54747783 Ejercicios Resueltos de Fisica

(1)

4. DINÁMICA Y ESTÁTICA

La dinámica estudia las fuerzas como ca

usas productoras del movimiento,

relacionándolas con la masa y la aceleración del cuerpo que se

mueve. Mientras que la

estática se

encarga del estudio de las

condicione

s que deben cumplir las fuerzas para

que un cuerpo esté en equilibrio.

Concepto de fuerza:

Concepto de fuerza: EE

s una cantidad vectorial (requiere magnitud dirección y sentido)

capaz de producir o modificar un movimiento o deformar un cuerpo.

La fuerza generalmente se repres

enta por una F y sus

un

idades son:

E

n el

sist

ema MKS es el

Newton (Nw), que se define como

la fuerza que

comunica una

aceleración de 1m/s 2 a un cuerpo de 1 kg de masa (1Nw = 1 kg × m/s 2 ).

EE

n el sistema

CGS es la Dina (es la fuerza que comunica una aceleración de 1 cm/s 2 a un cuerpo de 1

g de masa)

Leyes

d

e

N

ewton

Primera ley

Primera ley::

(Inercia) Un cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento

rectilíneo uniforme(en una de estas condiciones el cuerpo está en equilibrio) a menos

que sobre él actúe alguna fuerza resultante diferente de cero.

S

S _{egunda ley}_{egunda ley}_:_:

(Movimiento)

_E_E

l cambio de momentum de un cuerpo por unidad de

tiempo, es igual a la fuerza neta que actúa sobre él y tiene lugar en la dirección de esa

fuerza; en otras palabras, la fuerza

neta que se ejerce sobre un cuerpo es igual a su

masa

multiplicada por la aceleración que este adquiere:

4.1

T

T _{ercera ley}_{ercera ley}_:_:

(Acción-Reacción) siempre que un cuerpo A ejerza fuerza sobre

otro B, el

cuerpo B ejerce simultáneamente otra fuerza igual y de dirección opuesta sobre el

cuerpo A

.

A una cualqu

iera de estas fuerzas se le ll

ama acción y a la otra

reacción; es

importante tener en cuenta que estas fuerzas act

úan sobre cue

rpos diferentes, por lo cual

nunca se anulan.

Fu

_erzas

_en

_l

_a

_N

_at

u

_ra

_l

_eza

E

n la vida cotidiana intera

ctuas con una gran cantidad

de fuerzas que son las causantes

de muchos de los fenómen

os que observas a

diario; entre esas fuerzas sobresalen:

F

F uerza Normal:uerza Normal:EE

s la fuerza que ejerce una superficie sobre el cuerpo apoyado sobre

ella; aparece SOLAM

EE

NT

EE

cuando un cuerpo

EE

ST

Á

APOYADO sobre otro

y

está

dirigida perpendicularmente a la superficie de apoyo, se representa

(2)

(3)

E

E l Peso:l Peso:

es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre los cuerpos; está

dirigida

hacia abajo (hacia

el centro de la tierra) y siempre está presente. Se repres

enta por W y

se determina mediante la siguiente r

elación:

W

W _{= mg}_{= mg}

4.2

4.2 Donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración de la gravedad.

Donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración de la gravedad.

L

La Tensión:a Tensión:

es la fuerza que e

jerce una cuerda

completamente estirada atada a un

cuerpo. Toma la misma dirección de la cuerda y la mis

ma intensidad; si la cuerda es

la

misma, la tensión es igual en cualquier

pun

to. Se representa

mediante la letra T:

F

F uerza de rozamiento:uerza de rozamiento:EE

s la fuerza que se produce por interacción de un cuerpo con una

superficie rugo

sa; entre

más rugo

sa sea, la

fuerza de rozamiento es

mayor. Aparece

cuando un cuerpo se mueve sobre otro y va dirigida en dirección contraria al

movimiento. Se denota por F r o F f (fuerza de fricción). La relación matemática que

permite calcularla es:

4.3

4.3 Donde N es la fuerza normal y m es el

Donde N es la fuerza normal y m es el

coeficientecoeficiente

de rozamiento

que depende de las características

físicas y químicas de las superficies en contacto,

por lo cual cada material tiene un coe

ficiente de

rozamiento diferente.

F

F uerza elástica:uerza elástica:EE

s una fuerza de reacción que presenta

n los resortes cuando sobre él

actúa otra fuerza para deformarlo. La fuerza elástica

de un resorte se determina por la

ley de Hooke:

F

F _{= -kx}_{= -kx}

4.4

4.4 Donde k es la constante elástica del resorte y x es la longitud que se estira o se

Donde k es la constante elástica del resorte y x es la longitud que se estira o se

comprime el resorte; el signo menos significa que la fuerza elástica restaura

dora actúa

en sentido contrario a la fuerza defor

mado

ra.

Di

agrama

d

e

c

u

erpo

lib

re

Un diagrama de cuerpo libre o de fuerzas es la representación en un plano cartesiano de

(4)

todas las fuerzas que actúan s

obre un cuerpo; su realización es necesaria para la

solución de problem

as de diná

mica y de estática.

EE

l procedimiento para lograrlo es

el

A partir de las condiciones del problema has un bosquejo claro que represente la

situación, marca todas las fuerzas

conocidas y desconocidas.

y

Traza los ejes

x x

y

y y

con líneas punteadas.

y

Por cada cuerpo que esté presente debes realizar un diagrama de cuerpo libre.

y

y EE

l cuerpo sobre el que actúan las fuerzas r

epreséntalo como un punto que

coincida con el origen del plano cartesiano.

y

Dibuja un diagrama de fuerzas, de tal forma que todas las fuerzas se represent

en

como vectores cuyos orígenes coincidan con el origen del plano cartesiano.

Ej

Ejemplo. Dibuemplo. Dibu j jar el diagrama de cuerpo libre de una caar el diagrama de cuerpo libre de una ca j ja que es arrastrada sobre unaa que es arrastrada sobre una

superficie rugosa co

superficie rugosa con una cuerda qun una cuerda que forma 45 ° con e forma 45 ° con la horizontal.la horizontal.

De acuerdo al enun

De acuerdo al enunciado un eciado un esquema de la situación es:squema de la situación es:

Al ana

Al analizar el problema las fuerzas que están presentes son: el lizar el problema las fuerzas que están presentes son: el

eso (W), la normal (N), la tensi

eso (W), la normal (N), la tensión (T) y la fricción ( ón (T) y la fricción ( F F r). Ser). Se

realiza a continuac

realiza a continuación ión el diagrama el diagrama de cuerpo libde cuerpo libre como sere como se

observa a la izquierda.

Leyes de Newton Leyes de Newton

Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y

un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y Newton cuando se efectuaron dramáticos progresos en la resolución de esta Newton cuando se efectuaron dramáticos progresos en la resolución de esta búsqueda.

búsqueda.

Isaac Newton

(1642 - 1727), nacido el (1642 - 1727), nacido el año que murióaño que murió

Galileo

, es el , es el principaprincipall arquitecto de la

arquitecto de la

mecanicaclasica

, la cual se resume en sus, la cual se resume en sus

tres leyes del

movimiento

..

A

Antes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía quentes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariament

en línea recta necesariament e tenía que impulsarlo algún agente externo; de otrae tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de

(5)

llegando a la conclusión de que un objeto contin uará moviéndose con

velocidad

constante

, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento.

Las tres leyes de Newton del movimiento son las llamadas

leyes clasicas del

movimiento

. Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no fueron objetadas hasta que

Albert Einstein

desarrolló la

teoría de la relatividad

en 1905.

Primera Ley de Newton, de la Inercia

Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con

velocidad constante

. Un ejemplo de esto puede encontrarse en el movimiento de los meteoritos y asteroides, que vagan por el espacio en línea recta a velocidad constante, siempre que no se encuentren cercanos a un cuerpo celeste que los desvíe de su trayectoria rectilínea.

La tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama

inercia

.

La

masa

es una medida de la

inercia

de un cuerpo. El

peso

se refiere a la

fuerza

de gravedad

sobre un cuerpo, que no debe confundirse con su

masa

.

Segunda Ley de Newton, de la Masa

Indica que la

aceleracion

de un cuerpo es

directamente

proporcional a l a

fuerza

neta

que actúa sobre él, e

inversamente

proporcional a su

masa

.

F = ma

Este tema está tratado y se accede presionando: S

egunda Ley de Newton

. Tercera Ley de Newton, Principo de Accion y Reaccion

Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera.

Leyes de Newton: Fuerza de Friccion y Diagrama de Cuerpo Libre o Diagrama de Cuerpo Aislado

Cuando dos cuerpos se deslizan entre sí, la

fuerza de fricción

que ejerce uno sobre el otro se puede definir en forma aproximada como , donde

N

es la fuerza normal, o sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre otro, en dirección perpendicular a la superficie de contacto;

se usa para denotar el

coeficiente de friccion cinética

si hay movimiento relativo entre los cuerpos; si están en reposo, es el

coeficiente de friccion

estática

y

es la

máxima fuerza de friccion

justo antes de que se inicie el movimiento.

Para resolver problemas en que intervengan fuerzas sobre uno o más cuerpos, es esencial trazar un

diagrama de cuerpo libre o dia grama de cuerpo aislado

para cada uno de los cuerpos donde se muestren todas las fuerzas que actúan sólo en el cuerpo respectivo

(6)

Primera ley o ley de inercía

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinámica

La fuerza que actua sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

Tercera ley o Principio de acción-reacción

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Estas son las tres leyes de Newton y, a continuación, vamos a comentarlas

cada una por separado.

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dic e

que si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá

indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido

el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el

observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el

interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que

para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el

interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un

sistema de referencia

al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton

sirve para definir un tipo especial de sistemas de referenci a conocidos como

(7)

desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna

fuerza neta se mueve con velocidad constante.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto

que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero

siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema

que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema

inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una

buena aproximación de sistema inercial.

La

Primera ley de Newton

nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento

es necesario que exista

algo

que provoque dicho cambio. Ese

algo

es lo que

conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de unos

cuerpos sobre otros.

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza .

Nos dice que

la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la

aceleración que adquiere dicho cuerpo

. La constante de proporcionalidad es

la

masa del cuerpo

, de manera que podemos expresar la relación de la

siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir,

tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la

Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el

S

_{istema Internacional}

_{es el}

N

_{ewton y se representa}

por

N

_{. Un}

N

_ewton

_{es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un}

kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s

2

, o sea,

(8)

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para

cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un

cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a.

Vamos a generalizar la Segunda ley de Newt on para que incluya el caso de

sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud

física es la

c

_a

nti

_{dad d}

e

_mov

i

_m

ient

_{o que se representa por la letra p y que se}

define como el producto de la

masa de un cuerpo por su velocidad

, es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como

momento lineal

. Es una

magnitud vectorial y, en el

S

_{istema Internacional}

_{se mide en Kg·m/}

s

_{. En}

términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa

de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la

cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea

constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la

definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto

tenemos:

F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

tal y como habiamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la

Segunda ley de Newton

usando la cantidad de

movimiento es lo que se conoce como Pr

inci

_p

i

_{o d}

e c

_o

nse

_rva

ción

_d

e

_la

c

_a

nti

_{dad d}

e

_mov

i

_m

ient

_{o. Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es}

(9)

0 = dp/dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al

tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser

constante en el tiempo (

la derivada de una constante es cero

). Esto es el

Pr

inci

_p

i

_{o d}

e c

_o

nse

_rva

ción

_d

e

_la

c

_a

nti

_{dad d}

e

_mov

i

_m

ient

_{o :}

_{si la fuerza total}

que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de mov imiento del cuerpo

permanece constante en el tiempo

.

Tal como comentamos en al principio de la

Segunda ley de Newton

las fuerzas

son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.

La

tercera ley

, también conocida como Pr

inci

_p

i

_{o d}

e

_a

cción

_{y r}

e

_a

cción

_nos

dice que

si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza

sobre A otra acción igual y de sen tido contrario

.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por

ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo

para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambien

nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra

persona hace sobre nosotros,

aunque no haga el intento de empujarnos a

nosotros

.

Hay que destacar que, aunque los pares de acci ón y reacción tenga el mismo

valor y sentidos contrarios,

n

_o

se

_a

nu

_la

n

_{entre si, puesto que a}

ctu

_a

n s

_obr

e cue

_rpo

s

_d

istint

_o

s

_.

.3

± PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

(10)

El alumno podrá encontrar las fuerzas desconocidas aplicando

la primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo

si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las

fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe

ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:

EJEMPLO:

Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se

observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas

A

, B Y C.

S

OLUCIÓN:

(11)

A

l sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos :

S Fx = -

A

cos 60° + B cos 40° = 0

A

l simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas

conocidas tenemos:

-0.5

A

+ 0.7660B = 0 (1)

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del

eje Y, por lo tanto tenemos:

(Cos 30° + cos 50° )

0.8660

A

+ 0 .6427B = 300N (2)

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea

A

y B

mediante el proceso de sustitución. Si despejamos

A

tenemos:

(12)

A = 1

.532

B

A

hora vamos a sustituir esta igualdad en la ecua ción 2

0.8660(1.532B) + 0.6427B =

300

N

P

ara B tenemos:

1.3267B + 0.6427B = 300N

1.9694B = 300N

B= 300N / 1.9694

B= 1

52.33

N

P

ara calcular la tensión en

A

sustituimos B = 152.33 N

A

= 1.532(152.33N) =

233.3

N

L

a tensión en la cuerda C es

300

N

_{, puesto que debe ser igual al}

peso.

Una pelota de 100N suspendida por una cuerda

A

es tirada hacia un

lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal

manera que la cuerda

A

forma un ángulo de 30° con el poste vertical

(13)

S

OLUCIÓN

P

rimero dibujamos le diagrama cuerpo libre:

A

hora se aplica la primera condición de equilibrio.

L

a suma de las

fuerzas a lo largo del eje X:

SFx = B ±

A

cos 60° = 0

B =

A

cos 60° = 0.5

A

(1)

A

hora al sumar las componentes en Y:

S Fy =

A

sen 60° - 100N = 0

P

or lo que:

(14)

A

hora se despejan las fuerzas desconocidas:

(sen 60° = .8660)

.8660

A

= 100N

A

= 100N / .8660 = 115N

Conocemos el valor de

A

, ahora despejamos B de la ecuación 1:

B = 0.5

A

= (0.5)(115N) = 57.5N

S

EGUNDA LEY DE NEWTON

OBJETIVO:

El alumno será capaz de construir un diagrama de

cuerpo libre que represente todas las fuerzas que

actúan sobre un objeto que se encuentra en equilibrio

traslacional

.

L

a Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de

fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es

proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo .

L

a

constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo , de manera que

podemos expresar la relación de la siguiente manera :

F=ma

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es

decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De

esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

(15)

L

a unidad de fuerza en el

S

_{istema Internacional es el}

_Newton

_{y se}

representa por

N

. Un

N

_{ewton es la fuerza que hay que ejercer sobre}

un cuerpo de

u

n kilogramo de masa

para que adquiera una

aceleración de

1 m/s2

, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s

2

L

a expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida

para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por

ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la

relación

F

= m ·

a

. Vamos a generalizar la Segunda ley de New ton

para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

P

ara ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta

magnitud física es la

cantidad de movimiento

que se representa

por la letra

p

y que se define como el producto de l a masa de un

cuerpo por su velocidad , es decir:

p = m

· v

L

a cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal .

Es una magnitud vectorial y, en el

S

_{istema Internacional se mide en}

Kg·m/s

. En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley

de Newton se expresa de la siguiente manera:

L

a Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal

de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir

F

= d

p

/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no

sea constante.

P

ara el caso de que la masa sea constante,

recordando la definición de cantidad de movimiento y q ue como se

deriva un producto tenemos:

F

= d(m·

v

)/dt = m·d

v

/dt + dm/dt ·

v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F

= m

a

(16)

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la

cantidad de movimiento es lo que se conoce como

Principio de

conservación de la cantidad de movimiento

. Si la fuerza total

que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos

dice que:

0 = d

p

/dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto

al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe

ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es cero ).

Esto es el

Principio de conservación de la cantidad de

movimiento

:si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la

cantidad de movimiento del cuerpo permanece co nstante en el

tiempo .

EJEMPLO

S

- Calcular la aceleración que produce una fuerza de 5 N a un cuerpo

cuya masa es de 1000g

Expresar el resultado en m/s².

DATOS

FÓR

_MULA

_SUSTITUCI

Ó

_N

R

_ESULTADO

A

= ?

a = F / m

a = 5 Kg m/s² / 2

Kg =

2.5 m/s²

F = 5 N

m = 2000g =

2Kg

- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 200N le

produce una aceleración de 300 cm/s². Exprese el resultado en Kg.

DATOS

FÓR

_MULA

_SUSTITUCI

Ó

_N

R

_ESULTADO

M = ?

F = 200 N

a = f / m

A

= 300 cm/s² = 3

m/s²

m = f / a

m = 200N / 3

m/s² =

66.6 Kg

(17)

EJEMPLO

1 Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre

_{el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el}

cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2

kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos

del cable, el cual pasa por la polea.

E

l objeto m 2 está

en contacto con el piso.

a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede

tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el

piso?

b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F

hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m

1 ?

SOLUCION

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos

masas.

a)

P

ara que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie,

debe ser mayor que m 1 .

Fuerzas sobre m 2 :

m 1 g - T - N = 0 ,

pero N = 0 cuando está a punto de despegar.

L

uego: m 2 g - T = 0 (1)

Fuerzas sobre m 1 :

T - m 1 g = m 1 a 1 (2),

donde es la aceleración con que sube .

A

quí existe una

aceleración, porque si la masa 2 tiene que estar en reposo

y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se

mueve.

Fuerzas sobre la polea:

F - 2T = 0 (3)

(18)

De la expresión (3)

Reemplazando T en (1) queda

m 2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m 2 g (4)

Reemplazando m 2 =1,9 kg y g=10m/s 2 queda F= 38N

b) Calculo de la tensión del cable:

Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) :

110 - 2T = 0 , luego: T= 55N

Calculo de a 1 :

Reemplazando T , m 1 y g en (2) :

55 - 12 = 1,2a 1 ,

luego : a 1 = 35,8 m/s 2

EJEMPLO

2 En el diagrama de la siguiente figura se pide que:

a) Dibuje el diagrama de cuerpo

libre asociado a:la masa M, la

polea

P

y la masa m 2

b) ¿Cuál es la relación entre la

aceleración de la masa m 2 y la

de M?

c) Encuentre la aceleración de

M. d) ¿Cuál es el valor de la

tensiones?

SOLUCION

a)

diagrama de

cuerpo libre asociado

a M

diagrama de cuerpo libre

asociado a la polea P

diagrama de cuerpo libre

asociado a m 2

(19)

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos

masas.

b)

P

or lo tanto:

Otra forma de ver, es que si la masa M se mueve X, la m 2 se

mueve X/2. Si hacemos la derivada de la posición dos veces,

obtenemos la aceleración de las masas y ll egamos a la misma

relación.

c)

Según

diagrama

de

cuerpo

libre, se tiene:

(1) T 1 = m 2 a 2

(2) Mg= Ma M

(3) T 2 - 2T 1 =0

(20)

A

demás sobre m 2 : N - m 2 g= 0,

ya que no hay movimiento en ese eje.

Reemplazando (1) en (3) , se tiene: T 2 - 2m 2 a 2 = Ma M

(4)

Reemplazando (4) en (2) , se tiene:

Mg - 2ma 2 = Ma M pero, a 2 = 2a m

Mg - 2m 2 a 2 = Ma M

Mg = (M + 4m 2 ) = a M

d) R eemplazando en expresión a

2 = 2a m en expresión

(1) , se obtiene

:

T 1 = m 2 a M , por lo tanto:

de la expresión ( 3) , T 2 = 2T 1 , por lo tanto reemplazando

el valor obtenido

EJEMPLO

3

- Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque

A

de

64lb en reposo sobre una masa sin fricción y esta atado en su otro

extremo a un peso W, calcule:

a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una

aceleración de

?

(21)

S

OLUCIÓN (a)

Dibuje el diagrama cuerpo libre (boton diagrama cuerpo libre)

P

uesto que las fuerzas verticales en el bloque de 64lb están

equilibradas, la fuerza neta en el sistema total es solo el peso W

.aplicamos la ley de Newton:

2W=64lb+W

2W ± W = 64lb

(22)

S

OLUCIÓN (b)

T= 32lb

Partes: 1, 2

R. P. Feynman, premio Nóbel de física, dijo una vez , "Ud. No sabe nada hasta que lo ha practicado". De acuerdo con esta afirmación, reitero el consejo de que desarrolle las habilidades necesarias para resolver una amplia gama de problemas. Su capacidad para solucionarlos será una de las principales pruebas de su conocimientode física y, en consecuencia, debe tratar de resolver el mayor número posible de problemas.

Es esencial que comprenda los conceptos y principios básicos antes de intentar resolverlos. Una buena práctica consiste en tratar de encontrar soluciones alternas al mismo problema. Por ejemplo, los de mecánica pueden resolverse con las leyes de Newton, aunque con

frecuencia es mucho más directo un métodoalternativo que usa consideraciones de energía. No deben detenerse en pensar entender el problema después de ver su solución en clase. Debe ser capaz de resolver el problema y problemas similares por si solo.

El científico no estudia la naturalezaporque sea útil; la estudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porque es hermosa. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría la pena

conocerla, y si no ameritara saber de ella, no valdría la pena vivir la vida. Henri Poincare

LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

5.1 El conceptodefuerza

5.2 Primera ley de newton y marcos de referencia inerciales 5.3 Masa inercial

5.4 Segunda ley de Newton 5.5 Peso

5.6 La tercera ley de Newton

5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton Fuerzas de fricción

PROBLEMA DE REPASO DE LA FÍSICA DE SERWAY . Pág. 132 de la cuarta

edición.

Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama.

Si el plano inclinado es sin fricción y el sistemaesta en equilibrio, determine (en función de m, g y Ǉ).

(23)

b) Las tensiones T1 y T2. Bloque 2m Fx = 0 T1 ± W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen Ǉ W1 = 2m*g W1X = (2m*g) sen Ǉ Reemplazando T1 ± W1X = 0

T1± (2m*g) sen Ǉ = 0 (Ecuaciın 1)

Bloque m Fx = 0 T2 - T1 ± W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen Ǉ W2 = m*g W2X = (m*g) sen Ǉ Reemplazando T2 - T1 ± W2X = 0

T2 - T1 ± (m*g) senǇ = 0 (Ecuación 2)

Resolviendo las ecuaciones tenemos:

(24)

Bloque M FY = 0 T2 ± W3 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3m*g) sen Ǉ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen Ǉ

a) La masa M

M = 3 m sen Ǉ

Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a),

determine:

c) La aceleración de cada bloque.

d) Las tensiones T1 y T2.

La masa es M = 3 m sen Ǉ

El problema dice que se duplique la mas a

ĺM = 2*(3 m sen Ǉ) M = 6 m sen Ǉ

Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m Fx = 2m * a T1 ± W1X = 2m * a Pero: W1X = W1 sen Ǉ W1 = 2m*g W1X = (2m*g) sen Ǉ Reemplazando

(25)

T1 ± W1X = 0 T1 ± (2m*g) sen Ǉ = 2m * a (Ecuaciın 1) Bloque m Fx = m * a T2 - T1 ± W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen Ǉ W2 = m*g W2X = (m*g) sen Ǉ Reemplazando T2 - T1 ± W2X = m * a T2 - T1 ± (m*g) sen Ǉ = m * a (Ecuación 2) Bloque M FY = 6 m sen Ǉ * a W3 - T2 = 6 m sen Ǉ * a W3 = 6 m sen Ǉ * g

6 m sen Ǉ * g - T2 = 6 m sen Ǉ * a (Ecuación 3)

Resolviendo las ecuaciones tenemos:

(26)

6 m sen Ǉ * g - T2 = 6 m sen Ǉ * a (Ecuación 3) 6 m sen Ǉ * g - 6 m sen Ǉ * a = T2

6 m sen Ǉ( g - a ) = T2

Pero:

Factorizando g

Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 ± (2m*g) sen Ǉ = 2m * a (Ecuaciın 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen Ǉ

Pero:

(27)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.1 Edición quinta; Problema 5.1 Edición cuarta SERWAY

Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2. La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 .

a. Cual es el valor de la proporción m1 / m2

b. Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. a. Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos:

b. a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2

F = m1 * a1 (Ecuación 1) F = m2 * a2 (Ecuación 2)

Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2

c. Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. MT = m1 + m2

F = (m1 + m2) * a

(Ecuación 3) Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3

F = m2 * a2 = m2 * 1

Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos:

(28)

a = 0,75 m/seg2

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.2 Edición cuarta Serway; Problema 5.20 Edición quinta Serway

Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i - 3j )N, y F3 = (- 45i) N actúan sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2

a) Cual es la dirección de la aceleración? b) Cual es la masa del objeto?

c)

Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg? d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg.

a) Cual es la dirección de la aceleración?

F = m * a

F = F1 + F2 + F3

F = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a Donde a representa la dirección de a

F = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a

u = arctg 2,3809 * 10-2 u = 181,360

42 = = m * (3,75 ) a

La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x.

b) Cual es la masa del objeto?

42 = m * (3,75 )

c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10

seg?

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(29)

d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg.

VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg

VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5 ± 4 Edición cuarta Serway;

Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve u na distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la acciónde una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza?

m = 3 Kg. X = 4 metros T = 2 seg. pero; V0 = 0 2 X = a t2 F = m * a F = 3 * 2 = 6 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.5 Edición cuarta Serway; Problema 5.5 Edición quinta Serway

Una bala de 5 gr sale del cañón de un rifle con una rapidez de 320 m/seg. Que fuerza ejercen los gases en expansión tras la bala mientras se mueve por el cañón del rifle de 0,82 m de longitud. Suponga aceleración constante y fricción despreciable.

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(30)

F = m * a

F = 0,005 * 62439,02 = 312,91 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.6 Edición cuarta Serway; Problema 5.6 Edición quinta Serway

Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbolde 1,4 Newton de peso a una velocidad de 32 m/seg. Al acelerar uniformemente su brazo durante 0,09 seg Si la bola parte del reposo.

a. Que distancia se desplaza antes de acelerarse? b. Que fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota. W = 1,4 Newton t = 0,09 seg. V0 = 0 VF = 32 m/seg VF = V0 +a * t pero: V0 = 0

VF = a * t

W = m g

FX = m a = 0,142 * 355,55

FX = 50,79 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5 ± 7 Edición cuarta Serway

Una masa de 3 kg se somete a una aceleración dada por a = (2 i + 5 j) m/seg2 Determine la fuerza resultante F y su magnitud.

F = m a

F = 3 * (2 i + 5 j) F = (6 i + 15 j) Newton

(31)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO (CUARTA EDICION)

Problema 5.8 Edición cuarta Serway; Problema 5.4 Edición quinta Serway

Un tren de carga tiene una masa de 1,5 * 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un jalón constante de 7,5 * 105 Newton. Cuanto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/hora.

m = 1,5 * 107 kg. V0 = 0 VF = 80 km/hora. F = 7,5 * 105 New ton.

F = m a

VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t

SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.9 Edición cuarta Serway

Una persona pesa 125 lb.

Determine a) Su peso en Newton. b) Su masa en kg.

W = m g

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.24 Edición quinta Serway

(32)

Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura p5 ± 24. Dos de los alambres forman ángulos Ǉ1 = 600 Ǉ2 = 250 c on la horizontal. Si el sistemaesta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3

T1Y = T1 . sen 60 T2Y = T2. sen 25 T1X = T1 . cos 60 T2X = T2 . cos 25 S FX = 0

T1X - T2X = 0 (ecuación 1)

T1X = T2X T2 .cos 25 = T1 . cos 60 T2 . 0,9063 = T1 . 0,5

(Ecuación 1)

S FY = 0

T1Y + T2Y ± W = 0

T1Y + T2Y = W pero: W = 325 N T1Y + T2Y = 325

T1 . sen 60 + T2. sen 25 = 325

0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 (Ecuación 2)

Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2

0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325

0,866 T1 + 0,4226 *(0,5516 T1) = 325

0,866 T1 + 0,2331 T1 = 325

(33)

T1 = 295,72 N.

Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. T2 = 0,5516 T1

T2 = 0,5516 * (295,72)

T2 = 163,11 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.26 Edición cuarta Serway

Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas.

Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40 Reemplazando T2X = T1X T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766

T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)

 FY = 0  FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50

(34)

T1y = T1 sen 40 W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 ± 49 = 0

T2 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0 (ecuación 2)

Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2.

T2 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0

pero: T2 = 1,1918 T1 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49 Se reemplaza en la ecuación 1

T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)

T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton

T2 = 37,54 Newton.

Pero: T1X = T1 cos 60 Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60

T2 = T1 0,5

(35)

(Ecuación 1)

 FY = 0  FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60 W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 ± 98 = 0

T1 sen 60 = 98(ecuación 2)

Reemplazando en la ecuación 1

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.29 Edición cuarta Serway

La distancia entre dos postes de teléfonoes 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensión en el cable (Ignore el peso del cable).

 FY = 0

 FY = TY + TY - W = 0 Pero:

(36)

Ty = T sen 0,4583

W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

PROBLEMA 5 ± 33 SERWAY CUARTA EDICION

Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo Ǉ = 600 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 ± 33.

a. Determine el valor de F, la magnitud de F.

b. Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). ƶ FX = 0

FX ± WX = 0 (Ecuación 1)

FX = WX Pero: FX = F cos 60 WX = W sen 60 F cos 60 = W sen 60

Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). ƶ FY = 0

N ± WY ± FY = 0 (Ecuación 2)

Pero: FY = F sen 60 WY = W cos 60

Reemplazando en la ecuación 2

(37)

N ± WY ± FY = 0 (ecuación 2)

N ± W cos 60 ± F sen 60 = 0 N ± m g cos 60 ± F sen 60 = 0 N ± 2 * 9,8 * 0,5 ± 33,94 * 0,866 = 0 N ± 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39

N = 39,19 Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.34 Serway cuarta edición

La bala de un rifle con una masa de 12 gr viaja con una velocidad de 400 m/seg y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Determine la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que actúa sobre la bala.

X = 15 cm = 0,15 m

V0 = 400 m/seg VF = 0

F = m a = 0,012 * (-533333,33) = - 6400 Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5. 36 Serway cuarta edición

La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y dirección de su acelerac ión?

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(38)

Ǉ

= arc tg 2,1666

Ǉ = 65,220

FR = m * a

Pero: m = 270 Kg.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.37 Serway cuarta edición; Problema 5.37 Serway quinta edición

En el sistema que se muestra en las figura p5.37, una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg. La superficie horizontal no tiene fricción.

a. Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?. b. Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero.

c. Grafique la aceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 1 00 N. y FX = 100 N S FY = m1 a S FY = T ± P1 = m1 a

T ± m1 g = m1 a (Ecuación 1)

Bloque m2 S FX = m2 a

FX - T = m2 a (Ecuación 2)

Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.

- m1 g + FX = m1 a + m2 a

a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX

a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX

(39)

10 a + 19,6 = FX

Si a = 0

FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se

mantenga en equilibrio.

Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX

Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero.

Despejando la aceleración en la ecuación 1

T ± m1 g = m1 a

T ± 2g = 2 a

Despejando la aceleración en la ecuación 2

FX - T = m2 a

FX - T = 8 a

Igualando las aceleraciones.

8 * (T ± 2g) = 2 * (FX ± T) 8T ± 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g Si T = 0

FX = - 8 g

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.38 Serway cuarta edición: Problema 5.35 Serway quinta edición

Dos masas m1 y m2 situadas sobre una superficie horizontal sin fricción se conec tan mediante una cuerda sin masa Una fuerza F se ejerce sobre una de las masas a la derecha Determine la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda.

(40)

Bloque m1  FX = m1 a T = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2  FX = m2 a F - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T = m1 a (Ecuación 1) F - T = m2 a (Ecuación 2)

F =

m1 a + m2 a

F = (

m1 + m2 ) a Reemplazando en la ecuacion1 T = m1 a (Ecuación 1)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.40 Serway cuarta edición

Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de q = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la acelerac ión del bloque?

(41)

S FY = 0 WY ± N = 0

WY = N Pero: WY = W cos q W cos q = N S FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen q

g sen q = a

a = 9,8 * sen 15 = 9,8 * 0,258

a = 2,536 m/seg2

SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.40 Serway quinta edición

El coeficiente de fricción estáticaes 0,8 entre las suelas de los zapatos de una corredora y la superficie plana de la pista en la cual esta corriendo. Determine la aceleración máxima que ella puede lograr. Necesita usted saber que su masa es 60 kg?

FX = m a

FR = m a (Ecuación 1)

FY = 0

(42)

N = W

N = m g

Pero: FR = ǋ N FR = ǋ m g Reemplazando en la ecuacion1

FR = m a (Ecuación 1)

a = 7,84 m/seg2

No se necesita saber la masa, como pueden ver se cancelan en la ecuación, es

decir la masa no tiene relación con la aceleración

CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.41 Serway cuarta edición; Problema 5.62 Serway qui nta edición;

Un bloque de masa m = 2 kg se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo Ǉ = 300 como se ilustra en la figura 5 ± 41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta fricción.

a. Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente b. Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente.

c. A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo.

d. Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo.

e. La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.

 FX = m a

PX = m a

Pero: PX = P sen 30

PX = m g sen 30

(43)

g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5

a = 4,9 m/seg2

VX = VF cos 30

VX = 3,13 * 0,866

VX= 2,71 m/seg.

VY = VF sen 30

VY = 3,13 sen 30

VY = 1,565 m/seg.

CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.41 Serway quinta edición; Problema 5.48 Serway cuarta edición

Un bloque de 25 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se necesita una fuerza horizontal de 75 Newton para poner el bloque en movimie nto. Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en

movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta información.

FX = 0

F - FR = 0 (Ecuación 1)

FY = 0

(44)

N ± W = 0 N = W = m g N = 25 * 9,8 = 245 Newton

N = 245 Newton

FR =

ǋCINET N

FR = 245

ǋCINET Reemplazando en la ecuación 1

F - FR = 0 (Ecuación 1)

75 - 245

ǋCINET = 0

245

ǋCINET = 75

Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática

El cuerpo se desplaza a velocidad constante, entonces la aceleración es cero

FX = 0

F - FR = 0 (Ecuación 1)

FY = 0 N ± W = 0 N = W = m g N = 25 * 9,8 = 245 Newton

N = 245 Newton

FR =

ǋESTAT N

FR = 245

ǋESTAT Reemplazando en la ecuación 1

F - FR = 0 (Ecuación 1)

60 - 245

ǋESTAT = 0

245

ǋESTAT = 60

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO (QUINTA EDICION)

Problema 5.42 Serway quinta edición

Un auto de carreras acelera de manera uniforme de 0 a 80 millas/hora en 8 seg. La fuerza externa que lo acelera es la fuerza de fricción entre los neumáticos y el camino. Si los neumáticos no derrapan, determine el coeficiente de fricción mínima entre los neumáticos y el camino.

(45)

FX = m a

FR = m a (Ecuación 1)

Pero: FR = ǋ N FR = ǋ m g Reemplazando en la ecuación 1 VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a =

9,8 ǋ

35,555 = 9,8 ǋ * 8 35,555 = 78,4 ǋ

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.43 Serway quinta edición; Problema 5.52 Serway cuarta edición

Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal.

a. Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1. b. Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta s eca y ǋ = 0,6

FX = m a

FR = m a (Ecuación 1)

Pero: FR = ǋ N FR = ǋ m g Reemplazando en la ecuación 1

FR = m a (Ecuación 1)

ǋ g

= a

a = 9,8 ǋ = 9,8 * 0,1 = 0,98

a = 0,98 m/seg2

(46)

Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta s eca y ǋ = 0,6

FX = m a

FR = m a (Ecuación 1)

Pero: FR = ǋ N FR = ǋ m g Reemplazando en la ecuación 1 ǋ g

= a

a = 9,8 ǋ = 9,8 * 0,6 = 5,88

a = 5,88 m/seg2

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.44 Serway quinta edición; Problema 5.32 Serway cuarta edición

Una mujeren el aeropuerto jala su maleta de 20 kg a una rapidez constante y su correa forma un ángulo Ǉ respecto de la horizontal (figura p5 ± 44). Ella jala la correa con una fuerza de 35 Newton y la fuerza de fricción sobre la maleta es de 20 Newton.

Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la maleta. a.

(47)

 FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad

constante)

FX ± FR = 0

FX = FR Pero: FX = F cos Ǉ F cos Ǉ = FR

35

cos Ǉ = 20 Ǉ = arccos0,5714

Ǉ = 55,150

Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta?

 FY = 0

N + FY ± W = 0

N = W - FY

Pero: FY = F sen Ǉ FY = 35 sen

55,150

FY = 28,7227

N = W - FY

N = m g ±

FY

N = 20 * 9,8 - 28,7227

N = 196 -

28,7227

N = 167,27 Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.45 Serway quinta edición; Problema 5.57 Serway cuarta

edición

Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300 Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 seg.

(48)

Encuentre a) La magnitud de la aceleración del bloque.

b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c. Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta?

d. La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.

e. La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.

m = 3 Kg. X = 2 metros t = 1,5 seg.

Pero; V0 = 0

2 X = a t2

El coeficiente de fricción cinética e ntre el bloque y el plano.

 FX = m a

WX ± FR = m a (Ecuación 1)

Pero: WX = W sen 30

WX = m g sen 30 WX = 3 * 9,8 * 0,5

WX = 14,7 Newton.

 FY = 0

N ± WY = 0

N = WY = W cos 30

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(49)

N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866

N = 25,461 Newton

FR =ǋ N

FR = ǋ 25,461

Reemplazando en la ecuación 1

WX ± FR = m a (Ecuación 1)

14,7 - ǋ 25,461 = m a 14,7 - ǋ 25,461 = 3 * 1,77 14,7 - ǋ 25,461 = 5,31 ǋ 25,461 = 14,7 - 5,31 ǋ 25,461 = 9,39

La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.

FR =ǋ N

FR = 0,368 * 25,461

FR = 9,36 Newton

La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros. VF = V0 +a * t pero: V0 = 0

VF = a * t pero: a =1,77 m/seg2 VF = 1,77 * 1,5

VF = 2,65 m/seg

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.47 Serway quinta edición

Un muchacho arrastra un trineo de 60 Newton con rapidez constante al subir por una colina de 150 Con una cuerda unida al trineo lo jala con una fuerza de 25 Newton. Si la cuerda tiene una inclinación de 350 respecto d e la horizontal.

a. Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve.

b. En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente

(50)

Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve.

 FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante)

FX ± FR ± WX = 0 (Ecuación 1)

Pero: FX = F cos 20

FX = 25 cos 20

FX = 23,492 Newton

WX = W sen 15

WX = 60 sen 15

WX = 15,529 Newton

 FY = 0

N ± WY + FY = 0

N = WY -

FY(Ecuación 2)

Pero:

WY =

W cos 15

WY = 60 cos 15

WY = 57,955 Newton

FY = F sen 20

FY = 25 sen 20

FY = 8,55 Newton

N = WY -

FY(Ecuación 2)

(51)

N = 57,955 - 8,55

N = 49,405 Newton

FR =ǋ N

FR = ǋ 49,405

Reemplazando en la ecuación 1

FX ± FR ± WX = 0 (Ecuación 1)

23,492 - ǋ

49,405

- 15,529 = 0 ǋ

49,405

= 23,492 ± 15,529 ǋ

49,405

= 7,963

En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente.

 FX = m a

WX ± FR = m a (Ecuación 1)

Pero:

WX =

W sen 15

WX = 60 sen 15

WX = 15,529 Newton

 FY = 0

N ± WY = 0

Pero:

WY = w cos 15 WY = 60 cos 15

WY = 57,955 Newton.

N =

WY = 57,955 Newton.

FR = ǋ N = 0,161 *

57,955

FR = 9,33 Newton

W = m g

(52)

Reemplazando en la ecuación 1

WX ± FR = m a (Ecuación 1)

15,529 - 9,33 = 6,122 a 6,199 = 6,122 a

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.47 Serway cuarta edición

Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 ± 47). Si el coeficiente de fricción durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda?

Bloque m1

S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton

N1 = 60,76 Newton

FR = m N1

= 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton.

FR = 12,152 Newton.

S FX = m1 * a

T - FR = m1 * a (Ecuación 1)

Bloque m2

S FY =

m2 * a

m2 * g ± T = m2 * a (Ecuación 2)

(53)

y

FR

+

m2 * g = m1 * a + m2 * a

a (m1 + m2) = - FR

+

m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton.

m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148

a = 4,84 m/seg2

Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2.

m2 * g ± T = m2 * a (Ecuación 2)

m2 * g - m2 * a = T

T = 8,5 * 9,8 ± 8,5 * 4,84 = 83,3 ± 41,14 =

T = 42,16 Newton

CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

PROBLEMA 5.49 SERWAY CUARTA EDICIÓN

Suponga que el coeficiente de fricción entre las ruedas de un auto de carreras y la pista es 1. Si el auto parte del reposo y acelera a una tasa constante por 335 metros. Cual es la

velocidad al final de la carrera? ƶ FX = m a

FR =

m a

(ecuación 1)

µ N = m a Pero: ƶ FX = 0 N - m g = 0 N = m g µ g = a a = 1 * 9,8 m/seg2

(54)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.51 Serway quinta edición; Problema 5.55 Serway cuarta edición

Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Suponga F = 68 Newton m1 = 12 kg m2 = 18 kg y que el coeficiente de fricción cinético entre cada bloque y la superficie es 0,1.

a. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque

b. Determine la tensión T y la magnitud de la aceleración del sistema.

Bloque m1

S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 m1 * g = N1 = 12 * 9,8 = 117,6 Newton

N1 =

117,6

Newton

FR1 = m N1

= 0,1 * 117,6 = 11,76 Newton.

FR1 =

11,76

Newton.

S FX = m1 * a

T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1)

Bloque m2

S FY = 0 m2 * g ± N2 = 0 m2 * g = N2 = 18 * 9,8 = 176,4 Newton

N2 = 176,4 Newton

FR2 = m N1

= 0,1 * 176,4 = 17,64 Newton.

FR2 =

17,64

Newton.

S FY =

m2 * a

F - FR2 ± T = m2 * a (Ecuación 2)

Resolviendo las ecuaciones

(55)

F ± 17,64 ± 11,76 = a ( 12 + 18) 68 ± 29,4 = 30 a 38,6 = 30 a

T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1)

T ± 11,76 = 12 * 1,286 T ± 11,76 = 15,44 T = 11,76 + 15,44

T = 27,2 Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Problema 5.56Serway quinta edición

Tres bloques están en contacto entre si sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura 5 ± 56. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1.

Si m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 4 kg y F = 18 Newton.

Dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada bloque y encuentre. a. La aceleración de los bloques

b. La fuerza resultante sobre cada bloque.

c. Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques.

La aceleración de los bloques

mT = m1 + m2 + m3 = 2 + 3 + 4 = 9 kg

mT = 9 kg

F = mT a

Bloque m1

ƶ FX = m1 a

(56)

F ± FC1 = m1 a

18 - FC1 = 2 * 2 = 4 18 - FC1 = 4

FC1 = 18 - 4

FC1 = 14 Newton

La fuerza resultante en el bloque m1 es:

F1 = F ± FC1

F1 = 18 ± 14 = 4 Newton

Bloque m2

ƶ FX = m2 a

FC1 - FC2 = m2 a

14 - FC2 = 3 * 2 = 6 14 - FC2 = 6 FC1 = 14 - 6

FC2 = 8 Newton

La fuerza resultante en el bloque m2 es:

F2 = FC1 - FC2

F2 = 14 ± 8 = 6 Newton

Bloque m3

ƶ FX = m3 a

FC2 = m3 a

FC2 = 4 * 2 = 8 FC2 = 14 - 6

FC2 = 8 Newton

La fuerza resultante en el bloque m3 es:

F3 = FC2

F2 = 8 Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

PROBLEMA 5.50 SERWAY quinta EDICION; Problema 5.59 Serway cuarta

edición

En la figura p5 ± 59 se muestran tre s masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un coeficiente de fricción de deslizamiento 0,35 . Las tres masas son de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas son sin fricción.

a. Determine la aceleración de cada bloque y sus direcciones. b. Determine las tensiones en las dos cuerdas.

(57)

Bloque m1

S FY = m1 a W1 - T1 = m1 a

m1 g -

T1 = m1 a

(Ecuación 1)

Bloque m2

S FX = m2 a

T1 - FR - T2 =

m2 a

(Ecuación 2)

S FY = 0 N2 ± W = 0 N2 ± m2 g = 0 N2 = m2 g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton

N2 = 9,8 Newton

FR = m * N2 FR = 0,35 *(9,8)

FR = 3,43 Newton

Bloque m3

S FY = m3 a

T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3)

Sumando las tres ecuaciones

m1 g- FR- m3 g

= m1 a

+

m2 a

+ m3 a

m1 g- FR- m3 g

= ( m1

+

m2

+ m3 ) a

4 * 9,8 ± 3,43 ± 2 * 9,8 = ( 4 + 1 + 2 ) a