El Sistema Masa Resorte (1)

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TITULO:

EL SISTEMA MASA RESORTE

AUTORES: ADRIANA BERDUGO KAROLINA DIAZ ANDRÉS LADINO SAMUEL LEAL DENIS SIERRA

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

LABORATORIO DE FISICA II BARRANQUILLA 7 DE MARZO DEL 2014

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CONTENIDO Pág. ABSTRACT 3 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 4 2. MATERIAL UTILIZADO 7 3. PROCEDIMIENTO 10 4. RESULTADOS 12 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 18 REFERENCIAS 20

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RESUMEN

En el siguiente informe se pretende exponer las observaciones y el análisis realizado en la práctica de laboratorio titulada “El muelle elástico (sistema masa-resorte)” la cual tiene como objetivos el determinar dinámicamente la constante de elasticidad de un resorte y comprobar experimentalmente que en un sistema masa resorte oscilando, oscila un tercio de la masa.

Para hallar la constante de elasticidad de un resorte se procede a medir la distancia de elongación que sufre éste al suspender en él diferentes masas, con los datos obtenidos se realiza una grafica de distancia vs fuerza (masa por gravedad) y por medio de la pendiente de la recta se determina la constante.

Posteriormente, para comprobar que el sistema oscila un tercio de la masa se procede a determinar el periodo de oscilación del resorte sujetando a él diferentes masas, se grafican el periodo y el periodo al cuadrado en función de masa para conseguir una línea recta y comparando la pendiente de ésta con la fórmula para hallar el periodo se comprueba la oscilación del sistema.

ABSTRACT

The following report pretends to expose the observations and the analysis obtained in the lab experience entitled "The elastic spring (spring-mass system)” which objectives are determine dynamically the elasticity constant of a spring and verify experimentally that oscillating mass spring system oscillates a third of the mass.

To find the constant of elasticity of a spring is necessary to measure the distance of the elongation holding of it different masses, with the data obtained is created a graph of distance versus force (mass by gravity) and through the slope of the line is determined the constant.

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Then, to verify that the system oscillates a third of the mass is necessary to determine the period of oscillation of the spring holding of it different masses, the period and the period squared in function of mass were plotted in order to obtain a straight line and comparing the slope of this with the formula for the oscillation period of the system is checked.

1. FUNDAMENTOS TEORICOS

Movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple es causado por la proyección del Movimiento circular Uniforme (MCU) sobre un diámetro y se define como la oscilación de un cuerpo cuando la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, esto sucede si el sistema es ideal y obedece la ley de Hooke.

La constante de proporcionalidad entre Fx y x es la constante de fuerza k. En

ambos lados de la posición de equilibrio, Fx y x tienen signos opuestos. Se

representa la fuerza que actúa sobre un resorte ideal estirado como Fx=kx. La

componente x de la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es el negativo de esta, así que la componente x de la fuerza Fx sobre el cuerpo es:

Fx=-kx

La constante de fuerza k siempre es positiva y tiene unidades de N/m. Si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, la oscilación se denomina movimiento armónico simple, que se abrevia MAS. Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje x, estando su posición x dada en función del tiempo (t) por la ecuación

x=Asen(ωt+j) v=Acos(ωt+j)

a=Aωr2 sen(ωt+j)= -ω2

x

Donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular o pulsación, (ωt+j) la fase, j ó j0 la fase inicial.

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Ecuación del periodo (T)

El MAS se caracteriza por, como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, su movimiento se realiza en una región del eje x comprendida entre +A y -A. La función seno es periódica y se repite cada 2π, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2π, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que ω (t+T)+j=ωt+j+2π;T =

T=

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F=ma=-mω2

x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F=-kx

Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

k=mω2

Teniendo en cuenta que ω=2π/T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

T=2π√

Análisis del movimiento de una masa suspendida de un resorte (Muelle elástico)

El péndulo simple y un cuerpo conectado a un resorte ideal horizontalmente son representaciones comunes del movimiento armónico simple, sin embargo puede presentarse en cualquier sistema en el que haya una fuerza de

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restitución directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibro, según la ecuación Fx=-kx, como sucede en un resorte colgado verticalmente con constante de fuerza k y con una masa m suspendida de él. En la Imagen 1, el cuerpo cuelga en equilibrio y el resorte se estira una distancia apenas suficiente para que la fuerza vertical k del resorte sobre el cuerpo balancee su peso mg: k

Imagen 1. Cuerpo suspendido del resorte en equilibrio.

Sea x=0 la posición de equilibrio, con la dirección +x hacia arriba. Cuando el cuerpo esta una distancia x arriba de su posición de equilibrio, como se ve en la imagen 2, la extensión del resorte es .

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Imagen 2. Cuerpo suspendido del resorte que abandona su posición de equilibrio.

La fuerza hacia arriba que ejerce sobre el cuerpo es k( , y la componente x neta de fuerza sobre el cuerpo es

Fneta= k( +(-mg)=-kx

Esto es, una fuerza neta hacia debajo de magnitud kx. De forma similar, cuando el cuerpo está debajo de la posición de equilibrio, hay una fuerza neta hacia arriba de magnitud kx. En ambos casos, hay una fuerza de restitución de magnitud kx. Si el cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilara en MAS con la misma frecuencia angular que si fuera horizontal, w=√ . Por tanto, el MAS vertical no difiere en su esencia del horizontal. El único cambio real es que la posición de equilibrio x=0 ya no corresponde al punto donde el resorte no está estirado.

2. MATERIAL UTILIZADO

Pesas de laboratorio: Son distintos tipos de masas de forma cilíndrica que cuentan con un gancho a sus extremos. En la experiencia se utilizan como un material de referencia y se ubican en el sistema de masa resorte en forma vertical; sus propiedades se aprovechan para hacer que la posición del resorte cambie.

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Resorte: Es un operador de características elásticas capaz de conservar y liberar energía sin experimentar deformaciones permanentes cuando la fuerza o tensión ejercida sobre él termina. En esta pieza metálica de alambre enrollado, se colocaron las distintas pesas con el objetivo de hacerlo oscilar.

Imagen 4. Resorte metálico.

Regla métrica: Es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud. Este implemento de madera, de un metro de longitud, es utilizada en la experiencia para medir la distancia de deformación del resorte provocadas por las diferentes masas que se sostienen de él.

Imagen 5. Regla métrica de madera.

Cronómetro: Es un reloj de precisión que se emplea para medir fracciones de tiempo muy pequeñas. Este dispositivo es usado para medir el tiempo de

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duran las oscilaciones que hace el sistema, que es posteriormente utilizado para hallar el periodo.

Imagen 6. Cronómetro.

Soporte universal: Es un soporte todo en hierro. Consta de una base y una varilla que está sujeta a la base. Dicha varilla esta insertada cerca del centro de uno de los lados de la base, que sirve para sujetar otros elementos. Se utilizó el soporte de hierro para que el sistema penda de él.

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Nueces: Las nueces sirven para sostener o sujetar distintos materiales. En la práctica se emplearon dos, la primera se adapta al soporte universal y la otra se adapta a los materiales que necesitamos sujetar, es decir a la varilla de la cual pendería el resorte y a la regla de madera.

Imagen 8. Nuez de laboratorio.

Varilla: Es una barra larga y delgada generalmente de metal. En la experiencia se utilizó para hacer pender de él el resorte, es sostenida por una nuez sujeta a la estructura del soporte universal

Imagen 9. Varilla metálica

3. PROCEDIMIENTO

En la práctica de laboratorio, el procedimiento efectuado constó de dos partes; la primera tiene como objetivo determinar la elongación del resorte con diferentes masas, y la segunda calcular el periodo de cada oscilación.

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Primeramente se procede a armar el sistema, se sostiene el resorte de una varilla de 20cm sujetada al soporte universal mediante una nuez; Se mide la distancia inicial a la cual se encuentra el resorte, la cual se denota como (Xo), posteriormente se cuelga de éste una masa de 100g y utilizando la regla métrica, sostenida fijamente al otro soporte universal y situada al lado del resorte, se mide la nueva longitud. Este procedimiento se realiza con 9 masas diferentes, a cada una de las cuales se les resta la distancia inicial para conseguir la deformación del resorte. A continuación se procede a calcular la constante de elasticidad; multiplicando la masa por la gravedad, luego cada uno de estos valores será dividido entre el valor de su respectiva elongación.

Imagen 10. Medida de la distancia inicial del resorte.

En la segunda parte del procedimiento se utilizan diferentes masas sostenidas al resorte, éste se estira un poco haciéndolo oscilar; luego con ayuda del cronómetro se calcula el periodo de las oscilaciones. Posteriormente, se eleva cada periodo al cuadrado con el objetivo de que la grafica de los datos sea lineal y por medio de su pendiente obtener el valor de la constante de elasticidad del resorte.

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Imagen 11. Medida del periodo de oscilación del resorte con diferentes masas.

4. RESULTADOS

La práctica en el laboratorio inicia con la medición de la distancia de elongación del resorte para lo cual se suspende de él diferentes masas, a las que se les multiplica el valor de la gravedad para conocer sus pesos, y al conocer la Fuerza y la Distancia se puede determinar k por medio de la relación . Los datos obtenidos se registran en la tabla 1.

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Peso=m.g=Kg*m/ (N) Distancia (X-Xo) (m) 0.1*9.8=0.98 39.9 – 15.7 = 0.24 4.08 0.12 * 9.8 = 1.17 43.3 – 15.7 = 0.27 4.33 0.15 * 9.8 = 1.47 48.2– 15.7 = 0.32 4.59 0.17 * 9.8 = 1.66 51.6 –15.7 = 0.35 4.74 0.2 * 9.8 = 1.96 56.8 – 15.7 = 0.41 4.78 0.22* 9.8 = 2.15 60.2 -15.7 = 0.44 4.89 0.25*9.8 =2.45 65.2 –15.7 = 0.49 5 0.27*9.8 =2.64 68.7 – 15.7 = 0.53 4.98 0.3*9.8 =2.94 73.5 -15.7 = 0.57 5.15

Tabla 1. Fuerza (peso), distancia de la deformación del resorte y constante del resorte.

Se muestra en el grafico 1 los resultados obtenidos en la tabla 1 con el objetivo de hallar, por medio de la pendiente de la recta, el valor de la constante de elasticidad del resorte.

Grafico 1. Distancia vs Fuerza.

Escala x=0.5m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 F (N ) X (m)

X vs F

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Escala y=0.1N

A continuación se determina la constante de elasticidad del resorte por medio del uso de la pendiente obtenida en la recta del grafico 1 así:

=4.5

En la segunda parte de la experiencia se procede a determinar experimentalmente el periodo de oscilación del resorte al sujetar de él diferentes masas, las medidas obtenidas se muestran en la tabla 2 y en la última fila se muestra el resultado de ese periodo al cuadrado con el objetivo de posteriormente obtener en la grafica una línea recta.

Tabla 2. Periodo y Periodo al cuadrado en función de la masa.

En el grafico 2 se representan los datos obtenidos experimentalmente del periodo de oscilación vs la masa en el sistema masa-resorte.

Masa (kg) Periodo T(s) Periodo T( )

0.10 0.91 0.83 0.12 0.99 0.98 0.15 1.09 1.19 0.17 1.16 1.34 0.2 1.25 1.56 0.22 1.30 1.69 0.25 1.38 1.90 0.27 1.44 2.07 0.3 1.49 2.22

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Grafico 2. Periodo vs Masa

Escala x= 0.05kg Escala y= 0.2s

En el grafico 3 se representan los datos obtenidos experimentalmente del periodo de oscilación al cuadrado vs la masa en el sistema masa-resorte.

Grafico 3. Periodo al cuadrado vs masa. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 T(s) M (kg)

T vs M

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 T 2 (s 2) M (Kg)

T

2

vs M

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Escala x= 0.05Kg Escala y= 0.5s2

Se sabe que en un sistema de masa-resorte el periodo viene dado por √ , donde:

M: masa del peso

M0: fracción de la masa del resorte que oscila

K: constante de elasticidad del resorte

Si se eleva T al cuadrado se obtiene que , comparando con la

ecuación de la línea recta (y =mx + b) se tiene que:

En base a esto, se puede calcular la constante, despejándola de , utilizando los valores del gráfico número 2 para hallar la pendiente ( ), entonces: m =

Ahora existe cierto porcentaje de error entre la y determinado por la

siguiente fórmula:

| |

| | Dónde:

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= Valor teórico, utilizando el primer valor de

Luego se pretende comprobar que la masa del resorte que oscila es 1/3, para lo cual se utilizó la siguiente fórmula obtenida anteriormente:

Se despeja obteniendo que , se remplazan los valores ( )

En la experiencia se obtuvo que el peso del resorte es 0.0705 kg y se divide entre tres:

Se procede a obtener el error.

FORMULAS Formula de la pendiente

Formula del periodo

Fórmulas Utilizadas Para El Cálculo De Errores

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5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta que uno de los objetivos de la experimentación es determinar la constante de elasticidad del resorte, se procedió a registrar distintas fuerzas aplicadas al resorte (peso de las masas) las cuales generarían una deformación , es decir que el resorte se estirara o se encogiera, se explica este procedimiento a través de la relación existente en la segunda ley de Hooke entre fuerza, constante del resorte y distancia; reflejada en la siguiente ecuación , el signo menos representa la fuerza que siempre dirige a la partícula a su posición de equilibrio. Para luego despejar que es el valor que se interesa conocer.

Con los datos reflejados en la tabla 1 se grafica obteniendo una línea recta, el análisis de esta gráfica nos da como resultado que la constante de elasticidad es el mismo valor de la pendiente de la recta, por lo que se halla de la siguiente forma . Ahora como el objetivo en sí es determinar la constante de manera dinámica se procede a medir el periodo del resorte con distintas cantidades de masa, con el fin de aplicar la ecuación del periodo en un sistema masa-resorte la cual es √ , al graficar no resulta una línea recta por lo que el periodo se eleva al cuadrado quedando la ecuación de la siguiente manera: al comparar esta expresión con la

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fórmula de la línea recta (y =mx + b) se tiene que: , ecuación en la cual se despeja k obteniendo así un segundo valor para la misma. Se halla un porcentaje de error entre los dos valores.

En última instancia y con el fin de lograr el segundo objetivo de la experiencia, el cual es comprobar experimentalmente que en un sistema masa resorte oscilando, oscila un tercio de la masa, se vuelve a comparar la fórmula de la línea recta con la del periodo al cuadrado obteniendo que , dónde es la fracción de la masa del resorte que oscila, se despeja de la ecuación y se obtiene su valor experimental; el valor teórico viene dado de dividir la masa del resorte entre tres, entre este resultado y el primero se halla un porcentaje de error.

Los datos de la tabla 2 nos permiten inferir que a mayor masa mayor periodo, argumentando este suceso en que el periodo de una masa suspendida de un resorte es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante elástica del resorte

Por otra parte se sustenta el hecho de que un sistema masa-resorte oscilando, oscila un tercio de la masa, en el análisis de un sistema masa-muelle donde no todos los puntos del masa-muelle se mueven a la misma velocidad que la masa suspendida, por lo cual es incorrecto sumar la masa del muelle a la masa suspendida. Se demuestra que la masa efectiva del muelle en un sistema ideal es independiente de la dirección del sistema siendo siempre 1/3 de la masa del muelle.

En la práctica se obtuvieron diversos errores que pudieron haberse ocasionado a causa de diferentes factores, tales como la imprecisión del ojo humano para medir la distancia a la que se estira el resorte, la velocidad de reacción al medir el periodo, incertidumbre o factores ambientales, a que el

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resorte puede no ser constante y actuar diferente para cada peso debido a la fatiga, corrosión, etc.

Conclusiones

 El periodo de una masa suspendida de un resorte es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante elástica del resorte.

 En un sistema masa-muelle no sólo la masa suspendida del extremo libre del resorte influye en el movimiento, sino que también lo hace la masa del muelle. Se demuestra que la masa efectiva del muelle en un sistema ideal es independiente de la dirección del sistema, siendo siempre 1/3 de la masa del muelle.

 La constante de elasticidad obtenida fue de 5.4 con un porcentaje de error de 20%.

REFERENCIAS

 FÍSICA UNIVERSITARIA. Vol 1. Décimo primera edición. Sears, Francis W., Zemansky, Mark, W., Young, Hugh D. y Freedman, Roger A. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004. Pág. 476-505.

 FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA, Vol 1. Quinta edición. Allen, Paul T., Gene, Mosca. Editorial: REVERTÉ. Pág. 396-415

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