Deber de Métodos Numéricos

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(1)

DEBER MÉTODOS NUMÉRICOS DEBER MÉTODOS NUMÉRICOS

5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz 5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de:

mayor de:

f f  ( ( x x))=−=−0.8750.875 x x22++1.751.75 x x++2.6252.625

Em

Emppléléesese e un un vvalaloor r ininiciciaial l ddee  x xii==3.13.1 . . ReRealalícícesese e lolos s cclclculouloss hasta !ue

hasta !ue ϵ ϵ  0

0  sea menor del sea menor del ϵ ϵ ss==0.010.01 . "am#ién veri$í!uese los. "am#ién veri$í!uese los errores en la respuesta %nal.

errores en la respuesta %nal. Sea la función

Sea la función f f  ( ( x x))=−=−0.8750.875 x x22++1.751.75 x x++2.6252.625  tenemos que: tenemos que:

En la gr!ca "o#emos $er que la función corta en #os "artes al e%e & "or En la gr!ca "o#emos $er que la función corta en #os "artes al e%e & "or lo que ten#r'amos #os ra'ces( "ero el "ro)lema solo nos "i#e la ra'* lo que ten#r'amos #os ra'ces( "ero el "ro)lema solo nos "i#e la ra'* ma+or,

ma+or,

--a a ffóórrmmuulla a qquue e $$amamoos s a a uuttiillii**ar ar ""arara a ccalalccuullaar r el el $a$alloor r ##e e llasas a"ro&imaciones ser:

a"ro&imaciones ser:  x xii++11== x xii−−

f f (( x xii)) f f ' ' (( x xii))

Sien#o la función

Sien#o la función f f  '  ' (( x x))=−=−1.751.75 x x++1.751.75  la "rimera #eri$a#a #e la función la "rimera #eri$a#a #e la función

inicial inicial

(2)

&oluci'n:

&oluci'n: El $alor #e la ra'* ma+or esEl $alor #e la ra'* ma+or es  x xii==33  +a que el error "orcentual +a que el error "orcentual es inferior al error "e#i#o al "rinci"io,

es inferior al error "e#i#o al "rinci"io, Sea

Sea f f  ( (33))=−=−1.751.75 x x1010−−1212

5.( )etermínese las raíces reales de: 5.( )etermínese las raíces reales de:

f f  ( ( x x))=−=−2.12.1++6.216.21 x x−−3.93.9 x x22++0.6670.667 x x33 a* +r%camente

a* +r%camente

#* ,sando el método de

#* ,sando el método de Newton-RaphsoNewton-Raphson hasta !uen hasta !ue ϵ ϵ 

ss==0.010.01 .. Sea la función

Sea la función f f  ( ( x x))=−=−2.12.1++6.216.21 x x−−3.93.9 x x22++0.6670.667 x x33  tenemos que: tenemos que:

En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e & en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces,

& en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces, -a "rimera #eri$a#a #e la función es

(3)

&oluci'n:

&oluci'n: El $alor #e la ra'* ma+or esEl $alor #e la ra'* ma+or es  x xii==33  +a que el error "orcentual +a que el error "orcentual es inferior al error "e#i#o al "rinci"io,

es inferior al error "e#i#o al "rinci"io, Sea

Sea f f  ( (33))=−=−1.751.75 x x1010−−1212

5.( )etermínese las raíces reales de: 5.( )etermínese las raíces reales de:

f f  ( ( x x))=−=−2.12.1++6.216.21 x x−−3.93.9 x x22++0.6670.667 x x33 a* +r%camente

a* +r%camente

#* ,sando el método de

#* ,sando el método de Newton-RaphsoNewton-Raphson hasta !uen hasta !ue ϵ ϵ 

ss==0.010.01 .. Sea la función

Sea la función f f  ( ( x x))=−=−2.12.1++6.216.21 x x−−3.93.9 x x22++0.6670.667 x x33  tenemos que: tenemos que:

En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e & en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces,

& en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces, -a "rimera #eri$a#a #e la función es

(4)

/i 0 1,2 /i 0 1,2 /i 0 3 /i 0 3 /i 0 . /i 0 .

-os $alores #e /i se 4an toma#o

-os $alores #e /i se 4an toma#o seg5n se acercan a la ra'*,seg5n se acercan a la ra'*, &oluciones: &oluciones: Ra'* 6: Ra'* 6:  x xii==0.462632850.46263285 ++ f f  ( (0.462632850.46263285))=−=−9,77449,7744 x x1010−− 10 10 Ra'* 3: Ra'* 3:  x xii==1.983642081.98364208 ++ f f  ( (1.983642081.98364208))=−=−2.61982.6198 x x1010 − −77 Ra'* .: Ra'* .:  x xii==3.430786853.43078685 ++ f f  ( (3.430786853.43078685))==3,79943,7994 x x1010−− 7 7

(5)

5. Empléese el método de Newton-Raphson para determinar las raíces reales de:

f  ( x)=−23.33+79.35 x−88.09 x2+41.6 x3−8.68 x4+0.658 x5  ,sando el valor inicial de a*  xi=3.5  #*  xi=4.0  y c*  xi=4.5 . /rué#ense y 0sense los métodos r%cos para e2plicar cual!uier peculiaridad en los resultados.

Como nos muestra la !gura la gr!ca corta al e%e & en 2 "untos( resultn#onos 2 ra'ces( "ero solo $amos a calcular el $alor #e las "e#i#as "or el e%ercicio,

-a "rimera #eri$a#a #e la función es

f ' ( x)=79,35−176,18 x+124,8 x2−34,72 x3+3,29 x4

/i 0 .,2

(6)

/i 0 7,2 &oluciones: Ra'* 6:  xi=3.84408306 + f  (3.84408306)=0 Ra'* 3:  xi=3.84408306 + f  (3.84408306)=0 Ra'* .:  xi=0.56220287 + f  (0.56220286)=4,86 x10− 16

-os $alores #e las ra'ces se aseme%an a los $alores #el gra!co #e la función,

5.3 )etermínese la raíz real menor de: f  ( x)=9.36 – 21.963 x+16.2965 x2−3.70377 x3

a* +r%camente

#* ,sando el método de la secante4 hasta un valor de ϵ 

s 4 correspondiente a tres ci$ras sini%cativas.

(7)

-a gr!ca nos muestra . ra'ces "ero el e%ercicio nos "i#e calcular la menor #e ellas "or lo que nuestro inter$alo a tra)a%ar ser entre 81,9 6,6;,

-a "rimera #eri$a#a #e la función es: f ' ( x)=−21,963+32,593 x−11,11131 x2

&oluci'n:

-a menor #e las ra'ces toma un $alor #e  xi−1=1,11960202  con un $alor #e

 (

 xi−1

)

=−3.11 x10

−14

5.5* ocalícese la raíz positiva de: f  ( x)=0.5 x−sen x

)onde 2 est dada en radianes. Úsese un método ra%co y después calc0lese tres interacciones con el método de Newton-Raphson con un valor inicial de  xi=2.0   para calcular la raíz. Repítanse los clculos pero con un valor inicial de  xi=1.0 .

(8)

-a gra!ca nos muestra #os ra'ces una "ositi$a + otra negati$a "ero el e%ercicio nos "i#e calcular solo el $alor #e la "ositi$a,

-a "rimera #eri$a#a #eri$a#a #e la función es: f ' ( x)=0,5−cos( x)

/i 0 3

/i 0 6

(9)

<o#emos concluir que en am)as ta)las "ese a 4a)er 4ec4o con #os $alores

#istintos #e /i el resulta#o es el mismo  xi=1,89549427  coinci#ien#o con el #e

la gr!ca,

5.6* Encuéntrese la raíz positiva de f  ( x)= x4−8.6 x3−35.51 x2+464 x – 998.46

,sando el método de la secante. Emplease los valores iníciales de  xi−1=7  y  xi=9 y calc0lese cuatro interacciones.

7alc0lese ϵ 

a  e interprétense los resultados.

En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos #os $alores #e ra'ces "ero solo $amos a calcular la "ositi$a con el m=to#o #e la secante,

(10)

>"licamos la fórmula #e:  x  x  x f  (¿¿i−1)−f  (¿¿i) ¿ f  (¿¿i)( xi1− xi) ¿  xi+1= xi−¿

Como #ice el e%ercicio utili*amos

como $alores #e  xi−1=7  +  xi=9 ( + calculamos el error a)soluto

&oluci'n: El $alor #e la ra'* es #e  xi+1=7,36550030382753  con un error

(11)

5.8 Realícense los mismos clculos del pro#lema 5.6 pero usando el método de Newton-Raphson con un valor inicial de

 xi=7.

f  ( x)= x4−8.6 x3−35.51 x2+464 x – 998.46

 xi=7

&oluci'n: Como en el m=to#o anterior( el $alor #e la ra'* es el mismo + el error a)soluto es un 1,162 ma+or al m=to#o anterior,

Este m=to#o reali*a menor n5mero #e iteraciones,

5.9* Encuéntrense la raíz cuadrada positiva de 1 usando tres iteraciones con:

a* El método de Newton-Raphson4 con un valor inicial de  xi=3.

#* El método de la secante4 con valores de  xi−1=3 y

(12)

5.;* )etermínese la raíz real de: f  ( x)=1−0.6 x

 x

,sando tres iteraciones y el método de la secante con valores iníciales de:

 xi1=1.5 y  xi=2.0. 7alc0lese el error apro2imado εa   después de la seunda y la tercera

iteraci'n.

En la gr!ca "o#emos a"reciar que tenemos #os ra'ces "ero solo $amos a calcular el $alor #e la ra'* real en tres iteraciones( a#ems #e calcular el error a)soluto,

Sean:  xi−1=1.5 +  xi=2.0

&oluci'n: >l calcular el $alor #e la ra'* 4emos o)teni#o un $alor #e /i 0 6,?? con un error a)soluto #e 1,17

(13)

5.1* )eterminase la raíz de: f  ( x)= x3−100

7on el método de la secante4 con  Es=0.1 .

&oluci'n: El $alor #e la ra'* es #e /i 0 7,?73

5.11* )eterminase la raíz real mayor de: f  ( x)= x3−6 x2+11 x−6

(14)

Como "o#emos o)ser$ar

gr!camente tenemos el $alor #e tres ra'ces "ero solo $amos a calcular la ra'* real ma+or,

)@ Usan#o el m=to#o #e la )isección #os interacciones(  xi=2.5 +

 xu=3.6

c@ Usan#o el m=to#o #e la regla falsa #os interacciones(  xi=2.5 +  xu=3 ,?

(15)

#@ Usan#o el m=to#o #e NetonRa"4son #os interacciones(  xi=3.6

-a "rimera #eri$a#a #e la función es: f ´ ( x)=3 x2−12 x+11

(16)

e@ Usan#o el m=to#o #e la secante #os interacciones(  xi−1=2.5 +

 xi=3.6

&oluci'n: <o#emos com"ro)ar que gr!camente + utili*an#o el m=to#o #e Neton F Ra"4son nos $a el mismo $alor #e la ra'* /i 0 . + el E 0 1,

5.1(* Úsese el método de Newton - Raphson para determinar

todas las raíces de f  ( x)= x2+5.78 x−11.4504  con ԑ

(17)

-a "rimera #eri$a#a #e la función es: f ' ( x)=2 x+5.78  Xi1=1.5  Xi1=−7.5 &oluciones: Ra'* 60 3 f3@ 0 .(2.23E1? Ra'* 30 G fG@06(93GHE12

5.1* )etermínese la raíz real ms pe!ue<a de:

(18)

a@ Ar!camente

)@ Usan#o el m=to#o #e )isección #os iteraciones(  xl=0.5  +  xu=1.1 @

c@ Usan#o el m=to#o #e la regla falsa #os iteraciones(  xl=0.5  +  xu=1.1 @

#@ Usan#o el m=to#o #e Neton F Ra"4son #os iteraciones(  xi=0.5 @

e@ Usan#o el m=to#o #e la secante #os iteraciones  xi−1=0.5 ( +  xi=1.1 @

(19)

f  ( x)=4 x4−24.8 x3+57.04 x2−56.76 x+20.57

a@ Ar!camente

)@ Usan#o el m=to#o #is"oni)le ms e!ciente, Em"l=ense los $alores iniciales

#e  xl= xi−1=0.5  +  xu= xi=0.5  + real'cense los clculos 4asta que ԑs=15

El $alor #e la ra'* menor es 6(6693H9G9, 5.15* )etermínense las raíces de

f  ( x)= x3−3.2 x2−1.92 x+9.216

(20)

)@ Usan#o el m=to#o #is"oni)le ms e!ciente con ԑ s=0.1 &oluciones: Ra'* 6 0 6(? Ra'* 3 0 3(71.6999.

5.16* Repítase el pro#lema 5.1( pero usando el método de Newton = Raphson modi%cado.

(21)

f  ( x)= x2+5.78 x−11.4504

<rimera #eri$a#a f ' ( x)=2 x+5.78 x

Segun#a #eri$a#a f ' ' ( x)=2 x

&oluciones:

Ra'* 6 0 6(2? Ra'* 3 0 G(.7

(22)

f  ( x)= x2+5.78 x−11.4504

&oluciones:

Ra'* 6 0 6(2? Ra'* 3 0 G(.7

5.19* )esarr'llese un prorama para el método de Newton-Raphson #asado en la %ura 5.3 y en la secci'n 5.(.. /rué#ese el prorama duplicando los clculos del e>emplo 5.

(23)

Có#igo #e <rogramación( -engua%e >J>( "rograma NetBeans H,1,6 KL

 L To c4ange t4is tem"late( c4oose Tools  Tem"lates  L an# o"en t4e tem"late in t4e e#itor,

 LK "acage %a$aa""lication. im"ort %a$a,util,Scanner KLL  L  L aut4or Pa)ri**io LK

"u)lic class a$a>""lication. Q   KLL"u

L f&@03.(..  G9(.2&  HH(19&3  76(?&.  H(?H&7  1(?2H&2 L f&@0 G9(.26G?(6H&637(H&3.7(G3&..(39&7

LK

"u)lic static $oi# mainString8; args@ Q Scanner sc 0 ne ScannerS+stem,in@

#ou)le tem"(tem"6(tem"3(+(n(+3(tem".(+.(tem"7(anterior(+7 S+stem,out,"rintIntro#uce un n5mero entero: @

n 0 sc,ne&tDou)le@   anterior0n   +70611 forint i 0 6+7V01 i@Q   n0anterior   tem"0Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@2@@L1,?2H@@ Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@7@@LH,?H@@   tem"60Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@.@@L76,?@@ Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@3@@LHH,19@@   tem"30Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@7@@L.,39@@ Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@.@@L.7,G3@@   tem".0Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@3@@L637,H@@ Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@6@@L6G?,6H@@   +30tem"3tem".G9,.2   +0tem"tem"63.,..nLG9,.2@   tem"70+K+3@   +.0ntem"7   ifiW6@   +70Mat4,a)santerior+.@@Kn@L611 S+stem,out,"rintlnfn@0 +Xn@ S+stem,out,"rintlnfn@0 +3Xn@ S+stem,out,"rintlnn  60 +.XnXn@ S+stem,out,"rintlnE0 +7XnXn@

(24)

  anterior0+. Y

Y Y

5.1;* Úsese el prorama desarrollado en el pro#lema 5.19 y

duplí!uense los clculos del e>emplo 5.5. )etermínese la raíz usando un valor inicial de ?i @ .5. Realícense 54 14 15 o ms iteraciones hasta !ue el error relativo porcentual e2acto sea menor del .1A. +ra$í!uense los errores relativos porcentuales e2acto y apro2imado contra el numero de iteraciones so#re papel semiloaritmico.

Bnterprétense los resultados.

Có#igo #e <rogramación( -engua%e >J>( "rograma NetBeans H,1,6 L

 L To c4ange t4is tem"late( c4oose Tools  Tem"lates  L an# o"en t4e tem"late in t4e e#itor,

 LK "acage %a$aa""licationH im"ort %a$a,util,Scanner KLL  L  L aut4or Pa)ri**io  LK

"u)lic class a$a>""licationH Q KLLf&@0 1(2&sen&@

L f&@0 1(2cos&@

L "aram args t4e comman# line arguments LK

"u)lic static $oi# mainString8; args@ Q Scanner sc 0 ne ScannerS+stem,in@

#ou)le tem"3(+(n(+3(tem".(+.(tem"7(anterior(+7( tem"2 S+stem,out,"rintIntro#uce un n5mero entero: @

n 0 sc,ne&tDou)le@   anterior0n   +70611 forint i 0 6+7V01 i@Q   n0anterior   tem"30Mat4,cosn@ tem".0 Mat4,sinn@   tem"201,2Ln@ +30 1,2tem"3   +0tem"2tem".   tem"70+K+3@   +.0ntem"7

(25)

  ifiW6@   +70Mat4,a)santerior+.@@Kn@L611 S+stem,out,"rintlnfn@0 +Xn@ S+stem,out,"rintlnfn@0 +3Xn@ S+stem,out,"rintlnn  60 +.XnXn@ S+stem,out,"rintlnE0 +7XnXn@   anterior0+. Y Y

5.(* Úsese el prorama desarrollado en el pro#lema 5.19 para resolver los pro#lemas 5.1 al 5.5.En todos los casos4 realícense los clculos dentro de la tolerancia de Es @ .1A.

Có#igo #e <rogramación( -engua%e >J>( "rograma NetBeans H,1,6 "acage %a$aa""lication6 im"ort com,sun,org,a"ac4e,&"at4,internal,o"erations,Mult im"ort %a$a,util,>rra+-ist im"ort %a$a,util,Scanner KLL  L  L aut4or Pa)ri**io LK

"u)lic class a$a>""lication6 Q   KLL"u

L f&@0 1,HG2&36,G2&3,?32 L f&@0 6(G2&6(G2

LK

"u)lic static $oi# mainString8; args@ Q Scanner sc 0 ne ScannerS+stem,in@

#ou)le tem"(tem"3(+(n(+3(tem".(+.(tem"7(anterior(+7 S+stem,out,"rintIntro#uce un n5mero entero: @

n 0 sc,ne&tDou)le@   anterior0n   +70611 forint i 0 6+7V01 i@Q   n0anterior   tem"0Mat4,"o#ou)le@n(#ou)le@3@@L1,HG2@   tem"306,G2Ln@   tem".06,G2Ln@   +30tem".6,G2   +0tem"tem"33,?32   tem"70+K+3@   +.0ntem"7

(26)

  ifiW6@   +70Mat4,a)santerior+.@@Kn@L611 S+stem,out,"rintlnfn@0 +Xn@ S+stem,out,"rintlnfn@0 +3Xn@ S+stem,out,"rintlnn  60 +.XnXn@ S+stem,out,"rintlnE0 +7XnXn@   anterior0+. Y Y

RE&C,7BCN )E C& EDER7B7BC& ,"BBFN)C /RC+RFGF7BHN E>ercicio 1 %Newton-Raphson %Xi=3.5 y E%=0.01% clear clc syms x cf= -(0.!5"(x#$&(1.!5"x&$.'$5

(27)

f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er xi= 3.1 tol=0.01 error=100 n=1 )isp(+ n x E% + )isp(+ 0 3.1 100+ while (error,=tol x1 = xi - f(xi )f(xi   error=as((x1-xix1"100   xi=x1 fprintf(+/t%i /t%3.5f /t%f/n+*n * xi* error   n=n&1 en) E>ercicio ( % Newton-Raphson % xi=0 clear clc syms x cf= -$.1&('.$1"x-(3."(x#$&(0.''!"(x#3 f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er xi= 0.5 tol=0.01 error=100 n=1 )isp(+ n xi error + )isp(+ 0 0.5 100+ while (error,=tol x1 = xi - f(xi )f(xi   error=as(((x1-xix1"100   xi=x1 fprintf(+/t%i /t%3.5f /t%f/n+*n * xi* error   n=n&1 en) % xi=$ syms x cf= -$.1&('.$1"x-(3."(x#$&(0.''!"(x#3 f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er xi= $ tol=0.01 error=100 n=1

(28)

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(29)

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(30)

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(31)

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