Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de salud

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(2) 515 Abdala P., M. D. A116 Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud/ M. Abdala P., A. Lizama M.— Santiago de Chile: Universidad Santo Tomás, 2010. 315 p.: cuadros. . Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud © Universidad Santo Tomás M. Abdala P. y A. Lizama M. Registro de Propiedad Intelectual N° 204.124 Primera Edición Santiago de Chile Abril de 2011 ISBN 978-956-7946-09-9 Diseño de Portada e Interiores: Siujen Chiang.

(3) Introducción al Cálculo con aplicaciones en el área de la salud. ABDALA M.D. & LIZANA A.. 2010 Editorial Universidad Santo Tomás.

(4) AGRADECIMIENTOS. Este texto que hoy ponemos al alcance de nuestros estudiantes, es el fruto del trabajo y la experiencia de aproximadamente 30 años ejerciendo docencia universitaria, sin embargo esto no habría bastado para llevarlo a feliz término, si no hubiera sido por la motivación, el constante apoyo y todo el esfuerzo de gestión que realizó la Doctora Carmen Espoz, Directora del Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Santo Tomás, de quien estamos tremendamente agradecidos, por la oportunidad brindada, por la confianza que depositó en nosotros y como ya señalamos, por su incesante apoyo. No podemos dejar de mencionar en estos agradecimientos, a nuestros familiares en general y, con especial ternura y amor, por nuestras hijas Carolina Vargas Abdala, Daniela Lizana Bahamondes y Pamela Lizana Bahamondes, así también por mi esposa Patricia Bahamondes Huerta, quienes con su infinita paciencia para aceptar largas jornadas de trabajo, quitándoles tiempo y muchas veces irrumpiendo e importunando en sus actividades normales, nos apoyaron e instaron a sacar esta empresa adelante, incentivándonos en aquellos momentos de flaqueza cuando la actividad emprendida se hace interminable y no se logra visualizar el final del camino. También con especial aprecio por nuestro colega y amigo Héctor Carreño Gajardo quien nos colaboró en la revisión del material y en todos los gráficos que aparecen en esta edición. Por último, estamos conscientes que esta es la primera aproximación en plasmar en un texto nuestra experiencia docente, y lo más seguro es que cuando lo revisemos para posteriores ediciones, nos sonrojemos al ver que lo podríamos haber realizado de mejor forma. Pero lo más importante es que dimos el primer paso.. Profesores M. Abdala P. – A. Lizana M..

(5) ÍNDICE. Unidad I Preparación para el Cálculo. 4. Unidad II Funciones. 124. Unidad III Continuidad y Derivada de una Función. Aplicaciones. 241.

(6) UNIDAD I: Preparación para el Cálculo. . Los números reales. . Expresiones algebraicas. . Términos semejantes. . Potencias. . Productos Notables. . Factorización. . Operaciones con fracciones algebraicas. . Raíces. . Logaritmos. . Ecuaciones de 1° grado simples: Lineal, Fraccionaria y Literal. . Razones y proporciones. . Ecuaciones de 2° grado. . Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas. 4.

(7) LOS NÚMEROS REALES. 1.. Conjuntos Numéricos. 1.1.. Números Naturales Los elementos de este conjunto son IN   1, 2, 3,  , n  1, n, n  1,   .. Características: a). Si un número natural es n , el anterior a él que se le denomina. antecesor que es n  1 , y el siguiente se le denomina sucesor que es. n  1. b). El conjunto de los Números Naturales IN tiene un elemento. mínimo que es el 1, que también se le denomina Primer Elemento, dicho número no posee antecesor. c). Entre dos Números Naturales consecutivos no existe ningún. número natural intermedio. d). Es un conjunto infinito, es decir no existe un número natural. máximo. e). Cada Número Natural sólo puede ser par o impar. Se dice que un número natural m es par, sí m  2  n para algún número natural n ; en otras palabras, m es par si m es un múltiplo de 2. En cualquier otro caso se dice que m es impar, que se obtiene por la expresión t  2·n  1 f). Si m es un múltiplo de n, se dice que n es un factor de m. por. ejemplo: 13 y 5 son factores de 65, ya que 65  13  5 . Un número natural que tenga otro factor aparte de sí mismo y al 1 se llama número compuesto. Un número natural mayor que 1 y que no tenga más factores. 5.

(8) que él mismo y al 1 recibe el nombre de número primo. Todo número par excepto del 2 es un número compuesto, ya que tiene el factor 2 además de sí mismo y al 1, por ejemplo 6 es un número compuesto, pues 6  2·3 , o bien 6  6·1 g). IN por tener primer elemento es un conjunto que sirve para. contar.. 1.2.. Números Enteros Hay problemas que no tienen solución en IN . Por ejemplo, la ecuación x  7  4 no tiene solución en IN pues no existe: n  IN tal que x  7  4 . La necesidad de resolver problemas de este tipo  x  a  b / a, b  N  trajo como consecuencia la ampliación del conjunto numérico natural al conjunto de los Números Enteros.. Definición. IN  es el conjunto de todos los números negativos (opuestos) de los números naturales. Z  IN    0  IN  :. Definición. Nota. es el conjunto de los Números Enteros. Si consideramos Z   IN  , Z   IN entonces: Z  Z    0  Z  ,. Donde:. Z     1,  2,  3,  , n, . Conjuntos de los números enteros positivos. Z     1,  2,  3,   ,. Conjuntos de los números enteros negativos.. Nota. Como los conjuntos: Z  ,  0  y Z  son disjuntos, entonces para cada elemento a  Z cumple, exactamente, una de las tres condiciones a  Z- , a  0 ,. o bien a  Z  . 6.

(9) 1.3.. Números Racionales Son los reales con parte decimal periódica y que es posible escribirlos como una razón o cuociente entre enteros.  a Q  b. /. a  Z, b  Z, b  0.   . A los números racionales se les llaman habitualmente fracciones. En todo número racional (fracción) se distingue: raya de fracción . a b. . numerador.  deno min ador. a. Dada una fracción (racional): b , se tiene: 1.. Sí a  b , entonces la fracción es propia y en consecuencia es menor que. la unidad Por ejemplo: 2.. 2 1 5. Sí a  b , entonces la fracción es impropia y en consecuencia es mayor. que la unidad Por ejemplo: 3.. 12 1 5. Si a  b , entonces la fracción es unitaria, y en consecuencia es igual a 1. Por ejemplo:. 21  1 21. Para expresar un número racional (fracción) a decimal, se divide el numerador por el denominador. Se dan 3 casos, considerando fracciones propias: 1.. Decimales exactos o finitos. El resultado es un decimal exacto o finito.. 7.

(10) Ejemplo: 2.. 3  0,750  0,75 4. (decimal finito). Decimales periódicos. El resultado no es exacto y se repite, una o varias cifras después de la coma. Ejemplo:. 3.. 5  1,666   1, 6 3. (infinito periódico). Decimales semi-periódicos. Después de la coma hay una o varias cifras que no se repiten, seguidas de un período. Ejemplo:. 1.4.. 7  0,58333  0,583 (infinito semi-periódico) 12. Números Irracionales Son los números reales que no es posible escribir o expresar como cuociente entre números enteros, por ejemplo. 2 ,. 3.  37 ,.  , e, etc. El conjunto de los. Números Irracionales es el conjunto II  IR  Q .. 1.5.. Números Reales Entenderemos por número real a todo número que se pueda escribir. Definición:. como un número de tipo decimal, sea éste periódico (Racional) o no periódico (Irracional). A este conjunto lo anotaremos por IR .. 8.

(11) 2.. El Cuerpo IR,  ,  . Diremos que el sistema formado por el conjunto y las operaciones de adición (+) y multiplicación (), que anotaremos por: IR,  ,   constituye una Estructura Algebraica de Cuerpo por cuanto satisface los siguientes axiomas (propiedades aceptadas como verdaderas sin demostración):. 2.1.. IR,   es un Grupo Conmutativo, pues cumple: a). Clausura:.  a , b  s : a + b = s. b). Asociatividad:.  a , b , c . c). Conmutatividad:.  a , b , se cumple: a + b = b + a. d). Existe Neutro:.  0  a , tal que. e). Existe Inverso:.  a   a , tal que. ( a + b ) + c = a +( b + c ). a+0=a=0+a. a + (-a) = (-a) + a = 0 "  a " se lee: "inverso aditivo de a" u "opuesto de a".. 2.2.. IR,   es Grupo Conmutativo, pues verifica que: a). Clausura:.  a , b  m  tal que: a  b = m. b). Asociatividad:.  a , b , c :. c). Conmutatividad:.  a , b , se verifica que: a  b = b  a. d). Existe Neutro:.  1 , tal que:. e). Existe Inverso:.  a  , a  0 ,  a 1 , tal que:. ( a  b )  c = a ( b  c ). a1=1a=a. (a-1 )  a = a  (a-1 ) = 1 " a 1 " se lee: "recíproco de a" o "inverso multiplicativo de a".. 9.

(12) 2.3.. IR,  ,   es doblemente distributiva, pues. a, b, c  IR. (multiplicación sobre. adición): a·(b  c)  a·b  a·c. (a  b)·c  a·c  b·c. 3.. Propiedades de los Números Reales. 3.1.. Axiomas de la Igualdad a, b, c  IR : 1.. Todo real es igual a sí mismo: a  a. 2.. Si a  b entonces b  a. 3.. Si a  b y b  c entonces a  c. 4.. Si a  b , entonces a se puede sustituir por b en cualquier enunciado matemático.. Nota. Los primeros tres axiomas no requieren de una explicación detallada. El último y  5  3x ,. demostrará ser muy útil al resolver ecuaciones como por ejemplo: Si. y. si: x  7 determine el valor de y. Solución. Si se sabe qué y  5  3x , y que x  7 , se puede sustituir. x. por 7 para. obtener y  5  3(7)  5  21  16 .. 3.2.. Leyes de la Cancelación en IR,  ,   Una propiedad importante de las igualdades es que, si el mismo número su suma a ambos lados de una igualdad, lo que se obtiene es otra igualdad. Una proposición similar es válida para la multiplicación. Esto es consecuencia del axioma de sustitución.. 10.

(13) . a b  ac bc. a, b, c  IR :   a  b  a  c  bc. Esto es particularmente útil al resolver ecuaciones, si se utiliza en la forma siguiente: acbc a  c  bc.  . ab a  b, c  0. En la segunda de las leyes de la cancelación, es esencial que c  0 ya que por ejemplo: 4 ·0  7 ·0 ,. Propiedad. 3.3.. a, b, c, d  IR :. Sí. pero. 47. a  b, c  d. a  c  b  d   a c  bd. entonces:. La sustracción y la división, que son las otras dos operaciones fundamentales de los números reales, se definen mediante los axiomas de los inversos. Específicamente, la sustracción y la división se definen como sigue:. Definición. Definición. a  b  a  ( b ) , Diferencia de números reales menos b". La división. a : b  a  b 1. es la razón "a dividido por b.. Otras formas de expresar a : b pueden ser. Nota 1. es la resta "a. a b. o bien. a·. 1 b. Tal como sucede con la adición y la multiplicación, la sustracción y la división se definen sólo para dos números reales a la vez. Sin embargo, estas operaciones no cumplen el axioma de Conmutatividad ni el de Asociatividad.. 11.

(14) Nota 2. Existe un único x en IR,   , tal que a  x  b . Se le llama "solución de la x  b  (a)  b  a .. ecuación aditiva" y resulta ser que x está expresado por Nota 3. Existe un único x en IR, ·  , tal que a  x  b , con a  . A dicho elemento x se le llama "solución de la ecuación multiplicativa" y resulta ser que x se designa por: a 1  b . En particular: a 1 se escribe también como a  c  a  c  b, b. Nota 4. 3.4.. 1 a. , es decir: a 1 =. 1 a. b0. Propiedades de la Adición en: IR,   . a, b  IR , se verifica que: 1.. El neutro aditivo: 0, y el opuesto de un número real a, o sea: (a) , son únicos.. 3.5.. 3.6.. 2.. (  a )  a .. 3.. (a  b)  (a)  (b)  a  b .. 4.. ( a  b )  (  a )  b  b  a. Propiedades de la Multiplicación en IR, ·  . a, b  IR : 1.. 1 El neutro multiplicativo: 1 y el recíproco de a, o sea: a , son únicos.. 2.. (a 1 ) 1  a ,. 3.. (a  b) 1  a 1  b 1. siempre que: a  0. Propiedades de la Adición y Multiplicación en IR,  , ·  . a, b  IR . 1.. 1 0. 2.. (a)  (1)  a. 3.. (a)  b  a  (b)  (a  b)  ab. 4.. (a)  (b)  a  b  ab. 12.

(15) Ejemplo. ¿Que valor de x transforma a la expresión: 2 x  3  5 en una proposición verdadera? Solución (2 x  3)  3  5  3 2 x  (3)  3   8 2x  0  8 2·x  8. x4. El proceso descrito anteriormente constituye la resolución de la ecuación dada. También se dice que x (la incógnita) ha sido despejada en la ecuación.. El Cero. Los resultados siguientes son propiedades importantes que el 0 (cero: neutro aditivo) tiene con respecto a la multiplicación y la división: 1.. a0  0a  0. 2.. Si. ab  0. 3.. 0  0  b 1  0 , b. 4.. a 0. entonces:. a  0  . b  0. siempre que b  0 .. está definida para ningún a en IR .. Nota 5. a 0  a0 b. Nota 6. a : No existe  b  0 b. Nunca dividir por Cero. 13.

(16) Ejemplo. Dada la fracción. 2x  6 x5. Solución: ¿Para qué valor de x, la fracción es nula? La fracción es nula si x  3 ¿Para qué valor de x, la fracción no existe? La fracción no existe si x  5. Ejemplo. ¿Qué valor de x transforma a la expresión: (2 x  3)( x  5)  0 en una proposición verdadera? Solución: El valor es x . Nota 7. 3 2. , o bien x  5 , por la propiedad del 0 para el producto.. El axioma del inverso multiplicativo garantiza que hay inverso para todo número real, con la excepción: el neutro aditivo 0 no tiene inverso multiplicativo.. 14.

(17) Ejercicio. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1. La suma de dos enteros positivos cualesquiera es un entero positivo. 2. El producto de dos enteros negativos cualesquiera es un entero negativo. 3. La suma de dos enteros impares cualesquiera es un entero impar. 4. Si x  1  z , y x  3 , entonces z  4 ” es cierta por el axioma de sustitución de la igualdad. 5. El producto de dos números pares es siempre un número par. 6. La suma de dos números impares es un número impar. 7. El producto de dos números impares es siempre un número impar. 8. La fracción. 1 6. representa un decimal no periódico.. 9. x  2 es una solución de la ecuación x 2  3x  12  0 10. El opuesto de 2 es 2.. 15.

(18) EXPRESIONES ALGEBRAICAS. I.. Término Algebraico Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras (factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o la división. Ejemplo 1 ;  3xy. 2a. 2 ; 6a p. 5 3 xy 6. ;. ;. 2 xy 3 3a 4b. De acuerdo a los ejemplos, en todo término algebraico podemos distinguir: a) El Coeficiente o factor numérico, que es el número que acompaña a una o más letras. b) El Factor Literal que es (son) la(s) letra(s) de un término algebraico.. Observación. Como los coeficientes pueden ser positivos o negativos (no olvidar que estamos trabajando en  ), luego los términos algebraicos pueden ser positivos (+) o negativos (-). Se llama grado del término algebraico a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.. Ejemplo 2 2 5 En los términos  5 x y. 6x4 y3 z 2. y. , identifique coeficiente, factor. literal, y el grado..  5x2 y5. Solución. 6x4 y3 z 2. Coeficiente. :. -5. 6. Factor literal. :. x2 y5. x4 y3 z 2. Grado. :. 7. 9 16.

(19) Observaciones. 1.. Si el coeficiente no está escrito entonces es 1.. 2.. Si no aparece el signo este es “+”.. 3.. Si el grado no está escrito, entonces es 1.. Actividad Identifica el coeficiente, el factor literal y el grado, de los términos del Ejemplo 1.. II.. Expresión Algebraica. Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene sólo un término se llama monomio, si posee dos términos se llama binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más se habla de polinomios.. Ejemplos. . Monomios. :. 3 y3. ;.  7 x2. . Binomios. :. 3x 2  5 y. ;. 2  3x. . Trinomios. :. 2x  3y  z. ;. a 2  2ab  c 3. . Polinomios :. 3x 2 y 4  5 xy  6 xz  8 yz. ;. x5  3x 4  7 x3  x 2  4 x  2. 17.

(20) Actividad Completar con una x el cuadro siguiente: Expresión algebraica. Monomio. Binomio. Trinomio. Polinomio. – 16a – 3b – 5c – 9a –3 –2xyz2 8x – 3y 2x2 – 3x + 3 4a2 – 9b2 7a – 4b + 9. Observación:. El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.. Los Polinomios son una clase importante de expresiones algebraicas; los más sencillos son aquellos en una sola variable.. Polinomio de una variable Un polinomio en x es una expresión de la forma:. a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  an 1 x n 1  an x n Donde n es un entero no negativo y a0 , a1 , a2 , a3 , an 1 , an son números reales, con an  0 k Las expresiones ak x son los términos del polinomio. Los números a0 , a1 , a2 , a3 , an 1 , an. son los coeficientes de. x 0 , x, x 2 , x 3 ,, x n 1 , x n , respectivamente. El coeficiente an de. x n (la máxima potencia de x. ) es el coeficiente principal del polinomio. El entero no. negativo n proporciona el grado del polinomio.. Ejemplo: 6 5 3 2 Consideremos el polinomio x  2 x  6 x  7 x  4 x  6. 18.

(21) Entonces: 6 5 3 2 1. Los términos del polinomio son x ,2 x ,6 x ,7 x ,4 x y 6. o 2 3 4 5 6 2. Los coeficientes de x , x, x , x , x , x y x son 6, -4, -7, 6, 0, -2, y 1. respectivamente. 3. El coeficiente principal del polinomio es 1. 4. El grado del polinomio es 6.. Actividad: En base al ejemplo anterior, completar el cuadro siguiente: Polinomio. Términos. Coeficientes. Coeficiente. Grado. Principal  2 x 5  8 x 3  6 x 2  3x  1 2 x 2  3x  3 3x 3  2 x 2  4 x  2 x 4  9 x 3  3x 2.  y4  6 y3  3y2  4 y  6  a 4  2a 2. La mayor parte de la terminología presentada en el caso de un polinomio de una variable se aplica también en el análisis de polinomios en distintas variables. Pero el grado de un término en un polinomio en diferentes variables se obtiene sumando las potencias de todas las variables que aparecen en el término y el grado del polinomio está dado por el término de grado máximo. Ejemplo: 2 x 2 y 5  3 xy 3  8 xy 2  3 y  4 ,. es un polinomio en dos variables, x e y . Tiene cinco términos. con grados 7, 4, 3, 1 y 0 respectivamente. Por lo tanto, el grado del polinomio es 7.. 19.

(22) III.. Términos Semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando poseen el mismo factor literal (en donde cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente. Ejemplo: xz2. ;  3xz 2 ;. 3 2 xz 4. Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico.. IV.. Reducción de Términos Semejantes. En una expresión algebraica entenderemos por Reducción de Términos Semejantes efectuar la adición y/o sustracción de los términos semejantes que en ella estén contemplados.. Ejemplos. Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:. 1. 2ab –3a2b – 4a2b – 6ab +8ab3 + 9a3b Solución. Marcando de manera distinta los términos semejantes que aquí aparecen, tenemos:. 2ab – 3a2b – 4a2b – 6ab + 8ab3 + 9a3b =. – 4ab – 7a2b + 8ab3 + 9a3b.. 2. – 21a + 3b – 5c + 2d Solución. Dado que no existen términos semejantes, el resultado es el mismo polinomio, es decir:. – 21a + 3b – 5c + 2d.. 20.

(23) En todo término se puede reconocer dos componentes de. Observación. importancia; Coeficiente Numérico y Factor Literal (potencias de base literal o productos entre ellas). A veces, los coeficientes quedan ocultos o no se expresan. Por ejemplo cuando el coeficiente es ‘1’ ó ‘–1’ se escribirá como sigue: –1x3y2, se escribirá –x3y2. 1x3y2, se escribirá. x3y2.. 3. 4ab2 – 5a2b3 – ab2 + a2b3 + 7 ab2 – 15a2b3 – 3a2b Solución 4ab2 – 5a2b3 – ab2 + a2b3 + 7ab2 – 15 a2b3 – 3a2b = 10ab2 – 19a2b3 – 3a2b.. 4. – mn + 3mn2 + mn – mn2 + 5 Solución mn + 3mn2 + mn – mn2 + 5 = 2mn2 + 5. V.. Algunas Operaciones con Expresiones Algebraicas. a). Evaluación de expresiones algebraicas Si consideramos que en una expresión algebraica los factores literales representan números reales, entenderemos que evaluar una expresión algebraica consiste en asignarle un valor numérico a cada literal y calcular el valor final resultante de ejecutar todas las operaciones. Ejemplos 1. Evaluar –3ab + c,. para:. 1º) a = 2; b = –1; c = 3. 2º) a = –3; b = 0; c = –2. 3º) a = 0; b = 6; c = 7.. 21.

(24) Solución:. 1º) Para a = 2; b = –1; c = 3. –3ab + c = –3·2· (–1) + 3 = 6 + 9 = 9. 2. –1. 3. 2º) Para a = –3; b = 0; c = –2. –3ab + c = –3· (–3)·0 + (–2) = 0 – 2 = – 2 Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero –3. 0 –2. 3º) Para a = 0; b = 6; c = 7. –3ab + c = –3·0·6 + 7 = 0 + 7 = 7 Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero 0. 2.. 6. Evaluemos –x2,. 7. para: 1º) x = –2. 2º) x = 2.. Solución:. 1º) Para x = –2. –x2 = – (–2)2 Primero se ejecuta la potencia (–2)2 = (–2)(–2) = 4 =–4 –2 Luego, –x2. = – 4, cuando x = –2.. 2º) Para x = 2. –x2 = – 22. Primero se ejecuta la potencia 22 = 22 = 4. = –4 2 Luego, –x2. = – 4, cuando x = 2.. 22.

(25) 3.. Evaluemos (–x)2,. para:. 1º) x = –2. 2º) x = 2.. Solución:. 1º) Para x = –2. (–x)2 = (– (–2))2. Primero observamos que – (–2) = 2. = 22 = 4 –2 Luego, (–x)2 = 4, cuando x = –2. 2º) Para x = 2. (–x)2 = (–2)2 = 4 2 Luego, (–x)2 = 4, cuando x = 2.. Observación: Note lo relevante que resulta el signo de agrupamiento, el paréntesis, como se observa en los ejercicios anteriores (fijarse en el Ejercicio 2): –x2, es lo mismo que, –(x)2. En la potencia, la base es “x” y su exponente es “2”. Pero, en (–x)2, la base es “–x” y su exponente es “2”.. b). Adición de Expresiones Algebraicas o Suma de Polinomios Para sumar polinomios, sean monomios o multinomios, bastará cumplir con dos etapas: 1º) Eliminar los paréntesis según las reglas que vimos al operar números enteros o racionales. 2º) Agrupar y reducir los términos semejantes cuando corresponda.. 23.

(26) Ejemplo. Sumar las expresiones ‘x2y + x – 4xy’ y ‘6x2y – 2x + 4xy + xy2’. Solución: Queremos sumar las expresiones algebraicas, es decir, queremos obtener una expresión que sea igual a: P = (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2). Primero recordemos que, si delante de un paréntesis hay un signo “más”, los signos de los términos que están en su interior no cambian. Posteriormente agrupamos los términos semejantes para finalmente reducirlos: x2y + x – 4xy + 6x2y – 2x + 4xy + xy2 = x2y + 6x2y + x – 2x + –4xy +4xy + xy2 = (1 + 6)x2y + (1 – 2)x + (–4 + 4)xy + xy2. Luego: P = 7x2y + (–1) · x + 0 · xy + xy2 P = 7x2y – x + 0 + xy2 P = 7x2y – x + xy2 Por lo tanto: (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = 7x2y – x + xy2. c). Sustracción de Expresiones Algebraicas o Resta de Polinomios. Para restar expresiones algebraicas debemos recordar que, si delante de un paréntesis hay un signo “menos”, deben cambiar los signos de los términos que se encuentran en su interior.. Ejemplo. Al polinomio x2y + x – 4xy restarle el polinomio 6x2y – 2x + 4xy + xy2. Solución:. (x2y + x – 4xy) – (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = x2y + x – 4xy – 6x2y + 2x – 4xy – xy2 y se suma como en el ejemplo anterior:. = (1 – 6)·x2y + (1 + 2)·x + (– 4 – 4)xy – xy2 = – 5x2y + 3x – 8xy – xy2.. 24.

(27) d) Eliminar Paréntesis y Reducir Términos Semejantes Aprovechando lo señalado en los puntos anteriores b) y c), veamos un ejemplo de reducción de términos semejantes, eliminando paréntesis. Ejemplo: Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes.   3 x  y   x  2 x  y    x  y   3 y  4 x . Solución:. Iremos desde el interior al exterior:.   3 x  y   x  2 x  y    x  y   3 y  4 x     3 x  y   x  2 x  y  x  y   3 y  4 x    3 x  y  x  2 x  y  x  y  3 y  4 x    3 x  y  x  2 x  y  x  y  3 y  4 x .  3x  y  x  2 x  y  x  y  3 y  4 x  x  2y. Actividad 1.. Resolver los ejercicios que a continuación se plantean:. Sumar las expresiones: a) (5r + 6s – 2r2s3) y (2s + 4r + 2r2s3) b) (2x2 –. 7 1 2 x + 3) y ( x2 + x – 3) 3 3 5. c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2). 2.. Restar las expresiones: a) (5r + 6s – 2r2s3) y (2s + 4r + 2r2s3) b) (2x2 –. 7 1 2 x + 3) y ( x2 + x – 3) 3 3 5. c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2). 25.

(28) 3.. 4.. Evaluar, para los valores dados, las siguientes expresiones: a) 7x2y – 5xy + l. si x = –1 e y = 1. c) 27 r3 – 9r2 + 3r. si r =. 1 3. b) 2a2b –. 1 ab + 3a 3. si a =. d) 16x4 – 8x3 + 2x – 1. 1 3 y b= 2 2. si x = –. 1 2. Elimine paréntesis y reduzca términos semejantes: a) (3a2 + 2ab + c) + (3c – 4a2 – ab) b) (10x2y + 5xy2 –3xy + 2) – (–4xy – 2x2 +4y2) c) (2x2y + 4xy2 + 6xy) – (8x3 + 16x2y + 4xy2) – (–xy2 + 4xy + 2) d) [(8a2 – 6b2) – (14ab + 2b2)] – [5a2 + 6ab + 10b2] e) [20x2 – 12xy + 15y2] – [(4x2 + 8y2) – (10xy – 5y2)] f). (a2 + a) – [(2a2c + 6ac2 + 8ac) – (–3a2c + 6a2 + 9ac)]. 26.

(29) POTENCIAS EN IR. Potencias de Exponente Natural. La expresión an se llama potencia enésima de a, y es igual al producto de n factores a. Es decir: an = a·a· ……·a, n número natural. n factores donde: a:. se llama base de la potencia. n:. se llama exponente de la potencia. an:. se llama n-ésima potencia de a. an. Exponente. Base. Ejemplos: a). 23 = 2·2·2 = 8. b). (2)3 = (2) · (2) · (2) = 8. c). (3)2 = (3) · (3) = 9. d). y4 = y · y · y · y. e). a2 = a · a. f). x1 = x. Observaciones: 1.. 0n = 0·0·.....·0 (n factores) Luego:. Para todo n  IN: 0n = 0. 27.

(30) 2.. 1n = 1·1·.....·1 (n factores) Luego:. 3.. Para todo n  IN: 1n = 1. ( a )2 = (a)·(a). base (a), exponente 2. ( a2 ) = (a  a). base a, exponente 2. El exponente no alcanza al signo.. Usualmente escribiremos: a2 en vez de (a2), pues el exponente tiene alcance mínimo. Para que afecte al signo será preciso usar paréntesis.. Luego:. - ( an ) = - an. En general:. (a)n  an. Más aún:. (a)n = an, sólo cuando n es impar.. Ejemplos a) 52 = (5·5) = 25 (5)2 = (5) · (5) = 25. en cambio: b) 23 = (2·2·2) = 8. por otro lado: (2)3 = (2) · (2) · (2) = 8 y, por último:  (2)3 =  [(2)·(2)·(2)] = 8 c) En particular, veamos las potencias de ‘1’: (1)1 = 1; (1)3 = 1;. (1)2 = 1;. (1)4 = 1;. (1)5 = 1;. (1)6 = 1; etc.. En general se cumple que: 1º. (1) elevado a exponente impar es 1. 2º. (1) elevado a un exponente par es 1.. 28.

(31) 1º. (1)2n  1 = 1 , con nIN.. Es decir:. 2º. (1)2n = 1 , con n IN. 4.. En general toda potencia de exponente par es mayor o igual que cero: a2  0, para cualquier número real a.. 5.. a . n m. Observe que.  an. m. Ejemplo: (23)2 = (23) · (23) = (2·2·2)·(2·2·2) = 26;. 2 . 3 2. Es decir:. 6..  23. en cambio,. 3·3 9 23 = 2 = 2 2. 2. Las Potencias de 10 con exponente natural se usan para anotar abreviadamente números muy grandes. 101 = 10 102 = 10·10 = 100 103 = 10·10·10 = 1.000 104 = 10·10·10·10 = 10.000 10n = 10·10·......·10 = 10..........0. n factores. Ejemplos:. a). n ceros. La distancia aproximada de la tierra al sol es ciento cincuenta y cinco millones de kilómetros. La notación abreviada por potencias de 10 es:. 155.000.000 km. = 155·1.000.000 km. = 155·106 km. b). La distancia aproximada de la tierra a la luna es 384.000 kilómetros y la escribimos:. 384.000 km. = 384·1.000 km. = 384·103 km.. 29.

(32) O bien, usando decimales, se expresa en notación científica: 384.000 km. = 3,84·100.000 km. = 3,84·105 km. Actividad. Resuelva. 1). Calcular el valor de las siguientes potencias: 25. a). 2). 52. b). (2)5 d). c). 117. e). 171. Diga qué número es mayor: a) 2 3 2 ó (23)2. b). 32. 3. ó (32)3. c). 33. 3. ó (33)3. Soluciones c) 32;. 1.. a) 32;. b) 25;. 2.. 9 6 a) 2 3 2  2 3 ; ya que 2  2 ;. d) 1;.  . 2. b). e) 17. 3.  . 3. 3 2  3 2 ; ya. que. 38  36 ;. 3. c) 3 3  ( 3 3 ) 3 ; ya que 3 27  3 9. 7.. Potencia de Exponente Cero Definición:. Para todo número real a distinto de cero, la potencia a0 vale 1. x 0. x0  1 ;. Es decir:. Ejemplos: (2)0 = 1;. a) 20 = 1; 0. 0. (22)0 = 1..  2   2 b)    1 ;    1; 5  5  c) 20 = 1, recuerde 00.  2. 0. 1. 20 = (20) = (1) = 1. Expresión Algebraica No definida. 30.

(33) 8.. Potencia de Exponente Entero Negativo Definición: 1.. Se define la potencia de base a (número real distinto de cero) y exponente ‘1’ como el inverso multiplicativo o recíproco de a.. Es decir: a1 =. 1 a. ; con a 0,. 2. Generalizando, se define la potencia de base real a (distinta de cero) y exponente entero negativo ‘n’ como el recíproco de la n-ésima potencia a o, de otro modo, como la n-ésima potencia del recíproco de a. Es decir:. a. n. 1 1  n   a a. n. ; con a 0, nIN. Ejemplos a). 1 21 = , 2. b). 2–3 =. c). 1 a. 1 1 = 23 8. pero, (2)–3 = 1. pues a –1 =. 1.  2. 3. =. 1 1 = 8 8. 1. 1 1 2 1 1 1 : 1  1     = = = = 2; luego: =2 2 1  2 2. 2. 1. d). 1. 3 2 2 3  3   = 3 = 1 : = 1  = ; luego:   2 3 3  2 2. 2. 1. =. 2 3. 31.

(34) Observación. 1 = 1; x0. a). x 0 =. b). x (  5) =. c). Potencia de 10 (exponente negativo): Vimos que las potencias de base. note que 0 = 0,. luego x– 0 = x0 = 1. 1 = x5 x -5. diez con exponente entero positivo o natural, nos sirvieron para anotar números grandes. Ahora veremos que con exponentes enteros negativos podremos anotar números decimales pequeñísimos.. Las potencias de exponente entero negativo para el 10 son: 101 =. 1 = 0,1 10. 102 = 10 2 = 100 = 0,01. 103 =. 1 1 = 0,001 3 = 1.000 10. 104 =. 1. 1. 1 1 = 0,0001 4 = 10 10.000. Ejemplos: a). El diámetro de una molécula de aire es 2,5 10-8 cms.. b). Un átomo de hidrógeno pesa 1,6 10-24 gramos.. c). La masa de un electrón es 9,108 10-31 kg.. 32.

(35) ALGEBRA DE POTENCIAS EN IR. 1.. Propiedades. Para todo a, b  IR y n, m  Z se tiene 1.. a n  a m  a n m. Se suman los exponentes. 2.. a n  b n  ( a  b) n. Se multiplican las bases. 3.. ( a n ) m  a nm. Se multiplican los exponentes. 4. 5.. Ejemplos:. Ejemplos:. an am an bn.  anm. Se restan los exponentes. a   b. n. Se dividen las bases. a 4  a 3  a 43  a 7. a 5 . 1. a7. 5. a4. a. Nota 1.  a 3 4  a 3·4  a12. a 5  b 5  ( a  b) 5. a7. a   7 b b.  a 74  a 3. 7. La expresión: a n  b m (Suma de Potencias). Se calcula por separado, salvo cuando a es igual a b y m es igual a n. Caso en el cual, se suman por ser n m n m términos semejantes. Las operaciones: a  b , a  b carecen de una. propiedad operativa. Se calculan las potencias por separado y luego se multiplican o dividen según corresponda.. Nota 2. Es totalmente incorrecto si se escribe (a 1  b 1 ) 1  (a 1 ) 1  (b 1 ) 1  a  b . Para 1 1 a  2 y b  4 se tiene (a 1  b 1 ) 1  (2 1  4 1 ) 1      2 4. 1.  3    4. 1. . 4 , 3. es claro. que a  b  2  4  6 .. 33.

(36) 2.. Signos de una Potencia a). Si la base es positiva, la potencia también es positiva.. b). Si la base es negativa y el exponente es par, entonces la potencia es positiva.. c). Si la base es negativa y el exponente es impar, entonces la potencia es negativa.. Es decir:. Si a  0 entonces a n  0 Si a  0 entonces a 2n  0 Si a  0 entonces a 2n 1  0. En consecuencia, para. Importante. Ejemplo. 3.. a0. (a) 2n  a 2n. (3) 4  3 4. (a) 2 n 1  (a 2 n 1 ). (5) 3   5 3. ( x  y ) 2  ( y  x) 2. ( x  y ) 3  ( y  x ) 3.  . (2) 5   2 5  32.  . (3) 6  3 6  729. Productos Notables con Potencias Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos los siguientes productos:. ( a  b) 2  a 2  2  a  b  b 2. ( a  b) 2  a 2  2  a  b  b 2. 34.

(37) El cuadrado de la suma (o de la diferencia) de dos números es igual al cuadrado del primer término, más (o menos) el doble producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.. ( x  7) 2  x 2  2·x·7  7 2  x 2  14 x  49. Ejemplo. ( x  4) 2  x 2  2·x·4  4 2  x 2  8 x  16. Cubo de una suma o de una diferencia: (a  b) 3  a 3  3·a 2 ·b  3·a·b 2  b 3. (a  b) 3  a 3  3·a 2 ·b  3·a·b 2  b 3. El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (a  b)(a  b)  a 2  b 2. ( x  7) 2  x 2  2·x·7  7 2  x 2  14 x  49. Ejemplo. ( x  4) 2  x 2  2·x·4  4 2  x 2  8 x  16. Producto de dos binomios con un término común: ( x  m)( x  n)  x 2  (m  n)·x  m·n. ( x  2)( x  5)  x 2  (2  5)·x  2·5  x 2  7 x  10. Ejemplo. Nota. ( x  y) 4  x 4  y 4 ,. Si consideramos. ( x  3)( x  4)  x 2  (3  (4))  x  3  (4)  x 2  x  12. ( x  y). como un solo término será:. ( x  y ) 4  ( x  y )3 ·(x  y ). Importante. ( x  2)·(x  3)  x 2  6. (2 x  3) 2  4 x 2  9. 35.

(38) 4.. Factorización. En la sección anterior multiplicamos expresiones algebraicas; en esta sección, invertiremos el proceso para escribir una expresión algebraica como el producto de quienes generaron dicha expresión. Es decir, factorizar una expresión algebraica (suma y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, o sea, es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto.. En la sección anterior: El problema era: Resolver un producto de expresiones algebraicas. La solución era: Una expresión algebraica con su reducción de términos semejantes, si los había. En esta sección: El problema es: Una expresión algebraica. La solución será: El producto que generó la expresión algebraica.. 4.1.. Factores Comunes Si cada uno de los términos de un polinomio tiene como factor el mismo término a éste se le llama factor común del polinomio. Según el axioma de distributividad se tiene que: x  ( y  z )  x·y  x·z  xy  xz. Al utilizar esto en sentido contrario es posible factorizar un polinomio. Por ejemplo: ab  ac  ad  a·b  a·c  a·d  a  (b  c  d ). 36.

(39) Ejercicio 1: Factorizar:. 8 x 3  4 x 2  12 x . Ejercicio 2: Factorizar. 6 x 3 y  12 x 2 y 2  18 xy 2 . 4.2.. Factores de un Binomio Los productos especiales dados anteriormente se pueden utilizar como reglas auxiliares para factorizar algunos tipos de polinomios.. 4.3.. Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados de dos números reales es igual al producto de la suma por la diferencia de los dos números. x 2  y 2  ( x  y )·(x  y ). Ejemplo. 4.4.. 4 x 2  121  (4 x  11)·(4 x  11). 9 x 2  25  (3 x  5)(3 x  5). Suma de cubos y diferencia de cubos La suma de cubos x 3  y 3 , así como la diferencia de cubos x 3  y 3 , siempre se pueden factorizar: x 3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ). x 3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ). Ejemplo. Nota 1. x 3  1  ( x  1)·(x 2  x  1). x 3  1  ( x  1)·(x 2  x  1). Existe una gran diferencia entre los siguientes desarrollos: x 3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ). ( x  y ) 3  x 3  3 x 2 y  3xy 2  y 3. 37.

(40) 5.. Factores de trinomios. 5.1.. Trinomios que son cuadrados perfectos Ciertos trinomios se pueden escribir como el cuadrado de un binomio empleando las fórmulas siguientes:. Ejemplo. Nota 2. ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2. ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2. 4 x 2  12 x  9  (2 x  3) 2. 9 x 2  24 x  16  (3x  4) 2. La siguiente suma de cuadrados perfectos. x2  y2 .. NO es factorizable con. coeficientes reales.. 6.. Factorización de un Trinomio Cuadrático 2 Se denomina trinomio cuadrático a todo trinomio de la forma t ( x)  ax  bx  c , y. donde a, b y c son números reales y a  0 . En particular consideremos las siguientes formas: Forma 1. t ( x)  x 2  bx  c ,. Forma 2. t ( x)  ax 2  bx  c ,. donde. b, c  Z  0. a, b, c  Z  0. donde. La forma (1) es factorizable con coeficientes enteros sí existen m y n números enteros no nulos tal que: t ( x)  x 2  bx  c  ( x  m)( x  n). En este caso se debe de verificar que: mn b. m·n  c. 38.

(41) x 2  7 x  6  ( x  1)( x  6). Ejemplo. Ejercicio 1. Factorizar:. t ( x)  x 2  5 x  6. x 2  12 x  13  ( x  1)( x  13). t ( x)  x 2  5 x  6. La forma (2) es factorizable con coeficientes enteros sí: b 2  4ac es un cuadrado perfecto no negativo. La factorización de la forma (2) donde a, b y c son números enteros no nulos, debe de ser expresada como: ( p·x  m)·(q·x  n). Donde m, n, p y q son números enteros no nulos. Se deduce que para lograr esto en forma eficiente, es útil escribir los factores de a por pares y los factores de c por pares, ya que deberá cumplirse p·q  a,. m·n  c,. p·n  m·q  b. Lo anterior lo podemos ver en el siguiente desarrollo al aplicar la propiedad distributiva: (mx  n)( px  q )  px  qx  px  n  m·qx  m·n  p·q·x 2  ( pn  mq)  x  m·n  ax 2  bx  c  t ( x). Ejemplo. 6 x 2  13 x  5  (2 x  1)(3 x  5). t ( x)  6 x 2  5 x  4. 10 x 2  7 x  12  (5 x  4)(2 x  3). t ( x)  6 x 2  5 x  4. Ejercicio 2. Factorizar:. Nota. Se puede suponer que a  0 , ya que siempre es posible, si se requiere, factorizar por (1) . t ( x)  15 x 2  11x  12  (15 x 2  11x  12). Nota. Si no existen valores que satisfagan, entonces el trinomio cuadrático es un polinomio primo o irreductible, lo que se determina sí la expresión b 2  4ac ,. 39.

(42) obtenida de los coeficientes del trinomio cuadrático, representa a un número real negativo. Ejemplo. t ( x)  2 x 2  3 x  5. no es factorizable pues b 2  4ac  3 2  4(2)(5)  31  0. Ejemplo. t ( x)  2 x 2  3 x  5. si es factorizable pues b 2  4ac  3 2  4(2)(5)  49  0. Nota:. Este método también se aplica a polinomios en dos variables de la forma P ( x, y )  a·x 2  b·x·y  c·y 2. Ejemplo. P ( x, y )  4 x 2  12 xy  9 y 2. es factorizable pues. P ( x, y )  (2 x  3 y )(2 x  3 y ). Como se ha podido apreciar, los Productos Notables vistos en la sección anterior son muy importantes para efectuar Factorizaciones. Con el objetivo de internalizar y visualizar de mejor forma una factorización de una expresión algebraica, por medio especialmente, de su producto notable respectivo, presentaremos el siguiente cuadro:. 40.

(43) RESOLVER. FACTORIZAR. Los Siguientes Productos. Las Siguientes Expresiones Algebraicas .  aa. a2. a ( a  b). a 2  ab. ( a  b) 2. a 2  2ab  b 2. ( a  b) 2. a 2  2ab  b 2. (a  b)(a  b). a 2  b2. ( x  a)( x  b). x 2  (a  b) x  ab. (a  b  c) 2. a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc. ( a  b) 3. a 3  3a 2b  3ab 2  b3. ( a  b)3. a 3  3a 2b  3ab 2  b3. (a  b)(a 2  ab  b 2 ). a 3  b3. (a  b)(a 2  ab  b 2 ). a 3  b3. 41.

(44) Actividad 1.. Unir la expresión algebraica de la columna “A” con su correspondiente factorización en la columna “B”. COLUMNA “A”. x 6 y 3  3x 4 y 4  3x 2 y 5  y 6 x6  y 4  4 z 2  2 x3 y 2  4 x3 z  4 y 2 z 25 x 2  x 6 y 4 49 x 4  28 x 3 y  4 x 2 y 2 x 2  4 x  12 x6  y 6 x6 y 2  4 x3 y  4 x 3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3. x 3  8y 6 4 x 2  9 y 2  z 2  12 xy  4 xz  6 yz x 2  xy  12 y 2 x2  4 y 2  x  2 y 10 x 2 y 3 z 4  15 x 3 y 2 z 4  30 x 4 y 3 z 2. COLUMNA “B”. ( x 2 y  y 2 )3 ( x  2 y 2 )( x 2  2 xy 2  4 y 4 ) ( x  2 y )( x  2 y  1) (7 x 2  2 xy ) 2 (5 x  x 3 y 2 )(5 x  x 3 y 2 ) ( x3  y 2  2 z)2 ( x  3 y )( x  4 y ) 5 x 2 y 2 z 2 (2 yz 2  3xz 2  6 x 2 y ) ( x 3 y  2) 2 ( x  2 y )3 ( x  6)( x  2) ( x 2  y 2 )( x 4  x 2 y 2  y 4 ) (2 x  3 y  z ) 2. 42.

(45) FRACCIONES ALGEBRAICAS. 1.. Expresión Fraccionaria Una expresión fraccionaria es un cuociente o división de expresiones algebraicas.. Ejemplo. a.. 3  5x x 1. b.. x 2x  5. c.. 2 x 2  3x  1 x2  5 x. Nota. 1.1.. La división por cero no está definida. Expresión racional Tipo especial de expresión fraccionaria que es igual al cociente (o razón) de dos polinomios.. Ejemplo. a. b. c.. 4 x 2  3x  1 x2 1 3x 3  3x 2  5 x  1 x 2  4x  5 x 2  3x  2 x3  1. 43.

(46) 1.2.. Fracciones Equivalentes Para todos los números reales a, b, c y d se tiene:. a c  b d.  ad  bc ,. b0,. d 0. La definición de fracciones equivalentes cambia la igualdad de dos. Nota. fracciones (igualdad de dos divisiones) por la igualdad de dos productos.. Ejercicio. Indique para que valores de la variable las siguientes fracciones son equivalentes:. 1.3.. 4x  5 5. y. 3x  7 3. .. Principio fundamental de las fracciones ak a  , bk b. Ejemplo:. 1.4.. a.. 30  15 x 15·(2  x) 2x   15 x  15 15·(x  1) x 1. b.. 8x 4·2 x 2x   4 x  12 4·(x  3) x3. k  0,. b0. Signo de las Fracciones a a a a    b b b b. . a a a a    b b b b. , b0. ,b0. 44.

(47) 1.5.. Amplificación y Simplificación de una fracción El principio fundamental de las fracciones, el cual es:. ak bk. . a b. , con b  0 , si k es. distinto de cero, se puede utilizar en dos formas. Una fracción se puede simplificar eliminando un factor común tanto del numerador como del denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar o reducir. Por otra parte, en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la multiplicación, en el numerador y en el denominador. A esto se le llama amplificar.. Simplificación: Se dice que una fracción está en su expresión mínima, si el numerador y el denominador no tienen factores comunes (a excepción del 1 como factor). El principio fundamental se puede utilizar para reducir una fracción a su expresión mínima eliminando los factores comunes del numerador y del denominador.. Nota:. Sólo se pueden eliminar los factores comunes, no los términos que se sumen o resten. Los miembros de una fracción se deben factorizar de tal modo que los factores comunes se identifiquen con claridad.. Amplificación: En muchas operaciones, una expresión debe tener cierta forma específica. Esto último se puede lograr a menudo si ambos miembros de la fracción se multiplican por una misma expresión. El efecto es multiplicar la fracción por 1, pues: a a ak a k  1    , b b b k bk. b  0,. k0. 45.

(48) 2.. Multiplicación y División de Fracciones.. 2.1.. Producto de Fracciones Si. a b. y. c d. son dos fracciones en la que b y d (sus denominadores) son. diferentes de cero, su producto es: a c a·c ·  , b d b·d. b·d  0. El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas. Ejemplo. Calcular:. 2 x(3  5 x) 2 x 3  5x   x 1 7 7·(x  1). Ejemplo. Calcular:. 2 x  3 3x  5 6 x 2  x  15   2 x2 x5 x  3x  10. Ejemplo. Calcular:. 4x 3 12 x   2x  3 x4 2 x 2  11x  12. 2.2.. , siempre que x  1 , siempre que x  2 y x  5 , siempre que x . 3 2. y x4. Producto de una Fracción por una expresión entera a a·E E  , b b. Demostración:. Ejemplo. b0. a a E aE aE E     , 1 b b b 1 b. 21x 3x 3x·7 ·7   4x  8 4x  8 4x  8. b0. , siempre que x  2. 46.

(49) Ejemplo. Nota. 2 x  (5 x  2) 10 x 2  4 x 2x  (5 x  2)   1  3x 1  3x 1  3x. , siempre que. x. 1 3. Casi siempre es útil reescribir el producto en su expresión mínima. Para simplificar el trabajo, los miembros de las fracciones se deberán factorizar, en caso de ser posible, antes de formar o calcular el producto. En esa forma, los factores comunes se pueden ver con facilidad y eliminarse por simplificación.. Ejemplo. Opere y simplifique. x2  1 2x 1  2 3x  1 x  x  2. x2 1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)(2 x  1) ( x  1)(2 x  1) 2x  1 2x  1      3x  1 x 2  x  2 3x  1 ( x  1)( x  2) (3 x  1)( x  1)( x  2) (3x  1)( x  2). siempre que. 2.3.. x  1 , x  2. y. ,. x   13. División de Fracciones Para dividir:. a b. por. c d. en donde b, c y d son diferentes de cero se escribe: a c a d :   b d b c. Demostración: a a d a d   ac b  b c  b c  a  d  ad   c c d b d 1 b c bc  d d c. Nota. El reciproco o inverso multiplicativo de. c d. es. d c. . Esto permite expresar la. división de fracciones verbalmente como sigue: Para hallar el cuociente de dos fracciones, se multiplica por el recíproco del denominador.. 47.

(50) Ejemplo:. Ejemplo:. 3·(x  4) 3 x4 5 3 3x  12 :     5 5·(x  2) 5 x  10 x2 x4 x2. x3 3x 3x·(x  3) x5 3x 3x 2  9 x     2 : x 3 x3 x 3 x5 ( x  3)·(x  5) x  2 x  15. Siempre que Ejemplo:. x2 1 x2  4. :. x  3 , x  3. y. x  5. x  2 , x  2. y. ,. x0. División de una Fracción por una expresión entera a a :n  , b bn. bn  0. Ejemplo. 2x 2x 2x : ( x  3)   2 ( x  4)( x  3) x  x  12 x4. Ejemplo. 31  31x 31  31x 31(1  x) 31 : ( x  1)    , 5x  4 (5 x  4)( x  1) (5 x  4)( x  1) 5 x  4. 2.5.. ,. x2 x2 x 2 ·(x  2) 2x x2 x2 x2       x2 ( x  2)( x  2) 2 x ( x  2)·(x  2)·2 x x 2  4 2x 2x 2  4x. Siempre que. 2.4.. , siempre que x  2 y x  4. , Siempre que. x4. y. x  3 .. x  54 , x  1. División de una expresión entera por una fracción n:. a nb  , b a. b  0,. 4 x  1 2 x·(4 x  1) 4x  1 6x 2 ,  2x ·   4x  1 2·3·x·x 3x 6x 2. Ejemplo. 2x :. Ejemplo. (3x  2) :. a0. x  0,. x. 1 4. 5x  1 (3x  2)(5 x  1) 15 x 2  13 x  2 2x  5  (3 x  2) ·   5x  1 2x  5 2x  5 2x  5. 48.

(51) 3.. Adición y Sustracción de Fracciones. 3.1.. Denominadores Iguales Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo (igual) denominador, simplemente sé reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores, según sea el caso. a b ab   , d d d. a b a b   , d d d. con. con. d 0. d 0. Esto es válido debido a la ley distributiva, ya que: a b ab 1 1 1   · a ·b · a  b   d d d d d d. Nota. Para evitar errores al sumar o restar los numeradores, es recomendable encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar las operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola se reducen términos semejantes y se reduce la nueva fracción a su mínima expresión.. Ejemplo:. 3x  2 2x  7 (3x  2)  (2 x  7) 5x  5 5·(x  1)      ( x  1) 5 5 5 5 5. Ejemplo:. 2x  1 ( x 2  2)  (2 x  1) x2  2 x 2  2x  1    3x 3x 3x 3x. Ejemplo:. 1  2x ( x 2  2 x  2)  (1  2 x) x 2  2x  2 x2 1    x2 x2 x2 x2. , siempre que x  0 siempre que x  2. 49.

(52) 3.2.. Denominadores distintos Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar o restar no son iguales (son distintos), primero se cambian las fracciones originales por fracciones equivalentes con el mismo denominador, y luego se suman o restan como ya se ha indicado.. Nota. a c ad  bc   , b d bd. con. bd  0. a c ad  bc   , b d bd. con. bd  0. Se hace que cada fracción tenga el mismo denominador multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor (o por la misma expresión). Se usa el principio fundamental, que nos permite la amplificación:. a ak  , k  0, b bk. Ejemplo. 7x x5 x2 (7  x )·3 x x5 ( x  2)·2 x      2 2x 3x 2 x  3x 2·3·x·x 3x  2 x 6x . . . Ejemplo. b0. (7  x )·3 x  ( x  5)  ( x  2)·2 x 6x2. 21x  3 x 2  x  5  2 x 2  4 x 6x2 18 x  5 x 2  5. Dada la expresión E ( x ) . 6x2. x  x2 1 x. 2. . , siempre que x  0 1 x 1  2x  x. 2. . 1  2x . 1 x. Simplifíquela y evalúe para x  0, x  1 :. 50.

(53) Solución: E ( x) . . x  x2 1 x. 2. . 1 x 1 2x  x. 2. . 1 2x 1 x. x (1  x ) 1 x (1  2 x )(1  x )   (1  x )(1  x ) (1  x )(1  x ) (1  x )(1  x ). . x (1  x )  (1  x )  (1  2 x )(1  x ) (1  x )(1  x ). . x  x2 1 x 1 x  2x2 (1  x )(1  x ). . x 2  3x (1  x )(1  x ). . x ( x  3) (1  x )(1  x ). Al evaluarla para x  0, x  1 , obtenemos: E ( x  0) . 0·(0  3) 0  0 (1  0)(1  0) 1. E ( x  1) . ( 1)·(1  3) 2  (1  1)·(1  1) 0 , la expresión no está definida. para x  1. 4.. El mínimo común denominador m.c.d.. El mínimo común denominador de varias fracciones es igual al mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones Se abrevia m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor), y por lo general se escribe en forma factorizada. El m.c.d. debe ser divisible por cada uno de los denominadores y sólo debe de contener a aquellos factores necesarios para satisfacer este requerimiento. Para determinar el m.c.d, se comienza por factorizar cada uno de los denominadores de las fracciones que se suman o restan en sus factores primos. 51.

(54) Luego se escribe el producto de los distintos factores primos de los denominadores y se da a cada factor primo un exponente igual al máximo exponente de ese factor primo en cualquiera de los denominadores dados.. Ejercicio. 3. 4. 2. Opere y simplifique la expresión E ( x )  x 2  1  x 2  x  2  x 2  4 . Solución: E ( x) . Nota. 3 4 2 3( x 2  4)  4( x  1)( x  2)  2( x 2  1)    ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  2) ( x  1)( x  1)( x  2)( x  2). .... La suma o resta de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe reducirse a sus términos mínimos.. Nota. Sólo es necesario hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) cuando se suman o se restan fracciones. No se requiere el m.c.d. al multiplicar o dividir fracciones algebraicas.. 5.. Adición y Sustracción de Fracciones y expresiones enteras a a  bn n , b0 b b. a a  bn n  , b0 b b. Ejemplo. 3x 2  2 (3 x 2  2)  3 x·(x  1) 3x 2  2  3x 2  3x 3x  2  ( x  1)    , 3x 3x 3x 3x. x0. 52.

(55) Ejercicio:. 3( x  h)  5 3x  5  2x Opere y simplifique la expresión: E ( x, h)  2  ( x  h) h. Solución 3( x  h)  5 3x  5  2  ( x  h) 2x E ( x, h )  h. . . 3 x  3h  5 3x  5  2xh 2x  h. 3( x  h)  52  x   2  x  h 3x  5 2  x  h 2  x  h. . 3x  3h  52  x   2  x  h 3x  5 h  2  x  h 2  x . . 11  h h  2  x  h 2  x . . 11 2  x  h 2  x . 53.

(56) RAÍCES. Para los números naturales n y para el número real b se ha definido la enésima n potencia de b, la cual se denota por b n . Ahora se utilizará la ecuación a  b para. definir la enésima raíz de a.. 1.. Raíces Cuadradas. En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue.. a  b  a  b2. Sean a y b números reales positivos:. Definición. Por lo tanto, sí: a  0 entonces, entonces. a 0. y además.  a. 2.  a.. Si a  0 ,. 0 0. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a. Nota 1. 2 2 Si: a  0 , entonces b  a y además (b)  a , es decir, siempre existen dos. números reales, uno positivo y el otro negativo, que tienen como cuadrado a a.. Nota 2. Ejemplo. Es muy importante hacer notar que. a. denota únicamente el número. positivo cuyo cuadrado es a.. Calcule el valor de cada una de las expresiones: a). 169  13. b).  169   13. c).  169. No existe.. 54.

(57) 2.. Raíces Cúbicas. En el caso de las raíces cúbicas se pueden utilizar tanto números reales positivos, negativos como el cero.. Si a y b son números reales cualesquiera, se define:. Definición. 3. a b . a  b3. O sea, sí a  0 , entonces b  0 , mientras que si a  0 , entonces b  0 . Al número b se le llama raíz cúbica principal de a o simplemente la raíz cúbica de a. Sí entonces. 3. a  0,. 0 0. Se ve claro que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas sólo para números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real. Lo mismo sucede con los números enteros positivos mayores n: la distinción fundamental surge de si n es par o impar.. En resumen: Si: Si:. Ejemplo. 3. a b,. entonces: b 2  a ;. esto es:.  a. a. a b,. entonces: b 3  a ;. esto es:.  a. a. 2. 3. 3. Calcule el valor de cada una de las expresiones: a). 3. 343  7 ,. porque 7 3  343 ,. b). 3.  64  4 ,. 3 porque (4)  64. Ejemplo. Calcule el valor de cada una de las expresiones: a). x6 . x . 3 2.  x3. b). 3.  . y6  3 y2. 3.  y2. 55.

(58) 3.. Raíz Enésima Principal. La raíz enésima principal:. n. a. de a se define como sigue:. Si a y b son números reales no negativos y si n es un número entero. Definición. positivo (par o impar); o si a y b son números reales negativos y n es número entero positivo impar, será: n. Nota 1. Si. n. a. a b . a  bn. existe, es un número real único. Por brevedad, omitimos el adjetivo. "principal". Nota 2. n. a. recibe el nombre de enésima raíz de a para recalcar que se define positivo. sí a  0 . Nota 3. Si n es cualquier número entero positivo, el símbolo. n. a. se llama radical de. orden. Nota 4. No hemos definido. n. a. para a  0 y n número entero positivo par. La razón es. que si n es número par, entonces b n  0 para todo número real b. Nota 5. Ejemplo. Si n  2 , podemos escribir:. 2. a a.. Calcule el valor de cada una de las expresiones: a). 4. 81  3. pues 3 4  81, 3  0 , 6.   porque   . 1  2. 1 , 64. b). 6. 1 1  64 2. 1 0 2. 56.

(59) Usaremos la terminología “ n a existe” Si existe un número real b tal que a  b n . De ahora en adelante, siempre que usemos los símbolos. n. a,. m. x,. p. y , etc.. Supondremos que esas raíces existen. Para completar esta terminología, diremos que el símbolo. n. a. se llama radical, el. número real "a " se llama radicando y n es el índice del radical. Al símbolo . se la llama signo radical.. En general, si a  0 y si n. . n. a. . n. es cualquier número entero positivo será:. a. También se tiene que si a  0 o que si a  0 y n es un número entero positivo impar, las cosas funcionan perfectamente bien, ya que para todo número real a: n.  a n. a.. En la tabla que sigue se da un resumen de la definición de raíz enésima de a: n. a. Índice n. a 0. Par. No definida. Impar. Ejemplo. n. a0. a 0. a0. n. 0 0. n. a 0. n. 0 0. n. a 0. Calcule el valor de cada una de las expresiones: a). 5. 243  5 35  3 ,. b). 8. 2 x  18.  2x 1. Adoptaremos la práctica siguiente que a este nivel es común: Se supondrá que todas las expresiones variables dentro de los radicales son cantidades. 57.

(60) positivas. Con esta suposición y siendo n un número entero positivo cualquiera, se tiene que:.  a n. 4.. n.  a  n an. Leyes de los Radicales. En las tres leyes siguientes, m y n denotan números enteros positivos y a y b cualesquiera números reales; y supondremos que las raíces indicadas siempre existen:. n. a n b  n a b. n. a :n b  n a : b. m n. a . mn. a. Si a es un número real y a n aparecen como factor en un radical de índice n, entonces a puede escribirse fuera del radicando siempre y cuando se considere el signo de a.. Ejemplo. Ejemplo. n. an x  n an n x  a n x. n. an  a. ,donde hemos supuesto que el signo de a es tal que:. Simplifique el siguiente radical:. 4. 16 x 5  4 2 4  x 4  x  4 2 4  4 x 4  4 x  2 x  4 x. 58.

(61) 5.. Exponentes Racionales. Hasta aquí se ha definido a r sólo para cuando r es un número entero, ya sea positivo, negativo o cero. En la que sigue sé extenderá la definición de a r para incluir los exponentes racionales. m n m n En: (a )  a , sí m . n. n 1 ·n  1 entonces: m  n  1 , luego:  a n   a n  a n  a1  a .. 1 n. . . . Además, por la definición de radical se tiene. a. n. . n.  a . Para que haya. consecuencia con lo expuesto anteriormente, se establece la definición que sigue:. Para todo número natural n y a es un número real, y si. a. es un. 1. Definición. Nota 1. n. número real, entonces a n  n a. 1. De ahora en adelante, siempre que usemos un símbolo de la forma a n se supondrá que a y n se escogen dé modo que exista.. n. a. , Es decir. Sí a  0 ,. el índice n de la raíz no puede ser par. Nota 2. Si:. m n.  m· n1. es un exponente racional cualquiera, se desea que las leyes de. los exponentes sigan siendo válidas y por lo tanto se exige que: m an. . 1 m an. mismo:. n.   a . 1 n. am . m.    .  a.  a. m. n. m. n. . Puesto que:. a  m. 1 n.   a . 1 n.   . m. o lo que es lo. y son raíces enésimas de a m , y se puede demostrar. que tienen el mismo signo, tiene sentido la siguiente definición de exponentes racionales:. Definición. Para todos los números enteros positivos m y n, y todos los números reales a distintos de cero para los cuales n a existe como número real, definimos: a. m n. .  a n. m. . n. am. 59.

(62) m n. Es decir, la. -ésima potencia de a es igual a la n-ésima raíz de la m-ésima. potencia de a. La ecuación de la definición anterior proporciona la relación básica entre los exponentes racionales y los radicales..  . m. Nota 3. a n  (a m ). 1. n.  a. 1. n. m. Podemos generalizar el resultado siguiente a. Nota 4. Esto se sigue dado que: a Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo. . 1 n.   a . 1 n.   . 1. . . 1 n. 1. a. 1 n. . . 1 n. a. 1 n. a. Calcule y exprese en forma de radical: a).  1 1  2 3   13 16   3x 2 y   4 x 9 y      . c). 2 x 2 (3x 2  4 x 2 ) 1. 1. 1. Encuentre x de modo que Evalúe:. Ejemplo. Simplifique:. Ejemplo. Simplifique. 3. 1 x2 . h xh  x. 1 x2 1 x2 . 1. 4. d). 2y. 1 3. 3 y. 2. 3.  (8 y ). 7. 2. .  3x. 27. 64   1    225 . a). 9. x3 y 2  3 x 2 y 4 . b). 2. b).  64 x 3     27   . 2. 3. . h xh  x.  xh . ·. xh . x. xh  x. . h·( x  h  xhx. x). . h·( x  h  h. x). . x. 60.

(63) LOGARITMOS. 1.. Introducción. Ya hemos visto dos conceptos que surgen de la igualdad a n  b , cuando la observamos como ecuación desde la perspectiva de una de sus componentes: 1º. Cuando b fue la incógnita, a la ecuación a n  x se le llamó potencial y a su solución, potencia n-ésima de a, anotándola x  a n . Ella originó el lenguaje y el álgebra de potencias.. 2º. Cuando a fue la incógnita, a la ecuación x n  b se le llamó radical y a su solución, raíz n-ésima de b, anotándola x = n b . Ella originó el lenguaje y el álgebra de raíces.. Ahora, definiremos un concepto que represente a la solución de la ecuación en que la incógnita sea el exponente n, es decir, a la solución de la ecuación exponencial a x  b . A esta solución le llamaremos Logaritmo de b en la base a y originará el lenguaje y álgebra de logaritmos. En todo lo que sigue se supondrá que a es un número real positivo diferente de 1, es decir: a  1 . Esto hace que sea aceptable la siguiente proposición:. Proposición. para todo número real positivo b existe un único número real x tal que: a x  b. Definición. sea a  IR   1, y tomemos la ecuación a x  b . A la solución real. x. se le llamará el Logaritmo de b en la base a, y se le anotará por x  log a (b) . De otro modo se establece la siguiente equivalencia: log a (b)  x. . ax  b .. 61.

(64) Es importante saber cómo efectuar el cambio de la forma exponencial a la logarítmica o a la inversa. Ejemplo. 1.. log 2 8  3  23  8. . log10 1.000  3  103  1.000. . log 3 (5 x  29)  2  3 2  5 x  29. . log3 (7  4 x) = 2  3 2 = (7  4 x). Consecuencias: Surgen directamente de la definición. a. loga b   b log a ( p ( x))  log a (q( x)). Ejemplo. log a (a x )  x .. . p( x)  q( x) siempre que a  IR   1.  log3(2 x1)  (2 x  1). 1.. 3. 2.. log 4 ( 4 (53 x ) )  (5  3 x). 3.. log a ( x 3 )  log a ( 27 ). . x 3  27. 4.. log 2 ( x 2 )  log 2 ( x  2 ). . x2  x  2. 5.. log 5 (3x 2  10)  log 5 (5 x  7). . 3x 2  10  5 x  7. 1 En particular, si hacemos x  1 en la ec. 2, vemos que se obtiene log a (a )  1 ,. es decir: log a ( a )  1. Puesto que a 0  1 , se deduce de la definición de logaritmo que log a (a 0 )  0 , por lo tanto log a (1)  0. 62.

(65) Nota. Un logaritmo es un exponente. log a 0. 2.. No está definido porque a x nunca puede ser igual a cero.. Leyes de los Logaritmos. Las siguientes son las leyes fundamentales para trabajar con logaritmos. Suponemos que p( x) y q( x) son expresiones o números reales positivos, a  0 y a  1 , y que r es cualquier número real: log a ( p ( x)  q ( x) )  log a ( q ( x) ) . log a ( q ( x) ). log a ( p ( x) : q( x) )  log a ( q( x) )  log a ( q ( x) ). log a  p( x) r  r  log a ( p( x)). Es más fácil aplicar las leyes de los logaritmos si se recuerda verbalmente lo mismo que con símbolos. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. El logaritmo de un cuociente es la resta de los logaritmos. El logaritmo de una potencia de un número es el producto del exponente por el logaritmo del número o base de la potencia.. Ejemplo. 2 Exprese como una suma de logaritmos: log 2 ( x  x) :. Solución. log 2 ( x 2  x)  log 2 ( x  ( x  1))  log 2 x  log 2 ( x  1). 63.

(66) Ejemplo. Exprese en términos de los logaritmos de x , y y z: Solución. x6 . 4. z. 2. 4. z. 2. y. y 6 2 = log b x  4 y  log b z.  log b x 6  log b y  6 log b x . Exprese. x6  b. Usando las tres leyes de los logaritmos es: log b. Ejemplo. log. en. términos. 1 4. 1. 4.  log b z 2. ·logb y  2 log b z. de. un. sólo. logaritmo:. 3 log 5 (2 x)  2 log 5 (1  x)  log 5 ( x 2  x  1). Solución: 3 log 5 (2 x)  2 log 5 (1  x)  log 5 ( x 2  x  1)  log 5 (2 x) 3  log 5 (1  x) 2  log 5 ( x 2  x  1).  log. 5.  log 5. 3.. (2 x). 3. .  (1  x) 2  log 5 ( x 2  x  1). (2 x) 3  (1  x) 2 ( x 2  x  1). Fórmula del Cambio de Base. Algunas veces es necesario cambiar la base de un logaritmo expresando log b u en términos de log a u , para algún número real positivo a diferente de 1. Se puede utilizar cualquier base b siempre que a  0 y a  1 . El teorema que sigue indica como cambiar la base de un logaritmo mediante el simple hecho de dividir por una constante.. Teorema:. Si a, b y c son números reales positivos con a  1 , c  1 : log a ( b ) . log c ( b ) log c ( a ). 64.

(67) Esto puede conseguirse del siguiente modo; comenzaremos con las ec. equivalentes dadas por la definición: log a (b)  u. au  b. Tomando el logaritmo de base a de ambos lados de la última ecuación obtenemos: log c ( a u )  log c ( b ). Aplicando la ley de la potencia tenemos u  log c ( a )  log c ( b ). Resolviendo para u (es decir log a b ), obtenemos la ecuación que nos da la fórmula del cambio de base: log a ( b ) . Ejemplo. log c ( b ) log c ( a ). Expresar el número log 7 41 en logaritmos de base 2. Solución. log 7. 41. . log 2 41 log 2 7. Este resultado también se puede escribir como log b ( a )  log a ( b )  log a ( u ) Si hacemos u  a en la última ecuación, se puede concluir que:. log b ( a ) . 1 log a ( b ). Y por tanto log b a es el recíproco de log a b .. 65.

(68) Ejemplo. 2 Exprese en otra base: log 2 ( x  5 x  6) . Ejercicio. Demostremos que (logb a)·(logc b)·(loga c) = 1. log ( x 2  5 x  6) . log 2. Demostración: (logb a )·(logc b)·(log a c) =. 4.. loga logb logc 1 logb · logc · loga. Otras Propiedades del Álgebra de Logaritmos. 1..  1  log a   = - log a b  b . 2.. log a. 3.. loga (b)  log b (a) . 1. 4.. a.. a 1:.  b = 1n ·log (b) n. a. cuando. Si. x y. entonces. log a x  log a y. (con base mayor que uno, el logaritmo respeta el orden). b.. cuando. 0  a 1:. Si. x y. entonces. log a x  log a y. (con base positiva y menor que uno, el logaritmo invierte el orden).. 5.. Bases de Logaritmos. A los logaritmos en base 10, o base decimal, se les llama logaritmos comunes o logaritmos de Briggs. En lo que resta, cuando se escriba log x sin indicar la base se querrá decir que se está empleando la base 10, y por tanto: log ( x )  log10 ( x ). La otra base comúnmente utilizada es el número real e. Es un número irracional, y una aproximación es:. 66.