5.7 Serie de Fourier en medio intervalo Serie de Fourier de cosenos
En las secciones anteriores se da por hecho que la función está definida en un intervalo que su origen está dado en su punto medio o sea que − < < , es decir que su periodo es p x p igual a 2 p , sin embargo puede ser interesante expresar en términos de fourier una función que esté definida 0 x< < , es decir sólo la mitad del intervalo, la cual se puede realizar de p diversas maneras, por ejemplo definiendo de manera arbitraria la función en el intervalo
0 < p x − <
Siendo y = f x( ), la cual está definida en el intervalo 0< < , se puede hacer referencia x p a tres casos:
• Reflejando la gráfica de la función respecto al eje vertical, en , convirtiéndola en función par, en el intervalo de
0 p x − < < p x p − < < . Como se muestra en la figura 5.7.1 f(x) 4 2 0 2 4 5 10 f(-x) f(x) x
Figura 5.7.1 Reflexión par de f x
( )
• Reflejando la gráfica respecto al origen en el intervalo − < < , convirtiéndola en p x 0 función impar, en el intervalo de p x− < < . Como se muestra en la figura 5.7.2. p
4 2 0 2 4 10 10 f(x) f(x) x -f(x)
Figura 5.7.2 Reflexión impar de f x
( )
• Definiendo la función f en − < < como ( )p x 0 f x = f x p( + ), como se muestra en la figura 5.7.3 2 0 2 4 5 10 f(x) f(x+p) f(x) x
Figura 5.7.3 Reflexión de mitad de periodo ( )f x = f x p( + )
En la definición de serie de Fourier de funciones pares o impares, solo se utilizan la mitad del intervalo, es decir de 0 x< < , por lo tanto en la práctica no hay necesidad de p reflejar la función haciéndola par o impar, si se define la función en la mitad del intervalo a partir del origen. A esto se le conoce como desarrollos en mitad del intervalo. [13]
Suponiendo que se tiene la función ( )f x continua por partes definida en el intervalo (0, )p , entonces intentaremos construir la serie de cosenos de Fourier de f , para lo cual definiremos la extensión periódica par de ( )f x . [2]
Se define en primera instancia la función en el intervalo de
[
−p p,]
, mediante su extensión par de ( )f x dada por( )
( )
( )
0 0 f x x f x f x p x ≤ ≤ = − − ≤ ≤ p (1)Observemos ahora que f x
( )
es una función par en[
−p p,]
, y extendemos f x( )
a todo el intervalo[
−∞ ∞,]
, originando que f x( )
sea una función periódica, de periodo 2 p , de tal manera que la serie de Fourier de la función f x( )
sea1 ( ) 2 o n n a n f x a cos p π ∞ = = +
∑
x con 0 1 ( ) p p a f p − =∫
x dx (2) 1 ( ) p n p n a f x cos x dx p p π − = ∫
(3)Dado que f x
( )
es una función par no tenemos términos senoidales, pero el que sea par implica que de acuerdo a(
3)
de la sección 5.6.( )
0 0 1 1 ( ) 2 ( ) p p p a f x dx f x dx p − p =∫
=∫
o bien 0 0 2 ( ) p a f x p =∫
dx (4)y 0 2 ( ) p n n a f x cos x dx p p π =
∫
(5)La serie de Fourier de cosenos de f en un intervalo de
[ ]
0, p es la serie0 1 ( ) 2 n n a n f x a cos p π ∞ = = +
∑
x (6)De igual manera, suponiendo que se tiene la función ( )f x continua por partes definida en el intervalo (0, )p , se puede intentar construir la serie de Fourier de senos de f , para lo cual definiremos la extensión periódica impar ˆ( )f x de ( )f x en el intervalo
[
−p p,]
. Se define en primera instancia la función en el intervalo de[
−p p,]
, mediante su extensión impar de ( )f x( )
( )
( )
0 ˆ 0 f x x f x f x p x ≤ ≤ = − − − ≤ ≤ p (7)Observemos ahora que ˆf x es una función impar en
( )
[
−p p,]
, y extendemos ˆf x a todo( )
el intervalo[
−∞ ∞,]
, originando que ˆf x sea una función periódica, de periodo 2p , de( )
tal manera que la serie de Fourier función ˆf x sea( )
1 ˆ ( ) n n n f x b sen p π ∞ = =
∑
x con 1 p ˆ ( ) n p n b f x sen x p p π − = ∫
dx (8)Dado que ˆf x es una función impar no tenemos términos cosenoidales, pero el que sea
( )
impar implica que de acuerdo a( ) ( )
3 y 4 de la sección 5.6.0 1 ˆ 2 ˆ ( ) ( ) p p n p n n b f x sen x dx f x sen x dx p p p p π π − = =
∫
∫
La serie de senos de Fourier de f en un intervalo de
[ ]
0, p es la serie1 ( ) n n n f x b sen p π ∞ = =
∑
x (9) con 0 2 ( ) p n n b f x sen x p p π = ∫
dx (10)Ejemplo 5.7.1 Suponga que f t
( )
=t, para 0 t L< < . Determinar la serie de cosenos ysenos de Fourier para f .
La figura 5.7.4 nos muestra las extensiones par e impar de f t
( )
=t1 0 1 0.5 1 1 0 1 1 1 f(-t) f (t) f (t) t t -f(-t)
Para determinar la serie de cosenos tenemos acorde con (6), 0 1 ( ) 2 n n a n f x a cos p π ∞ = = +
∑
xDonde los coeficientes están dados por 0
0 2 ( ) p a f x p =
∫
dx y 0 2 ( ) p n n a f x cos x p p π = ∫
dx , según (4), 2 0 0 0 2 2 1 2 L L a tdt t L L = = ∫
, o bien 0 a = L (11) Según (5), 0 2 L n n a tcos t L L π = ∫
dtHaciendo u=t, por lo que du=dt Haciendo dv cos n t dt L π = , entonces L n v sen n L t π π =
De tal manera que
0 0 2 L L n L n n tsen t sen t dt L n L L π π π = −
∫
a Resultando 0 2 L n n L n a tsen t cos t n L n L π π π π = + Sustituyendo los límites de la integral , obtenemos
( )
( )
( )
2
0 0 0
n
n L n L
a Lsen L cos L sen cos
n L n L n π π π π π = + − + Simplificando an 22L2 cos n
( )
1 n π π = − O bien2 2 4 impar 0 p n L n a n n π − = ar (12)
De tal manera que la serie de cosenos de Fourier sería
2
4 1 3 1 5
( ) ...
2 9 25
L L
f t cos t cos t cos t
L L L π π π π = − + + + (13)
Para determinar la serie de senos de Fourier, nos basamos en la ecuación (10).
0 2 L n n b tsen t L p π =
∫
dtHaciendo u=t, por lo que du=dt Haciendo dv sen n t dt L π = , entonces L n v cos n L t π π = −
De tal manera que
0 0 2 L L n L n n tcos t cos t dt L n L L π π π = − +
∫
b Resultando 0 2 L n n L n cos t sen t n L n L π π π π = − + b tSustituyendo los límites de la integral , obtenemos
( )
( )
( )
( )
2
0 0 0
n
L L
b Lcos n sen n cos sen
nπ π nπ π nπ = − + − − + Simplificando n 2Lcos
(
n n)
b π π = − , o bien n 2L( )
1 n nπ b = − − , resultando( )
1 2 1 n n L b nπ + = − (14)Y dada la ecuación (9), 1 ( ) n n n f x b sen p π ∞ = =
∑
xTenemos que la serie de senos de Fourier sería
( )
1 1 2 1 ( ) 1 n n L n f x se n n L t π π ∞ + = = − ∑
Desarrollando la serie 2 1 2 1 3 ( ) ... 2 3 Lf x sen t sen t sen t
L L L π π π π = − + − (15)
Ejemplo 5.7.2 Siendo f t( ) 1,= en el intervalo 0 t L< < determinar la serie de senos y
cosenos.
Para determinar la serie de cosenos tenemos acorde con (6), 0 1 ( ) 2 n n a n f x a cos t p π ∞ = = +
∑
Donde los coeficientes están dados según (4) por 0
( )
[ ]
00 2 1 L L a dt L L =
∫
= 2 t , o bien 0 2 a = (16) Según (5),( )
0 2 1 L n n a cos L L π = ∫
t dtDe tal manera que
0 2 L n L n en L n L π π =
a s t , sustituyendo los límites de la integral
( )
( )
2 0 n L n n a sen L sen L n L L π π π = − Simplificando an 22L2 cos n
( )
1n π π
= −
De tal manera que la serie de cosenos de Fourier sería 2
( ) 1
2
f t = = (18)
Para determinar la serie de senos de Fourier, nos basamos en la ecuación (10).
( )
0 2 1 L n n b sen L L π = ∫
t dtDe tal manera que
0 2 L n L n os L n L π π = − b c t
Sustituyendo los límites de la integral , obtenemos
( )
2 0 n n n b cos L cos n L L π π π = − + Simplificando n 2 cos( )
n 1 nπ π = − + b , o bien( )
1 2 1 n n b nπ + = − +1 (19)De tal manera que 4 impar 0 pa n n b n n π r Y dada la ecuación (9), 1 ( ) n n n f t b sen t p π ∞ = =
∑
1 ( ) n n n f t b sen t p π ∞ = =
∑
Tenemos que la serie de senos de Fourier desarrollada sería
4 1 3 1 5
( ) ...
3 5
f t sen t sen t sen t
L L L π π π π = + + + (20)
Ejemplo 5.7.3 Determinar la serie de senos y cosenos de Fourier para ( ) 1f t = − t
2
en el intervalo 0< <t . [5]
La figura 5.7.5 muestra las extensiones par e impar de ( ) 1f t = − t
f(t) f(t) 2 0 2 5 2 0 2 2 2 f(-t) f (t) -f(-t) f (t) t t
Figura 5.7.5 Extensiones par e impar de ( ) 1f t = − t
Para determinar la serie de cosenos, donde los coeficientes están dados por Según (4), 0 0 2 ( ) p a f x p =
∫
dx y 0 2 ( ) p n n a f x cos x p p π = ∫
dx , así(
)
2 2 2 0 0 0 2 1 1 2 2 a = −t dt= −t ∫
t , o bien( )
2( )
2 0 1 1 2 2 0 0 2 2 a = − − − = 0 (21) Según (5), 2(
)
0 2 1 2 2 n n a = −t cos π ∫
t dt Donde 2 0 2 2 n n n a =sen π t− tcos π t d ∫
tHaciendo u=t, por lo que du=dt Haciendo 2 n dv cos= π t dt , entonces 2 2 n v sen n t π π =
De tal manera que
2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 n n n n
sen t tsen t sen t dt
n π π π π a = − −
∫
Resultando 2 0 2 2 2 2 2 n n n na sen t tsen t cos t
n n π π π π π = − +
Sustituyendo los límites de la integral , obtenemos
( )
( )
2 2( )
4 4 2 2 2 2 n n n na sen sen cos
n n π π π π = − −
( )
2 2 π( )
( )
2 2( )
2 4 0 0 0 0 2 2 n nsen sen cos
n n π π π π − − − Simplificando
( )
2 2 2 2 4 4 n a cos n nπ π nπ = − + , así an 24 2 1( )
1 n n π = − − para n≥1O bien 2 2 4 impar 0 pa n n a n n π = r (22)
De tal manera que la serie de cosenos de Fourier sería
0 1 ( ) 2 n n a n f t a cos t p π ∞ = = +
∑
, de tal manera que2
4 1 3 1 5
( ) ...
2 9 2 25 2
f t cos π t cos π t cos π t
π
= + +
+ (23)
Para determinar la serie de senos de Fourier, tenemos que
1 ( ) n n n f t b sen L t π ∞ = =
∑
, donde n 2 0L(
1)
n b t sen L L π = − ∫
t dt , por lo que 2 2 0 0 2 2 2 2 n n n b = sen π t dt − tsen π t ∫
∫
dt Haciendo u=t, por lo que du=dt Haciendo 2 n dv sen= π t dt , entonces 2 2 n v cos n t π π = −
De tal manera que 2 2
0 0 2 2 2 2 n n n en π t dt tsen t = −
∫
∫
b s π dt , integrando 2 2 0 0 2 2 2 2 n n n nb cos t tcos t cos t dt
n π π π π = − + −
∫
Resultando 2 2 2 2 2 2 n n n n os t tcos t sen t n n π π π π π = − + − b cSustituyendo los límites de la integral, obtenemos
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 n n n nb cos cos sen
n n π π π π = − + − 2 π
( ) ( )
( )
2( )
cos 0 0 cos 0 0 2 2 2 n n n sen n π π π π − − + − Simplificando( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 0 nb cos n cos n sen n cos
nπ π π nπ π = − + − + Resultando n 2 os n
( )
1 nπ π = b c + , finalmente( )
2 1 1 n n b nπ = + − (24) O bien 4 par 0 imp n n b n n π = ar para n≥1 (25) Y dada la ecuación (9), 1 ( ) n n n f x b sen p π ∞ = = ∑
xTenemos que la serie de senos de Fourier sería
( )
1 2 1 ( ) 1 1 2 n n n f t s n en t π π ∞ = = + − ∑
Desarrollando la serie( )
(
)
(
)
2 1 1 ( ) 2 3 ... 2 3f t sen π t sen π t sen π t
π
= + +