RICARDO BARTOLOMÉ RAMÍREZ
***
GEOMETRIA
DESCRIPTIVA
DIÉDRICO
DIRECTO
APLICACIONES
EN EL
DIBUJO
TÉCNICO
Prólogo
El Sistema Diédrico como Sistema de Representación Gráfica tiene una larga historia, siendo una disciplina de utilidad práctica en la representación de objetos tridimensionales mediante sus proyecciones ortogonales sobre planos; si recordamos su evolución se pueden establecer tres etapas perfectamente diferenciadas: la primera hasta mediados del siglo XVIII, la segunda no comienza hasta 1769, cuando el geómetra francés A. F. Frezier (1682-1773) dio a la Geometría Descriptiva unos fundamentos teóricos, pero principalmente fue el matemático Gaspar Monge (1746-1818) quien le imprimió carácter científico a esta disciplina, secreto militar hasta 1795, en 1799 se publicó la primera edición de su obra.
La tercera etapa, la actual, comienza cuando Adam V. Millar, profesor emérito de la Universidad de Wisconsin, ideó el llamado Método Directo. En 1913 Millar y Maclin escribieron el primer libro que explicaba dicho método, aunque sin incluir proyecciones auxiliares, que también añadieron en 1919 en otra publicación en la que colaboró Marguardf.
Este Método Directo considera como planos de proyección los paralelos a las caras de un triedro trirrectángulo referencial, que elimina la línea de tierra y permite situar planta y perfil a cualquier distancia del alzado. Por otra parte los planos no se definen por sus trazas, sino por cualquiera de los elementos geométricos que los determinan. Las coordenadas que antes eran absolutas ahora pasan a ser relativas, dado que no es fundamental la posición de los planos de referencia.
Los planos de proyección o referencia citados, se eligen de tal forma que los elementos a representar se encuentren siempre en el primero o tercer diedro, lo que da lugar respectivamente a los Sistemas Europeo o Americano de Representación Normalizada de Vistas.
En este trabajo se comienza realizando el estudio de la mecánica operativa del sistema, para pasar a continuación a la determinación de verdaderas magnitudes y geometrías de formas, ya sean lineales, angulares o superficiales. Seguidamente se estudia el posicionamiento relativo de elementos, para terminar con una serie de aplicaciones prácticas resueltas y para resolver.
Son fundamentales estos conocimientos para el profesional de la ingeniería a la hora de tener que resolver aplicaciones derivadas de la interpretación de planos, del diseño de elementos mecánicos o estructurales y de su fabricación.
Este método, aplicado al Dibujo Técnico elimina las aparentes diferencias existentes entre éste y la Geometría Descriptiva, haciendo posible que desde el primer momento se puedan resolver gráficamente aplicaciones técnicas.
Índice
Página
Sistema Diédrico Directo. Aplicaciones en el Dibujo Técnico... 4
Representación del punto ... 5
Representación de la recta... 7
Verdadera magnitud de un segmento y ángulos que forma con los planos de proyección ... 8
Posiciones características de una recta ... 9
Posiciones relativas de dos rectas ... 12
Proyecciones auxiliares de la recta ... 13
Rectas en posición favorable ... 15
Representación de formas planas ... 19
Proyecciones auxiliares de una forma plana ... 22
Formas planas en posición favorable ... 23
Ángulos con los planos de proyección ... 27
Verdadera magnitud de formas planas ... 28
Relaciones de afinidad entre las proyecciones de una forma plana ... 30
Relación entre el alzado y la planta ... 31
Relación entre el alzado y el perfil ... 32
Proyecciones de una circunferencia situada en posición oblicua ... 33
Proyecciones auxiliares simples ... 34
Proyecciones auxiliares dobles ... 32
Abatimiento de formas planas: Afinidad ... 37
Elevación de formas planas: Afinidad ... 38
Giros: Verdaderas magnitudes ... 39
Perpendicularidad ... 40 Ángulos ... 47 Problemas inversos ... 50 Intersecciones ... 55 Ejercicios ...61-175 __________________________________________________________________
SISTEMA DIÉDRICO DIRECTO. APLICACIOES E EL DIBUJO TÉCICO.
Esta parte del Sistema abre una didáctica que relaciona la Geometría Descriptiva con el Dibujo Técnico de la Representación, permitiendo ver con claridad el campo de aplicación de los conocimientos básicos e instrumentales.
En el Sistema Diédrico Directo (S.D.D.) se consideran como planos de proyección los paralelos a las caras de un triedro trirrectángulo. Así se elimina la línea de tierra y permite situar las proyecciones (alzado, planta y perfil) a cualquier distancia, como sucede cuando se dan las “vistas” de un modelo.
En este sistema no existen trazas, las rectas quedan determinadas por dos de sus puntos y los planos quedarán definidos por elementos geométricos suficientes. Los planos de proyección, también llamados de referencia, se eligen de forma que los elementos se encuentren en el primer diedro o en el tercero; dando lugar a los Sistemas Europeo o Americano respectivamente.
Será el primero de ellos el que servirá de referencia en este tratado. En la Fig. 1 se han obtenido las proyecciones principales de un modelo, no representado, sobre los planos de referencia principales. Pueden considerarse aún otros tres planos paralelos a los citados y en disposición de “encerrar” junto a los anteriores al modelo; pudiendo obtener otras tres proyecciones.
Fig. 2
REPRESETACIÓ DEL PUTO.
En la Fig.2 se han dispuesto en posición normalizada las posibles proyecciones del punto A. A'-A''-A''', son las proyecciones principales obtenidas sobre el primer sistema de planos considerado. (A')-(A'')-(A'''), obtenidas sobre el sistema paralelo al anterior.
El punto queda definido por dos de sus proyecciones y están relacionadas por su línea de referencia; vertical, entre alzado A'' y planta A', y horizontal, entre alzado y perfil A''', Fig.3.
Además de las proyecciones ortoédricas citadas y con objeto de modificar la posición del punto respecto a los planos coordenados utilizados originariamente, se pueden obtener proyecciones auxiliares sobre nuevos planos de proyección. A este respecto habrá que recordar que los planos coordenados han de ser perpendiculares, por lo que si se cambia un plano horizontal por otro, éste será perpendicular al vertical y si posteriormente se cambia el vertical, el nuevo vertical será perpendicular al horizontal del sistema anterior, todo esto se refleja en el siguiente esquema:
V ⊥⊥⊥⊥ V V1
⊥⊥⊥⊥
H H1 H1
Si en el sistema VH se introduce un nuevo plano horizontal el sistema resultante será VH1. En el nuevo sistema la proyección vertical no varía, cambia la
proyección horizontal, obteniéndose una planta auxiliar. Si en el sistema VH1 se
introduce un nuevo plano vertical, el sistema resultante será V1H1; en el nuevo
sistema la proyección horizontal no varía, cambia la proyección vertical, obteniéndose por tanto un alzado auxiliar.
Con estas consideraciones se sientan las bases para su aplicación en la determinación de verdaderas magnitudes y formas, cuando en lugar de considerar el punto aisladamente, forma parte de la definición de superficies y volúmenes.
REPRESETACIÓ DE LA RECTA.
La recta queda determinada por dos de sus puntos, y estos por dos de sus proyecciones, (Fig. 4). Entre los puntos A y B que definen a -r- se considerarán las coordenadas relativas, (Z, Y, X) cota, alejamiento y desviación relativas, respectivamente.
VERDADERA MAGITUD DE U SEGMETO Y ÁGULOS QUE FORMA CO LOS PLAOS DE PROYECCIÓ.
Fig. 5
Cuando la recta del segmento se encuentra en posición oblicua con respecto a los planos de referencia, en ninguna de sus proyecciones aparecerá el segmento en verdadera magnitud, y para su determinación deberemos resolver algunos de los triángulos rectángulos que se determinan entre el segmento, sus proyecciones y las coordenadas relativas. En la Fig. 5 se obtiene la verdadera magnitud del segmento AB, resolviendo los tres triángulos citados; en ellos quedan además determinados los ángulos α, β y γ que el segmento forma con los planos horizontal, vertical o de perfil respectivamente.
POSICIOES CARACTERÍSTICAS DE UA RECTA
Rectas paralelas a los planos de referencia, (Fig. 6a), (Fig. 6b) y (Fig.6c). 1. RECTA HORIZONTAL:
La proyección vertical es perpendicular a las líneas de referencia de los puntos que la determinan.
Fig. 6a
2. RECTA FRONTAL:
La proyección horizontal es perpendicular a las líneas de referencia de los puntos que la determinan.
3. RECTA DE PERFIL:
Fig. 6c
Rectas perpendiculares a los planos de referencia. (Fig.7a) y (Fig. 7b) 1. RECTA DE PUNTA:
La proyección vertical coincide en un punto.
Fig. 7a
2. RECTA VERTICAL:
La proyección horizontal coincide en un punto.
Recta paralela a los planos de referencia horizontal y vertical, y también perpendicular al plano de perfil. (Fig.8)
Las dos proyecciones tanto horizontal como vertical son perpendiculares a las líneas de referencia de los puntos que la determinan.
POSICIOES RELATIVAS DE DOS RECTAS 1. Rectas que se cortan.
Las proyecciones de las rectas se cortan en las respectivas proyecciones del punto común, (Fig.9).
Fig. 9
2, Rectas que se cruzan.
Las proyecciones de las rectas no se cortan en las respectivas proyecciones de un único punto, (Fig. 10).
Determinación del punto de intersección de dos rectas de perfil, (Fig. 11).
Fig. 11
PROYECCIOES AUXILIARES DE LA RECTA.
Se obtienen proyecciones auxiliares de una recta, introduciendo nuevos planos de proyección, se pretende con ello proporcionar a la recta una posición más favorable que la que tenía inicialmente. Para obtener dichas proyecciones, se tomarán en la recta dos puntos y sus nuevas proyecciones definirán las de la recta.
Las proyecciones auxiliares pueden ser:
1. ALZADOS AUXILIARES.
En la Fig. 12 se ha realizado un cambio de plano de proyección vertical, manteniéndose por tanto el plano de la planta y en consecuencia, la cota relativa
(Z) entre los puntos A y B que definen a -r-. Se obtiene por tanto el alzado auxiliar r1''. V1 H Fig. 12 2. PLANTAS AUXILIARES.
En la Fig. 13 se ha realizado un cambio de plano de proyección horizontal, manteniéndose por tanto el plano del alzado y en consecuencia, el alejamiento relativo (Y) entre los puntos A y B que definen a -r-. Se obtiene por tanto la planta auxiliar r1'.
V H1
RECTAS SITUADAS E POSICIÓ FAVORABLE
Al dar las proyecciones auxiliares de una recta en el apartado anterior, no se ha pretendido obtener de ella una posición especial determinada. Sólo se han establecido los criterios que permiten realizar los cambios indicados. Pero habrá que situar a la recta en posición favorable para poder resolver los problemas que se presentan sobre verdadera magnitud de un segmento, distancias y ángulos. Para lo cual los nuevos planos de proyección permitirán que la recta se encuentre en posición de paralelismo o perpendicularidad con ellos.
Una recta en posición oblicua puede adoptar las posiciones que aparecen en el cuadro siguiente: Perpendicular al vertical Horizontal Paralela al eje X Perpendicular al horizontal Oblicua Frontal Paralela al eje X De Perfil RECTA HORIZONTAL Fig. 14 V H1
RECTA FRONTAL V1 Fig. 15 H RECTA DE PERFIL V V1 ó H1 H Fig. 16
RECTA PERPENDICULAR AL VERTICAL
V1
H
Fig. 17
RECTA PERPENDICULAR AL HORIZONTAL
V
H1
RECTA PARALELA AL EJE X O
PERPENDICULAR AL PLANO DE PERFIL
V1
H
Fig. 19
RECTA PARALELA AL EJE X O
PERPENDICULAR AL PLANO DE PERFIL
V H1
REPRESETACIÓ DE FORMAS PLAAS
En la práctica del Dibujo Técnico las superficies planas están limitadas mediante segmentos de rectas o curvas o la combinación de ellos. En la Fig. 21 se ha representado una forma plana triangular en posición oblicua con respecto a los planos de referencia. La recta -h- (h''-h') es una horizontal del plano de la forma, siendo -p- (p''-p') una de sus líneas de máxima pendiente. El ángulo α que la recta -p- forma con el plano de la planta será también el ángulo que con dicho plano determina la forma plana de vértices A, B y C.
En la Fig. 22 la recta -f- (f''-f') es una recta frontal del plano de la forma representada, siendo -i- (i''-i') una de sus líneas de máxima inclinación.
El ángulo β que la recta -i- forma con el plano del alzado, será también el ángulo que con dicho plano determina la forma plana de la figura.
Fig. 22
En la Fig. 23 la recta -p- (p''-p') es paralela al plano del perfil, siendo -i- (i''-i') una de las líneas de máxima inclinación de la forma plana representada, con respecto al plano del perfil. El ángulo γ que la recta -i- forma con el plano de referencia, será también el ángulo que con dicho plano determina la forma plana de la figura.
PROYECCIOES AUXILIARES DE UA FORMA PLAA
Se obtienen proyecciones auxiliares de una forma plana, introduciendo nuevos planos de proyección, se pretende con ello proporcionar a la forma plana una posición más favorable que la que tenía inicialmente. Para obtener dichas proyecciones, se tomarán de la forma, puntos característicos y sus nuevas proyecciones definirán las de la forma.
Las proyecciones auxiliares pueden ser:
1. ALZADOS AUXILIARES. En la Fig. 24 se ha realizado un cambio de plano de proyección vertical, manteniéndose por tanto el plano de la planta y en consecuencia las cotas relativas. Se obtiene por tanto el alzado auxiliar de la forma plana.
Fig.24
V1
H
2. PLANTAS AUXILIARES. En la Fig. 25 se ha realizado un cambio de plano de proyección horizontal, manteniéndose por tanto el plano del alzado y en consecuencia, los alejamientos relativos. Se obtiene por tanto, la planta auxiliar de la forma plana.
Fig. 25
V H1
FORMAS PLAAS E POSICIÓ FAVORABLE (Transformaciones).
Al dar las proyecciones auxiliares de una forma plana, del apartado anterior no se ha pretendido obtener de ella, una posición especial determinada. Solo se han establecido los criterios que permiten realizarse los cambios indicados. Habrá que situar a la forma plana en posición determinada cuando se trate de resolver problemas de verdadera magnitud y forma. Para lo cual los nuevos planos de referencia permitirán que la forma se encuentre en posición de paralelismo y perpendicularidad con ellos.
Una forma plana oblicua puede adoptar las posiciones que aparecen en el cuadro siguiente:
Paralela al vertical Perpendicular al Horizontal
De Perfil De Perfil Oblicua Perpendicular al Vertical
Paralela al horizontal Paralela al eje X
FORMA PLANA PERPENDICULAR AL HORIZONTAL
Fig. 26
V H1
FORMA PLANA PERPENDICULAR AL VERTICAL
Fig. 27
V1
FORMA PLANA PARALELA AL VERTICAL
Fig. 28
V1
H
FORMA PLAA PARALELA AL HORIZOTAL
Fig. 29
V H1
FORMA PLANA PARALELA AL EJE X O PERPENDICULAR AL PERFIL Fig. 30 V1 H DE PERFIL Fig. 31 V1 H
ÁGULOS DE UA FORMA CO LOS PLAOS DE PROYECCIÓ
ÁNGULO CON EL HORIZONTAL
Fig. 32
ÁNGULO CON EL VERTICAL
ÁNGULO CON EL DE PERFIL
Fig. 34
VERDADERA MAGITUD DE FORMAS PLAAS
Fig. 35 V V1
En la Fig. 35 se ha resuelto el problema de determinar la verdadera magnitud y forma del cuadrilátero ABCD, del cual se conocen el alzado y la planta. Para ello, y por encontrarse en posición oblicua con respecto a los planos de referencia, se ha situado primeramente en posición perpendicular al alzado cambiando el vertical de proyección, y a continuación mediante un cambio del plano horizontal, la figura se encuentra en posición paralela a él. En consecuencia su proyección sobre él refleja la verdadera magnitud y forma del cuadrilátero.
Este problema se podría haber resuelto también, situando el cuadrilátero en primer lugar perpendicular a la planta y posteriormente paralelo al plano del alzado.
El problema inverso se producirá cuando se conozca la verdadera magnitud de una forma plana y se precise determinar sus proyecciones en unas condiciones posicionales determinadas. Como ejemplo de aplicación en la Fig. 36 se ha resuelto el supuesto en el cual conocidas las proyecciones de un cuadrilátero laminar, se debe practicar en él un orificio circular de diámetro conocido. Se obtendrán los ejes de sus proyecciones.
Mediante los cambios oportunos de los planos de proyección, se sitúa la lámina paralela al horizontal H1; en esta posición se podrá dibujar la circunferencia de
centro O1', determinando sobre ella los diámetros 11'21' y 31'41', que darán lugar a
los ejes 1'2' y 3'4' de la elipse proyección horizontal.
Situando la lámina paralela al vertical V1; se dibuja la circunferencia de centro
O1'', los diámetros 51''61'' y 71''81'' darán lugar a los ejes 5''6'' y 7''8'' de la elipse
proyección vertical.
RELACIOES DE AFIIDAD ETRE LAS PROYECCIOES DE UA FORMA PLAA
Dos proyecciones de una forma plana son figuras afines, siendo su eje el lugar geométrico de los puntos dobles de cada par de proyecciones de las rectas de su plano y estando los puntos afines en la dirección de las líneas de referencia de ambas proyecciones.
ETRE EL ALZADO Y LA PLATA.
En la Fig. 37a se aplica la afinidad existente entre las figuras A'' B'' C'' D'' (alzado) y A' B' C' D' (planta). El eje -e- (e''-e') se obtendrá determinando dos puntos dobles 1 (1''-1') y 2 (2''-2') puntos que pertenecen al segundo bisector. El eje por tanto será la intersección del plano de la figura con el bisector de los planos de referencia.
La dirección de afinidad queda determinada por las parejas de puntos afines conocidos y señalada en la figura por las proyecciones del punto A (A''-A').
Fig. 37b
En la Fig. 37b, una de las proyecciones es una circunferencia de centro O', mediante afinidad oblicua se han obtenido los ejes de la proyección de centro O''. El eje de la afinidad existente entre ambas proyecciones, se obtiene uniendo los puntos dobles L''≡L' y M''≡M'. Se trazará la mediatriz del segmento O''O' y con centro en la intersección de ésta con el eje, se trazará la circunferencia que pasa por los centros O'' y O' que corta en los puntos A''≡A' y B''≡B' a dicho eje. Estos puntos dobles unidos con el par de centros O'' y O' determinan en la circunferencia los diámetros perpendiculares 1', 3' y 2', 4' y los ejes de la elipse 1''3'' y 2''4''.
ETRE EL ALZADO Y EL PERFIL
Fig. 38
En la Fig. 38 se aplica la afinidad existente entre las figuras A'' B'' C'' D'' (alzado) y A''' B''' C''' D''' (perfil).
El eje -e- (e''-e''') se obtendrá determinando dos puntos dobles 1 (1''-1''') y
2 (2''-2''') puntos que pertenecen al bisector del diedro que forman los planos vertical y de perfil.
La dirección de afinidad queda determinada por las parejas de puntos afines conocidos y señalada en la figura por las proyecciones del punto A (A''-A''').
PROYECCIOES DE UA CIRCUFERECIA SITUADA E POSICIO OBLICUA.
Fig. 39
Una circunferencia de diámetro y centro conocidos está contenida en la forma plana ABCD. En la Fig. 39, se determinan los ejes de sus proyecciones. Los ejes 1''2'' y 5'6' se obtiene llevando la magnitud del diámetro sobre f'' y h' respectivamente. Al ser los ejes de la elipse perpendiculares entre si, el eje 7'8' se encontrará sobre una recta p', proyección de una línea de máxima pendiente del plano de la circunferencia. Se hallará la verdadera magnitud de un segmento de -p-, por ejemplo el comprendido entre las horizontales -h- y CD cuya cota relativa es (z), así se obtiene p0 y llevando sobre ella el segmento O'5' se
obtendrá por proyección el punto 7' y por simetría el 8'. El eje 3''4'' se determinará por idéntico procedimiento, operando en este caso con la recta i'', proyección de una línea de máxima inclinación.
PROYECCIOES AUXILIARES
Cuando el objeto, además de tener superficies planas horizontales, verticales o de perfil, dispone de otras en posición oblicua; estas se verán deformadas, por lo que no estarán representadas suficientemente ni se podrán acotar si tomamos exclusivamente como planos de referencia los que nos han servido para las superficies citadas en primer lugar (horizontales, verticales o de perfil).
Para resolver el problema se utilizarán planos auxiliares de proyección paralelos a las superficies situadas en posición oblicua, por lo que ahora si aparecerán proyectadas en verdadera magnitud y forma.
Las proyecciones así obtenidas las denominamos proyecciones auxiliares, que pueden ser simples o dobles según que la superficie se encuentre en posición oblicua con respecto a dos o tres planos principales de referencia.
PROYECCIÓ AUXILIAR SIMPLE
En la Fig.40 se representa un objeto con uno de sus planos en posición perpendicular al horizontal, y oblicuo con respecto a los verticales de proyección (de alzado y de perfil). En su representación será necesario dar las proyecciones sobre los planos V, H y V1 , alzado, planta, y auxiliar.
Otro ejemplo en el que se necesita proyección auxiliar simple lo tenemos en la Fig.41.
Fig. 41
PROYECCIOES AUXILIARES DOBLES
El modelo de la Fig. 42, tiene una de sus formas en proyección oblicua con respecto a los tres planos principales de proyección. Para su correcta representación será necesario utilizar la proyección auxiliar doble, que se corresponde con un segundo cambio de plano en el cual aparece la forma referida paralela a un plano horizontal.
La representación óptima se ha obtenido en la Fig. 43 en la cual se han eliminado las partes que en las proyecciones aparecen deformadas.
Representación óptima del modelo anterior:
ABATIMIETO DE FORMAS PLAAS: AFIIDAD
Si se hace coincidir el plano de una forma con alguno de los planos de proyección, aparecerá en ellos en verdadera magnitud. Mediante los abatimientos puede conseguirse esto, haciendo girar alrededor de la recta común (charnela) un plano hasta abatirlo sobre el otro. Todos los puntos del plano abatido describen arcos de circunferencia contenidos en planos perpendiculares a la charnela, arcos de igual amplitud angular en todos los casos.
Entre las proyecciones de la forma plana y sus respectivos abatimientos, existe una relación de afinidad. Si se observa la Fig. 44, se comprueba que la charnela (h'≡ch) es lugar geométrico de los puntos dobles, que las direcciones B'B0,
A'A0, C'C0, D'D0 son paralelas y que la razón de distancias entre las
proyecciones de los puntos A', B', C', D' a la charnela y las distancias de los respectivos abatimientos A0, B0, C0, D0 a dicha charnela es constante. Todo lo
expuesto justifica que la proyección de la figura sobre un plano horizontal F' y su abatimiento F0 son afines, siendo h' el eje de afinidad, la dirección
perpendicular al eje y para que la afinidad esté totalmente definida será necesario determinar la pareja de puntos afines (A'-A0), pareja obtenida
mediante el abatimiento realizado de forma convencional del punto A.
ELEVACIO DE FORMAS PLAAS: AFIIDAD
Si se conoce la verdadera forma y magnitud de una figura plana, y su posición relativa con respecto a los planos de proyección, se podrán determinar sus proyecciones, mediante las transformaciones afines correspondientes.
En la Fig. 45, se determinan las proyecciones de una circunferencia, situada en posición oblicua. Serán figuras afines: En el plano horizontal F0H y F'. En el
plano vertical F0 V
y F''lasdirecciones de afinidad respectivas serán O0O' y O0O'',
perpendiculares a los ejes h' y f'' respectivamente.
El plano de la circunferencia viene definida por la línea de máxima pendiente l(l'-l''), lo cual permite obtener horizontales y frontales. Los ejes de la figura F'' pueden obtenerse también mediante las rectas r(r'-r'') y s(s'-s''), cuyos abatimientos r0 y s0 determinar la pareja de diámetros perpendiculares A0B0 y
C0D0.
GIROS: VERDADERAS MAGITUDES.
Mediante giros se consigue llevar los elementos geométricos a una posición favorable respecto a los planos de referencia. Estos movimientos se realizan alrededor de ejes perpendiculares, en la mayoría de los casos, a los planos de proyección.
En la Fig.46 se determina mediante giros la verdadera forma de una figura plana.
Según puede apreciarse en el gráfico del proceso, se introduce en el plano de la figura una horizontal y mediante el giro de ésta se coloca al plano en posición proyectante, las proyecciones F''-F' pasarán a ser F1''-F1'. Alrededor del eje e1 la
figura se coloca paralela al horizontal, las nuevas proyecciones serán F2''-F2' y la
verdadera magnitud se obtiene según la proyección F2'.
PERPEDICULARIDAD
RECTA PERPEDICULAR A U PLAO.
Una recta -r- será perpendicular a un plano α cuando lo sea a dos rectas -a- y -b- no paralelas de dicho plano.
En la Fig. 47, por el punto P se ha trazado la recta -r- perpendicular al plano ABC, para lo cual se introducen una recta frontal -f- y una horizontal -h-, a cuyas proyecciones h' y f'' serán respectivamente perpendiculares r' y r''. Se cumple la condición inicial porque las rectas h y f pertenecen al plano de la figura ABC, no son paralelas y la recta -r- es perpendicular a ellas.
PLAO PERPEDICULAR A UA RECTA.
El plano quedará definido por dos rectas no paralelas y perpendiculares a la dada, según la propiedad analizada en el problema inverso.
Se trata de determinar el plano que pasando por el punto P, sea perpendicular a la recta -r-.
En la Fig. 48, por el punto se hacen pasar las rectas -h- y -f- que por ser perpendiculares a -r- determinan el plano pedido.
Fig.48
PLAO QUE PASA POR U PUTO Y ES PERPEDICULAR A OTRO.
Un plano será perpendicular a otro cuando contenga a una recta perpendicular al mismo, si la recta pasa por el punto éste pertenecerá al plano solución.
En la Fig. 49, se ha resuelto el problema trazando por el punto dado P, un plano β perpendicular al plano α, definido por la recta -a- y el punto A. El plano β se determina trazando por el punto P la recta -r- perpendicular al plano dado; como el problema admite infinitas soluciones, con la recta -s- definimos el plano β que es una de dichas soluciones.
PLAO QUE PASA POR UA RECTA Y ES PERPEDICULAR A OTRO PLAO COOCIDO.
En la Fig.50, se resuelve el problema haciendo pasar por el punto P de la recta dada -s-, la recta -r- perpendicular al plano dado ABC. El plano solución será por tanto el definido por las rectas -r- y -s-.
Fig. 50
RECTAS PERPEDICULARES.
1. LA RECTA DADA ES PARALELA A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.
Aplicando el teorema de las tres perpendiculares, en la Fig. 51a, al ser la recta dada -h- horizontal la recta -r- perpendicular tendrá su proyección r' perpendicular a la proyección h'.
En la Fig. 51b, al ser la recta dada -f- frontal, la recta -r- perpendicular tendrá su proyección r'' perpendicular a la proyección f''.
En la Fig. 51c, por ser la recta dada de perfil, se resuelve en tercera proyección. La recta -r- perpendicular tendrá su proyección r''' perpendicular a la proyección tercera de la recta dada.
Fig. 51a Fig. 51b
2. LA RECTA DADA ES OBLICUA RESPECTO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.
En la Fig. 52, la recta dada -a- es oblicua, se ha resuelto el problema utilizando una proyección auxiliar, en la cual la recta es paralela al nuevo plano vertical de proyección utilizado, quedando el problema reducido a uno de los casos estudiados en el punto anterior. La proyección r''1 se ha trazado perpendicular a
la proyección a1'' de la recta dada. Volviendo a las condiciones iniciales se
obtienen las proyecciones r'' y r' de la recta -r- solución.
PLAO PERPEDICULAR A OTROS DOS PLAOS DADOS.
En la figura de análisis se ha hecho pasar por el punto P el plano π perpendicular a otros dos α y β.
Para determinar π se pueden emplear dos procedimientos:
1. Haciendo pasar por P dos rectas -a- y -b- perpendiculares respectivamente a los planos α y β. Se ha resuelto en proyecciones en la Fig.53, en ella, al plano α lo define la figura ABC y al plano β lo hace la figura DEFG.
Fig. 53
2. El plano π es perpendicular a la recta -i-, intersección de α y β. En la Fig. 54 se ha determinado dicha intersección convirtiendo en proyectante el plano β de la figura DEFG. El plano π queda definido por las rectas -h- y -f- que se cruzan perpendicularmente con la recta -i-. Las rectas que definen a π son horizontal y frontal respectivamente de dicho plano.
ÁGULOS:
ÁGULO ETRE DOS RECTAS
Para determinar su valor, se colocará el plano que las rectas determinan en posición favorable. Esto puede conseguirse mediante proyecciones auxiliares, giros o abatimientos. En la Fig. 55 se ha resuelto mediante el último de los procedimientos citados.
Fig. 55
ÁGULO DE RECTA Y PLAO
De los posibles procedimientos que se pueden utilizar, la solución más ventajosa se obtiene haciendo que el plano pase a ser proyectante sobre uno de los planos de proyección, manteniendo con él la recta su posición relativa.
En la Fig.56a aparece el plano (ABC) en posición de proyectante sobre el vertical. La recta -r- es oblicua. De acuerdo con lo establecido en el método general y que queda reflejado en la Fig. 56b, el ángulo α será el determinado por las rectas -r- y -t-.
Como se aprecia en la Fig. 56a, la recta -s- es frontal y la proyección vertical de la recta -t-, se confunde con el plano, por todo ello su obtención es inmediata. Tomando como charnela la recta proyección s'', se procede al abatimiento del triángulo PSR sobre el vertical, obteniéndose en R0 el ángulo α en verdadera
magnitud.
Fig. 56a
ÁGULO DE DOS PLAOS
Mediante el empleo de proyecciones auxiliares o giros se sitúan los planos dados perpendiculares a alguno de los planos de proyección. Para realizar dicha transformación se situará, la recta intersección de los planos, perpendicular al plano de proyección elegido. En la Fig.57, los planos ABCD y AFED, cuya intersección es la recta -i- (i'-i'') se han situado perpendiculares al vertical, y sobre este plano aparecerá la verdadera magnitud del ángulo.
PROBLEMAS IVERSOS:
RECTA QUE FORMA U ÁGULO DADO CO OTRA RECTA COOCIDA.
Se resolverá en primer lugar el caso en el que la recta solución -s- deberá pasar por un punto P exterior a la recta conocida -r-.
Fig. 58
En la Fig. 58 se observa que la recta solución -s- es generatriz de la superficie cónica de eje -r- y ángulo α en el vértice V. Las rectas -r- y -s- determinan el plano ε.
Se abate el plano ε definido por la recta -r- y el punto P, siendo la línea de abatimiento la horizontal del plano que pasa por P. En el abatimiento se traza la recta s0, formando con r0 el ángulo dado α. Se obtendrá, por elevación, las
proyecciones s'' y s'. Así se determinará el punto V común a -r- y -s-.
Si es V el punto conocido de -r- por el que debería pasar la recta -s- formando ambas rectas un ángulo α, el problema admite infinitas soluciones y el proceso de resolución es idéntico al anteriormente explicado.
PLAO QUE PASA POR UA RECTA DADA Y FORMA CO OTRO PLAO U ÁGULO COOCIDO.
Este caso es el de mayor aplicación práctica, teniendo presente el objetivo de este trabajo, “aplicaciones del Método Directo en el Dibujo Técnico”. Por este motivo se han omitido otros casos posibles de ángulos entre planos. I. La recta -r- dada pertenece al plano conocido εεεε.
Mediante abatimientos, cambios de plano o giros se sitúa el plano ε en posición favorable, horizontal, por ejemplo.
En la Fig. 59, se observa como el plano solución ω, está definido por la recta -r- y el punto V vértice del cono, cuya generatriz -g- es línea de máximo ángulo de ω con respecto a ε.
Fig. 59
En la Fig.60 se supone el plano ε en posición horizontal y en él contenida la recta -r-, esto permite, conocido α (ángulo que determina ω con ε.), obtener V y por lo tanto Vε. Cuando ε vuelva a las condiciones iniciales se determinarán las
proyecciones de V, V'' y V'.
El plano solución ω , se obtendrá mediante la recta-r- y el punto V.
Fig. 61
II. La recta -r- dada no pertenece al plano conocido εεεε. II a. La recta -r- es paralela al plano ε.
En la Fig. 62, el plano ω forma con el plano conocido ε un ángulo α y queda definido por la recta -r- dada y la recta -o- paralela a la anterior. Para su resolución en proyecciones, se tomará un punto V de la recta -r- y desde él se trazará la recta -s- perpendicular al plano ε, determinando el punto O, intersección de -s- con ε. Fig. 62
Por dicho punto O se trazará la recta -t-, paralela a la -r-, y se determinará la verdadera magnitud del segmento VO (altura del cono).
Se sitúa el plano ε en posición favorable, horizontal, por ejemplo.
En la Fig.63, en el plano ε se encuentra: La recta -t-, y los puntos O y V, éste último obtenido sobre -t- al llevar a ella la magnitud del segmento VO. La recta -o- se obtendrá trazando por P la paralela a la -t-. Volviendo a las condiciones iniciales, se obtendrá el plano ω.
Fig. 63
II b. La recta -r- no es paralela al plano εεεε.
En la Fig. 65, el plano ω forma con el plano conocido ε un ángulo α y queda definido por las rectas -r- y -o-.
La recta -o- pasa por el punto R de intersección de la recta -r- con el plano ε, y es tangente a la base del cono.
Para su resolución en proyecciones se tomará un punto V de la recta -r-, y desde él se trazará la recta -s- perpendicular al plano ε; determinándose el punto O, intersección de la recta -s- y ε; y la distancia VO.
La intersección de la recta -r- con el plano ε será el punto R.
Fig. 65
Se sitúa el plano ε en posición favorable, por ejemplo, horizontal. En la Fig. 66, en el plano ε se encuentran: los puntos O y R.
Sobre una recta cualquiera -m-, se llevará la magnitud del segmento VO, y con vértice en V, el ángulo (90-α), quedando definido el valor del radio -ρ-, de la base del cono. La recta -o-, será la tangente trazada por R a la circunferencia. Volviendo a las condiciones iniciales del problema se obtendrán las
proyecciones de -o-, o'' y o', ésta recta y la -r-, determinarán el plano ω.
ITERSECCIOES:
1. DE DOS FORMAS PLANAS.
1.1 Una de las formas es proyectante y la otra oblicua.
La proyección horizontal i' de la recta intersección, estará confundida con la proyección A'B'C' de la forma proyectante ABC, y la proyección vertical i'' se determina uniendo los puntos 1'' y 2''; obtenidos a partir de los 1' y 2' de intersección de i' con D'F' y E'F' respectivamente, Fig.67.
Fig.67 1.2 Las dos formas son oblicuas.
1.2.1 Método general.
En la figura de análisis Fig. 68 la recta -i'- de intersección de los dos planos α y β, se han obtenido al unir los puntos M y N. El punto M es el de intersección de los planos dados α y β y el auxiliar ε, las rectas a y b que lo determinan son intersecciones sencillas dada la característica que debe tener el plano ε (horizontal o frontal).
Lo mismo sucede con el punto N, común a los planos α, β y ω y por lo tanto de la recta -i-.
En proyecciones, Fig. 69, se determina la recta común de las formas planas ABCD y EFGH. Se han utilizado los planos auxiliares ε y ω (horizontales); el plano ε se corta con la forma ABCD según la horizontal -a-, y con la forma EFGH según la horizontal -b-. Las proyecciones a' y b' se cortan en M'; la proyección M'' se situará sobre a''≡ b''≡ ε2. De igual forma se obtienen -c- y -d-,
que determinan al punto N. Los puntos hallados definen a la recta común -i-.
Fig. 69
Cuando las formas tienen paralelas las rectas horizontales o frontales de plano, como en el caso de la Fig. 70, el plano auxiliar ε, perpendicular al horizontal, se trazará, con objeto de simplificar los trazados, de forma que ε1 pase por los
vértices D' y F'. El plano auxiliar corta a la forma ABCD según la recta -a- y a la forma EFG según -b-. Las proyecciones a'≡ b' coincidirán con la traza ε1 y las a''
y b'' son inmediatas, definiendo ambas al punto proyección M''; por M se traza la recta horizontal -i- común a las formas planas dadas.
Fig. 70 1.2.2 Método de la forma proyectante.
Por medio de vistas auxiliares se convierte una de las formas planas oblicuas, en proyectante, quedando reducido el problema al caso 1.1.
En la Fig. 71, dadas las formas planas ABC y DEFG; se convierte esta última, tomando un nuevo plano de alzado, en proyectante sobre él; obteniendo la nueva proyección D''1E''1F''1G''1. Esto permite obtener i''1 y los puntos 1''1 y 2''1;
volviendo a las condiciones iniciales se obtendrán, las proyecciones de la intersección i''e i'.
2. INTERSECCION DE RECTA Y FORMA PLANA.
2.1 La forma es paralela a uno de los planos de referencia.
En la Fig. 72, la forma es horizontal, y se obtiene directamente la proyección I'' del punto de intersección. Dicha proyección es el punto común de las proyecciones verticales de la recta y de la forma plana.
En la Fig. 73, la forma es paralela al vertical y en la Fig. 74, la forma es de perfil; en ambas se observa la obtención de las proyecciones del punto I.
Fig.72 Fig.73 Fig.74
La visibilidad de la recta al atravesar la forma plana, se estudia, en el caso de que la forma sea horizontal. Mediante una recta vertical -v- que corta a -r- en el punto E y a la forma en el punto D.
La cota de E es mayor que la de D, por lo cual la semirrecta IE se encuentra por encima de la forma y será vista la otra semirrecta estará oculta.
2.2 La forma es perpendicular a uno de los planos de referencia.
Dado que esta clase de formas se proyectan sobre alguno de los planos de referencia según segmentos, la obtención del punto de intersección de una recta con dichas formas se realiza de manera inmediata según puede apreciarse en las Figuras 75, 76 y 77.
Fig.75 Fig.76
Fig.77 2.3 La forma se encuentra en posición oblicua.
2.3.1 Método de la forma proyectante.
Dadas la forma plana oblicua ABC y la recta -r- de la Fig. 78, en este caso no se puede obtener directamente el punto de intersección. No obstante si en estos casos se determina una proyección auxiliar mediante un nuevo plano de referencia se habrá reducido el problema a alguno de los casos contemplados en los puntos 2.1 ó 2.2.
En el caso de la Fig. 78, se ha tomado un nuevo plano de referencia vertical perpendicular a ABC, obteniendo la nueva proyección A''1B''1C''1 y la de la recta
r''1, el punto de intersección de ambas será I''1 lo que permite definir las
proyecciones I'' e I' del punto de incidencia de -r- en el plano de ABC.
Fig. 78 2.3.2 Método general.
Se resuelve la determinación del punto I de intersección de la recta -r- con la forma plana oblicua ABC, haciendo pasar un plano auxiliar (proyectante) ε por la recta, que determinará sobre la forma la recta común -i- que definirá sobre -r- el punto I buscado.
En las Figuras 79 y 80, se ha resuelto el problema en proyecciones; en el primer caso ε es proyectante sobre el plano de planta y en el segundo el plano auxiliar es proyectante sobre el plano del alzado.
EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Un alambre -r- pasa por un punto X como se indica en la figura y a través del orificio rectangular de la chapa, por el punto medio del mismo. ¿Cuál será la distancia mínima entre dicho alambre y el borde del orificio? .
SOLUCIÓ:
Por medio de un cambio de plano se convierte uno de los lados del orificio en perpendicular a alguno de los planos de proyección. En la figura, el lado CD que es horizontal pasa a ser perpendicular al plano del alzado, el tramo de perpendicular trazada desde el alzado de CD al de la recta -r- será la mínima distancia entre las dos rectas.
EJERCICIO 2
En la figura se representa una tolva y el punto X. Unir el punto X y la cara lateral de la tolva por medio del eje de una tubería, lo más corta posible.
SOLUCIÓ:
La tubería más corta posible será recta y perpendicular a la cara 1,2,A,B de la tolva.
Se traza la recta -r- perpendicular al plano (1, 2, A, B). Para ello se obtiene una frontal -f- de dicho plano y por el punto X'' se traza una recta perpendicular a f''. Esa será la proyección vertical de la recta perpendicular p''. Para conseguir la proyección horizontal, se obtiene una horizontal -h- del plano. Por el punto X' se traza una recta perpendicular a h', recta p'; ésta es la proyección horizontal de la recta perpendicular a la cara de la tolva.
Para determinar la intersección de la recta -p- con la cara 1, 2, A, B de la tolva se realiza un cambio de plano de la cara, de tal forma que sea tras el cambio, proyectante sobre el horizontal. Para realizar este cambio se coloca la línea de referencia (no dibujada) perpendicular a la proyección f'' de la frontal del plano.
La citada cara se ha convertido en proyectante sobre el nuevo plano de la planta. En el cambio, el punto proyección X' pasa a la posición X'1 desde el que se traza
la perpendicular a la cara, para obtener así el punto de intersección I'1.
La distancia en verdadera magnitud aparece según el segmento X'1 I'1.
EJERCICIO 3
Partiendo del bloque de la figura, del que se conocen el alzado y la planta, dibujar el orificio rectangular iniciado en la cara oblicua, de manera que sea perpendicular a ella.
SOLUCIÓ:
Para resolver el ejercicio habrá que trazar perpendiculares al plano formado por los puntos 1,2,3,4, por los puntos A,B,C,D, que forman el orificio.
Como se puede apreciar en la figura, los segmentos formados por los puntos 1-4 y 2-3 son rectas frontales y el segmento formado por los puntos 1-2 es una recta horizontal. Por ello se trazan las proyecciones verticales de las aristas del orificio perpendiculares a f'' y las proyecciones horizontales perpendiculares a h'. Las proyecciones verticales inciden en la base según los puntos E''F''G''H'',
puntos que llevados a la proyección horizontal permiten definir por completo el orificio.
* Se propone como ejercicio complementario, obtener el desarrollo de la superficie lateral, incluyendo las huellas en ella del orificio obtenido.
EJERCICIO 4
La figura muestra un poste de eje XY, soportado por tres vientos de alambre, XA, XB, XC.
Determinar mediante giros, la verdadera magnitud de cada uno de los vientos y el ángulo que cada uno de ellos forma con la superficie horizontal a la cual están sujetos.
SOLUCIÓ:
Para la solución de este ejercicio se ha realizado el giro de cada viento por separado.
Como eje de giro se utiliza el mismo en todos los casos, que es el eje del poste, determinado por los puntos X e Y.
Los giros se realizan hasta conseguir rectas frontales. En esta posición favorable se determina la verdadera magnitud y el ángulo en la proyección vertical o alzado.
* Se propone como ejercicio complementario, determinar los valores de los ángulos que forman los vientos entre sí.
EJERCICIO 5
En la figura se muestran las vistas (alzado y planta) de una tolva para grano. Determinar el ángulo diedro que forman las caras BCDA y BCHE, así como la verdadera superficie de una de ellas.
SOLUCIÓ:
Se pide el ángulo diedro que forman las dos caras de la tolva, BCDA y BCHE; la verdadera magnitud de dicho ángulo se obtiene cuando la recta -i-, intersección de las dos caras, sea una recta de punta.
En este caso la recta -i- es una recta oblicua, mediante un cambio de plano vertical se transforma en una recta frontal; para ello se coloca la nueva línea de referencia paralela a i', y se obtienen las nuevas proyecciones de la tolva.
A continuación se realiza un cambio del plano horizontal; para ello la nueva línea de referencia se coloca perpendicular a la nueva proyección obtenida i1''.
Así se obtiene la recta -i- como una recta de punta de proyección i2'; en esta
EJERCICIO 6
Dos tuberías de ejes AB y CD se cortan en D, Ambas descienden en la dirección indicada.
Las dos tienen la misma pendiente βββ y la longitud de AB es de 39 m. β Hallar:
1. La diferencia de elevación entre los puntos A y C. 2. La longitud de la tubería de eje CD.
3. Representar ambas tuberías en el alzado. (Escala 1/500)
SOLUCIÓ:
En el dibujo se da la representación en planta de los ejes de las tuberías, a la escala indicada.
Se coloca en el alzado la distancia real entre A'' y B'' (39 m) formando β grados con el horizontal, al encontrarse la recta en posición frontal.
En proyección horizontal se abate el punto C, alrededor de C'D' con la ayuda del ángulo β. La intersección de la recta abatida con la perpendicular a C'D' por C', determina C0 obteniéndose así la cota ZC de C con respecto a D.
Se lleva al alzado dicha diferencia de cotas, y se obtiene C''.
EJERCICIO 7
El depósito metálico representado en la figura tiene inclinado el fondo ABCD.
A escala 1/50, representar el depósito apareciendo el fondo en el alzado como una línea (proyectante).
Determinar la pendiente del plano del fondo y la verdadera superficie de éste. (Los segmentos A''B'' y D''C'' no son paralelos).
SOLUCIÓ:
Antes de comenzar la resolución comprobamos que los puntos dados son coplanarios. Mediante Afinidad vemos que el punto C pertenece al plano de los otros tres.
Se necesita un cambio de plano para poder tener el plano como proyectante vertical, para realizar el cambio se precisa una recta horizontal -h-, que será utilizada como línea de referencia. Para obtener la citada recta se recurre a la tercera proyección, ayudándonos del punto P.
Se determina la nueva proyección vertical y se obtiene la pendiente pedida. Para determinar la verdadera magnitud del fondo del depósito se realiza otro cambio de plano.
depósito paralelo a dicho plano de referencia. La nueva proyección obtenida es la verdadera magnitud del fondo del depósito.
* Se propone como ejercicio complementario la determinación del valor del diedro que se forma en la arista AB
EJERCICIO 8
Practicar un orificio de diámetro máximo sobre la placa ABCD. Determinar los ejes de sus proyecciones en alzado y planta.
SOLUCIÓ:
Se comienza situando los cuatro puntos coplanarios, como en el ejercicio anterior, por afinidad.
Para realizar el orificio de máximo diámetro se coloca la placa dada en posición horizontal por medio de dos cambios de plano.
Una vez obtenida la posición favorable, se realiza el máximo orificio circular, con centro en el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos que forman los lados tomados dos a dos.
Una vez trazada esta circunferencia se procede a su elevación hasta determinar sus proyecciones.
EJERCICIO 9
Determinar el desarrollo del conjunto representado.
Las chapas A y B son verticales y las C y D tienen una pendiente de 60º. Determinar la pendiente de E y la superficie de chapa a utilizar.
SOLUCIÓ:
Una vez representadas las proyecciones de la figura dada, se obtienen las verdaderas magnitudes.
Algunas de ellas se dan directamente al tener posiciones frontales u horizontales, Las demás se determinan hallando la verdadera magnitud de la distancia entre dos puntos.
Por ejemplo: La recta del segmento 1-2; es perpendicular al plano de perfil. Por lo tanto se encuentra en verdadera magnitud.
Las rectas de los puntos 2-3; 1-4; 4-9; 3-8; 5-6; son perpendiculares al alzado o a la planta y también por ello sus segmentos estarán en verdadera magnitud. Las rectas 5-4; 5-3; 6-9; 6-8; son rectas horizontales y la verdadera magnitud de sus segmentos se toma en la proyección horizontal.
El segmento 7-1 es igual al 7-2 y para resolver su verdadera magnitud trazamos por el punto 7' una perpendicular a 2'-7' y sobre esta perpendicular se lleva la cota relativa entre los puntos 2 y 7, determinando el punto 70. Uniendo este
punto con el 2', se obtiene la verdadera magnitud del segmento 7-2 y en consecuencia del 7-1.
De esta misma forma se ha procedido con los segmentos 6-4 y 6-3.
La recta del segmento 6-7; es de perfil y su verdadera magnitud se obtiene en tercera proyección.
EJERCICIO 10
Una tubería de suministro de agua, con pendiente negativa constante de 30º en los dos tramos, tiene que cambiar de dirección en la esquina en una intersección de calles a 90º. Hallar el ángulo necesario para el codo que se deba utilizar para dicha esquina.
SOLUCIÓ:
Una vez colocados los datos como indica la figura anterior.
Se realiza el abatimiento de la recta -s- utilizando como charnela la recta -r-. Y es aquí en el abatimiento donde se obtiene el ángulo pedido.
EJERCICIO 11
Se representan las vistas de alzado y perfil de dos tubos paralelos A y B. El tubo A está 1.8 m. más alto que el tubo B. La distancia entre A y B es la indicada en la figura. Representar la conexión con un tubo simétrico en forma de “S”. Determinar el radio verdadero de la curva y el ángulo de curvado.
SOLUCIÓ:
El ejercicio se resuelve realizando el abatimiento del punto B, alrededor de A para que ambos se encuentren en una misma vertical.
Para unir los tubos en “S” se trazarán los arcos de circunferencia tangentes. Como se indica en la figura, el valor del radio es R, y el del ángulo es α.
EJERCICIO 12
A, B y C son tres puntos conocidos del eje de un conducto de alimentación de diámetro 600 mm, por el que circula agua hacia abajo de la ladera de una montaña.
-B está 21 m al Oeste y 7.5 m al orte de A. -C está 9 m al Oeste y 15 m al orte de A. -Elevaciones: De A, 800 m.
De B, 794 m. De C, 787 m.
La tubería requiere un tubo acodado de gran radio, para conectar los tramos rectos, con objeto de evitar un cambio de dirección brusco en B.
Dicho radio será ocho veces mayor que el valor del diámetro de la tubería. Hallar:
a) Magnitud del ángulo del tubo acodado.
b) Longitud del tubo recto desde A hasta el tubo acodado. c) Pendiente del tubo recto desde A hasta el tubo acodado. d) Representar el eje del tubo acodado en planta y alzado.
SOLUCIÓ:
Como muestra la figura del enunciado, tenemos dos rectas que se cortan en un punto B.
Para resolver el apartado a, se abaten las dos rectas para ver en verdadera magnitud los tramos AB y CD. Se utilizará una horizontal -h- que pase por el
punto A, esta será la charnela, realizando alrededor de h' un abatimiento sobre el plano horizontal. La magnitud del ángulo acodado será el indicado como α. En este abatimiento también se resuelve el apartado b, dado que la longitud pedida es la indicada en el dibujo como la distancia entre el punto A0 y 10.
El apartado c, se resuelve en el cambio del plano oblicuo ABC a plano proyectante vertical, convirtiendo la horizontal -h- del plano en recta perpendicular al vertical. La pendiente es la indicada por el ángulo β.
El apartado d, se resuelve obteniendo los puntos de tangencia 1 y 2 en el abatimiento de los tramos rectos según el codo circular cuyo radio R se ha calculado. Las proyecciones del codo serán dos tramos elípticos que se determinarán como afines de la circunferencia de origen.
EJERCICIO 13
Desde A(300) un nuevo pozo minero lleva una dirección 60º E y cae 30º. Desde B, un antiguo pozo lleva una dirección 75º SO y cae 15º.
B está 43 m. al E y 65 m. al de A y a su mismo nivel. Es necesario unir estos dos pozos mediante otro, lo más corto posible. Determinar:
a) La posición del nuevo pozo. b) Su longitud.
c) Su pendiente.
d) Las cotas de sus extremos
SOLUCIÓ:
Se colocan los datos como indica la figura, teniendo en cuenta las direcciones, posiciones y caídas (pendientes) dadas en el enunciado
Una vez que se tienen las rectas, -a- y -b- que representan los ejes de los pozos, se comienza la resolución del ejercicio.
Con un cambio de plano se hace que la recta -a- que es oblicua pase a ser de perfil, arrastrando con ella a la recta -b- .
Se realiza otro cambio de plano hasta que la recta a1 sea una recta perpendicular
al vertical, arrastrando con ella, como en el cambio anterior, a la recta b1.
Llegando a este punto, donde se tiene una recta de punta y otra oblicua, se traza una perpendicular a b2' que pase por a2'. Esta perpendicular es la recta -t- que
será el eje del pozo más corto que une los pozos dados.
EJERCICIO 14
Se desea unir dos tubos de conducción AB y CD. B está 3 m. al orte y 18,25 m. al Oeste de A y 13,75 m. por encima de A(150).
• C está 6,75 m. al Sur de A y 22,85 m. sobre A.
• D se encuentra a 15,25 m. al orte y 10,5 al Oeste de A y 10,65 por encima.
Determinar la conexión de estas dos tuberías por medio de una tercera, empleando solamente “tes”(Tuberías en forma de T) de 90º. Determinar su longitud, su pendiente y las posiciones de los extremos.
SOLUCIÓ:
Como se aprecia, los dos segmentos dados no son coplanarios, no se cortan en un mismo punto ni son paralelos. Para ahorrar trazados se opta por definir un plano que contenga a uno de los segmentos y sea paralelo al otro y tomarlo como referencia para realizar los cambios de plano necesarios para resolver el ejercicio.
Se traza una recta paralela al segmento A''B'' que pase por C''. Desde el punto D'' se hace pasar una recta horizontal que corta a la recta paralela a A''B'' en un punto E''. CDE es el plano que se va a utilizar.
Se realizan dos cambios de plano, el primero colocando el plano CDE como un proyectante vertical y en el segundo como un plano horizontal. A la vez que se realizan estos cambios con los puntos CDE, se hace lo mismo con los demás elementos.
Una vez que se tiene la posición favorable, la tubería de unión más corta es una recta de punta definida por los puntos X e Y. Deshacemos los cambios y obtenemos la situación de la tubería pedida.
EJERCICIO 15
En la figura se representa una tolva para almacenar mineral. Determinar el ángulo que forman las caras laterales con el plano del fondo, así como la verdadera magnitud de una de ellas.
SOLUCIÓ:
Para determinar el ángulo que se produce con el plano del fondo y la verdadera magnitud de una cara lateral de la tolva, se necesitará realizar dos cambios de plano. En el primero, es necesario que la horizontal -h-, pase a ser una recta perpendicular al plano vertical. Se consigue, colocando una línea de referencia perpendicular a la proyección h’.
El ángulo β representado será la solución pedida.
A continuación se realiza el segundo cambio de plano (horizontal), dejando la cara lateral de la tolva paralela al plano horizontal. La nueva proyección obtenida será la verdadera magnitud de la cara de la tolva. Se consigue aplicando los alejamientos relativos que aparecen en el dibujo.
* Se propone como ejercicio, la realización de un orificio circular en la cara de la cual se ha obtenido su verdadera forma.
EJERCICIO 16
El eje -e- de un conducto cilíndrico de revolución parte de un punto M y pasa por el centro de un orificio circular de 27 mm. de diámetro, realizado en una chapa de forma cuadrada y de 82 mm. de lado.
Determinar las proyecciones del conducto de mayor diámetro posible y a escala 1:1.
SOLUCIÓ:
Se realiza un cambio de plano horizontal para situar al eje -e- en posición horizontal. En dicho cambio, la nueva proyección de la chapa corta al eje en el punto O’1, desde el que se traza la perpendicular al eje e’1. En este cambio, se
determinan los puntos P’1 y Q’1, y desde ellos se trazan paralelas al eje e’1.
De esta forma, se obtiene el diámetro (d) del conducto cilíndrico, así como también se conoce el eje principal (P’1Q’1) de la elipse del cilindro de
revolución.
Para determinar las proyecciones, serán necesarios una serie de puntos que nos ayudarán en el trazado de las elipses. Estos puntos se determinan en el cambio de plano, dividiendo la sección principal del cilindro en partes iguales y obteniendo así generatrices que definirán según sus trazas, con planos paralelos a los de referencia, los límites del cilindro de revolución.
EJERCICIO 17
En el depósito de la figura, se pide determinar el ángulo diedro entre las caras CDEAB y CDGFH.
SOLUCIÓ:
Para determinar el ángulo diedro entre las caras CDEAB y CDGFH se tiene que conseguir que la recta intersección -f- llegue a ser una recta de punta.
En este caso, por ser dicha recta frontal, será suficiente con un cambio de plano horizontal. Para ello, la nueva línea de referencia se coloca perpendicular a la proyección f ’’. En esta posición, se determina en verdadera magnitud el ángulo pedido (α).
EJERCICIO 18
En el ejercicio anterior realizar sobre la cara CDEAB un orificio de 10 mm. de radio, cuyo centro se encuentre en las bisectrices de los ángulos
EDC y DEA.
Obtener los ejes principales de sus proyecciones. SOLUCIÓ:
Primeramente se realiza un cambio de plano para poder situar la cara lateral como proyectante vertical. Para conseguirlo se necesita una recta -h-, la cual se determinará mediante los puntos A y P, recurriendo a la tercera proyección para definir proyecciones de este último.
La recta -h-, es una recta horizontal y por medio de un cambio de plano vertical se convierte en una recta perpendicular a dicho plano de proyección. Para ello se sitúa la nueva línea de referencia perpendicular a h’.
En segundo lugar se realiza un cambio de plano horizontal, obteniendo la cara lateral del depósito en posición paralela al plano de proyección. De esta forma, la cara se encuentra en verdadera magnitud y se puede realizar el orificio pedido en el enunciado. Seguidamente se determina el centro con sus correspondientes cotas.
Por último, se llevan las magnitudes según correspondan y se determinan los ejes de la figura del agujero en el alzado y la planta.
En el dibujo se puede apreciar claramente como se obtienen dichos ejes según el procedimiento estudiado con anterioridad.
EJERCICIO PARA RESOLVER.
En el modelo dado por sus correspondientes proyecciones. Practicar en la cara (1,2,3) un orifico circular máximo, obteniendo sus ejes en las tres vistas.
EJERCICIO 19
Realizar un orificio de diámetro máximo en una chapa ABCDE de espesor no considerado. Determinar los ejes de dicho agujero en el alzado y planta, así como también la verdadera magnitud de dicha chapa.
A (32, Y+11, 0) B (11, Y, 38) C(32, Y+28, 65) D(¿, Y+43, 56) E (Z, Y+43, 19)
Y- Menor alejamiento de todos los puntos. Z- Mayor cota de todos los puntos.
El centro del orificio se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos EAB y EDC.
SOLUCIÓ:
Se comenzará posicionando los cinco puntos A, B, C, D, E, de forma que sean coplanarios, como se puede apreciar en la página anterior, para conseguirlo se utiliza la afinidad.
Una vez obtenidas las proyecciones de la chapa ABCDE, se coloca en la posición adecuada para que se vea en verdadera magnitud, y así poder realizar el orificio de diámetro pedido. Tendrá como centro la intersección de las bisectrices de los ángulos indicados en el enunciado.
Cuando el orificio se haya realizado, se determinan sobre él los diámetros que darán lugar a los ejes de la elipse en proyección horizontal. Se desabatirán y serán obtenidas las respectivas proyecciones diédricas de alzado y planta con sus ejes correspondientes.
EJERCICIO PARA RESOLVER.
Realizar un agujero centrado y máximo en la placa de proyección hexagonal regular partiendo de los datos que aparecen en la figura: planta (A′B′C′D′E′F′), alzado (F’’’’’’’’) del vértice F y eje de afinidad entre proyecciones de la placa.
EJERCICIO 20
En la figura se representa una tolva y un conducto prismático de sección cuadrada. Unir el citado conducto cuyo eje pasa por el punto X, con la cara más cercana de la tolva a dicho punto, de tal forma que recorra la distancia más corta posible. Se pide:
1-Representar el conjunto en alzado, planta y perfil izquierdo.
