Trabajo Control

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Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA:

I. INDICACIONES GENERALES:

- El trabajo será desarrollado en grupo (02 personas como máximo).

- Resolver presentando en cada caso: Solución Analítica y el programa en MATLAB (según sea el caso) que da solución al problema. - Presentar hasta el día: 01 de febrero de 2016 a las 12:00 horas.

- Formato de presentación: Impreso acompañado de un CD conteniendo los archivos de informe (archivo .doc) y los programas Matlab (archivos .m).

- NO SE ACEPTARAN ESCANEADOS. II. PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. El control automático del nivel de agua mediante un flotador se uso en el Oriente Medio para un reloj de agua. El reloj de agua (Figura 1) se uso desde antes de Cristo hasta el siglo XVII. Analice la operación del reloj de agua y establezca como el flotador proporciona un control con realimentación que conserva la exactitud del reloj. Dibuje un diagrama de bloques del sistema realimentado.

SOL.

La exactitud del reloj depende de un flujo constante desde el orificio; El flujo depende de la altura del agua en el flotador tanque. La altura del agua es controlada por el flotador. El sistema de control controla solamente la altura del agua. Cualquier error debido a la ampliación de el orificio o evaporación del agua en el tanque inferior no se contabiliza para. El sistema de control se puede ver como:

Figura 1

Nivel del flotador

CONTROLADOR Altura de Agua deseada en el tanque de abajo Flujo desde el tanque superior al tanque de abajo PROCESO Altura Real

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL

INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA

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Docente: Ing. Juan Carlos Cuadros Ingeniería de Control y Automatización

Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA: 2. En la Figura 2 se muestra el circuito equivalente para pequeña señal de un amplificador de transistores con emisor

común. El amplificador de transistores incluye una resistencia de realimentación 𝑅𝑓. Determínese la relación de

entrada salida 𝑣𝑐𝑒/𝑣𝑖𝑛.

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Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA:

3. En la Figura 3 se muestra una red LC en escalera. Constrúyase el diagrama de bloques a partir de las ecuaciones que describen la red (ecuaciones para 𝐼1, 𝐼𝑎, 𝑉𝑎, 𝑉2), luego determine la función de transferencia 𝑉2(𝑠)/𝑉1(𝑠)

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL

INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA

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Docente: Ing. Juan Carlos Cuadros Ingeniería de Control y Automatización

Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA:

Figura 3 Y1=L=L1 ; Y3=L=L2 ; Z2=C=C1; Z4=C=C2

Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, se obtiene las siguientes ecuaciones. 𝐿1 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 + 1 𝐶1 ∫(𝑖1− 𝑖𝑎)𝑑𝑡 = 𝑣1 1 𝐶1 ∫(𝑖𝑎− 𝑖1)𝑑𝑡 + 𝐿2 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑡 + 1 𝐶2 ∫(𝑖𝑎+ 𝑖2)𝑑𝑡 = 0 1 𝐶2 ∫(𝑖2+ 𝑖𝑎)𝑑𝑡 = 𝑣2

Si se considera la transformada de Laplace de las Ecuaciones y se suponen condiciones iniciales de cero, se obtiene: 𝐿1𝑆𝐼1(𝑠) + 1 𝐶1𝑆[𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠)] = 𝑉1(𝑠) (1) 1 𝐶1𝑆[𝐼𝑎(𝑠) − 𝐼1(𝑠)] + 𝐿2𝑆𝐼𝑎(𝑠) + 1 𝐶2𝑆[𝐼𝑎(𝑠) + 𝐼2(𝑠)] = 0 (2) 1 𝐶2𝑆[𝐼2(𝑠) + 𝐼𝑎(𝑠)] = 𝑉2(𝑠) (3)

Reescribiendo las ecuaciones: de (1)

𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠) = 𝐶1𝑆[𝑉1(𝑠) − 𝐿1𝑆𝐼1(𝑠)] (4)

La ecuación (4) nos dará el bloque de la figura (a), y la ecuación (2) la modificamos el cual el diagrama será la figura (b) 𝐼𝑎(𝑠) = 𝐶2 𝐶1[𝐶2𝑆2𝐿2+ 1] [𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠)] − 1 𝐶2(𝑠) 𝐼2(𝑠) Sabiendo de I2=0

A partir de (4) construimos el diagrama de bloque. 𝑉1(𝑠) + 𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠) - figura (a) 𝐼1(𝑠) 𝐼𝑎(𝑠) 𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠) figura (b)

- Diagrama de la ecuación (3), figura (c).

C1S L1S 1 𝐶1 𝐶2 𝐶2𝑆2𝐿2+ 1

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Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA:

𝐼𝑎(𝑠) 𝑉2(𝑠)

-Ahora combinamos lo diagramas (a), (b) y (c), será (d) 𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎(𝑠) 𝑉1(𝑠) 𝐼𝑎(𝑠) 𝑉2(𝑠) + - (d) + + -Modificando la figura (d) en (e) y luego en (f).

𝑉2(𝑠) 𝑉1(𝑠) + - (e) + + 𝑉2(𝑠) 𝑉1(𝑠) + + - - (f)

- Resolviendo el diagrama de bloques de (f): Obtenemos. 1 𝐶2𝑆 C1S 1 𝐶1 𝐶2 𝐶2𝑆2𝐿2+ 1 1 𝐶2𝑆 L1S C1S 1 𝐶1 𝐶2 𝐶2𝑆2𝐿2+ 1 1 𝐶2𝑆 L1S C1 C2S C1S 1 𝐶1 𝐶2 𝐶2𝑆2𝐿2+ 1 1 𝐶2𝑆 C1 L1S C2S L1S

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FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL

INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA

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Docente: Ing. Juan Carlos Cuadros Ingeniería de Control y Automatización

Tema: Trabajo PRIMERA FASE

Código: 4E09071

Semestre: IX

Sección : A

Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO Trabajo Nº: 01 28/ENE/2016 FECHA:

𝑉1(𝑠) + 𝑉2(𝑠)

-

𝑉1(𝑠) 𝑉2(𝑠)

- La función de Transferencia es:

𝑉2(𝑠) 𝑉1(𝑠) = 1 1 + 𝐿1𝐿2𝐶1𝐶2𝑆3+ (𝐿1𝐶2+ 𝐿2𝐶2)𝑆2+ 𝐿1𝐶1𝑆 𝑆 1 + 𝐿1𝑆𝐶1 1 𝑆(𝐶2𝑆2𝐿2+ 1) 𝐿1𝑆2𝐶2 1 1 + 𝐿1𝐿2𝐶1𝐶2𝑆3+ (𝐿1𝐶2+ 𝐿2𝐶2)𝑆2+ 𝐿1𝐶1𝑆

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4. Un plotter de baja inercia se puede representar por el diagrama de bloques que se muestra en la figura siguiente. Seleccione un valor de K que produzca una sobre elongación cero correspondiente a una entrada escalón unitario, pero con la respuesta más rápida posible. Con el valor de K calculado, dibuje la respuesta del sistema y compruebe su respuesta.

- Primero encontraremos la función de transferencia. - Modificando el circuito tenemos.

R(S) - Y(S) + - R(S) Y(S) + - R(S) Y(S) - Entonces la FT es: 𝒀(𝑺) 𝑹(𝑺)= 𝟏𝟎𝟎 𝑺𝟐+ 𝟏𝟎𝟎𝑲𝑺 + 𝟏𝟎𝟎

- Esto es una ecuación característica de 2do Orden entonces. 𝑌(𝑆)

𝑅(𝑆)=

𝜔𝑛2

𝑆2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑆 + 𝜔𝑛2

- Igualamos ambas ecuaciones, y tenemos:

𝜔𝑛2= 100 𝜔𝑛= 10 rad/s 2𝜉𝜔𝑛= 100𝐾 (∗) 100 𝑆2 KS KS 100 𝑆2 KS+1 100 𝑆2+ 100𝐾𝑆 + 100

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Tema: TRABAJO PRIMERA FASE TRA N° 1 Ing. JCC

- Tomamos una Sobre elongación aproximada a “0” que será MP= 0,01, según teoría, del tiempo de asentamiento. 2% 𝑀𝑃 = 𝑒−( 𝜉 √1−𝜉2)𝜋 - Aplicando Logaritmos. 𝐿𝑛(0.01) = 𝐿𝑛 (𝑒−( 𝜉 √1−𝜉2)𝜋 ) −2.9957 = − ( 𝜉 √1 − 𝜉2) 𝜋 0.9534 = 𝜉 1 − 𝜉2 𝜉 = 3.1663 - 𝜉 reemplazando en (*), tenemos. 2(3.1663)(10) = 100𝐾 - Entonces el valor de “K” será:

𝑲 = 𝟎. 𝟔𝟑𝟑𝟐

- Para demostrar la respuesta en la salida, se verificará con una entrada escalón unitario mediante Matlab:

CODIGO MATLAB >> K=0.6332 K = 0.6332 >> w=10 w = 10 >> L=3.1663 L = 3.1663 >> sys=tf([w^2],[1 2*L*w w^2]) sys = 100 --- s^2 + 63.33 s + 100

Continuous-time transfer function. >> step(sys)

- La grafica muestra un sistema sub amortiguado.

- Según la gráfica el tiempo de asentamiento (2%) es aproximadamente 4 segundos. - Se tomó una sobre elongación de 1%=0.01, que sea más cercano a cero.

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5. Considere el sistema que se muestra en la Figura 4. Un servomotor cc controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia 𝐽𝐿. El par desarrollado por el motor es 𝑇. El momento de inercia del rotor del motor es 𝐽𝑚 . Los

desplazamientos angulares del motor y del elemento de carga son 𝜃𝑚 y 𝜃, respectivamente. La razón de engranaje es

𝑛 = 𝜃

𝜃𝑚. Obtenga la función de transferencia (𝑠)/𝐸𝑖(𝑠).

Figura 4

- El flujo en el espacio de aire del motor es proporcional a la corriente de excitación, siempre que el campo no este saturado, de modo que.

∅ = 𝐾𝑓𝑖𝑓

- Se supone que el par desarrollado por el motor está relacionado linealmente con ϕ y con la corriente del inducido como sigue:

𝑇𝑚= 𝐾1∅𝑖𝑎(𝑡) = 𝐾1𝐾𝑓𝑖𝑓(𝑡)𝑖𝑎(𝑡). (5.1)

- Según la ecuación (5.1), es evidente que para tener un elemento lineal debe mantenerse una corriente constante, mientras que la es la corriente de entrada. Este caso se considera el motor de cc controlado por inducido utiliza la corriente del inducido (ia) como la variable de control. Cuando se establece una cojrriente de campo constante en una bobina de excitación el par motor es:

- En la Notación de LAPLACE es:

𝑇𝑚(𝑠) = (𝐾1𝐾𝑓𝐼𝑓)𝐼𝑎(𝑠) = 𝐾𝑚𝐼𝑎(𝑠).

- Cuando se utiliza un iman permanente, se tiene:

𝑇𝑚(𝑠) = 𝐾𝑚𝐼𝑎(𝑠)

- Donde Km permeabilidad del material magnético. - La corriente del inducido.

𝑉𝑎(𝑠) = (𝑅𝑎+ 𝐿𝑎𝑆)𝐼𝑎(𝑠) + 𝑉𝑏(𝑠)

- Donde Vb(s) es el voltaje de la fuerza electromotriz proporcional a la velocidad del motor. Por tanto se tiene: 𝑉𝑏(𝑠) = 𝐾𝑏𝜔(𝑠)

- Y la corriente del inducido es:

𝐼𝑎(𝑠) =

𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏𝜔(𝑠)

(𝑅𝑎+ 𝐿𝑎𝑆)

- El Par de carga es:

𝑇𝐿(𝑠) = 𝐽𝑆2𝜃𝑚(𝑠) + 𝑏𝑆𝜃𝑚(𝑠) = 𝑇𝑚(𝑠)

- Entonces igualando obtendremos la función transferencia. 𝐽𝑆2𝜃 𝑚(𝑠) + 𝑏𝑆𝜃𝑚(𝑠) = 𝐾𝑚 𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏𝜔(𝑠) (𝑅𝑎+ 𝐿𝑎𝑆) 𝜃𝑚(𝑠) 𝑉𝑎(𝑠) = 𝐾𝑚 𝑆[(𝑅𝑎+ 𝐿𝑎𝑆)(𝐽𝑚𝑆 + 𝑏) + 𝐾𝑏𝐾𝑚] - Como 𝑛 = 𝜃 𝜃𝑚, 𝑛 = 𝜃(𝑠) 𝜃𝑚(𝑠)

- Entonces la Función de transferencia quedará de la siguiente 𝜽(𝒔)

𝑽𝒂(𝒔)

= 𝒏𝑲𝒎

𝑺[(𝑹𝒂+ 𝑳𝒂𝑺)(𝑱𝒎𝑺 + 𝒃) + 𝑲𝒃𝑲𝒎]

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6. Sea el diagrama de bloques de la Figura 5.

i. Utilícese MATLAB para reducir el diagrama de bloques y calcúlese la función de transferencia en lazo cerrado. ii. Genérese un mapa de polos-ceros de la función de transferencia en lazo cerrado en forma gráfica usando la función

pzmap.

iii. Determinese explícitamente los polos y ceros de la función de transferencia en lazo cerrado empleando las funciones pole y zero y correlaciónense los resultados con el mapa de polos-ceros del punto anterior.

(Muestre los códigos MATLAB que solucionan el problema y las respuestas)

Figura 5 𝐺1 = 1 𝑠 + 1 𝐺2 = 𝑆 𝑆2+ 2 𝐺3 = 1 𝑆2 𝐺4 = 4𝑆 + 2 𝑆2+ 2𝑆 + 1 𝐺5 = 𝑆2+ 2 𝑆3+ 14 R(s) + + Y(s) - - + MATLAB. >> G1=tf([1],[1 1]) G1 = 1 --- s + 1

Continuous-time transfer function. >> G2=tf([1 0],[1 0 2])

G2 = s --- s^2 + 2

Continuous-time transfer function. >> G3=tf([1],[1 0 0]) G3 = 1 --- s^2 4 G1 G2 G3 G4 50 G5

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Continuous-time transfer function. >> G4=tf([4 2],[1 2 1]) G4 = 4 s + 2 --- s^2 + 2 s + 1

Continuous-time transfer function. >> G5=tf([1 0 2],[1 0 0 14] G5 =

s^2 + 2 --- s^3 + 14

Continuous-time transfer function. >> G6=series(G1,G2)

G6 = s --- s^3 + s^2 + 2 s + 2

Continuous-time transfer function. >> G7=feedback(G3,50,+1) G7 =

1 --- s^2 - 50

Continuous-time transfer function. >> G8=G4/G7

G8 =

4 s^3 + 2 s^2 - 200 s - 100 --- s^2 + 2 s + 1

Continuous-time transfer function. >> G9=series(G6,G7)

G9 =

s

--- s^5 + s^4 - 48 s^3 - 48 s^2 - 100 s - 100 Continuous-time transfer function. >> G10=feedback(G9,G5+G8,-1) G10 = s^6 + 2 s^5 + s^4 + 14 s^3 + 28 s^2 + 14 s --- s^10 + 3 s^9 - 45 s^8 - 125 s^7 - 200 s^6 - 1177 s^5 - 2344 s^4 - 3485 s^3 - 7668 s^2 - 5598 s - 1400

Continuous-time transfer function.

>> FT_SYS=series(4,G10)

4 s^6 + 8 s^5 + 4 s^4 + 56 s^3 + 112 s^2 + 56 s

---

s^10 + 3 s^9 - 45 s^8 - 125 s^7 - 200 s^6 - 1177 s^5 - 2344 s^4 - 3485 s^3 - 7668 s^2 - 5598 s - 1400

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Ingeniería de Control y Automatización Página: 12/26

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>> [polos,ceros]=pzmap(FT_SYS) polos = 7.0709 + 0.0000i -7.0713 + 0.0000i 1.2051 + 2.0863i 1.2051 - 2.0863i 0.1219 + 1.8374i 0.1219 - 1.8374i -2.3933 + 0.0000i -2.3333 + 0.0000i -0.4635 + 0.1997i -0.4635 - 0.1997i ceros = 0.0000 + 0.0000i 1.2051 + 2.0872i 1.2051 - 2.0872i -2.4101 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i >> polos=pole(FT_SYS) polos = 7.0709 + 0.0000i -7.0713 + 0.0000i 1.2051 + 2.0863i 1.2051 - 2.0863i 0.1219 + 1.8374i 0.1219 - 1.8374i -2.3933 + 0.0000i -2.3333 + 0.0000i -0.4635 + 0.1997i -0.4635 - 0.1997i >> ceros=zero(FT_SYS) ceros = 0.0000 + 0.0000i 1.2051 + 2.0872i 1.2051 - 2.0872i -2.4101 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i >> pzmap(FT_SYS)

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7. Resuelva el ítem i. del problema 6 aplicando algebra de diagramas de bloques, contraste sus respuestas.

- Primero se nombraron a los bloques:

R(s) + + Y(s) - - + 𝐺7 = 𝐺3 1 − 50𝐺3 𝐺6 = 𝐺1. 𝐺2 R(S) Y(S) + - - R(S) Y(S) + - - 4 G1 G2 G3 G4 50 G5 G6 G7 G4 G5 𝐺4 𝐺7 G5 G6 G7 4 4

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Tema: TRABAJO PRIMERA FASE TRA N° 1 Ing. JCC

𝐺8 =𝐺4 𝐺7 𝐺9 = 𝐺6. 𝐺7 R(S) Y(S) + - 𝐺10 = 𝐺9 1 + 𝐺9(𝐺5 + 𝐺8) R(S) Y(S) R(S) Y(S) 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆)= 4. 𝐺10 - Ahora reemplazando en las ecuaciones.

𝐺10 = 𝐺9 1 + 𝐺9(𝐺5 +𝐺4𝐺7) 𝐺10 = 𝐺6. 𝐺7 1 + 𝐺6(𝐺5𝐺7 + 𝐺4) 𝐺10 = 𝐺6. 𝐺3 1−50𝐺3 1+𝐺6.(𝐺51−50𝐺3𝐺3 +𝐺4) 𝐺10 = 𝐺3𝐺6 1 − 50𝐺3 + 𝐺3𝐺5𝐺6 + 𝐺4𝐺6(1 − 50𝐺3) 𝐺10 = 𝐺3𝐺6 1 − 50𝐺3 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺5 + 𝐺1𝐺2𝐺4(1 − 50𝐺3) 𝐺10 = 𝐺1𝐺2𝐺3 1 − 50𝐺3 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺5 + 𝐺1𝐺2𝐺4 − 50𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4) - Reemplazando los valores reales.

𝐺10 = 1 𝑠 + 1 ∗𝑆2𝑆+ 2𝑆12 1 − 50 ∗𝑆12 +𝑠 + 1 ∗1 𝑆2𝑆+ 2𝑆12𝑆𝑆32+ 14+ 2 +𝑠 + 1 ∗1 𝑆2𝑆+ 2𝑆24𝑆 + 2+ 2𝑆 + 1− 50 ∗𝑠 + 1 ∗1 𝑆2𝑆+ 2𝑆12𝑆24𝑆 + 2+ 2𝑆 + 1) 𝒀(𝑺) 𝑹(𝑺)= 𝟒𝑺𝟔+ 𝟖𝑺𝟓+ 𝟒𝑺𝟒+ 𝟓𝟔𝑺𝟑+ 𝟏𝟏𝟐𝑺𝟐+ 𝟓𝟔𝑺 𝑺𝟏𝟎+ 𝟑𝑺𝟗− 𝟒𝟓𝑺𝟖− 𝟏𝟐𝟓𝑺𝟕− 𝟐𝟎𝟎𝑺𝟔− 𝟏𝟏𝟕𝟕𝑺𝟓− 𝟐𝟑𝟒𝟒𝑺𝟒− 𝟑𝟒𝟖𝟓𝑺𝟑− 𝟕𝟔𝟔𝟖𝑺𝟐− 𝟓𝟓𝟗𝟖𝑺 − 𝟏𝟒𝟎𝟎 G5+G8 4 G9 4 G10 4*G10

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8. El nivel de agua ℎ(𝑡) se controla por un sistema en lazo abierto tal como se muestra en la Figura 6. Un motor de cc controlado por una corriente de inducido 𝑖𝑎 gira un eje abriendo una válvula. La inductancia del motor de cc es

despreciable, es decir 𝐿𝑎= 0. También la fricción rotacional del eje del motor y la válvula es despreciable, esto es 𝑏 =

0. La altura del agua del tanque es:

ℎ(𝑡) = ∫[1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡)]𝑑𝑡

la constante del motor es 𝐾𝑚= 10 y la inercia del eje del motor y la válvula es 𝐽 = 6x10-3 kg-m2. Determínese:

i. La ecuación diferencial para ℎ(𝑡) y 𝑣(𝑡). ii. La función de transferencia 𝐻(𝑠)/𝑉(𝑠).

Figura 6 𝑣𝑎(𝑡) = 50𝑉(𝑡) … (1) 𝑣𝑎(𝑡) = 10𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏(𝑡) … (2) 𝜃̇(𝑡) = 𝑘𝑣𝑏(𝑡) + 𝑣𝑏(𝑡) → 𝑣𝑏(𝑡) = 𝜃̇(𝑡) 𝑘 … (3) 𝐽𝜔̇(𝑡) = 𝑘𝑚𝑖𝑎(𝑡) → 𝐽𝜔̇(𝑡) 𝑘𝑚 = 𝑖𝑎(𝑡) … (4) 𝜔(𝑡) = 𝜃̇(𝑡) 𝜔̇(𝑡) = 𝜃̈(𝑡) ℎ(𝑡) = ∫[1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡)]𝑑𝑡 𝑑ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡) 𝑑ℎ2(𝑡) 𝑑𝑡2 = 1.6𝜃̇(𝑡) − ℎ̇(𝑡) → 𝜃̇(𝑡) = { 𝑑ℎ2(𝑡) 𝑑𝑡2 } 𝑑ℎ3(𝑡) 𝑑𝑡3 = 1.6𝜃̈(𝑡) − 𝑑ℎ2(𝑡) 𝑑𝑡2 1.6𝜃̈(𝑡) =𝑑ℎ 3(𝑡) 𝑑𝑡3 + 𝑑ℎ2(𝑡) 𝑑𝑡2 𝜃̈(𝑡) = [𝑑ℎ 3(𝑡) 𝑑𝑡3 + 𝑑ℎ2(𝑡) 𝑑𝑡2 ] 1 1.6

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Ingeniería de Control y Automatización Página: 16/26

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𝜃̇(𝑡) = [𝑑ℎ 2(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑑ℎ(𝑡) 𝑑ℎ ] 1 1.6 Ecuación para h(t) y v(t) : 50𝑉(𝑡) = 10𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏(𝑡) 50𝑉(𝑡) = 10𝐽𝜔̇(𝑡) 𝑘𝑚 +𝜃̇(𝑡) 𝑘 50𝑉(𝑡) = 10𝐽𝜃̈(𝑡) 𝑘𝑚 +𝜃̇(𝑡) 𝑘 Reemplazando: 50𝑉(𝑡) =10 𝑘𝑚 [𝑑ℎ 3 𝑑𝑡3+ 𝑑ℎ2 𝑑𝑡2] 1 1.6+ 1 𝑘1.6[ 𝑑ℎ2 𝑑𝑡2+ 𝑑ℎ 𝑑𝑡] Dividimos entre 𝟏𝟎 𝟏.𝟔𝒌𝒎 50V(t) ∗ 1.6km 10J = 𝑑ℎ3 𝑑𝑡3+ [1 + 𝑘𝑚 10𝐽𝑘] 𝑑ℎ2 𝑑𝑡2+ 𝑘𝑚𝑑ℎ 10𝐽𝑘 𝐿 {8𝑘𝑚𝑉(𝑡) 𝐽 } = 𝐿 { 𝑑ℎ3 𝑑𝑡3+ [1 + 𝑘𝑚 10𝐽𝑘] 𝑑ℎ2 𝑑𝑡2+ 𝑘𝑚𝑑ℎ 10𝐽𝑘} 8𝑘𝑚𝑉(𝑠) 𝐽 = 𝑠 3ℎ(𝑠) + [1 + 𝑘𝑚 10𝐽𝑘] 𝑠 2ℎ(𝑠) +𝑘𝑚ℎ(𝑠) 10𝐽𝑘 8𝑘𝑚𝑉(𝑠) 𝐽 = [𝑠 3+ [1 + 𝑘𝑚 10𝐽𝑘] 𝑠 2+ 𝑘𝑚 10𝐽𝑘] ℎ(𝑠) (𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 𝒉(𝒔) 𝑽(𝒔)= 𝟖𝒌𝒎 𝑱 𝒔𝟑+ [𝟏 + 𝒌𝒎 𝟏𝟎𝑱𝒌] 𝒔𝟐+ 𝒌𝒎 𝟏𝟎𝑱𝒌

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9. Una red de puente en T se utiliza frecuentemente en sistemas de control de ca como una red de filtro. En la Figura 7 se muestra el circuito de una red de puente en T.

i. Demuéstrese que la función de transferencia de la red es: 𝑉𝑜(𝑠)

𝑉𝑖𝑛(𝑠)

= 1 + 2𝑅1𝐶𝑠 + 𝑅1𝑅2𝐶

2𝑠2

1 + (2𝑅1+ 𝑅2)𝐶𝑠 + 𝑅1𝑅2𝐶2𝑠2

ii. Dibújese el diagrama de polos-ceros cuando 𝑅1= 0.5, 𝑅2= 1 y 𝐶 = 0.5.

Figura 7 iii. Dibuje el diagrama de bloques de la red.

- Demostrando la función transferencia. I3 I1 I2 Vin Vout I1 I1 I3 I2 Vin I3 Vout I1 Z1 Z2 Z4 Z3 Z4 Z3 Z2 Z1

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Ingeniería de Control y Automatización Página: 18/26

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- Aplicando leyes de nodos y Kirchoff.

𝑰𝟏= 𝑰𝟐+ 𝑰𝟑 𝑰𝟐𝒁𝟏= (𝒁𝟑+ 𝒁𝟒)𝑰𝟑 - Despejando I2 en función de I1 𝐼3= 𝐼1− 𝐼2 𝐼2𝑍1= (𝑍3+ 𝑍4)𝐼3 𝐼2𝑍1= (𝐼1− 𝐼2)(𝑍4+ 𝑍3) 𝐼2𝑍1= 𝐼1𝑍4+ 𝐼1𝑍3− 𝐼2𝑍4− 𝐼2𝑍3 𝑰𝟐= 𝒁𝟑+ 𝒁𝟒 𝒁𝟏+ 𝒁𝟑+ 𝒁𝟒 𝑰𝟏 - Despejando I3 en función de I1 𝐼2= 𝐼1− 𝐼3 𝐼2𝑍1= (𝑍3+ 𝑍4)𝐼3 (𝐼1− 𝐼3)𝑍1= 𝐼3(𝑍4+ 𝑍3) 𝐼1𝑍1− 𝐼3𝑍1= 𝐼3𝑍4+ 𝐼3𝑍3 𝑰𝟑= 𝒁𝟏 𝒁𝟏+ 𝒁𝟑+ 𝒁𝟒 𝑰𝟏

- Haciendo Kirchoff 2da ley en el lado de entrada, se tiene:

𝑽𝒊(𝒔) = 𝒁𝟏𝑰𝟐+ 𝒁𝟐𝑰𝟏 = 𝑍1[𝑍2+ 𝑍1(𝑍3+ 𝑍4) 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 ] 𝐼1 =𝑍2(𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4) + 𝑍1(𝑍3+ 𝑍4) 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 𝐼1

- Ahora aplicando 2da ley en la salida.

𝑽𝒐(𝒔) = 𝒁𝟑𝑰𝟑+ 𝒁𝟐𝑰𝟏 = 𝑍3𝑍1 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 𝐼1+ 𝑍2𝐼1 =𝑍3𝑍1+ 𝑍2(𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4) 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 𝐼1

- Entonces la FT Vo(s)/Vi(s) de la red. 𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) = 𝑍3𝑍1+ 𝑍2(𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4) 𝑍2(𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4) + 𝑍1(𝑍3+ 𝑍4) - Observamos que: 𝑍1= 1 𝐶𝑆 𝑍2= 𝑅1 𝑍3= 1 𝐶𝑆 𝑍4= 𝑅2 - Entonces la Ft se obtiene como sigue:

𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) = 1 𝐶𝑆 1 𝐶𝑆 + 𝑅1(𝐶𝑆 +1 𝐶𝑆 + 𝑅1 2) 𝑅1( 1 𝐶𝑆 + 1 𝐶𝑆 + 𝑅2) + 1 𝐶𝑆 ( 1 𝐶𝑆 + 𝑅2)

- Por lo tanto la FUNCION DE TRASNFERENCIA ES: 𝑽𝒐(𝒔) 𝑽𝒊(𝒔) =

𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐𝒔𝟐+ 𝟐𝑹𝟏𝑪𝒔 + 𝟏

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ii. Diagrama de polos y ceros cuando, 𝑅1= 0.5, 𝑅2= 1 y 𝐶 = 0.5. 𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) = 0.5(1)0.52𝑠2+ 2(0.5)(0.5)𝑠 + 1 0.5(1)0.52𝑠2+ (2(0.5) + 1)(0.5)𝑠 + 1 𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠)= 0.125 𝑆2+ 0.5 𝑆 + 1 0.125 𝑆2+ 𝑆 + 1 - Dividimos entre 0.125. 𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) = 𝑆2+ 4𝑆 + 8 𝑆2+ 8𝑆 + 8

- Con ayuda de Matlab obtenemos lo polos y zeros. polos = -6.8284 -1.1716 ceros = -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i

- Y graficando esto, observamos que el sistema es estable. - Grafica en coordenadas polares.

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iii. Diagrama de bloques.

I1 I1 I3 Vout

Vin + +

- +

I2

10. Considere el sistema de la Figura 8. Determine el valor de Kh para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de respuesta escalón unitario para el sistema.

Figura 8 1 𝑍2 𝑍3+ 𝑍4 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 𝑍1 𝑍2 Z2 𝑍1 𝑍1+ 𝑍3+ 𝑍4 Z3 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) 10 𝑠 + 1 1 𝑠 𝐾ℎ 𝑠 𝐾ℎ𝑠 10 𝑠(𝑠 + 1)

(21)

Escalón Unitario: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 𝜔𝑛2 𝑠2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 10 𝑠2+ (1 + 10𝐾 ℎ)𝑠 + 10 𝜔𝑛2= 10 𝜉 = 0.5 (𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) 2𝜉𝜔𝑛= 1 + 10𝐾ℎ= 2 ∗ 0.5 ∗ √10 = √10 Despejamos 𝐾ℎ 𝐾ℎ = √10 − 1 10 𝑲𝒉= 𝟎. 𝟐𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖 MATLAB >> Kh=0.216228 Kh = 0.2162 >> w=10^(0.5) w = 3.1623 >> SYS=tf([w^2],[1 1+10*Kh 10]) SYS = 10 --- s^2 + 3.162 s + 10

Continuous-time transfer function. >> step(SYS)

Observaciones:

- La respuesta a una entrada de escalón unitario en la FT, nos da una señal de un sistema sub amortiguado. - La sobre elongación que nos muestra es aprox MP = 16%.

- El tiempo pico es tp= 1.14 segundos.

- El tiempo de asentamiento es aproximadamente 3 segundos.

𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) 10 𝐶(𝑠) 𝑠2+ 𝑠 + 10𝐾 ℎ𝑠 10 𝑠2+ (1 + 10𝐾 ℎ)𝑠 + 10

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11. Dos carros con fricción despreciable en las ruedas se conectan como se muestra en la Figura 9. Una fuerza de entrada es 𝑢(𝑡). La salida es la posición del carro 2, es decir, 𝑦(𝑡) = 𝑞(𝑡). Modele el sistema y determine la ecuación diferencial y la función del transferencia del sistema. Luego construya el diagrama de bloques.

Figura 9  Hallamos la Ecuación del Movimiento para 𝑚1 :

−𝑘1(𝑥 − 𝑞) − 𝑏1(𝑥̇ − 𝑞̇) + 𝑢 = 𝑚1𝑥̈

𝑚1𝑥̈ + 𝑏1𝑥̇ + 𝑘1𝑥 = 𝑏1𝑞̇ + 𝑘1𝑞 + 𝑢 ….(𝛼)

𝒎𝟏𝒙̈ + 𝒌𝟏(𝒙 − 𝒒) + 𝒃𝟏(𝒙̇ − 𝒒̇) = 𝒖(𝒕)

 Hallamos la Ecuación del Movimiento para 𝑚2 :

−𝑘1(𝑞 − 𝑥) − 𝑏1(𝑞̇ − 𝑥̇) − 𝑘2𝑞 − 𝑏2𝑞̇ = 𝑚2𝑞̈

𝑚2𝑞̈ + (𝑏1+ 𝑏2)𝑞̇ + (𝑘1+ 𝑘2)𝑞 = 𝑏1𝑥̇ + 𝑘1𝑥 ….(𝛽)

𝒎𝟐𝒒̈ + 𝒌𝟐𝒒 + 𝒃𝟐𝒒̇ + 𝒃𝟏(𝒒̇ − 𝒙̇) + 𝒌𝟏(𝒒 − 𝒙) = 𝟎

 Transformada de Laplace en…(𝛼) :

𝑚1𝑠2𝑋(𝑠) + 𝑏1𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘1𝑋(𝑠) = 𝑏1𝑠𝑄(𝑠) + 𝑘1𝑄(𝑠) + 𝑈(𝑠) 𝑋(𝑠)[𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1] = 𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] + 𝑈(𝑠)….(𝛼)∗ 𝑋(𝑠) =𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] + 𝑈(𝑠) 𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1 𝑏1(𝑥̇ − 𝑞̇) 𝑘1(𝑥 − 𝑞)

𝑢

𝑚 1 𝑘1(𝑞 − 𝑥) 𝑏1(𝑞̇ − 𝑥̇) 𝑘2𝑞 𝑏2𝑞̇ 𝑚2

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 Reemplazamos en (𝛽)∗ : 𝑄(𝑠)[𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + (𝑘1+ 𝑘2)] = [ 𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] + 𝑈(𝑠) 𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] [𝑏1𝑠 + 𝑘1] 𝑄(𝑠)[𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + (𝑘1+ 𝑘2)][𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1] = [𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] + 𝑈(𝑠)][𝑏1𝑠 + 𝑘1] 𝑄(𝑠) 𝑈(𝑠)= 𝑏1𝑠 + 𝑘1 [𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + (𝑘1+ 𝑘2)][𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1] − [𝑏1𝑠 + 𝑘1]2

 Transformada de Laplace en….(𝛽):

𝑚2𝑠2𝑄(𝑠) + (𝑏1+ 𝑏2)𝑠𝑄(𝑠) + (𝑘1+ 𝑘2)𝑄(𝑠) = 𝑏1𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘1𝑋(𝑠) 𝑄(𝑠)[𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + (𝑘1+ 𝑘2)] = 𝑋(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1]….(𝛽)∗ 𝑄(𝑠) = 𝑋(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] 𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2  Reemplazamos en (𝛼)∗ : 𝑋(𝑠)[𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1] = [ 𝑋(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1] 𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2 ] [𝑏1𝑠 + 𝑘1] + 𝑈(𝑠) 𝑋(𝑠)[𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1][𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2] − 𝑋(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1]2= 𝑈(𝑠)[𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2] 𝑋(𝑠)[[𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1][𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2] − [𝑏1𝑠 + 𝑘1]2] = 𝑈(𝑠)[𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2] 𝑋(𝑠) 𝑈(𝑠)= 𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2 [𝑚1𝑠2+ 𝑏1𝑠 + 𝑘1][𝑚2𝑠2+ (𝑏1+ 𝑏2)𝑠 + 𝑘1+ 𝑘2] − [𝑏1𝑠 + 𝑘1]2

Para ver la respuesta asumiremos valores.

𝑚2= 𝑚1= 𝑏1= 𝑏2= 𝑘1= 𝑘2= 1 - Entonces tenemos. - 𝑄(𝑠) 𝑈(𝑠)= 𝑆 + 1 𝑆4+ 5𝑆3+ 2𝑆2+ 2𝑆 + 3 𝑋(𝑠) 𝑈(𝑠)= 𝑆2+ 2𝑆 + 2 𝑆4+ 5𝑆3+ 2𝑆2+ 2𝑆 + 3

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Grafica de respuesta a escalón unitario 𝑿(𝒔) 𝑼(𝒔)

Grafica de respuesta a escalón unitario 𝑸(𝒔) 𝑼(𝒔)

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12. Haga un análisis completo de la respuesta al impulso de un sistema de segundo orden. - Para este problema tomaremos como análisis el problema 10.

- La Función de Transferencia es: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 𝜔𝑛2 𝑠2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 10 𝑠2+ (1 + 10𝐾 ℎ)𝑠 + 10 𝑲𝒉= 𝟎. 𝟐𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖 𝜔𝑛2= 10 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 10 𝑠2+ 3.16228𝑠 + 10

USANDO MATLAB observaremos la respuesta tomando como entrada un IMPULSO a la FT. >> Kh=0.216228 Kh = 0.2162 >> w=10^(0.5) w = 3.1623 >> SYS=tf([w^2],[1 1+10*Kh 10]) SYS = 10 --- s^2 + 3.162 s + 10

Continuous-time transfer function. >> impulse(SYS)

OBSERVACIONES:

- Se observa en la gráfica una respuesta con una entrada de tipo impulso. - El tiempo pico que alcanza esta grafica aproximadamente es < 0.5 segundos.

- El tiempo de estabilización es aproximadamente 3.5 segundos, ya que es parecida a la respuesta con una entrada escalón unitario.

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III. CONCLUSIONES, OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES 1. Emita al menos 5 conclusiones sobre el trabajo realizado.

- ______________________________________________________________________________________________ - ______________________________________________________________________________________________ - ______________________________________________________________________________________________ - ______________________________________________________________________________________________ - ______________________________________________________________________________________________ 2. Haga sus recomendaciones y observaciones.

____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________

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