Taller Regresión1

(1)

Universidad Nacional de Colombia Departamento de

Estadística Probabilidad y Estadística Fundamental - Grupo 1

Taller de Regresión 1.

Emilio Lucero Loza (2548898)

1. Los siguientes datos corresponden a las calificaciones de 6 alumnos seleccionados al azar

Calif. De Matemáticas 70 92 80 74 65 83 Calif. De Inglés 74 84 63 87 78 90

Tabla 1

 Hallar los coeficientes de regresión 𝛽 0 y 𝛽 1. Interprete los resultados  Plantee el resultado

 Halle Y estimado

 Hallar coeficiente de correlación lineal.

SOLUCIÓN AL EJERCICIO

Llamamos

𝑋, calificación de matemáticas

𝑌, calificación de Inglés

De la tabla 1 se obtiene la tabla 2

Total 𝑿 70 92 80 74 65 83 464 𝒀 74 84 63 87 78 90 476 𝑿𝟐 ₄₉₀₀ ₈₄₆₄ ₆₄₀₀ ₅₄₇₆ ₄₂₂₅ ₆₈₈₉ ₃₆₃₅₄ 𝒀𝟐 ₅₄₇₆ ₇₀₅₆ ₃₉₆₉ ₇₅₆₉ ₆₀₈₄ ₈₁₀₀ ₃₈₂₅₄ 𝑿𝒀 5180 7728 5040 6438 5070 7470 36926 𝑿 − 𝑿 𝒀 − 𝒀 39,11 68,444 -43,56 -25,56 16,44 60,44 115,33 Tabla 2

Los valores medios para las variables 𝑋 y 𝑌 son: 𝑋 = 77.33; 𝑌 = 79.33

 Coeficientes de regresión

Primero se calcula las desviaciones de cada variable

𝑆

_𝑥2

=

𝑋𝑖2 𝑛

− 𝑋

2

₌

36354 6

− 77.33

2

𝑆

_𝑥2

= 78.55; 𝑆

_𝑥

= 8.86

𝑆

_𝑦2

=

𝑌𝑖2 𝑛

− 𝑌

2

₌

38254 6

− 79.33

2

𝑆

_𝑦2

= 81.88; 𝑆

_𝑦

= 9.05

𝑆

_𝑥𝑦2

=

𝑋−𝑋 𝑌−𝑌 𝑛

=

115,33 6

𝑆

_𝑥𝑦2

= 19.22; 𝑆

_𝑥𝑦

= 4.38

(2)

De los resultados anteriores se obtiene

𝛽

₁

=

𝑆𝑥𝑦 2 𝑆𝑥2

=

19.22 78.55

= 0.244 ;

𝛽

₀

= 𝑌 − 𝛽

₁

𝑋 = 77.33 − 0.244 79.33 = 60.41;

Interpretación: El valor de 𝛽₁= 0.244, esto indica que por valor en la nota de matemáticas, en promedio la nota de inglés se incrementa 0.244.

El valor 𝛽₀= 60.41, indica que para una persona con 0 en la nota de matemáticas, el valor de la nota de inglés es 60.41. Pero antes de tomar como cierto esta interpretación es necesario comprobar la correlación lineal de las variables.

 Resultado

𝑌 = 𝛽

₀

+ 𝛽

₁

𝑋.

𝑌 = 60.41 + 0.244𝑋.

 𝑌 estimado

Se representa en la siguiente tabla

Total

𝑿 70 92 80 74 65 83 464

𝒀 74 84 63 87 78 90 476

𝑌 77,49 82,858 79,93 78,466 76,27 80,66 Tabla 3

 Coeficiente de correlación lineal

𝑟 =

𝑆

𝑥𝑦 2

𝑆

_𝑥

𝑆

_𝑦

=

19.22 8.86 9.05

= 0.239

El valor del coeficiente de correlación es muy cercano a 0, por lo tanto las variables no poseen relación lineal alguna y las interpretaciones anteriores carecen de sentido

2. El estudio “Development of LIFTEST, A Dynamic Technique to Assess Individual Capability to Lift Material” se llevó a cabo, en 1982 en la Virginia Polytechnic Institute an State University, con un objeto de determinar si ciertas mediciones de la resistencia estática del brazo tenían alguna influencia en las características de la “Elevación dinámica” de un individuo. Veinticinco individuos se sometieron a pruebas de resistencia y después se les pidió que llevaran a cabo una prueba de levantamiento de pesas en la cual debían levantar el peso en forma dinámica por encima de la cabeza. Los datos fueron los siguientes:

(3)

Individuo 𝒙 𝒚 1 17,3 71,7 2 19,3 48,3 3 19,5 88,3 4 19,7 75 5 22,9 91,7 6 23,1 100 7 26,4 73,3 8 26,8 65 9 27,6 75 10 28,1 88,3 11 28,2 68,3 12 28,7 96,7 13 29 76,7 14 29,6 78,3 15 29,9 60 16 29,9 71,7 17 30,3 85 18 31,3 85 19 36 100 20 39,5 100 21 40,4 100 22 44,3 100 23 44,6 91,7 24 50,4 100 25 55,9 71,7 Tabla 4

𝑥= Resistencia del Brazo. 𝑦= Levantamiento dinámico

 Hallar los coeficientes de regresión 𝛽 0 y 𝛽 1. Interprete los resultados  Plantee el resultados

 Halle 𝑌 estimado

 Hallar el coeficiente de correlación lineal

SOLUCIÓN AL EJERCICIO

De la tabla 4 se obtiene la tabla 5

Individuo 𝒙 𝒚 𝒙𝟐 _𝒚𝟐 _𝒙𝒚 _{(𝒙 − 𝑿}_{)(𝒚 − 𝒀}₎ 1 17,3 71,7 299,29 5140,89 1240,41 149,115 2 19,3 48,3 372,49 2332,89 932,19 404,822 3 19,5 88,3 380,25 7796,89 1721,85 -67,931 4 19,7 75 388,09 5625 1477,5 85,493 5 22,9 91,7 524,41 8408,89 2099,93 -76,145 6 23,1 100 533,61 10000 2310 -141,097 7 26,4 73,3 696,96 5372,89 1935,12 43,529 8 26,8 65 718,24 4225 1742 75,950 9 27,6 75 761,76 5625 2070 26,496 10 28,1 88,3 789,61 7796,89 2481,23 -17,775 11 28,2 68,3 795,24 4664,89 1926,06 41,767 12 28,7 96,7 823,69 9350,89 2775,29 -34,839

(4)

13 29 76,7 841 5882,89 2224,3 12,389 14 29,6 78,3 876,16 6130,89 2317,68 6,452 15 29,9 60 894,01 3600 1794 28,040 16 29,9 71,7 894,01 5140,89 2143,83 13,438 17 30,3 85 918,09 7225 2575,5 -2,1471 18 31,3 85 979,69 7225 2660,5 0,384 19 36 100 1296 10000 3600 85,065 20 39,5 100 1560,25 10000 3950 146,427 21 40,4 100 1632,16 10000 4040 162,206 22 44,3 100 1962,49 10000 4430 230,580 23 44,6 91,7 1989,16 8408,89 4089,82 124,188 24 50,4 100 2540,16 10000 5040 337,526064 25 55,9 71,7 3124,81 5140,89 4008,03 -266,529536 Total 778,7 2061,7 26591,63 175094,57 65585,24 1367,4084 Tabla 5

Los valores medios para las variables 𝑋 y 𝑌 son: 𝑋 = 31.148; 𝑌 = 82.468

 Coeficientes de regresión

Primero se calcula las desviaciones de cada variable

𝑆

_𝑥2

=

𝑋𝑖2 𝑛

− 𝑋

2

₌

26591.63 25

− 31.148

2

𝑆

_𝑥2

= 93.467; 𝑆

_𝑥

= 9.667

𝑆

_𝑦2

=

𝑌𝑖2 𝑛

− 𝑌

2

₌

175094.57 25

− 82.468

2

𝑆

_𝑦2

= 202.811; 𝑆

_𝑦

= 14.241

𝑆

_𝑥𝑦2

=

𝑋−𝑋 𝑌−𝑌 𝑛

=

1367,408 25

𝑆

_𝑥𝑦2

= 54.696; 𝑆

_𝑥𝑦

= 7.395

De los resultados anteriores se obtiene

𝛽

₁

=

𝑆𝑥𝑦 2 𝑆_𝑥2

=

54.696 93.467

= 0.585 ;

𝛽

₀

= 𝑌 − 𝛽

₁

𝑋 = 82.468 − 0.585 31.148 = 64.240;

Interpretación:  Resultado

𝑌 = 𝛽

₀

+ 𝛽

₁

𝑋.

𝑌 = 64.240 + 0.585𝑋.

 𝑌 estimado

(5)

Individuo 𝒙 𝒚 𝒀 1 17,3 71,7 74,360 2 19,3 48,3 75,530 3 19,5 88,3 75,647 4 19,7 75 75,764 5 22,9 91,7 77,636 6 23,1 100 77,753 7 26,4 73,3 79,684 8 26,8 65 79,918 9 27,6 75 80,386 10 28,1 88,3 80,678 11 28,2 68,3 80,737 12 28,7 96,7 81,029 13 29 76,7 81,205 14 29,6 78,3 81,556 15 29,9 60 81,731 16 29,9 71,7 81,731 17 30,3 85 81,965 18 31,3 85 82,550 19 36 100 85,3 20 39,5 100 87,347 21 40,4 100 87,874 22 44,3 100 90,155 23 44,6 91,7 90,331 24 50,4 100 93,724 25 55,9 71,7 96,941 Total 778,7 2061,7 Tabla 6  Coeficiente de correlación lineal

𝑟 =

𝑆

𝑥𝑦 2

𝑆

_𝑥

𝑆

_𝑦

=

54.696 9.667 14.241

= 0.397

El coeficiente de correlación lineal es muy cercano a 0, por lo tanto no existe relación lineal entre las dos variable