Cuadernillo Calculo Diferencial Roberto Cuellar

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Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel Velázquez

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

MATRIAL DIDACTICO DE

ANALISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES

(MATEMATICAS V)

“La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo...... y las matemáticas para la mente" - Platón

EQUIPO ( o Alumno):___________________________________________ GRADO:_________ ESPECIALIDAD:____________________________

TITULAR DE LA MATERIA: ING. Roberto Cuellar Alcala

“EDUCACIÓN DE CALIDAD PARA LA COMPETITIVIDAD”

CNTRO MEXICANO FRANCES CONALEP

CUADERNILLO DE APUNTES DE LA MATERIA: MATEMATICAS V (CALCULO DIFERENCIAL)

REVISION 01: a 28 de Noviembre del 2014 Formación Técnica:___________________

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Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel Velázquez UNIDAD I REPASO DE ALGEBRA

1.- Productos notables: 2.- Factorización: 3.- Radicales

4.- Simplificación de Radicales 5.- Operaciones con radicales: a) Suma y resta

b) Multiplicación y División

UNIDAD II

1.- Funciones, conceptos básicos 2.- Tipos de funciones

3.- Grafico de funciones

4.- Situaciones subjetivas donde se involucra el concepto de función 5.- Ejercicios para obtener el rango y el dominio de la función

UNIDAD III

1.- Límites, conceptos básicos 2.- Teorema sobre límites a) Límites al infinito

c) Límite y discontinuidad de funciones b) Límite y continuidad de funciones d) Infinitésimos

UNIDAD IV

1.- Derivación, conceptos básicos 2.- Derivación por incrementos

3.- Derivación de funciones algebraicas

4.- Derivación de funciones trascendentes (Logarítmicas y exponenciales) 5.- Repaso de identidades trigonométricas

6.- Derivación de funciones trigonométricas 7.- Significado geométrico de la derivada

UNIDAD V

1.- Máximos y mínimos de una función (primer método)

2.- Ejercicios para obtener máximos, mínimos y puntos de inflexión 3.- Aplicaciones de la derivada.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

El alumno acreditará la materia como mínimo con calificación de 70, siguiendo los siguientes criterios:

a) No más de 3 faltas en el período a evaluar (excepto en casos especiales) b) Cuaderno de ejercicios limpio y con todos los ejercicios en orden y completos.

c) El examen tiene un valor del 50 % (repartido en exámenes semanales, quincenales y mensuales)

d) Reporte de trabajo o carpeta de evidencias l 20%

e) Tareas del 10 % repartido en el número de tareas del período a calificar f) Disciplina 20%

. Este cuadernillo de apuntes cubre la totalidad del programa del módulo ANALISIS

DERIVATIVO DE FUNCIONES”. Y tiene como finalidad apoyar al estudiante en el proceso de

Enseñanza-Aprendizaje.

NOTA: Este cuadernillo se puede trabajar en forma individual o grupal es decisión del Docente.

____________________________ ________________________________

ALUMNO PADRES DE FAMILIA

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Estimados alumnos: Generalmente muchos de ustedes han escuchado que la materia de cálculo diferencial e integral son materias muy difíciles. Sin embargo, esta apreciación es totalmente equivocada, dado que el cálculo es la herramienta más poderosa para entender la mayor parte de nuestro entorno, ¿Por qué? Porque el cálculo diferencial estudia todas aquellas magnitudes que están en constante cambio o variación: índices de natalidad o mortalidad, velocidad o aceleración, movimientos financieros, oferta y demanda en el mercado, el desarrollo de microorganismos en vacunas o en tejidos, etc. Y el cálculo integral es la suma o cuantificación de estos cambios o magnitudes en variación.

Este cuadernillo consta en su primera etapa con un repaso de álgebra: productos notables, factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, radicales y operaciones con ellos, para facilitar el aprendizaje significativo y lograr el cumplimiento de los objetivos en el aula.

La segunda y tercera etapa consta de conceptos básicos en el cálculo como son las funciones y el término límite de una función, para culminar con la obtención de la derivada de funciones y su aplicación. Entremos entonces en el fascinante mundo del cálculo y apliquemos este conocimiento para desarrollar nuevas aplicaciones al entorno en que vivimos.

Este cuadernillo ha sido impreso sólo por una página, dejando la página posterior para anotar las explicaciones del maestro durante todo el semestre.

CON AFECTO SINCERO

ING. ROBERTO CUELLAR ALCALA TITULAR DE LA MATERIA

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El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del cálculo integral.

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666, el científico inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.

Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días.

Destacan otros matemáticos por haber hecho otros trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, Pierre Fermat matemático francés, quién en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del cálculo diferencial. Dicha obra influenció a Leibniz en la invención del cálculo diferencial.

Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para si mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los franceses, alemanes y los ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan perdido.

Nicolas Oresme obispo de la comunidad de Iisieux, Francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.

Johannes kepler tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme conceptos que permitieron a Fermat en su estudios de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero las derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función

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tiene su máximo y su mínimo, es decir, la función es paralela el eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula.

Isaac Barrow maestro de Newton, quién por medio del triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abocinas y las ordenadas de los extremos del arco.

Newton concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina un “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto correspondiente, es decir, la velocidad, por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”; “fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”

El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”. La concepción de leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de Barrow, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx, dy/dx, la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.

Agustin Lóuis Cauchy matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta” también se deben a Cauchy. Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe a Leonardo Euler; ambos matemáticos suizos. John Wallis enuncia el concepto de “límite” y la representación simbólica “lím” se debe a Simon Ihuilier; el símbolo tiende a “→” lo implantó J.G. Leathem.

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diferencial se deben a Newton y a Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.

A Newton y a Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina: “problema de las tangentes” en el cual hay que hallar rectas tangentes a una curva dada.

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UNIDAD I

REPASO DE ALGEBRA

PRODUCTOS NOTABLES.- Son aquellos que se pueden obtener siguiendo una regla o algoritmo sencillo. Los más comunes:

1.- Binomio al cuadrado 2.- Binomio al cubo 3.- Binomios conjugados

4.- Binomios con termino común (x + a) (x + b) BINOMIO AL CUADRADO:

Genera un trinomio su desarrollo, cuyos términos se obtienen: 1.- El cuadrado del primer término

2.- +/- El doble producto del primer término por el segundo término. 3.- + El cuadrado del segundo término.

Ejemplo: A ) (x + 4)2_{= x}2_{+ 8x + 16} B) (2x – 3y)2_{= 4x}2_{– 12xy + 9y}2 EJERCICIOS. (5b – 4 a)2₌ (a – 5b)2₌ (x – 3y)2₌ (8m + 4n)2 ₌ (2r + 5t)2₌ BINOMIO AL CUBO

Su producto genera 4 términos:

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3.- +El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo 4.- +/- El cubo del segundo

Obtener este producto de manera directa es posible (e ideal) con un poco de práctica. Sin embargo, en ocasiones, se dificulta un poco, sobre todo cuando los términos tienen coeficientes diferentes de 1, por lo que se recomienda indicar operaciones primero y luego realizarlas.

Ejemplo:

1.- (x + 3)3_{= x}3_{+ 3(x)}2_{(3) + 3(x)(3)}2_{+ 3}3_{= x}3_{+ 9x}2_{+ 27x + 27}

2.- (2x – 5y)2_{= (2x)}3_{– 3(2x)}2_{(5y) + 3(2x)(5y)}2_{– (5y)}3 _{= 8x}3_{– 60x}2_{y + 150xy}2_{– 125y}3 EJERCICIOS: 3.- (Y + 4)3 4.- (2b – 3 a)3₌ 5.- (m – 7)3₌ 6.- (4x – 5y)3₌ BINOMIOS CONJUGADOS

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2 binomios son conjugados si tienen los mismos términos y uno de esos términos tiene signo diferente.

(x + 2)(x – 2) son binomios conjugados (a + 3)(a + 4) no son binomios conjugados (x – 1)(x – 1) no son binomios conjugados

El producto de binomios conjugados genera un binomio, cuyos términos se calculan así:

1.- El cuadrado del primero 2.- – el cuadrado del segundo Ejemplo: 1.- (2x – 3y) ( 2x + 3y) = 4x2_{– 9y}2 2.- (3m + 2n)(3m – 2n) = 9m2 _{– 4n}2 EJERCICIOS 3.- (4x + 3y)(4x – 3y) = 4.- (3b – 5 a) (3b + 5 a) = 5.- (a +b )(a – b) = 6.- (3 +m) (3 – m) = 7.- (10x – 10y)(10x + 10y) = 8.- ( p + q ) (p – q) = 9.- (2b + 5c) (2b – 5c) =

BINOMIOS DE LA FORMA (x+a)(x+b)

También llamados binomios con término común, su producto genera un trinomio:

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3.- +/- el producto de los no comunes. Ejemplo:

( x + 4) (x – 7)

x2_{es el cuadrado del común; la suma algebraica de los no comunes es: (+4) +} ( – 7 ) = – 3, por el común que es x, resulta – 3x; el producto de los no comunes : (+4)(– 7) = – 28 Por lo tanto, (x + 4) (x – 7) = x2_{– 3x – 28} EJERICICIOS 1.- ( x + 5) (x +9) = 2.- (2x + 7)(2x +3) = 3.- (m + 5) (m – 4)= 4.- (x + 8) (x – 7) = 5.- ( a + 4) (a – 5) = 6.- ( y + 5) (y – 4) = 7.- (x + 2) (x – 1) = FACTORIZACION

Significa descomponer en factores una expresión dada. Así: 4 a3_b2_x3_{= 2*2*a*a*a*b*b*x*x*x}

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4x2_{+ 2x = 2x (2x + 1)}

Existen 10 casos específicos y alrededor de 6 casos especiales. En este resumen, solo veremos los más comunes que se requieren en cálculo, y que a saber son:

1.- Trinomio cuadrado perfecto 2.- Trinomio de la forma x2_{+ bx +c} 3.- Diferencia de cuadrados

4.- Con término común

5.- Suma y resta de cubos perfectos TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es la operación inversa de elevar un trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir con 2 condiciones:

1.- El término cuadrático e independiente deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta.

2.- El doble producto de las raíces debe dar como resultado el término lineal. Ejemplo:

X2_{+ 10x + 25}

1.- El término cuadrático y el independiente son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, las cuales son: x y 5

Luego, el doble producto de las raíces es: 2(x)(5) = 10x, es decir, el término lineal, entonces, el trinomio si es cuadrado perfecto.

Por lo tanto: X2_{+ 10x + 25 = (x + 5)}2

NOTA: SI EL SIGNO DEL TERMINO LINEAL ES NEGATIVO, ENTONCES EL BINOMIO ES NEGATIVO. EJERCICIOS: A) a2_{– 2ab + b}2₌ B) 1 + 14x2_y2_{+ 49x}4_y4 ₌ C) a2_{+ 16 a + 64 =} D) 36 + 12m2_{+ m}4 ₌ E) x8_{+ 18 x}4_{+ 81=}

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TRINOMIO DE LA FORMA X2_{+ bx + c}

Los trinomios de la forma X2_{+ bx + c, en ocasiones no tiene raíz cuadrada} exacta o es negativo el término independiente. Estos trinomios de factorizan así:

1.- Se colocan 2 pares de paréntesis, colocando en ambos la raíz cuadrada del cuadrático.

2.- Se buscan 2 números que sumados den el lineal y multiplicados el independiente.

EJEMPLO: X2_{+ 2x – 8}

1.- ( x ) (x )

2.- Los factores de 8 son 8* 1, 4 * 2 de estos 2 pares de factores, los únicos que sumados algebraicamente dan +2 (término lineal) son el 4*2. ahora, el signo del término independiente es negativo, lo que implica que uno de ellos es negativo y al ser el lineal positivo, entonces el mayor de ellos es positivo. X2_{+ 2x – 8 = (x +2) (x – 2)} EJERCICIOS X2_{+ 7x + 10 =} X2_{– 5x – 36 =} a 2_{– 2 a – 35 =} m2_{– 8m – 1008 =} x2_{+ x – 132 =} x2_{– 4x – 320 =} DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una expresión algebraica es una diferencia de cuadrados si: 1.- Es un binomio

2.- Ambos términos tienen raíz cuadrada exacta. 3.- Y están separados por un signo negativo.

Su factorización genera 2 binomios, cuyos términos se encuentran fácilmente: (La suma de las raíces) (La diferencia de las raíces)

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Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel Velázquez EJEMPLO: A) X2 _{– 9 = (X + 3)(X – 3)} B) 4X4_{– 25Y}8 _{= ( 2X}2_{+ 5Y}4_{) (2X}2_{– 5Y}4_). EJERCICIOS: C) 9X2_{– 16 =} D) 36 – 49 x2₌ E) a2_{– b}2₌ F) 100m2_{– 121n}2 ₌ G) 4 – 9x4₌ H) 1 – x2₌

FACTORIZACION POR FACTOR COMUN

Una expresión algebraica que se factoriza por factor común puede ser cualquier polinomio de 2 o más términos. En ocasiones puede ser por factor común coeficiente (m.c.d.) , literal (el que contenga el exponente menor) o ambos.

Ejemplo:

1.- 2 x2_{+ 4x}3

En este ejemplo el mcd de 2 y 4 es el 2 y el factor común literal es x con exponentes 2 y 3, entonces se toma el menor: es decir, 2x2

2x2_{+ 4x}3_{= 2x}2_{(1 + 2x)} 2.- 5 a2_{– 10 a + 20 a}4_{= 5 a( a – 2 + 4 a}3₎ 3.- m2_{+ 4m}3_{+ 8m}4 _{= m}2_{(1 + 4m + 8m}2₎ 4.- 12 x3_{+ 24x}4_{+ 2x}6₌ 5.- a2_{+ a}3_{+ a}4 _{+ a}5 6.- 4 a2_x3_{+ 8ax + 12 a}2_x4₌

SUMA Y/O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:

Una suma o diferencia de cubos perfectos es aquella si y solo sí:

1.- Es un binomio separado de sus términos por el signo + (suma) o – (diferencia).

2.- Tienen ambos miembros del binomio raíz cúbica exacta. Su factorización genera 2 binomios:

SUMA: (suma de las raíces cúbicas)(el cuadrado de la primera raíz – el producto de las raíces + el cuadrado de la segunda raíz)

RESTA: (resta de las raíces cúbicas)(el cuadrado de la primera raíz + el producto de las raíces + el cuadrado de la segunda raíz)

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8x3_{+ 27y}3_{= (2x + 3y) (4x}2_{– 6xy + 9y}2₎

B) 125 a6_{– b}3_{= (5 a}2_{– b) (25 a}4_{+ 5 a}2_{b + b}2 ₎ C) b3_{– 125 a}6₌ D) 712 z12_{– 1000 y}6₌ E) a3_{+ b}3₌ F) 64 x3_{+ 1=} G) 27m15_{+ 216 n}6₌ H) x3_{– 8 =} RADICALES

Un radical es toda raíz indicada. Sabemos que al obtener una raíz de cualquier número, ésta tiene 4 elementos: (¿podrías escribirlos?)

Ing. Roberto Cuellar Alcalá = 2

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RADICALES SEMEJANTES

Un radical es semejante a otro si ambos tienen el mismo radicando y el mismo índice, así pues:

2 y 5 son semejantes

y – 2 son semejantes

y – 3 no son semejantes SIMPLIFICACION DE RADICALES SEMEJANTES

Para simplificar radicales semejantes, solamente se suman algebraicamente los coeficientes y delante de ellos se coloca el radical semejante, ejemplo:

1.- + 4 = (1+4) = 5

2.- 3 – 10 + = (3 – 10 + 1) = –6

3.- 12 – 5 + 2 =

4.- 5 + 3 – 4 =

5.- 5 + 3 – 12 = TEORIA DE LOS EXPONENTES

EXPONENTE CERO.- Toda expresión elevada a la cero es igual a 1. ¿Por qué? Porque de acuerdo al criterio de los exponentes en cualquier división, el exponente del numerador resta al exponente del denominador:

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X2

EXPONENTE NEGATIVO

Cuando un exponente es negativo y deseamos hacerlo positivo, entonces solamente se cambia la expresión que lo contiene al denominador si esta en el numerador y al numerador en caso de estar en el denominador.

Ejemplo:

x-1/2 _{= 1/x}1/2 y-1 _x3

--- ₌ ---x-3 _y

Si la expresión tiene coeficientes y estos están con exponente positivo entonces no se cambian. 4 4x-3 ₌ x3 EXPONENTE FRACCIONARIO TEOREMA: = an/m

1.- ; el índice m es 2 y el exponente n es 1, entonces:

= x1/2

2.- = b2/3

En los 2 ejercicios anteriores, el exponente n es menor que el índice m. ¿Qué ocurre cuando m es mayor que n?

Pues que se puede simplificar a una expresión entera y una fraccionaria. Ejemplo:

1.- = x5/2 _{donde 5 es mayor que 2 y al dividir 5 entre 2 = 2 enteros y ½}

= x2_*x1/2 _{, aplicando el teorema:} _{= x}2

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Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel Velázquez 2.- = x8/3 _{= x}2 _{* x}2/3 _{= x}2 3.- 4.- 5.- 6.-

VALOR NUMERICO DE RADICALES

Aplicando el teorema anterior, es posible encontrar el valor numérico de expresiones aritméticas elevadas a exponentes fraccionarios.

Ejemplo: 1.- 163/2 _{= 16}1_{* 16}1/2 _{= 16} _{= 16(4) = 64} 1 1 1 1 2.- 49-3/2 _{= ---= --- = --- =} 493/2 ₄₉ _{49(7) 343} 3.- (32/243) -1/5 ₌ ₌

Para encontrar la raíz quinta es necesario descomponer en factores primos el radicando:

32 = 2*2*2*2*2 = 25 243 = 3*3*3*3*3*3 = 35

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1/ = = = aplicando “ley de la tortilla”

= EJERCICIOS: 1.- = 2.- 3.- 4.-

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5.- 95/2 _{* 27}-1/3 6.- 243-1/5 _{* 128}3/7

MULTIPLICACION CON RADICALES DEL MISMO INDICE.

TEOREMA: por = si hay coeficientes fuera de los radicales también se multiplican

Ejemplo:

5 * 4 = (5*4) = 20

2 * 6 = (2*6) = 12

Racionalizar una expresión (numerador o denominador) significa convertirla a racionalizar quitando radicales y que la expresión sea equivalente. Las expresiones pueden ser monomios o polinomios.

Ejemplo: racionalizar el denominador de:

Multiplicamos toda la expresión por el denominador

= si notas, el exponente se elimina con el radical

=

EXPRESIONES CONJUGADAS

En el tema de productos notables, 2 binomios eran conjugados si tenían los mismos elementos y uno de ellos signo diferente. Para racionalizar el numerador o denominador se aplica el mismo teorema.

Ejemplo:

Racionalizar el denominador se multiplica toda la expresión por el denominador cambiando el signo del binomio para hacerla conjugada

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= = =

Como todos los coeficientes tienen mitad =

EJERCICIOS, RACIONALIZAR EL DENOMINADOR:

1.-

2.-

3.-

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4.-

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad. En una ecuación se utilizan las últimas letras del alfabeto (r-z) para representar a los valores desconocidos llamados incógnitas. Los valores que satisfacen una ecuación se llaman raíces o soluciones de la ecuación.

El exponente máximo de una incógnita el grado de la ecuación, así pues, si el mayor es 1, entonces es de grado 1, si es 2, el grado es 2 o cuadrática, etc. De igual forma, el grado determina las raíces o soluciones, de primer grado tiene una solución, de segundo 2, etc. De la misma forma, el número de incógnitas determina el número de ellas:

X+ 2Y = 8 De primer grado con 2 incógnitas X2_{+ 7x +10 De segundo grado con una incógnita} X3_{+ 2y + 5z}2_{De tercer grado con 3 incógnitas}

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Toda ecuación consta de 2 términos:

2x + 8 = x – 1

Primer miembro segundo miembro

Para la resolución de ecuaciones de primer grado, se pasan todas las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la derecha, se reducen los semejantes y se encuentra el valor de la incógnita. Ejemplo:

2x + 8 = x – 1 2x – x = – 1 – 8

x = – 9

la comprobación es sencilla, sustituyendo el valor encontrado en la ecuación: 2x + 8 = x – 1

2(– 9) + 8 = – 9 – 1 – 18 + 8 = –10

– 10 = –10

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2.- 8x – 4+ 3x = 7x + x + 14

3.- x – (2x + 1) = 8 – (3x+3)

4.- 15x – 10 = 6x – (x+2)+(–x + 3)

ECUACIONES CUADRATICAS Pueden ser de 2 tipos:

a) Completas de la forma: ax2_{+bx + c}

b) Incompletas, con 2 formas: ax2_{+ bx = 0 y ax}2_{+ c = 0} SOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA ax2_{+ bx = 0} 1.- Se factoriza la ecuación por su factor común

2.- Siempre x1 = 0 y para encontrar x2 se iguala el factor encontrado Ejemplo: x2_{+ 4x = 0}

X(x + 4) = 0 donde x1 = 0 y x2 se halla así: X + 4 = 0 ; despejando x =– 4 ; entonces x2 = – 4

SOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA ax2_{+ c = 0} 1.- Se despeja c (si es necesario)

2.- Se despeja x (si es necesario) y se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros.

3.- Si c en el despeje es negativo entonces las raíces son imaginarias. Si son positivas las raíces son reales e iguales.

Ejemplo: x2 _{– 1 = 0}

x2_{= 1 extraemos la raíz a ambos miembros} x1 = x2 = +/-1 4x2_{– 16 = 0} 4x2_{= 16 despejando x} x2_{= 16/4} x2_{= 4 extraemos raíz} x1 = x2 = +/- 4

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SOLUCION DE ECUACIONES COMPLETAS

Para la solución de ecuaciones completas existen 2 formas: 1.- Por factorización

2.- Por formula general

METODO DE FACTORIZACION

Recordando el tema factorización, la solución se centra en ese proceso, ejemplo: resolver x2_{+ 13 + 40}

Factorizando: x2_{+ 13 + 40 = ( x +8) (x + 5) = 0}

X + 8 = 0 y x+ 5 = 0 X1 = – 8 y x2 = – 5 POR FORMULA GENERAL

En la fórmula general se indican y se emplean los coeficientes de la ecuación, siendo la fórmula general la siguiente:

X= Ejemplo: 3x2_{– 5x + 2 = 0} a = 3 b = – 5 c = 2

x = =

de aquí se desprenden las 2 raíces:

x1 = x2 = La comprobación se deja al alumno.

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES: 1.- 4x2_{+ 3x – 22 = 0}

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3.- x2_{=– 15 x – 56}

4.- 4x2_{+ 8x = 0}

5.- x2 _{- 36 = 0}

FUNCIONES

El término función es de suma importancia en el estudio del cálculo.

Antes de definir qué es una función veamos lo siguiente:

Guadalajara Chiapas

Tepic Coahuila

Tuxtla Gutiérrez Guerrero

Saltillo Michoacán

Morelia Jalisco

Chilpancingo Nayarit

Relaciona las 2 columnas y escribe los pares ordenados:

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Sres. Saenzpardo Nancy Issa

Moisés Ramírez

Sres. Issa Ilse Saenzpardo

Sres. García Jairo Ramírez

Sres. Ramírez Giselle Saenzpardo

Mónica Issa

Sres. Martínez Denisse García

Jesú Martínez

Relaciona las 2 columnas y escribe los pares ordenados.

1.- ¿Qué observas al relacionar las 2 listas?

2.- ¿Se repite el primer elemento en alguna de ellas?

El concepto de función surge de relacionar grupos que tienen algo en común. La primera relación se da entre estados y su capital y la segunda es una relación entre padres de familia y alumnos de preparatoria cursando algún semestre de preparatoria.

Existen muchas relaciones: alumno-calificación; padres-número de hijos; personas-profesiones; deporte-número de jugadores, etc.

Sin embargo no todas las relaciones son funciones. Una FUNCION ES UNA RELACION DONDE NO SE REPITE EL PRIMER ELEMENTO DE LOS PARES ORDENADOS. Así pues, la primera relación del ejemplo es una función y la segunda no lo es, dado que se repite el primer elemento al menos una ocasión.

Los pares ordenados se representan generalmente así: (x,y) y se grafican en el plano cartesiano, donde los valores de x se llaman abscisas (eje de las abscisas) y los valores de y se llaman ordenadas (eje de las ordenadas). Al CONJUNTO DE VALORES DE X SE LE LLAMA DOMINIO Y AL CONJUNTO DE VALORES DE Y SE LE LLAMA CONTRADOMINIO, RANGO O IMAGEN. Ahora bien, para que se genere una relación de pares ordenados, entonces debe existir que situación la generó. Contesta esto:

1.- ¿Cuánto pagas de luz en tu casa a la CFE?

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3.- ¿Qué necesitas para obtener 10 en cálculo diferencial?

4.- ¿Qué necesitas para obtener una buena cosecha de tomates si los plantaste previamente en una parcela?

5.- ¿Qué necesitas para llegar a tiempo a la escuela?

Si te fijas, las 2 primeras cuestiones se contestan con una sola situación de cambio, sin embargo, las 3 últimas, puedes enumerar cualquier cantidad de situaciones para contestar la pregunta.

A ESTAS SITUACIONES DE CAMBIO, EN CÁLCULO SE LE LLAMA VARIABLE. En la pregunta 1, el costo ($), depende del consumo de kilowatt-hora, en la segunda depende del número de metros que compre. En las 3 últimas preguntas, las variables son muchas y la pregunta se contesta con muchos “depende de”.

Si te fijas la palabra “depende” es la clave en el entendimiento de una función. Entonces ahora podemos afirmar lo siguiente:

“CUANDO UNA VARIABLE DEPENDE DEL COMPORTAMIENTO DE OTRA, SE DICE QUE LA SEGUNDA ESTA EN FUNCION DE LA PRIMERA. A LA QUE “DEPENDE” SE LE LLAMA VARIABLE DEPENDIENTE Y LA QUE DETERMINA LA RELACION SE LE LLAMA VARIABLE INDEPENDIENTE”. Las variables se representan con las últimas letras del alfabeto ( r – z ) y algunos autores emplean algunas del alfabeto griego:  ,ξ, ω, entre otras. Las constantes se representan de 2 gormas:

1.- Con las primeras letras del alfabeto: a,b,c,d y algunos autores consideran constantes hasta la letra n.

2.- Con cualquier número real o la combinación de números reales y las primeras letras del alfabeto: 2, 3, ½ ,¾ , 3b, 5 a, etc.

NOTACION DE FUNCIONES

La notación de una función generalmente es la letra f y entre paréntesis una expresión:

f (x) y se lee “efe de equis” g (r) y se lee “ge de erre” h(t) y se lee “hache de te”

(27)

La mayor parte de los autores de textos sólo consideran a x e y en los ejercicios sin que esto tenga que ser exclusivo. Por ejemplo:

Dada la función:

y = 2x + 5 y es la variable independiente, la x es la independientes y el 2 y el 5 son constantes.

Si deseo obtener f(1),entonces sólo bastará con sustituir en la x el número 1: f(1) = 2(1)+5 = 2 + 5 = 7

Si quiero obtener el valor de la función cuando la variable independiente x vale 3:

f(3) = 2 (3) + 5 = 6 + 5 = 11

ESTO SIGNIFICA QUE LA VARIABLE Y ES LA VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCIÓN.

(28)

FUNCIONES ALGEBRAICAS TRASCENDENTES LOGARITMICAS y = log 2x y = ln 3x TRIGONOMETRICAS INVERSAS y = arcsen 2x y = arccos x TRIGONOMETRICAS y = sen 2x y = cos 3x y = tang x EXPONENCIALES y = 2x + 1 y = ex POLINOMIALES: 1.- Lineal y = 3x + 5 2.- cuadrática y = x2 + 8 3.- cúbica y = x3 + 2x2 – 5

(29)

INTERVALOS DE UNA VARIABLE

Es cuando una variable toma valores que están comprendidos entre 2 de ellos que se denominan extremos del intervalo. Sean a y b los extremos inferior y superior, respectivamente, de un intervalo, la variable puede tomar cualquiera de los valores que estén comprendidos entre a y b; lo anterior se llama amplitud del intervalo, siendo a < b, resultando b – a. La notación de un intervalo puede ser (a,b); (a,b]; [a, b]; o combinación de ellos. El paréntesis significa que esta “abierto” y el corchete significa que el intervalo esta “cerrado”. Ejemplo: el intervalo [5, 2) se representa:

– 5  x < 2

DOMINIO Y CONTRADOMINIO (RANGO O IMAGEN) DE FUNCIONES

Encontrar el dominio o contradominio de una función significa encontrar al conjunto de números reales contenidos en un intervalo.

Recuerda que los números reales son todos aquellos que podemos representar en la recta numérica y su intervalo es desde –  hasta + . Los números irreales o imaginarios son las raíces pares de números negativos y se representan con la letra i.

De este concepto entonces:

= 3i

= 2i

Ejemplo 1: encuentra el dominio y contradominio de la siguiente función: y = 5x + 6

Como puedes ver, para cualquier valor de x le corresponde un valor de y, por lo que:

Df (-  , +  ) Cf (-  , +  ) EJEMPLO 2:

y =

Dando valores a la variable independiente:

DOMINIO X 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3

CONTRADOMINIO Y i i i i i 0 1 1.4

1

i i i

Para valores de x  5 la función no esta definida para los números reales, por lo que:

(30)

Rf ([0, + )

Ejemplo 3:

y =

En esta función hay un cociente, por lo que el denominador tiene que ser una expresión diferente de 0, dado que la división entre cero es infinito. ¿Sabes porqué?

Es decir, la división entre cero queda excluida en nuestro curso. Supongamos que a = b. Observa: a = b ab = a2 ab – b2_{= a}2_{– b}2 b(a – b) = (a + b) (a – b) b = a+ b a = b b = 2b 1 =2 ¿Dónde está el error?

Bien, vemos que el denominador es un trinomio de la forma x2 _{+ bx + c.} resolviendo la ecuación (por el método de factorización)

X2_{+ 3x + 2 = 0 (x +2) (x + 1) = 0, por lo que x}

1 = – 2; x2 = – 1 Ahora bien, el numerador puede ser cero, dado que cero entre cualquier cantidad es cero.

Entonces: Df ( ) Rf ( )

EJERCICIOS:

ENCUENTRA EL DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

(31)

2.- f(x) =

3.- f(x) =

(32)

5.- f(x) = x2 _{+ 1}

EVALUACION DE FUNCIONES

Evaluar funciones significa encontrar el valor que toma la función cuando la variable independiente tiene un valor o expresión definida. Así pues, dada la función: y = x2 _{+ 2x – 8} Hallar: a) f( – 1 ) b) f(1) c) f( 0) d) f( ½ ) SOLUCION: a) f (– 1) = (– 1)2_{+ 2(– 1) – 8 = 1 – 2 – 8 = – 9} b) f ( 1) = (1)2 _{+ 2 (1) – 8 = 1 + 2 – 8 = – 5} c) f(0) = (0)2_{+ 2(0) – 8 = 0+0 – 8 = – 8} d) f (1/2) = (1/2)2_{+ 2(1/2) – 8 = ¼ + 1 – 8 = – 6 ¾}

En caso de que el ejercicio solicite una demostración, significa que me están dando el resultado y sólo tendré que encontrar la igualdad.

Ejemplo:

Dado f(x) = x3_{– 5x}2_{– 4x + 20 , demostrar:} a) f (1) = 12

f (x) = 13_{– 5 (1)}2_{– 4(1) + 20 = 1 – 5 – 4 + 20 = – 9 + 21 = 12 L.Q.Q.D.}

b ) f(0) = – 2 f(3) primero encontramos f(0). Luego f(3) y el resultado lo multiplicamos por – 2 f(0) = 03_{– 5(0)}2_{– 4(0) + 20 = 0 – 0 – 0 + 20 = 20} f(3) = 33_{– 5 (3)}2_{– 4 (3) + 20 = 27 – 45 – 12 + 20 = 47 – 57 = – 10} Luego: f(0) = – 2 (3) 20 =– 2 (– 10) 20 = 20 L.Q.Q.D. EJERCICIOS:

(33)

1.- DADO f(x) = x3_{+ 5x + 3} Hallar: a) f( – 1) b) f( 2 ) c) f( 1/3) d) f(x + 1) e) f(x – 2) 2.- DADO f(x) = x3_{– 5x}2_{– 4x + 20} DEMOSTRAR: a) f(7) = 5 f( – 1) b) f(5) = 0 c) f (x+1) = x3_{– 2x}2_{– 11 x + 12}

(34)

3.- DADO f(x) = 4x_{, demostrar que f(x + 1) – f (x) = 3 f(x)}

4.- DADO f(x) = demostrar que f (x + h) – f (x ) = –-

5.- DADO f(x) = 3x2_{– 2x + 5 demostrar:} a) f(-2/3 ) = 7 2/3

(35)

b) f ( ) = 11 – 2 c) f(x + h) = 3x2_{– 2x + 5 +2h (3x – 1 ) + 3h}2 DADO f(x) = x3_{– 7x}2_{– 6x + 42 DEMOSTRAR:} a) f(1) = 30 b) f(7) = 0 c) f(0) = -7/2 f(3) d) 3 f( – 1) = – 4 f(6) e) f(9) = 5 f(1) f) f(z+2) = z3_{– z}2_{– 22 z + 10}

DADO: f(x) = sen  + cos 2 HALLAR: a) f( /4 )=

b) f( /3) = c) f() = d) f(2) =

(36)

EJERCICIOS DE REPASO UNIDADES I Y II

TRABAJO PARA ENTREGAR EL DIA DEL 1ER. EXAMEN PARCIAL

1.- Escribe el dominio y el contradominio de la siguiente relación de pares ordenados:

(1,2); (2,4) ; (3,6) ; (4,8) ; (5,10)

2.- Menciona que es una función

3.- ¿Qué nombres reciben las variables en una función?

4.- Menciona como se representan las variables en una función y escribe 3 ejemplos.

5.- Menciona como se representa una constante en una función y escribe 3 ejemplos

6.- Los fundadores del cálculo diferencial fueron

__________________________ y ___________________________________. 7.- Escribe los conceptos que estableció Nicolás Oresme en el estudio de los máximos y mínimos.

(37)

9.- Escribe los razonamientos de Isaac Barrow sobre el método de las fluxiones

10.- Menciona que aportó Louis Cauchy al cálculo diferencial.

11.- Cita la aportación de Pierre Fermat al cálculo diferencial

12.- Escribe como surge históricamente el cálculo diferencial.

13.- Menciona que es un intervalo en una función y escribe sus formas posibles

Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones

1.- y =

(38)

EVALUA LAS SIGUIENTES FUNCIONES 1.- DADO f(x) = x3_{+ 2x}2_{– 8x – 1} HALLAR: a) f( – 1) = b) f(1/2) = c) f(0) d) f(x – 3) = e) f (x+h) =

(39)

f) f ( ) 2.- DADO f(x) = 10 + 12x – 3x2_{– 2x}3 DEMOSTRAR QUE: a) f(1) = 17 b) f(3) = – 35 c) 2f(1/2 ) = 5 f(2) d) f( x + 1) = - 2x 3_{– 9x}2_{+ 17} e) f( – 1) = – 3 f) f(- 2) = - 1 f(0)

(40)

DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, ESCRIBE A QUE TIPO DE FUNCION PERTENECE. y = 2x + 1 y = ln 2x y = log (x – 1) y = sen 2x y = 3x3_{+ 2x}2 _{– 1} y = arc cos 2x y = cos 3x

EVALUA LA SIGUIENTE FUNCION HALLANDO LO QUE SE TE PIDE.

DADO f(x) = Hallar:

a) f (9/2)

(41)

ANALISIS GRAFICO DE FUNCIONES

De acuerdo a la clasificación de funciones (pagina 25), cada una de ellas se puede graficar y determinar sus características así como los intervalos en los que se hallan números reales. Generalmente para construir una grafica de una función se emplea el sistema de coordenadas rectangulares; los valores del dominio se ubican en el eje horizontal (eje x o abscisas) y los valores del contradominio, rango o imagen en el eje vertical (eje de las y u ordenadas). FUNCION LINEAL.

Dado y = 2x + 1

Grafica la función dando valores al dominio en el intervalo desde – 3 hasta +3.

(42)

FUNCION CUADRATICA

Dado: y = x2_{– 4; y = – 2x}2₊₁

GRAFICA AMBAS FUNCIONES CON INTERVALOS DESDE – 3 HASTA +3

(43)

FUNCION CUBICA

Dado y = 2x3 _{+ 3x}2 _{– 12 + 1}

(44)

FUNCION EXPONENCIAL Dado y = 2x

(45)

FUNCION LOGARITMICA

LOGARITMO.- El logaritmo de un número es el exponente al que elevar una base para encontrar dicho número.

La base de un logaritmo puede ser cualquier número, sin embargo, las bases más utilizadas son 2:

1.- Base e (Euler), descubierta por Jhon Neper y cuyo numero e es un limite de una función exponencial y vale 2.71828…son llamados logaritmos naturales. 2.- Base 10, también llamada decimal , vulgar o de Briggs descubierta por Jhon Briggs asesorado por Neper.

En las calculadoras científicas el calculo de los logaritmos es muy sencillo, la tecla LOG pertenece al decimal o de Brigss y la tecla LN pertenece al natural o neperiano. Ejemplo: Log 10 = 1 porque 101_{= 10} Log 100 = 2 porque 102_{= 100} Log 1000 = 3 porque 103_{= 1000} Log 128 = porque 10 = Ln 235 = porque 2.71828 =

Si te fijas los logaritmos tienen 2 partes, una entera llamada característica y otra decimal llamada mantisa. La característica se obtiene restando 1 al número de dígitos enteros y las decimales en tablas matemáticas. Sin embargo este método esta en desuso al estar incluidas en las calculadoras científicas. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

LOGARITMO DE UN PRODUCTO = a la suma de los logaritmos de los factores

Log ab = log a + log b

LOGARITMO DE UN COCIENTE = a la diferencia del logaritmo del dividendo menos e divisor.

Log a/b = log a – log b

LOGARITMO DE UNA POTENCIA = al producto del exponente por el logaritmo de la base

(46)

Log =

POR DEFINICION: Log 1 = 0 (100_{= 1)}

RELIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS CON LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.- 325 * 23 = 2.- 424 ENTRE 24 3.- 32 ₌ 4.- 5.- 345 * 286 = 6.- 1234 ENTRE 610

(47)

7.- 24 3₌

8.-

GRAFICA DE UNA FUNCION LOGARTIMICA

y = Log x

(48)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En este curso estudiaremos las graficas de las funciones:

a) Seno b) Coseno c) Tangente

El valor numérico de la letra griega π es un valor redondeado de 3.1416, sin embargo el valor angular es de 180º, por lo que 2π = 360º, π/2 = 90º, π/4 = 45º, etc. Con la ayuda de tu calculadora científica obtener los valores del contra dominio y graficar. La obtención de estos valores debe estar en DEG (D) en la pantalla de la calculadora.

GRAFICA DE FUNCION SENO

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION SENO

(49)

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

(50)

UNIDAD III LIMITES

Hemos escuchado frecuentemente la palabra límite en nuestro léxico cotidiano, por ejemplo:

1.- 2.- 3.- 4.-

En matemáticas y específicamente en cálculo, el LIMITE DE UNA VARIABLE se comprende rápidamente en geometría con el siguiente ejemplo:

¿Podrías trazar un cuadrado en un círculo? ¿Luego un pentágono?

¿Ahora un hexágono? ¿Se puede un icoságono?

Si te fijas el número de lados n de la figura trazada en el círculo “tiende” a la circunferencia.

En una caja que contiene huevo o pañales por ejemplo, se puede leer: “no estibar mas de 5 cajas”, ¿porqué? Porque el empaque tiene como “límite” ese número de cajas. ¿Qué ocurre si se coloca una o más cajas de las indicadas? Definitivamente que las cajas excedentes podrían sin duda aplastar a las de abajo.

Entonces un límite en cálculo es un tope a cota a la que la variable tiende dada una función específica. Entonces podemos definir lo siguiente: “una función no puede tender a 2 límites, si el límite de una función existe, éste es único”.

Matemáticamente: Lim f(x) = L

x x0

Se lee: “el límite de f(x) cuando x tiende a x0, es L” EJEMPLO:

(51)

Dado f(x) = X 2

Sustituyendo el 2 en lugar de x, nos queda:

= =

Lo que nos representa una indeterminación.

Utilizando una calculadora obtener los valores que faltan.

X 1.5 1.7 1.9 1.9 1.999 ¿ ? 2.001 2.1 2.3 2.5

F(x)

1.- ¿Hacia donde tiende el límite cuando la variable x tiende a 2?

2.- ¿Hay algún método mas sencillo en lugar de obtener losa valores del dominio y contradominio por izquierda o por derecha? ¿si? ¿no?

Veamos el resultado de la pregunta 12 y analicemos la función en el numerador: x3_{– 8}

¿Lo podemos factorizar?

¿Cuál sería el resultado de la factorización?

LIMITES PARTICULARES

En el concepto de límite determinamos que si existe un número real cuando la variable independiente tiende a un límite, entonces el límite existe y es real. Sin embargo, en ocasiones el valor es indeterminado (0/0), tiende a infinito o

(52)

1.- Lim es decir: v 0 2.- lim cv v  es decir c*  =  3.- lim es decir v  4.- lim es decir v  EJEMPLOS DE LÍMITES HALLAR EJEMPLO 1 Lim x2 _{+ 2x – 1} x 2 lim = 22_{+ 2(2) – 1 = 4 + 4 – 1 = 8 – 1 = 7} EJEMPLO 2 = (indeterminación). x 2

(53)

Recuerda que las indeterminaciones son resultados no válidos por lo que hay que encontrar una solución, en este caso factorizar:

Lim x – 5 = 2 – 5 = – 3

EJEMPLO 3:

Lim =

x – 2

LIMITES AL INFINITO

Cuando el límite tiende al infinito, una forma de resolver el ejercicio es dividir toda la expresión entre la variable que tenga el exponente mayor:

Lim =

x 

EJERCICIOS

1.- Lim x 1

(54)

2.- lim x  3.- lim x 3 4.- lim x 2 5.- lim x 0 6.- lim

(55)

x -2 7.- lim x 3 8.- lim x – 5 9.- lim x – 4 10.- lim x – 1

(56)

11.- lim x 1 12.- lim x – 1 13.- lim x 5 14.- lim x – 5 15.- lim x 2

(57)

16.- lim x 0 17.- lim x 0 18.- lim x 4

(58)

19.- lim x 0 20.- lim x 5 21.- lim x 3 22.- lim x 1

(59)

23.- lim x 1 24.- lim x 2 25.- lim x – 2 DERIVACION DE FUNCIONES

En este capítulo vamos a investigar como varía el valor de una función al variar el valor de la variable independiente. El problema fundamental del cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a Newton al

(60)

INCREMENTOS.- El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final, por ejemplo, en Física la diferencia de temperaturas (T2 – T1). El incremento de x se representa por el símbolo x, que se lee, “delta equis”. Es evidente que un incremento puede ser positivo o negativo, según la variable aumente o disminuya el valor. Asimismo. El incremento de cualquier variable es:

y significa incremento de y t significa incremento de t z significa incremento de z

Existen varias aplicaciones sobre el conocimiento de “razón de cambio”, por ejemplo: los índices de reprobación en matemáticas, la tasa de deserción escolar, los costos de producción, la fuerza de los vientos huracanados, el crecimiento de microorganismos en una vacuna, etc.

Las razones de cambio se refieren por lo general a cambios con respecto al tiempo, pero se puede buscar la razón de cambio respecto de cualquier variable relacionada. Ejemplo:

Se dispara un proyectil cuya trayectoria se describe con la función y = – 0.05 x2_+2x

Grafica la función dando valores de 5 en 5 hasta 40 iniciando en 0 al dominio

Considera cuando x = 5, entonces la altura y = ______ . si ahora x = 15 entonces la altura y = ________.

(61)

El cociente de incrementos de y al pasar de x =10 a x =20

CONCLUSION.- Por lo general se puede calcular el cociente de incrementos de “y” con respecto a “x” en un intervalo mediante la siguiente regla:

Cociente de incrementos

Si nos interesa la razón de cambio “exacto” de “y” para valores particulares de x, por ejemplo cuando x =5 ¿Cuál es la razón de crecimiento de “y” para cada unidad de incremento en x?

La razón de cambio de “y” con un valor concreto de “x”, se denomina “RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO” de “y” con respecto a “x” la cual se calcula HACIENDO X X+ 5 1 5 0.1 5 0.01 5 0.001 5 0.0001

De la tabla anterior se observa que el cociente de incrementos se aproxima a 1.5 cuando 0

El análisis anterior da lugar a la siguiente definición:

0

Entonces esta ecuación anterior es la interpretación fundamental de la derivada “como una razón de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra”.

(62)

grafico como tabular, tal como lo hicimos en el ejemplo anterior, por lo que existen 2 formas de encontrar la derivada de funciones:

1.- Por incrementos o fórmula general

2.- Por medio de fórmulas establecidas (formulario).

DEFINICION DE DERIVADA.- “La derivada de una función en una variable es el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente cuando ésta tiende a cero”.

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA DERIVADA

OBJETIVO

1. Comprender el significado geométrico del concepto de derivada en un punto.

2. Obtener las pendientes a las rectas tangentes a una curva en un punto. 3. Aplicar el concepto de FUNCION DERIVADA a la obtención de la

DIRECCION de una curva.

INTRODUCCION

1.- En una recta corresponde al valor de la pendiente de la recta, es decir, m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación.

2.- En consecuencia, en el caso de una recta es la pendiente. Es decir m permite determinar la DIRECCION de la recta.

3.- Considerando lo anterior, podemos afirmar que es la pendiente de la recta secante que corta a la curva y=f(x) en los puntos (x,f(x))

(63)

4.- Como x es un valor que tiende a , así también el punto (x ,f(x)) tiende a

. De esta forma GEOMETRICAMENTE las secantes se van “

transformando” en la TANGENTE a la curva en el punto .

5.- En consecuencia, es la pendiente de la RECTA TANGENTE a

la curva y = f(x) en el punto cuando x tiende a .( tiende a 0 ).

6.- Luego el , o sea la DERIVADA de una función en

un punto , es la PENDIENTE de la recta TANGENTE a la curva en el

punto .

7.- La recta TANGENTE a una curva en un punto, determina la DIRECCION de la curva en ese punto. Podemos concluir entonces que la DIRECCION DE UNA CURVA está definida por las diversas direcciones que tienen las infinitas tangentes en cada punto.

8.- Para DEFINIR MATEMATICAMENTE en un solo concepto la DIRECCION de una curva, se hace necesario GENERALIZAR el concepto anterior.

9.- Así el concepto al transformarse en

representa ahora LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE a la curva en cualquier punto de ella.

10.- Finalmente podemos decir que

representa la DIRECCION DE LA CURVA y = f(x) en todos sus puntos.

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.

(64)

Figura 1

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones

sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se

denomina: la recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:

, (Ver figura 2.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por viene dada por:

Figura 2.

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente viene dada por:

(65)

(Punto – Pendiente)

Interpretación Física De La Derivada

Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.

Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Por lo tanto:

Definición: Sea un punto P un punto sobre una recta de coordenada l tal que su posición al tiempo t está dada por s(t), donde s es una función derivable. La velocidad v(t) de P al tiempo t está dada por:

Por tanto, la velocidad instantánea v es la derivada de la función de la posición s, es decir, v = ds/dt.

DERIVACION DE FUNCIONES POR FORMULA GENERAL O DE 4 PASOS Una forma de derivar funciones es por medio de la regla de 4 pasos. Es un poco largo y tedioso el proceso y en el momento de que el alumno aprende a derivar por fórmula, este método no les agrada por los motivos ya citados. REGLA DE LOS 4 PASOS.

1.- Se sustituye x por x + así como y por y + 2.- Se resta la función original

3.- Se divide toda la expresión resultante de la resta entre 4.- 0, es decir se sustituyen los por 0 EJEMPLO:

(66)

y + = (x + )2_{+ 3(x +} ₎ y + = x2_{+ 2x} ₊₍ ₎2_{+ 3x + 3} Paso 2 y + = x2_{+ 2x} ₊₍ ₎2_{+ 3x + 3} -y = – x2_{– 3x} = 2x + 2 _{+ 3} Paso 3 2x + + 3 Paso 4 2x + 0 + 3 2x + 3

DERIVAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES POR LA REGLA DE LOS 4 PASOS 1.- y = 8x – 5

(67)

3.- y = x2_{– 3x}

4.- y = 2x3_{+ 2x}2_{– 4x + 1}

(68)

6.- y =

7.- y =

(69)

9.- y =

10.- y =

DERIVACION POR FORMULAS

DERIVACION DE FUNCIONES ALBEBRAICAS.- En el capítulo 3 de este cuadernillo estudiamos los tipos de funciones, los cuales son 2:

a) algebraicas b) trascendentes

(70)

clasificación, las algebraicas pueden ser polinomiales de primer grado (lineales), de segundo grado (cuadráticas), de tercer grado (cúbicas), etc. Antes de observar los procedimientos de derivación, recordemos también el concepto de variable y constante. Una variable es aquella que cambia en un proceso matemático y se representa por las últimas letras del alfabeto (r – z) y algunas letras griegas; asimismo, las constantes son aquellas que no cambian en un proceso matemático y se representan con las primeras letras del alfabeto (a – n), por la letra griega  y la letra e (Euler).

En el formulario de derivación, la notación f ´(x) = D(x) = y´ son lo mismo, en nuestro curso utilizaremos por comodidad la última, es decir, y´, la cual se lee: “ye prima”.

EJEMPLO 1: Sea y = 3x + 2

Por ser una suma algebraica, utilizaremos la fórmula III:

Si te fijas la fórmula son 3 términos y en la función son sólo 2, sin embargo eso no importa, dado que la fórmula es solamente una representación, es decir, pueden ser 2,3, 4 o más términos. Ahora bien, debemos derivar entonces 3x y sumarle la derivada de 2.

Checando el formulario, puedes darte cuenta que la variable x en la expresión 3x está elevada a la potencia 1 y además esta acompañado de un número (una

constante) por lo que la expresión es la derivada de , luego el

número 2 por ser una constante corresponde a la fórmula I, es decir: Entonces:

y = 3x + 2 y´= 3

(71)

y = 5x3_{+ 4x}2_{+ 2x + 8}

Es una suma algebraica, por lo que utilizamos la fórmula 3, es decir, la de la suma, donde se debe derivar cada término por separado.

Los términos 1 y 2 se pueden derivar con la fórmula 4, es decir.

El término 3 se puede derivar con la fórmula 4 a, es decir

Y el último término, que es una constante, con la fórmula 1

Sin embargo, derivar x3_{y x}2_{se consigue con la fórmula de un “x a la n”(fórmula} bastante empleada en cálculo diferencial)

nxn-1 Por lo tanto, y´= 15x2 _{+ 8x + 2}

En los siguientes ejercicios, se te proporciona el resultado (a la derecha), demuestra entonces que la derivada que encuentres coincide con el resultado 1.- y = 3x4_{– 2x}2_{+ 8 y´ = 12x}3_{– 4x}

2.- y = 4 + 3x – 2x3 _{y´= 3 – 6x}2

3.- y = y´= z – z6

(72)

5.- y = 2x3/4 _{+ 4x}-1/4_y´=

6.- y = y´= c –

7.- y = 3x2 _{+ 5x – 8 y´= 6x + 5}

(73)

9.- y = y´=

10.- y = y´=

11.- y = y´=

(74)

14.- y = y´=

15.- y = y´ =

16.- y = (2 – 5x)3/5 _y´=

(75)

18.- y = x y´=

19.- y = x y´=

20.- y = y´=

(76)

22.- y = y´=

23.- y = y´=

24.- y =x2 _{y ´=}

(77)

26.- y = y´=

(78)

28.- y = y´=

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Se dice que una función y= f(x) es creciente en un interválo l = (a,b) si se verífica que: a < b entonces f (a) < f (b)

Se dice que es una función y = f(x) es decreciente en un interválo l = (a,b) si se verífica que: a < b entonces f(a) > f(b)

Empleando LA DERIVADA de la función es sencillo determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo. Si f´(x) > 0 sobre un intervalo l, entonces es creciente en ese intervalo

Las pendientes de las rectas son negativas, quiere decir que la función es decreciente.

Ejemplo.

Determina si la función y = x2 _{– 7x + 2 = 0 es creciente o decreciente en x = 2} Graficando la función dando valores al dominio de – 2 hasta + 2

(79)

Ahora bien, deriva la función:

Y´ = 2x – 7

Evaluamos la función en x = 2 Y ´= 2(2) – 7 = – 3

- 3 < 0

Por lo tanto la función es decreciente en x = 2, observa la grafica, traza la recta tangente al punto y comprueba graficamente lo anterior.

EJEMPLO 2: Determina como es la función y = x2_{+ 12x – 5 cuando x = - 5} y = x2_{+ 12 x – 5}

y ´= 2x + 12 Evaluando para x = - 5 y´= 2(- 5 ) + 12 = - 10 + 12 = +2

por lo tanto la función en ese punto es creciente.

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE DE UN INTERVALO Para determinar los intervalos de una función, se procede a lo siguiente: 1.- Se obtiene la primera derivada de la función

2.- La función es creciente cuando la evaluación de la función es positiva, por lo que hay que utilizar una inecuación siendo x > al término independiente.

3.- El intervalo será de dicho valor al infinito EJEMPLO

Determina en que intervalo la función y = x2 _{- 6x + 1 es creciente} Y= x2_{– 6x + 1} Y´= 2x – 6 2x > 6 (despejando el – 6) x > 3 Entonces el intervalo es (3, ∞) EJERCICIOS.

Determina si las siguientes funciones son crecientes en los puntos indicados para la abscisa.

(80)

2.- f(x) = 2x2

3.- f(x) = 3x2 _{– 4x + 3}

4.- f(x) = 4x2 _{+ 2x +5}

(81)

PUNTO DE INFLEXION DE UNA FUNCION

El punto donde la función cambia de sentido lo llamamos punto de inflexión. Los puntos de inflexión de una curva son muy importantes en el diseño de carreteras, juegos mecánicos, entre otras cosas.

Para obtener el punto de inflexión se sigue el siguiente procediemiento: a) se obtienen la primera, segunda y tercera derivada.

b) La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve.

c) El valor obtenido se sustituye en la tercera derivada, si este es diferente de cero, entonces es punto de inflexión.

d) Se obtiene el punto evaluando la función en el valor obtenido. Ejemplo:

Obtener el punto de inflexión de la función y = x3 y´= 3x2 y´´ = 6x

y´´´= 6

La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve. y´´ =6x

6x = 0 X = 0/6

X = 0

Este valor se sustituye en la tercera derivada, si es distinto de cero es punto de inflexión, como lo es en este caso.

EJERCICIOS: OBTENER LOS PUNTOS DE INFLEXION DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

1.- y = x3_{+ 1}

(82)

3.- y = x3_{– 6x + 5}

4.- y = x3_{+ 3x}2_{– 36 x + 12}

CONCAVIDADES

Para determinar las concavidades (huecos) de una función se sigue el siguiente criterio.

a) Si la segunda derivada es mayor que cero, la curva es cóncava hacia arriba

b) Si la segunda derivada es menor que cero, la curva es cóncava hacia abajo.

****ALGUNOS AUTORES UTILIZAN CÓNCAVA Y CONVEXA. DETERMINA LAS CONCAVIDADES DE LA FUNCION y = x3_{– 3x}2

y´= 3x2_{– 6x} y ´´ = 6x – 6 se resuelve la inecuación 6x – 6 >0 6(x – 1 ) > 0 x – 1 > 0 x > 1

(83)

Entonces la función es cóncava hacia arriba en el interválo (1 , ∞ )

EJERCICIOS

DETERMINA LAS CONCAVIDADES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 1.- f(x) = x3_{+ 1}

2.- f(x) = x3_{+ x – 4}

(84)

4.- f(x) = 2 + x – x2_{– x}3

APLICACIONES DE LA DERIVADA UNIDAD V

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

(85)

1.- ¿Qué observas en las figuras 1 y 2?

2.- ¿Qué observas en la figura 3?

FIGURA 3

FUNCION CRECIENTE.- Una función y = f(x) es creciente si al aumentar algebraicamente “x” también “y” aumenta, es decir, la función creciente en un intervalo si es creciente en todos los valores del intervalo.

FUNCION DECRECIENTE.- Una función y = f(x) es decreciente si al aumentar algebraicamente “x” la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo.

El criterio para determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado, es el siguiente: hallar la derivada de la función, geométricamente hablando la tangente forma un ángulo agudo con el eje de las “x” y tiene pendiente positiva (FUNCION CRECIENTE); si la derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje de las x y tiene pendiente negativa (FUNCION DECRECIENTE), por lo tanto: “Una función es creciente cuando su derivada es positiva y es decreciente cuando su derivada es negativa.

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Si “f” es una función cuyo valor es “c”, se tiene que:

a) f(c) se llama máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a “c” tal que f(x) ≤ f(c) para todo “x”en dicho intervalo, es decir, si f(c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

b) f(c) se llama mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a “c” tal que f(x) ≥ f(c) para todo “x” que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

(86)

grafica, por lo que se denominan “absolutos”.

Grafica la función y = 2x3 _+3x2_{– 12x dando valores al dominio de – 3 hasta} +3

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Existen 2 métodos para calcular los máximos y mínimos de una función, ambos útiles y sencillos. Para efectos prácticos sólo veremos el segundo método el cuál consiste en lo siguiente:

1.- Se deriva la función dada.

2.- La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación. Las raíces de la derivada se denominan valores críticos de la función.

3.- Se obtiene la segunda derivada de la función, es decir, se deriva la primera derivada. (DERIVADAS SUCESIVAS)

4.- Se sustituyen las raíces en la segunda derivada. Si el valor encontrado es positivo, significa que en ese valor crítico existe un mínimo, por el contrario, si el resultado es negativo, entonces existe un máximo en ese valor crítico.

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION.

Derivar sucesivamente una función, significa obtener la segunda, tercera, cuarta, etc. derivada (en un momento puede llegar a ser 0).

Ejemplo: