Rev.: N/C
MANUAL DE CAPACITACIÓN
FAME
MATEMÁTICAS – INTRODUCCIÓN... 1
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – SIGNOS... 2
RECÍPROCO... 3
NEUTRO ... 4
MATEMÁTICAS - ARITMÉTICA ... 5
NÚMERO ... 6
SUMA Y RESTA... 10
MÉTODOS DE SUMA Y RESTA ... 12
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – MÉTODOS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN... 14
MULTIPLICACIÓN ... 14
DIVISIÓN... 15
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FRACCIONES Y DECIMALES ... 16
NÚMEROS RACIONALES... 16
SUMA Y RESTA DE RACIONALES ... 17
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES ... 19
NÚMEROS DECIMALES ... 20
OPERACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES... 21
INDICE
MÚLTIPLOS ... 22
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – UNIDADES DE PESO Y MEDIDAS ... 23
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FACTORES DE CONVERSIÓN... 27
FACTORES DE CONVERSIÓN... 28
CONVERSIÓN DE UNIDADES COMPUESTAS... 29
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – PROMEDIOS Y PORCENTAJES ... 30
PROMEDIO... 30
PORCENTAJE ... 32
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO ... 33
ÁREA... 33
VOLUMEN... 41
MATEMÁTICAS - GEOMETRÍA... 48
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE ... 49
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL ... 50
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE LA GRÁFICA ... 55
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA ... 60
EL COMPÁS ... 63
EL TRANSPORTADOR ... 65
EL ESCALÍMETRO Y LA REGLA ... 66
VERNIER O PIE DE REY (ANÁLOGO Y DIGITAL) ... 69
NOMENCLATURA DE UN PIE DE REY DIGITAL TÍPICO ... 77
EL TORNILLO MICROMETRICO O PALMER ... 79
FÍSICA... 86
INTRODUCCIÓN ... 86
FÍSICA - MATERIA ... 88
MATERIA ... 88
FÍSICA – MATERIA – COMPUESTOS QUIMICOS ... 90
FÍSICA – MATERIA – ESTADO SÓLIDO, LIQUIDO Y GASEOSO ... 91
FÍSICA – MATERIA – CAMBIOS ENTRE ESTADOS... 93
FÍSICA – MECÁNICA ... 94
CINEMÁTICA ... 94
MOVIMIENTO NULO O REPOSO ... 95
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) ... 96
INDICE
MOVIMIENTO CURVILÍNEO UNIFORME (MCU)... 108
MOVIMIENTO ACELERADO (MA) ... 111
FÍSICA – MECÁNICA – FUERZA ESTÁTICA... 112
TENSIÓN ... 115
COMPRESIÓN... 117
CORTE... 119
TORSIÓN ... 121
FLEXIÓN ... 123
FÍSICA – MECÁNICA – PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS, LIQUIDOS Y GASES ... 125
GASES ... 126
LÍQUIDOS ... 127
SÓLIDOS ... 128
FÍSICA – MECÁNICA – PRESIÓN EN LIQUIDOS... 129
FÍSICA – MECÁNICA – FUERZA DINÁMICA - INERCIA... 131
FÍSICA – MECÁNICA – FUERZA DINÁMICA – TRABAJO ... 133
FÍSICA – MECÁNICA – FUERZA DINÁMICA - ENERGÍA ... 135
FÍSICA – DINÁMICA DE LIQUIDOS ... 137
FÍSICA – DINÁMICA DE LIQUIDOS – VISCOSIDAD... 143
FÍSICA – DINÁMICA DE LIQUIDOS – PRESIÓN ESTATICA, DINAMICA Y TOTAL... 144
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA... 148
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA... 150
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – MOVIMIENTO RELATIVO, PRESIÓN ESTÁTICA Y PRESIÓN DINÁMICA ... 151
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – MOVIMIENTO RELATIVO, PRESIÓN ESTÁTICA Y PRESIÓN DINÁMICA ... 152
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – RESISTENCIA DE ROZAMIENTO Y RESISTENCIA DE FORMA ... 153
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – TUNELES AERODINÁMICOS ... 157
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – ¿QUÉ ES LA SUSTENTACIÓN?... 161
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – LA FUERZA DE SUSTENTACIÓN COMO FUNDAMENTO DE VUELO ... 163
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – PERFILES DE ALA Y FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE LA MISMA ... 165
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – ÁNGULO DE ATAQUE ... 167
INDICE
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – CONTROLES DE VUELO... 171
CONTROLES PRIMARIOS DE VUELO... 172
ALERONES... 175
TIMON DE PROFUNDIDAD (ELEVADOR)... 177
TIMÓN DE DIRECCION (TIMÓN)... 181
CONTROLES SECUNDARIOS DE VUELO ... 183
COMPENSADORES ... 185
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – LOS DISPOSITIVOS DE HIPERSUSTENTACIÓN... 187
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – EXPERIMENTOS DE EIFFEL... 191
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – TORBELLINOS, FORMA DE ALA ... 193
DISMINUCIÓN DE LOS TORBELLINOS EN EL EXTREMO DE ALA ... 194
AERODINÁMICA – GENERALIDADES DE LA AERODINÁMICA – COMPRESIBILIDAD DEL AIRE, VELOCIDADES TRANSONICAS Y SUPERSÓNICAS... 197
MATEMÁTICAS – INTRODUCCIÓN
Las matemáticas surgidas en la antigüedad como consecuencia natural a los problemas cotidianos son una herramienta que empleamos todos los días para ayudarnos a describir y encontrar soluciones a problemas, las empleamos para describir el mundo que nos rodea de modo abstracto, por ejemplo, las empleamos para conocer el número de invitados a una reunión, o bien para conocer que tan lejos se encuentra un sitio o para decir cuanto tiempo a pasado; todos estos ejemplos hacen uso de las matemáticas de forma muy elemental.
Para poder acceder a la tecnología actual es necesario hacer uso de matemáticas un poco más avanzadas y es preciso, si se requiere entender el funcionamiento de la tecnología que empleamos diariamente, conocer los conceptos básicos de las matemáticas.
Las matemáticas son la herramienta más poderosa de que disponen los ingenieros y científicos que desarrollan la tecnología que usamos y que se usará en el futuro, sin embargo, no sólo ellos deben hacer uso de las matemáticas, el personal técnico que pretende desempeñarse en la reparación y mantenimiento de la tecnología debe también hacer uso de ellas.
El campo de la aviación no se encuentra exento del empleo de las matemáticas, sino por el contrario debe hacer uso de sus más elaboradas técnicas, pues en el diseño, la construcción y reparación de aviones es necesario la más alta precisión, tal precisión es sólo alcanzable haciendo el correcto uso de las matemáticas.
Las matemáticas son una ciencia que estudia la propiedad cuantitativa de las cosas. Abstrayendo éstas propiedades para su mejor manejo y análisis, las matemáticas se caracterizan por la abstracción de sus métodos de análisis, a diferencia de otras ciencias las matemáticas emplean métodos abstractos de análisis y experimentación, recurriendo únicamente a la lógica para realizar los experimentos necesarios para comprobar sus teorías
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – SIGNOS
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – SIGNOS
La aritmética, al igual que cualquier otra ciencia emplea símbolos para comunicar sus resultados y procedimientos, estos símbolos aparecieron de modo simultáneo con la aparición de las matemáticas.
A lo largo de la historia, diferentes culturas han desarrollado diferentes símbolos para referirse a las operaciones aritméticas, pero en la actualidad podemos decir que se ha llegado a una estandarización.
Para representar los números empleamos por lo general los números arábigos, aunque en algunas ocasiones empleamos otros tipos de números. Los números arábigos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Empleamos estos símbolos para representar a los números en forma creciente, siendo el 0 la propiedad de ausencia o nulo.
A continuación se enumeran algunos símbolos empleados para representar algunas operaciones aritméticas:
Raíz Números Reales R Números Naturales N Números Enteros Z Números Racionales Q Números Irracionales I Mayor que > Infinito Menor que < Parecido Diferente Igual = División /, ÷,– Multiplicación x, *, . , ( ), Resta - Suma + Operación / significado Símbolo
≈
≠
∞
RECÍPROCO
Un número tiene un recíproco si al multiplicar el número por su recíproco el resultado es el neutro multiplicativo o bien, si al sumar el número con su recíproco el resultado es el neutro aditivo.
Existen por lo tanto dos tipos de recíprocos: el recíproco multiplicativo y el recíproco aditivo. El recíproco multiplicativo de un número “a” está dado por “1/a” y el recíproco aditivo de un número “a” es siempre “-a”.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – SIGNOS
NEUTRO
Existe un neutro para una operación si al realizar dicha operación con cualquier número el resultado de la operación es siempre el mismo número.
La aritmética es una rama de las matemáticas, la cual se encarga del estudio de los números y las operaciones básicas con los mismos.
MATEMÁTICAS - ARITMÉTICA
NÚMERO
El concepto de número surgió hace alrededor de 3000 años A.C., sin embargo, no es un concepto que surgiera tal cual hoy lo conocemos, más bien, es un concepto que tuvo todo un proceso de desarrollo como se puede ver al estudiar las culturas que han permanecido en un estado relativamente primitivo, donde para contar un cierto conjunto de objetos se emplean términos como “una mano” o “un hombre completo” refiriéndose a 5 y 20 respectivamente. Este tipo de términos nos permiten ver la asociación que tiene el concepto de número con respecto a la propiedad cuantitativa de un conjunto de objetos. Podemos decir que un conjunto de objetos tiene tantos objetos como dedos tiene una mano o bien, como dedos tiene un hombre. Para comprobar que un conjunto posee tantos elementos como dedos tiene una mano, no es necesario saber contar, sólo se tiene que comparar uno a uno cada conjunto de objetos, así si doblamos un dedo por cada oveja de un rebaño y al final todos los dedos de una mano están doblados sabemos que el rebaño tiene “una
mano” de ovejas.
Como se puede ver, al contar, lo que hacemos es nombrar una propiedad de un conjunto, así como también podemos decir que un cierto rebaño de ovejas es inquieto o costoso, también podemos decir que tiene 5 o 10 ovejas, es decir, los números nos sirven para definir una propiedad de un objeto o conjunto de objetos. Del mismo modo podemos decir que un
auto es negro o que corre a 100 Km/h; ambas son propiedades del auto, sin embargo, con el empleo de los números hemos alcanzado un nivel más alto de abstracción que con el color, pues el concepto de 100 se puede aplicar no sólo a la medida, como en el caso de negro que sólo se puede aplicar al color. En general, podemos decir que 100 es una propiedad común a todo conjunto con cien elementos, sea éste medida o cantidad.
Cuando intentamos establecer las propiedades de los números nos damos cuenta que es imposible describir un número sin relacionarlo con otros, por ejemplo, si intentamos describir el número 6 podemos decir muy poco de él, lo que podemos decir es que 1+ 5 =6 o que 2 x 3 =6 o bien, que 6 es múltiplo de 3 o submúltiplo de 30. Como podemos ver, dado que un número es una propiedad cuantitativa de un objeto o conjunto de objetos, sólo tiene sentido cuando se relaciona con otros números. Si decimos que un conjunto tiene 6 elementos es porque no tiene 5 ó 4 ó 100, del mismo modo que una hoja es blanca porque no es negra, azul o roja.
La relación implícita que existe entre los números son la materia de estudio de la aritmética. Ésta palabra proviene del griego arithmos que significa número, y thecnia que significa técnica, y se refiere a las técnicas que empleamos para usar los números.
La primera operación aritmética natural es la adición. La adición o suma surge de modo natural al contar, es de hecho la metodología seguida para contar. Cuando uno aprende a
objetos de un conjunto, es decir, tomamos un conjunto de objetos y lo dividimos en subconjuntos que sólo contengan un elemento. Luego, sumamos de uno en uno cada uno de esos conjuntos así 4 = 1+1+1+1. Poco a poco podemos evolucionar y realizar esta operación de forma un poco más abstracta: así 2 = 1+1 por lo tanto, 4 = 2+2. Si se analiza la forma de contar de distintos pueblos se puede ver que todos han aprendido a contar por medio de sumas, por ejemplo en números romanos 6 = 5 + 1 o VI o para los franceses 70 = 60 + 10.
La suma no es más que la unión de dos conjuntos dados, por lo que sí tenemos un conjunto con 4 elementos y deseamos agregarle un conjunto de 5 elementos entonces, el total de elementos del nuevo conjunto es igual a la suma de los elementos de ambos conjuntos, o dicho de otro modo, si juntamos los elementos de ambos conjuntos y los contamos obtenemos la suma de los conjuntos.
Del mismo modo en como surgió la necesidad de sumar para poder contar, surge la necesidad de restar o sustraer elementos de un conjunto. La sustracción o resta es la segunda operación aritmética natural; la sustracción de elementos de un conjunto es además, la acción opuesta a la adición, por lo que decimos que la resta es la operación inversa a la suma.
Cuando aplicamos la resta o sustracción lo que hacemos es retirar elementos de un conjunto dado, sin embargo, este concepto de resta es limitado, pues no podemos retirar más
Sin embargo, dado el carácter abstracto de las matemáticas, podemos realizar esta operación si ampliamos el concepto de número.
Como nos hemos podido dar cuenta, el modo natural en que surge el concepto de número es suficiente para resolver un pequeño número de problemas, sin embargo es insuficiente para explicar o comprender todos los fenómenos que nos rodean.
Mediante el concepto natural de número podemos describir un conjunto de números llamados números naturales. Los números naturales son todos aquellos que describen la propiedad cuantitativa de un conjunto de objetos.
Números Naturales = 0,1,2,3,4,5,6,7... infinito.
Este conjunto de números no nos es suficiente al momento de intentar resolver una sustracción de un número de objetos mayor al número de objetos que posee el conjunto al que intentamos sustraer dicha cantidad, por ejemplo si tengo $10 pesos y le debo a alguien $15 pesos al momento de intentar pagarle me doy cuenta que requiero más de $10 peso y que aún quedare a deber $5 pesos, aquí la palabra “deber” la empleamos para indicar que mi conjunto de $10 pesos no fue suficiente y que hicieron falta $5 pesos
Para representar ese faltante es necesario un conjunto de números más grande que el que poseíamos con los números
MATEMÁTICAS - ARITMÉTICA
naturales, ese nuevo conjunto debe contener una forma de representar ese faltante, o dicho de otra forma, debe contener a los números negativos, el conjunto que posee a los números negativos se le conoce como Números Enteros.
Números Enteros = menos infinito.... -3,-2,-1,0,1,2,3...infinito Los números Enteros son una representación más completa y abstracta de la propiedad cuantitativa de un conjunto de objetos.
Mediante el conjunto de números Enteros es posible realizar cualquier operación natural, es decir, suma o resta.
Como se verá más adelante, al introducir operaciones como multiplicación y división, el conjunto de números Enteros se vuelve insuficiente para describir algunos conjuntos o propiedades de algunos conjuntos, en este respecto aparece el conjunto de Números Racionales.
Números Racionales = todo número que se pueda representar de la forma
q
p
donde p y q son números enteros
Los números Racionales surgen como necesidad de representar fracciones de un entero, o pedazos de unidad. Si continuamos con el análisis, cuando aparecen las operaciones de potencia y raíz los números Racionales son
insuficientes, pues existen propiedades cuantitativas de ciertos objetos que no se pueden describir con estos números, así surge el conjunto de Números Irracionales.
Números Irracionales = Los números que no se pueden representar como
q
p
siendo p y q números Enteros.
Los números Irracionales son un conjunto excluyente y que por lo tanto no contiene a los números Enteros y Racionales, si nos fijamos en la definición de número Irracional podemos ver que es el conjunto de números que no son racionales, por ello es que no puede contener a los números Racionales, y dado que los números Racionales sí contienen a los números Enteros y los números Enteros poseen a los Naturales, los números Irracionales no contienen a los números Naturales ni Enteros.
El conjunto que resulta de unir los Números Racionales y los Irracionales es el conjunto de números Reales.
Números Reales = Números Racionales + Números Irracionales
Los números Reales son un conjunto de números que poseen todas las representaciones de las propiedades cuantitativas de los objetos y operaciones que requerimos para este curso, sin embargo cabe mencionar que existe un conjunto aún mayor
MATEMÁTICAS - ARITMÉTICA
SUMA Y RESTA
Para poder partir en el análisis matemático es necesario establecer ciertos principios que aceptamos como verdaderos por el simple hecho de que la experiencia nos dicta que no ocurre lo contrario, a estos principios matemáticos los llamamos axiomas, y son la base de todo el desarrollo matemático.
Existen una gran cantidad de axiomas en las matemáticas, sin embargo no vamos a emplear todos en este curso, por lo pronto podemos enumerar los axiomas para las operaciones naturales (suma y resta) los cuales son:
Estos axiomas se conocen también como propiedades de la suma, enumerados de arriba abajo:
Propiedad de cerradura: Al decir que la suma es cerrada, decimos que la suma de cualesquiera dos números reales da siempre como resultado un número real.
Propiedad conmutativa: Decimos que la suma es conmutativa porque no importa como acomodemos los elementos a sumar, el resultado se conserva, es decir la distribución de los adendos no afecta la suma.
Propiedad asociativa: La suma es asociativa porque podemos realizar asociaciones de los adendos como más nos sea conveniente sin afectar la suma.
Neutro Aditivo: Decimos que la suma tiene neutro aditivo si sumando este neutro a cualquier otro número el resultado es el mismo número.
Inverso aditivo: decimos que la suma tiene inverso aditivo, pues podemos hallar un número tal que sumado a otro de cómo resultado el nulo
Estas propiedades se refieren únicamente a las operaciones naturales (suma y resta) sin embargo existen propiedades para operaciones como la multiplicación y la división, y propiedades o axiomas que surgen de la unión de las
0
)
(
0
)
(
)
(
=
−
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
a
a
a
a
c
b
a
c
b
a
a
b
b
a
c
b
a
1
)
/
1
(
1
)
(
)
(
=
=
=
=
=
a
a
a
a
bc
a
c
ab
ba
ab
c
ab
A continuación se enumeran las propiedades o axiomas de la multiplicación y división:
Estas Propiedades se nombran de la misma forma que en el caso de las operaciones naturales, sin embargo en el caso de la multiplicación y la división, el inverso sólo existe sí el conjunto de números tratado son los números Reales, pues en los números enteros no existe el inverso, también cabe aclarar que para el 0 el inverso es inexistente.
La propiedad derivada de la unión de las operaciones es:
Esta propiedad se conoce como propiedad distributiva y nos dice que la el producto de un número con una suma es igual a la suma del producto del número con cada uno de los sumandos.
A partir de estas propiedades podemos deducir todas las demás propiedades de las operaciones por simple razonamiento lógico, por ejemplo todos sabemos que un número multiplicado por cero es igual a cero, esto lo aceptamos como verdadero sin cuestionarnos de donde resulta esto, sin embargo se puede comprobar si aceptamos los axiomas antes mencionados por simple deducción lógica.
ac
ab
c
b
MATEMÁTICAS - ARITMÉTICA
MÉTODOS DE SUMA Y RESTA
Para sumar o restar números grandes podemos emplear el siguiente método:
Colocamos un número encima de otro alineándolos por la derecha.
Sumamos los primeros elementos y anotamos el resultado debajo de los números, separando de estos el resultado por medio de una raya, si el resultado es mayor que 10 anotamos solo la ultima cifra y anotamos las restantes, en orden encima del primer número y alineando de derecha a izquierda a partir de la siguiente cifra, por ejemplo:
A continuación sumamos todos los números de la segunda columna incluyendo el número que se anoto después y repetimos el proceso
Repetimos el proceso hasta terminar en la última columna, en la última columna anotamos el resultado aunque éste sea mayor de 10
En el caso de la resta solo se puede realizar la operación con dos números, estos se acomodan uno sobre otro de la misma forma en que se hizo para la suma, cuidando que el número mayor se encuentre arriba, después se resta el número de abajo al de arriba, en caso de que el número de abajo sea mayor que el de arriba se suman 10 al número de arriba y se realiza la sustracción, se anota el resultado debajo de la línea y se procede con la siguiente columna, si hubo que agregar 10 a la cifra anterior, entonces se resta uno a la cifra de arriba y se procede del mismo modo que con la columna anterior. Se ejemplifica a continuación:
Acomodamos las dos cifras:
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – MÉTODOS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – MÉTODOS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es un derivado de la operación natural suma, cuando queremos sumar varios conjuntos del mismo tamaño podemos resumir ésta suma en una multiplicación, por ejemplo si tenemos 10 cajas de canicas con 5 canicas cada una, la suma de todas las canicas de todas las cajas es igual a:
5+5+5+5+5+5+5+5+5+5=50
Podemos simplificar el modo de escribir esta suma si en lugar de escribir los diez cincos que aparecen en ella indicamos que el 5 se repite 10 veces, esto es:
5(10)=50
Esto es la multiplicación cartesiana, a cada elemento de la multiplicación se le conoce como factor y al resultado se le denomina producto, en la multiplicación cualquiera de los factores puede denotar el número de veces que debe repetirse el otro factor, esto es indistinto y denota la propiedad conmutativa de la multiplicación cartesiana.
Cuando multiplicamos un número negativo por un número positivo sucede que el producto se vuelve negativo, esto se explica porque al sumar varias veces un número negativo el
resultado es forzosamente negativo, por ejemplo si multiplicamos –5(10):
-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5=-50
Es decir repetimos 10 veces la suma de –5 y nos da –50, sin embargo cuando los dos números que se multiplican son negativos la relación con la suma por la que se definió la multiplicación pierde sentido, es decir como vamos sumar por ejemplo un –5 –10 veces, dado que esto no tiene un sentido practico y por abstracción decimos que la multiplicación de dos números negativos siempre da un número positivo.
5
10
/
50
=
5
50
10
DIVISIÓNLa división es la operación inversa a la multiplicación, es decir es la operación de dividir un conjunto en un número de conjuntos más pequeños que contengan todos la misma cantidad de elementos, por ejemplo, si tenemos un conjunto de 50 elementos y queremos tener 10 conjuntos, entonces obtenemos 10 conjuntos con 5 elementos cada uno.
Esto se escribe como:
O bien como:
En este caso el resultado de la división nos indica el número de elementos que posee cada uno de los conjuntos que deben formarse.
En la división el conjunto que pretendemos dividir se denomina dividendo y al número de partes en que queremos dividir se conoce como divisor, en la división no se obtiene el mismo resultado si se intercambia entre el divisor y el dividendo, esto es, la división no es conmutativa.
De la misma forma en que la multiplicación de un número negativo por un positivo da un número negativo, en la división, cuando dividimos un número negativo entre un número positivo, da un número negativo, es decir si divido mi deuda entre 5 persona, la deuda no desaparece, sigue siendo un número negativo para mi, lo mismo pasa si divido un número positivo entre un número negativo, esto como en el caso de la multiplicación de dos negativos es una abstracción matemática, de la misma forma decimos que un número negativo que divide a otro negativo da un número positivo. En ambos casos, multiplicación y división, la abstracción de los números negativos se da por razonamiento lógico a través de las tablas de verdad, en este caso una doble negación es siempre una afirmación, por ello la multiplicación y la división de dos números negativos es un número positivo.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FRACCIONES Y DECIMALES
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FRACCIONES Y DECIMALES
NÚMEROS RACIONALES
Como ya se mencionó los racionales son los números que se expresan como
q
p, ésta notación, si la analizamos es la
notación de la división, esto es porque los números racionales resultan de una división de los enteros, por ello se conocen también como fracciones. Cuando tenemos un número racional, decimos que el número que está arriba, que funciona como el dividendo, es el numerador, y al número que está abajo, que es el divisor, lo llamamos denominador, ésta denominación proviene del hecho de que el número que está arriba nos dice cuantos pedazos del entero vamos a tomar es decir numera los pedazos del entero, y el número de abajo nos indica en cuantos pedazos se dividió el entero, es decir da la denominación de los pedazos. Por ejemplo, si tenemos un racional, ¾, entonces el 3 nos dice que tomamos tres pedazos de un entero que se ha dividido en 4 pedazos indicado por el denominador, entonces decimos que tomamos tres cuartos, la denominación cuarto deriva del hecho que dividimos el entero en 4.
Cuando multiplicamos un racional por un entero lo que debemos hacer es multiplicar ambas partes del racional por el entero y expresar el resultado como un racional.
4
3
4
1
4
2
+
=
35
31
35
21
35
10
+
=
SUMA Y RESTA DE RACIONALES
Del mismo modo que los números naturales la suma y la resta son las primeras operaciones en aparecer con los números racionales, el problema aquí es que al momento de agregar una fracción con otra es necesario que ambas fracciones están expresadas con el mismo denominador para que la suma se realice en la forma intuitiva.
Es decir, si tenemos la mitad de una naranja y agrego una cuarta parte de otra, ¿cuántas naranjas tengo? El problema radica en que no podemos sumar directamente los pedazos, es decir, tengo dos pedazos pero estos no son ambos mitades, ni ambos cuartos, por ello no puedo decir que tengo dos mitades o dos cuartos, para hallar la solución lo que debemos hacer se expresar los pedazos en fracciones comunes, es decir, podemos decir que la mitad son dos cuartos, entonces tenemos 2/4 + 1/4 y dado que la denominación de las dos fracciones es la misma puedo sumarla directamente, esto es:
Para poder hacer que las dos fracciones a sumar tengan el mismo denominador, lo que debemos hacer es dividir cada pedazo de los que tenemos en fracciones más pequeñas, de
modo que al final solo tengamos pedazos del mismo tamaño, por ejemplo si tenemos 3/5 de pastel de fresa y 2/7 de pastel de chocolate, y queremos saber cuanto pastel tenemos, lo que podemos hacer es dividir cada pedazo de pastel de fresa en 7 pedazos iguales así tendremos
Del mismo modo dividimos cada pedazo de pastel de chocolate en 5 pedazos así obtenemos
Como puede verse de este modo obtuvimos fracciones del mismo tamaño, de modo tal que ya podemos sumar de forma directa
35
21
)
7
(
5
3
=
35
10
)
5
(
7
2
=
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FRACCIONES Y DECIMALES
35
31
35
21
35
10
)
5
(
7
2
)
7
(
5
3
+
=
+
=
35
31
35
21
10
7
2
5
3
+
=
+
=
Si analizamos detenidamente el procedimiento nos damos cuenta que lo que hicimos fue multiplicar cada fracción por el denominador de la fracción contraria y después sumar, esto es:
O lo que es igual:
Si multiplicamos cada par de números unido por flechas y colocamos el resultado en la posición indicada, es decir multiplicamos los dos denominadores y colocamos el producto en la posición del denominador, multiplicamos el denominador del primer término por el numerador del segundo y lo colocamos en el numerador como primer sumando, multiplicamos el numerador del primer término por el denominador del segundo término y lo colocamos como segundo sumando en el numerador.
Del mismo modo que se realizó para la suma se realiza para la resta, con la única observación de anotar a la derecha del signo negativo el producto del denominador con signo positivo y el numerador de signo negativo, esto es: Cuando en la resta
puesta en el numerador da como resultado un número negativo se anota el resultado como fracción negativa.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES
Cuando requerimos hacer una multiplicación entre números racionales lo único que tenemos que hacer es multiplicar los numeradores y colocar el producto en la posición del numerador, multiplicar los denominadores y el producto colocarlo en el lugar del denominador.
48
15
8
3
.
.
6
5
=
X
Si lo que deseamos es dividir dos números racionales lo que tenemos que hacer es realizar un producto cruzado, esto es, multiplicamos el numerador de uno por el denominador del segundo y el producto lo colocamos en la posición del numerador, después tomamos el denominador del primero y lo multiplicamos por el numerador del segundo, el producto lo colocamos en la posición del denominador.
54
35
7
6
.
.
9
5
=
X
Se debe tener cuidado de colocar el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, de lo contrario el resultado no será la división sino el recíproco de ésta.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FRACCIONES Y DECIMALES
NÚMEROS DECIMALES
Llamamos números decimales a la forma de expresar las fracciones, no en forma de racional o fracción, sino anotando los números enteros y después colocar la parte fracción después de un punto, conocido como punto decimal, por ejemplo: 2.3456
Los números decimales provienen de una fracción decimal, es decir lo que se anota después del punto es el numerador de una fracción decimal, como su nombre lo dice esta fracción es base 10.
Así, por ejemplo, si lo que tenemos son dos enteros y dos décimas partes de un entero, esto es 2 + 2/10 anotamos en decimal 2.2, cada posición después del punto decimal representa una fracción, la primera fracción para una décima parte de un entero, la segunda para una centésima parte, la tercera para una milésima parte y así sucesivamente, es decir:
La notación decimal es una forma resumida de anotar fracciones, y se utiliza para hacer más fácil los cálculos con fracciones.
Todos los números racionales se pueden expresar de forma decimal, lo único que se debe hacer es transformar la fracción a un denominador base 10. Sin embargo no todos los
decimales se pueden anotar en forma racional, esto es debido a la existencia de los números irracionales, los cuales poseen una serie infinita de números decimales sin repetir ninguna secuencia, lo que hace imposible su representación en forma racional.
OPERACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Dado que los números decimales siempre poseen base diez, es decir el denominador es siempre una potencia de 10 es posible realizar las sumas y restas de modo directo de igual forma que realizamos la suma con números enteros colocando de forma alineada el punto decimal de todos los decimales. Ejemplo:
Para la resta y la multiplicación se realizan los mismos pasos que ya conocemos, en el caso de la multiplicación la operación se realiza quitando el punto decimal, para al final colocarlo, para saber donde colocar el número decimal de un producto, contamos el número de cifras decimales que hay en los factores y contando de derecha a izquierda es el número de decimales que tendrá el producto. Ejemplo:
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MÚLTIPLOS
Se llama múltiplo al producto de dos números enteros, por ejemplo, el 15 es múltiplo de 3 y 5, el 20 es múltiplo de 4, 5, 2 y 10. Por lo tanto, un número A es múltiplo de un número B si A/B es entero, es decir si el residuo es cero.
Para saber si un número es múltiplo de otro, es decir si es el producto de dos números enteros tenemos que conocer ciertas reglas que nos facilitan la labor.
Un número es divisible entre 2 si la última cifra de ese número es un número par:
1236548, es divisible entre 2 pues 8 es divisible entre 2
Un número es divisible entre 3 si al sumar cada cifra de dicho número el resultado es divisible entre 3:
23592, 2+3+5+9+2=21, 2+1=3 por lo tanto 23592 es divisible entre 3
Un número es divisible entre 4 sí es divisible entre 2 y el resultado es par.
Uhn número es divisible entre 5 sí la ultima cifra es 5 ó 0.
Un número es divisible entre 6 sí es divisible entre 3 y el resultado es par.
Un número es divisible entre 7 sí al dividir los dos primeros dígitos, el residuo, unido al resto de las cifras, es divisible entre siete.
Un número es divisible entre 8 sí es divisible entre 4 y el resultado es par.
Un número es divisible entre 9 sí es divisible entre 3 y el resultado es también divisible entre 3.
Todo número es múltiplo de 1.
Mediante el uso de estas reglas es posible saber sí un número es múltiplo de los primeros 10 números, si se desea saber si un número es múltiplo de cifras más grandes es necesario realizar la operación y ver si el resultado es entero.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – UNIDADES DE PESO Y MEDIDAS
En la vida cotidiana, requerimos tomar las características de un objeto para su análisis, en el caso de las matemáticas, como ya hemos visto, nos interesan las características cuantitativas del objeto, para obtener dichas características el hombre ha inventado varios métodos de medida, dependiendo de que característica se pretenda medir, así por ejemplo no es lo mismo si queremos medir el pero que si queremos medir la distancia.
Entre los sistemas de medición existen medidas que llamamos básicas, que son aquellas medidas que nos proporcionan información de la conformación básica de la materia y su interacción, y que no son propiedades consecuentes de otras propiedades o de la relación que existe entre ellas. Las medidas básicas son: la distancia o longitud, la masa, el tiempo, la luminosidad, la temperatura y la carga eléctrica. Las medidas no básicas o unidades derivadas son aquellas que derivan o se expresan con relación a las unidades básicas o a otras unidades derivadas, entre las unidades derivadas están: la fuerza, el trabajo, la energía, el volumen, la densidad, y muchas otras.
Para definir un sistema de medición es necesario definir únicamente las unidades básicas, pues las unidades derivadas quedaran definidas por su relación con las unidades básicas.
En la actualidad existen dos sistemas de medición aceptados comúnmente, el sistema métrico internacional (SMI) y el sistema métrico ingles (MSI)
Para el SMI las unidades básicas de medidas son:
Candela Luminosidad C Coloum Carga eléctrica K Kelvin Temperatura s Segundo Tiempo Kg Kilogramo Masa M Metro Longitud Símbolo Unidad Medida
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – UNIDADES DE PESO Y MEDIDAS 2
m
A
=
3m
A
=
3m
Kg
Densidad
=
t
d
V
=
s
m
V
=
t
V
a
=
2s
m
a
=
Ma F =Para el MSI las unidades básicas de medidas son:
Algunas unidades derivadas en el SMI son:
Área: deriva de la distancia, y sus unidades son:
Volumen: deriva al igual que el área, de la distancia y sus unidades son:
Densidad: deriva de la longitud y la masa de acuerdo a la relación de volumen y masa por lo que sus unidades son:
Velocidad: deriva de la distancia y el tiempo según la formula:
por lo que las unidades de velocidad son
Aceleración: deriva de la distancia y el tiempo según la formula
donde la “V” representa la velocidad, por lo que las unidades de la aceleración son:
La Fuerza: medida en Newton (N) y que deriva de la longitud la masa y el tiempo según la formula:
Candela Luminosidad C Coloum Carga eléctrica R Ranking Temperatura s Segundo Tiempo lb Libra Masa in Pulgada Longitud Símbolo Unidad Medida
2
.
s
m
Kg
F
=
Fd J = 2 2.
s
m
Kg
J
=
s
J
W
=
s
m
Kg
W
=
.
2t
C
A
=
s
C
A
=
donde la “a” es aceleración y M es masa, por lo que los Newton equivalen a:
El Trabajo: medido en Julios (J), deriva de la longitud, la masa y el tiempo según la formula:
donde “N” es la fuerza, por lo que las unidades de los J equivalen a:
Potencia: medida en Watts (W) deriva de la distancia la masa y el tiempo según la formula:
donde “J” es el trabajo o la energía, por lo que sus unidades son:
Las unidades de trabajo y energía son las mismas, esto es debido a que el trabajo es una forma particular de energía.
Corriente Eléctrica: medida en amperes (A), deriva de la carga eléctrica y el tiempo según la formula:
por lo que las unidades de corriente son:
ResistenciaEléctrica: medida en ohms (Ω) se deriva de a carga eléctrica y de la longitud según la formula:
t
I
J
R
=
2donde J es el trabajo e I es la corriente, por lo que las unidades de la resistencia eléctrica son:
Cs
Km
R
=
Voltaje: o diferencia de potencial se mide en Volts (V) y deriva de la corriente, la distancia y el tiempo según la formula:
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – UNIDADES DE PESO Y MEDIDAS
donde I es corriente eléctrica y R resistencia eléctrica, por lo que sus unidades son:
2 2
s
Kgm
V
=
que son justamente las unidades de energía o trabajo, esto es consecuente, pues la diferencia de potencial es una forma de energía.
Existe una gran cantidad de unidades derivadas y por lo general se inventan nuevas unidades con el avance de la ciencia, esto se hace para facilitar la comprensión y empleo de distintas teorías, por lo que día a día aparecen nuevas unidades derivadas.
Todas las unidades derivadas emplean la misma formula que las describe tanto en SMI como en MSI por lo que se pueden deducir las unidades del MSI a través de la formula.
Sin embargo para el caso de las unidades básicas, no es posible emplear ningún tipo de formula que las describa, pues no derivan de ninguna otra unidad, por ello para pasar de un sistema métrico a otro es necesario conocer la relación de correspondencia entre los sistemas.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FACTORES DE CONVERSIÓN
Los factores de conversión se emplean para transformar de una cantidad medida con un sistema métrico a otro. Es decir son la equivalencia de las unidades de medición entre los sistemas métricos.
Así, por ejemplo, sabemos que un pie es equivalente a 0.3048 metros, por lo que si queremos saber cuantos metros son 45 pies lo único que tenemos que hacer es multiplicar los pies por el factor de conversión para conocer la equivalencia en metros, es por ello que se conocen como factores de conversión, pues si se multiplica por la cantidad a convertir se obtiene la equivalencia.
Los factores de conversión se dan generalmente para las unidades básicas, sin embargo en algunas ocasiones se dan factores de conversión para unidades compuestas como los newton o los HP (Horse Power) sin embargo, cuando no se nos dan los factores de conversión de las unidades compuestas es posible convertir de un sistema a otro si se conoce la formula que representa a la unidad y los factores de conversión de las unidades básicas que los componen.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – FACTORES DE CONVERSIÓN
FACTORES DE CONVERSIÓN
Unidad
Factor
Unidad
Metro 3.28 Pie Pie 0.3048 Metro Metro 100 Centímetro Pie 12 Pulgada Centímetros 0.03937 Pulgada Kilogramo 1.20 Libra Libra 0.83 Kilogramo
La temperatura no es una unidad con crecimiento lineal, por lo que los cambios de unidades entre un sistema y otro no se pueden realizar a través de un factor de conversión, más bien se emplean formulas de conversión estas son:
16
.
273
º
32
º
5
9
º
+
=
+
=
C
K
C
F
CONVERSIÓN DE UNIDADES COMPUESTAS
Para convertir unidades compuestas lo que hacemos es anotar la formula de la unidad frente al número, con las unidades básicas que lo describen:
s
Km
725
enseguida multiplicamos por el factor de conversión de cada unidad básica que compone a la unidad compuesta, cuidando de poner el factor de conversión en el numerador cuando la unidad básica este en el numerador o en el denominador cuando la unidad básica este en el denominador:
hr
Mill
s
Km
0002
.
0
1
1
54
.
0
725
para realizar la conversión podemos simplemente realizar la operación, pero:
852
.
1
1
54
.
0
=
y3600
1
0002
.
0
=
por lo que podemos escribir
Knots
1409287.26
hr
Mill
1409287.26
1
3600
852
.
1
1
725
=
=
Hhr
s
Km
Mill
s
Km
como se puede ver lo que hicimos es escribir las equivalencias en forma de fracción, lo que facilita recordar la equivalencia entre unidades compuestas.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – PROMEDIOS Y PORCENTAJES
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – PROMEDIOS Y PORCENTAJES
PROMEDIO
El promedio es una medida estadística de un conjunto de números que hace referencia al punto medio de las cantidades referidas, es decir es el término medio del conjunto de números.
El promedio es una medida muy útil cuando manejamos un conjunto de números, o lo que es igual cuando manejamos varios conjuntos, el promedio nos proporciona información acerca del tamaño que tienen dichos conjuntos, de forma aproximada, por ejemplo, cuando consideramos el número promedio de alumnos que asiste a un curso, el promedio nos dice más o menos de que tamaño suelen ser los cursos.
Dado que el promedio es el punto medio de un conjunto de números, lo que debemos hacer para calcular el promedio de un conjunto es calcular un punto a partir del cual todas las distancias estén más o menos cerca, es decir, buscamos el centro del conjunto. Si tenemos un conjunto con solo dos números encontrar el punto medio o promedio no es difícil, pues es el punto a partir del cual las dos cantidades están igual de lejos, ésta cantidad es igual a la diferencia de ambos números entre 2 esto es:
2
Pr
omedio
=
a
−
a
−
b
donde “a” es el número más grande y “b” el número más pequeño, sin embargo, este cálculo es igual a sumar ambos números y dividirlos entre 2, esto es, supongamos que ambos números se encuentran sobre una recta:
siendo “a” la cantidad más grande y “b” la más pequeña, si restamos “b” de “a” lo que obtenemos es el tramo de recta “c” al dividirlo a la mitad y restarlo del tramo “a” más grande obtenemos el punto medio entre el tramo “a” y “b” o lo que es igual obtenemos un tramo de recta “d” de tamaño promedio entre “a” y “b”, si ahora en lugar de hacer esta operación sumamos ambos tramos de recta y los dividimos en 2 obtenemos el mismo segmento promedio “d”:
Esto escrito matemáticamente es:
2
Pr
omedio
=
a
+
b
si traspolamos esto a un conjunto de n números el promedio será la suma de todos los números entre el número de elementos del conjunto, esto es:
n
i
omedio
=
∑
nPr
donde el símbolo
∑
indica la suma de todos los números del conjunto y n representa al número de elementos del conjunto, por ejemplo si queremos obtener el promedio de calificaciones de un alumno que presenta 6 calificaciones en un semestre las cuales son:1° calificación =7 2 cal. =6 3 cal. = 9 4 cal. =6.5 5 cal. = 7.2 6 cal = 10 el promedio será:
45
.
6
6
10
2
.
7
5
.
6
9
6
Pr
=
+
+
+
+
=
=
=
∑
n
i
omedio
nde este modo podemos obtener el promedio entre cualquier número de elementos.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – PROMEDIOS Y PORCENTAJES
PORCENTAJE
Se llama tanto por ciento o porcentaje a una o varias unidades de cien partes iguales en que se puede dividir una cantidad, por ejemplo; Hallar el 4% de 500, tomaremos 4 unidades de cada cien que existan en quinientos, esto es:
500 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 de cada cien tomamos 4
4% de 500 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
en general, anotamos el procedimiento para hallar el porcentaje como una regla de tres donde los miembros conocidos son el porcentaje y cien, esto es
como sabemos para encontrar x, o lo que es igual el 4% de 500 multiplicamos los miembros cruzados y dividimos los lineales, esto es:
500 x 4 = 2000
2000/100= 20
Dado que los dos miembros de la regla de tres del lado derecho siempre se conocen podemos realizar esa operación antes de realizar la multiplicación, esto es:
4/100 = 0.04
A esto se le conoce como el tanto por uno y no es otra cosa que las partes que tomamos por unidad existente, una vez hecho esto, es posible únicamente multiplicar esto por la cantidad de la que deseamos saber el porcentaje. Por ejemplo
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
ÁREA
El área es la medida de superficie de un objeto, como ya se vió en la sección de unidades de peso y medida el área es derivada de la unidad fundamental de longitud al cuadrado. Para definir la unidad de medida de área se toma un cuadrado de una unidad de largo por una unidad de ancho, de este modo tenemos una unidad de área igual a uno.
Si queremos medir el área de cualquier otra figura lo que tenemos que hacer es ver cuantas veces cabe la unidad de área en la figura, así, sí queremos saber cual es la medida de área de un cuadrado de dos unidades de longitud por dos de ancho, vemos que el cuadro de una unidad cabe 4 veces en el nuevo cuadro, de este modo podemos decir que el área del cuado de 2 x 2 es 4 lo que equivale a efectuar dicha operación. Así, para un cuadro o rectángulo de n x m el área es el producto de la multiplicación n x m.
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
1
área = 1
2
2 área = 4
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y
CUBO
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
Cuando queremos medir el área de un triángulo nos damos cuenta que parece imposible medirlo mediante la comparación con cuadros unitarios, sin embargo, es posible medir el área de un rectángulo de n x m de tal modo que si dividimos el rectángulo a través de dos esquinas opuestas nos queden dos triángulos de altura n y base m de este modo podemos decir que el área de un triangulo de base m y altura n es:
2
mn
A
=
o lo que es igual2
bh
A
=
donde b es la base y h la altura del triangulo
2
bh
Area
=
Para analizar otras figuras, se realiza en principio el mismo procedimiento, solo que siguiendo otros métodos matemáticos, a final de cuentas se obtienen las formulas para calcular el área de un gran número de figuras, por ejemplo: El Círculo
La Parábola El Polígono
base
altura
base
altura
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y
CUBO
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
r
La circunferencia:
Area
=
π
r
2MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y
CUBO
r
Parábola:
Area
=
π
r
3MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y
CUBO
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
PAGINA INTENCIONALMENTE EN BLANCO
Octágono
=
Area
2 a s
2MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y
CUBO
VOLUMEN
El volumen de una figura tiene que ver con el espacio que ocupa esa figura, por lo que solo aplica a figuras que poseen volumen o tridimensionalidad.
El volumen es de concepción similar al área, solo que esta ves no consideramos la superficie que abarca una figura si no el espacio que ocupa dicha figura, para ello, del mismo modo que hicimos para el área definimos un pequeño cubo de dimensión unitaria de volumen, este cubo medirá, una unidad de ancho por una unidad de largo y una de alto, como podemos notar dicha figura posee ahora tres dimensiones que la determinan.
Dicha figura, se representa en la siguiente página:
Del mismo modo que hicimos para determinar el área de algunas figuras, podemos ahora determinar el volumen de figuras tridimensionales, lo que se debe hacer es medir cuantas veces cabe este cubo unitario en la figura.
Por ejemplo, para calcular el volumen de un cubo cualquiera lo que debemos hacer es meter cubos unitarios hasta llenarlo. Por ejemplo, un cubo de dos por dos por dos le caben tantos cubos como 2x2x2 es decir 8 o lo que es igual 23 de forma general podemos decir que el volumen de cualquier cubo es igual al cubo de la medida de su lado, de forma más general
podemos decir que el volumen de cualquier prisma rectangular es igual a la multiplicación del área de su base por la altura esto es:
Ah
Volumen
=
dado que el área de un rectángulo es su base por su altura
abh
Volumen
=
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN,
CUADRADO Y CUBO
Para otras figuras tridimensionales el procedimiento para calcular su volumen es similar, sin embargo es complejo y requiere de conocimientos en cálculo diferencial e integral, de forma general se dan aquí la formula para calcular el volumen de algunas figuras
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO
r
Esfera:
34
r
Volumen
=
π
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN,
CUADRADO Y CUBO
Prisma circular
h
r
Volumen
=
π
2 r hMATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN,
CUADRADO Y CUBO
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN, CUADRADO Y CUBO a b h
Pirámide rectangular
4
abh
Volumen
=
MATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN,
CUADRADO Y CUBO
Cono
4
2h
r
Volumen
=
π
r hMATEMÁTICAS – ARITMÉTICA – ÁREAS, VOLUMEN,
CUADRADO Y CUBO
MATEMÁTICAS - GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS - GEOMETRÍA
La geometría es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las formas, es decir, es el estudio matemático de las formas.
Una figura geométrica es una abstracción matemática de una forma. Una figura geométrica solo conserva las propiedades más características de la forma, las propiedades que la describen, sin conservar todas aquellas propiedades que no se pueden cuantificar.
Las figuras geométricas por lo general son también una idealización de la forma, así pues es imposible encontrar un cuadrado perfecto en la naturaleza, sin embargo es muy fácil de describir geométricamente.
Las abstracciones básicas de la geométrica son las formas y/o figuras que nos permiten un análisis de otras formas, estas son:
El punto, que se define como la forma geométrica sin dimensión alguna, es solo un lugar en el espacio. La línea, que es una sucesión continua de puntos. A partir de estas abstracciones es posible construir una gran cantidad de figuras geométricas, como por ejemplo: el circulo, la esfera, el cuadrado, el prisma, etc...
Al estudio combinado de la geometría y el álgebra se le conoce como geometría analítica, pues mediante el estudio algebraico de las figuras geométricas se pueden hallar muy diversas soluciones a muchos problemas geométricos.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE
Como ya mencionamos en la sección anterior, es posible construir una gran cantidad de figuras geométricas, a este proceso de construcción se le conoce como construcción geométrica simple.
Una construcción geométrica simple se basa en la representación grafica de figuras que podemos encontrar de modo cotidiano, pero no de forma que se representen artísticamente, sino que representen sus cualidades matemáticas.
Ejemplos de construcción geométrica simple son el cuadro, el circulo, el triangulo, la esfera, etc.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL
La gráfica es una herramienta muy útil en la solución de problemas, ya que nos presenta dicho problema de forma visual, lo que ayuda a comprender el problema y sus posibles soluciones.
Cuando hacemos una gráfica, lo que hacemos es abstraer la parte matemática del problema, es decir, abstraemos sus propiedades cuantitativas.
Para hacer una gráfica, separamos en variables el problema a resolver, de este modo es más sencillo entender el problema, después anotamos en columnas los valores de las variables de modo tal que se obtengan dos columnas, una que contenga el valor de la variable dependientes y otra que contenga el valor de la variable independiente. Después de esto trazamos una grafica cartesiana y relacionamos los valores con las rectas ordenadas, de modo tal que tracemos puntos en la grafica, después unimos los puntos por medio de líneas.
Por ejemplo;
Un avión vuela a 250 nudos, mientras que otro lo hace a 320 nudos, ambos partieron de la ciudad de México rumbo a los Cabos con una diferencia en tiempo de 15 min., partiendo primero el que viaja a 250 nudos, ¿A que distancia se alcanzaran los aviones?.
Solución;
Sabemos que la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo, por lo que podemos poner en una grafica la representación del problema, primero diremos que la variable dependiente es la distancia, y la variable independiente es el tiempo y anotaremos esto:
t
d
tiempo
cia
dis
Velocidad
=
=
250
tan
despejamos la distanciat
d
=
250
y anotamos los valores de la variable dependiente e independiente
t (min) d (mill) 1 250 3 750 4 1000 5 1250 10 2500 15 3750 20 5000 22 5500 25 6250 30 7500 40 10000 50 12500 60 15000 70 17500 80 20000 90 22500
graficamos este resultado, poniendo en el eje horizontal el tiempo y en el eje vertical la distancia. (mostrado en la pagina siguiente), hacemos lo mismo para el otro avión y dibujamos la grafica en el mismo cuadrante partiendo que tiene una distancia cero al minuto 15.
De este modo obtenemos la tabla siguiente y la gráfica mostrada en la pagina 53. t (min) d (mill) 15 0 16 320 17 640 20 1600 22 2240 25 3200 30 4800 40 8000 50 11200 60 14400 70 17600 80 20800 90 24000 100 27200
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL 0 5000 10000 15000 20000 25000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (min) d (mill)
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN
GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 20 40 60 80 100 120 t (min) d (mill)
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN
GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – GRÁFICA NATURAL
Como es posible observar en la última gráfica ambos aviones están a la misma distancia de punto de partida al minuto 70 aproximadamente y a la distancias de 17500 millas, de este modo podemos decir que los aviones se alcanzan en estos valores.
Como se puede ver esta es una forma gráfica de resolver un problema relativamente complejo.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE LA GRÁFICA
La grafica tiene una multitud de usos prácticos, pues mediante el uso de la grafica se pueden representar un sin número de problemas técnicos, la utilidad de las graficas depende de su dificultan en la interpretación, saber interpretar bien una grafica nos puede ayudar en la mayoría de los casos a simplificar problemas técnicos complejos.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE LA GRÁFICA
a
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA –
ÚSO DE LA GRÁFICA
aa
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA –
ÚSO DE LA GRÁFICA
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE LA GRÁFICA
aaa
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA –
ÚSO DE LA GRÁFICA
aaa
Ejemplos de uso de graficas - SRM B767-300 ATA 51-20-05
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA –
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN
GEOMETRÍA
La geometría es una representación idealista de una figura real, es la representación abstracta de la realidad. Para realizar dicha abstracción se emplean instrumentos que nos permiten conocer las propiedades cuantitativas de los objetos, para de este modo poder abstraer estas propiedades.
Los instrumentos de medición o herramientas de la geometría son: Las escuadras El compás El transportador El escalímetro El Vernier El Micrometro.
LAS ESCUADRAS
Existe una gran variedad de escuadras, dependiendo del material del que están hechos y del ángulo con el que fueron calibradas, con referencia a este último tenemos escuadras de 90º, de 45º, de 60º y de 30º.
Para usar adecuadamente una escuadra es necesario fijar a un borde recto una de sus superficies, las otras superficies marcarán el ángulo con respecto a ese borde.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
EL COMPÁS
El compás es una herramienta que nos sirve para trazar circunferencias sobre una superficie, o bien para medir o marcar líneas paralelas.
Para marcar una circunferencia primero se abre el compás a la medida del radio de la circunferencia que se desea marcar, después una de las puntas del compás se coloca en donde se desea el centro de la circunferencia y la otra punta se recarga sobre la superficie, se hace girar el compás sobre la punta que marca el centro y se traza la circunferencia.
Para marcar líneas paralelas, se abre el compás la distancia que desea marcarse la línea paralela, una de las puntas se coloca en la línea existente y la otra se coloca del lado donde se desea marcar la línea paralela de modo tal que esta punta quede lo más lejos que sea posible de la línea ya marcada, se desliza el compás siguiendo con la punta la línea marcada y trazando la línea paralela.
En caso de querer medir una distancia se coloca el compás de modo tal que las puntas de este queden sobre los puntos que se desea medir y se mide la separación de las puntas del compás, esta medición es la medida de los puntos.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
EL TRANSPORTADOR
El transportador es un instrumento de medición que se emplea para medir el ángulo entre dos rectas, existen una gran cantidad de tipos de transportador, sin embargo su uso es muy similar.
Para realizar una medición con un transportador colocamos la marca del centro del transportador en la intersección de las rectas que desean ser medidas, se hace coincidir el cero del transportador con una de las rectas, la marca donde cruza la segunda recta es la medida del ángulo entre las rectas.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
EL ESCALÍMETRO Y LA REGLA
Ambos instrumentos nos son útiles para medir distancias cortas (entre 10 y 80 cm ±).
El escalímetro presenta dos o más bordes con marcas, cada uno de estos bordes posee una escala con respecto a una unidad, por ejemplo un borde puede estar marcado 1:100 de metro, lo que quiere decir que cada marca en ese borde representa una centésima parte de un metro o 1 cm mientras que otro borde puede estar marcado 1:25 de metro, lo que quiere decir que cada marca representa una cuarta parte de metro.
Los escalímetros nos sirven principalmente para tomar medidas sobre planos a escala, pues si se conoce la escala del plano se pueden tomar medidas directas del plano sin necesidad de hacer conversiones por la escala.
La regla nos sirve para medir objetos reales en una escala real, existen reglas con escalas en cm, en dm, en pulgadas, en centésimas de pulgada o en fracción de pulgada.
MATEMÁTICAS – GEOMETRÍA – REPRESENTACIÓN GRÁFICA – ÚSO DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN EN GEOMETRÍA
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