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Introducción a Matlab (Ajuste de Datos) (1)

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Academic year: 2021

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(1)

1. MODELAMIENTO EN BASE A DATOS EXPERIMENTALES 1. Ajustar datos a un modelo Lineal

Se propone los siguientes pares de valores medidos, para la variable independiente x y el correspondiente valor de la variable dependiente y.

XI YI 1.0 1.0 1.8 3.0 2.0 1.8 3.0 2.9 Solución 1. Ingreso de datos >> x=[1.0; 1.8; 2.0; 3.0]; >> y=[1.0; 3.0; 1.8; 2.9];

2. Ingreso del grado del polinomio

>> n=1;

3. Ajuste de los datos (x, y) a un polinomio (p) de grado (n)

>> p=polyfit(x,y,n) p =

0.8547 0.5084

Son los coeficientes del polinomio, por lo que la recta que representa los datos tiene la ecuación:

y = 0.8547 x + 0.5084

4. Cálculo de los valores ajustados de y

>> yaj = polyval(p,x) yaj = 1.3631 2.0468 2.2177 3.0724

5. Diferencia entre valores ajustados y datos reales (error)

>> error= y-yaj ans = -0.3631 0.9532 -0.4177 -0.1724

6. Suma del los errores

>> sum(error) ans =

(2)

7. Grafica de los puntos representando a los datos reales >> plot(x,y) >> plot(x,y,'r+') 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

8. Gráfica de los valores ajustados

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 9. Graficando la recta >> xvar=1:0.1:3; >> yvar=0.8547*xvar + 0.5084; >> plot(xvar,yvar)

(3)

10. Graficando los valores reales en la misma gráfica

>> hold

Current plot held >> plot(x,y,'r+') 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 1 1.5 2 2.5 3 3.5

11. Arreglando la figura: malla, eje x, eje y, leyenda, título

>> grid

>> ylabel('y') >> xlabel('x')

(4)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 1 1.5 2 2.5 3 3.5 y x

AJUSTE A MODELO LINEAL

Valores ajustados Datos experimentales

Programa MATLAB para ajustar datos: ajuste.m clear all

disp(' ')

disp('Este programa calcula los coeficientes de un polinomio') disp('P(x) de grado n que se ajusta a los datos p (x(i)~=y(i))') disp('en el sentido de mínimo error cuadrático')

disp('Los coeficientes son dados en orden decreciente de potencia') disp('*************************************************************') disp(' ')

x=input('Ingrese los valores de x entre [ ]:'); y=input('Ingrese los valores de y entre [ ]:'); n=input('Ingrese el grado del polinomio:'); p=polyfit(x,y,n)

disp('Son los coeficientes del polinomio de la forma') disp(' Cn x^n + Cn-1 x^(n-1) + ... + Co = 0')

disp('Desea comparar los datos ajustados con experimentales') d=input(' si(1) no(0): ');

if d==1 f = polyval(p,x); yc=[x; y; f; y-f]'; disp(' x y f y-f') fprintf(' %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n',yc) %mla = [x; y; f; y-f]'; %dsply(mla,' x y f y-f') disp(' ')

g=input('Desea graficar los datos si(1) no(0): ');

if g==1 figure l=length(x); xfit=x(1):l/50:x(l); yfit = polyval(p,[xfit]); plot(x,y,'o', xfit,yfit); grid on ylabel('y')

(5)

legend('Datos experimentales','Valores ajustados')

elseif g==0

end

elseif d==0

end

Uso de las Herramientas Graficas de MATLAB >> x=[1.0 1.8 2.0 3.0]' x = 1.0000 1.8000 2.0000 3.0000 >> y=[1.0 3.0 1.8 2.9]' y = 1.0000 3.0000 1.8000 2.9000 >> plot(x,y)

(6)
(7)
(8)

2. Cinética de Michaelis Menten

Michaelis y Menten propusieron un modelo simple para explicar la mayoría de las reacciones catalizadas por enzimas. En este modelo la enzima se combina reversiblemente con su substrato para formar el complejo enzima-sustrato (ES) que subsecuentemente se rompe para formar el producto, hecho que regenera a la enzima. El modelo para una molécula de sustrato se muestra a continuación:

(1)

en donde: S es el substrato E es la enzima

ES es el complejo enzima substrato o complejo de Michaelis y Menten k1,k-1 y k2 son las constantes de velocidad de la reacción.

La ecuación de Michaelis y Menten describe como varía la velocidad de reacción con la concentración de sustrato:

 

 

S

K

S

V

V

m

max 0 (2)

en donde: v0 es la velocidad inicial de la reacción Vmax es la velocidad máxima

Km es la constante de Michaelis y Menten= 1 2 1 k k k  S es la concentración de sustrato

Determine los Parámetros de Michaelis-Menten Vmax y Km para la reacción de hidrólisis de urea a dióxido de carbono y amoníaco.

(NH2)2CO + H2O → CO2 + 2NH3

La ureasa es una enzima que cataliza la hidrólisis de urea a dióxido de carbono y amoníaco. La reacción ocurre de la siguiente manera

urea + ureasa [urea•ureasa]* + H2O

[urea•ureasa]* + H2O CO2 + 2NH3 + ureasa

La velocidad de reacción es dada como una función de la concentración de urea en la siguiente tabla

P

E

k

ES

k

k

S

E

2

1

1

k1 k-1 k2

(9)

Concentración de urea

Curea (kmol/m3) Vurea (kmol/m3 · seg)

0.6 1.80 0.4 1.45 0.2 1.07 0.02 0.54 0.01 0.36 0.005 0.19 0.002 0.085 0.001 0.06

Solución

Usando la Ecuación 2 max urea O m urea V C V K C    (3) y reacomodando se tiene: urea m O V C K V V 1 1 1 max max    (4) Una gráfica del reciproco de la velocidad de reacción versus el reciproco de la concentración de urea debería dar una línea recta con una intersección 1/Vmax y la pendiente Km/Vmax.

Solución

1. Ingreso de datos

>> x=1./[0.6 0.4 0.2 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001]'; >> y=1./[1.8 1.45 1.07 0.54 0.36 0.19 0.085 0.06]'; 2. Ajuste a un polinomio de primer orden

>> p=polyfit(x,y,1) p = 0.0167 1.1741 3. Intersección en el punto x=0 >> Intersec=polyval(p,0) Intersec = 1.17410

4. Cálculo de la velocidad máxima >> Vmax=1/Intersec

Vmax = 0.8517

(10)

5. Cálculo de la pendiente >> pend= (polyval(p,x(n))-polyval(p,x(1)))/(x(n)-x(1)) pend = 0.01673 6. Càlculo de Km >> Km=pend*Vmax Km = 0.0143 7. Graficando datos >> xo=min(x); >> xn=max(x); >> xs=xo:(xn-xo)/10:xn; >> ys=polyval(p,xs); >> plot(x,y,'ro',xs,ys)

>> legend('Valores Observados','Valores Estimados') >> grid

>> xlabel('1/Concentración') >> ylabel('1/Velocidad')

>> title('CINETICA DE MICHAELIS MENTEN') >> 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1/Concentración 1 /V e lo c id a d

CINETICA DE MICHAELIS MENTEN

Valores Observados Valores Estimados

(11)

2. Ejercicios

1. Se propone los siguientes pares de valores medidos, para la variable independiente x

y el correspondiente valor de la variable dependiente y.

x y 1 148.00 2 1487.00 3 3807.00 4 10498.00 5 17551.00 6 34057.00 7 48905.00 8 76987.00 9 109193.00 10 147413.00

Ajustar los datos a un polinomio de 2, 3, 4 y 5to grado

Solución:

(12)
(13)
(14)
(15)

2. En la ingeniería de abastecimiento de aguas, el tamaño del reservorio depende de la

estimación exacta del flujo de agua en el río del cual se toma. Para algunos ríos es difícil obtener registros históricos de muchos años atrás de tales datos de flujo. Por el contrario, datos meteorológicos sobre precipitación de muchos años atrás están a menudo disponibles. Por tanto, con frecuencia es útil determinar una relación entre el flujo y precipitación. Esta relación se puede entonces usar para estimar flujos por años pero solo cuando se hicieron dichas mediciones de precipitación.

Para un río que se va a encauzar a un dique, se tienen los siguientes datos:

Precipitación, cm Flujo, m3/s 88.9 114.7 101.6 172.0 104.1 152.9 139.7 269.0 132.1 206.4 94.0 161.4 116.8 175.8 121.9 239.0 99.1 130.0

a) Grafique los datos

b) Ajuste a una línea recta. Sobreponga la línea de su gráfica

c) Use la mejor línea de ajuste para predecir el flujo de agua anual si la precipitación es de 120 cm.

(16)

Flujo para 120 cms. >> 2.563*120-104.1332 ans =

(17)

3. La concentración de fósforo total (p en mg/cm3) y clorofila (c en mg/m3) para cada uno de los grandes lagos es:

P C Lago Superior 4.5 0.8 Lago Michigan 8.0 2.0 Lago Hurón 5.5 1.2 Lago Erie Cuenca oeste Cuenca central Cuenca este 39.0 19.5 17.5 11.0 4.4 3.8 Lago Ontario 21.0 5.5

La clorofila c es un parámetro que indica cuanta vida de plantas está suspendida en el agua. Como tal, indica qué tan turbia y opaca aparece el agua. Use los datos anteriores para determinar una relación c como una función de p. Use esta ecuación para predecir el nivel de clorofila que puede esperarse si el tratamiento de desechos es usado para disminuir la concentración de fósforo en la cuenca oeste del Lago Erie a 15 mg/m3.

(18)

4. Tres organismos portadores de enfermedades decaen de manera exponencial en las

aguas de un lago de acuerdo con el siguiente modelo: p(t) = Ae-1.5t + Be- 0.3t + Ce-0.05t

Calcule la población inicial de cada organismo (A, B y C) dadas las siguientes mediciones:

Solución:

T, HR P(T)

f(A,B,C)= -1.95E-14 p corrgido

0.5 7 g(A,B,C)= -0.4338 A B C 7.00 1 5.2 h(A,B,C)= -0.86758 7.77368547 2.171017 1.496303 4.77 2 3.8 i(A,B,C)= -0.943092 2.93 3 3.2 j(A,B,C)= -0.601764 2.26 4 2.5 k(A,B,C)= -0.445959 1.90 5 2.1 l(A,B,C)= -0.331685 1.65 6 1.8 m(A,B,C)= -0.179504 1.47 7 1.5 n(A,B,C)= 0 1.32 8 1.2 o(A,B,C)= 0 1.20 9 1.1 1.10 y= 2.533537

(19)

2. POLINOMIOS 1. Ejemplo1.

El balance de energía para la hoja de una planta cuya temperatura no se altera con el tiempo puede estar escrito como

Q

A

= h

c

(T

A) + σєT

4

+ LE,

(1)

donde

QA = radiación solar y térmica total absorbida por la hoja he = coeficiente de transferencia por convección

T , A= temperatura de la hoja y del aire respectivamente (Kelvin) σ = constante de Stephan-Boltzmann

є = emisividad de la hoja para la radiación térmica de onda larga L = calor latente de vaporización del agua

E = densidad de flujo de perdida de agua evaporativa.

Si los poros de la hoja fueran cerrados, entonces E debería estar cerca de cero. Encontremos la temperatura de la hoja para tal caso, cuando

f(T) = QA

h

c

(T

A)

σєT

4

- LE,

(2) o f(T) = QA +

h

c

(T

A)

+

σєT

4

= 0

QA = 80 mW cm–2, hc = 4 mW cm –2 deg –1 , A = 300 °K, σ = 5.67 x 10–9 mW cm-2 deg -1, y є = 0.97.

f(T) = 5.5 x 10

–9

T

4

+ 4 T – 1280 = 0,

(3) >> enbal=@(x)(5.5e-9)*x^4 +4*x - 1280; >> Tsteady=fzero(enbal,300) Tsteady = 307.6778

(El 300 en fzero es opcional, pero proporciona un valor inicial a Matlab en la búsqueda de la raíz.)

Como la presente función es cuadrática, podemos usar la función “roots” de MATLAB para encontrar las raíces

>> func =[5.5e-9 0 0 4 -1280]; >> roots(func) ans = 1.0e+002 * -9.8749 3.3991 + 8.0650i 3.3991 - 8.0650i 3.0768

(20)

Notar que solamente la última de las raíces es de interés físico en este caso

2. Ejemplo 2.

El déficit de oxígeno en una corriente debido a una descarga de aguas residuales es a menudo modelado usando la solución de las ecuaciones de Streeter-Phelps. Una forma es:

kt rt

rt

e

D

e

e

k

r

kB

t

D

0 0

)

(

Donde

D = déficit de oxígeno (relativo a saturación) [mg L-1] D0 = valor inicial de D en el punto de descarga [mg L-1]

B0 = valor inicial de la concentración de DBO en el punto de descarga [mg L-1] k = coeficiente de velocidad de oxidación [dia-1]

r = coeficiente de aeración [dia-1]

Supongamos que para una descarga particular: D0 = 1.59 mg L-1

B0 = 6.75 mg L-1 k = 0.607 dia-1 r = 0.76dia-1

a) Graficar D(t) para t entre 0 y 3 días.

b) Suponer que un determinado tipo de pez no puede sobrevivir en la corriente si el déficit de oxígeno D > 2 mg L -1 . También suponga que la corriente fluye e una velocidad de 1.5 ft s-1

Luego determine el rango de distancia corriente abajo desde el punto de descarga donde este pescado no puede sobrevivir.

t t

t

e

e

e

t

D

0.607 0.76

1

.

59

0.76

607

.

0

76

.

0

75

.

6

607

.

0

)

(

t t t

e

e

e

t

D

(

)

26

.

7794

0.607

26

.

7794

0.76

1

.

59

0.76 t t

e

e

t

D

(

)

26

.

7794

0.607

25

.

1894

0.76 Solución >> t=0:1/24:3; >> D=26.7794*(exp(-0.607*t))-25.1894*(exp(-0.76*t)); >> plot(t,D)

(21)

Tiempo transcurrido desde el punto instante de descarga = 2.667 dias Luego, el rango de distancia es Velocidad x tiempo

Distancia es = 2.667 dias x 1.5 pies/s x 3600 s/h x 24h/dia = 345640 pies (2.667*1.5*3600*24)/(3.28*1000) = 105.38 Km

ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Las ecuaciones lineales surgen:

 Como modelos matemáticos naturales de situaciones reales, a menudo como resultado de una cantidad variando en proporción con uno o más variables

 Como aproximaciones para los modelos no lineales, al usar las primeras dos condiciones de una serie Taylor

 Como etapas en solucionar otros problemas, incluyendo ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y en el ajuste de curvas (regresión)

 Como una manera de encontrar la solución de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en los balances al estado estacionario.

(22)

Ejemplos

3. Contenido calórico de insectos en peces a) Modelamiento

Supongamos que las truchas de un lago se están alimentando de dos especies de insectos, por decir mosquitos y polillas, si estamos interesados en determinar el valor calórico suministrado al pez por cada una de las dos especies de insectos, si atrapamos dos peces y examinamos sus contenidos del estomago, podríamos determinar el número de cada tipo de insectos comido por cada pez y usar una bomba calorimétrica para medir el contenido calórico de cada estomago. Supongamos que encontramos:

Pescado No. De mosquitos No. De polillas Contenido calorico del estomago A 18 12 660 B 14 8 480

Si ahora denominamos x1 al contenido calórico promedio de cada mosquito comido y x2 al contenido calórico promedio de las polillas comidas

18x1 + 12x2 = 660 14x1 + 8x2 = 480

La verificación de unidades es simple, mosquitos x       mosquito cal = cal.

b) Solución del Modelo

En notación matricial, el sistema anterior se escribe:

     

Axb                     480 660 8 14 12 18 2 1 x x >> A=[18 12; 14 8] A = 18 12 14 8 >> b=[660; 480] b = 660 480

(23)

x =

20.0000 25.0000

x1 = 20 cal/mosquito y x2 = 25 cal/polilla

4. Proceso de tratamiento de metales

Las superficies de metal son a menudo limpiadas usando solventes orgánicos en un tanque desengrasador abierto por el tope. Uno de los solventes ampliamente usados para tales operaciones es 1,1,1 – tricloroetano (TCE). El TCE pertenece a un grupo de productos químicos altamente estables conocido como agotadores de ozono. La Figura 3.2 bosqueja una operación típica que desengrasa. El factor de emisión para el proceso mostrado es estimado a ser 0.6 lb/lb de TCE entrando en el desengrasador.

Figura 3.2. Esquema de una operación típica de desengrasado.

El solvente del desengrasador es enviado a una unidad de recuperación de solvente donde 80 % del solvente es recobrado y 20 % del solvente es evacuado con el lodo.

1. Para averiguar la viabilidad de la instalación de un sistema de recuperación de vapor, determinar la cantidad de TCE enviado a la atmósfera por la libra de TCE nuevo usado.

2. Si el sistema de recuperación de vapor es 90 % eficiente, determine la fracción de tricloroetano perdido a la atmósfera y la fracción yendo con el lodo.

Solución

a. Modelamiento del sistema

Asumiendo una base de 1 lb para F01.

Las ecuaciones de balance de masa alrededor de las dos unidades para el proceso sin la unidad de recuperación de vapor es:

1 + F21 = F12 + F13 (1) F12 = F21 + F24 (2)

La Ecuación para la cantidad de emisiones de TCET en términos de la cantidad de TCE entrando al desengrasador es:

Desengrasador (1) Recuperación de Solvente (2) F01 F13 F12 F24 F21

(24)

En adición, la cantidad de TCE recuperado en términos de la cantidad de solvente entrante a la unidad de recuperación es

F21 = 0.8F12 (4)

Tomando las Ecs (1), (3) y (4) se tiene el sistema: F12 + F13 - F21 = 1 (1) F13 - 0.6 F21 = 0.6 (3) 0.8F12 - F21 = 0 (4)

En notación matricial, el sistema anterior se escribe:

     

Axb (3.3)               1 0 8 . 0 6 . 0 1 0 1 1 1 A ,            21 13 12 F F F x ,            6 . 0 0 1 b

b. Solución Del Modelo: Usando Matlab >> A=[1 1 -1; 0 1 -0.6; 0.8 0 -1] A = 1.0000 1.0000 -1.0000 0 1.0000 -0.6000 0.8000 0 -1.0000 >> b=[1; 0.6; 0] b = 1.0000 0.6000 0 >> x=A\b x = 0.5882 0.8824 0.4706

Con lo cual se tiene: F12 = 0.5882 lbs F13 = 0.8824 lbs F21 = 0.476 lbs Además:

(25)

Problemas Propuestos

1. Efectuar los cálculos para el proceso de tratamiento de metales cuando se adiciona una unidad de recuperación de vapor.

Figura 3.3. Esquema de la operación de desengrasado con una unidad de recuperación

de vapor Desengrasador (1) Recuperación de Solvente (2) F01 F13 F12 F24 F21 Recuperación de vapor (3) F31 F35

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