7.3. Estado de esfuerzo plano

En este estado de esfuerzos sólo se presenta la acción de esfuerzos en el plano de un medio con-tinuo, pues en la dirección perpendicular a éste los esfuerzos son nulos, por lo que sus invariantes son:

 1 6= 0,  2 6= 0,  3 = 0

La ecuación característica de la ec. (1.24) queda como:

3− ₁2+  ₂ = 0 ⇒ 

¡

2− ₁ +  ₂

¢

= 0

Por consiguiente los esfuerzos principales son:

(−0) (−₁) ( −₂) = 0

Solo existen dos esfuerzos principales diferentes de ceros.

σ =

⎡

⎢

⎢

⎣

1 0 0 0 2 0 0 0 0

⎤

⎥

⎥

⎦

Figura 1.24: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.

1.7.4. Estado de cortante puro

Es un estado plano de esfuerzos plano los esfuerzos principales son iguales en magnitud pero de signo opuesto, las invariantes de esfuerzo son:

 1 = 0,  2 =−21,  3 = 0

La ecuación característica de la ec. (1.24) queda como:

2+  2 = 0

Por consiguiente los esfuerzos principales son:

( −₁) ( + ₂) = 0

Por ejemplo considere el siguiente estado de esfuerzos:

σ =

⎡

⎢

⎢

⎣

0   0   0 0 0 0 0

⎤

⎥

⎥

⎦

En el que los invariantes y esfuerzos principales son:

 1 = 0,  2 =− 2

,  3 = 0

1 = + , 2 =− _, ₃ = 0

En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.25, se degeneran la elipsoide de Lamé en un círculo

1.7 Tipos de estado de esfuerzos

Figura 1.25: a) Elipsoide de Lamé degenerada a círculo y b) estado de esfuerzos.

1.7.5. Estado de esfuerzo hidroestático

En este estado, los esfuerzos principales son iguales en magnitud: 1 = 2 = 3

Por lo que el tensor de esfuerzos se puede expresar de la forma:

σ = ₁

⎡

⎢

⎢

⎣

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎤

⎥

⎥

⎦

= 11  1 = 0,  2 =− 2 ,  3 = 0

En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.26, se degeneran la elipsoide de Lamé a una esfera

1.7.6. Estado general de esfuerzos

En este estado, existen esfuerzos en todas las direcciones del sistema de referencia, las invariantes de esfuerzo son:

 1 6= 0,  2 6= 0,  3 6= 0

Por consiguiente los esfuerzos principales son:

1 =2 = 3 σ =

⎡

⎢

⎢

⎣

1 0 0 0 2 0 0 0 3

⎤

⎥

⎥

⎦

Este estado de esfuerzos principales se representa en la Fig. 1.27 como una elipsoide tridimen-sional.

Figura 1.27: a) Elipsoide de Lamé y b) estado general de esfuerzos.

1.8. Esfuerzo Plano

1.8.1. Estado de esfuerzos sobre un plano

Un plano con normal unitaria n _{que forma un ángulo  con el eje  , se define un vector unitario} m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig. 1.28.

Los vectores n _y m _{están dados por:}

n₌

"

cos  sin 

#

y m ₌

"

sin  −cos 

#

1.8 Esfuerzo Plano

Figura 1.28: Estado de esfuerzo sobre un plano.

σ =

"

  

  

#

(1.49) Utilizando la ec. (1.9), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es:

t₌σ·n =

"

     

# "

cos  sin 

#

=

"

cos  +  sin   cos  + sin 

#

(1.50) Se definen el esfuerzo normal σ_ y el esfuerzo tangencial τ _ , sobre el plano inclinado  (Fig.

1.28) como:

σ_ = t·n = [_cos  +  _sin ;  _cos  + _sin ]

"

cos  sin 

#

(1.51)

σ_ = _cos2 + 2 _sin  cos  + _sin2

  = t·m= [cos  +  sin ;  cos  + sin ]

"

sin 

−cos 

#

  = sin  cos  +  sin2 − cos2 −sin  cos  (1.52)

  = [−]sin  cos  +  

£

sin2−cos2

¤

Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:

sin(2) = 2 sin  cos  (1.53)

cos2 = 1 + cos(2) 2 sin2 = 1−cos(2)

las ecs. (1.51) y (1.52) se pueden reescribir como:  = +  2 + − 2 cos(2) +  sin(2) (1.54)   = − − 2 sin(2) +  cos(2) (1.55)

1.8.2. Rotación del estado de esfuerzos

Sea un estado de esfuerzos plano de la ec. (1.49), definido en un sistema de referencia  e , sus componentes en un sistema coordenado 0 _{e }0 _{se obtienen mediante la siguiente relación.}

σ0 =r ·σ·r (1.56) donde r _{se define como:} r₌

"

cos  −sin  sin  cos 

#

(1.57)

1.8.3. Ejemplo

Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado  e  :

σ =

"

1000

−100 −100 −800

#

(1.58) a) Determine el esfuerzo normal  y cortante   en un plano con normal  = 30◦ y  = 120◦ en

dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55).

b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 _{e }0 _{rotado un ángulo  = 30}◦

en dirección antihoraria. Solución

a) Para  = 30◦ _{los esfuerzos son:}

 = 1000 −800 2 + 1000 + 800 2 cos(60 ◦_{)−100sin(60}◦_{) = 463 40 (1.59)}   = − 1000 + 800 2 sin(60 ◦_{)−100 cos (60}◦_{) = −829 42 (1.60)}

Para  = 120◦ _{los esfuerzos son:}

 = 1000−800 2 + 1000 + 800 2 cos(240 ◦_{)−100 sin (240}◦_{) =−263 40 (1.61)}   = −1000 + 800 2 sin(240 ◦_{)−100 cos(240}◦_{) = 829 42 (1.62)}

1.8 Esfuerzo Plano

b) El estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 _{e }0 _{rotado un ángulo  = 30}◦ _es:

σ0 =r  ·σ·r=

"

cos(30◦_{) sin (30}◦₎ −sin (30◦) cos (30◦)

# "

1000 −100 −100 −800

# "

cos(30◦_{) −sin (30}◦₎ sin (30◦_{) cos (30}◦₎

#

σ0 =

"

463 40 −829 42 −829 42 −263 40

#

1.8.4. Tarea

Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado  e  :

σ =

"

−400 −200 −200 100

#

(1.63) a) Determine el esfuerzo normal  y cortante   en un plano con normal  = 240◦ y  = 330◦

en dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55). Grafique los esfuerzos.

b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 _{e }0 _{rotado un ángulo  = 60}◦

en dirección antihoraria. Grafique el estado de esfuerzos.

1.8.5. Diagonalización del tensor de esfuerzos

El problema de diagonalización del tensor de esfuerzos consiste en, conocidas las componentes del tensor en un cierto sistema de ejes − , obtener las direcciones y esfuerzos principales (Fig.

1.29).

Figura 1.29: Problema de diagonalización.

Las direcciones principales, asociadas a los ejes 0 _{e }0_{, definidas por los ángulos  y 2 + }

(Fig. fm16), determinan las inclinaciones de los dos planos sobre los cuales los esfuerzos sólo tienen componente normal , mientras que la componente tangencial   = 0. Aplicando esta

− −_ 2 sin(2) +  cos(2) = 0 (1.64) tan(2) = 2  − (1.65) Sean las siguientes identidades trigonométricas:

sin(2) = ± 1

q 

_{1 +} 1 tan2_(2) (1.66) cos(2) = ± 1

p 

1 + tan2(2) (1.67)

sustituyendo la ec. (1.65) en las ecs. (1.66) y (1.67):

sin(2) = ±  

r ³

− 2

´

2 +  2  (1.68) cos(2) = ± − 2

r ³

− 2

´

2 +  2  (1.69)

Las ecs. (1.68) y (1.69) proporcionan dos soluciones (asociadas a los signos + y −) ₁ y

2 = 1 + ₂, que definen las dos direcciones principales ortogonales en el plano de análisis.

Los correspondientes esfuerzos principales se obtienen substituyendo el ángulo  =  en la ec. (1.54)

σ_ = + 

2 +

−

2 cos(2) +  sin(2) (1.70)

y sustituyendo las ec. (1.68) y (1.68) en la (1.70).

σ_12 = +  2 ±

³

− 2

´

2

r ³

− 2

´

2 +  2  ±   2 

r ³

− 2

´

2 +  2  = +  2 ±

³

− 2

´

2 +  2

r ³

− 2

´

2 +  2  (1.71)

1.8 Esfuerzo Plano σ_12 = +  2 ±

s µ

− 2

¶

2 _{+ } 2  (1.72)