Unidad 1 Ingenieria de Control Clasico 1

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

INGENIERIA ELECTROMECANICA

INGENIERIA ELECTROMECANICA

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO

UNIDAD 1: SISTEMAS DE CONTROL

UNIDAD 1: SISTEMAS DE CONTROL

Profesor:

Profesor:

Ing. Arquimides Ramírez Franc

Ing. Arquimides Ramírez Franc

Equipo:

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!a"a#a Oseguera Cind$ %iridiana &R' (()*(()+

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 Te,ada -ernndez /es0s A#1r

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Horario:

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Semestre:

UNIDAD 1!SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 1!SISTEMAS DE CONTROL SISTEMAS DE CONTROL

SISTEMAS DE CONTROL

Ls

Ls sistemas "e #o$tro%sistemas "e #o$tro% seg0n #a 6ería seg0n #a 6ería ci"ern46icaci"ern46ica se aB#ican en esencia se aB#ican en esencia

B

Baarra a ##ss rganismsrganisms iiss #a #ass mquinasmquinas $ #$ #aass rganizacinesrganizacines. . EsEs66ss sis6emas 1uern re#acinads Br Brimera ez en (72 Br

sis6emas 1uern re#acinads Br Brimera ez en (72 Br Nr"er6 ienerNr"er6 iener en

en su su ""ra ra CiCi"e"ernrn4646icica a $ $ SSciciededad ad ccn n aBaB#i#icacacicin n en en #a #a 6e6erría ía de de ##ss mec

mecananisismms s de de ccn6n6rr#. #. 5n 5n sisis6s6emema a de de ccn6n6rr# # eses6 6 dedennidid  ccm m unun cn,un6 de cmBnen6es que Bueden regu#ar su BrBia cnduc6a  #a de cn,un6 de cmBnen6es que Bueden regu#ar su BrBia cnduc6a  #a de 6r sis6ema cn e# n de #grar un 1uncinamien6 Brede6erminad de 6r sis6ema cn e# n de #grar un 1uncinamien6 Brede6erminad de m

md d quque e se se rereduduzczcan an #a#as s BrBr""a"a"i#i#idaidades des de de 1a#1a##s #s $ $ se se ""6e6engngan an ##ss resu#6ads "uscads.

resu#6ads "uscads.

-$ en día #s Brcess de cn6r# sn sín6mas de# Brces indus6ria# que -$ en día #s Brcess de cn6r# sn sín6mas de# Brces indus6ria# que es

es6a6ams ms iiieiendnd. . EsEs66s s sisis6s6emaemas s se se ususan an 6í6íBiBicacamemen6n6e e en en susus6s6i6i6uir uir unun 6ra"a,adr Basi que cn6r#a un de6erminad sis6ema &$a sea e#4c6ric 6ra"a,adr Basi que cn6r#a un de6erminad sis6ema &$a sea e#4c6ric mecnic e6c.' cn una Bsi"i#idad nu#a  casi nu#a de errr $ un grad de mecnic e6c.' cn una Bsi"i#idad nu#a  casi nu#a de errr $ un grad de eciencia muc? ms grande que e# de un 6ra"a,adr. Ls sis6emas de eciencia muc? ms grande que e# de un 6ra"a,adr. Ls sis6emas de c

cn6n6rr# # mms s mmdedernrns s en en iningegeninieríería a auau66ma6ma6izizan an BrBrccesess s en en "a"ase se aa m

muucc??s s BBaarrmmee66rrs s $ $ rreeccii""een n ee# # nnmm""rre e ddee ccn6n6rr#a#adrdres es dede au6ma6izacin Brgrama"#es

au6ma6izacin Brgrama"#es &:&:AC'AC'..

Ls sis6emas de cn6r# de"en cnseguir #s siguien6es ",e6is= Ls sis6emas de cn6r# de"en cnseguir #s siguien6es ",e6is= (. Ser es6a"#es $ r"us6s 1ren6e a Ber6ur"acines $

(. Ser es6a"#es $ r"us6s 1ren6e a Ber6ur"acines $ errres en #s mde#s.errres en #s mde#s. *. Ser ecien6e seg0n un cri6eri Brees6a"#ecid ei6and cmBr6amien6s *. Ser ecien6e seg0n un cri6eri Brees6a"#ecid ei6and cmBr6amien6s "ruscs e irrea#es.

"ruscs e irrea#es.

11! MARCO CONCEPTUAL 11! MARCO CONCEPTUAL 111

111 CONTROL& CONTROL& SISTEMA& PROCESOSISTEMA& PROCESO& ACTU& ACTUADOR& 'ADOR& 'ARIA(LEARIA(LE C

COONNTTRROOLLAADADA& & ''AARRIIAA((LE LE MAMANNIIPPUULLAADDA& A& SSIISSTTEEMMA A DDEE CONTROL& PERTUR(ACION& ENTRADA DE RE)ERENCIA

CONTROL& PERTUR(ACION& ENTRADA DE RE)ERENCIA

:ara en6rar a# es6udi de #s Sis6emas de Cn6r# se de"en denir #s :ara en6rar a# es6udi de #s Sis6emas de Cn6r# se de"en denir #s siguien6es 64rmins=

siguien6es 64rmins=

•

• Co$tro%:Co$tro%:  es6a Ba#a"ra se usa Bara designar regu#acin g"iern  es6a Ba#a"ra se usa Bara designar regu#acin g"iern

dir

direcceccin in   cmcmandand. . Es Es una es6ra6una es6ra6egia que egia que erierica ca # # que currque curree &rea#idad' cn resBec6 a # que de"ería currir &",e6i' $ de n &rea#idad' cn resBec6 a # que de"ería currir &",e6i' $ de n eHis6ir cncrdancia se 6man accines Bara crregir #a di1e

eHis6ir cncrdancia se 6man accines Bara crregir #a di1erencia.rencia.

* *

Sis

Sistemtema a "e "e Co$Co$tro% tro% AutAutom*om*ti#ti#oo= = SiSiss6e6ema ma quque e rreeeemBmB#a#aza za a# a# 1a1acc66rr

?uman en #a rea#izacin de 6areas Be#igrsas reBe6i6ias mn6nas que ?uman en #a rea#izacin de 6areas Be#igrsas reBe6i6ias mn6nas que requieren esBecia# a6encin.

requieren esBecia# a6encin.

Tipos "e sistemas: Tipos "e sistemas:

•

• Co$trCo$tro% o% AutomAutom*ti#*ti#o o e$ %a+o e$ %a+o a,iera,iertoto= La = La sasa#i#ida da n n 6i6ienene e e1e1ecec66

s"re #a en6rada &accin de eHci6acin'.NO se mide NO se rea#imen6a s"re #a en6rada &accin de eHci6acin'.NO se mide NO se rea#imen6a Ba

Bara ra mmdidiccar ar #a #a en6en6raradada. . A A cacada da enen6r6radada a #e #e ccrrrresesBnBnde de ununaa cndicin de 6ra"a, ,a. S# se Buede usar e# cn6r# en #az a"ier6 cndicin de 6ra"a, ,a. S# se Buede usar e# cn6r# en #az a"ier6 si #a re#acin en6re #a en6rada $ #a sa#ida es cncida $ si n ?a$ si #a re#acin en6re #a en6rada $ #a sa#ida es cncida $ si n ?a$ Ber6ur"acines.

Ber6ur"acines.

Co

Co$t$troro% % AuAutotom*m*titi#o #o e$ e$ %a%a+o +o #e#errrra"a"o:o: La La accaccin in &e&eHcHci6aci6acin in a#a#

sis6ema' deBende de #a reaccin &resBues6a' en cada ins6an6e de# sis6ema' deBende de #a reaccin &resBues6a' en cada ins6an6e de# sis6ema.

sis6ema.

La resBues6a se cmBara cn e# a#r desead $ #a di1erencia en6re am"as La resBues6a se cmBara cn e# a#r desead $ #a di1erencia en6re am"as &errr' se u6i#iza Bara ac6uar s"re e# Brces cn e# n de reducir e# errr $ &errr' se u6i#iza Bara ac6uar s"re e# Brces cn e# n de reducir e# errr $ ##ear #a resBues6a a# a#r desead.

##ear #a resBues6a a# a#r desead.

'

'aria,%e aria,%e ma$ipu%a"a:ma$ipu%a"a: eses6í6ímumu# # aBaB#ic#icadad  a# a# BrBrcceses  BBr r e# e# eqequiuiB B dede

cn6r# cn e# n de #grar que #a aria"#e cn6r#ada a#cance e# a#r cn6r# cn e# n de #grar que #a aria"#e cn6r#ada a#cance e# a#r desead.

desead.

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'aria,%e aria,%e #o$tro%a"a#o$tro%a"a= resBues6a "6enida de# sis6ema cn6r#ad.= resBues6a "6enida de# sis6ema cn6r#ad.

:er6ur"acin= :er6ur"acin=

(. Se3a# adi6ia NO deseada que 6iende a a1ec6ar e# a#r de #a sa#ida de# (. Se3a# adi6ia NO deseada que 6iende a a1ec6ar e# a#r de #a sa#ida de# sis6ema.

sis6ema.

*. Cua#quier causa que ?ace que #a aria"#e cn6r#ada se desíe de su *. Cua#quier causa que ?ace que #a aria"#e cn6r#ada se desíe de su ",e6i.

",e6i.

) )

Sistema: Sistema:

Cn,un6 de e#emen6s $ reg#as que rganizads e in6erre#acinads en6re sí  Cn,un6 de e#emen6s $ reg#as que rganizads e in6erre#acinads en6re sí  cn6r

cn6ri"u$en a i"u$en a generagenerar r un un resuresu#6ad#6ad. . :s:seen een carac6carac6erís6erís6icas BrBias que icas BrBias que #s#s denen que Bueden ser cns6an6es &Barme6rs de# sis6ema' $ cam"ian6es denen que Bueden ser cns6an6es &Barme6rs de# sis6ema' $ cam"ian6es en e# 6iemB &aria"#es de# sis6ema' #as cua#es Bermi6en de6erminar su en e# 6iemB &aria"#es de# sis6ema' #as cua#es Bermi6en de6erminar su cmBr6amien6.

cmBr6amien6.

•

• •• SistemaSistema= Es un ensam"#a,e= Es un ensam"#a,e

de cmBnen6es que BrBrcinan accines in6erre#acinadas en6re de cmBnen6es que BrBrcinan accines in6erre#acinadas en6re sí #s cua#es se carac6erizan Br Bseer Barme6rs in?eren6es que sí #s cua#es se carac6erizan Br Bseer Barme6rs in?eren6es que #

#s s dedennen en $ $ BBr r mms6s6rarar r ccndndiciciinenes s 1í1ísisicacas s asascciaiadadas. s. A A ##ss Ba

Barrmeme6r6rs s de de cacada da e#e#ememen6en6  se se #es #es dendenmminina a BaBarmrme6re6rs s dede## sis6ema $ #as cndicines 1ísicas de cada cmBnen6e cam"ian6es cn sis6ema $ #as cndicines 1ísicas de cada cmBnen6e cam"ian6es cn e# 6iemB de6erminan e# es6ad de# sis6ema en cada mmen6 $ se #es e# 6iemB de6erminan e# es6ad de# sis6ema en cada mmen6 $ se #es denminan aria"#es de# sis6ema.

denminan aria"#es de# sis6ema. Es

Es BB6e6encnciaia#m#men6en6e e aBaB#ic#ica"a"#e #e a a un un ccn,n,unun6 6 didierers s de de 1en1enmmenens. s. LLss sis6emas se denen en 6das #as reas. En cn6r# # ana#izarems en e# sis6emas se denen en 6das #as reas. En cn6r# # ana#izarems en e# cn6eH6 de sis6emas 1ísics que se descri"en Br #e$es de #as ciencias cn6eH6 de sis6emas 1ísics que se descri"en Br #e$es de #as ciencias 1ísicas.

1ísicas.

•

• Pro#eso:Pro#eso: E# 64rmin Brces Bara #s nes de cn6r# signica e# E# 64rmin Brces Bara #s nes de cn6r# signica e#

equiB a au6ma6izar en dnde se es6a"i#iza #a aria"#e de cn6r# a equiB a au6ma6izar en dnde se es6a"i#iza #a aria"#e de cn6r# a 6ra4s de #s sensres ac6uadres $ cn6r#adres. Cn,un6 de 1ases 6ra4s de #s sensres ac6uadres $ cn6r#adres. Cn,un6 de 1ases cnsecu6ias en un 1enmen na6ura# en un rea  en una ac6iidad cnsecu6ias en un 1enmen na6ura# en un rea  en una ac6iidad que 6iene cam"is de

que 6iene cam"is de es6ad de acuerd a cndicines dadas.es6ad de acuerd a cndicines dadas.

2 2

E,emB#= :rcess e#4c6rics mecnics manu1ac6ura a#imen6s energía E,emB#= :rcess e#4c6rics mecnics manu1ac6ura a#imen6s energía ?idrcar"urs 6ransBr6e cmunicacines en6re 6rs.

?idrcar"urs 6ransBr6e cmunicacines en6re 6rs.

A#tua"or: A#tua"or:

Cn,un6 de equiBs  e#emen6s de mquinas que ac60an ,un6s cn e# Cn,un6 de equiBs  e#emen6s de mquinas que ac60an ,un6s cn e# Br

BrBBssi6i6  de de rreaea#i#izazar r ununa a BBereracaciin n en en BaBar6r6icicu#u#arar. . E,E,ememB#B#= = :#:#anan6a6ass e#

e#4c4c6r6ricicasas  de de GaGas s uuímímicicasas  -i-idrdree#4#4c6c6riricacas s enenerergígía a nunuc#c#eaear r dede 1a"ricacin en6re 6rs. 1a"ricacin en6re 6rs. :#an6a de ?idrcar"urs. :#an6a de ?idrcar"urs. < <

'

'aria,%e aria,%e Co$tro%a"a:Co$tro%a"a: % %aria"#e a man6ener aria"#e a man6ener den6r de cier6as cndicines.den6r de cier6as cndicines. '

'aria,%e aria,%e Ma$ipu%a"a:Ma$ipu%a"a: %aria"#e mdicada in6encina#men6e Bara inJuir en %aria"#e mdicada in6encina#men6e Bara inJuir en

#a aria"#e cn6r#ada. #a aria"#e cn6r#ada.

Ls ac6uadres sn #s e#emen6s na#es de cn6r# 6ienen Br 1uncin Ls ac6uadres sn #s e#emen6s na#es de cn6r# 6ienen Br 1uncin a#6erar e# a#r de #a aria"#e maniBu#ada cn e# n de crregir  #imi6ar #a a#6erar e# a#r de #a aria"#e maniBu#ada cn e# n de crregir  #imi6ar #a desiacin de# a#r cn6r#ad resBec6 a# a#r desead. Ls 1a"rican6es desiacin de# a#r cn6r#ad resBec6 a# a#r desead. Ls 1a"rican6es ac6

ac6ua#mua#men6en6e e BrBreeeen n una una serserie ie de de ac6ac6uaduadrres es cmcm= = m6m6rres es ##u#u#asas re#4s $ sKic6?es. Ls ac6uadres ms imBr6

re#4s $ sKic6?es. Ls ac6uadres ms imBr6an6es sn=an6es sn=



 A#tua"ores E%-#tri#os:A#tua"ores E%-#tri#os: Sn usads en #a indus6ria $ en aB#icacines Sn usads en #a indus6ria $ en aB#icacines

cm

cmercercia#eia#es s BarBara a BsBsiciicinanar r disdisBsBsi6ii6is s de de mmimiimien6en6s s #in#inea# ea#  r6acina#. T

r6acina#. Ta#es cm a#es cm sKic6?es re#4s m6res sKic6?es re#4s m6res $ 6rs.$ 6rs.



 A#tua"ores Neum*ti#os:A#tua"ores Neum*ti#os: AcAceB6eB6an an se3se3a#ea#es s de de BrBresiesin n BeqBeque3ue3asas

des

desde de #s #s BsBsiciicinanad d reres s neuneum6m6icics s $ $ medmedianian6e 6e un un diadia1ra1ragmagma cnier6en es6as se3a#es en mimien6s mecnics.

cnier6en es6as se3a#es en mimien6s mecnics.



 A#tuA#tua"ores a"ores Hi"r*Hi"r*u%i#u%i#os:os: LLs s ac6ac6uaduadrres es ?id?idruru#ic#ics s BeBeran ran enen

1rma simi#ar a #s Bsicinadres neum6ics Ber cn una ma$r 1rma simi#ar a #s Bsicinadres neum6ics Ber cn una ma$r 1uerza de accin Bara ser usads en cmBuer6as gr0as e#eadres $ 1uerza de accin Bara ser usads en cmBuer6as gr0as e#eadres $ 6rs.

6rs.

'ARIA(LE CONTROLADA

'ARIA(LE CONTROLADA= Es e# Barme6r ms imBr6an6e de# Brces= Es e# Barme6r ms imBr6an6e de# Brces

de"i4n

de"i4ndse man6ener es6a"#e &sin dse man6ener es6a"#e &sin cam"icam"is' Bues s' Bues su su ariacariacin in a#6eraa#6eraría ría #as#as cndicines requeridas en e# sis6ema su mni6re a 6ra4s de un sensr es cndicines requeridas en e# sis6ema su mni6re a 6ra4s de un sensr es una cndicin imBr6an6e Bara dar

una cndicin imBr6an6e Bara dar inici a# cn6r#.inici a# cn6r#.

A# ana#izar e# e,emB# ms6rad de# in6ercam"iadr de ca#r se "sera #a A# ana#izar e# e,emB# ms6rad de# in6ercam"iadr de ca#r se "sera #a in6encin de ca#en6ar agua a 6ra4s de# aBr Bara # cua# se de"er 6ener in6encin de ca#en6ar agua a 6ra4s de# aBr Bara # cua# se de"er 6ener en cuen6a #as diersas aria"#e de Brces cm sn= #s Ju,s de aBr $ en cuen6a #as diersas aria"#e de Brces cm sn= #s Ju,s de aBr $ agua #as Bresines de aBr $ #as 6emBera6uras de# agua Ber #a ms agua #as Bresines de aBr $ #as 6emBera6uras de# agua Ber #a ms imBr6an6e de# sis6ema es #a 6emBera6ura de sa#ida de# agua Br # 6an6 #a imBr6an6e de# sis6ema es #a 6emBera6ura de sa#ida de# agua Br # 6an6 #a %

%aria"#e aria"#e Cn6r#ada.Cn6r#ada.

M M

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 ''ARIA(LE ARIA(LE MANIPULADA:MANIPULADA: Es e# Barme6r a 6ra4s de# cua# se de"e Es e# Barme6r a 6ra4s de# cua# se de"e

cr

crreregir gir #as #as Ber6Ber6ur"ur"aciacines nes de# de# BrBrceces s c#c#ccndndse se un un ac6ac6uaduadrr Bara #grar es6a"i#izar e# sis6ema. En e# e,emB# de# in6ercam"iadr de Bara #grar es6a"i#izar e# sis6ema. En e# e,emB# de# in6ercam"iadr de ca

ca#r#r  ququieien n BrBrBBrrcicinna a mama$$r r   menmenr r cacan6n6ididad ad de de enenerergígía a a#a# sis6ema es e# ingres de aBr Br # 6an6 #a aria"#e a maniBu#ar sis6ema es e# ingres de aBr Br # 6an6 #a aria"#e a maniBu#ar ser e# Ju,

ser e# Ju, de ingres de de ingres de aBraBr..

PERTUR(ACION:

PERTUR(ACION: es una se3a# que es una se3a# que 6iend6iende a e a a1ec6aa1ec6ar adersamen6r adersamen6e e# e e# a#ra#r

de #a sa#ida de un

de #a sa#ida de un sis6ema. Si # Ber6ur"acin ssis6ema. Si # Ber6ur"acin se genera den6r de genera den6r de# sis6emae# sis6ema se #a denmina in6erna mien6ras que una Ber6ur"acin eH6erna se genera se #a denmina in6erna mien6ras que una Ber6ur"acin eH6erna se genera 1uera de# sis6ema. Las Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema mdicand 1uera de# sis6ema. Las Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema mdicand su 1uncinamien6 Br # que su Bresencia imB#ica #a necesidad de cn6r#. su 1uncinamien6 Br # que su Bresencia imB#ica #a necesidad de cn6r#. Nrma#men6e #as Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema a#ea6riamen6e. Nrma#men6e #as Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema a#ea6riamen6e. Las resBues6as de un Brces a una de6erminada Ber6ur"acin es6n casi Las resBues6as de un Brces a una de6erminada Ber6ur"acin es6n casi siemBre carac6erizadas Br ds cns6an6es= una cns6an6e de 6iemB &6' $ siemBre carac6erizadas Br ds cns6an6es= una cns6an6e de 6iemB &6' $ una ganancia es66ica. La ganancia es #a amB#icacin  a6enuacin de #a una ganancia es66ica. La ganancia es #a amB#icacin  a6enuacin de #a Ber6ur"acin en e# in6erir de# Brces $ n 6iene in6er1erencia cn #as Ber6ur"acin en e# in6erir de# Brces $ n 6iene in6er1erencia cn #as carac6erís6icas de 6iemB de resBues6a.

carac6erís6icas de 6iemB de resBues6a.

8 8

La cns6an6e de 6iemB es #a medida necesaria Bara a,us6ar un sis6ema de La cns6an6e de 6iemB es #a medida necesaria Bara a,us6ar un sis6ema de una Ber6ur"acin en #a en6rada $ Buede ser eHBresada cm Brduc6 de= 6 una Ber6ur"acin en #a en6rada $ Buede ser eHBresada cm Brduc6 de= 6  resis6encia H caBacidad.

 resis6encia H caBacidad.

ENTRAD

ENTRADA A DE DE RE)ERRE)ERENCIA:ENCIA:  Cn e# cn6r#adr armad ?as6a e# Bas  Cn e# cn6r#adr armad ?as6a e# Bas

an

an6e6eririr r e# e# sisis6s6ema ema B#B#anan6a6a@c@cnn6r6r##adadr r 1u1uncnciina na ccrrrrec6ec6amamenen6e 6e ccmm regu#adr= Bara #er a# Bun6 de equi#i"ri a Bar6ir de una cndicin inicia# regu#adr= Bara #er a# Bun6 de equi#i"ri a Bar6ir de una cndicin inicia# dis6in6a a ese Bun6 de equi#i"ri  Bara e# rec?az de Ber6ur"acines. dis6in6a a ese Bun6 de equi#i"ri  Bara e# rec?az de Ber6ur"acines. Dis6in6 es e# cas de Bre6ender que #a sa#ida $ de# sis6ema sigaP #a Dis6in6 es e# cas de Bre6ender que #a sa#ida $ de# sis6ema sigaP #a e

e#u#ucicin n de de ununa a sese3a3a# # dedeseseadada a de de rere1er1erenencicia a rr. . E# E# BrBr""#em#ema a es es ccmm in6rducims en e# esquema an6erir &gura *' dic?a se3a#. La manera ms in6rducims en e# esquema an6erir &gura *' dic?a se3a#. La manera ms senci##a de rea#izar#a es cm se mues6ra en #a gura ) dnde en4s de senci##a de rea#izar#a es cm se mues6ra en #a gura ) dnde en4s de in6rducir a# es6imadr #a se3a# medida $ se #a a#imen6a cn #a di1erencia in6rducir a# es6imadr #a se3a# medida $ se #a a#imen6a cn #a di1erencia en6re #a re1erencia $ #a medicin &$>r'. Es6a 1rma de in6rducir #a en6rada a en6re #a re1erencia $ #a medicin &$>r'. Es6a 1rma de in6rducir #a en6rada a re1erencia es seme,an6e a #a que se u6i#iza en cn6r# c#sic Ber cm re1erencia es seme,an6e a #a que se u6i#iza en cn6r# c#sic Ber cm erems n es #a 0nica manera de in6rducir #a re1erencia en e# sis6ema $ erems n es #a 0nica manera de in6rducir #a re1erencia en e# sis6ema $ que ?a$ maneras ms

que ?a$ maneras ms cnencnenien6es que 4s6a. De ien6es que 4s6a. De #a manera que #a manera que e# sis6emae# sis6ema ?a sid re6ra#imen6ad #a Bsicin de #s B#s de #a 1uncin 6rans1erencia ?a sid re6ra#imen6ad #a Bsicin de #s B#s de #a 1uncin 6rans1erencia en6re #a re1erencia r $ #a sa#ida $ quedan cmB#e6amen6e denids. %erems en6re #a re1erencia r $ #a sa#ida $ quedan cmB#e6amen6e denids. %erems qu

que e seseg0g0n n ccm m inin6r6rdduzuzcacams ms eses6a 6a sese3a3a# # de de rere1er1erenencicia a r r deden6n6r r dede## cn6r#adr 6endrems #a caBacidad de mer #s cers de #a 1uncin de cn6r#adr 6endrems #a caBacidad de mer #s cers de #a 1uncin de 6rans1erencia mencinada.

6rans1erencia mencinada.

1.! CONTROL EN

1.! CONTROL EN LA/O A(IERTOLA/O A(IERTO Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o a,ierto Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o a,ierto

En e##s #a se3a# de sa#ida n inJu$e s"re #a se3a# de en6rada. La eHac6i6ud En e##s #a se3a# de sa#ida n inJu$e s"re #a se3a# de en6rada. La eHac6i6ud de es6s sis6emas deBende de su Brgramacin Breia. Es Brecis se Breer de es6s sis6emas deBende de su Brgramacin Breia. Es Brecis se Breer #as

#as rere#ac#aciinenes s quque e dede"e"en n dadarsrse e enen6r6re e ##s s didi1er1erenen6e6es s ccmBmBnenen6n6es es dede## sis6e

sis6ema a ma a n de n de 6ra6ar de cnsegui6ra6ar de cnseguir r que #a que #a sa#ida a#casa#ida a#cance e# nce e# a#r deseada#r desead cn #a eHac6i6ud Breis6a. E# diagrama de "#que de un sis6ema en #az cn #a eHac6i6ud Breis6a. E# diagrama de "#que de un sis6ema en #az a"ier6 es=

a"ier6 es=

 

 Es6s sis6emas se cn6r#an direc6amen6e  Br medi de un

 Es6s sis6emas se cn6r#an direc6amen6e  Br medi de un tra$s"u#tortra$s"u#tor

$ un

$ un a#tua"ora#tua"or. En es6e segund cas e# diagrama de "#ques 6íBic ser=. En es6e segund cas e# diagrama de "#ques 6íBic ser=

La 1u

La 1uncnciin de#n de# tra$stra$s"u#to"u#torr es mdicar  adaB6ar #a se3a# de en6radaes mdicar  adaB6ar #a se3a# de en6rada

Bara que Bueda ser Brcesada cnenien6emen6e Br #s e#emen6s que Bara que Bueda ser Brcesada cnenien6emen6e Br #s e#emen6s que cns6i6u$en e# sis6ema de cn6r#.

cns6i6u$en e# sis6ema de cn6r#. Carac6erís6icas=

Carac6erís6icas=

•

• N se cmBara #a sa#ida de# sis6ema cn e# a#r desead de #a sa#idaN se cmBara #a sa#ida de# sis6ema cn e# a#r desead de #a sa#ida

de# sis6ema &re1erencia'. de# sis6ema &re1erencia'.

•

• :ara cada en6rada de re1erencia #e crresBnde una cndicin de:ara cada en6rada de re1erencia #e crresBnde una cndicin de

Beracin ,ada. Beracin ,ada.

•

• La eHac6i6ud de #a sa#ida de# sis6ema deBende de #a ca#i"racin de#La eHac6i6ud de #a sa#ida de# sis6ema deBende de #a ca#i"racin de#

cn6r#adr. cn6r#adr.

•

• En Bresencia de Ber6ur"acines es6s sis6emas de cn6r# n cumB#enEn Bresencia de Ber6ur"acines es6s sis6emas de cn6r# n cumB#en

su 1uncin adecuadamen6e. su 1uncin adecuadamen6e. E#

E# ccn6n6rr# # en en #a#az z a"a"ieier6 r6 susue#e#e e aBaBararececer er en en didisBsBssi6i6iis s ccn n ccn6n6rr## secuencia# en e# que n ?a$ una regu#acin de aria"#es sin que se rea#iza secuencia# en e# que n ?a$ una regu#acin de aria"#es sin que se rea#iza un

una a seseririe e de de BBereracaciinenes s de de mamanenera ra dede6e6ermrmininadada. a. EsEsa a sesecucuenencicia a dede Beracines Buede enir imBues6a Br een6s &een6>drien'  Br 6iemBs Beracines Buede enir imBues6a Br een6s &een6>drien'  Br 6iemBs &6

&6imime>de>dririeen'n'. . Se Se BrBrggrarama ma u6u6i#i#izaizandnd  :L:LCs Cs &c&cnn6r6r##adadrres es de de ##gigicaca Brgrama"#e'.

Brgrama"#e'. E,emB#s

E,emB#s (.

(. LLaaaaddrara==

•

• FuncFuncina s"re una ina s"re una "ase de 6iemBs"ase de 6iemBs •

• %%aria"#e de sa#ida #iaria"#e de sa#ida #imBieza de #a rBaP n a1mBieza de #a rBaP n a1ec6a a# 1uncinamien6ec6a a# 1uncinamien6

de #a #aadra. de #a #aadra.

7 7

1.1!REPRESENT

1.1!REPRESENTACION MEDIANTE ACION MEDIANTE DIAGRAMA DE DIAGRAMA DE (LO0UES(LO0UES

5n

5n "ia"iararama ma "e "e ,%,%oquoques es fu$fu$#i#io$a%o$a%  "i"iaararama ma "e "e ,%,%oqoqueues s "e"e pro#esos

pro#esos es es #a reBr#a reBreseesen6an6acicin n grgrca de ca de #s di1er#s di1eren6en6eses BrcessBrcess  de un  de un

sis6ema $ e# Ju, de se3a#es dnde cada Brces 6iene un "#que asignad $ sis6ema $ e# Ju, de se3a#es dnde cada Brces 6iene un "#que asignad $ 4s

4s66s s se se ununen en BBr r JeJec?c?as as quque e rreBeBrresesenen6a6an n e# e# JuJu, , de de sese3a3a#e#es s ququee in6eraccinan en6re #s di1e

in6eraccinan en6re #s di1eren6es Brcess.ren6es Brcess.

Di

Diagagramrama a de de "#"#qques ues 1u1uncncinina# a# dede# # ccn6n6rr# # de de acac6i6i6u6ud d $ $ #a#as s mamanini"r"rasas sis6ema e#ec6rnic.

sis6ema e#ec6rnic.

Las en6radas $ sa#idas de #s "#ques se cnec6an en6re sí cn #íneas de Las en6radas $ sa#idas de #s "#ques se cnec6an en6re sí cn #íneas de cneHin  en#aces. Las #íneas senci##as se Bueden u6i#izar Bara cnec6ar ds cneHin  en#aces. Las #íneas senci##as se Bueden u6i#izar Bara cnec6ar ds Bun6s #gics de# diagrama es decir=

Bun6s #gics de# diagrama es decir=

•

• 5na aria"#e de en6rada $ una en6rada de un "#que5na aria"#e de en6rada $ una en6rada de un "#que

•

• 5na sa#ida de un "#que $ una en6rada de 6r "#que5na sa#ida de un "#que $ una en6rada de 6r "#que

•

• 5na sa#ida de un "#que $ una aria"#e de sa#ida5na sa#ida de un "#que $ una aria"#e de sa#ida

Se

Se mumueses6r6ran an #as #as rere#ac#aciinenes s eHeHisis6e6en6n6es es enen6r6re e ##s s BrBrccesess s $ $ e# e# JuJu, , dede se3a#es de 1rma ms rea#is6a que una

se3a#es de 1rma ms rea#is6a que una reBresen6acin ma6em6ica.reBresen6acin ma6em6ica. De#

De# mismism m mdmd  6ie6iene ne in1in1rmarmacicin n rere#aci#acinanada da cn cn e# e# cmBcmBr6ar6amienmien66 dinmic $ n inc#u$e in1rmacin de #a cns6ruccin 1ísica de# sis6ema.

dinmic $ n inc#u$e in1rmacin de #a cns6ruccin 1ísica de# sis6ema.

(+ (+

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;uc?s ?s sissis6ema6emas s di1di1ereeren6en6es s se se rereBrBreseesen6an6an n Br Br e# e# mismism m diadiagragrama ma dede "#ques así cm di1eren6es diagramas de "#ques Bueden reBresen6ar e# "#ques así cm di1eren6es diagramas de "#ques Bueden reBresen6ar e# mism sis6ema desde di1eren6es Bun6s de is6a.

mism sis6ema desde di1eren6es Bun6s de is6a. En

En ##s s didiagagraramamas s de de "#"#qqueues s 1u1uncnciinana##es es sse e BBueuededen n dedesscrcri"i"ir ir e#e# c

cmBmBrr6a6amimienen6 6 de de sisis6s6ememas as 1í1ísisiccs s   rerea#a#es es desdescrcri6i6s s BBr r unun mde#mde# ma6em6ic

ma6em6ic n "s6an6e es mu$ n "s6an6e es mu$ imBr6imBr6an6e u6i#izar es6s diagramaan6e u6i#izar es6s diagramas. Es6ss. Es6s diagramas $ sus re#acines es6n denidas $ 6ienen reg#as "sicas que diagramas $ sus re#acines es6n denidas $ 6ienen reg#as "sicas que me,ran e# an#isis median6e su cmBrensin. 5n mde# ma6em6ic #inea# me,ran e# an#isis median6e su cmBrensin. 5n mde# ma6em6ic #inea# en e# dmini de #a 1recuencia Buede 6ener reBresen6acin median6e #s en e# dmini de #a 1recuencia Buede 6ener reBresen6acin median6e #s e#emen6s que se descri"en a an6erirmen6e.

e#emen6s que se descri"en a an6erirmen6e.

9#que de mde# ma6em6ic. 9#que de mde# ma6em6ic.

1..!ANALISIS DE E2EMPLOS REALES 1..!ANALISIS DE E2EMPLOS REALES

E# an#isis rea#  6ería de #as 1uncines de aria"#e rea# es #a rama de# E# an#isis rea#  6ería de #as 1uncines de aria"#e rea# es #a rama de# an#isis ma6em6ic que 6iene que er cn e# cn,un6 de #s n0mers an#isis ma6em6ic que 6iene que er cn e# cn,un6 de #s n0mers rea#es. En Bar6icu#ar es6udia #as BrBiedades ana#í6icas de #as 1uncines $ rea#es. En Bar6icu#ar es6udia #as BrBiedades ana#í6icas de #as 1uncines $ sucesines de n0mers rea#es su #ími6e cn6inuidad $ e# c#cu# de #s sucesines de n0mers rea#es su #ími6e cn6inuidad $ e# c#cu# de #s n0mers rea#es.

n0mers rea#es.

An#isis de Furier= ABrHimacin de una 1uncin discn6inua median6e una An#isis de Furier= ABrHimacin de una 1uncin discn6inua median6e una serie Bun6ua#men6e cnergen6e de 1uncines senida#es.

serie Bun6ua#men6e cnergen6e de 1uncines senida#es. A#cance=

A#cance=

E# an#isis rea# es un rea de# an#isis ma6em6ic que es6udia #s cnceB6s E# an#isis rea# es un rea de# an#isis ma6em6ic que es6udia #s cnceB6s de

de sucsucesiesin n #ím#ími6e i6e cncn6in6inuidauidad d di1di1ererencenciaciacin in e e in6in6egregraciacin. n. DadDada a susu na

na6u6urara#ez#eza a e# e# anan##isisis is rerea# a# eses6 6 #im#imi6i6adad  a a ##s s n0n0memerrs s rerea#a#es es ccmm ?erramien6as de 6ra"a,.

?erramien6as de 6ra"a,. R

Resesu#u#6a6adds s imimBBr6r6anan6es 6es ininc#c#u$u$en en enen6r6re e 66rrs s e# e# 6e6erremema a de de 99#za#zan>n> eiers6rass e# 6erema de -eine>9re# e# 6erema de# a#r medi $ e# eiers6rass e# 6erema de -eine>9re# e# 6erema de# a#r medi $ e# 6erema 1undamen6a# de# c#cu#.

6erema 1undamen6a# de# c#cu#. CnceB6s "sics=

CnceB6s "sics=

LLs s 6e6eH6H6s s dede# # cc#c#cu#u#  aaananzazad d nnrrmama#m#menen6e 6e ccmimienenzazan n ccn n ununaa in6rduccin a #as dems6racines ma6em6icas $ a #a 6ería de cn,un6s. in6rduccin a #as dems6racines ma6em6icas $ a #a 6ería de cn,un6s.  T

 Tras es6 se denen #s n0mers rea#es aHim6icamen6e  se #s cns6ras es6 se denen #s n0mers rea#es aHim6icamen6e  se #s cns6ru$eru$e c

cn n susucecesisinnes es de de CaCaucuc?$ ?$   ccm m ccr6r6es es de de DeDededeQiQind nd de de n0n0memerrss

(( ((

racina#es. DesBu4s ?acen una ines6igacin de #as BrBiedades de #s racina#es. DesBu4s ?acen una ines6igacin de #as BrBiedades de #s n0mers rea#es siend de #

n0mers rea#es siend de #as ms imBr6an6es #as ms imBr6an6es #a desigua#dad 6riangu#ar.a desigua#dad 6riangu#ar. Sucesines $ series=

Sucesines $ series=  T

 Tras ras denir denir #s #s n0mers n0mers rea#es rea#es se se ines6igan ines6igan #as #as sucesines sucesines de de n0mersn0mers rea#es $ su cnergencia un cnceB6 cen6ra# en an#isis a 6ra4s de #s rea#es $ su cnergencia un cnceB6 cen6ra# en an#isis a 6ra4s de #s ##íímmii66ees s dde e ssuucceessiinnees s   BBuunn66s s dde e aaccuummuu##aacciin n dde e ccnn,,uunn66ss.. :s6erirmen6e se es6udian #as series cm #as series a#6ernadas $ #as :s6erirmen6e se es6udian #as series cm #as series a#6ernadas $ #as series de B6encias.

series de B6encias.

Se es6udia Bara emBezar a desarr##ar cnceB6s 6B#gics e#emen6a#es Se es6udia Bara emBezar a desarr##ar cnceB6s 6B#gics e#emen6a#es aris 6iBs de su"cn,un6s de #s n0mers rea#es= cn,un6s a"ier6s aris 6iBs de su"cn,un6s de #s n0mers rea#es= cn,un6s a"ier6s cn,un6s cerrads esBacis cmBac6s cn,un6s cneHs e6c. Dnde se cn,un6s cerrads esBacis cmBac6s cn,un6s cneHs e6c. Dnde se es6udian e# 6erema

es6udian e# 6erema de 9#zan>de 9#zan>eiers6rass $ e# eiers6rass $ e# de -eine>9re#.de -eine>9re#. Func

Funcines ines cn6inua=cn6inua=

A?ra se es6udian #as 1uncines de aria"#e rea# $ se dene e# cnceB6 de A?ra se es6udian #as 1uncines de aria"#e rea# $ se dene e# cnceB6 de 1uncin cn6inua a Bar6ir de #a denicin 4Bsi#n>de#6a de# #ími6e de una 1uncin cn6inua a Bar6ir de #a denicin 4Bsi#n>de#6a de# #ími6e de una 1un

1uncicin. n. En6En6re re #as #as BrBrBieBiedaddades es de de una una 1un1uncicin n cncn6in6inua ua dedenidnida a en en unun in6era# des6acan #s 6eremas cncids cm e# 6erema de 9#zan e# in6era# des6acan #s 6eremas cncids cm e# 6erema de 9#zan e# 6erema de# a#r in6ermedi $

6erema de# a#r in6ermedi $ e# 6erema de eiers6rass.e# 6erema de eiers6rass. Deriacin  di1erenciacin=

Deriacin  di1erenciacin=

En es6e mmen6 se Buede denir #a deriada de una 1uncin cm un En es6e mmen6 se Buede denir #a deriada de una 1uncin cm un #ími

#ími6e 6e $ $ se se BueBueden den demdems6s6rar rar rigrigurursamsamen6en6e e #s #s 6e6eremremas as imBimBr6r6an6an6eses s"r

s"re #a e #a deriacderiacin cm e# in cm e# 6er6erema de ema de RR##e  ##e  e# 6erema de# a#r medi.e# 6erema de# a#r medi. Se cns6ru$en #as series de Ta$#r $ se ca#cu#an #as series de ;ac#aurin de Se cns6ru$en #as series de Ta$#r $ se ca#cu#an #as series de ;ac#aurin de #as 1uncines eHBnencia# $ de #

#as 1uncines eHBnencia# $ de #as 1uncines 6rignm46ricas.as 1uncines 6rignm46ricas.

Es imBr6an6e des6acar que 6am"i4n se es6udian #as 1uncines de arias Es imBr6an6e des6acar que 6am"i4n se es6udian #as 1uncines de arias aria"#es 6an6 cm sus deriadas que sn #as deriadas Barcia#es. Es mu$ aria"#es 6an6 cm sus deriadas que sn #as deriadas Barcia#es. Es mu$ imBr6an6e es6udiar e# 6erema de #a 1uncin inersa $ e# 6erema de #a imBr6an6e es6udiar e# 6erema de #a 1uncin inersa $ e# 6erema de #a 1uncin imB#íci6a 6an6 cm #as 1uncines de ;rse.

1uncin imB#íci6a 6an6 cm #as 1uncines de ;rse. In6egracin=

In6egracin=

La in6egracin denida que se Buede denir imBrecisamen6e cm e# rea La in6egracin denida que se Buede denir imBrecisamen6e cm e# rea de

de"a"a, , de de #a #a grgrca ca de de ununa a 1u1uncnciin n a a nana6u6urara#m#menen6e 6e dedesBsBu4u4s s de de #a#a deriacin de #a que #a in6egracin indenida es #a Beracin inersa. Se deriacin de #a que #a in6egracin indenida es #a Beracin inersa. Se cmienza cn #a in6egra# de Riemann que cnsis6e en diidir e# in6era# en cmienza cn #a in6egra# de Riemann que cnsis6e en diidir e# in6era# en su"in6era#s &cn una Bar6icin' eH6ender #s su"in6era#s ?acia arri"a su"in6era#s &cn una Bar6icin' eH6ender #s su"in6era#s ?acia arri"a ?as6a que ##egue  a# mínim de #a 1uncin en e# su"in6era# &en cua# cas ?as6a que ##egue  a# mínim de #a 1uncin en e# su"in6era# &en cua# cas se #e ##ama #a suma in1erir'  a# mHim en e# su"in6era# &en cua# cas se se #e ##ama #a suma in1erir'  a# mHim en e# su"in6era# &en cua# cas se #e ##ama #a suma suBerir'. Tam"i4n eHis6e 6r 6iB de in6egra# que Buede #e ##ama #a suma suBerir'. Tam"i4n eHis6e 6r 6iB de in6egra# que Buede in6egrar ms 1uncines ##amada #a in6egra# de Le"esgue que usa #a medida in6egrar ms 1uncines ##amada #a in6egra# de Le"esgue que usa #a medida $ e# cnceB6 de

$ e# cnceB6 de en casi 6das Bar6es. s6e se mues6ra deen casi 6das Bar6es. s6e se mues6ra desBu4s.sBu4s.

Cn #a 6ería de in6egracin se Bueden dems6rar aris 6eremas en e# Cn #a 6ería de in6egracin se Bueden dems6rar aris 6eremas en e# cas de #a in6egracin de Riemann  de Le"esgue cm e# 6erema de cas de #a in6egracin de Riemann  de Le"esgue cm e# 6erema de

(* (*

FFu"u"inini i BerBer  de de un un mmd d mms s imimBBr6r6anan6e 6e e# e# 6e6errema ema 1u1undndamamenen6a6a# # dede## c#cu#.

c#cu#.

13!CONTROL EN LA/O CERRADO 13!CONTROL EN LA/O CERRADO

Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o #erra"o Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o #erra"o

E#

E# cncn6r6r# # rere6r6ra#ia#imenmen6ad6ad    a a #az#az  cercerradrad  6ie6iene ne #a #a carcarac6ac6eríerís6is6ica ca de de queque medims cier6a can6idad de #a sa#ida $ #ueg #a cmBarams cn un a#r medims cier6a can6idad de #a sa#ida $ #ueg #a cmBarams cn un a#r de

deseseadad  $ $ e# e# ererrrr r reresusu#6#6anan6e 6e # # u6u6i#i#izizamams s BaBara ra ccrrrregegir ir #a #a sasa#i#ida da dede## sis6ema.

sis6ema.

Sis6ema de #az cerrad Sis6ema de #az cerrad E,emB#= Cn6r# i#uminacin de ca##es

E,emB#= Cn6r# i#uminacin de ca##es

E# sis6ema de cn6r# a 6ra4s de un 6ransduc6r de rea#imen6acin cnce E# sis6ema de cn6r# a 6ra4s de un 6ransduc6r de rea#imen6acin cnce en cada ins6an6e e# a#r de #a se3a# de sa#ida. De es6a manera Buede en cada ins6an6e e# a#r de #a se3a# de sa#ida. De es6a manera Buede in6erenir si eHis6e una desiacin en #a misma.

in6erenir si eHis6e una desiacin en #a misma.

14! SISTEMAS LINEALES 14! SISTEMAS LINEALES

5n sis6ema es #inea# si #a sa#ida sigue e#men6e #s cam"is Brducids en #a 5n sis6ema es #inea# si #a sa#ida sigue e#men6e #s cam"is Brducids en #a en6rada. En #a ma$ría de #s sis6emas de cn6r# #inea#es #a sa#ida de"e en6rada. En #a ma$ría de #s sis6emas de cn6r# #inea#es #a sa#ida de"e seguir #a misma 1rma de #a en6rada Ber en #s cass que #a sa#ida n seguir #a misma 1rma de #a en6rada Ber en #s cass que #a sa#ida n erique #a misma 1rma de #a en6rada Bara ser cnsiderad un sis6ema erique #a misma 1rma de #a en6rada Bara ser cnsiderad un sis6ema #inea# #a sa#ida de"er reJe,ar #s misms cam"is generads en #a en6rada. #inea# #a sa#ida de"er reJe,ar #s misms cam"is generads en #a en6rada.

() ()

:r e,emB# un in6egradr Bur es un Beradr #inea# an6e una en6rada :r e,emB# un in6egradr Bur es un Beradr #inea# an6e una en6rada esca#n Brduce a #a sa#ida una se3a# ramBa #a sa#ida n es de #a misma esca#n Brduce a #a sa#ida una se3a# ramBa #a sa#ida n es de #a misma 1rma de #a en6rada Ber si #a en6rada esca#n aría en una cns6an6e #a 1rma de #a en6rada Ber si #a en6rada esca#n aría en una cns6an6e #a ramBa de sa#ida se er mdicada en #a misma BrBrcin.

ramBa de sa#ida se er mdicada en #a misma BrBrcin. De #a #inea#idad de#

De #a #inea#idad de# sis6ema se desBrenden ds BrBiedades imBr6an6es=sis6ema se desBrenden ds BrBiedades imBr6an6es= (.>Si #as en6radas sn mu#6iB#icadas Br una cns6an6e #as sa#idas 6am"i4n (.>Si #as en6radas sn mu#6iB#icadas Br una cns6an6e #as sa#idas 6am"i4n sn mu#6iB#icadas Br #a misma

sn mu#6iB#icadas Br #a misma cns6an6e.cns6an6e.

*.> Ls sis6emas #inea#es se carac6erizan Br e# ?ec? de que se Buede *.> Ls sis6emas #inea#es se carac6erizan Br e# ?ec? de que se Buede aB#icar e# BrinciBi de suBerBsicin.

aB#icar e# BrinciBi de suBerBsicin. :rinciBi de suBerBsicin=

:rinciBi de suBerBsicin=

Si un sis6ema cm e# ms6rad en #a Fig Bsee ms de una aria"#e de Si un sis6ema cm e# ms6rad en #a Fig Bsee ms de una aria"#e de en6rada se Buede "6ener #a sa#ida 66a# de# sis6ema cm #a suma de #as en6rada se Buede "6ener #a sa#ida 66a# de# sis6ema cm #a suma de #as sa

sa#id#idas as BaBarcrciaia#es#es  quque e reresusu#6#6an an de de aBaB#i#icacar r cacada da enen6r6radada a BBr r seseBaBararadd ?aciend #as dems en6radas cer.

?aciend #as dems en6radas cer.

La ma$ría de #s sis6emas u6i#izads en #a indus6ria de Brcess Bresen6an La ma$ría de #s sis6emas u6i#izads en #a indus6ria de Brcess Bresen6an car

carac6ac6eríserís6ic6icas as cmcmB#e,B#e,as as &Ba&Barmrme6re6rs s ariaria"#a"#es es araria"#ia"#es es acacB#aB#adasdas e1ec6s n #inea#es' Br # que genera#men6e #s mde#s sn n #inea#es sin e1ec6s n #inea#es' Br # que genera#men6e #s mde#s sn n #inea#es sin s#ucin ana#í6ica # que res6ringe un an#isis genera#

s#ucin ana#í6ica # que res6ringe un an#isis genera#..

Cuand se requiere rea#izar e# an#isis dinmic de sis6emas n>#inea#es Cuand se requiere rea#izar e# an#isis dinmic de sis6emas n>#inea#es Buede 6marse #as siguien6es a#6erna6ias=

Buede 6marse #as siguien6es a#6erna6ias= (.>

(.>TTrans1rmar e# rans1rmar e# sis6ema n>#inea# sis6ema n>#inea# en un en un #inea# ?aciend #inea# ?aciend unauna 6rans1rmacin aBrBiada de sus aria"#es.

6rans1rmacin aBrBiada de sus aria"#es.

*.>Simu#ar e# sis6ema n>#inea# usand un cmBu6adr $ ca#cu#ar su s#ucin *.>Simu#ar e# sis6ema n>#inea# usand un cmBu6adr $ ca#cu#ar su s#ucin num4ricamen6e.

num4ricamen6e.

). Desarr##ar un sis6ema #inea# que aBrHime e# cmBr6amien6

). Desarr##ar un sis6ema #inea# que aBrHime e# cmBr6amien6 dinmicdinmic de# sis6ema n>#inea# a#rededr de# Bun6 esBecíc de Beracin. Es6 se de# sis6ema n>#inea# a#rededr de# Bun6 esBecíc de Beracin. Es6 se cnce cm #a Linea#izacin de# sis6ema.

cnce cm #a Linea#izacin de# sis6ema.

Linea#izacin es e# Brces ma6em6ic que Bermi6e aBrHimar un sis6ema Linea#izacin es e# Brces ma6em6ic que Bermi6e aBrHimar un sis6ema n #inea# a un sis6ema #inea#. Es6a 64cnica es amB#iamen6e usada en e# n #inea# a un sis6ema #inea#. Es6a 64cnica es amB#iamen6e usada en e# es6udi de Brcess dinmics $ 4# en e# dise3 de sis6emas de cn6r# Br es6udi de Brcess dinmics $ 4# en e# dise3 de sis6emas de cn6r# Br #as siguien6es raznes=

#as siguien6es raznes=

(2 (2

(. Se cuen6a cn m46ds ana#í6ics genera#es Bara #a s#ucin de sis6emas (. Se cuen6a cn m46ds ana#í6ics genera#es Bara #a s#ucin de sis6emas #inea#es. :r # 6an6 se 6endr una s#ucin genera# de# cmBr6amien6 de# #inea#es. :r # 6an6 se 6endr una s#ucin genera# de# cmBr6amien6 de# Brces indeBendien6emen6e de #s a#res de #s Barme6rs $ de #as Brces indeBendien6emen6e de #s a#res de #s Barme6rs $ de #as aria"#es de en6rada. Es6 n es Bsi"#e en sis6emas n>#inea#es Bues #a aria"#es de en6rada. Es6 n es Bsi"#e en sis6emas n>#inea#es Bues #a s#ucin Br cmBu6adr da una s#ucin de# cmBr6amien6 de# sis6ema s#ucin Br cmBu6adr da una s#ucin de# cmBr6amien6 de# sis6ema a#ida s# Bara a#res esBecícs de #s Barme6rs $ de #as aria"#es de a#ida s# Bara a#res esBecícs de #s Barme6rs $ de #as aria"#es de en6rada.

en6rada.

*. Tds #s desarr##s signica6is que cn##ean a# dise3 de un sis6ema *. Tds #s desarr##s signica6is que cn##ean a# dise3 de un sis6ema de cn6r# ?a sid #imi6ad a

de cn6r# ?a sid #imi6ad a Brcess #inea#es.Brcess #inea#es.

). -a$ que 6ener Bresen6e #as aria"#es de desiacin ). -a$ que 6ener Bresen6e #as aria"#es de desiacin Se dene #a aria"#e de desiacin

Se dene #a aria"#e de desiacin 55&&tt' cm #a di1erencia en6re e# a#r de' cm #a di1erencia en6re e# a#r de

##a a aarriiaa""##e e   ssee33aa## 67t67t' ' $ $ ssu u aa##r r een n ee# # BBuunn66  dde e BBeerraacciinn..

;a6em6icamen6e se dene= ;a6em6icamen6e se dene= &6'H&6'>H &6'H&6'>H Dnde= Dnde=

&6'= aria"#e de desiacin. &6'= aria"#e de desiacin.

H&6'= aria"#e a"s#u6a crresBndien6e. H&6'= aria"#e a"s#u6a crresBndien6e.

H= a#r de H en e# Bun6 de Beracin &a#r "ase'. H= a#r de H en e# Bun6 de Beracin &a#r "ase'.

E# a#r "ase es e# a#r de #a aria"#e en es6ad es6a"#e $ genera#men6e E# a#r "ase es e# a#r de #a aria"#e en es6ad es6a"#e $ genera#men6e descri"e e# a#r inicia# de# sis6ema dinmic $ Br # 6an6 es cns6an6e. descri"e e# a#r inicia# de# sis6ema dinmic $ Br # 6an6 es cns6an6e.

141!SISTEMAS LINEALES IN'ARIA(LES EN EL TIEMPO 141!SISTEMAS LINEALES IN'ARIA(LES EN EL TIEMPO

Sis6ema Sis6ema LLTI=TI=

En

En Brcesamien6 de se3a#esBrcesamien6 de se3a#es u unn sistema LTIsistema LTI  &Linear Time>Inarian6'   &Linear Time>Inarian6' 

sis6ema #inea# e inarian6e en e# 6iemB es aque# que cm su BrBi sis6ema #inea# e inarian6e en e# 6iemB es aque# que cm su BrBi nm"re indica cumB#e #as BrBiedades de #inea#idad e inarianza en e# nm"re indica cumB#e #as BrBiedades de #inea#idad e inarianza en e# 6iemB. 6iemB. PROPIEDADES: PROPIEDADES: Linea#idad Linea#idad 5n

5n sisis6s6ema ema es es #i#ineanea# # &L&L' ' si si sasa6i6is1s1acace e e# e# BrBrincinciBiiBi  de de susuBeBerBrBssiciciin n ququee eng#"a #as BrBiedades de BrBrcina#idad  esca#ad $ adi6iidad. ue eng#"a #as BrBiedades de BrBrcina#idad  esca#ad $ adi6iidad. ue se

sea a BrBrBBrrcicinna# a# sisigngniica ca quque e cucuanand d #a #a enen6r6radada a de de un un sisis6s6emema a eses mu#6iB#icada Br un 1ac6r #a sa#ida de# sis6ema 6am"i4n ser mu#6iB#icada mu#6iB#icada Br un 1ac6r #a sa#ida de# sis6ema 6am"i4n ser mu#6iB#icada Br e# mism 1ac6r. :r 6r #ad que un sis6ema sea adi6i signica que si Br e# mism 1ac6r. :r 6r #ad que un sis6ema sea adi6i signica que si #a en6rada es e# resu#6ad de #a suma de ds en6radas #a sa#ida ser #a #a en6rada es e# resu#6ad de #a suma de ds en6radas #a sa#ida ser #a resu#6an6e de #a suma de #as sa#idas que Brducirían cada una de esas resu#6an6e de #a suma de #as sa#idas que Brducirían cada una de esas en6radas indiidua#men6e.

en6radas indiidua#men6e.

(< (<

:rBiedad de BrBrcina#idad :rBiedad de BrBrcina#idad Si Si :rBiedad de adi6iidad :rBiedad de adi6iidad

Pri$#ipio "e %i$ea%i"a" o "e

Pri$#ipio "e %i$ea%i"a" o "e superposi#i8$ propor#io$a%superposi#i8$ propor#io$a%

;a6em6icamen6e si

;a6em6icamen6e si y  y ((&&t t '' y  y **&6' ...&6' ... y  y nn&&t t ' sn #as ' sn #as sa#idasa#idas de# s de# sis6sis6ema Bara #asema Bara #as

en

en6r6radadasas  x  x ((&&t t ''  x  x **&&t t '' .. ....  x  x nn&&t t ' ' $$ aa(( aa** .... .. aann  s  snn cnscns6an6es 6an6es cmB#cmB#e,ase,as  e#e#

sis6ema es #inea# si= sis6ema es #inea# si=

En un sis6ema #inea# si #a en6rada es nu#a #a sa#ida 6am"i4n ?a de ser#. 5n En un sis6ema #inea# si #a en6rada es nu#a #a sa#ida 6am"i4n ?a de ser#. 5n si

sis6s6emema a inincrcrememenen6a6a#m#men6en6e e #i#inenea# a# es es aqaqueue# # quque e sisin n eeriricacar r #a #a 0#0#6i6imama cndicin resBnde #inea#men6e a #s cam"is en

cndicin resBnde #inea#men6e a #s cam"is en #a en6rada.#a en6rada. :r e,emB#

:r e,emB# y  y &&t t '  '  ** x  x &&t t ' U * n es #inea# Bues6 que' U * n es #inea# Bues6 que y  y &&t t ' V + Bara' V + Bara x  x &&t t '  +'  +

Ber sí es incremen6a#men6e #inea#. Ber sí es incremen6a#men6e #inea#.

I$9aria,i%i"a" I$9aria,i%i"a"

5n

5n sisis6s6emema a es es ininaaririanan6e 6e ccn n e# e# 6i6iememB B si si su su ccmBmBrr6a6amimienen6 6 $ $ sususs carac6erís6icas sn ,as. Es6 signica que #s Barme6rs de# sis6ema n carac6erís6icas sn ,as. Es6 signica que #s Barme6rs de# sis6ema n an cam"iand a 6ra4s de# 6iemB $ que Br # 6an6 una misma en6rada an cam"iand a 6ra4s de# 6iemB $ que Br # 6an6 una misma en6rada n

ns s dadar r e# e# mimismsm  rresesu#u#6a6ad d en en cucua#a#ququieier r mmmemen6n6  &$&$a a sesea a a?a?rra a  desBu4s'.

desBu4s'.

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;a6e6emm6i6icacamemenn6e6e  un un ssisis6e6ema ma es es ininaaririanan6e 6e ccn n e# e# 6i6iememB B si si unun desB#azamien6 6emBra# en #a en6rada H&6>6

desB#azamien6 6emBra# en #a en6rada H&6>6++' ' casicasina na un un desB#adesB#azamienzamien66

6emBra# en #a sa#ida $&6>6 6emBra# en #a sa#ida $&6>6++'.'.

LLTITI

LLa a ccmm""iinnaacciin n mmeeddiiaann66e e ee## BrBrininciciBi Bi de de susuBeBerBrBssiciciinn de am"de am"asas BrBiedades cnere a

BrBiedades cnere a #s sis6emas #s sis6emas #a carac6erís6ica #a carac6erís6ica LLTI.TI.

:rinciBi de SuBerBsicin cn LTI :rinciBi de SuBerBsicin cn LTI

5na carac6erís6ica mu$ imBr6an6e $ 06i# de es6e 6iB de sis6emas reside en 5na carac6erís6ica mu$ imBr6an6e $ 06i# de es6e 6iB de sis6emas reside en que se Buede ca#cu#ar #a sa#ida de# mism an6e cua#quier se3a# median6e #a que se Buede ca#cu#ar #a sa#ida de# mism an6e cua#quier se3a# median6e #a cn#ucin

cn#ucin es decir descmBniend es decir descmBniend #a en6rada en u#a en6rada en un 6ren de n 6ren de imBu#ssimBu#ss que sern mu#6iB#icads Br #

que sern mu#6iB#icads Br #a resBues6a a# imBu#s de# sis6ema $ a resBues6a a# imBu#s de# sis6ema $ sumads.sumads.

Sistemas LTI e$ SeriePara%e%o: Sistemas LTI e$ SeriePara%e%o:

•

• SERIE:SERIE: Si ds  ms  Si ds  ms sis6emas es6n en serie un cn sis6emas es6n en serie un cn 6r e# rden6r e# rden

Buede ser in6ercam"iad sin que se ea a1ec6ada #a sa#ida de# Buede ser in6ercam"iad sin que se ea a1ec6ada #a sa#ida de# sis6ema. Ls sis6emas en serie 6am"i4n sn ##amads cm

sis6ema. Ls sis6emas en serie 6am"i4n sn ##amads cm sis6emassis6emas en cascada. 5n sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm en cascada. 5n sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm #a cn#ucin de #s sis6emas indiidua#es.

#a cn#ucin de #s sis6emas indiidua#es.

Esquema senci##

Esquema senci## Sis6ema LSis6ema LTI SerieTI Serie

•

• PARALELO:PARALELO: Si ds  Si ds  ms sis6emas L ms sis6emas LTI es6n en TI es6n en Bara#e# cn Bara#e# cn 6r un6r un

sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm #a suma de sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm #a suma de es6s sis6emas indiidua#es.

es6s sis6emas indiidua#es.

(8 (8

•

• Esquema senci## Sis6ema LTI :ara#e#Esquema senci## Sis6ema LTI :ara#e#

14.! SISTEMAS LINEALES

14.! SISTEMAS LINEALES ''ARIA(LES EN EL ARIA(LES EN EL TIEMPOTIEMPO

-a

-a$ $ quque e didi1er1erenenciciar ar enen6r6re e aariaria"#e"#es s $ $ BaBarmrme6re6rs s de de un un sisis6s6emaema. . LaLass a

ariaria"#"#eses  ccm m su su nnm"m"re re # # inindidica ca ssn n mamagngni6i6ududes es cacam"m"iaian6n6es es en en e#e# 6i

6iememBB  #as #as cucua#ea#es s de6de6erermiminanan n e# e# eses6a6ad d de de un un ccmBmBnennen6e6e  "#"#qque ue  si

sis6s6emema. a. &:&:r r E,E,ememB#B#= = 6e6ensnsiin n inin6e6ensnsididad ad de de ccrrririenen6e6e  ee##cicidadadd 6e

6emBmBerera6a6urura a niniee# # e6e6c'c'. . LLs s BaBarrmeme6r6rs s ssn n mamagngni6i6ududes es quque e BuBuededenen Bermanecer cns6an6es  ariar seg0n sea e# sis6ema. Ls misms reJe,an Bermanecer cns6an6es  ariar seg0n sea e# sis6ema. Ls misms reJe,an #as

#as BrBBrBiedadeiedades s   carac6carac6erís6icerís6icas as in?erin?eren6es de en6es de #s #s cmBcmBnen6es &E,emB#nen6es &E,emB#== masa induc6ancia caBaci6ancia resis6encia cnduc6iidad cns6an6e de masa induc6ancia caBaci6ancia resis6encia cnduc6iidad cns6an6e de e#as6icidad cecien6e #um46ric de Ju, e

e#as6icidad cecien6e #um46ric de Ju, e6c.'.6c.'. Cu

Cuanand d ##s s BaBarmrme6e6rrs s dede# # sisis6s6ema ema de de ccn6n6rr# # ssn n eses6a6acicinnararis is ccnn rresesBeBec6c6  aa# # 6i6iememBB  duduraran6n6e e #a #a BBereracaciin n dede# # ssisis66emema a es es ddececir ir ssnn ma

magngni6i6ududes es quque e BeBermrmananececen en ccnsns6a6an6n6es es en en e# e# 6i6iememB B e# e# sisis6s6ema ema sese denmina Sis6ema Inarian6e cn e# 6iemB.

denmina Sis6ema Inarian6e cn e# 6iemB. Cu

Cuanand d ##s s BaBarrme6me6rrs s araríaían n ccn n e# e# 6i6iemBemB  e# e# SiSis6s6emema a se se dedennminminaa %arian6e en e# 6iemB. En #a Brc6ica #a ma$ría de #s sis6emas 1ísics %arian6e en e# 6iemB. En #a Brc6ica #a ma$ría de #s sis6emas 1ísics cn6ienen e#emen6s que derian  arían cn e# 6iemB. :r e,emB# #a cn6ienen e#emen6s que derian  arían cn e# 6iemB. :r e,emB# #a resis6encia de #a ""ina de un m6r e#4c6ric ariar cuand e# m6r es resis6encia de #a ""ina de un m6r e#4c6ric ariar cuand e# m6r es eHci

eHci6ad Br 6ad Br Brimera ez Brimera ez $ $ su 6emBera6ursu 6emBera6ura a es6 aumen6andes6 aumen6and. O6r e,emB#. O6r e,emB# de un sis6ema arian6e es e#

de un sis6ema arian6e es e# sis6ema de cn6r# de un misi# guiad en esis6ema de cn6r# de un misi# guiad en e# cua## cua# #a masa de# misi# decrece a medida que e# cm"us6i"#e a "rd se cnsume #a masa de# misi# decrece a medida que e# cm"us6i"#e a "rd se cnsume duran6e e# ue#. 5n sis6ema arian6e en e# 6iemB sin n #inea#idades es duran6e e# ue#. 5n sis6ema arian6e en e# 6iemB sin n #inea#idades es a0n un Sis6ema Linea#. E# an#isis $ dise3 de es6a c#ase de sis6emas sn a0n un Sis6ema Linea#. E# an#isis $ dise3 de es6a c#ase de sis6emas sn muc? ms cmB#e,s que #s de un sis6ema #inea# inarian6e cn e# 6iemB. muc? ms cmB#e,s que #s de un sis6ema #inea# inarian6e cn e# 6iemB. Den6r de #s sis6emas *) inarian6es cn e# 6iemB 6enems #s sis6emas Den6r de #s sis6emas *) inarian6es cn e# 6iemB 6enems #s sis6emas de cn6r# de 6iemB cn6inu $ #s de 6iemB discre6 a cn6inuacin se de cn6r# de 6iemB cn6inu $ #s de 6iemB discre6 a cn6inuacin se descri"irn es6e 6iB de sis6emas.

descri"irn es6e 6iB de sis6emas.

1;! SISTEMAS NO LINEALES 1;! SISTEMAS NO LINEALES

Ls sis6emas n

Ls sis6emas n #inea##inea#es es reBrreBresen6aesen6an n sis6sis6emas cu$ emas cu$ cmBrcmBr6amien66amien6  n esn es eHBresa"#e cm #a suma de #s cmBr6amien6s de sus descriB6res. ;s eHBresa"#e cm #a suma de #s cmBr6amien6s de sus descriB6res. ;s 1rma#men6e un sis6ema 1ísic ma6em6ic  de 6r 6iB es n #inea# 1rma#men6e un sis6ema 1ísic ma6em6ic  de 6r 6iB es n #inea# cu

cuanand #asd #as ecuacines de mimien6ecuacines de mimien6 e#ucin  cmBr6amien6 que e#ucin  cmBr6amien6 que rreegguu##aan n ssu u ccmmBBrr66aammiieenn66  ssn n nn  ##iinneeaa##eess. . EEn n BBaarr66iiccuu##aarr  ee## ( (

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cmBmBrr6a6amimienen6 6 de de sisis6s6emaemas s n n #i#ineanea#es #es n n eses6 6 susu,e6,e6  a#a# BrinBrinciBciBi i dede suBerBsicin

suBerBsicin cm # es un cm # es un sis6ema #inea#sis6ema #inea#.. La

La #in#inea#iea#idad dad de de un un sissis6em6ema a BerBermi6mi6e e a a #s #s inines6es6igaigadrdres es ?ac?acer er ciecier6ar6ass suBsicines ma6em6icas $ aBrHimacines Bermi6iend un c#cu# ms suBsicines ma6em6icas $ aBrHimacines Bermi6iend un c#cu# ms senci## de #s resu#6ads. W

senci## de #s resu#6ads. Wa que #s sis6emas n a que #s sis6emas n #inea#es n sn igua#es #inea#es n sn igua#es a #aa #a suma de sus Bar6es usua#men6e sn di1íci#es & imBsi"#es' de mde#ar $ suma de sus Bar6es usua#men6e sn di1íci#es & imBsi"#es' de mde#ar $ sus cmBr6amien6s cn resBec6 a una aria"#e dada &Br e,emB# e# sus cmBr6amien6s cn resBec6 a una aria"#e dada &Br e,emB# e# 6iemB' es eH6remadamen6e di1íci#

6iemB' es eH6remadamen6e di1íci# de Bredecirde Bredecir.. A#g

A#gununs s sissis6ema6emas s n n #in#inea#ea#es es 6ie6ienen nen s#s#uciucinenes s eHaeHac6ac6as s   in6in6egregra"#a"#eses mi

mien6en6ras ras quque e 66rrs s 6i6ienenen en ccmBmBr6r6amamienien6 6 caca6i6icc  BBr r # # 6a6an6n6  n n sese Bueden reducir a una 1rma simB#e ni se Bueden res#er. 5n e,emB# de Bueden reducir a una 1rma simB#e ni se Bueden res#er. 5n e,emB# de cmBr6amien6 ca6ic sn #as

cmBr6amien6 ca6ic sn #as #as gigan6es#as gigan6es. Aunque a#guns sis6emas n. Aunque a#guns sis6emas n #inea#es $ ecuacines de in6er4s genera# ?an sid eH6ensamen6e es6udiads #inea#es $ ecuacines de in6er4s genera# ?an sid eH6ensamen6e es6udiads #a as6a ma$ría sn

#a as6a ma$ría sn B"remen6e cmBrendids.B"remen6e cmBrendids.

Sistemas $o %i$ea%es: Sistemas $o %i$ea%es:

Las ecuacines n #inea#es sn de in6er4s en

Las ecuacines n #inea#es sn de in6er4s en 1ísica1ísica $$ ma6em6icasma6em6icas de"id a de"id a que #a ma$ría de #s Br"#emas 1ísics sn imB#íci6amen6e n #inea#es en su que #a ma$ría de #s Br"#emas 1ísics sn imB#íci6amen6e n #inea#es en su na6ura#eza. E,emB#s 1ísics de sis6emas #inea#es sn re#a6iamen6e rars. na6ura#eza. E,emB#s 1ísics de sis6emas #inea#es sn re#a6iamen6e rars. La

Las s ececuauacicinnes es n n #i#inenea#a#es es ssn n didi1í1ícici#e#es s de de rreses##eer r $ $ dadan n rrigigen en aa in6eresan6es 1enmens cm #a

in6eresan6es 1enmens cm #a 6ería de# cas6ería de# cas. 5na . 5na ecuacecuacin #inea# Buedein #inea# Buede ser descri6a usand un Beradr #inea# L. 5na ecuacin #inea# en a#g0n a#r ser descri6a usand un Beradr #inea# L. 5na ecuacin #inea# en a#g0n a#r descncid

descncid de de 6iene 6iene #a #a 1rma1rma

5na ecuacin n #inea# es una ecuacin de #a 1rma= 5na ecuacin n #inea# es una ecuacin de #a 1rma=

:a

:ara ara a#g0#g0n an a#r #r desdescncncidcid d dee ..

:ara Bder res#er cua#quier ecuacin se necesi6a decidir en qu4 esBaci :ara Bder res#er cua#quier ecuacin se necesi6a decidir en qu4 esBaci ma6

ma6emem6ic6ic se  se encencuenuen6ra #6ra #a sa s#uc#ucinin . :. :drídría sea ser qur que e es ues un n0n n0mermer r rea#ea# un ec6r  6a# 

un ec6r  6a# ez una 1uncin cn a#gunas BrBiedades.ez una 1uncin cn a#gunas BrBiedades.

Las s#ucines de ecuacines #inea#es Bueden ser genera#men6e descri6as Las s#ucines de ecuacines #inea#es Bueden ser genera#men6e descri6as cm una suBerBsicin de 6ras s#ucines de #a misma ecuacin. Es6 cm una suBerBsicin de 6ras s#ucines de #a misma ecuacin. Es6 ?ace que #as ecuacines #inea#es

?ace que #as ecuacines #inea#es sean 1ci#es de res#er.sean 1ci#es de res#er.

Las ecuacines n #inea#es sn muc? ms cmB#e,as $ muc? ms di1íci#es Las ecuacines n #inea#es sn muc? ms cmB#e,as $ muc? ms di1íci#es de

de enen6e6endnder er BBr r #a #a 1a1a#6#6a a de de ss#uc#uciines nes sisimBmB#es #es susuBerBerBuBueses6as6as. . ::ara ara #a#ass ecuacines n #inea#es #as s#ucines genera#men6e n 1rman un esBaci ecuacines n #inea#es #as s#ucines genera#men6e n 1rman un esBaci ec6ria# $ en genera# n Bueden ser suBerBues6as Bara Brducir nueas ec6ria# $ en genera# n Bueden ser suBerBues6as Bara Brducir nueas s#ucines. Es6 ?ace e# res#er #as ecuacines muc? ms di1íci# que en s#ucines. Es6 ?ace e# res#er #as ecuacines muc? ms di1íci# que en sis6emas #inea#es.

sis6emas #inea#es.

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