Matemáticas VI 2015 Humberto F Valera

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[Fecha]

Universidad Simón Bolívar

Matemáticas VI

Prof. Humberto F. Valera Castro

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Prof. Humberto F. Valera Castro

Matemáticas VI

Prof. Humberto F. Valera Castro

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Caracas 2015

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Parte I

Parametrización de superficies. Área

de una Superficie.

Integración de campos escalares y

vectoriales. Rotacional Divergencia y

Laplaciano. Teorema de la

divergencia. Teorema de Stokes.

Campos conservativos. Teorema de

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Parte I

1.1 Superficies

Veremos ahora las integrales de superficie que es lo equivalente a una integral de línea siendo ahora la región de integración una superficie en lugar de una curva; estas integrales permiten estudiar mejor los campos vectoriales y se aplican para determinar la cantidad de “flujo” o de “flujo eléctrico” o de “flujo magnético” que pasa a través de una superficie en la dirección normal a la misma.

Así como las integrales curvilíneas se calculan mediante integrales simples (unidimensionales), las integrales de superficie se reducen a integrales dobles (bidimensionales).

Hay diversas maneras de expresar analíticamente una superficie

1. Mediante una representación explicita dada por una ecuación de la forma

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) [𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑧) 𝑜 𝑥 = ℎ(𝑦𝑧)] donde f es una función definida en un

dominio D del plano xy con primeras derivadas continuas 𝜕𝑓

𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦.

2. Mediante una representación implícita en la cual se considera a una superficie como un conjunto de puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfacen una ecuación de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

0 donde F es una función copntinua en un dominio 𝑈 ⊂ ℝ3 y con derivadas continuas 𝐹_𝑥, 𝐹_𝑦, 𝐹_𝑧.

3. Mediante una representación paramétrica o vectorial dando tres funciones

𝑥 = 𝑋(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑌(𝑢, 𝑣), 𝑧 = 𝑍(𝑢, 𝑣) que expresan x, y, z en función de dos

parámetros u y v. _{v z} p D 𝑥 = 𝑋(𝑢, 𝑣) 𝑦 = 𝑌(𝑢, 𝑣) 𝑧 = 𝑍(𝑢, 𝑣) u x

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Aquí (𝑢, 𝑣) varía en un conjunto conexo bidimensional D en el plano uv . Dar estas tres ecuaciones es equivalente a dar una función vectorial definida en el dominio D del plano uv.

𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑋(𝑢, 𝑣)𝑖̂ + 𝑌(𝑢, 𝑣)𝑗̂ + 𝑍(𝑢, 𝑣)𝑘̂ , (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

La cual determina la posición de cada punto P de la superficie 0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗(𝑢, 𝑣). Se supone

además que las funciones componentes 𝑋(𝑢, 𝑣), 𝑌(𝑢, 𝑣), 𝑍(𝑢, 𝑣) son continuas y con derivadas continuas. Estas condiciones se imponen a fin de que en los puntos de la superficie exista plano tangente y este varié continuamente.

♦

Ejemplo 1.1.1

1. Representación paramétrica de una esfera

{

𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑

, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 , 0 ≤ 𝜑 < 𝜋

Elevando al cuadrado y sumando tenemos 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2 _{= 𝑎}2

[0,2𝜋] × [0,𝜋 2] Hemisferio superior [0,2𝜋] × [𝜋 2, 𝜋] Hemisferio inferior 𝜑 z 𝜋 2𝜋 𝜃 x

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2. Representación paramétrica de un cono de altura h

{ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝑟 ≤ ℎ 𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛 2_𝜑 𝑐𝑜𝑠2_𝜑𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 𝑡𝑎𝑛2𝜑 𝑧2 ⇒ 𝑧 = ±𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜑 √𝑥2+ 𝑦2

Cono con vértice en el origen y eje 0z de altura h y ángulo 𝜑

3. Si la superficie viene dada en forma explícita por la ecuación 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces tomamos x e y como parámetros

{ 𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑟⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑘̂

▄

r z ℎ 𝑐𝑜𝑠𝜑 2𝜋 𝜃 x

(13)

1.2 Producto vectorial fundamental

Dada una superficie S representada por la ecuación vectorial

𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑋(𝑢, 𝑣)𝑖̂ + 𝑌(𝑢, 𝑣)𝑗̂ + 𝑍(𝑢, 𝑣)𝑘̂ , (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

Si mantenemos constante u la ecuación depende de v y en consecuencia se obtiene una curva sobre la superficie (una para cada constante a la que igualamos u). Análogamente obtenemos curvas sobre la superficie que dependen del parámetro u sin más que hacer v

constante:

Y así se obtiene sobre la superficie S una red de curvas paramétricas de tal forma que una u-curva (v constante) y una v-curva (u constante) que pasan por cada punto P de S.

Se tiene: 𝑟⃗_𝑣 =𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣 = 𝜕𝑋 𝜕𝑣𝑖̂ + 𝜕𝑌 𝜕𝑣𝑗̂ + 𝜕𝑍 𝜕𝑣𝑘̂

Vector tangente a la curva u constante.

𝑟⃗_𝑢 = 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢 = 𝜕𝑋 𝜕𝑢𝑖̂ + 𝜕𝑌 𝜕𝑢𝑗̂ + 𝜕𝑍 𝜕𝑢𝑘̂

Vector tangente a la curva v constante. El producto vectorial 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑣 se denomina producto vectorial fundamental de la

representación 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) y viene dado por

V z 𝑁⃗⃗⃗ 𝑟⃗𝑣

v0 D 𝑟⃗_𝑢

Curvas u constante curvas v constante y

(14)

determina un vector normal al plano tangente a la superficie (𝑋(𝑢, 𝑣), 𝑌(𝑢, 𝑣), 𝑍(𝑢, 𝑣)). Los vectores

𝑛̂ = 𝑁⃗⃗⃗

‖𝑁⃗⃗⃗‖ 𝑦 − 𝑛̂ = − 𝑁⃗⃗⃗ ‖𝑁⃗⃗⃗‖

Son vectores normales unitarios a la superficie S en el punto P. Uno de ellos es la normal “exterior” (apunta hacia “fuera”) y el otro es la normal “interior” (apunta hacia “adentro”). Si (𝑢₀, 𝑣₀) ∈ 𝐷 en la cual 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑣 son continuas y el producto vectorial fundamental 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑣 ≠ 0⃗⃗, el punto imagen 𝑟⃗(𝑢0, 𝑣0) se llama punto regular de 𝑟⃗(𝑢, 𝑣).

Los puntos en los que no son continuas 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢 𝑜 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣 o bien 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣 = 0⃗⃗ se llaman puntos singulares de 𝑟⃗.

Si todos los puntos son regulares habrá plano tangente en todo punto y éste varia en forma continua, la superficie no tendrá “puntas” o “aristas”.

♦

Ejemplo 1.2.1

Dada la representación explicita 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) de una superficie, determina en cada punto, el plano tangente y las normales unitarias

▲

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Prof. Humberto F. Valera Castro 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑥 = 𝑖̂ + 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑘̂ , 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑦 = 𝑗̂ + 𝜕𝑓 𝜕𝑦𝑘̂ Ahora bien 𝑁⃗⃗⃗ =𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑥× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑦 =| | 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 1 0 𝜕𝑓 𝜕𝑥 0 1 𝜕𝑓 𝜕𝑦 | | = −𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖̂ − 𝜕𝑓 𝜕𝑦𝑗̂ + 𝑘̂ ⇒ 𝑛̂ = 𝑁⃗⃗⃗ ‖𝑁⃗⃗⃗‖ = −𝜕𝑓_𝜕𝑥𝑖̂ −𝜕𝑓_𝜕𝑦𝑗̂ + 𝑘̂ √1 + 𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2

Luego 𝑁⃗⃗⃗ ≠ 0⃗⃗ en todo punto. Los únicos puntos singulares son aquellos donde

𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑜

𝜕𝑓 𝜕𝑦

no son continuas.

En un punto 𝑃₀(𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) = 𝑃₀(𝑥₀, 𝑦₀, 𝑓(𝑥₀, 𝑦₀)) el plano tangente tiene por ecuación

−𝑓_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)(𝑥 − 𝑥₀) − 𝑓_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)(𝑦 − 𝑦₀) + (𝑧 − 𝑧₀) = 0 Es decir, 𝑧 − 𝑧₀ =𝜕𝑓 𝜕𝑥(𝑥 − 𝑥0) + 𝜕𝑓 𝜕𝑦(𝑦 − 𝑦0)

▄

Ejemplo 1.2.2

Para la ecuación del cono 𝑟⃗(𝑟, 𝜃) = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 ) . Determina las normales unitarias. ▲ 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟 = (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑐𝑜𝑠𝜑) 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃 = (−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 0) Ahora bien, 𝑁⃗⃗⃗ =𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃 = | 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 0 |

(16)

= −𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖̂ + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑𝑗̂ + 𝑟𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑘̂

Si 𝑟 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑁⃗⃗⃗ = (0,0,0) luego el punto 𝑃 = (0,0,0) es un punto singular, en el no hay plano tangente.

‖𝑁⃗⃗⃗‖ = √𝑟2_𝑐𝑜𝑠2_{𝜃𝑠𝑒𝑛}2_{𝜑𝑐𝑜𝑠}2_{𝜑 + 𝑟}2_𝑠𝑒𝑛2_{𝜃𝑠𝑒𝑛}2_{𝜑𝑐𝑜𝑠}2_{𝜑 + 𝑟}2_𝑠𝑒𝑛4_𝜑 = 𝑟√𝑠𝑒𝑛2_{𝜑𝑐𝑜𝑠}2_{𝜑 + 𝑠𝑒𝑛}4_{𝜑 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑} Luego 𝑛̂ = (−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 −𝑛̂ = (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, −𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

▄

1.3 Área de una Superficie

Sea S una superficie definida por la representación vectorial 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷 Consideremos un pequeño rectángulo en el dominio D de lados paralelos a los ejes coordenados y de longitudes de los lados ∆𝑢, ∆𝑣. Mediante la aplicación 𝑟⃗, este rectángulo se transforma en un “rectángulo curvilíneo” ABCD sobre la superficie S el cual está limitada por imágenes de los lados del rectángulo, siendo las longitudes de sus lados curvilíneos iguales a:

𝐴𝐵 ≅ ‖𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢‖ ∆𝑢, 𝐴𝐷 ≅ ‖ 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣‖ ∆𝑣

Si el área ∆𝑢∆𝑣 es bastante pequeña, entonces el área ∆𝑆 del rectángulo curvilíneo es

v z N rv Δv D ru Y Δu u x

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Prof. Humberto F. Valera Castro ∆𝑆 ≅ ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢 ∆𝑢 × 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣∆𝑣‖ = ‖ 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢 × 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣‖ ∆𝑢∆𝑣 = ‖𝑁⃗⃗⃗‖∆𝑢∆𝑣

Y por lo tanto, si queremos calcular el área de toda la superficie S debemos sumar todas esas “áreas infinitesimales”, lo cual no es más que calcular la integral doble sobre el dominio D. Estas consideraciones sugieren la siguiente definición

Definición 1.3.1

El área de una superficie S dada por la representación vectorial 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) definida en un dominio D, se determina mediante la integral doble

𝐴(𝑆) = ∬ ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢 × 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 ♦ Ejemplo 1.3.1

Si S viene dada explícitamente por una ecuación de la forma 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, tenemos que 𝑟⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑘̂ 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑥 = 𝑖̂ + 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑘̂ , 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑦 = 𝑗̂ + 𝜕𝑓 𝜕𝑦𝑘̂ ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑥 × 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑦‖ = ‖− 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖̂ − 𝜕𝑓 𝜕𝑦𝑗̂ + 𝑘̂‖ = √1 + 𝑓𝑥2+ 𝑓𝑦2 Por lo tanto 𝐴(𝑆) = ∬ √1 + 𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

donde D es la proyección de S en el plano xy

Hay otras fórmulas análogas cuando se proyecta sobre los otros planos coordenados Cuando S está en un plano paralelo al plano xy, f es constante,

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𝜕𝑓 𝜕𝑥 =

𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 0

y la ecuación anterior se convierte en

𝐴(𝑆) = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

▄

Ejemplo 1.3.2

Si S viene dada implícitamente por la ecuación F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Si S puede proyectarse en forma uno a uno sobre el plano xy, la ecuación F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 define a z como función de x e y, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) entonces 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝜕𝐹 𝜕𝑧 ≠ 0 Luego 𝐴(𝑆) = ∬ √(𝜕𝐹_𝜕𝑥) 2 + (𝜕𝐹_𝜕𝑦) 2 + (𝜕𝐹_𝜕𝑧) 2 |𝜕𝐹_𝜕𝑧| 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

▄

Ejemplo 1.3.3

Consideremos el hemisferio S de radio a y centro en el origen Disponemos de las representaciones

Implícitas: 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2 _{= 𝑎}2

Explicita: 𝑧 = √ 𝑎2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2

Paramétrica: 𝑟⃗(𝜃, 𝜑) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 ) Podemos calcular el área del hemisferio

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Prof. Humberto F. Valera Castro 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜑 = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, −𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃= (−𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 0) 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜑× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃= 𝑎 2_| 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑒𝑛𝜑 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 0 | = 𝑎2(𝑠𝑒𝑛2_{𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛}2_{𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ‖}𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜑× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃‖ = 𝑎 2_{𝑠𝑒𝑛𝜑}

Luego tenemos que

𝐴(𝑆) = ∬ ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜑 × 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃‖ 𝑑𝜑𝑑𝜃 𝐷 = ∫ ∫ 𝑎2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜑𝑑𝜃 𝜋 2 0 2𝜋 0 = 2𝑎2𝜋

▄

 A partir de la representación explicita

𝜕𝑧 𝜕𝑥 = − 2𝑥 2𝑧 = −𝑥 √ 𝑎2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2 , 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = − 2𝑦 2𝑧 = −𝑦 √ 𝑎2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2 𝐴(𝑆) = ∬ √1 + 𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = ∬ √1 + 𝑥 2 𝑎2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2+ 𝑦2 𝑎2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

Usando coordenadas polares

𝐴(𝑆) = ∫ ∫ 𝑟 √ 𝑎2_{− 𝑟}2𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑎 0 2𝜋 0 = 2𝜋𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑅→𝑟∫ 𝑟 √ 𝑎2_{− 𝑟}2𝑑𝑟 𝑎 0 = 2𝜋𝑎2

▄

(20)

1.4 Integrales de Superficie

Si S es una superficie representada por 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑢, 𝑣), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟⃗ está definida en una región D del plano uv y si 𝜑 es un campo escalar definido y acotado sobre S, entonces la integral de superficie del campo 𝜑 extendida a S se denota y define mediante la integral doble:

∬ 𝜑 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝜑(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷

Nótese que si 𝜑(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) = 1 en todo, resulta

∬ 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ ‖𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 = 𝐴(𝑆)

Además, si 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un campo vectorial definido y acotado sobre S y 𝑛̂ es el vector normal unitario a S dado por 𝑛̂ = 𝑁⃗⃗⃗

‖𝑁⃗⃗⃗‖ donde 𝑁⃗⃗⃗ = 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢×

𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣

Entonces 𝜑 = 𝐹⃗. 𝑛̂ es un campo escalar y se tiene

∬ 𝜑 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂ 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝐹⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)). 𝑛̂‖𝑁⃗⃗⃗‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 = ∬ 𝐹⃗. 𝑁⃗⃗⃗ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷

que se denomina el “flujo” del campo 𝐹⃗ a través de S y en la dirección de la normal 𝑛̂

♦

Ejemplo 1.4.1

Sea S la semi esfera 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2 _{= 1, 𝑧 ≥ 0 𝑦 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂.}

Sea 𝑛̂ el vector normal exterior unitario a S. Calcula el valor de la integral de superficie

∬ 𝐹⃗. 𝑛̂ 𝑑𝑆_𝑆 , empleando: a) La representación paramétrica 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑐𝑜𝑠𝑖̂ + 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣𝑗̂ + 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑘̂ b) La representación 𝑧 = √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2 ▲ 𝑎) 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣, −𝑠𝑒𝑛𝑢), 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣, 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣, 0)

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Prof. Humberto F. Valera Castro 𝑁⃗⃗⃗ = | 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 −𝑠𝑒𝑛𝑢 −𝑠𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣 0 | = (𝑠𝑒𝑛2_{𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑠𝑒𝑛}2_{𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣, 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑒𝑛𝑢)} Normal exterior ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂ 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝐹⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)). 𝑛̂‖𝑁⃗⃗⃗‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 = ∬ 𝐹⃗. 𝑁⃗⃗⃗ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 =∗ 𝐹⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) = (𝑠𝑒𝑛𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣, 0), 𝐹⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)). 𝑁⃗⃗⃗ = 𝑠𝑒𝑛3𝑢𝑐𝑜𝑠2𝑣 + 𝑠𝑒𝑛3𝑢𝑠𝑒𝑛2𝑣 = 𝑠𝑒𝑛3𝑢 ∗= ∬ 𝑠𝑒𝑛3𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜋 2 ⁄ 0 2𝜋 0 = 2𝜋 ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑢2_{)𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢} 𝜋 2 ⁄ 0 =4𝜋 3 𝑏) 𝑧 = √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2_{, 𝑁}⃗⃗⃗ = (−𝜕𝑓 𝜕𝑥, − 𝜕𝑓 𝜕𝑦, 1) = ( 𝑥 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2, 𝑦 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2, 1) Normal exterior 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑁⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦). 𝑁⃗⃗⃗ = 𝑥 2 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2+ 𝑦2 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2 = 𝑥2_{+ 𝑦}2 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2 ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂ 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝐹⃗. 𝑁⃗⃗⃗ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = ∬ ( 𝑥 2_{+ 𝑦}2 √1 − 𝑥2_{− 𝑦}2) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 =∗∗ 𝐷: 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1, 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ∗∗= ∫ ∫ 𝑟 2 √1 − 𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 2𝜋 0 = 2𝜋 ∫ 𝑟 2 √1 − 𝑟2𝑟𝑑𝑟 1 0 = (𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎)

Integrando por partes

𝑢 = 𝑟2 , 𝑑𝑣 = 𝑟 √1 − 𝑟2 𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟, 𝑣 = −√1 − 𝑟2 ∗∗= 2𝜋 𝑙𝑖𝑚 𝑟→1[(−𝑟 2_{√1 − 𝑟}2_] 0 𝑏 + 2 ∫ 𝑟√1 − 𝑟2_𝑑𝑟 𝑏 0 ] =4𝜋 3 ▄

(22)

1.5 Aplicaciones

Supongamos que el campo escalar 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) representa la densidad superficial de masa (masa por unidad de área), entonces

La Masa de una superficie S viene dada por

𝑀 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆

𝑆

Las coordenadas del centro de gravedad son

𝑥̅ = 1 𝑀∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 𝑆 , 𝑦̅ = 1 𝑀∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 𝑆 , 𝑧̅ = 1 𝑀∬ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 𝑆

El momento de inercia respecto a una recta L

𝐼_𝐿 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑2(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆

𝑆

donde 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧) representa la distancia de un punto de la superficie a la recta L.

♦

Ejemplo 1.5.1

Calcule el flujo del campo 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2_{, −𝑦, 𝑥𝑦𝑧) a través de la superficie lateral del}

cilindro 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 4, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4} ▲ Sea 𝐷: { 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑧 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 Luego 𝑟⃗(𝜃, 𝑧) = (2𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧) 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝜃 = (−2𝑠𝑒𝑛𝜃, 2𝑐𝑜𝑠𝜃, 0) , 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑧 = (0,0,1) 𝑁⃗⃗⃗ = | 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ −2𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 0 1 | = (2𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2𝑠𝑒𝑛𝜃, 0)

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Prof. Humberto F. Valera Castro ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂ 𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 𝐹⃗(𝑟⃗(𝜃, 𝑧)). 𝑁⃗⃗⃗ 𝑑𝜃𝑑𝑧 𝐷 = ∬(4𝑠𝑒𝑛2_{𝜃, −2𝑠𝑒𝑛𝜃, 4𝑧𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃).} 𝐷 (2𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2𝑠𝑒𝑛𝜃, 0)𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫ ∫ (8𝑠𝑒𝑛2_{𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 48𝑠𝑒𝑛}2_{𝜃) 𝑑𝑧𝑑𝜃} 4 0 2𝜋 0 = −16𝜋 ▄ Ejemplo 1.5.2

Determine el momento de inercia de un recipiente esférico homogéneo respecto de un diámetro. ▲ 𝐼_𝑧 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑2_{(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆} 𝑆 , 𝑆: 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2 _{= 𝑅}2 𝑑𝑆 = √(𝜕𝐹_𝜕𝑥) 2 + (𝜕𝐹_𝜕𝑦) 2 + (𝜕𝐹_𝜕𝑧) 2 |𝜕𝐹_𝜕𝑧| 𝑑𝑥𝑑𝑦 =√4𝑥 2_{+ 4𝑦}2_{+ 4𝑧}2 2𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅 𝑧 𝐼_𝑧 = ∬ 𝑘(𝑥2_{+ 𝑦}2₎𝑅 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 2𝑘𝑅 ∬ (𝑥 2_{+ 𝑦}2₎ √𝑅2_{− 𝑥}2_{− 𝑦}2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 2𝑘𝑅 ∫ ∫ 𝑟 3 √𝑅2_{− 𝑟}2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑅 0 = 4𝑘𝜋𝑅 2𝜋 0 [(𝑅 2_{− 𝑟}2₎3⁄₂ 3 − 𝑅 2_√𝑅2_{− 𝑟}2_] 0 𝑅 = 4𝑘𝜋𝑅 [−𝑅 3 3 + 𝑅 3_{] =} 8𝑘𝜋𝑅 4 3 Ahora bien, 𝑀 = 𝑘 ∬ 𝑑𝑆 𝑆 = 4𝑘𝜋𝑅2 𝐼_𝑧 𝑀= 8𝑘𝜋𝑅4 3𝑘4𝜋𝑅2 = 2𝑅2 3 ⟹ 𝐼𝑍 = 2 3𝑀𝑅 2 ▄

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1.6 Operadores

diferenciales

1. Si 𝜑 es un campo escalar definido en un conjunto 𝑆 ⊂ 𝑅3_{, el gradiente de 𝝋 denotado}

por ∇𝜑 es el campo vectorial definido por

𝛻𝜑 =𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖̂ + 𝜕𝜑 𝜕𝑦𝑗̂ + 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝑘̂

2. Sea 𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅) definido en un conjunto 𝑆 ⊂ 𝑅3_{, definimos el rotacional de 𝑭}_{⃗⃗⃗ como el}

campo vectorial 𝛻 × 𝐹⃗ = || 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 || = (𝜕𝑅 𝜕𝑦− 𝜕𝑄 𝜕𝑧) 𝑖̂ + ( 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥) 𝑗̂ + ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦) 𝑘̂ ♦ Teorema 1.6.1

Para cualquier campo escalar 𝜑 de clase 𝐶2_{, entonces}

𝛻 × (𝛻𝜑) = 0⃗⃗

Demostración:

Basta con calcular

𝛻 × (𝛻𝜑) = | | 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝜎 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑧 | | = (𝜑_𝑦𝑧− 𝜑_𝑧𝑦)𝑖̂ + (𝜑_𝑧𝑥− 𝜑_𝑥𝑧)𝑗̂ + (𝜑_𝑦𝑥− 𝜑_𝑥𝑦)𝑘̂ = 0⃗⃗

Ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser 𝜑 de clase 𝐶2

♦ Los campos vectoriales 𝐹⃗ para los cuales ∇ × 𝐹⃗ = 0⃗⃗, se llaman irrotacionales.

Un campo vectorial 𝐹⃗ para los cuales existe otro campo vectoria 𝐺⃗ tal que ∇ × 𝐺⃗ = 𝐹⃗ se llama campo rotacional y el campo 𝐺⃗ potencial vectorial de 𝐹⃗.

(25)

3. Sea 𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅) definido en un conjunto 𝑆 ⊂ 𝑅3_{, definimos la divergencia como el}

campo escalar definido por

𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 𝛻. 𝐹⃗ =𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄 𝜕𝑦 + 𝜕𝑅 𝜕𝑧 ♦ Teorema 1.6.2

Para cualquier campo vectorial 𝐹⃗ de clase 𝐶2_{, entonces}

𝑑𝑖𝑣(𝛻 × 𝐹⃗) = 0 Demostración: Veamos 𝛻 × 𝐹⃗ = (𝜕𝑅 𝜕𝑦− 𝜕𝑄 𝜕𝑧) 𝑖̂ + ( 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥) 𝑗̂ + ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦) 𝑘̂ entonces 𝛻. (𝛻 × 𝐹⃗) = 𝜕 2_𝑅 𝜕𝑥𝜕𝑦− 𝜕2𝑄 𝜕𝑥𝜕𝑧+ 𝜕2𝑃 𝜕𝑦𝜕𝑧− 𝜕2𝑅 𝜕𝑦𝜕𝑥 + 𝜕2𝑄 𝜕𝑧𝜕𝑥 − 𝜕2𝑃 𝜕𝑧𝜕𝑦= 0

Ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser 𝐹⃗ de clase 𝐶2

♦ Los campos vectoriales 𝐹⃗ para los cuales 𝛻. 𝐹⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 0 se llaman Solenoidales.

Podemos también definir

𝛻. (𝛻𝜑) = 𝑑𝑖𝑣(𝛻𝜑) = 𝜕 2_𝜑 𝜕𝑥2 + 𝜕2_𝜑 𝜕𝑦2 + 𝜕2_𝜑 𝜕𝑧2 = 𝛻 2_𝜑

y lo llamamos el Laplaciano de 𝜑 y que denotamos ∆𝜑. Si ∇2_{φ = ∆𝜑 = 0 decimos que 𝜑 es Armónica.}

(26)

Algunas propiedades, donde 𝑓, 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠, 𝐹⃗ 𝑦 𝐺⃗ 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 1. 𝛻(𝑓 + 𝑔) = 𝛻𝑓 + 𝛻𝑔 2. 𝛻(𝑘𝑓) = 𝑘∇𝑓 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 3. 𝛻(𝑓𝑔) = 𝑓𝛻𝑔 + 𝑔𝛻𝑓 4. 𝛻 (𝑓 𝑔) = 𝑔𝛻𝑓−𝑓𝛻𝑔 𝑔2 5. 𝑑𝑖𝑣(𝐹⃗ + 𝐺⃗) = 𝑑𝑖𝑣(𝐹⃗) + 𝑑𝑖𝑣(𝐺⃗) 6. 𝛻 × (𝐹⃗ + 𝐺⃗) = 𝛻 × 𝐹⃗ + 𝛻 × 𝐺⃗ 7. 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝐹⃗) = 𝑓𝑑𝑖𝑣(𝐹⃗) + 𝐹.⃗⃗⃗⃗ 𝛻𝑓 8. 𝑟𝑜𝑡(𝑓𝐺⃗) = 𝑓𝑟𝑜𝑡(𝐺⃗) + 𝛻𝑓 × 𝐺⃗ ♦

1.7 Superficie orientable

Antes de proceder a eso dos teoremas, debemos dar algunas nociones acerca de lo que es “superficie orientable”. Las consideraciones que haremos a continuación son intuitivas, basadas en los dibujos geométricos y sin mucho rigor matemático a fin de no recargar la exposición.

Sea S una superficie y 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷 una representación paramétrica de S. Si la función es inyectiva, entonces se dice que es una parametrización simple (puntos distintos de D tienen imágenes por puntos distintos en S)

Si S es una superficie regular, entonces es continua con primeras derivadas continuas y el producto vectorial 𝑁⃗⃗⃗ = 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑢× 𝜕𝑟⃗

𝜕𝑣 es no nulo en todo punto. Así, S admite vector normal en

todo punto y este varia continuamente, pero, en cada punto podemos considerar al vector normal 𝑁⃗⃗⃗ o bien −𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y entonces tenemos sobre S dos campos normales 𝑁⃗⃗⃗(𝑢, 𝑣) 𝑦 − 𝑁⃗⃗⃗(𝑢, 𝑣),

uno de los cuales “apunta hacia afuera” y lo denominamos “normal exterior”; el otro apunta en sentido opuesto.

r

(27)

En las superficies que conocemos, con las que hemos venido trabajando: esfera, elipsoide, paraboloide, cilindros, conos, hiperboloides, y en toda superficie dada por una ecuación en forma explicita 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), siempre es posible definir un campo de vectores normales

𝑁⃗⃗⃗ (𝑁⃗⃗⃗ ≠ 0⃗⃗) que varia continuamente, y así decimos que esas superficies son orientables, en

cambio, si no es posible definir un tal campo de vectores normales a S satisfaciendo las propiedades mencionadas, se dice que la superficie S es no orientable.

En las superficies orientables podemos distinguir dos lados o caras, de tal manera que no se puede pasar de un lado a otro a menos que se atraviese la superficie, como en el toro o la esfera, o también a través del borde si se trata de una superficie abierta.

Una superficie no orientable, las cuales no son muy comunes, por ejemplo la cinta o banda de Mobius que puede obtenerse fácilmente a partir de una banda de papel rectangular de 30 cm por 5 cm.

♦

1.8 Teorema de la divergencia o de gauss-Ostrograsdki

Si V es un sólido en 𝑅3_{limitado por una superficie cerrada y orientable S y sea 𝑛̂ la normal}

unitaria exterior a S y si 𝐹⃗ es un campo vectorial continuo con primeras derivadas continuas en V, entonces ∭(∇. 𝐹⃗)𝑑𝑉 𝑉 = ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆 donde 𝛻. 𝐹⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ =𝜕𝑃 𝜕𝑥+ 𝜕𝑄 𝜕𝑦+ 𝜕𝑅

𝜕𝑧 representa la divergencia del campo𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅)

♦

Ejemplo 1.8.1

Sea S la superficie del cubo (0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1) y 𝑛̂es la normal exterior a S. Si 𝐹⃗ = (𝑥2_{, 𝑦}2_{, 𝑧}2₎_{, encuentre el flujo de 𝐹⃗ a través de S.}

(28)

Prof. Humberto F. Valera Castro ▲ ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆 = ∭(2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑉 𝑉 = 2 ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1 0 1 0 1 0 = 3

Si no aplicáramos el teorema tenemos que calcular seis integrales ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆_𝑆

𝑛 , es decir, Para la tapa 𝑆₁: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑧 = 0 , 𝑛̂ = (0,0, −1) ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆1 = ∫ ∫ (𝑥2, 𝑦2, 0). (0,0, −1)𝑑𝑥𝑑𝑦 1 0 1 0 = 0 Para la tapa 𝑆₂: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑧 = 1 𝑛̂ = (0,0,1) ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆2 = ∫ ∫ (𝑥2_{, 𝑦}2_{, 1). (0,0,1)𝑑𝑥𝑑𝑦} 1 0 1 0 = 1 Para la tapa 𝑆₃: 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 = 0 𝑛̂ = (−1,0,0) ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆3 = 0 De forma análoga ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆4 = 1 ; ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆5 = 0 ; ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆6 = 1 Luego ∬ 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆 = 3 ▄ Z S2 S3 y x S1

(29)

1.9 Teorema de Stoke o del Rotor

Consideremos una superficie S parametrizada por 𝑟⃗(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. Supongamos que D es una región cuya frontera es una curva cerrada simple.

Supongamos que 𝜎: [𝑎, 𝑏] → 𝑅2_{, 𝜎(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), sea una parametrización de la}

frontera L de D en dirección antihorario. Esto determina una orientación en la curva C frontera de S dada por la función

Para recordar esta orientación (dirección positiva) de C, pensemos en un “observador” que camina a lo largo de la frontera de la superficie y cuya dirección vertical coincida con la normal exterior, se moverá en dirección positiva si la superficie está a su izquierda. Esta orientación de C se llama orientación inducida por una normal 𝑛̂ “hacia arriba”

Teorema de Stokes o del Rotor

Sea S una superficie orientable definida por una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 ⊂ 𝑅2_,

continua con primera y segunda derivadas continuas en D y sea 𝐹⃗ un campo vectorial continuo con primera derivada continua. Si C es la curva frontera de S orientada en forma positiva, entonces se tiene que

∬ ∇ × 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆 = ∮ 𝐹⃗ 𝐶 . 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∇ × 𝐹⃗ = 𝑟𝑜𝑡𝐹⃗ = (𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧) 𝑖̂ + ( 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥) 𝑗̂ + ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦) 𝑘̂ ♦ z S C

(30)

Ejemplo 1.9.1

Usa el teorema de Stokes para calcular la integral de línea

∫ −𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑦 − 𝑧3𝑑𝑧

𝐶

Donde C es la intersección del cilindro 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 1 y el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, la orientación}

de C corresponde al movimiento antihorario en el plano xy

▲ 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{≤ 1}} 𝐹⃗ = (−𝑦3_{, 𝑥}3_{, −𝑧}3_{) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛻 × 𝐹⃗ = (0,0,3(𝑥}2_{+ 𝑦}2₎₎ 𝑟⃗(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥 − 𝑦), 𝑁⃗⃗⃗ =𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑥× 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑦 = (1,1,1) 𝛻 × 𝐹⃗. 𝑁⃗⃗⃗ = 3(𝑥2_{+ 𝑦}2₎ Luego ∮ 𝐹⃗ 𝐶 . 𝑑𝑟⃗ = ∬ ∇ × 𝐹⃗. 𝑛̂𝑑𝑆 𝑆 = ∬ 3(𝑥2_{+ 𝑦}2₎ 𝐷 = 3 ∫ ∫ 𝑟3 2𝜋 0 1 0 𝑑𝜃𝑑𝑟 =3𝜋 2

Verifique el resultado calculando la integral de línea

(31)

(32)

Parte II

Número Complejos.

Funciones Complejas.

Funciones elementales.

Funciones Analíticas.

Teorema de Cauchy-Riemann. Fórmula

de Cauchy. Series de Potencias.

Singularidades y residuos. Residuos.

Aplicaciones.

(33)

(34)

Parte II

2.1 Números Complejos

Un número complejo es una expresión de la forma

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

donde x é y son números reales, e i representa la unidad imaginaria, caracterizada por satisfacer la igualdad 𝑖2 _{= −1. Los números x é y se denominan, respectivamente, la parte}

real y la parte imaginaria de z y se denotan

𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 , 𝑦 = 𝐼𝑚 𝑧

Dos números complejos 𝑧₁ = 𝑥₁+ 𝑖𝑦₁ , 𝑧₂ = 𝑥₂+ 𝑖𝑦₂ son iguales si sus partes real e

imaginaria son respectivamente iguales, es decir, si se satisface:

𝑥₁ = 𝑥₂; 𝑦₁ = 𝑦₂

A partir de la expresión 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 se observa que los números complejos pueden ser, considerados como pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales, en los cuales la primera componente corresponde a la parte real y la segunda a la parte imaginaria. En particular, la unidad imaginaria está representada por el par ordenado 𝑖 = (0,1). De esta observación se deduce que el conjunto de los números complejos es representable gráficamente en un plano, el llamado plano complejo, mediante un sistema de coordenadas cartesianas, correspondiendo a cada número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 el único punto P en el plano con coordenadas cartesianas x é y; y recíprocamente, al punto P de coordenadas x é y en el plano se asocia el número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

En la representación anterior, los números reales, que representan los números complejos con parte imaginaria nula, corresponden a los puntos del eje de las abscisas, al cual llamamos eje real. Asimismo, los números con parte real nula, que se denominan números

(35)

2.2 Operaciones algebraicas con números complejos

La suma y producto de dos números complejos 𝑧₁ = 𝑥₁+ 𝑖𝑦₁ , 𝑧₂ = 𝑥₂+ 𝑖𝑦₂ se define

mediante las fórmulas:

𝑧₁+ 𝑧₂ = (𝑥₁+ 𝑥₂) + 𝑖(𝑦1+ 𝑦2)

𝑧₁. 𝑧₂ = (𝑥₁𝑥₂− 𝑦₁𝑦₂) + 𝑖(𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2)

Se verifique las operaciones de suma y producto de números complejos son conmutativas, es decir: 𝑧₁ + 𝑧₂ = 𝑧₂ + 𝑧₁ 𝑧₁. 𝑧₂ = 𝑧₂. 𝑧₁ e igualmente asociativas: (𝑧1+ 𝑧2) + 𝑧2 = 𝑧1+ (𝑧2+ 𝑧2) (𝑧₁𝑧₂)𝑧₃ = 𝑧₁(𝑧₂𝑧₃)

Y se satisface además la ley distributiva:

𝑧₁(𝑧2+ 𝑧2) = 𝑧1𝑧2+ 𝑧1𝑧3

La identidad con respecto a la suma es el cero complejo 0 = 0 + 𝑖0 = (0,0), que satisface

𝑧 + 0 = 𝑧 para cualquier z complejo. Asimismo, la identidad con respecto al producto es

el número complejo 1 = 1 + 𝑖0 = (1,0), que satisface 1𝑧 = 𝑧, para cualquier z.

Eje imaginario (0,y) i = (0,1)

0 (x,0) Eje real -i = (0, -1)

(36)

Dado un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = (𝑥, 𝑦), su opuesto es el número

−𝑧 = −𝑥 − 𝑖𝑦 = (−𝑥, −𝑦), que verifica 𝑧 + (−𝑧) = 0.

Se define entonces la diferencia de dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1+ 𝑖𝑦1 , 𝑧2 = 𝑥2+ 𝑖𝑦2,

mediante

𝑧₁− 𝑧₂ = 𝑧₁+ (−𝑧₂) = (𝑥₁− 𝑥₂) + 𝑖(𝑦₁− 𝑦₂)

Igualmente, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = (𝑥, 𝑦) es un número complejo diferente de cero, su inverso es el número 𝑧−1 ₌ 𝑥 𝑥2 _{+ 𝑦}2+ 𝑖 −𝑦 𝑥2 _{+ 𝑦}2 = ( 𝑥 𝑥2_{+ 𝑦}2, −𝑦 𝑥2_{+ 𝑦}2)

que verifica 𝑧𝑧−1 _{= 1. La división del número complejo 𝑧}

1 entre el número complejo

𝑧₂ (𝑧₂ ≠ 0), se define entonces por

𝑧₁

𝑧₂ = 𝑧1𝑧2

−1

Además de las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, las operaciones definidas para números complejos conservan las propiedades básicas de las correspondientes con números reales; esto permite realizar las operaciones algebraicas con números complejos formalmente como si se tratase de números reales, tomando en consideración la igualdad

𝑖2 = −1, tal como se ilustrará en los ejemplos siguientes.

♦ Ejemplos 2.2.1 1. (3 + 𝑖) + (2 − 5𝑖) = 3 + 2 + 𝑖 − 5𝑖 = 5 − 4𝑖 2. (1 + 3𝑖) − (−2 + 4𝑖) = 1 + 2 + 3𝑖 − 4𝑖 = 3 − 𝑖 3. (2 − 𝑖)(−5 + 2𝑖) = 2(−5 + 2𝑖) − 𝑖(−5 + 2𝑖) = −10 + 4𝑖 + 5𝑖 − 2𝑖2 _{= −8 + 9𝑖} 4. 3 + 2𝑖 1 − 𝑖 = ( 3 + 2𝑖 1 − 𝑖 ) ( 1 + 𝑖 1 + 𝑖) = 3 + 3𝑖 + 2𝑖 + 2𝑖2 1 − 𝑖2 = 1 + 5𝑖 2 ▄

(37)

2.3 Valor absoluto y conjugado de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 se define como el número real

|𝑧| = √𝑥2_{+ 𝑦}2

y representa en el plano complejo la distancia entre el punto z y el origen de coordenadas. Entonces, la distancia entre dos puntos, 𝑧₁ = 𝑥₁+ 𝑖𝑦₁ , 𝑧₂ = 𝑥₂+ 𝑖𝑦₂ está dada por el

número

|𝑧₁− 𝑧₂| = √(𝑥₁− 𝑦₁)2_{+ (𝑥}

2 − 𝑦2)2

El conjugado del número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 es el número complejo

𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦

Cuya representación geométrica corresponde al punto simétrico de z respecto del eje real

2.3.1 Propiedades

1. |𝑧|2 = (𝑅𝑒 𝑧)2+ (𝐼𝑚 𝑧)2 2. 𝑅𝑒 𝑧 ≤ |𝑅𝑒 𝑧| ≤ |𝑧| 3. 𝐼𝑚 𝑧 ≤ |𝐼𝑚 𝑧| ≤ |𝑧| 4. 𝑆𝑖 |𝑧| = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧 = 0 5. 𝑧̅̅ = 𝑧 6. |𝑧̅| = 𝑧 7. 𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧̅₁± 𝑧₂ ₁± 𝑧̅₂ 9. 𝑧̅̅̅̅̅̅ = 𝑧̅₁𝑧₂ ₁𝑧̅₂ Eje imaginario (0,y) 0 (x,0) Eje real (0,-y)

(38)

Prof. Humberto F. Valera Castro 10. (𝑧1 𝑧₂) ̅̅̅̅̅̅ =𝑧̅1 𝑧̅₂ , 𝑧2 ≠ 0 11. 𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 12. 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑧 + 𝑧̅ 2 13. 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑧 − 𝑧̅ 2𝑖 ♦ Ejemplos 2.3.1 𝑎) 3𝑧̅ + 2𝑖̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3𝑧̅̅̅̅ + 2̅𝑖̅ = 3𝑧 − 2𝑖 𝑏) |(√2 + 𝑖)(𝑧̅ + 2)| = |√2 + 𝑖||𝑧̅ + 2| = √2 + 1|𝑧̿ + 2̅| = √3|𝑧 + 2| ▄ Ejemplos 2.3.2

Expresemos en términos de z la recta de ecuación en coordenadas cartesianas 𝑦 = 2𝑥 + 1

▲

A partir de las igualdades

𝑅𝑒 𝑧 =𝑧 + 𝑧̅

2 , 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑧 − 𝑧̅

2𝑖

La ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 1 se puede escribir como

𝑧 − 𝑧̅ 2𝑖 = 2 ( 𝑧 + 𝑧̅ 2 ) + 1 = 𝑧 + 𝑧̅ + 1 ⟹ 𝑧 − 𝑧̅ 2𝑖 − 𝑧 − 𝑧̅ = 1 ⟹ 𝑧(1 − 2𝑖) + 𝑧̅(−1 − 2𝑖) = 2𝑖 ▄ Ejemplo 2.3.3

Expresar la circunferencia de ecuación (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2 _{= 4 en términos de z}

▲

(𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2 _{= 4 ⟹ √(𝑥 − 1)}2_{+ (𝑦 − 1)}2 _{= 2}

y por lo tanto

|(𝑥 − 1) + 𝑖(𝑦 − 1)| = |(𝑥 + 𝑖𝑦) − (1 + 𝑖)| = |𝑧 − (1 + 𝑖)| = 2

(39)

2.4 Forma Polar de un número complejo

Sea un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧 ≠ 0, consideremos además el segmento dirigido desde el origen hasta que represente a z. Si llamamos 𝑟 = |𝑧| a la longitud del segmento, y θ el ángulo medido en radianes que tal segmento forma con el semi eje real positivo, se tiene:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

Entonces

𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

que representa la forma polar del número complejo z, el número θ es llamado un

argumento de z, abreviadamente 𝑎𝑟𝑔 𝑧.

La forma polar también se puede expresar como:

𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑒𝑖𝜃

donde 𝑒𝑖𝜃_{representa la función exponencial de exponente imaginario.}

En el caso 𝑟 = 1, la expresión anterior 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑒𝑖𝜃_{recibe el nombre de fórmula}

de Euler.

El número θ puede ser calculado a partir de la relación

𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑥 𝑦

si se especifica el cuadrante al cual pertenece el punto z. Además, para cualquier entero k, el número 𝜃 + 2𝑘𝜋 es también un argumento de z; se conviene entonces en llamar valor

Eje imaginario (0,y) r

θ

(40)

principal del 𝑎𝑟𝑔 𝑧 al valor único de 𝑎𝑟𝑔 𝑧 tal que −𝜋 < 𝑎𝑟𝑔 𝑧 ≤ 𝜋 y lo denotamos 𝑎𝑟𝑔 𝑧

(algunos autores consideran 𝑎𝑟𝑔 𝑧 tal que 0 ≤ 𝑎𝑟𝑔 𝑧 < 2𝜋). Dados dos números complejos no nulos,

𝑧₁ = 𝑟₁(𝑐𝑜𝑠𝜃₁+ 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃₁) = 𝑟₁𝑒𝑖𝜃1_{, 𝑧}

2 = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠𝜃2+ 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃2) = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2

Se verifica fácilmente usando fórmulas trigonométricas, que

𝑧₁𝑧₂ = 𝑟₁𝑟₂(𝑐𝑜𝑠(𝜃₁+ 𝜃₂) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃₁+ 𝜃₂)) = 𝑟₁𝑟₂𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2)

Observe que

|𝑒𝑖𝜃_{| = |𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃| = √𝑐𝑜𝑠}2_{𝜃 + 𝑠𝑒𝑛}2_{𝜃 = 1}

entonces la igualdad anterior revela las relaciones

|𝑧₁𝑧₂| = |𝑧₁||𝑧₂|

𝑎𝑟𝑔(𝑧₁𝑧₂) = 𝑎𝑟𝑔 𝑧₁+ 𝑎𝑟𝑔 𝑧₂

De igual forma, si se tienen los números complejos

𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑒𝑖𝜃_,

𝑧₁ = 𝑟₁(𝑐𝑜𝑠𝜃₁+ 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃₁) = 𝑟₁𝑒𝑖𝜃1_{, 𝑧}

2 = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠𝜃2+ 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃2) = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2

se obtienen las fórmulas

𝑧−1 =1 𝑧 = 1 𝑟(𝑐𝑜𝑠(−𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝜃)) = 1 𝑟𝑒 −𝑖𝜃 𝑧₁ 𝑧₂ = 𝑟₁ 𝑟₂(𝑐𝑜𝑠(𝜃1− 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃1− 𝜃2)) = 𝑟₁ 𝑟₂𝑒 𝑖(𝜃1−𝜃2) ♦ Ejemplos 2.4.1

Exprese el número 𝑧 = −2√3 − 2𝑖 en forma polar

▲

|𝑧| = √16 = 4

(41)

Prof. Humberto F. Valera Castro 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝑎𝑟𝑔 ( −2 −2√3) = 𝑎𝑟𝑔 ( √3 3 ) = 7𝜋 6 Entonces 𝑧 = 4𝑒7𝜋6𝑖 ▄ Ejemplos 2.4.2 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑧 = 6𝑒3𝜋4𝑖_{𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎)} ▲ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 6𝑐𝑜𝑠 (3𝜋 4) = 6 (− √2 2 ) = −3√2 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 6𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 4 ) = 6 ( √2 2 ) = 3√2 Entonces, 𝑧 = −3√2 + 3√2𝑖 ▄ Ejemplos 2.4.3

Efectúa el producto (−2√3 − 2𝑖)(−2√3 + 2𝑖) en forma polar

▲

Según los ejemplos 1 y 2 se tiene:

−2√3 − 2𝑖 = 4𝑒7𝜋6𝑖

−2√3 + 2𝑖 = 6𝑒3𝜋4𝑖

Entonces

(−2√3 − 2𝑖)(−2√3 + 2𝑖) = 24𝑒23𝜋12𝑖

(42)

2.5 Potencias y raíces de un número complejo

Para cada número natural n, un número complejo w se dice la raíz enésima del número complejo z si 𝑤𝑛 _{= 𝑧. Escribimos 𝑤 = √𝑧}𝑛 ó 𝑤 = 𝑧1⁄𝑛. Si 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃_{, suponiendo que 𝑤 = 𝜌𝑒}𝑖𝛼 Así, 𝜌𝑛𝑒𝑖𝑛𝛼 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 De lo cual se deduce 𝜌𝑛 _{= 𝑟, 𝑛𝛼 = 𝜃 + 𝑘𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜} es decir, 𝑟 = √𝜌𝑛 , 𝛼 =𝜃 + 𝑘𝜋 𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Entonces, 𝑧_𝑘 = √𝜌𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (𝜃 + 𝑘𝜋 𝑛 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃 + 𝑘𝜋 𝑛 )) = √𝜌 𝑛 𝑒𝑖𝜃+𝑘𝜋𝑛 _{; 𝑘 = 0,1,2, …} ♦ Ejemplo 2.5.1 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 (1 + 𝑖√3)10 ▲ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (√3 1 ) = 𝜋 3, 𝑟 = √1 + 3 = √4 = 2 Entonces 1 + 𝑖√3 = 2𝑒𝜋𝑖3 Así, tenemos:

(43)

Prof. Humberto F. Valera Castro (1 + 𝑖√3)10 = (2𝑒𝜋𝑖3₎ 10 = 210𝑒10𝜋𝑖3 _{= 2}10_𝑒2𝜋𝑖_𝑒 4𝜋𝑖 3 _{= 2}10_{(𝑐𝑜𝑠 (}4𝜋 3 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 4𝜋 3 )) = 210₍₋1 2+ 𝑖 √3 2 ) ▄ Ejemplo 2.5.2

Calcular las raíces cúbicas de 𝑧 = −1 + 𝑖

▲ Ya que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 1 −1) = 3𝜋 4 , 𝑟 = √2 √−1 + 𝑖 3 = √2𝑒3𝜋𝑖4 Entonces, 𝑧_𝑘 = (√2) 1 3 ⁄ 𝑒 3𝜋𝑖 4 +2𝑘𝜋 3 _, _{𝑘 = 𝑜, 1,2, …} Es decir, 𝑧₀ = √26 (𝑐𝑜𝑠 (𝜋 4) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 4)) = √2 6 (√2 2 + 𝑖 √2 2 ) 𝑧₁ = √26 (𝑐𝑜𝑠 (11𝜋 12 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 11𝜋 12 )) = √2 6 (𝑐𝑜𝑠1650_{+ 𝑖𝑠𝑒𝑛165}0₎ 𝑧₂ = √26 (𝑐𝑜𝑠 (19𝜋 12 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 19𝜋 12 )) = √2 6 (𝑐𝑜𝑠2850_{+ 𝑖𝑠𝑒𝑛285}0₎ ▄

(44)

2.6 Funciones de variable compleja

Una función f definida en un conjunto S de números complejos, es una regla que hace corresponder a cada elemento z de S un número complejo w, lo cual expresamos mediante la correspondencia

𝑤 = 𝑓(𝑧)

se denomina función compleja de una variable compleja. Es decir, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣

Se tiene entonces

𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

Lo cual indica que la función 𝑓(𝑧) de una variable compleja puede expresarse en términos de dos variables 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦), denominadas, respectivamente parte real de f y parte

imaginaria de f, que son ambas funciones de dos variables reales que toman valores reales.

♦ Ejemplo 2.6.1

Si 𝑓(𝑧) = 𝑧2 _{= (𝑥 + 𝑖𝑦)}2 _{= 𝑥}2_{− 𝑦}2_{+ 2𝑖𝑥𝑦 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥}2_{− 𝑦}2_{𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦}

(45)

2.7 Límite de funciones complejas

Una vecindad de radio 𝛿, 𝑁_𝛿(𝑧₀) de un número complejo es el conjunto de los puntos z que

satisfacen la desigualdad |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿.

Una vecindad reducida de radio 𝛿, 𝑁̂_𝛿(𝑧₀), de 𝑧₀ es una vecindad de 𝑧₀ de la cual se ha excluido el punto 𝑧₀.

Si f es una función definida para todo z, con la posible excepción de 𝑧 = 𝑧₀, de una región R, entonces el número complejo 𝑤₀ es el límite de 𝑓(𝑧) cuando z tiende a 𝑧₀, esto es,

𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑤₀ 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 ∀ℰ > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 |𝑓(𝑧) − 𝑤₀| < 𝜖 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝜖𝑁̂_𝛿(𝑧₀) ∩ 𝑅 𝑆𝑖 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜. ♦

2.7.1 Propiedades

Si 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑤₀ y 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧) = 𝑤₁ entonces, 1. 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 (𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)) = 𝑤0+ 𝑤1 2. 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 (𝑓(𝑧)𝑔(𝑧)) = 𝑤₀𝑤₁ 3. 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)= 𝑤0 𝑤1, 𝑤1 ≠ 0 ♦ Teorema 2.7.1

Sea 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) la función de variable compleja. Sean 𝑧₀ = 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀, 𝑤₀ = 𝑢₀ + 𝑖𝑣₀ entonces

𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑧0

(46)

Prof. Humberto F. Valera Castro Si y sólo si 𝑙𝑖𝑚 (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑤₀ 𝑦 𝑙𝑖𝑚 (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑣₀ ♦ Ejemplo 2.7.1 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑖 𝑧(𝑧2_{+ (2 − 𝑖)𝑧 − 2𝑖)} 𝑧 − 𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ▲ 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑖 𝑧(𝑧2+ (2 − 𝑖)𝑧 − 2𝑖) 𝑧 − 𝑖 = 𝑖(𝑖2+ (2 − 𝑖)𝑖 − 2𝑖) 𝑖 − 𝑖 = 0 0 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑖 𝑧(𝑧2+ (2 − 𝑖)𝑧 − 2𝑖) 𝑧 − 𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑧→𝑖 𝑧(𝑧 + 2)(𝑧 − 𝑖) 𝑧 − 𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑧→𝑖 𝑧(𝑧 + 2) = 𝑖(𝑖 + 2) = −1 + 2𝑖

Para demostrar esto, tomemos

|𝑓(𝑧) − (−1 + 2𝑖)| = |𝑧(𝑧 + 2) − (−1 + 2𝑖)| = |𝑧2 _{+ 2𝑧 + 1 − 2𝑖|} = |(𝑧2+ 1) + 2(𝑧 − 𝑖)| = |(𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖) + 2(𝑧 − 𝑖)| = |(𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖 + 2)| < |𝑧 − 𝑖||𝑧 + 2 + 𝑖|, 𝑧 ≠ 𝑖 Como |𝑧 + 2 + 𝑖| ≤ |𝑧| + |2 + 𝑖| < |𝑧| + 3 Entonces |𝑓(𝑧) − (−1 + 2𝑖)| < |𝑧 − 𝑖|(|𝑧| + 3) Si |𝑧 − 𝑖| < 1 ⟹ |𝑧| < 2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑧| − |𝑖| ≤ |𝑧 − 𝑖| < 1 Por consiguiente, |𝑧 − 𝑖|(|𝑧| + 3) < 5|𝑧 − 𝑖| 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑧 − 𝑖| < 1 Entonces |𝑧 − 𝑖|(|𝑧| + 3) < 5|𝑧 − 𝑖| < 𝜀 Tomando 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 (1,1 5𝜀), tenemos |𝑓(𝑧) − (−1 + 2𝑖)| < 𝜀 Para todo 𝑧𝜖𝑁̂_𝛿(𝑖). ▄

(47)

Prof. Humberto F. Valera Castro Proposición 1 𝑆𝑖 𝑤₀ ∈ ℂ , 𝑦 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞𝑓(𝑧) = 𝑤0 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑧→∞𝑔(𝑧) = ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑧→∞ 𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧) = 0 ♦ Proposición 2 𝑆𝑖 𝑤₀𝜖ℂ, 𝑤₀ ≠ 0 𝑦 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑤₀ 𝑦 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧) = ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)= ∞ ♦ Ejemplo 2.7.2 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 3𝑧3+ 𝑧2− 𝑧 + 𝑖 2𝑧3 _{+ 𝑧 − 2} ▲ 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 3𝑧3+ 𝑧2− 𝑧 + 𝑖 2𝑧3_{+ 𝑧 − 2} = 𝑙𝑖𝑚_𝑧→∞ 3 +1_𝑧 − 1 𝑧2+ 𝑖 𝑧3 2 +_𝑧1₂−_𝑧2₃ =3 2 ▄ Ejemplo 2.7.3 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 𝑧4 + 𝑧 − 𝑖 𝑧2_{− 1} ▲ 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 𝑧4_{+ 𝑧 − 𝑖} 𝑧2_{− 1} = 𝑙𝑖𝑚_𝑧→∞ 𝑧2₊1 𝑧 − 𝑖 𝑧2 1 − 1 𝑧2 = ∞ ▄ Ejemplo 2.7.4 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 𝑧2 𝑧3 _{− 1} ▲ 𝑙𝑖𝑚 𝑧→∞ 𝑧2 𝑧3 _{− 𝑖} = 𝑙𝑖𝑚_𝑧→∞ 1 𝑧 1 −_𝑧𝑖₃ = 0 ▄

(48)

2.8 Continuidad

Diremos que una función f de una variable compleja es continua en el punto 𝑧₀, si se cumple

las siguientes condiciones 1. Existe 𝑓(𝑧₀) 2. Existe 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 3. 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧₀)

Decimos, además, que si f es continua en un subconjunto S del plano complejo, si f es continua en todo S. ♦ Ejemplo 2.8.1 La función 𝑓(𝑧) = { 𝑧2 𝑠𝑖 𝑧 ≠ 𝑖 1 𝑠𝑖 𝑧 = 𝑖

No es continua en 𝑧₀ = 𝑖, pues no se cumple la condición (3),

ya que 𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑖 𝑓(𝑧) = −1 ≠ 1 = 𝑓(𝑖)

▄

Teorema 2.8.1

Sean 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) dos funciones de variable compleja continuas en un domino D. Entonces 1. La función 𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧) es continua en D

2. La función 𝑓(𝑧)𝑔(𝑧) es continua en D 3. La función 𝑓(𝑧)

𝑔(𝑧) es contini en 𝐷 − {𝑧 ∈ ℂ: 𝑔(𝑧) = 0}

(49)

Teorema 2.8.2

Sean 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) dos funciones de variable compleja continuas definidas respectivamente en los conjunto D y E, tales que 𝑓(𝐷) ⊂ 𝐸. Si f es continua en D y g es continua en 𝑓(𝐷), entonces ℎ = 𝑔(𝑓(𝑧)) es continua en D.

♦

Teorema 2.8.3

Sea 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) la función de variable compleja. Entonces f es contunua en

𝑧₀ = 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀ si y solo si las funciones componentes, 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) son continuas

en(𝑥₀, 𝑦₀).

♦ Ejemplo 2.8.2

Estudiemos la continuidad en 𝑧 = 1 de la función

𝑓(𝑧) = 2𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥2_{+ 𝑦}2

▲

Verifiquemos la continuidad de f de dos maneras

Escribamos 𝑓(𝑧) en función de z, para ello consideremos

𝑥 =𝑧 + 𝑧̅ 2 , 𝑦 = 𝑧 − 𝑧̅ 2𝑖 Sustituyendo en 𝑓(𝑧) 𝑓(𝑧) = 2 (𝑧 + 𝑧̅ 2 ) + 𝑖 ( 𝑧 − 𝑧̅ 2𝑖 ) + (𝑧 + 𝑧̅₂ ) − 𝑖 (𝑧 − 𝑧̅_2𝑖 ) (𝑧 + 𝑧̅₂ ) 2 + (𝑧 − 𝑧̅_2𝑖 ) 2 = 𝑧 + 𝑧̅ +𝑧 − 𝑧̅ 2 + 𝑧̅ 𝑧𝑧̅ = 3 2𝑧 + 1 2𝑧̅ + 1 𝑧

(50)

Entonces f es continua, ya que es la suma de funciones continuas. Otra manera 𝑓(𝑧) = (2𝑥 + 𝑥 𝑥2_{+ 𝑦}2) + 𝑖 (𝑦 − 𝑦 𝑥2_{+ 𝑦}2) De donde se deduce 𝑢(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑥 𝑥2 _{+ 𝑦}2 , 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑦 𝑥2_{+ 𝑦}2

Como u y v están definidas en el punto (1,0) y además

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦)→(1,0)𝑢(𝑥, 𝑦) = 3 = 𝑢(1,0) 𝑦 (𝑥,𝑦)→(1,0)𝑙𝑖𝑚 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0 = 𝑣(1,0)

Podemos concluir que u v son continuas en el punto (1,0). Entonces por el teorema 2.8.3 f es contiuna en 𝑧 = 1

▄

2.9 Derivadas de funciones complejas

Consideremos un número complejo fijo 𝑧₀ y una función 𝑓(𝑧) definida en una vecindad de

𝑧₀, inclusive en el punto 𝑧₀. Decimos que 𝑓(𝑧) es derivable en

z

₀, si existe el límite 𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧₀) 𝑧 − 𝑧₀

Al cual llamamos la primera derivada de 𝑓(𝑧) en el plano 𝑧₀ y denotamos con el símbolo

𝑓´(𝑧₀).

Si hacemos ℎ = 𝑧 − 𝑧₀, el límite anterior se expresa entonces como

𝑓´(𝑧₀) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑧₀+ ℎ) − 𝑓(𝑧₀) ℎ

(51)

Si una función 𝑓(𝑧) es derivable en todo punto de un subconjunto S del plano, decimos entonces que 𝑓(𝑧) es derivable en S. En tal caso, observamos que la derivada puede ser considerada como una función que a todo z en S, hace corresponder el número complejo

𝑓´(𝑧).

De acuerdo con esta observación, igual que en el caso de funciones de variable real, se define entonces la derivada segunda de una función 𝑓(𝑧) de variable compleja, en un punto z, como la derivada primera de 𝑓´(𝑧) en ese punto. Es decir,

𝑓´´(𝑧) = (𝑓´(𝑧))´

Más generalmente, se define las derivadas sucesivas de 𝑓(𝑧) en un punto, mediante la fórmula

𝑓(𝑛)(𝑧) = (𝑓(𝑛−1)_{(𝑧)) ´ ; 𝑛 ≥ 2}

En la cual 𝑓(𝑛)_{(𝑧) expresa la derivada de orden n de la función 𝑓(𝑧)}

♦

Observación: La definición de derivada de una función de variable compleja, es similar a la

derivada de una función de variable real. Como consecuencia de ello, en el caso de funciones de variables complejas se conservan las propiedades básicas de las derivadas de funciones de variable real.

En particular se conserva la relación entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto. Asimismo, continúan siendo válidas las reglas básicas para el cálculo de las derivadas de la suma, producto y cociente de funciones, e igualmente la regla de la cadena para el calcula de las derivadas de funciones compuestas.

(52)

2.10 Reglas de derivación

1. (𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧))´ = 𝑓´(𝑧) + 𝑔´(𝑧) 2. (𝑓(𝑧)𝑔(𝑧))´ = 𝑓´(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓(𝑧)𝑔´(𝑧) 3. 𝑑 𝑑𝑧( 𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)) = 𝑓´(𝑧)𝑔(𝑧) − 𝑓(𝑧)𝑔´(𝑧) (𝑔(𝑧))2

4. Si la función 𝑔(𝑧) es derivable en el punto 𝑧₀ y la función 𝑓(𝑧)es derivable en el punto

𝑔(𝑧₀) entonces la función compuesta

(𝑓𝑜𝑔)´(𝑧) = 𝑓´(𝑔(𝑧₀))𝑔´(𝑧₀) ♦ Ejemplo 2.10.1 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑧) =𝑧 2_{− 4} 𝑧2_{+ 𝑖} , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓´(𝑖) ▲ 𝑓´(𝑧) = (𝑧 2_{− 4)´(𝑧}2_{+ 𝑖) − (𝑧}2_{− 4)(𝑧}2_{+ 𝑖)´} (𝑧2_{+ 𝑖)}2 = 2𝑧(𝑧2+ 𝑖) − (𝑧2− 4)2𝑧 (𝑧2_{+ 𝑖)}2 = 2𝑧(4 + 𝑖) (𝑧2_{+ 𝑖)}2 Entonces, 𝑓´(𝑖) = 2𝑖(4 + 𝑖) (𝑖2_{+ 𝑖)}2 = −2 + 8𝑖 (−1 + 𝑖)2 ▄ Ejemplo 2.10.2 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑧) = (𝑧3− 𝑖)4, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓´(𝑧) ▲ 𝑓´(𝑧) = 4(𝑧3 _{− 𝑖)}3_3𝑧2 _{= 12𝑧}2_(𝑧3_{− 𝑖)}3 ▄