Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control

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TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría

TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría

de control

de control

Introducción

Introducción

El presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de El presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.

problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.

Transor!ada de Laplace

Transor!ada de Laplace

Si tenemos una función

Si tenemos una función f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo t#$!t#$! multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como se muestra& se muestra& ee−−st st f f ((t t ))dt dt 

=

=¿

¿

 L L

{{

f f ((t t ))

}}

 F   F ((ss))

=

=

0 0 ∞ ∞

¿

¿

Si dic'a i

Si dic'a inte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en elnte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en el dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función ori%inal.

ori%inal.

+e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la +e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la función resultante&

función resultante&  L

 L−−11

{{

 F  F ((ss))

}}

=

=

f f ((t t )) Con esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferencialesCon esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos&

y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos&

• ,rimer paso& transfor,rimer paso& transformamos la ecuación )difícil* mamos la ecuación )difícil* en una en una ecuaciónecuación

simple (llamada subsidiaria simple (llamada subsidiaria

• Se%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuacionesSe%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuaciones

al%ebraicas al%ebraicas

•  T Tercer ercer paso& la sopaso& la solución de la ecualución de la ecuación se obtción se obtiene al aplicar iene al aplicar lala

transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada. transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada. Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se denomina cálculo

denomina cálculo operacionaoperacional.l.

Transor!ada de la deri"ada de #t$

Transor!ada de la deri"ada de #t$

En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la multiplicación de

multiplicación de transfortransformadas por )s*.madas por )s*.

Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace! Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace! esta es&

esta es&  L

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,odemos etenderlo a la se%unda derivada  L

{

f ' ' 

}

=

s L

{

f ' 

}

f ' (0) L

{

f  ' ' 

}

=

s

(

s L

{

 }

(0)

)

f  '  (0) L

{

f  ' ' 

}

=

s2 L

{

 }

s f (0)

f  '  (0)

/inalmente! si la función es derivable n veces! su transformada será  L

{

f n

}

=

sn L

{

 }

sn−1f (0)

s

n−2

f  ' (0)

(

)

f  n−1

(0)

Linealidad de la transor!ada de Laplace

+ecir -ue es una operación lineal! es a"rmar -ue para cual-uier par de funciones f(t) y g(t)! cuyas transformadas eistan! y cual-uier par de constantes a y b! se cumple&  L

{

a f ()

+

b g()

}

=

0 ∞ e−st 

(

a f ()

+

b g()

)

dt  L

{

a f ()

+

b g()

}

=

a L

{

(t )

}

+

b L

{

g(t )

}

Con"olución

Si bien la adición de transformadas no presenta nin%0n problema como ya se mostró! la multiplicación de las mismas no es tan simple. La

transformada de la multiplicación de funciones! por lo %eneral! no es i%ual al producto de sus transformadas

Si f (t )g(t )

=

h(t ) L

{

(t )

}

 L

{

g(t )

}

≠ L

{

h(t )

}

,ara resolver este problema! utilizamos el teorema de la Convolución& si dos funciones f(t) y g(t) presentan sus transformadas / y 1! el producto de las mismas será 23/1! donde 2 es la transformada de la convolución de las primeras! h(t) h()

=

(

g

) (

)

=

0 t  f (τ )g(1−τ )dτ 

Siste!as de control

El control automático 'a sido vital en el avance de la in%eniería y l a ciencia y se lo puede encontrar como una parte inte%ral de sistemas de ve'ículos! sistemas robóticos! procesos industriales modernos y cual-uier proceso -ue re-uiera controlar la temperatura! 'umedad! presión! 4ujo! entre otros.

El primer trabajo si%ni"cativo fue el re%ulador de velocidad centrífu%o de  5ames 6att para su má-uina de vapor! en el si%lo 78999. 8arios aportes

fueron realizados en a:os posteriores! 'asta -ue alrededor del ;<=$! se desarrollaron los mtodos de respuesta en frecuencia -ue permitieron a los

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in%enieros desarrollar sistemas lineales en lazo cerrado -ue cumplían los re-uisitos de comportamiento. Estos mtodos son n0cleo de la teoría de control cl%sica. En %eneral! estos sistemas son aceptables! pero no

óptimos. >demás! la misma contempla sistemas con una sola entrada y salida.

2acia ;<?$! con disponibilidad de computadoras di%itales! fue posible realizar cálculos en el dominio del tiempo de modelos complejos y -ue involucran m0ltiples entradas y salidas. La teoría de control !oderno está basada en el análisis en el dominio temporal de los sistemas de

ecuaciones diferenciales! y la síntesis a travs de ecuaciones de estado y fue impulsada por la creciente necesidad de manejar las complejas plantas industriales y los re-uisitos más ei%entes sobre precisión! peso y costo de los productos! como tambin en las aplicaciones militares.

Lle%ado este punto! el dise:o de los sistemas de control fue simpli"cado! por-ue se basaba en un modelo del sistema -ue se -uería controlar. @o obstante! la estabilidad de este 0ltimo depende del error entre el sistema real y su modelo. ,ara evitar esta situación! se de"ne primero el ran%o de posibles errores y lue%o se dise:a el controlador de forma -ue! si el error del sistema está en dic'o ran%o! el sistema de control dise:ado permanezca estable. El mtodo basado en este principio es llamado teoría de control ro&usto. En ella se consideran tanto la aproimación de respuesta en

frecuencia! como la del dominio temporal. Aesulta matemáticamente muy compleja.

De'niciones

• Sistema& Combinación de componentes -ue act0an juntos y realizan

un objetivo determinado. Este concepto puede aplicarse a fenómenos abstractos y dinámicos (sistemas físicos! bioló%icos! económicos! etc.

• 8ariable controlada& cantidad o condición -ue se mide y controla.

@ormalmente es la salida del sistema.

• 8ariable manipulada& cantidad o condición -ue el controlador

modi"ca para afectar el valor de la variable controlada. Tambin es llamada se:al de control.

• Controlar& medir el valor de la variable controlada del sistema y

aplicar la variable manipulada para corre%ir la primera (o limitar la variación a un límite aceptado.

• ,roceso& cual-uier operación -ue se va a controlar.

• ,erturbación& se:al -ue tiende a afectar ne%ativamente la salida del

sistema. ,uede ser interna (si se %enera dentro del sistema o eterna (se %enera afuera del sistema y es una entrada.

• ,lanta& cual-uier objeto físico -ue se va a controlar.

• Sistema de lazo abierto& son a-uellos en los -ue la salida no tiene

efecto sobre la acción de control. @o se mide la salida ni se

realimenta para compararla con la entrada. La precisión del sistema depende de la calibración. >nte la presencia de perturbaciones! no realiza tareas deseadas. En la práctica es utilizado solamente si se conoce la relación entre la entrada y la salida y no eisten

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perturbaciones. Bn ejemplo simple es la lavadora! ya -ue todas sus tareas son funciones solamente del tiempo no mide la limpieza de la ropa.

• Sistema de lazo cerrado& son a-uellos en los -ue se mantiene una

relación entre la salida y la entrada de referencia! comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. Son llamados tambin sistemas retroalimentados. Se alimenta al controlador con la se:al de error de actuación con el "n de reducir el error y llevar la salida a un valor deseado.

Modelo !ate!%tico

Bn modelo matemático de un sistema dinámico se de"ne como un conjunto de ecuaciones -ue representan la dinámica del sistema con una precisión su"cientemente aceptable. Bn mismo sistema puede tener varios modelos diferentes! como consecuencia de -ue puede ser representado de muc'as maneras diferentes! dependiendo de cada perspectiva.

La dinámica de muc'os sistemas se de"ne con la ayuda de ecuaciones diferenciales! obtenidas de la aplicación de principios -ue %obiernan el sistema en cuestión (leyes de @eDton para sistemas mecánicos! leyes de irc'oF para sistemas elctricos! etc. En estos casos tambin se asume válido el principio de causalidad! estableciendo -ue las salidas son

dependientes solamente de las entradas pasadas (no de entradas futuras. @ormalmente! debe ele%irse entre simplicidad y precisión al momento de modelar un sistema. >l obtener un sistema razonablemente sencillo! debe tenerse en cuenta -ue la precisión de los resultados será menor! puesto -ue al simpli"car el planteo se consideran despreciables ciertos fenómenos o propiedades. Si los efectos de los mismos son realmente poco importantes! los resultados tendrán una buena precisión. ,ara mejorar la misma!

deberían tenerse en cuenta todos los fenómenos y la posible no linealidad de las ecuaciones. @o obstante! es preferible -ue al plantear un problema! primero se realice un modelo simple para tener una idea de l a solución y lue%o comenzar a considerar los demás factores.

Bn sistema se denomina lineal si cumple con el principio de superposición. Es decir! -ue la respuesta producida por m0ltiples entradas puede ser

considerada como la suma de las respuestas de cada entrada! analizada de manera independiente.

>l mismo tiempo! los sistemas lineales pueden ser invariantes en el tiempo. Es decir! las ecuaciones diferenciales -ue ri%en el fenómeno poseen

coe"cientes -ue son constantes para todo el tiempo (como los circuitos elctricos en r%imen estacionario. Si dic'os coe"cientes están en función del tiempo! se dicen -ue son lineales variantes en el tiempo (como una nave espacial! en el -ue la masa varía de acuerdo al consumo de combustible! -ue aumenta su velocidad.

Función de transerencia

Bna función de transferencia es un modelo matemático -ue relaciona! en un sistema lineal invariante en el tiempo! la respuesta de un sistema con la entrada! a travs de un cociente entre la transformada de Laplace de la

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salida (función respuesta y la entrada (función de ecitación. Es un mtodo operacional para relacionar la variable de salida con la de entrada.

 H (s)

=

  Salida  Entrada

=

 X (s)

(s) +e esta relación podemos determinar el valor de salida

para cada valor de entrada Y (s)

=

 H (s)

 X (s)

 G lue%o podemos llevarla al dominio del tiempo Y (s)

 y()

=

 L¿

¿

−1

Es una propiedad del sistema! independiente de la ma%nitud y la naturaleza de la entrada o función de ecitación.

Como tan solo relaciona la entrada con la salida! no nos brinda información sobre la estructura física del sistema.

Esta 'erramienta matemática nos permite probar el sistema para distintas entradas y poder determinar su estabilidad.

Los sistemas pueden presentar H condiciones&

• Estable

• Críticamente estale • 9nestable

La estabilidad puede ser analizada en función de los polos de la función de transferencia. Estos son los valores -ue 'acen cero el polinomio del

denominador y pueden ser&

• Aeales distintas • Aeales i%uales

• Complejas y conju%adas

Si las raíces son reales y ne%ativas! o complejas pero con la parte real ne%ativa! el sistema será estable.

E(e!plos pr%cticos

)*Siste!a !ec%nico

B3 /uerza eterna

(6)

 Tenemos lo si%uiente! aplicando e-uilibrio de fuerzas

 Fi

+

 Fr

+

 Fa

=

 Fext  +onde  Fi

=

ma

=

m d 2  x d t 2 Fa

=

CV 

=

C   dx d t  Fr

=

kx

>sí  Fi

+

 Fr

+

 Fa

=

 Fext  m d 2

 x d t 2

 +

 dx

d t 

 +

kx

=

 Fext  >plicando la transformada de Laplace a cada trmino

m

(

s2

s x0

 x ' 

0

)

+

(

 x

 x0

)

+

kx

=

 Fext (s) Como condiciones iniciales&  x0

=

0 x

'  0

=

0  x(s)

(

m s2

+

Cs

+

k )

=

 Fext (s)  x(s)  Fext (s)

=

1 m s2

+

Cs

+

Iue es la función de transferencia para un sistema mecánico.

+*Siste!a el,ctrico #Circuito si!ple RLC$

Este sistema tambin depende del tiempo y tenemos como condiciones iniciales de corriente i(0)

=

0i ' (0)

=

0

(7)

 !

=

 ! i() L

=

 L d

d t  i(t ) V C 

=

1

i(t )dt 

>plicamos la ley de irc'oF de voltaje en malla y resulta V  !

+

 L

+

=

Ve ! i()

+

 L d

d t  i(t )

+

1

i(t )dt 

=

Ve

>plicamos la transformada de Laplace  L

(

s " (s)

i(0)

)

+

 ! " (s)

+

 " (s) sC 

=

Ve(s) " (s)

(

 Ls

+

 !

+

1 Cs

)

=

Ve(s) " (s)

( LC s

2

+

 !Cs

+

1

)

=

Ve( s)Cs

Entonces! la función de transferencia de este sistema es  " (s)

Ve(s)

=

Cs

(

 LC s2

+

 !Cs

+

1

)

-*Siste!a .idr%ulico de ni"el de lí/uido

Consideramos el 4ujo a travs del tubo -ue sale del tan-ue. Si

consideramos el 4ujo como laminar podemos plantear un modelo lineal para describir el sistema. ,rimeramente tenemos -ue realizar dos de"niciones& Resistencia para el 0u(o lí/uido1 se de"ne como el cambio de diferencia de nivel necesario para producir un cambio en el caudal de salida. La

relación entre el caudal en estado estable y la altura estable en el estado de restricción viene dada por

#

=

 $H  I3 Caudal del lí-uido en r%imen laminar 3coe"ciente

23altura en estado estable  !l

=

%ambi& de diferen%ia de ni'el

%ambi& de %a(dal

=

dh d)

=

 H  #

8emos -ue para el r%imen laminar! la resistencia es constante y análo%a a la elctrica

Capacitancia del tan/ue1 se de"ne como el cambio necesario en la

cantidad de lí-uido almacenado para producir un cambio en una unidad en el potencial (altura.

=

%ambi& enel &l(men del*)(id& alma%enad& %ambi&enlaalt(ra

(8)

Considerando el sistema de la "%ura! las variables se de"nen de la si%uiente manera&

´

# 3Caudal en el estado estable

´

 H  3>ltura en estado estable

)i 3pe-ue:a desviación del caudal en la entrada )& 3pe-ue:a desviación del caudal en la salida

h 3pe-ue:a desviación de la altura a partir de su valor estable Btilizamos el principio de conservación de masa! y sabemos -ue la

diferencia del caudal a la entrada y a la salida debe ser i%ual a la cantidad de lí-uido almacenado en ese periodo de tiempo (asumimos la densidad constante. El tipo de lí-uido -ue entra es el mismo -ue el contenido y -ue el saliente. Entonces&

Cdh

=

(

)i

)&

)

dt 

> partir de la de"nición de resistencia

)&

=

 h  !

Entonces! tenemos la ecuación diferencial (con el valor constante de resistencia

 !C  dh

dt 

 +

h

=

 ! )i

Si aplicamos la transformada de Laplace a ambos trminos y consideramos valores iniciales nulos

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(

 !C s

+

1

)

 H (

s)

=

 ! #i(s)

Considerando )i  como la entrada y h como la salida! tenemos la función de transferencia epresada de la si%uiente manera

 H (s) #i(s)

=

!  !C s

+

1

Si decimos -ue )i  es la entrada! pero )& como la salida! tenemos la función de transferencia

# &(s) #i(s)

=

1

 !C s

+

1

+onde utilizamos la relación #&(s)

=

1

 ! H (s)

2i&lio3raía

9n%eniería de control moderna J K%ata

Figure

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