Analisis Factorial CENEVAL

(1)

Anális

is f

actor

ial:

una técnica para evaluar

la dimensionalidad de las pruebas

(2)

(3)

Análi

Análisis sis factorifactorial:al:

una técnica para evaluar

la dimensionalidad de las pruebas

(4)

Análisis factorial:

una técnica para evaluar la dimensionalidad de las pruebas

Cuaderno técnico 6

Salvador Zamora Muñoz Salvador Zamora Muñoz Lucía Monroy Cazorla Lucía Monroy Cazorla César Chávez Álvarez César Chávez Álvarez Revisión técnica: Revisión técnica: Antonio Saade Antonio Saade HazinHazin

Análisis factorial: Análisis factorial:

una técnica para evaluar la dimensionalidad de las pruebas una técnica para evaluar la dimensionalidad de las pruebas Cuaderno técnico 6

Cuaderno técnico 6

para la Educación Superior, A.C. (CenevaEducación Superior, A.C. (Ceneval)l) Av

Av. Camino . Camino al Desierto dal Desierto de los Leone los Leones 19,es 19, Col. San Ángel, Deleg. Álvaro Obregón, Col. San Ángel, Deleg. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F.

C.P. 01000, México, D.F. www

www.ceneval.edu.m.ceneval.edu.mxx

Diseño: Mónica Cortés Genis Diseño: Mónica Cortés Genis

Formación: Alvaro Edel Reynoso Castañeda Formación: Alvaro Edel Reynoso Castañeda Abril de 2

Abril de 2009009

Impreso en México • Printed in México Impreso en México • Printed in México

(5)

Directorio

Dirección General

Rafael Vidal Uribe

Rafael Vidal Uribe Dirección General Adjunta de los EGEL

Dirección General Adjunta de los EGEL

Jorge Hernández Uralde

Jorge Hernández Uralde Dirección General Adjunta de los EXANI

Dirección General Adjunta de los EXANI

José O

José O. Medel Bello. Medel Bello Dirección General Adjunta de Programas Especiales

Dirección General Adjunta de Programas Especiales

Rocío Llarena de Thierry

Rocío Llarena de Thierry Dirección General Adjunta Técnica y de

Dirección General Adjunta Técnica y de InvInvestigaciónestigación

Lucía Monroy Cazorla

Lucía Monroy Cazorla Dirección General Adjunta de Operación

Dirección General Adjunta de Operación

F

Francisco Javier Apreza rancisco Javier Apreza García Méndez García Méndez Dirección General Adjunta de

Dirección General Adjunta de DifusiónDifusión

Javier D

Javier Díaz de la Serna Braojos íaz de la Serna Braojos Dirección General Adjunta de Administración

Dirección General Adjunta de Administración

Francisco Javier Anaya Torres

Dirección de Procesos Ópticos y Calicación

María del Socorro Martínez de Luna

María del Socorro Martínez de Luna Dirección de Tecnologías de la Infor

Dirección de Tecnologías de la Informaciónmación

y las

y las ComunicaciComunicacionesones

F

(6)

(7)

Índice Índice PPrreeffaacciio .o . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. 99 Capítulo I Capítulo I Antecedentes históricos Antecedentes históricos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1111 Capítulo II Capítulo II

¿¿QQuué é ees s eel l aannáálliissiis s ffaaccttoorriiaall? ? .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1515 El

El modelo modelo de de factores factores 1717 Supuestos

Supuestos del del modelo modelo 1818 Métodos

Métodos de de extracción extracción de de factores factores 1919 Selección

Selección del del número número de de factores factores que que serán serán extraídos extraídos 2020 Criterio a priori (tipos de análisis factorial)

Criterio a priori (tipos de análisis factorial) 2020 Criterio de la raíz latente (eigenvalor >1)

Criterio de la raíz latente (eigenvalor >1) 2121 Criterio del gráfico de codo (contraste de caída)

Criterio del gráfico de codo (contraste de caída) 2222 Criterio del porcentaje de varianza explicada

Criterio del porcentaje de varianza explicada 2323 Interpretación

Interpretación de de la la matriz matriz de de cargas cargas factoriales factoriales 2323 Un

Un concepto concepto muy muy controvertido: controvertido: rotación rotación de de factores factores 2626 Rotaciones ortogonales

Rotaciones ortogonales 2626

Rotaciones oblicuas

Rotaciones oblicuas 2727

V

Valoración de las aloración de las comunalidades comunalidades 2828 Puntajes

Puntajes factorialefactoriales s 2525 Bondad

Bondad de de ajuste ajuste del del modelo modelo de de factores factores 2828 Análisis factor

Análisis factorial con variables dial con variables discretas iscretas 2929

Capítulo III Capítulo III

FFuunnddaammeennttoos s ttééccnniiccoos s ddeel l aannáálliissiis s ffaaccttoorriiaal.l. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3131 Aspectos forma

Aspectos formales les 3131

Soluciones

Soluciones múltiples múltiples al al modelo modelo 3434 Número

Número máximo máximo de de factores factores 3535 Métodos

(8)

Máxima

Máxima verosimilitud verosimilitud 3939 Mínimos

Mínimos cuadrados cuadrados 4040

Mínimos

Mínimos cuadrados cuadrados generalizados generalizados 4040 Mínimos

Mínimos cuadrados cuadrados ponderados ponderados 4040 Método

Método de de rotación rotación de de ejes ejes principales principales 4141 Prueba

Prueba sobre sobre el el número número de de factores factores en en el el modelo modelo 4141 Punta

Puntajes jes factoriales factoriales 4242 Método

Método de de Bartlett Bartlett o o de de mínimos mínimos cuadrados cuadrados ponderados ponderados 4242 Método

Método de de Thompson Thompson o o de de regresión regresión 4343

Capítulo IV Capítulo IV

Aplicación con variables continuas

Aplicación con variables continuas .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4545 Descripción

Descripción general general del del EXANI-I EXANI-I 4545 Definición

Definición del del ejemplo ejemplo 4646 Análisis en SPS Análisis en SPSS S 4848 Análisis en R Análisis en R 6363 Capítulo V Capítulo V

Aplicación con variables discretas

Aplicación con variables discretas.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6969

Objetivo 69

Descripción

Descripción de de las las variables variables 6969 Análisis en R

Análisis en R 8686

Un

Un comentario comentario final final 9090

BBiibblliiooggrraaffíía a .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9191

Anexo 1 Anexo 1

C

(9)

Índice de tablas

TTabla abla 1.1.

Artículos pu

Artículos publicados sobre anblicados sobre análisis factoriaálisis factorial en diferentesl en diferentes d

diisscciipplliinnaass, , 11990044--22000044 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1. 122

TTabla abla 2.2.

M

Maattrriiz z dde e ccaarrggaas s ffaaccttoorriiaallees s ppaarra a uun n ccaasso o hhiippoottééttiicco o .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2244

TTabla abla 3.3.

Directrices para la identificación de cargas factoriales Directrices para la identificación de cargas factoriales

ssiiggnniiffiiccaattiivvaass, , bbaassaaddaas s een n eel l ttaammaañño o dde e lla a mmuueessttrra a .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2255

TTabla abla 4.4.

M

Meeddiiddaas s dde ce coorrrreellaacciióón n eennttrre e vvaarriiaabblleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2299

TTabla abla 5.5.

D

Doommiinniioos s eevvaalluuaaddoos s ppoor r eel l EEXXAANNII--II.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4477

TTabla abla 6.6.

Ma

Matrtriz iz de de cocorrrrelelacacioionenes es entntre re lalas vs varariaiablbles es quque ee evavalúlúa ea el El EXAXANINI-I -I .. .. .. .. .. .. .. 5151

TTabla abla 7.7.

PPrruueebbaas s KKMMO O y y dde e eeffeerriicciiddaad d dde e BBaarrttlleetttt .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5533

TTabla abla 8.8.

C

Coommuunnaalliiddaaddees ds deel ml mooddeello uo unniiffaaccttoorriiaal dl deel El EXXAANNII--II.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5577

TTabla abla 9.9.

TTotaotal de la val de la variarianza exnza expliplicadcada por ea por el modl modelo uelo unifnifactactoriorial deal del EXAl EXANI-NI-I.I. .. .. .. .. 5757

Tabla 10. Tabla 10.

C

Caarrggaas s ffaaccttoorriiaallees s dde e llaas s vvaarriiaabbllees s mmaanniiffiieessttaas.s. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5588

Tabla 11. Tabla 11.

M

Maattrriiz z dde e ccoorrrreellaacciioonnees s rreepprroodduucciiddaas s ppoor r eel l mmooddeello o .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6600

Tabla 12. Tabla 12.

(10)

Índice de figuras

Figura 1. Figura 1.

Cr

Crececimimieientnto o en en llas as pupublblicicacaciionones es ssoobrbre e ananáálilissis is ffacactotorriaial l .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1133

Figura 2. Figura 2.

R

Reepprreesseennttaacciióón n ddeel l mmooddeello o uunniiffaaccttoorriiaal .l . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1166

Figura 3. Figura 3.

R

Reepprreesseennttaacciióón n ddeel l mmooddeello o mmuullttiiffaaccttoorriiaal l .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1166

Figura 4. Figura 4.

E

Exxpplliiccaacciióón n dde e lla a eeccuuaacciióón n ddeel l mmooddeello o dde e ffaaccttoorreess.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1188

Figura 5. Figura 5. G Grrááffiicco o dde e ccooddo o .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2. 222 Figura 6. Figura 6. M

(11)

Prefacio

E

l Centro Nacional de Evaluación para la Educación l Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior (Ceneval) esSuperior (Ceneval) es una institución de carácter eminentemente técnico. A lo largo de tres lustros una institución de carácter eminentemente técnico. A lo largo de tres lustros su actividad esencial ha sido promover la calidad de la educación mediante su actividad esencial ha sido promover la calidad de la educación mediante

eva-luaciones válidas, conables y pertinentes de los aprendizajes.

luaciones válidas, conables y pertinentes de los aprendizajes.

Primordialmente, evalúa los conocimientos y habilidades adquiridos por los Primordialmente, evalúa los conocimientos y habilidades adquiridos por los individ

individuos en los uos en los procesos de enseñanza-apreprocesos de enseñanza-aprendizajendizaje, formales o , formales o no forno forma- ma-les, de los sistemas educativos. Así contribuye a la toma de decisiones les, de los sistemas educativos. Así contribuye a la toma de decisiones funda-mentadas. De hecho, con sus servicios de evaluación atiende instituciones de mentadas. De hecho, con sus servicios de evaluación atiende instituciones de educación media superior y superior, autoridades educativas, organizaciones educación media superior y superior, autoridades educativas, organizaciones profesionales y otras

profesionales y otras instancias públicas y privadas yinstancias públicas y privadas y, desde lueg, desde luego, al destinatarioo, al destinatario

nal –y el más importante– de sus pruebas: el propio sustentante.

Con la serie

Con la serie Cuadernos técnicos Cuadernos técnicos el Centro promueve también el uso de herra- el Centro promueve también el uso de herra-mientas de análisis en círculos cada vez más amplios. El propósito de estos mientas de análisis en círculos cada vez más amplios. El propósito de estos títulos es contribuir a elevar la calidad de la educación mexicana y fomentar una títulos es contribuir a elevar la calidad de la educación mexicana y fomentar una auténtica cultura de la evaluación.

auténtica cultura de la evaluación.

La inteligencia, el nivel de ansiedad o el grado de satisfacción no pueden La inteligencia, el nivel de ansiedad o el grado de satisfacción no pueden medirse directamente. Los especialistas las denominan variables latentes o medirse directamente. Los especialistas las denominan variables latentes o

constructos; y para estimarlas lo hacen mediante variables maniestas, como

podrían ser la respuesta a un reactivo o el número de aciertos en un examen. podrían ser la respuesta a un reactivo o el número de aciertos en un examen.

La teoría que sustenta el empleo del

La teoría que sustenta el empleo del análisis factorial –tema de estudio del

análisis factorial –tema de estudio del

presente texto– asume que la variable latente es continua: los individuos pueden

ordenarse de mayor a menor nivel del atributo bajo estudio. El propósito es ordenarse de mayor a menor nivel del atributo bajo estudio. El propósito es analizar la estructura de correlación entre un g

analizar la estructura de correlación entre un grupo de rupo de variablvariables medidas, asu-es medidas, asu-miendo que la asociación entre

miendo que la asociación entre ellas puede ser explicada por una ellas puede ser explicada por una o más varia-o más varia-bles latentes, que en el caso del análisis factorial se les reconoce como factores. bles latentes, que en el caso del análisis factorial se les reconoce como factores.

(12)

(13)

E

l primer planteaml primer planteamiento del análisis factoriaiento del análisis factorial se remonl se remonta a principios del siglota a principios del siglo

XX

XX , cuando Charles Spearman (1904) hizo un estudio sobre la medición de, cuando Charles Spearman (1904) hizo un estudio sobre la medición de

la intelig

la inteligencia. Conjeturó que si dos haencia. Conjeturó que si dos habilbilidades están correlacionadas, entoidades están correlacionadas, entoncesnces cada u

cada una está compuesta por dos factores: uno que les es na está compuesta por dos factores: uno que les es común, responsabcomún, responsable dele de

la correlación, y otro que es especíco pues determi

la correlación, y otro que es especíco pues determina la d

na la diferencia entre ambas.

iferencia entre ambas.

En los primeros años de

En los primeros años de esta herramienta metodológica el enfoque predo-esta herramienta metodológica el enfoque predo-minante era asumir

minante era asumir a a prior priori i que en los datos subyacía una estructura unif que en los datos subyacía una estructura unifactorial.actorial. Thurstone (

Thurstone (11935) p935) propuso un cambiropuso un cambio en la concepo en la conceptuatualización del anállización del análisis fac-isis fac-torial sugiriendo que los datos analizados podrían explicarse por más de una torial sugiriendo que los datos analizados podrían explicarse por más de una variabl

variable e latenlatente te (f(factoactor)r); ; que que lo lo importante importante era era determinar determinar el el número número de de factofactoresres

que podrían ser identicados. El estudio de inteligencia Thurstone (1938) pro

--puso que la inteligencia puede ser explicada por siete factores.

puso que la inteligencia puede ser explicada por siete factores. En 19

En 1936 la Sociedad de Psicom36 la Sociedad de Psicometría fetría fundó una undó una revista de investigación es-revista de investigación es-pecializada:

pecializada: Psychometrika,Psychometrika,

en cuyas páginas se publicaron entre nales de los

años treinta y principios de los cincuenta numerosos artículos sobre cuestiones años treinta y principios de los cincuenta numerosos artículos sobre cuestiones relacio

relacionadas con el nadas con el desarrodesarrollo del allo del análisis nálisis factofactorial, rial, tales como la estitales como la estimaciónmación de las comunalidades, la extracción de factores comunes, la determinación del de las comunalidades, la extracción de factores comunes, la determinación del número de factores, la rotación de los factores, la estimación de los puntajes número de factores, la rotación de los factores, la estimación de los puntajes factoriales, los métodos para acelerar la velocidad de los cálcu

factoriales, los métodos para acelerar la velocidad de los cálculos y la indeter-los y la indeter-minación de los modelos.

minación de los modelos.

En la actualidad, el uso del análisis factorial como herramienta En la actualidad, el uso del análisis factorial como herramienta

metodológi-ca se ha extendido a diversos ámbitos del quehacer cientíco: la psicología (en

ca se ha extendido a diversos ámbitos del quehacer cientíco: la psicología (en

estudios de habilidades, motivación, aprendizaje, etcétera); la pedagogía (en estudios de habilidades, motivación, aprendizaje, etcétera); la pedagogía (en es-tudios relacionados con el aprovechamiento escolar, la tipología de profesores, tudios relacionados con el aprovechamiento escolar, la tipología de profesores,

etcétera); la sociología (en dimensiones de

etcétera); la sociología (en dimensiones de grupo, actitudes políticas, anidad

grupo, actitudes políticas, anidad

política, etcétera), y en muchas otras disciplinas (ecología, economía, medicina, política, etcétera), y en muchas otras disciplinas (ecología, economía, medicina, metrología...). metrología...). Capítulo I Capítulo I Antecedentes históricos Antecedentes históricos

(14)

Como una muestra del uso de esta técnica estadística en los años recientes, Como una muestra del uso de esta técnica estadística en los años recientes, Kaplunovsky (2006) presentó los resultados de una exploración realizada en Kaplunovsky (2006) presentó los resultados de una exploración realizada en in-ternet en mayo de 2004. Detectó 3,460 artículos relacionados con este método ternet en mayo de 2004. Detectó 3,460 artículos relacionados con este método

cuantitativo y los clasicó de acuerdo con los

cuantitativo y los clasicó de acuerdo con los campos del conocimiento en que

campos del conocimiento en que

se habían generado los datos, los cuales se muestran en la tabla 1. se habían generado los datos, los cuales se muestran en la tabla 1.

En la gura 1 se muestra el incremento que han tenido, en los últimos 15

años, los estudios que utilizan el análisis factorial en la información. años, los estudios que utilizan el análisis factorial en la información.

T

Tabla 1. Artículos publicados abla 1. Artículos publicados sobre análisis factorialsobre análisis factorial en diferentes disciplinas, 1904-2004 en diferentes disciplinas, 1904-2004 Área Área 1904- 1904-1980 1980 1981-1985 1985 1986-1990 1990 1991-1995 1995 1995-2000 2000 2000-2004 2004 TotalTotal Biología Biología Química Química Cromatografía Cromatografía Ecología Ecología Economía Economía Alimentación Alimentación Geriatría Geriatría Procesamiento de imágenes Procesamiento de imágenes Industria Industria Resonancia magnética Resonancia magnética Medicina Medicina Metodología Metodología Investigación de operaciones Investigación de operaciones Fisiología Fisiología Psiquiatría Psiquiatría Psicología Psicología Espectroscopia Espectroscopia 166 166 280 280 88 88 138 138 85 85 50 50 88 88 147 147 78 78 49 49 418 418 391 391 95 95 203 203 365 365 1280 1280 326 326 18 18 12 12 4 4 2 2 14 14 1 1 8 8 2 2 4 4 1 1 30 30 10 10 1 1 20 20 15 15 93 93 11 11 17 17 14 14 7 7 4 4 12 12 4 4 5 5 7 7 0 0 1 1 32 32 25 25 1 1 26 26 14 14 86 86 27 27 20 20 36 36 16 16 11 11 9 9 5 5 10 10 22 22 2 2 3 3 64 64 31 31 1 1 38 38 39 39 159 159 40 40 23 23 53 53 22 22 15 15 4 4 2 2 9 9 27 27 6 6 6 6 67 67 49 49 9 9 39 39 61 61 219 219 50 50 41 41 77 77 15 15 45 45 26 26 21 21 31 31 51 51 28 28 13 13 116 116 151 151 41 41 29 29 99 99 344 344 90 90 47 47 88 88 24 24 61 61 20 20 17 17 25 25 38 38 38 38 25 25 109 109 125 125 42 42 51 51 137 137 379 379 108 108

(15)

Figura 1. Crecimiento en las publicaciones sobre análisis

Figura 1. Crecimiento en las publicaciones sobre análisis factorialfactorial Publicaciones

Publicaciones PublicacionesPublicaciones sin Psychology sin Psychology

(16)

(17)

Capítulo II

¿Qué es el

¿Qué es el análisis factorial?análisis factorial?

E

l análisis factorial es una técnica estadística multivariada que se incorpora al análisis factorial es una técnica estadística multivariada que se incorpora a la metodología cu

la metodología cuantitativa que involucra variables latentes.antitativa que involucra variables latentes.11_{Estas variables}_{Estas variables} no obser

no observablesvables, denominadas frecuentemente constructos, son variables que no, denominadas frecuentemente constructos, son variables que no

pueden medirse de manera directa: se estiman a través de variables maniestas

(observadas). Ejemplos de variables latentes podrían ser la inteligencia, el nivel (observadas). Ejemplos de variables latentes podrían ser la inteligencia, el nivel de ansiedad, el nivel socioeconómico, el capital cultural, el grado d

de ansiedad, el nivel socioeconómico, el capital cultural, el grado de satisfaccióne satisfacción con un producto

con un producto o el nivel de razonamiento verbal. Varo el nivel de razonamiento verbal. Variables observadas po-iables observadas po-drían ser la respuesta a un reactivo de un examen, el número de aciertos en un drían ser la respuesta a un reactivo de un examen, el número de aciertos en un examen, la intensidad con que se lanzó una pelota, el número de computadoras examen, la intensidad con que se lanzó una pelota, el número de computadoras en una vivienda, etcétera.

en una vivienda, etcétera.

En el análisis factorial se asume que la variable latente es continua: los En el análisis factorial se asume que la variable latente es continua: los individuos pueden or

viduos pueden ordenarse de mdenarse de mayor a ayor a menor nivmenor nivel del atriel del atributo bajo estudbuto bajo estudioio. El. El objetivo primordial de esta herramienta es estudiar la estructura de correlación objetivo primordial de esta herramienta es estudiar la estructura de correlación entre un grupo de variables medidas, asumiendo que la asociación entre las entre un grupo de variables medidas, asumiendo que la asociación entre las variables puede ser explicada por una o

variables puede ser explicada por una o más variables latentesmás variables latentes, que en el , que en el casocaso del análisis factorial se les reconoce como factores. Dicho de otra manera, la del análisis factorial se les reconoce como factores. Dicho de otra manera, la correlación entre el gr

correlación entre el grupo de variables se explica por la preupo de variables se explica por la presencia de los factoressencia de los factores subyacentes a ellas.

subyacentes a ellas.

En el caso de que esta estructura de correlación pueda explicarse a través En el caso de que esta estructura de correlación pueda explicarse a través de un solo factor, estaremos ante un modelo

de un solo factor, estaremos ante un modelo unifactorial; unifactorial; por el contrario, si por el contrario, si necesitamos más de un factor para explicar estas correlaciones, utilizaremos necesitamos más de un factor para explicar estas correlaciones, utilizaremos un modelo

un modelo multifactorial multifactorial . En este último caso, se espera que las variables que. En este último caso, se espera que las variables que componen cada uno de estos factores estén fuertemente correlacion

componen cada uno de estos factores estén fuertemente correlacionadas, y adas, y concon correlaciones débiles con las variables que componen el resto de los factores. correlaciones débiles con las variables que componen el resto de los factores.

Cuando se representa grácamente un modelo latente, como el análisis fac

--torial, es común representar los factores con un óvalo o círculo, y las variables torial, es común representar los factores con un óvalo o círculo, y las variables

maniestas con un cuadrado o rectángul

maniestas con un cuadrado o rectánguloo. Las echas van del factor a las varia

. Las echas van del factor a las varia

-- sobre análisis de clases latentes para una denición más extensa de sobre análisis de clases latentes para una denición más extensa de

(18)

bles, indicando que el factor es

bles, indicando que el factor es una variable explicativa y las variables manies

una variable explicativa y las variables manies

--tas son variables dependientes. En las guras 2 y 3 se muestra la representación

tas son variables dependientes. En las guras 2 y 3 se muestra la representación

gráca de un modelo unifactorial y otro multifactorial, respectivamente.

Figura 2. Representación del modelo

Figura 2. Representación del modelo unifactorialunifactorial

Figura 3. Representación del modelo

Figura 3. Representación del modelo multifactorialmultifactorial V V ₁₁ V V ₂₂ V V ₃₃ V V ₄₄ V V ₅₅ V V ₆₆ V V ₇₇ V V ₈₈ V V ₉₉ V V ₁₀₁₀ Habilidad Habilidad matemática matemática V V ₁₁ V V ₂₂ V V ₃₃ V V ₄₄ V V ₅₅ V V ₆₆ V V ₇₇ V V ₈₈ V V ₉₉ V V ₁₀₁₀ Series Series numéricas numéricas Resolución Resolución problemas problemas

(19)

Los factores

Los factores f f ₁₁,, f f ₂₂,...,,..., f f _k_k, juegan el , juegan el papel de variables explicativas, y cada una depapel de variables explicativas, y cada una de las

las X’s X’s

el de variables de respuesta; las λ’s son los coecientes asociados a cada

factor, y reciben el nombre de

factor, y reciben el nombre de cargas factoriales; cargas factoriales; por último, los errores del mode- por último, los errores del

mode-lo son las u’s. En este sentido, el modemode-lo está determinando por las variables y

lo son las u’s. En este sentido, el modelo está determinando por las variables y

no por los individuos. no por los individuos.

Las cargas factoriales indican la correlación entre cada variable y el factor Las cargas factoriales indican la correlación entre cada variable y el factor correspondiente; así, una variable con mayor carga factorial será más correspondiente; así, una variable con mayor carga factorial será más represen-tativ

tativa del factor. De este a del factor. De este modomodo, las carg, las cargas factoriales sirven para as factoriales sirven para interpretar lainterpretar la

función que cumple cada

función que cumple cada variabl

variable para denir cada

e para denir cada uno de los

uno de los factores

factores. En la

. En la

El modelo de factores

En este apartado se explicarán los aspectos básicos de la teoría que sustenta el En este apartado se explicarán los aspectos básicos de la teoría que sustenta el análisis factorial y se pospone su explicación formal, en términos matemáticos, análisis factorial y se pospone su explicación formal, en términos matemáticos, hasta el capítulo 3: Fundamentos técnicos del análisis factorial.

hasta el capítulo 3: Fundamentos técnicos del análisis factorial.

Supongamos que tenemos un conjunto de variables observadas

Supongamos que tenemos un conjunto de variables observadas X X ₁₁,, X X ₂₂,...,,..., X

X _pp y se asume que en este conjunto subyacen y se asume que en este conjunto subyacen kk factores (el número de factores factores (el número de factores

debe ser estrictamente menor al número de variables observadas). De acuerdo debe ser estrictamente menor al número de variables observadas). De acuerdo con lo que hemos planteado en secciones anteriores, los factores son variables con lo que hemos planteado en secciones anteriores, los factores son variables latentes que

latentes que explican explican

la asociación entre las variables maniestas (en este caso

las

las X’s X’s ); entonces ); entonces, podemos pensar el , podemos pensar el modelo de factores modelo de factores de manera simide manera similar allar al

modelo de regresión lineal, en el que se exprese esta relación entre factores y modelo de regresión lineal, en el que se exprese esta relación entre factores y vari

(20)

Supuestos del modelo

En el modelo de

En el modelo de factores, afactores, a f f ₁₁,, f f ₂₂,...,,..., f f _k_k se les denomina se les denomina factores factores comunes comunes y y aau u ₁₁,,u u ₂₂,...,... ,u ,u _pp factores

factores especícos especícos . Los supuestos básicos sobre los que se construye el modelo. Los supuestos básicos sobre los que se construye el modelo

son los siguientes: son los siguientes: 1.

1. Los Los factores factores comunescomunes f f _j_j j j =1,2,...,=1,2,...,kk no están correlacionados y tienen media no están correlacionados y tienen media

cero y varianza cero y varianza uno.uno.

2. 2. Los

Los factores

factores especícos

especícos

ui ui no están cor no están correlacionados y tienen media cero yrelacionados y tienen media cero y

vari

varianza

anza Ψ

Ψ

_ii i i =1,2,...,=1,2,..., p p..

3. 3. Los factores com

Los factores comunes no están

unes no están correlacionados con los factores

correlacionados con los factores especícos.

especícos.

Bajo estos supuestos es posible descomponer la varianza de cada una de Bajo estos supuestos es posible descomponer la varianza de cada una de las variables observables del modelo o

las variables observables del modelo o variables indicadoras variables indicadoras ( ( X X _ii ), en dos compo- ), en dos compo-nentes no cor

nentes no correlacionadosrelacionados. Por un lado la . Por un lado la varianza común, conocida como lavarianza común, conocida como la

Figura 4. Explicación de la

Figura 4. Explicación de la ecuación del modelo de factoresecuación del modelo de factores Variable obse

Variable observadarvada

Cargas factoriales Cargas factoriales Factores Factores Error Error

(21)

comunalidad

comunalidad de la variable y que representa la varianza de la variable de la variable y que representa la varianza de la variable X X _i i que es que es

explicada por los f

explicada por los factores comunes y, por el otro

actores comunes y, por el otro, la varianza especíc

, la varianza especíca conocida

a conocida

como

como especicidad especicidad y que es la varianza no explicada por estos factores comunes. y que es la varianza no explicada por estos factores comunes.

Los factores comunes y sus

Los factores comunes y sus características asociadas (comunalidades, especici

características asociadas (comunalidades, especici

--dades, número, etcétera) representan el objeto de interés en el análisis factorial. dades, número, etcétera) representan el objeto de interés en el análisis factorial.

Métodos de extracción de factores

T

Todas las odas las técnicas de técnicas de estimación del estimación del modelo factorial modelo factorial parten del parten del supuesto desupuesto de que los factores iniciales que serán extraídos de la matriz de correlaciones de las que los factores iniciales que serán extraídos de la matriz de correlaciones de las vari

variables ables indicadindicadoras oras no no estaráestarán cn correlacionorrelacionadosados. . El El objetiobjetivo vo de de los los métodos métodos dede extracción de factores es minimizar la distancia entre la matriz de cor

extracción de factores es minimizar la distancia entre la matriz de correlacionesrelaciones observada y la matriz de cor

observada y la matriz de correlaciones que se desprende del modelo (matriz querelaciones que se desprende del modelo (matriz que

especica el modelo de factores). La

especica el modelo de factores). La diferencia entre los métodos radica en la

diferencia entre los métodos radica en la

denición de “distancia” que utilizan para llegar a la solución. El método de mí

--nimos cuadrados, por ejemplo

nimos cuadrados, por ejemplo, se ocupa de minimizar , se ocupa de minimizar la suma de cuadrados dela suma de cuadrados de las diferencias entre estas dos matrices, por lo que los valores de los parámetros las diferencias entre estas dos matrices, por lo que los valores de los parámetros

que logren e

que logren este objetivo serán los estimadores nales.

ste objetivo serán los estimadores nales.

Uno de los métodos más comunes para la extracción de factores es el con Uno de los métodos más comunes para la extracción de factores es el cono- o-cido como

cido comoFFactorización de ejes practorización de ejes principales (Principal axis facincipales (Principal axis factoting)toting). Se trata de un mé-. Se trata de un

mé-todo iterativo para estimar las comunalidades y subsecuentemente extraer los todo iterativo para estimar las comunalidades y subsecuentemente extraer los factores. Este método es igual al que se usa en la técnica multivariada conocida factores. Este método es igual al que se usa en la técnica multivariada conocida como

como Análisis de Análisis de componentes princomponentes principales,cipales, salvo que no se realiza sobre la matriz salvo que no se realiza sobre la matriz

original de correlación (véanse detalles en el capítulo 3). Los factores se extraen original de correlación (véanse detalles en el capítulo 3). Los factores se extraen

de manera sucesiva, por lo que la solución nal consiste en factores ortogona

--les

les. El primer factor se . El primer factor se obtiene de forobtiene de forma que explique la ma que explique la mayor cantidamayor cantidad de d de lala vari

(22)

proceso continúa hasta que se ha

proceso continúa hasta que se ha extraído un número suciente de f

extraído un número suciente de factores. En

actores. En

el siguiente apartado revisaremos algunos criterios para determinar el número el siguiente apartado revisaremos algunos criterios para determinar el número de factores con que se debería detener este proceso.

de factores con que se debería detener este proceso.

Selección del número de factores por ser extraídos

Uno de los objetivos del análisis factorial es la reducció

Uno de los objetivos del análisis factorial es la reducción de los datos originalesn de los datos originales

a un número menor de variables, per

a un número menor de variables, pero podría ocurrir que –dado u

o podría ocurrir que –dado un conjunto de

n conjunto de

datos– se tengan soluciones muy dif

datos– se tengan soluciones muy diferentes, dependiendo del número de facto

erentes, dependiendo del número de facto

--res considerado. Por tal motiv

res considerado. Por tal motivo son varios los criterios que po son varios los criterios que pueden serueden servirnos devirnos de guía para determinar cuántos factores extraer.

guía para determinar cuántos factores extraer.

En el capítulo 3 determinaremos el número máximo de factores que se En el capítulo 3 determinaremos el número máximo de factores que se pue-den extraer, dependiendo del número de variables indicadoras que se incluyan den extraer, dependiendo del número de variables indicadoras que se incluyan en el modelo; y

en el modelo; y a continuación explicaremos la lógica de algunos criterios uti-a continuación explicaremos la lógica de algunos criterios uti-lizados para la selección del número de factores por extraer en el análisis; lizados para la selección del número de factores por extraer en el análisis;

co-menzaremos con los criterios teóricos que denen el

menzaremos con los criterios teóricos que denen el

análisis factorial conrmatorioanálisis factorial conrmatorio

y con algunos criterios estadísticos que nos ayudarán a seleccionar el número y con algunos criterios estadísticos que nos ayudarán a seleccionar el número exacto de factores por extraer en el marco del

exacto de factores por extraer en el marco del análisis factorial exploratorioanálisis factorial exploratorio..

Criterio a priori (tipos de análisis factorial)

En muchas ocasiones no se tiene certeza sobre el número de factores

En muchas ocasiones no se tiene certeza sobre el número de factores kk que que

subyacen en la estructura de datos; por ende, se puede realizar la extracción de subyacen en la estructura de datos; por ende, se puede realizar la extracción de factores de manera secuencial, se inicia con

factores de manera secuencial, se inicia con kk=1 y se llega hasta un número de=1 y se llega hasta un número de

factores que permita lograr un buen ajuste del modelo a los datos. Este factores que permita lograr un buen ajuste del modelo a los datos. Este proce-dimiento de incorporar factores hasta lograr un buen ajuste da lugar al llamado dimiento de incorporar factores hasta lograr un buen ajuste da lugar al llamado

análisis factorial

análisis factorial exploratorioexploratorio,, en el que el investigador no conoce de en el que el investigador no conoce de antemano elantemano el

número de f

número de factores que subyacen en actores que subyacen en las variables observadas. Una desventajalas variables observadas. Una desventaja de este tipo de análisis: puede ocurrir que

(23)

ninguna interpretación para el investigador. Por el contrario, cuando en una ninguna interpretación para el investigador. Por el contrario, cuando en una in- ves

vestigación tigación se se determina determina de de forma forma preciprecisa sa el el número número de de factorfactoreses, , se se está está ante ante unun

análisis factorial conrmatorio

análisis factorial conrmatorio. La forma usual de proponer este número de factores. La forma usual de proponer este número de factores

es en atención a alguna teoría propuesta en el área de aplicación. En este caso, es en atención a alguna teoría propuesta en el área de aplicación. En este caso,

los objetivo

los objetivos de

s de la investigación se centran en la conr

la investigación se centran en la conrmación del número de

mación del número de

factores

factores y, y, consecuentemente, en la validación de esta teoría consecuentemente, en la validación de esta teoría mediante la eviden-mediante la

eviden-cia empírica proporcionada por los datos. Si el ajuste estadístico de los datos al cia empírica proporcionada por los datos. Si el ajuste estadístico de los datos al modelo teórico es satisfactorio, se podrá concluir que el

modelo teórico es satisfactorio, se podrá concluir que el modelo es adecuado.modelo es adecuado. Entonces, cuando el análisis factorial es de tipo exploratorio, se tiene la Entonces, cuando el análisis factorial es de tipo exploratorio, se tiene la nece-sidad de decidir cuántos factores se deben retener en

sidad de decidir cuántos factores se deben retener en el análisisel análisis. En seguida se. En seguida se enuncian algunos criterios establecidos para decidir este número.

enuncian algunos criterios establecidos para decidir este número.

Criterio de la raíz latente (eigenvalor >1)

La lógica que sigue este criterio se basa en la idea de que cada uno de los La lógica que sigue este criterio se basa en la idea de que cada uno de los

facto-res extraídos debería justicar, al menos, la varianza de una variable individual

res extraídos debería justicar, al menos, la varianza de una variable individual

(de lo contrario se incumpliría con el objetivo de reducir la dimensión de los (de lo contrario se incumpliría con el objetivo de reducir la dimensión de los datos originales).

datos originales).

El análisis factorial –al igual que otras técnicas multivariadas– utiliza eigen

-- valores (raíces latentes) y sus cor

valores (raíces latentes) y sus correspondientes eigenvectores para consolidarrespondientes eigenvectores para consolidar la varianza en una matriz. En el contexto del análisis factorial, los eigenvalores la varianza en una matriz. En el contexto del análisis factorial, los eigenvalores representan la cantidad de varianza de todas las variables indicadoras que puede representan la cantidad de varianza de todas las variables indicadoras que puede ser explicada por un

ser explicada por un factor determinado. Cada una de las variables contribuyefactor determinado. Cada una de las variables contribuye con un valor de 1 en el eigenvalor (varianza) total.

con un valor de 1 en el eigenvalor (varianza) total.22_{Por lo tanto, de acuerdo con}_{Por lo tanto, de acuerdo con} este criterio, deberían elegirse los factores con eigenvalores mayores a 1 para este criterio, deberían elegirse los factores con eigenvalores mayores a 1 para garantizar que explican la varianza de al menos una variable.

(24)

Criterio del gráfico de codo (contraste de caída)

Este criterio consiste en analizar el comportamiento de los eigenvalores Este criterio consiste en analizar el comportamiento de los eigenvalores aso-ciados a los factores extraídos, para determinar un punto de corte entre la ciados a los factores extraídos, para determinar un punto de corte entre la pen-diente pronunciada de los eigenvalores altos y la penpen-diente (más bien plana) de diente pronunciada de los eigenvalores altos y la pendiente (más bien plana) de los eigenvalores bajos.

los eigenvalores bajos.

La siguiente gura representa los primeros 11 factores extraídos en el análi

--sis factorial de un conjunto de reactivos que componen el área de un examen. sis factorial de un conjunto de reactivos que componen el área de un examen.

Del lado izquierdo de la gráca un punto sobresale de los demás, haciendo

que la pendiente de la línea que une todos los puntos cambie drásticamente en que la pendiente de la línea que une todos los puntos cambie drásticamente en el lugar correspondiente al segundo factor. En este sitio, todo el conjunto de el lugar correspondiente al segundo factor. En este sitio, todo el conjunto de

Figura 5. Gráfico de codo Figura 5. Gráfico de codo Gráfico de codo (scree - plot) Gráfico de codo (scree - plot)

Criterio de contraste de caída Criterio de contraste de caída

E E i i g g e e n n v v a a l l o o r r 3.5 3.5 3.0 3.0 2.5 2.5 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1 1 22 33 44 55 66 77 88 99 1100 1111

(25)

factores se divide en dos gr

factores se divide en dos grupos, el primero compuesto solamente por el primerupos, el primero compuesto solamente por el primer factor, que explica una cantidad mayor de varianza que cualquiera de los diez factor, que explica una cantidad mayor de varianza que cualquiera de los diez factores restantes pertenecientes al segundo grupo y para los que la cantidad factores restantes pertenecientes al segundo grupo y para los que la cantidad de varianza explicada parece haberse estab

de varianza explicada parece haberse estabilizado. Pilizado. Por lo tanto, con este criterioor lo tanto, con este criterio deberíamos incluir sólo el primer factor.

deberíamos incluir sólo el primer factor.

Criterio del porcentaje de varianza explicada

Este criterio consiste en analizar el porcentaje acumulado de la varianza total Este criterio consiste en analizar el porcentaje acumulado de la varianza total extraída. Esto es, se busca asegurar que el número de factores e

extraída. Esto es, se busca asegurar que el número de factores extraídos alcancextraídos alcance a explicar un porcentaje determinado de la varianza total de los datos. Aunque a explicar un porcentaje determinado de la varianza total de los datos. Aunque no se ha determinado un porcentaje preciso de varianza explicada que sirva no se ha determinado un porcentaje preciso de varianza explicada que sirva como umbral para concluir con la extracción de factores, algunos autores como umbral para concluir con la extracción de factores, algunos autores su-gieren que en el caso de aplicaciones concernientes a las Ciencias Naturales se gieren que en el caso de aplicaciones concernientes a las Ciencias Naturales se puede detener el proceso cuando se alcance 95% de la varianza o cuando la puede detener el proceso cuando se alcance 95% de la varianza o cuando la inclusión de un factor adicional contribuya con menos de 5% a la varianza inclusión de un factor adicional contribuya con menos de 5% a la varianza ex-plicada acumulada. Para el caso de las Ciencias Sociales los criterios propuestos plicada acumulada. Para el caso de las Ciencias Sociales los criterios propuestos son más laxos. Se habla de continuar la extracción de factores hasta log

son más laxos. Se habla de continuar la extracción de factores hasta lograr 60%rar 60% de la varianza total (Hair

de la varianza total (Hair et al.,et al.,

1998/1999).

Interpretación de la matriz de cargas factoriales

Una vez que se han estimado las cargas factoriales es importante establecer Una vez que se han estimado las cargas factoriales es importante establecer criterios que permitan interpretar los resultados obtenidos. Esta interpretación criterios que permitan interpretar los resultados obtenidos. Esta interpretación hará posible establecer una conexión entre los resultados vertidos por el análisis hará posible establecer una conexión entre los resultados vertidos por el análisis factorial y los constructos teóricos relacionados con los datos. En este sentido, factorial y los constructos teóricos relacionados con los datos. En este sentido, la extracción de un determinado número de factores por los criterios la extracción de un determinado número de factores por los criterios

estadís-ticos ya mencionados, carecerá de sentido si no podemos darle un signicado

ticos ya mencionados, carecerá de sentido si no podemos darle un signicado

(26)

Las cargas factoriales indican la correlación entre cada variable y el factor Las cargas factoriales indican la correlación entre cada variable y el factor correspondiente, de ahí que una variable con mayor carga factorial será más correspondiente, de ahí que una variable con mayor carga factorial será más representativa del factor

representativa del factor. T. Tomando en cuenta omando en cuenta esto, un análisis de la matriz esto, un análisis de la matriz dede

cargas factoriales puede ayudarnos a identicar cómo se agr

cargas factoriales puede ayudarnos a identicar cómo se agrupan las variables

upan las variables

maniestas para conformar cada uno de los factores resultantes del modelo, e

incluso a etiquetarlos. Una vez que sabemos cuáles de las variables maniestas

“cargan” en el factor 1, por ejemplo, podemos deducir qué tipo de constructo

teórico está representado por dicho factor. teórico está representado por dicho factor.

En la siguiente tabla se muestra la matriz de cargas factoriales para un En la siguiente tabla se muestra la matriz de cargas factoriales para un ejem-plo hipotético en el que se realizó un análisis factorial con las respuestas a 10 plo hipotético en el que se realizó un análisis factorial con las respuestas a 10 reactivos de opción múltiple de una prueba. Los primeros 5 (RM1 a RM5) son reactivos de opción múltiple de una prueba. Los primeros 5 (RM1 a RM5) son reactivos del área de Razonamiento matemático, mientras que los últimos cinco reactivos del área de Razonamiento matemático, mientras que los últimos cinco (RV1 a RV5) corresponden al área de Razonamiento verbal.

(RV1 a RV5) corresponden al área de Razonamiento verbal.

De acuerdo con estos resultados, podemos identicar al factor 1 con una

inuencia común en las primeras cinco variables y al factor 2 con una inuen

--cia común en las últimas cinco. De esta manera podríamos dividir el total de cia común en las últimas cinco. De esta manera podríamos dividir el total de

Área

Área Va Variable_(Reactivo)_(Reactivo)riable Factor Factor

Razonamiento verbal Razonamiento verbal Razonamiento matemático Razonamiento matemático RM1 RM1 RM2 RM2 RM3 RM3 RM4 RM4 RM5 RM5 1 1 22 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.7 RV1 RV1 RV2 RV2 RV3 RV3 RV4 RV4 RV5 RV5 T

(27)

Carga factorial Carga factorial

(a) La significancia se basa en un nivel de

(a) La significancia se basa en un nivel de significación de 0.05, unasignificación de 0.05, una potencia de 80% y los errores estándar supuestamente dos veces potencia de 80% y los errores estándar supuestamente dos veces mayores que los coeficientes convencionales

mayores que los coeficientes convencionales de correlaciónde correlación

Tamaño muestral necesario Tamaño muestral necesario

para la significancia- (a) para la significancia- (a) 0.30 0.30 0.35 0.35 0.40 0.40 0.45 0.45 0.50 0.50 0.55 0.55 0.60 0.60 0.65 0.65 0.70 0.70 0.75 0.75 352 352 250 250 200 200 150 150 120 120 100 100 85 85 70 70 60 60 50 50 T

Tabla 3. Directrices abla 3. Directrices para la identificación para la identificación de cargas factorialesde cargas factoriales significativas, basadas en el tamaño de la

significativas, basadas en el tamaño de la muestramuestra

variables (rea

variables (reactivos) en dos grupos, que no se traslapan, y que son indicativosctivos) en dos grupos, que no se traslapan, y que son indicativos de dos variables latentes diferentes: Razonamiento matemático (factor 1) y de dos variables latentes diferentes: Razonamiento matemático (factor 1) y Ra-zonamiento verbal (factor 2).

zonamiento verbal (factor 2).

¿Cómo podemos determinar si una carga factorial es lo sucientemente

“grande” para concluir que la correlación entre la variable y el factor es signi

--cativa? Hair

cativa? Hair et al et al

. (1998/1999) proponen ciertas directrices para determinar si

una carga factorial es o no signicativa, dependiendo del tamaño de la muestra

utilizada para el análisis (esta tabla se basa en estudios de potencia estadística): utilizada para el análisis (esta tabla se basa en estudios de potencia estadística):

En el ejemplo anterior la interpretación fue muy sencilla, porque cada En el ejemplo anterior la interpretación fue muy sencilla, porque cada

va-riable resultó estadisticamente signicativa para un solo factor. Sin embargo,

riable resultó estadisticamente signicativa para un solo factor. Sin embargo,

este no es el caso frecuente. A continuación se describe un procedimiento que este no es el caso frecuente. A continuación se describe un procedimiento que

puede ayudar a claricar la interpretación de los resultados.

(28)

Un concepto muy controversial: rotación de factores

Cuando el modelo en cuestión está deter

Cuando el modelo en cuestión está determinado por un solo factor, su soluciónminado por un solo factor, su solución es única; sin embargo, las soluciones de los modelos multifactoriales, no son es única; sin embargo, las soluciones de los modelos multifactoriales, no son

siempre únicas, ya que cuando existen

siempre únicas, ya que cuando existen dos o más factores si

dos o más factores signicativos

gnicativos, las dis

, las dis

--tintas combinaciones posibles pueden interpretarse de dis--tintas maneras tintas combinaciones posibles pueden interpretarse de distintas maneras

(véan-se “soluciones múltiples al modelo” en el capítulo 3). Este aspecto ha suscitado

se “soluciones múltiples al modelo” en el capítulo 3). Este aspecto ha suscitado

críticas sobre el análisis factorial, ya que se piensa que depende de cuestiones críticas sobre el análisis factorial, ya que se piensa que depende de cuestiones subjetivas

subjetivas, que pudieran encaminar las , que pudieran encaminar las soluciones a resultados preconcebidossoluciones a resultados preconcebidos por el investigador. Estas críticas son erróneas en dos aspectos: primero, el por el investigador. Estas críticas son erróneas en dos aspectos: primero, el investigador no obtiene la soluc

vestigador no obtiene la solución queión que él desea; él desea; segundo, es más adecuado decir segundo, es más adecuado decir que la misma solución

que la misma solución puede expresarse de diferentes puede expresarse de diferentes maneras; de hecho, variasmaneras; de hecho, varias

características de las soluciones –por ejemplo las comunalidades– permanecen

inalteradas.

inalteradas. Rotación Rotación

–nombre que se le da

–nombre que se le da al proceso de cambiar de una solución

al proceso de cambiar de una solución

a otra– proviene de la representación geométrica de este procedimiento.

La razón principal para rotar una solución es claricar la estructura de las

cargas factoriales. Los factores deben tener un signicado claro para el

cargas factoriales. Los factores deben tener un signicado claro para el inve

invess

--tigador, a partir del contexto de aplicación. Si la estructura que muestran las tigador, a partir del contexto de aplicación. Si la estructura que muestran las cargas factoriales de la solución inicial son confusas o difíciles de interpretar, cargas factoriales de la solución inicial son confusas o difíciles de interpretar, una rotación puede proporcionar una estructura más fácil de interpretar.

una rotación puede proporcionar una estructura más fácil de interpretar.

Rotaciones ortogonales

Uno de los patrones de cargas factoriales más usuales y de hecho más deseables Uno de los patrones de cargas factoriales más usuales y de hecho más deseables es la llamada

es la llamada estructura simple de cargas factoriales estructura simple de cargas factoriales . Se dice que las cargas factoriales. Se dice que las cargas factoriales presentan una estructura simple si cada variable tiene una gran carga en un presentan una estructura simple si cada variable tiene una gran carga en un solo factor, con cargas cercanas a cero en el resto de los factores. Una de las solo factor, con cargas cercanas a cero en el resto de los factores. Una de las rotaciones ortogonales (los nuevos ejes después de la rotación siguen siendo rotaciones ortogonales (los nuevos ejes después de la rotación siguen siendo ortogonales) que procura generar una estr

(29)

varimax,

varimax, implementada en la mayoría de los paquetes estadísticos. No hay ga- implementada en la mayoría de los paquetes estadísticos. No hay

ga-rantía de que una rotación produzca necesariamente una estructura de cargas rantía de que una rotación produzca necesariamente una estructura de cargas simple, pero, de hacerlo

simple, pero, de hacerlo, puede ayudar a una interp, puede ayudar a una interpretación mucho más fácil deretación mucho más fácil de los factores. Existe

los factores. Existen otras rotaciones ortogn otras rotaciones ortogonales (comoonales (como quartimax quartimax y y equimax equimax ), ), pero ninguna tiene la popularidad de varimax.

pero ninguna tiene la popularidad de varimax.

Rotaciones oblicuas

Contrario a las rotaciones ortogonales, las rotaciones oblicuas permiten relajar Contrario a las rotaciones ortogonales, las rotaciones oblicuas permiten relajar

la restricción de ortogonalidad con el n de ganar simplicidad en la interpre

--tación de los

tación de los factoresfactores. Con este . Con este método los factores resultan cormétodo los factores resultan correlacionadosrelacionados,, aunque generalmente esta correlación es pequeña. El uso de rotaciones oblicuas aunque generalmente esta correlación es pequeña. El uso de rotaciones oblicuas

se justica porque en muchos contextos es lógico suponer que los factores es

--tán correlacionados. Pe

tán correlacionados. Pese a que pueden se a que pueden ser de utilidad en algunas situaciones,ser de utilidad en algunas situaciones, estas rotaciones raramente se usan, a diferencia de las ortogonales. Entre las estas rotaciones raramente se usan, a diferencia de las ortogonales. Entre las rotaciones oblicuas,

rotaciones oblicuas, promax promax es conceptualmente simple; sin embargo, la más es conceptualmente simple; sin embargo, la más popular es

popular es oblimin oblimin ..

V

Valoracaloración dión de lae las coms comunalidunalidadesades

Además

Además del an

del análisis

álisis de la m

de la matriz

atriz de car

de cargas facto

gas factoriales

riales, es i

, es importan

mportante v

te vericar

ericar sisi

cada una de las variables incluidas en el análisis son explicadas aceptablemente cada una de las variables incluidas en el análisis son explicadas aceptablemente

por el modelo. Esto puede lograrse analizando la e

por el modelo. Esto puede lograrse analizando la estimación nal de las comu

stimación nal de las comu

--nalidades. Puesto que la comunalidad representa la proporción de la varianza nalidades. Puesto que la comunalidad representa la proporción de la varianza de la variable indicadora que es explicada po

de la variable indicadora que es explicada por los factores comunes del moder los factores comunes del modelo,lo, Hair

Hair et al.et al.

(1998/1999) proponen que

las variables con una comunalidad menor a las variables con una comunalidad menor a 0.5 0.5

carecen de una explicación suciente

carecen de una explicación suciente y no deberían ser consideradas en la interpreta- y no deberían ser consideradas en la

interpreta-ción nal del análisis.

ción nal del análisis.

(30)

Puntajes factoriales

Una vez realizado el análisis factorial, quizá con alguna rotación de los factores, Una vez realizado el análisis factorial, quizá con alguna rotación de los factores,

el paso nal es asignar los puntajes factoriales (scores) a cada individuo en la

muestra. Esta construcción de puntajes genera una nueva variable por cada muestra. Esta construcción de puntajes genera una nueva variable por cada factor en el modelo. Usualmente estas variables derivadas del análisis factorial factor en el modelo. Usualmente estas variables derivadas del análisis factorial pueden utilizarse como insumo para otros procedimientos estadísticos de pueden utilizarse como insumo para otros procedimientos estadísticos de in-terés. Existen dos métodos para construir estos puntajes factoriales, a saber: terés. Existen dos métodos para construir estos puntajes factoriales, a saber: el método de Bartlett o de mínimos cuadrados ponderados y el método de el método de Bartlett o de mínimos cuadrados ponderados y el método de Thompson o

Thompson o de regreside regresión (capíón (capítulo 3)tulo 3)..

Bondad de ajuste del modelo de factores

Dado que el análisis factorial se realiza a través de un modelo, ¿qué tan bien Dado que el análisis factorial se realiza a través de un modelo, ¿qué tan bien ajusta este modelo a nuestros datos? Un primer elemento de juicio lo constituye ajusta este modelo a nuestros datos? Un primer elemento de juicio lo constituye

la matriz de residuos, denida por:

que es la diferencia entre nuestra matriz observada de correlaciones y la matriz que es la diferencia entre nuestra matriz observada de correlaciones y la matriz de correlaciones re

de correlaciones reproducida por el modelo de factores. Si estas diferencias sonproducida por el modelo de factores. Si estas diferencias son

pequeñas, se puede armar que el modelo de factores ajusta bien a los datos.

Los valores de estas matrices están acotados entre

Los valores de estas matrices están acotados entre –1 y 1, de modo que las

–1 y 1, de modo que las dife

dife

--rencias deben ser realmente pequeñas. Paquetes estadísticos como

rencias deben ser realmente pequeñas. Paquetes estadísticos como SPSSSPSS remar-

remar-can diferencias menores o iguales a 0.05. Obsérvese además que los elementos can diferencias menores o iguales a 0.05. Obsérvese además que los elementos

en la diagonal de e

en la diagonal de esta matriz de residuos son las

sta matriz de residuos son las especicidades del model

especicidades del modeloo. Un

. Un

buen ajuste signica, en este caso, que el modelo con k factores es adecuado

para nuestra información. para nuestra información.

(31)

Análi

Análisis fsis factoriaactorial con l con variabvariables les discretdiscretasas

El análisis factorial estándar se realiza con variables continuas; sin embargo, en El análisis factorial estándar se realiza con variables continuas; sin embargo, en muchas áreas de aplicación lo usual es tener variables medidas en escalas muchas áreas de aplicación lo usual es tener variables medidas en escalas no-minal u ordinal. En estos casos, lo adecuado es realizar el análisis respetando el minal u ordinal. En estos casos, lo adecuado es realizar el análisis respetando el orden de medición de

orden de medición de las variables invlas variables involucradas. Dado que el análisis factorial seolucradas. Dado que el análisis factorial se basa en el uso de la matriz de cor

basa en el uso de la matriz de correlación, una manera de considerar la escala derelación, una manera de considerar la escala de medición de las distintas variables involucradas en el estudio es calcular el tipo medición de las distintas variables involucradas en el estudio es calcular el tipo de correlación que cor

de correlación que corresponda a cada par de responda a cada par de variablvariables, de acuerdo con su es-es, de acuerdo con su es-cala particular. En este sentido, la tabla siguiente muestra el tipo de correlación cala particular. En este sentido, la tabla siguiente muestra el tipo de correlación que conviene calcular, de acuerdo con el orden de medición de las variables que conviene calcular, de acuerdo con el orden de medición de las variables involucradas.

involucradas.

El análisis factorial supone la existencia de una variable

El análisis factorial supone la existencia de una variable latente latente continua con continua con distribución normal. De esta manera, cuando se utilizan variables discretas distribución normal. De esta manera, cuando se utilizan variables discretas (or-dinales y dicotómicas), estás se utilizan como si fueran continuas.

dinales y dicotómicas), estás se utilizan como si fueran continuas.

EEssccaalla da de me meeddiicciióónn CCoonnttiinnuuaa C

Coonnttiinnuuaa PPeeaarrssoonn

Tetracórica Tetracórica PPoolliiccóórriiccaa PPoolliiccóórriiccaa

PPololisisereriaiall PPununto to bibiseseririalal Ordinal Ordinal Ordinal Ordinal Dicotómica Dicotómica Dicotómica Dicotómica T

(32)

(33)

Capítulo III

Fundamentos técnicos del análisis factorial

Aspect

Aspectos foos formalesrmales

E

n este apartado presentaremos algunos aspectos formales de la teoría quen este apartado presentaremos algunos aspectos formales de la teoría que sustenta este análisis. La presentación se hará de manera general, sustenta este análisis. La presentación se hará de manera general, consi-derando el modelo

derando el modelo multifactorial del que se desprende, como caso multifactorial del que se desprende, como caso particular,particular,

el modelo unifactorial. A lo largo

el modelo unifactorial. A lo largo de la exposición se d

de la exposición se denirán algunos de los

enirán algunos de los

conceptos relacionados con esos modelos. conceptos relacionados con esos modelos.

Supongamos que tenemos un conjunto de variables observadas

Supongamos que tenemos un conjunto de variables observadas X X ₁₁,, X X ₂₂,...,,..., X

X _p_p y se asume que en este conjunto subyacen y se asume que en este conjunto subyacen kk factores con factores con k<<pk<<p. Sin perder. Sin perder

generalidad, podemos suponer que las variables están centradas sobre sus generalidad, podemos suponer que las variables están centradas sobre sus me-dias, i.e.; tienen media

dias, i.e.; tienen media cero.cero.

Una manera usual de escribir el modelo factorial es a través de su Una manera usual de escribir el modelo factorial es a través de su represen-tación en forma matricial:

tación en forma matricial:

Donde, Donde,

Con

Con X X

, la matriz de datos, Λ la matriz de cargas factoriales, y

f f y y U U son los son los vect

vectores de ores de varivariables no ables no observablesobservables.. A

A f f ₁₁,, f f ₂₂,...,,..., f f _k_k se les denomina factores comunes (comunalidad) y a se les denomina factores comunes (comunalidad) y a u u ₁₁,, u u ₂₂,...,,...,upup