Aplicación de Ecuaciones Diferenciales Exactas en Termódinámica y Transferencia de Calor

A

APLPLICICAACICIÓÓN N DE DE EECUCUAACICIOONENES S DIDIFFEREREENCNCIAIALELES S EXAEXACTCTAAS S ENEN TERMÓDINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR

TERMÓDINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR

Como ya vimos las ecuaciones se pueden usar en

Como ya vimos las ecuaciones se pueden usar en diferentes aplicaciones de ladiferentes aplicaciones de la vida diaria. Las ecuaciones Exactas por su facilidad en cuanto a seguir una vida diaria. Las ecuaciones Exactas por su facilidad en cuanto a seguir una regla matemática pueden ser usadas para obtener ecuaciones generales de regla matemática pueden ser usadas para obtener ecuaciones generales de crecimiento de tasa

crecimiento de tasa

Una propiedad de un sistema puede ser definida en función de las restantes Una propiedad de un sistema puede ser definida en función de las restantes propiedades a través de una ecuación diferencial. Esto equivale a decir “una propiedades a través de una ecuación diferencial. Esto equivale a decir “una propiedad o función de estado es una función de

propiedad o función de estado es una función de variables de estado.variables de estado.

!ea " la propiedad de un sistema# que depende de las propiedades x e y. !i !ea " la propiedad de un sistema# que depende de las propiedades x e y. !i las propiedades x e y definen completamente al sistema# entonces " $ "%x#y& las propiedades x e y definen completamente al sistema# entonces " $ "%x#y& es

es ununa a fufuncncióión n de de esestatadodo. . 'e 'e esesta ta mamanenerara# # un un pepequque(e(o o cacambmbio io en en lala pr

proopipieedadad d " " %d%d"& "& puepuedde e exexppliliccararsse e popor r pepeqqueue((os os cacambmbioios s een n lalass propiedades x %dx& e y %dy& de acuerdo con)

propiedades x %dx& e y %dy& de acuerdo con)

Esta expresión se denomina diferencial exacta# y

Esta expresión se denomina diferencial exacta# y se caracteri*a porque su valor se caracteri*a porque su valor  %d"& depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables %d"& depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables %x e y&. Esta ecuación diferencial total nos proporciona una forma de calcular  %x e y&. Esta ecuación diferencial total nos proporciona una forma de calcular  los cambios de una función de estado a través de los cambios combinados de los cambios de una función de estado a través de los cambios combinados de las variables i

las variables independientesndependientes..

Una diferencial inexacta es una función matemática cuyo valor ya no depende Una diferencial inexacta es una función matemática cuyo valor ya no depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables# sino que exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables# sino que además# depende del camino seguido para producir estos cambios en los además# depende del camino seguido para producir estos cambios en los valores de las variables.

+ara determinar si una diferencial es exacta o inexacta# se aplica el criterio de +ara determinar si una diferencial es exacta o inexacta# se aplica el criterio de Euler. Cualquier diferencial# independientemente de su exactitud o no# puede Euler. Cualquier diferencial# independientemente de su exactitud o no# puede ser escrita como)

ser escrita como)

donde , y - son funciones de las propiedades x e y. donde , y - son funciones de las propiedades x e y.

!i d" es una diferencial exacta# deberá existir una función " $ "%x#y& tal que !i d" es una diferencial exacta# deberá existir una función " $ "%x#y& tal que se cumpla que)

se cumpla que)

Comparando las dos ltimas

Comparando las dos ltimas ecuaciones# se deduce que)ecuaciones# se deduce que)

entonces d" es diferencial exacta si y sólo si cumple la regla de !c/0art* de entonces d" es diferencial exacta si y sólo si cumple la regla de !c/0art* de las segundas derivadas cru*adas# las derivadas segunda de estas funciones las segundas derivadas cru*adas# las derivadas segunda de estas funciones deben ser iguales# pues)

deben ser iguales# pues)

+or lo tanto# el criterio de Euler para establecer la exactitud de una diferencial +or lo tanto# el criterio de Euler para establecer la exactitud de una diferencial es)

es)

1esumiendo) una propiedad o función de estado es una función de variables de 1esumiendo) una propiedad o función de estado es una función de variables de estado. +ara que una función " sea una función de estado# es necesario y estado. +ara que una función " sea una función de estado# es necesario y suf

suficiicientente e que que la la difdifereerencincial al d" d" sea sea una una difdifereerencncial ial exexactacta. a. Las Las sigsiguieuiententess cuatro afirmaciones son equivalentes2 si una de ellas se cumple# las otras tres cuatro afirmaciones son equivalentes2 si una de ellas se cumple# las otras tres también se cumplen) también se cumplen) 3 3.. " " ees s uunna a ffuunncciióón n dde e eessttaaddoo22 4 4.. dd" " ees s uunna a ddiiffeerreenncciiaal l eexxaaccttaa22 5 5.. 66dd" " $ $ 7 7 22

8.

8. 66d" d" $ " $ " 9 " 9 " # i# inndedepependndieiennte te ddeel cl caamiminno ro rececororriridodo.. Coeficientes Termodinmicos

Coeficientes Termodinmicos Lo

Los s cocoefeficicieientntes es tetermrmododininámámicicos os son son rerelalacicionones es entrentre e prpropopieiedadadedess termodinámicas. ,atemáticamente son derivadas parciales de una variable termodinámicas. ,atemáticamente son derivadas parciales de una variable respecto de otra. E:emplos)

respecto de otra. E:emplos) •

• Coeficiente de dilatación lineal#Coeficiente de dilatación lineal#

•

• Calor espec;fico a presión Calor espec;fico a presión constante#constante#

•

• Coeficiente de compresibilidad isotérmico#Coeficiente de compresibilidad isotérmico#

APLICACIÓN DE LAS ECU

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ENACIONES DIFERENCIALES EN TERMODINÁMICA

TERMODINÁMICA  El calor

 El calor transferido tiene una dirección as; como también una magnitudtransferido tiene una dirección as; como también una magnitud  La tasa de

 La tasa de conducción de calor en una dirección especificada es proporcionalconducción de calor en una dirección especificada es proporcional al gradiente de temperatura # el cual es el cambio de temperatura por unidad de al gradiente de temperatura # el cual es el cambio de temperatura por unidad de longitud.

longitud.

< El calor fluye desde un cuerpo de mayor temperatura a otro < El calor fluye desde un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto con el

de menor temperatura que está en contacto con el primero.primero. 'e forma vectorial)

'e forma vectorial)

/aciendo las sustituciones respectivas# y reordenando adecuadamente los /aciendo las sustituciones respectivas# y reordenando adecuadamente los términos)

términos)

finalmente tenemos la ecuación en

finalmente tenemos la ecuación en coordenadas cartesianascoordenadas cartesianas

A!"ic#ci$n en tr#nsferenci# de c#"or  A!"ic#ci$n en tr#nsferenci# de c#"or 

CONDUCCIÓN DE CALOR CONDUCCIÓN DE CALOR < La conducción de calor o

< La conducción de calor o transmisión de calor por conducción es un procesotransmisión de calor por conducción es un proceso de transmisión

de transmisión

de calor basado en el contacto directo entre

de calor basado en el contacto directo entre los cuerpos# sin intercambio delos cuerpos# sin intercambio de materia.

materia.

Ley de =ourier  Ley de =ourier 

Establece que el flu:o de transferencia de

Establece que el flu:o de transferencia de calor por conducción en un mediocalor por conducción en un medio isótropo es proporcional y de sentido contrario al

isótropo es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura engradiente de temperatura en esa dirección. esa dirección. 'e forma integral ) 'e forma integral ) transferencia de energ;a transferencia de energ;a si se expresa la ley

si se expresa la ley de la conservación de la energ;a en su de la conservación de la energ;a en su forma masforma mas elemental#

elemental#

energ;a que entra menos la energ;a que sale

energ;a que entra menos la energ;a que sale mas la energ;a que se mas la energ;a que se generagenera menos la energ;a que se consume es igual

menos la energ;a que se consume es igual a la energ;a que se a la energ;a que se acumulaacumula se obtiene la siguiente ecuación diferencial)

se obtiene la siguiente ecuación diferencial) +1>-C>+>? 'E @1A-!=E1E-C>A 'E CAL?1 +1>-C>+>? 'E @1A-!=E1E-C>A 'E CAL?1

Ec%#ci$n diferenci#" e&#ct# en tr#nsferenci# de c#"or  Ec%#ci$n diferenci#" e&#ct# en tr#nsferenci# de c#"or 

La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos cient;ficos La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos cient;ficos div

diversersos. os. EnEn matemáticasmatemáticas# # ees s eel l pprroottoottiippo o ddee ecuaecuación ción diferdiferenciaencial l parcparcialial

parabólica

parabólica. En. En estad;sticaestad;stica# la ecuación del calor está conectada con el estudio# la ecuación del calor está conectada con el estudio de

de ,ovimiento bro0niano,ovimiento bro0niano2 la2 la ecuación de la difusiónecuación de la difusión# una versión más general# una versión más general de la ecuación del calor# se presenta con respecto al estudio de la difusión de la ecuación del calor# se presenta con respecto al estudio de la difusión qu;mica y de otros procesos relacionados.

qu;mica y de otros procesos relacionados. 'UE DESCRI(E)

'UE DESCRI(E)

La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las ml

mltiptiples les aplaplicaicaciocionenes s quque e tietiene ne en en divdiversersas as ramramas as de de la la cieciencncia. ia. En En laslas matemáticas generales# representa la t;pica ecuación en derivadas parciales matemáticas generales# representa la t;pica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estad;stica está relacionada con los procesos parabólica y concretamente en la estad;stica está relacionada con los procesos aleatorios. +or otro lado# en el campo de la qu;mica nos predice# entre otros aleatorios. +or otro lado# en el campo de la qu;mica nos predice# entre otros procesos de transferencia de calor# que si :untamos un material a 7B y otro a procesos de transferencia de calor# que si :untamos un material a 7B y otro a 377B# rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 377B# rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 7B.

7B.

DE DONDE SE LA O(TIENE) DE DONDE SE LA O(TIENE)

Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden %E'+& con 4 variables independientes D e parciales lineal y de segundo orden %E'+& con 4 variables independientes D e 

!i

!i “U“U  rereprpresesenenta ta la la vavariariablble e dedepependndieientnte e 2 2 y y “D“D  e e ““  rereprpresesenentatan n lalass variables independientes# entonces tenemos que)

variables independientes# entonces tenemos que)

donde A#F#C#...#G son funciones de x e y. donde A#F#C#...#G son funciones de x e y. Cuan

Cuando G%x#y& $ do G%x#y& $ 7# se 7# se dice que la dice que la ecuacecuación es ión es /omog/omogéneaénea2 2 en caso contrarioen caso contrario se dice que es no

se dice que es no /omogénea./omogénea. E:emplo))

E:emplo))

$ 7

$ 7 Ecuación /omogéneaEcuación /omogénea $xy Ecuación no /omogénea $xy Ecuación no /omogénea  Algunos

 Algunos e:emplos e:emplos de de ecuaciones ecuaciones en en derivadas derivadas parciales parciales lineales lineales de de segundosegundo orden que desempe(an un papel importante en >ngenier;a son las siguientes. orden que desempe(an un papel importante en >ngenier;a son las siguientes.

*+ Ec%#ci$n ,idimension#" de L#!"#ce *+ Ec%#ci$n ,idimension#" de L#!"#ce

-+ Ec%#ci$n %nidimension#" de ond# -+ Ec%#ci$n %nidimension#" de ond#

Ec%#ci$n %nidimension#" de" c#"or  Ec%#ci$n %nidimension#" de" c#"or 

En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor  En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor  ya que es el tema que nos corresponde anali*ar en la cual no vamos a deducir  ya que es el tema que nos corresponde anali*ar en la cual no vamos a deducir  la forma en que se obtuvo# sino nicamente en cómo se la resuelve para poder  la forma en que se obtuvo# sino nicamente en cómo se la resuelve para poder  aplicarlas en los

aplicarlas en los problemas propuestos.problemas propuestos. +ar

+ara a resresolvolverlerla a vavamos mos a a apaplicalicar r un un proprocecedimdimieniento to gengeneral eral conconociocido do cocomomo método de separación de variables# el cual vimos durante las /oras de clase en método de separación de variables# el cual vimos durante las /oras de clase en la materia de matemática avan*ada# aqu; lo más importante respecto a dic/o la materia de matemática avan*ada# aqu; lo más importante respecto a dic/o método.

método.

,E@?'? 'E !E+A1AC>H- 'E IA1>AFLE!) ,E@?'? 'E !E+A1AC>H- 'E IA1>AFLE!)

Este método busca una solución particular en forma de un producto de una Este método busca una solución particular en forma de un producto de una función de “x# una función de “y# como U%x#y&$ D%x&. %y&

función de “x# una función de “y# como U%x#y&$ D%x&. %y&  A veces

 A veces es es posible posible convertir convertir una una ecuación en ecuación en derivadas derivadas parciales parciales lineal lineal con con 44 variables en 4

variables en 4 ecuaciones ordinarias.ecuaciones ordinarias. +ara /acerlo notemos que)

+ara /acerlo notemos que)

'?-'E) DJderivación ordinaria 2 Jderivación ordinaria '?-'E) DJderivación ordinaria 2 Jderivación ordinaria

'e esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se 'e esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se re

reduduce ce al al prproboblelema ma mámás s cocononocicido do de de reresosolvlver er ececuauacicionones es difdifererenencicialaleses ordinarias. >lustraremos esta técnica para la ecuación del calor.

ordinarias. >lustraremos esta técnica para la ecuación del calor. Ecuación del calor 

Ecuación del calor  La

La ececuauacición ón ununididimimenensisiononal al dedel l cacalolor r es es el el momodedelo lo de de vavaririacacióión n de de lala tem

temperperatuatura ra useusegn gn la la posposiciición ón xy xy el el tietiempo mpo ten ten una una varvarilla illa cacalenlentadtada a dede longitud Ly de temperatura inicial f%x&que se extiende a lo largo del e:e xy cuyos longitud Ly de temperatura inicial f%x&que se extiende a lo largo del e:e xy cuyos

extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. !i

instante. !i El flu:o de calor

El flu:o de calor se produce solamente en la dirección del e:e se produce solamente en la dirección del e:e x.x. -o se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla. -o se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla. -o se genera calor en la varilla.

-o se genera calor en la varilla.

la varilla es /omogénea# esto es# su densidad por unidad de longitud es la varilla es /omogénea# esto es# su densidad por unidad de longitud es constante.

constante.

su calor espec;fico y su conductividad térmica son constantes# su calor espec;fico y su conductividad térmica son constantes# en

entotoncnces es la la tetempmpererataturura a u%u%x#x#t&t&de de la la vavaririlllla a esestá tá dadada da popor r la la sosolulucición ón dedell problema con condiciones iniciales y de contorno

problema con condiciones iniciales y de contorno

La constante K es proporcional a la

La constante K es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividadconductividad térmica y se llama difusividad térmica.

térmica.

SOLUCIÓN DEL PRO(LEMA SOLUCIÓN DEL PRO(LEMA

+ara resolver este problema por el método de separación de variables# se +ara resolver este problema por el método de separación de variables# se empie*a por suponer que)

empie*a por suponer que)

@iene una solución de la forma ) @iene una solución de la forma )

+a

+ara ra dedetetermrmininar ar Dy @Dy @# # prprimimerero o se se calccalcululan an lalas s dederirivavadadas s paparcrciaialeles s de de lala función u

función u

F>FL>?G1A=A F>FL>?G1A=A

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