Razonamiento Inductivo

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es un razonamiento que consiate en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir

Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones.

Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo.

Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original.

Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares.

En este tema podemos observar tres tipos de problemas. A. EN ARREGLOS NUMÉRICOS Caso General 50 cifras 50 cifras N=999...97 999...92× Casos particulares 1 N =97 92× 2 N =997 992× 3 N =9997 9992× B. EN ARREGLOS GRÁFICOS Caso General Casos particulares C. EN ARREGLOS LITERALES Caso General Casos particulares CAPÍTULO V CASO GENERAL INDUCCIÓN CASO 1 CASO 1 CASO 1 Casos particulares 1 2 99 100 1 2 1 1 2 3 D A A Y Y Y I I I I R R R R R O O O O O O D A A D A A Y Y Y D A A Y Y Y I I I I D. EN ARREGLOS SOMBREADOS Caso General Casos particulares

Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras…

Observación

Para arreglos de la siguiente forma

El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión:

n 1 2 − n: número de niveles de letras

En el ejemplo, el número de maneras de leer JOHNS será 25 1− =24 =16

Para arreglos de esta forma

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:

n 1 3 − n: número de niveles de letras

En el ejemplo, el número de maneras de leer JOHNS será 35 1− =34 =81

Para arreglos de esta forma

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:

n 2 −1 n: número de niveles de letras

En el ejemplo, el número de maneras de leer JOHNS será 25− =1 31

¡Tenga en cuenta que…!

Además en este tema, los números triangulares son muy usados.

J O O O N N N N N H H H H H H H S S S S S S S S S 5 niveles R O O C C C I I I I O O O O O 5 niveles 1 2 3 18 19 20 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 _J J O J J O N O J J O N H N O J J O N H S H N O J 5 niveles 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 2 2 × 1 3 2 × 2 4 2 × 3 6 2 × 5 1 3 6 10

PROBLEMA 01

Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado.

2 101 cifras E (999....995)= a) 901 b) 307 c) 405 d) 907 e) 607

Resolución

Analicemos por Inducción.

7 = 907 9 100 ) 5 99 ... 999 ( 7 9 4 9999000025 5 9999 7 9 3 99900025 5 999 7 9 2 990025 5 99 7 9 1 9025 5 9 2 cifras 100 2 2 2 2 + × → = + × → = + × → = + × → = + × → =

Resultado Suma de cifras

Cantidad de cifras "9" PROBLEMA 02 Calcular: 40 sumandos R 1 2 4 8 16 ...= + + + + + a) 240−1 b) 240+1 c) 240 d) 239−1 e) 239+1

Resolución

Analizando por partes, tenemos:

1 2 2 1 1 2

2

1

R

;

sumandos

2

1

R

;

sumando

1

− −

+

=

=

1 3 2

4

2

1

R

;

sumandos

3

−

+

+

=

2 −1 1 40 2 1 4 2

...

8

4

2

1

R

;

sumandos

40

8

4

2

1

R

;

sumandos

4

− −

+

+

+

+

=

+

+

+

=

PROBLEMA 04 Halle el valor de M. 3 M= 9999 10000 10001 10000× × + a) 2 b) 10000 c) 9999 d) 1 e) 10001

Resolución

Analicemos los tres casos particulares

Siempre sale el último número Entonces 3 M= 9999 10000 10001 10000× × + M 10000= PROBLEMA 03 Si: a5 a6 a7 a8 1 2161× × × + = Calcular: " a " sumandos R a aa aaa ...= + + + ARREGLOS NUMÉRICOS 3 1 M = 1 2 3 2× × + =2 3 2 M = 2 3 4 3× × + =3 3 2 M = 3 4 5 4× × + =4 a) 4924 b) 4862 c) 4546 d) 4936 e) 4816

Resolución

Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos.

Luego para el caso pedido a5 a8 1 2161× + = a5 a8 2160× = 45 48 2160× = Por tanteo a 4= Entonces: R= +4 44 444 4444+ + R=4936

¡Comprueba lo que sabes!

01.La suma de cifras de: 2

100 cifras E (333...333)=

a) 9000 b) 900 c) 1089 d) 300 e) 320

02.Hallar la suma de cifras de:

2 100 cifras E (999...99)= a) 1800 b) 900 c) 180 d) 720 e) 1080

03.Calcula la suma de las cifras del resultado de:

50 cifras A (999...999) 12= ×

a) 900 b) 360 c) 630 d) 450 e) 540

04.Calcular la suma de las cifras de A

2 101cifras A=36 (111...111 )×

a) 606 b) 600 c) 630 d) 500 e) 909

05.Calcular la suma de cifras del resultado de:

2 21 cifras E (33...34)=

a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 125

06.Hallar la suma de cifras del resultado:

2 30 cifras E (999....994)= a) 277 b) 228 c) 229 d) 130 e) 265

07.Hallar la suma de las cifras de:

2 31cifras A (999...995)=

a) 925 b) 279 c) 277 d) 62 e) 155

08.Hallar la suma de cifras del resultado:

2 2

21 cifras 21 cifras

A (333...33)= +(999...99) a) 199 b) 189 c) 198 d) 201 e) 203

09.Hallar la suma de las cifras del resultado de: 50 cifras 50 cifras E (999...999) (777...777)= × a) 450 b) 630 c) 350 d) 700 e) 2500 1 2 3 4 1× × × + = 25=5 1 4× ₊₁ 2 3 4 5 1× × × + = 121 11= 2 5× ₊₁ 3 4 5 6 1× × × + = 361 19= 3 6× ₊₁

10.Halle la suma de cifras del resultado de:

100 cifras 100 cifras A 888...888 999...999= × a) 800 b) 900 c) 1000 d) 700 e) 1200

11.Hallar la suma de cifras del resultado: 20 cifras 20 cifras N=999...97 999...93× a) 179 b) 174 c) 178 d) 271 e) 176

12.Hallar a b÷ si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. 101 cifras 101 cifras M=999...93 999...97× 101 cifras 101 cifras N=999...94 999...96× a) 307 308 b) 298 299 c) 305 306 d) 301 302 e) 300 301

13.Calcule la suma de cifras del siguiente producto:

51 cifras 51 cifras 222...222 999...998× a) 567 b) 546 c) 239 d) 163 e) 357

14.Calcula el valor de "N" y dar como respuesta la suma de sus cifras en:

(n 3) cifras (n 3) cifras E 999...992 999...992 − − = × a) 9n 18+ b) 9n 27+ c) 9n 20+ d) 9n 20− e) 9n 23− 15.Hallar "K ", si: 2 " n" sumandos " n " sumandos 9 45 105 ... 3n K 3 12 27 ... + + + + = + + + a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25

16.Calcule el valor de la expresión

20 sumandos 20 sumandos 1 9 25 ... M 4 16 36 ... + + + = + + + a) 12/13 b) 13 c) 13/12 d) 14/11 e) 13/14

17.Calcule el resultado en la expresión

20 sumandos 20 sumandos 2 5 8 11 14... M 4 7 10 13 16 ... + + + + = + + + + + a) 18/11 b) 62/65 c) 20/25 d) 80/81 e) 61/65

18.Calcule el valor de la expresión ⋯ ⋯ 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 21 P 1 2 3 4 5 21 − + − + − + = + + + + + + a) 1 b) 21 c) 3 d) 1/21 e) 4

19.Calcule el valor de la siguiente expresión ⋯ ⋯ 2 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 59 61 30 A 1 2 3 4 30 × + × + × + + × + = + + + + + a) 1 b) 2 c) 30 d) 90 e) 40 20.Calcular “E” 24 cifras 24 cifras 13 1313 131313 1313...13 E ... 12 1212 121212 1212..13 = + + + + a) 12 b) 13 c) 13/12 d) 1/2 e) 13/24

21.Hallar la suma de las cifras del resultado de:

100 cifras 50 cifras 444....444 888....888− a) 100 b) 200 c) 600 d) 300 e) 400

22.Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación.

20 cifras 10 cifras A= 1000....000 1999....999−

a) 100 b) 99 c) 180

d) 90 e) 200

23.Hallar la suma de las cifras del resultado de:

200 cifras 100 cifras M= 111....111 222....222− a) 300 b) 100 c) 450 d) 900 e) 200 24.Calcule el valor de M= 1 40 41 42 43 1+ × × × + Dé como respuesta la suma de sus cifras

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 25.Hallar: E= 100 101 102 103 1× × × + a) 10310 b) 10030 c) 13001 d) 10410 e) 10301

26.Halle el valor de:

S= 94 96 98 100 16× × × + a) 9404 b) 9440 c) 9040 d) 9044 e) 9004 27.Sabiendo que: A(1) 1 100 50 A(2) 2 99 49 A(3) 3 98 48 = × + = × + = × + Calcular: A(20) a) 1551 b) 1651 c) 2236 d) 1546 e) 1561 28.Si se cumple que: M(1) 2 1 1 M(2) 4 4 3 M(3) 6 9 5 M(4) 8 16 7 = + − = − ÷ = × − = + ÷ Halle: M(19) a) 348 b) 362 c) 452 d) 286 e) 456 29.Halle el valor de N(152) si N(1) (1 2) 3 N(2) (2 3) 4 N(3) (3 4) 5 N(4) (4 5) 6 = × + = + × = × + = + ×

Dé como respuesta la suma de sus cifras.

a) 24 b) 25 c) 26

d) 18 e) 29 30.Dada la siguiente sucesión

R(1) 1 2 3 R(2) 2 4 1 R(3) 3 4 3 R(4) 4 16 1 R(5) 5 6 3 R(6) 6 36 1 = × + = + + = × + = + + = × + = + +

Hallar el valor de: R(14) R(17)+ a) 520 b) 400 c) 540 d) 420 e) 440

PROBLEMA 01

¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?

Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.20

a) 260 b) 307 c) 635 d) 644 e) 630

Resolución

Fig. 1 2 2 1 ) 1 ( 3 × 3 puntos de contacto = 3 1 = × Fig. 2 2₂3 +2) 1 ( 3 × 9 puntos de contacto = 3 3 = × Fig. 3 2 4 3 +2+3) 1 ( 3 × 18 puntos de contacto = 3 6 = × Fig. 20 2 21 20 +2+3+...+20) = 630 1 ( 3 ×

¡Comprueba lo que sabes!

01.¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura

100?

a) 100 b) 200 c) 400 d) 600 e) 800

02.Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 100?

a) 200 b) 400 c) 440 d) 404 e) 800

03.¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?

a) 59 b) 60 c) 61

d) 63 e) 64

04.Siguiendo la secuencia mostrada, determine cuántos segmentos tendrá la figura 100.

a) 299 b) 300 c) 397 d) 399 e) 400

ARREGLOS GRÁFICOS SUCESIVOS

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

05.¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?

a) 440 b) 450 c) 400 d) 380 e) 500

06.¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

a) 210 b) 220 c) 230 d) 240 e) 250

07.¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?

a) 21 b) 22 c) 24

d) 25 e) 26

08.¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la figura 20?

a) 420 b) 440 c) 460 d) 480 e) 500

09.¿De cuántos lados constará la figura 2002?

a) 2002 b) 4004 c) 8008 d) 8007 e) 1608

10.Halle el número de esferas que hay en la figura 15.

a) 133 b) 134 c) 135 d) 132 e) 136

11.Determine el número total de esferas oscuras que habrá en la figura 10.

a) 50 b) 55 c) 27

d) 42 e) 100

12.Calcule el número total de bolas que se ubican en la figura 10.

a) 100 b) 90 c) 99 d) 101 e) 120

13.Calcule el número de esferas que tiene la figura 50.

a) 250 b) 110 c) 120 d) 200 e) 400

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

F(1) F(2) F(3)

i i i

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

14.¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?

a) 240 b) 140 c) 340 d) 225 e) 150

15.En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

a) 201 b) 131 c) 151 d) 181 e) 231

16.¿Cuántos triángulos se contarán en la ubicación 100?

a) 103 b) 300 c) 301 d) 275 e) 725

17.¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?

a) 4n b) 4n –1 c) 4n+1 d) 4n+2 e) 3n –1

18.¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran en la figura 25?

a) 625 b) 600 c) 500 d) 250 e) 750

19.Halle el número de cerillas de la figura 20.

a) 842 b) 754 c) 782 d) 867 e) 859

20.Determine el número total de cerillas desde la figura 1 hasta la figura 20.

a) 2250 b) 2450 c) 6160 d) 2050 e) 2375

21.¿Cuál es la suma del número de triángulos de la figura n 1+ y el número de cuadriláteros de la figura n 1− ?

a) 4n+1 b) 4n c) 2n+1 d) n e) 4+n

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

i i i

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

F(1) F(2) F(3)

i i i

PROBLEMA 01

Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre. a) 900 b) 307 c) 405 d) 907 e) 899

Resolución

Caso 1: Caso 2: Caso 3: En el problema: 2 30 1 ⇒ ₋ ∴ Nº de palitos = 899 PROBLEMA 02

¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? 1 2 3 18 19 20 a) 400 b) 307 c) 405 d) 907 e) 300

Resolución

Analizando por partes, tenemos: Caso 1

1

1 triángulo = 1

2 ARREGLOS GRÁFICOS 1 2 2 3 2= −1 2 8=3 −1 1 2 3 1 2 3 4 2 15=4 −1 1 2 3 28 29 30 1 2 3 28 29 30

Caso 2

1

4 triángulos = 2

2

2

Caso 3

1

9 triángulos = 3

2

2

3

En el problema: 1 2 3 18 19 20 20 = 400 triángulos2 ∴ el total de triángulos es 400.

¡Comprueba lo que sabes!

01.Calcule el número total de cerillos en el

siguiente gráfico.

a) 2400 b) 2460 c) 2500 d) 2560 e) 2580

02.¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?

a) 2450 b) 1350 c) 1225 d) 4500 e) 1325

03.Halle el número total de cerillos en el gráfico.

a) 800 b) 881 c) 882 d) 982 e) 884

04.Halle el número total de palitos utilizados en la construcción del siguiente gráfico.

Dé como respuesta la suma de sus cifras.

1 2 3 48 49 50 1 2 3 39 40 1 2 3 4 38 39 40 41 1 2 3 4 47 48 49 50 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

05.Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

a) 1010 b) 5000 c) 10027 d) 10197 e) 20097

06.Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

a) 5000 b) 5050 c) 4060 d) 4080 e) 5060

07.Hallar el número total de puntos de contacto.

a) 290 b) 870 c) 420 d) 1305 e) 2875

08.¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?

a) 6225 b) 7550 c) 8950 d) 4525 e) 3125

09.Halle el número total de palitos en la siguiente figura:

a) 250 b) 2450 c) 1324 d) 5050 e) 1275

10.¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?

a) 625 b) 756 c) 240 d) 450 e) 650 29 1 2 3 28 30 1 2 3 48 49 50 1 2 3 4 97 98 99 100 1 2 3 98 99 100 1 2 3 48 49 50 1 2 3 4 47 48 49 50

PROBLEMA 01

Calcule la suma de todos los elementos del siguiente arreglo. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 3 5 7 ... 49 3 5 7 9 ... 51 5 7 9 11 ... 53 49 51 53 55 ...                 a) 30625 b) 12254 c) 32350 d) 87815 e) 13315

Resolución

Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas.

[ ]

1 _{Suma : 1 1 1 1 1}2 ₁ 1 1 2 2 +   = × = × =     1 3 3 5       2 2 3 1 Suma : 12 3 4 3 2 3 2 +   = × = × =     1 3 5 3 5 7 5 7 9           2 2 5 1 Suma : 45 5 9 5 3 5 2 +   = × = × =    

Por lo tanto para la matriz de 49 … ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ 1 3 5 49 51           2 49 1 Suma : 49 30625 2 +   =   =  

¡Comprueba lo que sabes!

01.Hallar la suma total en el siguiente arreglo:

1 2 3 4 12 2 3 4 5 13 3 4 5 6 14 4 5 6 7 15 12 13 14 15 23 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804

02.Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz 1 2 3 4 ... 10 2 3 4 5 ... 11 3 4 5 6 ... 12 4 5 6 7 ... 13 10 11 12 13 ... 19                     ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a) 100 b) 1000 c) 8000 d) 2000 e) 1500

03.calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 10 5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10 3 2 1 2 3 10 4 3 2 3 4 5 4 3 4 5 10 a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 3781 e) 1331 ARREGLO MATRICIALES

04.Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 5 9 13 ... 77 5 9 13 17 ... 9 13 17 21 ... 13 17 21 25 ... 77 ... ... ... ...                    _ a) 32800 b) 30800 c) 30600 d) 32600 e) 30400

05.Hallar la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 10× 2 4 6 8 ... 20 4 6 8 10 ... 22 6 8 10 12 ... 24 8 10 12 14 ... 26 20 22 24 26 ... 38                     ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a) 1800 b) 2000 c) 2100 d) 2400 e) 2700

06.Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución cuadrada de 20 20×

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2 5 8 11 ... 59 5 8 11 14 ... 8 11 14 17 ... 11 14 17 20 ... 59 ... ... ... ...                     a) 22600 b) 21600 c) 23400 d) 23800 e) 23600

07.Hallar la suma total en el siguiente arreglo numérico: 37 ... 25 23 21 19 25 ... 13 11 9 7 7 9 11 ... 23 5 5 7 9 ... 21 3 3 5 7 ... 19 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ⋮ a) 3780 b) 1700 c) 1900 d) 1650 e) 1500

08.Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente.

a) 44000 b) 44100 c) 14400 d) 10000 e) 12100

09.Calcular la suma de la fila 50 Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 5 Fila 3 : 7 9 11 + + + a) 125000 b) 12500 c) 25000 d) 75000 e) 250000

10.Calcular el valor de "R", si: (n 2) R (n 1) (n 2) n (n 1) 3 2 3 1 2 1 1 2 + = + + + + + + + + ⋮ a) n 2 n 1 + + b) n 3 n 1 + + c) n 5 n 3 + + d) n 3 n 4 + + e) n 3 n 2 + + 1 2 3 4 F 1 F 4 4 F 9 9 9 F 16 16 16 16 . ⋰ ⋰ ⋱ ⋱

PROBLEMA 01

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"? N N N N N N N N N A A A A A A A A I I I I I I I T T T T T T S S S S S A A A A B B B E E S a) 256 b) 307 c) 435 d) 444 e) 322

Resolución

Cuando la palabra tiene:

0

2

formas

1

S

letra

1

:

S

=

→

−

1

1

2

formas

2

E

E

S

letras

2

:

SE

=

→

−

1

2

2

formas

4

B

B

B

E

E

S

letras

3

:

SEB

=

→

−

1

3

2

formas

8

A

A

A

A

B

B

B

E

E

S

=

→

SEBA : 4 letras

₋

₁

En el problema: SEBASTIAN : 9 letras 2 = 256 formas8 − 1 PROBLEMA 02

¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?

L I I B B B R R R R O O O O O S S S S S a) 64 b) 63 c) 62 d) 32 e) 31

Resolución

Resolveremos por el triángulo de pascal

∴ Total de palabras 5 10 10 5 1 31+ + + + = ARREGLO LITERALES 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 PROBLEMA 03

¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes?

Z N E A A I T R Z O N M E N O A A I T Z N E a) 64 b) 128 c) 72 d) 256 e) 36

Resolución

∴ Total de palabras 128

¡Comprueba lo que sabes!

01.Halle de cuantas maneras se puede leer la

palabra RIOS, en el siguiente arreglo numérico R I I O O O S S S S a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2

02.En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra YELSIN?

Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N a) 4 b) 128 c) 16 d) 32 e) 64

03.¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos consecutivos?

a) 64 b) 32 c) 56

d) 128 e) 49

04.De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCE uniendo letras vecinas.

E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 b) 32 c) 31 d) 64 e) 63

05.¿De cuantas formas diferentes se puede leer la palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo? R A Z O N A R A N O Z A R R A Z O N A N O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O Z A R R A Z A R R A R R a) 63 b) 64 c) 127 d) 128 e) 256

06.En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas?

1 4 16 1 8 16 64 1 2 4 4 16 32 64 128 1 8 16 64 1 4 16 E S S T T T U U U U O O O O O O O I I I I I I D D D D D

a) 60 b) 65 c) 75 d) 68 e) 120

07.¿De cuantas maneras distintas se puede leer la palabra ROMA en el siguiente arreglo triangular: R R O R R O M O R R O M A M O R a) 12 b) 32 c) 15 d) 18 e) 23

08.¿De cuantas maneras se pude leer la palabra COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución?

C O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 124 b) 126 c) 253 d) 128 e) 254

09.¿De cuantas maneras se puede leer, de forma continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema?

L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 b) 95 c) 92 d) 93 e) 94

10.¿De cuántas maneras distintas se puede leer ESTUDIOSO en el arreglo mostrado?

E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S a) 256 b) 254 c) 512 d) 128 e) 126

11.¿De cuantas maneras se puede leer la palabra SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema?

S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A a) 80 b) 90 c) 88 d) 76 e) 78

12.¿De cuantas maneras se puede leer la palabra música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama?

C I S U M U S I C A C I S U S I C A A C I S I C A A C I C A A C A a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59

01.Halle la suma de las cifras del producto de: A 7777777 999999999= ×

UNAP–2008

a) 82 b) 18 c) 80

d) 19 e) 81

02.Halle la suma de cifras del resultado de:

2 100 cifras E (3333...3333)= CEPREUNA–BIO–2012 a) 900 b) 1000 c) 300 d) 1098 e) 9000

03.Calcular la suma de cifras del resultado de:

2 50 cifras E (333...333)= ×6 CEPREUNA–BIO–2014 a) 650 b) 450 c) 550 d) 750 e) 350 04.Si se observa que: 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 = − × = + × = − × = + ×

Halle el valor de: 15

CEPREUNA–BIO–2014 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 05.Calcule; f(20) si: f(1) 2 1 1 f(2) 6 3 2 f(3) 12 6 3 f(4) 20 10 4 f(5) 30 15 5 f(6) 42 21 6 = + − = − × = × ÷ = ÷ + = + − = − × UNAP–SOC–2013 a) 22 b) 24 c) 26 d) 30 e) 20

06.¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?

UNAP–EXT–2014 a) 180 b) 280 c) 300

d) 420 e) 400

07.¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?

UNAP–SOC–2015

a) 150 b) 50 c) 90

d) 100 e) 160

08.¿Cuánto triángulos habrá en la figura F ? ₁₀

UNAP–EXT–SOC–2015

a) 14 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

09.Halle el numero de cuadradosque hay em la figura 10.

CEPREUNA–SOC–2014 1

Figura Figura2 Figura3

1 F i i i 2 F F₃ F₄ 4 F 3 F 2 F 1 F Nº 3 Nº 2 Nº 1

a) 19 b) 21 c) 25 d) 23 e) 17

10.¿Cuántos triángulos hay en total en f(10)?

CEPREUNA–ING–2015

a) 47 b) 43 c) 44

d) 42 e) 41

11.¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

UNAP–ING–2007/2014

a) 77 b) 88 c) 64

d) 92 e) 81

12.¿Cuántos cuadrados se encontraran en posición número 20?

CEPREUNA–BIO–2013

a) 96 b) 81 c) 399

d) 144 e) 400

13.Si se dispone del siguiente arreglo de esferas

¿Cuántas esferas se necesitan cuando en la base del arreglo existan 30 esferas?

UNAP–SOC–2012 a) 425 b) 450 c) 465

d) 496 e) 435

14.¿Cuántas esferas hay en la f(11)?

UNAP–EXT–ING–2015

a) 28 b) 20 c) 25

d) 30 e) 36

15.¿Cuántos cuadrados se obtiene en la posición número 50 de esta figura?

UNAP-ING-2012 a) 1475 b) 1175 c) 1075 d) 1275 e) 1375

16.¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 19?

CEPREUNA–ING–2014 a) 190 b) 240 c) 120

d) 210 e) 200

17.¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 20?

UNAP–ING–2012 a) 490 b) 840 c) 400

d) 480 e) 449

F(1) F(2) F(3)

Fig (1) Fig (2) Fig (3)

# 2 # 3 # 4

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

F(1) F(2) F(3)

(1)

f f(2) f(3)

F(1) F(2) F(3)

18.Halle el total de palitos de fosforo en P(10).

CEPREUNA–BIO–2015 a) 440 b) 220 c) 100

d) 210 e) 110 19.Dado el esquema:

¿Cuántas bolitas habrá en S₁₂?

CEPREUNA–2007 a) 4095 b) 4810 c) 5155

d) 1645 e) 4050

20.En la siguiente secuencia, calcular el número de circunferencias en la figura 20.

CEPREUNA–BIO–2014 a) 321−1 b) 221−1 c) 220−1 d) 320 e) 221

21.¿Cuántos puntos de intersección se contaran como máximo al intersectar 20 circunferencias?

CEPREUNA–BIO–2014

a) 225 b) 380 c) 320 d) 256 e) 400

22.¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)?

UNAP–BIO–2014 a) 1000 b) 1060 c) 1160

d) 1200 e) 1260

23.Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

UNAP–EXT–SOC–2015 a) 120 b) 240 c) 150

d) 160 e) 180

24.Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

CEPREUNA–SOC–2015 f(3)

f(2) f(1)

Fig (1) Fig (2) Fig (3) 1 S = 2 S = 3 S = 4 S = 1 2 3 131415 1 2 3 48 4950 F(1) F(2) F(3)

a) 1215 b) 1200 c) 1225 d) 1275 e) 1300

25.Se tiene la siguiente formación de ladrillos, cuantos ladrillos se contaran en total.

CEPREUNA–BIO–2012 a) 250 b) 710 c) 510

d) 210 e) 211

26.Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.

UNAP–SOC–2008/2014 a) 1395 b) 1585 c) 1495

d) 1590 e) 1251

27.Halle la cantidad de palitos de la figura.

UNAP–ING–2015 a) 14250 b) 13250 c) 14650 d) 15650 e) 15150

28.Calcule el número total de palitos que conforman la figura siguiente

UNAP–2010 a) 690 b) 890 c) 900

d) 906 e) 899

29.Halle el número máximo de triángulos que hay en la figura.

CEPREUNA–ING–2014 a) 4851 b) 5000 c) 5050 d) 5253 e) 4735

30.¿Cuantos ladrillos hay en total?

CEPREUNA–BIO–2013 a) 4000 b) 1000 c) 1600 d) 1800 e) 2000 1 2 3 18 19 20 1 2 3 38 39 40 1 2 3 4 27 28 29 30 1 2 3 4 47 48 49 50 1 2 29 30 1 2 3 100

31.Según el siguiente el esquema ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra SOCIALES?

S O O C C C I I I I A A A A A L L L L L L E E E E E E E S S S S S S S S CEPREUNA–SOC–2013 a) 120 b) 200 c) 256 d) 128 e) 512

32.¿De cuantas formas se puede leer la palabra “NUMERO”? UNAP–2006 a) 8 b) 16 c) 24 d) 32 e) 36 33.Calcule: + + + + + 792 791 792 790 791 3 2 3 1 2 1 1 2 ⋮ CEPREUNA–ING–2013 a) 794 793 b) 791 792 c) 793 792 d) 793 794 e) 792 793

34.Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a PQ al interior del triángulo. ¿Cuántos triángulos se contaran en total?

CEPREUNA–BIO–2014

a) 81 b) 144 c) 153

d) 163 e) 177

35.Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 1 2 3 4 20 2 3 4 5 21 3 4 5 6 22 4 5 6 7 23 20 21 22 23 39 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ UNAJ–2014 a) 6000 b) 8000 c) 9000 d) 7000 e) 5000

36.Calcula la suma de todos los elementos de la siguiente matriz 1 3 5 7 ... 99 3 5 7 9 ... 101 5 7 9 11 ... 103 7 9 11 13 ... 105 99 101 103 105 ...                     ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ CEPREUNA–ING–2014 a) 247500 b) 275400 c) 274500 d) 254700 e) 245700 N U M E O R U M M E E E R R R R O O O O O P Q