│EC│ ARITMETICA COMPLETO CEPRE SM 2016-I

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(1)UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética Semana Nº 1 LÓGICA PROPOSICIONAL TABLAS DE VALORES DE VERDAD 1). 2). Negación. Se denota mediante el símbolo “~” y se lee “no es cierto que …” o “es falso que … ”. p. ~p. V F. F V. Conjunción ( y, pero, a la vez, …) p q. 4). 5). pq. Disyunción fuerte (O … o …) pq. pΔq. VV VF FV FF. F V V F. Condicional (Si … entonces …) p q. V V F F. 3). V F V F. V F F F. Disyunción débil (o) p q. V V F F 6). V F V F. Semana Nº1. V F V F. pq V V V F. V F V V. Bicondicional (… sí y solo sí …) pq. V V F F. p q. VV VF FV FF. (Prohibida su reproducción y venta). pq V F F V. Pág. 1.

(2) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. PRINCIPALES EQUIVALENCIAS E IMPLICANCIAS LÓGICAS (LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL) 1). Involución o Doble Negación ~ (~ p) ≡ p. 2). Idempotencia a) (p  p) ≡ p b) (p  p) ≡ p. 3). Conmutativa a) (p  q) ≡ (q  p) b) (p  q) ≡ (q  p). 4). Asociativa a) [(p  q)  r] ≡ [p  (q  r)] b) [(p  q)  r] ≡ [p  (q  r)]. 5). Distributiva a) [(p  q)  r] ≡ [(p  r) v (q  r)] b) [(p  q)  r] ≡ [(p  r)  (q  r)]. 6). Leyes de De Morgan a) ~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q) b) ~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q). 7). Ley de la Identidad a) (p  V) ≡ p c) (p  V) ≡ V. 8). b) (p  F) ≡ F d) (p  F) ≡ p. Ley del Complemento a) (p  ~ p) ≡ F. 9). b) (p  ~ p) ≡ V. Leyes de Absorción a) b) c) d). [p  (p  q)] ≡ p [p  (p v q)] ≡ p [p  (~ p  q)] ≡ (p  q) [p  (~ p v q)] ≡ (p  q). 10) Ley de La Condicional Semana Nº1. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(3) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. a) p  q ≡ ~ p  q b) ~ (p  q) ≡ p  ~ q 11) Ley de La Contrarrecíproca pq≡~q~p 12) Ley de La Bicondicional a) b) c) d). (p  q) ≡ [(p  q)  (q  p)] (p  q) ≡ [(~ p  q)  (~ q  p)] (p  q) ≡ [(~ p  ~ q) v (p  q)] (p  q) ≡ [~ (p  q) v (p  q)]. 13) Ley de la Disyunción Fuerte a) p Δ q ≡ ~ (p  q) ≡ (~ p  q) b) p Δ q ≡ (p v q)  ~ (p  q) c) p Δ V ≡ ~ p. Semana Nº1. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 3.

(4) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. EJERCICIOS DE CLASE N° 1 1.. Dadas las proposiciones atómicas:  p: Raquel hará un viaje.  q: Raquel se matricula en la UNMSM.  r: Raquel estudiará todo el verano.  s: Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM. Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones: I). Raquel no estudiará durante todo el verano si alcanza vacante por la CEPREUNMSM. II) Si Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM, hará un viaje y si no, estudiará durante todo el verano. III) Raquel no hará un viaje si no alcanza vacante por la CEPREUNMSM. IV) Raquel no irá de viaje dado que se matricula a la UNMSM porque alcanza vacante por la CEPREUNMSM. Determine cuál(es) de las proposiciones es equivalente a “Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM y no se matricula en la UNMSM, ya que Raquel hará un viaje”. A) Solo IV 2.. B) I y IV. C) Solo III. E) IV y III. Se define t # u mediante la tabla t V V F F. u V F V F. Halle la conclusión de la proposición A) FVFV 3.. D) IV y II. B) VVVV. t # u V V F V [(t #u)]( t #u)]. C) FFVF. D) VFFF. E) FVFF. Sí P(x) : x  2  7, Q(x) : x 2  3x  4 , halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. [(P(2)P(5))  (Q(4)  Q(5))] II. [(Q(-1)P(3))  (Q(5)P(4))] III. [Q(2)  P(5)]P(5)  P(6) A) VFV. 4.. B) FVV. C) VVF. D) VVV. E) VFF. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías? i) ( p  p)  r iii) (p q)  q A) i y ii. Semana Nº 1. ii) (p  q)  (q  p). B) Solo ii. C) Solo iii. D) Solo ii y iii. (Prohibida su reproducción y venta). E) i. Pág. 4.

(5) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.. Si las siguientes proposiciones P  (u  q) y Q  ( q t)  (q u) son falsas, determine el valor de verdad de q, u y t, en el orden indicado. A) FVV. 6.. 8.. C) FVF. D) FFV. E) VVV. B) p  p. C) p. D) q  q. E) p  q. Si el esquema molecular  (q  r)  {(p  q)  (r  r)} es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado. I) p  q. II) q  r. III) q  r. A) FVF. B) VFV. C) VVV. D) VVF. E) VFF. D) p  r. E) q  p. Simplifique [ p  (p q)]  [ q  (q r)] . A) p  q. 9.. B) VFV. Si p  q  (p  q)  q , halle una proposición equivalente a la proposición compuesta (p  q)  (q  p) . A) q. 7.. Ciclo Ordinario 2016-I. B) p  r. C) p  r. Simplifique la proposición [ q  q)  ( p  q)]  (q  p) . A) ( p  q ) B) q  p. C) p. D) p  q. 10. Si la proposición [( p  q)  (t  q)]  [( p  q)  (q  el valor de verdad de p, q y t respectivamente. A) VVF. B) VFV. C) FVV. E) q. p) es verdadera, determine. D) VVV. E) VFF. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 1 1.. Dadas las proposiciones p: José postula a San Marcos, q: José postula a otra universidad, t: José es un buen futbolista. Halle la expresión simbólica del siguiente enunciado: “Si José decide no postular, entonces sería un buen futbolista, pero si José no es un buen futbolista, entonces postulará a alguna universidad”. A) ( (p  q)  t)  (t  (p  q)). B) ( ( p  q )  t )  ( t  ( p  q ) ). C) ( ( p  q )  t )  ( t  ( p  q ) ). D) ( ( p  q )  t)  ( t  ( p  q ) ). E) ( ( p  q )  t )  ( t  ( p  q ) ). 2.. Si la proposición (p  q)  (q  t) es verdadera, halle el valor de verdad de: I) (p  q)  t A) FVV. Semana Nº 1. B) VVF. II) p  [ q  (p  q)]  t. III) (p  q)  t. C) VFV. E) FFF. D) VFF. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 5.

(6) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.. Ciclo Ordinario 2016-I. De las siguientes proposiciones: I. [ ( r  t )  s]  ( r  s ) II. ( r  t)  (s  r) III. (r  s)   ( s  t) ¿Cuál(es) son equivalentes a la proposición [(s  t )  ( r  s ) ] A) Solo III. 4.. B) I y III. D) II y III. E) Solo I. D) p. E) q. Simplifique p  (p  q)  [ (p  q)  (p  q) ]. A) p  q. 5.. C) I y II. B) p  q. C) q. Si P(x): x2 = 36, Q(x): x – 3 = 5 y R(x): x – 2 > 7, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. [(P(2)  P(1))  (R(8)  Q(1))] II. [(Q(2)  P(6))  (P(2)  Q(5))] III. [R(9)  Q(2)]  P(6) A) VFV. 6.. B) VVF. B) q  p. B) FVF. C) p. D) q  q. E) p  q. C) FFV. D) FVV. E) FFF. Si la proposición  (p  q)  ( p Δ  t ) es verdadera, halle el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VFF. 9.. E) VFF. Si la proposición (p  q) v ( q  t ) es falsa, halle el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VFF. 8.. D) VVV. Si p  q ≡  (p  q)  ( q  p), halle una proposición equivalente a la proposición compuesta  [ ( p  q )  ( q  p ) ]  [ ( p  q ) ] A) q. 7.. C) FFF. B) FVF. C) FFV. D) FVV. E) FFF. Si las siguientes proposiciones M = (p  q)  (~ p v t) y N = (q  ~ p) son falsas, determine el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VVF. B) VFV. C) VFF. D) FVV. 10. Dadas las siguientes equivalencias lógicas: simplifique A) q. Semana Nº 1. . q    p  ( r  s ). B) p v q. p C) p. . . E) VVV. p  qpq . y. p q  q D) q. (Prohibida su reproducción y venta). pq  p  q . E) p. Pág. 6.

(7) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética SEMANA Nº 2 TEORÍA DE CONJUNTOS La palabra conjunto es un término no definido; sin embargo, dicha palabra nos da la idea de una colección de objetos que tienen una característica común. Nombre del conjunto. M = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 } Elementos del conjunto. Relación de Pertenencia (): Elemento Ejemplo: 7  M, 13  M, 19  M,.  Conjunto. 4  M, 8  M.. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. Por Extensión: Cuando se da una Por Comprensión: Cuando se da una propiedad que lista que comprende a todos los caracteriza e todos los elementos del conjunto. elementos del conjunto. A = { a; e; i; o; u }. A = { x/ x es una vocal }. B = { 0; 2; 4; 6; 8 }. B = { x/ x es un número par menor que 10 }. C = { c; o; n; j; u; t; s }. C = { x/ x es una letra de la palabra conjuntos }. Cardinal de un Conjunto card(M); n(M); #(M) : Es el número de elementos diferentes de un conjunto. Ejemplo: Si el conjunto M tiene 8 elementos,. entonces. n(M) = 8. Clases de Conjuntos Conjunto Vacío ( ): Es aquel conjunto que carece de elementos.. Semana Nº 2. Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que. (Prohibida su reproducción y venta). Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que sirve. Pág. 1.

(8) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. tiene un solo elemento.. A = { x / x es un día de 90 horas }. de referencia a otros conjuntos incluidos en él.. U = { seres humanos }. B = {xZ / 2x = 6}.  Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Relación entre Conjuntos Relación de Inclusión ( ): Conjunto. Conjunto. (x) [ xA. A  B Ejemplo: Si M = {1; 2; 3}. . entonces: {1}  M ;. xB]. {1; 2}  M ;. MM ;. ΦM.  El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.  Todo conjunto está incluido en sí mismo. Relación de Igualdad : (=) Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Relación de Subconjunto Propio: Se dice que A es un subconjunto propio de B si A esta incluido en B, pero no es igual a B. Conjunto Potencia P(M): Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto M. Ejemplo: M = {1; 2; 3}. . P (M) = { {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; M;. }. #[ P (M) ] = 2#(M) Nota:. # [P (M)] = 23 = 8 elementos  # [subconjuntos propios (M)] = 2#(M)1. Subconjuntos propios de M : {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; Φ Producto Cartesiano Si. A= { 1; 2; 3 }. y. B = { 4; 5 }. , entonces el producto cartesiano. AxB = { (1;4) ; (1;5); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5) }. y. BxA = { (4;1) ; (4;2); (4;3); (5;1); (5;2); (5;3) } n(AxB) = n(A) . n(B) Semana Nº 2. .. Así. n(AxB) = 3 .2 = 6. y. (Prohibida su reproducción y venta). n(BxA) = 2.3 = 6 Pág. 2.

(9) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. EJERCICIOS DE CLASE Nº 2 1.. Sea M  ,x,y ; determine cuántas de las proposiciones son falsas: I.   P(M). II.   P(M). III.   P(M). IV.   P(M). V.   P(M). VI.   P(M). A) 1 2.. B) 2. D) 4. E) 5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado: I. Si 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑍; II. Si 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑁; III. Si 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; IV.Si 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; A) VVFF. 3.. C) 3. (𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 4) = 0} 𝑦 𝑇 = {−2; 2} entonces 𝑀 = 𝑇. 𝑥(𝑥 2 − 𝑥 − 6) = 0} 𝑦 𝑄 = {−2; 0; 3} entonces 𝑃 = 𝑄. 𝑥 ≠ 𝑥} entonces 𝐿 = ∅. 𝑥 + 5 = 5} entonces 𝑆 = ∅.. B) FVFV. C) VFFV. D) VFVF. Los conjuntos 𝑀 = { 𝑥; 2𝑦 − 1 } 𝑦 𝑇 = { 5;. 7𝑦+1 3. E) FFVV. } son conjuntos unitarios.. Si 𝐿 = { 𝑥𝑦; 𝑥 𝑦 ; 2𝑥 + 3𝑦; 2𝑥 }, y si además los valores de x e y son los mismos en los tres conjuntos, halle 𝑛(𝑃(𝐿)). A) 4 4.. B) 120. D) 1. C) 83. Sea el conjunto 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝑅; A) 4. 6.. C) 8. E) 5. Dados los conjuntos 𝑀 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝑍 ˄ 8 < 𝑥 ≤ 12} 𝑦 𝑃 = {𝑦 + 2; 𝑦 ∈ 𝑍 ˄ √𝑦 + 5 ∈ 𝑀}. Halle la suma de los elementos del conjunto P. A) 124. 5.. B) 2. B) 2. Sean M   x  1  Z /. 𝑥+2. 2. D) 134. E) 116. 2. + 1−𝑥 = 1−𝑥 2 }. Determine el valor de 𝑛[𝑃(𝑃(𝐿))]. 𝑥+1 C) 3. x 2  1  0  x 2  4. D) 1 y. E) 5. T  x  M / x  2  x  1 .. Halle el número de subconjuntos no unitarios de T. A) 4 7.. B) 2. C) 3. D) 1. E) 5. Sean los conjuntos M  a  1; b  2; c  3;...; j  10 y N  a  3; b  4; c  5;...; j 12  donde M es un conjunto unitario. Calcule P(M) + P(N). A) 3. 8.. B) 2. C) 4. D) 1. E) 5. Si 𝑛(𝐿) = 256, 𝐿 = {𝑥/𝑥 ⊂ 𝑀} 𝑦 𝑀 = {𝑥/𝑥 ⊂ 𝑆}, halle el número de subconjuntos propios de S. A) 4. Semana Nº 2. B) 2. C) 3. D) 7. (Prohibida su reproducción y venta). E) 5 Pág. 3.

(10) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.. Ciclo Ordinario 2016-I. Si el conjunto M tiene 36 subconjuntos entre binarios y unitarios, determine el número de subconjuntos propios de M. A) 511. B) 255. C) 127. D) 63. E) 1023. 10. Si el conjunto M tiene 2(n-1) elementos y 3(n2+5) subconjuntos no vacíos, ¿cuántos subconjuntos no unitarios tiene M? A) 4. B) 2. C) 3. D) 12. E) 5. EVALUACIÓN DE CLASE Nº 2 1.. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. 4𝑥+3. I) Si 𝑇 = {𝑥 ∈ 𝑍; 3 = 5} , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇 = {3; 3} II) Si 𝑛(𝑀) = 4, entonces el número de subconjuntos binarios de M es 6. III) {3; 9} ⊂ {𝑥 ∈ 𝑅; 3𝑥 = 𝑥 3 } A) FVV 2.. E) VFV. B) 2. C) 3. D) 4. E) 0. Sean los conjuntos M = { 2 ; 5 ; 3 } y N = { 3; {2 ; 5} }, determine cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I) ( M ≠ N )  ( card(N) = 3 ) II) P(M)P(N) III) M y N son comparables. A) Solo I y II. B) Solo I. Si los conjuntos L = { de (yX). A) 64. 5.. D) FFF. Para todo x ∈ U, si x ∈ M, entonces x ∈ N Para todo x ∈ U, si x ∉ N, entonces x ∉ M Hay algún x ∈ U tal que x ∈ N y x ∉ M Para todo x ∈ U, x ∈ M o x ∉ N. A) 1. 4.. C) VVV. Sean M y N subconjuntos de U. Si 𝑀 ⊂ 𝑁, ( M ≠ N ), ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) II) III) IV). 3.. B) VVF. C) Solo I y III. C) 16 𝑥+1. Sean los conjuntos 𝑀 = {. A) 10. Semana Nº 2. B) 6. E) I, II y III.. x 3  2 ; y – 5 } y M = { 3 – y; 5} son iguales, determine el valor. B) 4. Determine 𝑛(𝑀). 𝑛(𝑁).. D) Solo II y III. 3. D) 2. E) 32 𝑥+1. ∈ 𝑍 + ; −1 < 𝑥 ≤ 6} 𝑦 𝑁 = {. C) 8. 3. D) 12. (Prohibida su reproducción y venta). ; 𝑥 ∈ 𝑍 + ˄ − 1 < 𝑥 ≤ 6}.. E) 14. Pág. 4.

(11) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.. Ciclo Ordinario 2016-I. Sean los conjuntos M = {x3+1 / x  Z ʌ 0 ≤ x < 5} y T = { x3  1 / 0  x < 5 }. Determine la cantidad de elementos enteros de T que no pertenecen a M. A) 121. 7.. B) 122. C) 120. D) 119. E) 115. Sean los conjuntos  3x  1  3x  1    2x  1   Z / 2  x  5 y T   / x  Z  x  9  M  Z / x  Z  x  9 , L    4  4  .  5 . Halle [ n (L) + n(T) + n (M) ] A) 14 8.. B) 12. C) 13. D) 11. E) 15. Sean los conjuntos M  x / x  Z  2  x  5 y N  X  M / X   . Calcule el valor de n(N). A) 15. 9.. B) 31. C) 63. D) 127. E) 7. Si un conjunto tiene nueve elementos, halle la cantidad de subconjuntos no binarios y no unitarios que tiene dicho conjunto. A) 227. B) 674. C) 467. D) 256. E) 476. 10. Sean los conjuntos: 𝑥+4. 𝑀 = {2𝑥; 𝑥 ∈ 𝑁 ˄ 𝑥 < 6 }, 𝑇 = { Halle #(𝑃(𝐻)) A) 64. Semana Nº 2. B) 32. 2. 2𝑦+1. ; 𝑥∈𝑀} 𝑦 𝐻={. C) 16. 5. D) 4. (Prohibida su reproducción y venta). ∈ 𝑍; 𝑦 ∈ 𝑇 }.. E) 8. Pág. 5.

(12) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética Operaciones con Conjuntos Intersección de Conjuntos. Unión de Conjuntos. A. A. B. A U B = { x / xA  xB }. A. B. A ∩ B = { x / xA  xB }. Diferencia Simétrica de Conjuntos A. Diferencia de Conjuntos. B. A – B = { x / xA  xB }. Complemento de un Conjunto U. B A. C (A) = Al = U – A. A Δ B = (A – B) U (B – A). LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Idempotencia. Semana Nº 3. Conmutativa. (Prohibida su reproducción y venta). Asociativa. Pág. 1.

(13) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. AUA=A A∩A=A. AUB=BUA A ∩B=B∩A. Distributiva. De Morgan. Del Complemento. AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). C (AUB) = C (A)∩C (B) C (A∩B) = C (A)UC (B). AUC (A)=U A∩C (A)= Φ C [C(A)] = A. Absorción. Adicional. AU(A∩B) = A A∩(AUB) = A A U [C (A) ∩ B] = A U B A ∩ [C (A) U B] = A ∩ B. A – B = A ∩ C (B) C (U) = Φ C (Φ) = U. De la Unidad. AUU=U AUΦ=A. A∩U=A A∩Φ=Φ. (AUB)UC = AU(BUC) (A∩B)∩C = A∩(B∩C). Producto Cartesiano: AxB = { (a; b) / a  A  b  B } Notación: MxM = M2 Nota: #(A x B) = #(A) x #(B) Nota: Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, entonces: #(AUB) = #(A) + #(B)  #(A∩B). #(AUBUC) = #(A) + #(B) + #(C)  #(A∩B)  #(A∩C)  #(B∩C) + #(A∩B∩C). Diagrama De Venn Euler Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro.. 1.. De 320 deportistas que solamente practican fútbol, natación o vóley, se sabe que 13 practican fútbol y natación, 15 practican vóley y natación, 5 practican los tres deportes, 160 practican vóley, 86 solamente fútbol y 250 practican fútbol o natación. ¿Cuántos deportistas practican únicamente vóley?. Semana Nº 3. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(14) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. Resolución: -. 250 practican fútbol o natación, entonces: F. 86 + 8 + 5 + 10 + x + z = 250 V (160) z. 86. x + z = 141. 145-z 5. 8. 10 x N. 320 -. El total de deportistas es 320, entonces: 160 + 86 + 8 + x = 320 x = 66 Luego: 66 + z = 141 z = 75  Solo practican vóley = 145 – z = 70 Diagrama de Lewis Carroll Un diagrama de Carroll es un diagrama rectangular utilizado mayormente para conjuntos disjuntos cuya unión comprende la totalidad de los elementos. Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas quien era también matemático.. 2.. En una aula de 70 personas, se sabe que - 25 mujeres tenían USB. - 35 hombres no tenían USB. Si el número de hombres que tenían USB es la cuarta parte del número de mujeres que no tenían USB, ¿cuántas personas no tenían USB? Resolución:. USB No USB. Hombre x 35. Mujer 25 4x. x + 25 35 + 4x 70. x + 25 + 35 + 4x = 70 5x = 10, luego x = 2 No tienen USB = 35 + 4x.  No tenían USB 43 personas.. Semana Nº 3. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 3.

(15) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. EJERCICIOS DE CLASE Nº 3 1.. Sean los conjuntos M  x . / (x 3  x 2  2x)(x 2  9)  0. G x . / (x 3  8)(x 3  6x) 0. F  x . /(2x  1)(x 3  6x 2  11x  6)  0. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) M  G  F   8 IV) n  P ( M  G )   A) 2 2.. II) n(M  F )  9 V) n(M F )  2. B) 3. C) 4. D) 1. E) 5. D) . E) 2. Dados los conjuntos:. F . x . G. x  F /  1  x  2 x  G /x  0  x < 2. H. /.  x  2. Halle P  G - H. Sean.  x  5 . H - F . B) 0. A)  3.. III) (M  F)  (F  G)  . los. C) 0, . conjuntos. A,. B. y. C;. se. cumple.  n(A) 19,  n(B) 25,  n(C) 22, n[(A  B)  C]=7, n[(B  C)  A]=8. n(AUBUC)  36, y n[(A  B)  C]=3.. Halle n[(AB)  C] A) 7 4.. C) 8. D) 9. E) 12. Sean F y G dos conjuntos diferentes del conjunto vacío. Simplifique F U G (F G) U (F G) A) F U G. 5.. B) 10. B) G - F. C) F - G. D) F U G. Si M = {1, 2, 3, 4, 5}, N = {4, 5, 6, 7} y    L  M N U M U M N U M    N    la cantidad de subconjuntos propios de L.. N U M. A) 1. D) 31. Semana Nº 3. B) 3. C) 7. (Prohibida su reproducción y venta). E) F. G.  U N M U N , halle . E) 15. Pág. 4.

(16) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.. Si los conjuntos A, B y C son no vacíos, simplifique la siguiente expresión:       A B  C  U B  C      A B  C  A   B     A) A U B. 7.. A. B) A. C) A – B. E) A U B . D) B – A. Sean los conjuntos no vacíos A, B y C incluidos en el universo U. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. I). A. II).  A B  . III)  A A) VVV 8.. Ciclo Ordinario 2016-I. B   B. A . C   A. C .  BA  C. B   B. C. A C  A. C   A B. B) VVF. C) FVV. D) VFV. E) FFV. En un concurso de talentos se presentan 60 niños, de los cuales se sabe que: I. Todos los que tocan un instrumento también cantan. II. Todos los que cantan, también bailan. III. Los que cantan son el doble de los que tocan un instrumento. IV. Los que bailan son dos veces más de los que cantan. V. Los que no bailan son tantos como los que solo bailan. ¿Cuántos tocan un instrumento? A) 2. 9.. B) 7. C) 5. D) 6. E) 4. De 33 deportistas, 14 practican fútbol, 13 practican vóley, 16 practican natación y 6 no practican ninguno de estos deportes. Si dos practican los tres deportes y 13 practican solo uno de estos tres deportes, ¿cuántos practican exactamente dos de los deportes mencionados? A) 13. B) 15. C) 12. D) 10. E) 14. 10. De un grupo de 180 personas se sabe que 45 personas que no tienen 26 años tienen memoria USB pero no disquete, y que 40 personas que tienen 26 años no tienen memoria USB ni disquete. Si 80 personas tienen disquete, ¿cuántas personas de 26 años tienen memoria USB pero no disquete, si ellos representan la cuarta parte del total de personas que no tienen 26 años, no tienen USB ni disquete? A) 2. B) 5. C) 4. D) 6. E) 3. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 3 1.. Si M  L y M W   , simplifique A)  . Semana Nº 3. B) L.  M. C) . W  L  L D) M. (Prohibida su reproducción y venta).  M  W   L E) W. Pág. 5.

(17) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.. Ciclo Ordinario 2016-I. Realizada una encuesta a 950 personas sobre preferencias de los perfumes A, B y C 54 , se obtuvieron los siguientes resultados: n  A B C   350 , n  B   n  B    n  A   n  A   50 , n  C   480 , n  A. B  C    278 .. ¿Cuántos prefieren exactamente dos de los perfumes mencionados? A) 110 3.. B) 105. C) 100. Dados los conjuntos:  2x  1   F   / x  5  x  10  3 .  3x  1 .  G. / x  2  x  5, x . D) 115. E) 112. D) 38. E) 32. . Halle: n  F G   n  P  G   A) 33 4.. B) 37. Dados los conjuntos A y B diferentes del vacío, simplifique:        A B    B  A   A B  .   . . . A) A 5.. C) A. B) AB. B. B. D) A. B. E) A. B. Dados los conjuntos:. . F x . . G. 2x  1 / x  1. H. x. 2. . . / x 2  13x  40  3x  2   0  x  6,x . . .  1/x  G  x < 5. Halle n  F. H  G . A) 4 6.. C) 35. B) 3. C) 1. D) 2. E) 0. Sean A y B dos conjuntos no nulos contenidos en el conjunto universal. Si  A - B  B-A   A B , ¿cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? I) A = A - B II) B = B - A III) A B   IV) A  A  V) A B  A) 3. Semana Nº 3. A. B  B) 2. C) 1. D) 4. (Prohibida su reproducción y venta). E) 0. Pág. 6.

(18) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.. Dados los conjuntos no nulos A, B y D, se tiene A B  , n  A  D  0, D  B n  6, n  A  A  17, n B  22, n(D) Calcule n BD   n  A A) 7. 8.. Ciclo Ordinario 2016-I. B) 5. B  D  30.. B.. C) 8. D) 4. E) 9. Dados los conjuntos no nulos A , B y C se tiene. C=, n B  C   B  10  A C   8, n B   A C  14, n  A   Halle n  A   B C   A. A) 24 9.. B) 30. C) 28. D) 25. E) 32. En una fiesta donde asistieron 80 personas, se observa que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Hay 18 hombres solteros y menos de 24 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son casadas, si entre estas hay menos de 12 hombres? A) 25. B) 28. C) 33. D) 30. E) 29. 10. En un grupo de personas se observa que 32 de ellas trabajan, 62 son mujeres, de las cuales 11 solamente estudian; de los varones 40 estudian o trabajan y 18 no estudian ni trabajan. Si 33 varones no trabajan, ¿cuántas mujeres no estudian, ni trabajan? A) 28. Semana Nº 3. B) 44. C) 43. D) 35. (Prohibida su reproducción y venta). E) 29. Pág. 7.

(19) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016 -I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética SEMANA Nº 04 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Número Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. La representación simbólica de un número recibe el nombre de numeral. Una cifra es aquel símbolo que se utiliza para la formación de numerales. Principios fundamentales de la numeración  Del orden Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, de derecha a izquierda.  De la base Es un numeral mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera son necesarias, para formar una unidad del orden siguiente.  De la cifra Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base. El número de cifras posibles, que se puede utilizar en cierta base, es igual a la base. Observación A mayor numeral aparente, le corresponde menor base y a menor numeral aparente mayor base. Ejemplo. Si 124(k) = 43(n) entonces k < n. A continuación presentamos algunos sistemas de numeración: Base 2 3 4 5 6. Nombre del sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario. Cifras utilizables 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5. En un sistema de numeración de base “n” se tiene que las cifras son 0; 1; 2; 3; …; (n – 1) y la representación literal de un numeral está dado por:. abc( n) ; aabaa( n) ;.  n 1 n 1n , etc.. Número capicúa Un numeral capicúa es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.. Semana Nº 4. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(20) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016 -I. Ejemplos.: aba ; aaaa; abba; etc. son numerales capicúas. Cambio de base  De base diferente de diez a base diez. Mediante descomposición polinómica: 345(7) = 3×72 + 4×7 + 5 = 147 + 28 + 5 = 180, luego 345(7) =180 2104(5) = 2×53 + 1×52 + 0×5 + 4 = 279, luego 2104(5) = 279  De base diez a base diferente de diez. Mediante divisiones sucesivas: 125 a base 6 125 6 5 20 6 2 3 . luego 125 = 325(6). De base diferente de diez a base diferente de diez.. Primero se convierte a base 10 mediante descomposición polinómica y luego a la base deseada mediante divisiones sucesivas. Otros casos: . De base n a base nk.. Se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden. A cada grupo, se le descompone polinómicamente y el resultado será una cifra en base nk. Ejemplo. Convertir 2101121(3) a base 9. Como 9 = 32 , se forman grupos de 2 cifras: 2 2 2. | | |. 10 1x3+0 3. | | |. 11 1x3+1 4. | | |. 21 2x3+1 7. (3) (9). Luego 2101121(3) = 2347(9) . De base nk a base n. Cada cifra del numeral en base nk, genera un grupo de k cifras en base n, mediante divisiones sucesivas. Ejemplo. Convertir 2345(8) a base 2 Como 8 = 23 , cada cifra genera un grupo de 3 cifras: 2 | 3 | 4 | 5 010 | 011 | 100 | 101. (8) (2). 5=101(2) 3=011(2). ; ;. 4 = 100(2) 2 = 010(2). ; .. Luego 2345(8) = 10011100101(2). Semana Nº 4. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(21) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016 -I. Observación:. 1a1a. i).  n  k.a. .. . 1a ( n ). k veces. a1a1. ii). ak 1  a .n  a 1 k. .. . a1( n ). k veces. ab. iii) k.  a k  1  a .n  b    a 1  k. ab.. . veces ab ( n ). COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número natural N, denotado por CA(N), es la cantidad que le falta a N para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. En general, el complemento aritmético de a1......ak ( b ) está definido como:. . . CA a 1......ak ( b )  1000...000 . (b). (k  1) cifras.  a 1......ak ( b ). CA (576) = 1000 – 576 = 424. CA( 341(5)) = 1000(5) – 341(5) = 104(5) EJERCICIOS DE CLASE Nº 4 1.. José reparte 1334 ( n ) monedas entre sus tres hijos, dando 231 ( n ) al primero, 122 ( n ) al segundo y 431 ( n ) al tercero. Determine el valor de n. A) 5. B) 6. C) 7. D) 8. E) 9. 2.. Si (m 2)(m 1) m (4) = mnpqrs (2) , halle el valor de (m + n + p + q + r + s).. 3.. A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2 Un padre le dice a su hijo que le dará de propina S/.  m  n  3 n , además le dice que. m  m n    2  nn . Si el hijo recibió la propina y luego gastó S/.24, ¿cuánto dinero le quedó? m  2m  n. A) S/. 46. Semana Nº 4. B) S/. 68. C) S/. 32. D) S/. 52. (Prohibida su reproducción y venta). E) S/. 64. Pág. 3.

(22) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.. Si (2t  1) t(t  1)(t  2)(t  3) A) 8. 5..  8   mnpxyzqr  4  , halle el valor de (m + x + r).. B) 9. C) 6. D) 5. E) 4. Si el mayor número de tres cifras del sistema de base n se escribe en el sistema quinario como 4021, halle el valor de n. A) 7. 6.. Ciclo Ordinario 2016 -I. B) 8. C) 9. D) 10. E) 11. Si N  14641( n)  1331( n)  121( n)  1 , calcule la suma de las cifras de N expresado en base n + 1. A) 3n + 1. 7.. D) 3. E) 5. B) 256. C) 232. 2n. D) 222. E) 242. n. Al expresar M  14 8  16 8  20 en el sistema octanario se obtiene un numeral cuya suma de cifras es 3n – 21. ¿Cuántas cifras no significativas tiene dicho numeral? A) 19. 9.. C) 4. ¿Cuántos números se escriben con tres cifras en los sistemas heptanario y undecimal? A) 228. 8.. B) 2n + 3. B) 20. C) 22. D) 21. E) 23. El complemento aritmético de mnpq (8) es mnp (8) , halle el complemento aritmético de.  pq(8)  mn(8)  .. A) 3. B) 5. C) 8. D) 9. E) 7. 10. Si se cumple que mnq (p)  dm (p  1)(7) y además 88. 2. (n ).  mmmm(n) , halle el valor de. (n + p + q). A) 10. B) 12. C) 13. D) 15. E) 16. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°4 1.. Si los siguientes numerales están escritos correctamente m23n(p) , q 21(m) , m3 p (6) , r 2r (q). calcule el valor de (m + n + q). A) 12 2.. B) 11. C) 18. D) 15. E) 1. D) 7. E) 9. Si 531(m)  40n (7) , halle el valor de (m + n). A) 8. Semana Nº 4. B) 5. C) 4. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 4.

(23) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.. Si mn  m  2  p (9)  m0210mm 3 , determine el valor de (m + n + p). A) 7. 4.. 5.. 6.. B) 6. C) 5. D) 4. E) 8. Un número convertido a dos sistemas de numeración de bases pares consecutivas se escribe como 203 y 113, calcule la suma de cifras de dicho número en base 10. A) 8. B) 9. Si mp (9)  q 0qq. (2 r ). A) 4. B) 9 11. C) 13. D) 12. E) 10.  mn(8)  rrr (2) , halle el valor de (m + p – n).. 9. C) 6. D) 5. E) 7. 7. Si mnpq8  2  2  2  1 , calcule el valor de (m + n + p + q). A) 7. 7.. Ciclo Ordinario 2016 -I. B) 6. C) 8. D) 11. E) 5. Si el número 454545...(9) tiene 2009 cifras, determine cuántas cifras 2 se emplearán para representarlo en base tres. A) 1006. 8.. C) 1002. D) 504. E) 502. Sebastián le dice a su hijo que le dará una propina, en soles, igual a la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal que para ser convertidos a la base siete solo basta duplicar cada una de sus cifras. ¿Cuánto dará de propina? A) 102. 9.. B) 1004. B) 210. C) 312. D) 425. E) 624. Si M = 888887(9) y N = 148(M), halle la suma de las cifras de N en base 27. A) 8. B) 5. C) 6. D) 10. E) 12. 10. Si la diferencia de un número de tres cifras con otro número de dos cifras es 60, calcule la suma de las cifras de la diferencia de sus complementos aritméticos. A) 12. Semana Nº 4. B) 15. C) 14. D) 8. (Prohibida su reproducción y venta). E) 16. Pág. 5.

(24) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética SEMANA Nº 5. SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS ( ) DIVISIBILIDAD ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTERA Para los números enteros D (dividendo) y d (divisor) existen dos únicos números enteros; q (cociente) y r (residuo) tales que:. D = d.q + r; donde 0  r < d Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta, en caso contrario se dice que es inexacta. DIVISIÓN INEXACTA:  DIVISIÓN ENTERA POR DEFECTO: D = d.qdef + rdef.  DIVISIÓN ENTERA POR EXCESO:. D = d.qexc – rexc. Además se cumple que:. rdef + rexc = d qexc = qdef + 1 rmáx = d – 1 rmín = 1 Ejemplo: En una división entera inexacta, el dividendo es menor que 912, el cociente por exceso es 12 y el residuo es 21. ¿Cuántos valores toma el divisor? Solución qexc = 12  qdef = 11 D = d(11) + 21 < 912; 21 < d 21 < d < 81  d = 22, 23, 24 , . . . , 80. Por lo tanto # d = 59. Semana Nº 5. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(25) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. DIVISIÓN EXACTA:(Divisibilidad) Se dice que un número entero es divisible entre otro entero positivo (llamado módulo), si al dividir el primero entre el segundo, el cociente es entero y el residuo es cero. Además, se dice que el módulo es divisor o que divide al primero. Así: A es divisible por B, si y solo si existe un número entero K, tal que A = BK. PROPIEDADES o. 1). k = 0,  k  Z+. 2). Si. 3). Si a = k. 4). ( k + r)n = k + rn ; r < k. 5). o. o. o. a= k  b= k  a+b= k ; o. o.  an = k. o.  k  Z+. , n  Z+,  k  Z+. o. o. o. a – b = k  a x b = k,. , n  Z+,  k  Z+. o. k – rn ; si n es impar, n  Z+,  k  Z+. o. ( k - r )n =. o. k + rn ; si n es par, n  Z+,  k  Z+. 6). o. o. k + rdef = k + rexc <--> rdef + rexc = k. Ejemplo: Halle el residuo por exceso al dividir (170512)50 por 17. Solución. . . . . . (170512)50 = 17  x  ( 17  2 )50 = 17  x  17  250  17  x  . . . . . . . (24 )12 . 22 17  x  (17 1)12 .4  17 x  (17 1).4  17 x  17 4  17 x  . . 17 13  17 x . Por lo tanto el residuo por exceso es 13. o. a  r 7). Si N =. o. b  r. O.  N = MCM(a,b,c)  r. o. c  r Ejemplo: ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre cualquiera de las cantidades 7, 6, 5, 3 o 2, deja un residuo máximo para cada divisor empleado? Solución Sea N el menor número entero positivo, del dato:. Semana Nº 5. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(26) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I.  7  6  7  1  6  5  6  1  N  5 4  5 1  N  MCM (2,3,5, 6, 7)  1  210 1  Por lo tanto el menor es 209.  3 2 3 1   2 1  2 1  CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR 2 POR 3 POR 4 POR 5 POR 6 POR 7. : : : : : :. Última cifra es cero o cifra par. La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Última cifra es cero o 5. Es divisible por 2 y por 3. La suma de sus cifras multiplicadas de derecha a izquierda por los factores 1, 3, 2, –1, –3, –2, ... es múltiplo de 7. O. O. N  a b c d e f  7  f + 3e + 2d - c - 3b - 2a = 7 -2 -3 -1 2 3 1. POR 8 : Las tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. POR 9 : La suma de sus cifras es múltiplo de 9. POR 11: Diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar menos la suma de sus cifras de lugar par es múltiplo de 11. O. O. N  a b c d e f  11  (f + d + b) - (e + c + a) = 11 -1 1 -1 1 -1 1. POR 13: Cuando la suma de sus cifras multiplicadas de derecha a izquierda por los factores 1, – 3, – 4, – 1, 3, 4... es múltiplo de 13. o. f. N=abc def. 3e. 4d. c + 3b + 4a = 13. 4 3 -1 -4 -3 1. POR 33: El número a b c d e f es divisible por 33 si ab  cd  ef es múltiplo de 33. POR 99: El número a b c d e f es divisible por 99 si ab  cd  ef es múltiplo de 99. Ejemplo: . . Si 7x3yz = 55 y zx3  3 , hallar el mayor valor de (x + y). Solución: i). Z = 5 (Obvio). ii). 7 x 3 y 5  11. . . 5 x3  3. ; . . 15  ( x  y )  11 8 + x = 3. Semana Nº 5. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 3.

(27) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. . . 2+x= 3 7 8 1 4 7 Por lo tanto x + y = 15 x  y  11 4. RESTOS POTENCIALES Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo. Ejemplo. Calcule los restos potenciales de la base 3, respecto al módulo 5. 1. O. 3  5 3  3. 0 4 1 0. O. 32  5  4  3 4  2 3. O. 3  5 2  3. 0 4 3. 0. O. 34  5  1  34 Luego se tienen 4 residuos diferentes: 3, 4, 2 y 1 Ejemplo: Calcule el residuo por exceso de dividir 342358954521456550 por 5. Solución o. o. o. o. o. 3 42358954521456550  5 r  3 4 2  5 r  5  4  5 r  rexc  1. Semana Nº 5. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 4.

(28) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. EJERCICIOS DE CLASE N° 5 1.. Si en una división inexacta de residuo máximo, al dividendo se le disminuyera 170 unidades, el cociente disminuiría 3 unidades, su residuo sería mínimo y seguiría siendo inexacta. Halle el triple del producto de las cifras del divisor. A) 48. 2.. B) 36. B) 121. ____. D) 16. E) 8. _____. o. o. C) 64 ______. D) 60. E) 32. o. ______. B) 49. C) 25. D) 4. E) 16. C) 9. D) 1. E) 4. o. Si 3xyx  143 , halle (4x – 3y)2.. _______. B) 16 o. Si mnpp  23 y m + n + p = 10, halle la suma de las cifras del menor valor de n2 + (m – p). B) 9. C) 10. D) 7. E) 8. Halle el residuo por defecto al dividir (45186)36 por 13. A) 6. 9.. E) 81. Si mn  9, mp  7 y mnp  13 , halle (p + m – n)2.. A) 6. 8.. C) 9. B) 16. A) 25 7.. D) 144. En una división entera inexacta, la suma del dividendo, el divisor y el cociente es 984, el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21. Halle el cuádruple de la suma de las cifras del dividendo.. A) 36 6.. C) 9. B) 4. A) 80. 5.. E) 54. En una división el residuo es 13. Si al dividendo se lo multiplica por 4 y al divisor por 2, el residuo aumentaría en tres unidades. Halle el producto de las cifras del divisor. A) 6. 4.. D) 45. En una división inexacta, el residuo por defecto y el residuo por exceso son iguales a 48. Si el cociente por defecto es 37, halle el cuadrado de la suma de las cifras del dividendo. A) 16. 3.. C) 60. B) 4. C) 3. D) 2. E) 1. D) 4. E) 1. Halle el residuo por exceso al dividir 29992 por 7. A) 6. Semana Nº 5. B) 2. C) 3. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 5.

(29) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. ____. 10. Si 31018  ...x , halle el valor de x2. A) 25. B) 36. C) 49. D) 64. E) 81. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 5 1.. En una división, el cociente es 156 y el residuo es 6, pero si se aumentara 1000 unidades al dividendo, el cociente aumentaría en 17 unidades y el residuo aumentaría 8 veces. Halle el triple de la suma de las cifras del dividendo. A) 60. 2.. B) 57. 4.. 5.. B) 1. C) 5. D) 6. E) 7. A) 15 B) 13 C) 14 D) 9 Halle el residuo por exceso de dividir 99675691 por 17.. E) 16. A) 6. E) 3. B) 2. _________. C) 4. D) 5. _________. o. Si mppm  35 , halle el residuo de dividir el mayor número mpm por 42. B) 22. ______. o. ______. o. C) 24 ______. D) 28. E) 29. o. Si mnr  5, rmn  13, rnm  6 , y letras diferentes representan dígitos diferentes, halle 2m + 3n – 5r. A) 5. 7.. E) 63. Halle la suma de las cifras de la cantidad de números de tres cifras, de modo que al ser divididos por cierto número se obtenga 12 como cociente y un residuo máximo.. A) 19 6.. D) 54. Al dividir n y 16n por un mismo divisor se obtuvo como residuos 6 y 19, respectivamente. Halle la cifra de la decena del divisor. A) 3. 3.. C) 51. ____. B) 4 ____. ____. C) 3. D) 2. E) 1. o. Si mn nm pp  13 y letras diferentes representan dígitos diferentes, halle el residuo ______. por exceso que se obtiene luego de dividir el CA(mnp) por 9. 8.. 9.. A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 Halle el residuo por defecto de dividir (53)1201 por 7.. E) 2. A) 1. E) 5. B) 2. C) 3. D) 4. Halle la diferencia positiva de los residuos que se obtienen al dividir por defecto y por exceso (2603)2606 por 13. A) 6. Semana Nº 5. B) 3. C) 4. D) 5. (Prohibida su reproducción y venta). E) 13 Pág. 6.

(30) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. __________________________. 10. Si M  mnpmnp...mnp781 tiene 123 cifras, halle el residuo que se obtiene al dividir M por 7. A) 3. Semana Nº 5. B) 2. C) 1. D) 4. (Prohibida su reproducción y venta). E) 6. Pág. 7.

(31) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética NÚMEROS PRIMOS Se dice que un número natural es primo o primo absoluto cuando admite tener únicamente 2 divisores positivos que son la unidad y él mismo. Ejemplo: 17 admite como divisores a 1 y 17. Observaciones: 1) 2) 3). La unidad es el único número que no es primo ni compuesto por tener un solo divisor. Se llama número primo en Z a todo número entero que posee exactamente 4 divisores Si p es un número primo en Z, entonces –p es un número primo en Z. NÚMEROS COMPUESTOS. Se dice que un número natural es compuesto cuando admite tener más de dos divisores positivos. Los números primos menores a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Teorema (Criterio de Eratóstenes) Sea n  ℕ (n > 1). Si no existe q  ℕ, 1 < q ≤ n , que divide a n, entonces n es un número primo. Ejemplo: Si 227 = 15,06… Los números primos ≤ que 15 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13 Como ninguno de los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13 divide a 227  227 es primo. Teorema Fundamental de la Aritmética Si n  ℕ (n > 1), entonces existe un conjunto finito de números primos p k y k  ℕ – {0}, donde k = 1, 2, 3, 4, … ,m tales que 0 < p1 < p2 < p3 < …< pm donde m n = p11 . p22 . p33 ... pm (descomposición canónica de n).. Ejemplo: Sea ab. (a + 1)a. ab la descomposición canónica del número N. Si N es el menor posible, halle la suma de cifras de N. Solución N = 23.32.23 N = 1656. Por lo tanto 1+ 6 + 5 + 6 = 18.. Semana Nº 6. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(32) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. CANTIDAD DE DIVISORES POSITIVOS (CD) m Sea n  ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma p11 . p22 . p33 ... pm , la cantidad de divisores positivos de n denotada por CD(n) , está definida como. CD(n) = (α1 + 1) (α2 + 1) (α3 + 1) . . . (αm + 1) Nota: Sea n  ℕ, entonces: 1) (CD (n)) = (CD primos) + (CD compuestos) + 1 2) (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) 3) # (Divisores simples) = # (Divisores primos) + 1. 4) Divisor propio: Es aquel que, siendo divisor de un número, no es igual a él. Ejemplos: - Los divisores propios de 8 son: 1; 2 y 4 - Los divisores propios de 20 son: 1; 2; 4; 5 y 10 Ejemplo: El número N = 3n + 3n+3 tiene 33 divisores positivos que no son números primos, halle el _____. número de divisores primos del número nnn . Solución N = 3n + 3n+3 = 3n(1 + 33) = 3n.22.7 entonces N = 3n.22.7 (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) _____. (n + 1)(3)(2) = 33 + 3 entonces n = 5. Luego nnn = 555 = 5.3.37. Por lo tanto el número de divisores primos es 3. SUMA DE DIVISORES POSITIVOS Sea n  ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma a α . bβ . cθ , la suma de los divisores positivos de n denotada por SD(n) está definida como.  a  1  1   b  1  1   c 1  1   .  .  SD(n) =    b1   c1  a  1       PRODUCTO DE DIVISORES POSITIVOS Sea n  ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma aα . bβ . cθ, el producto de los divisores positivos de n denotado por PD(n) está definido como PD(n) =. Semana Nº 6. n. CD(n). (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(33) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. Ejemplo: La suma de divisores positivos y el producto de sus divisores positivos de un número son 624 y 312  56  76 respectivamente, además tiene 12 divisores positivos. Calcule la suma de los divisores que no son múltiplos de 7. Solución SD(N) = 624 PD(N) = 312.56.76 entonces NCD/2 = (32.5.7)12/2 entonces N = 32.5.7 0 33  1 52  1 Por lo tanto SD(N no 7 ) = = 13.6 = 78 . 31 51 EJERCICIOS DE CLASE N° 6 1.. ¿Cuántos números de la forma xy1 tienen tres divisores positivos? A) 5. 2.. B) 4. E) 7. C) 40. D) 60. E) 72. L , ¿cuántos divisores positivos tiene mn ?. B) 18. C) 15. D) 12. E) 16. B) 8512. C) 8912. D) 9712. E) 8712. ¿Cuántos números, menores que 10 000 tienen 21 divisores positivos? A) 5. B) 7. C) 9. D) 8. E) 6. Si el número L  5 312a tiene 32 divisores positivos que son múltiplos de 6, pero no de 5, ¿en cuántos ceros termina “L” al expresarlo en base 15? A) 1. 8.. D) 5. Halle la suma de los 20 divisores positivos que tiene el número xx 55 . A) 7812. 7.. E) 7. “L” es un número cuadrado perfecto, el menor posible, que tiene (3a)(3a) divisores. A) 10. 6.. C) 6. B) 48. positivos. Si mn . 5.. D) 3. Si el número L  ( x  1) x x 2x (4x  1)3 x está en descomposición canónica, ¿cuántos divisores que son cuadrados perfectos tiene el número L? A) 28. 4.. C) 6. ¿Cuántos números de la forma abc tienen quince divisores positivos? A) 8. 3.. B) 4. B) 3. C) 5. D) 2. E) 4. Sea “L” un número de tres cifras diferentes, las cuales son los factores primos de L en su descomposición canónica; además tiene 12 divisores positivos. ¿Cuál es la suma de las cifras del número “L”? A) 12. Semana Nº 6. B) 13. C) 15. D) 17. (Prohibida su reproducción y venta). E) 14 Pág. 3.

(34) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.. Ciclo Ordinario 2016-I. El número “L” tiene tres divisores positivos primos que suman 16 y 26 divisores positivos compuestos. Halle la suma de las cifras del menor número “L”. A) 9. B) 12. C) 15. D) 18. E) 21. q  26  n  4p y L  mnpmq tiene 21 divisores positivos, ¿cuántos divisores. 10. Si. positivos de mqpn son múltiplos de 20, pero no de 40? A) 1. B5. C) 3. D) 6. E) 4. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 6 1.. Si xy es un número primo, ¿cuántos divisores positivos tiene xyxy ? A) 4. 2.. B) 6. D) 10. E) 12. L  a x b y es la descomposición canónica de un número natural. La cantidad de divisores positivos de L y la suma de los mismos son 6 y 124 respectivamente. ¿Cuál es la suma de las cifras del número L? A) 10. 3.. C) 9. B) 12. C) 14. D) 13. E) 11. Si aabc5  a 3 (a  c )c (a  c )c está en descomposición canónica, ¿cuántos divisores de dos cifras tiene abc ? A) 1. 4.. B) 2. B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. B) 7. C) 3. D) 5. tiene 90. E) 6. Si L  (124! )2 tiene “x” divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tiene M  (125! )2 ? A). 7.. E) 5. Si M  2 x 3 x 15 y tiene 45 divisores positivos múltiplos de 2, y L  7 x 3 z y x divisores positivos múltiplos de 126, halle el valor de z. A) 2. 6.. D) 4. Si L (a 1)a ab c está en descomposición canónica, y si además la cantidad de divisores positivos de “L” es múltiplo de 7, ¿cuál es el menor valor de b? A) 3. 5.. C) 3. Si. 21 x 19. B). 21 x 17. C). 17 x 19. D). 19 x 17. E). 19 x 21. L  40 x  20 x tiene a0 ( 4a) divisores positivos, ¿cuántos divisores cuadrados. perfectos tiene ax A) 900 Semana Nº 6. xa. ?. B) 1024. C) 864. D) 1032. (Prohibida su reproducción y venta). E) 961 Pág. 4.

(35) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.. Si L = 5k y la suma de los divisores positivos de “L” es 620, determine la suma de las cifras del producto de los divisores positivos de “2k”. A) 21. 9.. Ciclo Ordinario 2016-I. B) 18. C) 10. D) 14. E) 16. Si L  10 * 20 * 30 * ... * 100 tiene “x” divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tendrá M  5 * 10 * 15 * ... * 50 ? A). 9 x 5. B). 9 x 19. C). 3 x 5. D). 7 x 19. E). 9 x 8. 10. Si L  9 x  9 x1  9 x2 tiene 32 divisores positivos no primos, ¿cuántos divisores positivos múltiplos de 81 tiene “L”? A) 20. Semana Nº 6. B) 30. C) 28. D) 24. (Prohibida su reproducción y venta). E) 26. Pág. 5.

(36) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016 - I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética SEMANA Nº 7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS ENTEROS. 1. Definición: El Máximo Común Divisor (MCD) de un conjunto de números enteros positivos es el mayor de sus divisores comunes. Ejemplo: Si A = 34.57.1713 y B = 312.72.1711, el MCD (A; B) = 34.1711  Se dice que A y B son primos entre sí (PESI), si MCD(A; B) = 1 PROPIEDADES Dados los números enteros A, B, C y n, entonces se cumple que: i. MCD(nA; nB; nC)  n  MCD(A; B; C) MCD(A; B; C)  A B C ii. MCD  ; ;   n n n n n n n iii. MCD(A ; B ; C )  MCD(A; B; C) n iv. MCD(A;B;C;D)=MCD(MCD(A;B);MCD(C;D)) v. MCD(A;B;C)=MCD(MCD(A;B);MCD(B;C)) Observación.  En general, sean los números A, B y C; de tal manera que el MCD(A; B; C) = d, entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: A = d  p;. B = dq. y. C = d r.  Si a es múltiplo de b, entonces el MCD(a;b) es b.  Si varios números naturales se dividen entre su MCD, los resultados son primos entre sí.  El MCD de dos números a y b coincide con el MCD de b y el resto de la división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides.  Teorema de Bezout. a y b son números enteros con MCD(a;b) = d si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifica:. Semana Nº 7. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(37) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO d = p.a + q.b. Ciclo Ordinario 2016 - I.  Según el Teorema de Bezout. a y b son PESI si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifique: p.a + q.b = 1. 2. Definición: El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de un conjunto de números enteros positivos es el menor de sus múltiplos comunes. Ejemplo: Si A = 26.54.78 y B = 25.33.79, el MCM (A; B) = 26.33.54.79  Si A y B son primos entre sí, entonces MCM (A; B) = A  B PROPIEDADES. Dados los números A, B, C y n, entonces se cumple que: i. ii. iii.. MCM(nA; nB; nC)  n  MCM(A; B; C) MCM(A; B; C)  A B C MCM  ; ;  n n n n n n n MCM(A ; B ; C )  MCM(A; B; C) n.  Solo para dos números enteros se cumple que MCD(A; B)  MCM(A; B)  A  B. Observación.  En general, sean los números A, B y C; de tal que el MCM(A; B; C) = m; entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: m = A  p,. m = Bq. y. m = C r.  Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a.  Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente) por m.. Semana Nº 7. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(38) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016 - I. ALGORITMO DE EUCLIDES PARA EL CÁLCULO DEL MCD DE DOS NÚMEROS El procedimiento se puede organizar en el siguiente esquema: Cocientes. q2 q3. q1. Cocientes Dividendo y divisor. # Mayor # Menor r1 A B. Residuos. r1. r2. q. q. r2. r3. r4 = d = MCD(A;B). r3. r4. 0. 4. 5. Ejemplo: Halle el MCD de 42 y 9. 42. 4. 1. 2. 9. 6. 3. 6. 3. 0. MCD(42 ; 9) = 3. Por lo tanto, MCD (42; 9) = 3 PROPIEDADES.  MCD  N a - 1 ; N b - 1  = N MCD(a; b) - 1 .   .  Si N = a+ k. Semana Nº 7. y. . N = b k. . , k  Z  N = MCM (a ; b) + k. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 3.

(39) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO EJERCICIOS DE CLASE N° 7 1.. José le dice a Luis: “Te regalo N canicas, siendo N la cantidad de divisores positivos comunes que tienen los números R = 242 X 423, S = 213 X 124 y T = 284 X 822 ”. Si Luis determinó correctamente el valor de N, ¿cuántas canicas recibió? A) 24. 2.. D) 32. E) 28. B) 80. C) 20. D) 25. E) 50. B) S/ 24. C) S/ 27. D) S/ 13. E) S/ 29. Al calcular el MCD de los números ̅̅̅̅̅ 𝑎5𝑏 y ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑑6, a>c, mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos 3; 2; 1 y 5, en ese orden. Si la segunda división fue realizada por exceso, halle el valor de (a.b.c.d). A) 64. 5.. C) 14. Un padre le dará a su hijo (a+b+c+d+e) soles de propina, si este encuentra ̅̅̅̅̅ ; 𝑑𝑒 ̅̅̅ ] = 2639, donde acertadamente su valor. Para ello le dice que el MCM [ 𝑎𝑏𝑐 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 y 𝑑𝑒 toman su máximo valor posible. ¿Cuánto de propina recibió el hijo? A) S/ 26. 4.. B) 36. Si el MCD (9F, 6G) = 300 y el MCD (4G, 10H) = 80, halle el máximo común divisor de 12F, 8G y 20H. A) 40. 3.. Ciclo Ordinario 2016 - I. B) 378. C) 72. D) 105. E) 48. Si T = MCD [ ⏟ 333 … 333 (4) ; 777 ⏟ … 777 (8) ], y si luego T se expresa en el sistema 420 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠. 240 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠. binario, halle la suma de sus cifras en dicho sistema. A) 120 6.. D) 60. E) 720. B) 12. C) 18. D) 21. E) 24. Don Jesús tiene tres millares de barras de jabón cuyas dimensiones son: 15; 12 y 5 centímetros. Si las guarda en cajas cúbicas, llenándolas completamente, y los jabones sobrantes lo remata a sus clientes, ¿cuánto dinero obtuvo como máximo, al vender todo a S/ 800 cada caja y a S/ 2 cada jabón sobrante? A) S/ 9840. 8.. C) 480. Si A + B = 1080; A > B y (MCM(A;B)3 = (MCD(A;B)4, halle el producto de las cifras de ( A – B ). A) 6. 7.. B) 240. B) S/ 8640. C) S/ 8940. D) S/ 10280. E) S/ 8240. Un agricultor tiene un terreno rectangular de 2185 m de largo y 943 m de ancho, el cual lo divide en un número mínimo de parcelas cuadradas del mismo tamaño y de dimensiones enteras en metros. Si colocó un poste en los vértices de cada parcela, ¿cuántos postes empleó en total? A) 3895. Semana Nº 7. B) 3936. C) 4032. D) 3990. (Prohibida su reproducción y venta). E) 4128. Pág. 4.

(40) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.. Ciclo Ordinario 2016 - I. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 18; B) = MCM (𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 18; 99B), halle el valor de (a.b). Si MCM (𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 A) 9. B) 18. C) 16. D) 20. E) 24. 10. En el sistema de base “n” el MCM del menor número de cuatro cifras y del mayor número de tres cifras resulta 777000(n). Halle el MCD [ (3n+4) ; (n2+4n+2) ]. A) 11. B) 2. C) 1. D) 10. E) 14. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 7 1.. Si el MCD de P = 42 x 24n y Q = 24 x 42n tiene 386 divisores positivos compuestos, halle la suma de las cifras de n. A) 1. 2.. C) 28. D) 42. E) 14. B) 14. C) 9. D) 10. E) 12. B) 3. C) 9. D) 12. E) 15. B) 9. C) 12. D) 8. E) 19. Si la suma de los cuadrados de dos números enteros positivos es 13968 y el MCD de dichos números es el menor número que tiene 6 divisores positivos, halle la diferencia positiva de dichos números. A) 80. 7.. B) 7. ̅̅̅̅̅̅̅; 1𝑐𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅̅; 6𝑑𝑏 ̅̅̅̅̅ ) = 14, calcule el menor valor de (a + b + c + d). Si el MCD( 3𝑎𝑎𝑏 A) 7. 6.. E) 4. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 + 1)5; ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 + 1)5; 𝑏(𝑎 Si MCM [ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏(𝑎 − 1) ]= 360 y MCD [ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 1) ] = a2, halle la 3 2 suma de las cifras del MCD( a + 3 ; b – a – 1; a.b – 6 ). A) 6. 5.. D) 3. Al calcular el MCD de dos números enteros positivos mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos 5; 1; 3 y 2 en este orden. Si el MCM de esos dos números es ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎8𝑏8, calcule la suma de las cifras del mayor de dichos números. A) 11. 4.. C) 5. Si MCD( 15a ,20b) = 140 y MCD(20a ,15b) = 210, calcule el valor del MCD(a, b). A) 35. 3.. B) 2. B) 56. C) 60. D) 54. E) 50. Si F – G = 60; MCM (F ; G) = 21. MCD (F ; G) y F representa a un número de tres cifras, halle (F + G). A) 150. Semana Nº 7. B) 66. C) 84. D) 85. (Prohibida su reproducción y venta). E) 120 Pág. 5.

(41) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I 8. Luisa le dice a María: “Te doy ( a + b ) soles si hallas correctamente su valor”. ̅̅̅̅̅; 𝑏𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅ ) = 9243. ¿Cuánto dinero recibió María Para ello te digo que el MCM ( 𝑎𝑎𝑏 luego de cumplir el pedido de Luisa? A) S/ 7 9.. B) S/ 9. C) S/ 10. D) S/ 6. E) S/ 8. Rosita va al mercado y compra piñas, sandías y melones. Cada piña cuesta S/ 6, cada sandía S/ 18 y hay melones de S/ 8 y S/ 9. Si Rosita gastó una misma cantidad de dinero al comprar cada tipo de fruta pagando lo mínimo posible, ¿cuántas frutas compró en total? A) 25. B) 12. C) 6. D) 8. E) 17. 10. Jorge compró 150 kg de azúcar de S/ 2,20 el kg y 100 kg de arroz de S/ 3,20 el kg. Si envasó todo en bolsas y cada bolsa la vendió a un mismo precio, el mayor posible, ganando el 20% del costo, halle la diferencia positiva entre el número de bolsas de azúcar y arroz que vendió. A) 3. Semana Nº 7. B) 1. C) 2. D) 5. (Prohibida su reproducción y venta). E) 4. Pág. 6.

(42) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética NÚMEROS RACIONALES Definición (Números Racionales) El conjunto de los números racionales, que denotaremos por Q , está formado por a todos los números de la forma , donde a y b son números enteros, con b  0 . Es b decir, a  Q =  / a,bZ  b  0  b  Ejemplo:. 1 3 ; - ; - 7;... 2 5. Definición (Números Irracionales) El conjunto de los números Irracionales, que denotaremos por I , está formado por a todos los números que no tienen la forma , donde a y b son números enteros, con b b  0 . Es decir,. a   I = x / x  con a,bZ  b  0  b   Ejemplo:. 2 ; - 5 ; π ; .... Definición (Fracción). a , donde a y b son números b enteros positivos. Es decir, el conjunto de las fracciones se define como Una fracción se define como un número de la forma. a  Fr =  / a,bZ  b  Notación: “a” se llama “numerador” de la fracción “b” se llama “denominador” de la fracción CLASES DE FRACCIONES: 1.- Fracción Propia: Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador (a < b) esta clase de fracciones son menores que la unidad, es decir,. a <1 b Semana Nº 8. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(43) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ejemplo:. Ciclo Ordinario 2016-I. 1 4 3 ; ; ; ... 2 120 7. 2.- Fracción Impropia: Es aquella fracción que no es propia, es decir que el numerador es mayor que el denominador (a > b) esta clase de fracciones son mayores que la unidad, es decir,. Ejemplo:. a >1 b. 4 1000 7 ; ; ; ... 3 7 3. 3.- Fracción Aparente: Es aquella fracción donde el denominador es igual a la unidad (b = 1), esto quiere decir que las fracciones aparentes son todos los números enteros positivos o aquellas fracciones que se reduzcan a un número entero positivo.. a= Ejemplo: 1; 2; 3;. 16 ;… 8. a 1. 4.- Fracción Irreducible: Es aquella fracción donde sus términos no se “reducen”, esto significa que sus términos no deben tener divisores comunes diferentes de la unidad, es decir ,sus términos deben ser PESI. Ejemplo:. 3 16 1345 ; ; ; ... 4 17 1344. Observación:. 44 no es irreducible puesto que esta se puede “reducir” o “simplificar” a 36 11 la fracción 9 La fracción. 5.- Fracción Decimal: Esta clase de fracciones tienen en su denominador potencias de 10. Es decir. a 10n. Observación: Diremos que dos fracciones son equivalentes, esto es, cumple que a.d = b.c. a c = , si se b d. Esto también se puede interpretar de la siguiente manera a c =  a = ck  b = dk ; k  Z + b d. Propiedades:. Semana Nº 8. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(44) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 1.- Si. Ciclo Ordinario 2016-I. a a a +k < 1⇒ < , ∀k ∈ Z + b b b +k. 2.- Si la suma de dos fracciones irreducibles resulta un número entero positivo, entonces las fracciones son homogéneas. Es decir, dadas las fracciones irreducibles a c y se cumple: b d a c  = k  k  Z+  b d. 3.- Dadas las fracciones irreducibles. b=d. a c y se cumple que: b d.  a c  MCD(a,c ) MCD  ,  =  b d  MCM(b,d ). ∧. a c MCM(a,c ) MCM ,  = b d MCD(b,d ). EJERCICIOS DE CLASE N° 8 1.. Si el producto de los términos de una fracción equivalente a 4/11 tiene 14 divisores positivos, calcule la suma de los términos de dicha fracción. A) 75. 2.. 5.. 6.. D) 90. E) 30. 803 , tal que la suma de sus términos sea 657 divisible por 65 y, además, dicha suma esté comprendida entre 1600 y 2000. B) 1001/234. C) 934/523. D) 908/252. E) 947/821. ¿Cuántas fracciones irreductibles comprendidas entre 88/23 y 89/29 son tales que uno de sus términos excede en una unidad al triple del otro? A) 16. 4.. C) 45. Determine una fracción equivalente a. A) 1001/819 3.. B) 60. B) 12. C) 13. D) 11. E) 14. Si N es un número entero positivo menor que 100, ¿cuántas fracciones de la forma (N  2)2 + 16(N  2) + 28 son irreducibles? N+3. A) 60. B) 62. C) 64. D) 66. E) 68 ab Si ab es un número primo, ¿cuántas fracciones de la forma existen y que estén 221 8 2 comprendidas entre y ? 13 17 A) 16. B) 17. C) 12. D) 15. E) 14. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles de denominador 720, existen? A) 64. Semana Nº 8. B) 192. C) 221. D) 222. (Prohibida su reproducción y venta). E) 219. Pág. 3.

(45) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.. Ciclo Ordinario 2016-I. Calcule la suma de todas las fracciones equivalentes a sea de tres cifras y el denominador de cuatro cifras. A). 8.. 576 107. B). 768 214. C). 704 107. D). 1920 tales que el numerador 6420. 960 321. E). 24 321. José vendió los 3/8 de los libros que compró, perdiendo 1/3 de su costo. Si desea recuperar su capital, ¿qué fracción del costo debe ganar al vender lo restante? A). 9.. 1 6. B). 1 3. C). 4 5. D). 1 4. E). 1 5. Los grifos A y B juntos llenan un depósito en 2 horas 24 minutos. Funcionando individualmente, A llena el depósito en dos horas menos que B. ¿En cuántas horas llena B el depósito solo? A) 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 3. 10. Una tela cuyo largo mide L cm, se divide a lo largo en tres partes desiguales, la primera es menor que L/5, la segunda menor que L/4 y la tercera mide 56 cm. Si L es múltiplo de 3, halle la suma de las cifras del mayor valor que puede tomar L. A) 3. B) 12. C) 9. D) 18. E) 6. EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 8 1. .. 2.. Sea el número L  1225  13n . Si la fracción suma de los términos de dicha fracción. A) 66. C) 99. D) 77. E) 55. O a una fracción equivalente a 65/117 tal que a + b = 35 y la diferencia de a y b b está comprendida entre 190 y 210. Halle el valor de a.. Sea. A) 250 3.. B) 88. CD(39L) 8 es equivalente a , calcule la CD(L) 3. B) 100. C) 125. D) 300. E) 150. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles existen; cuyo denominador cumple que es menor que 434 y al ser dividido entre 10, 13 y 19 deja por residuo 4, 5 y 0 respectivamente? A) 69. Semana Nº 8. B) 92. C) 118. D) 128. (Prohibida su reproducción y venta). E) 144. Pág. 4.

(46) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.. Ciclo Ordinario 2016-I. Si k  Z además 1 < k < 1990, además los términos de la fracción PESI, ¿cuántos valores de “k” cumplen? A) 90. 5.. B) 296. C) 364. D) 256. E) 288. B) 24. C) 30. D) 28. E) 26. B) 304. C) 288. D) 264. E) 280. Un tanque puede ser llenado por un caño en 15 minutos y vaciado por otro caño en 40 minutos. Estando vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque, si ambos caños se abren en forma simultánea? A) 22 min.. 9.. E) 3. ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 30 existen, tal que el numerador está entre 119 y 1231? A) 296. 8.. D) 105. La suma de dos fracciones irreductibles es 5. Si la suma de sus denominadores es 14 y la diferencia de sus numeradores es 9, calcule la suma de los divisores primos del producto de sus numeradores. A) 38. 7.. C) 86. ¿Cuántas fracciones impropias, irreducibles de numerador 640 existen? A) 144. 6.. B) 104. k2  7 no son k4. B) 23 min.. C) 26 min.. D) 25 min.. E) 24 min.. El agua contenida en un tanque se agotó en 3 horas. En cada hora el nivel del agua bajó la mitad de su altura, más dos centímetros. Determine la altura inicial, en centímetros, que tenía el nivel del agua. A) 26cm.. B) 12cm.. C) 28cm.. D) 32cm.. E) 16cm.. 10. Después de partir un pastel, Sandra se quedó con los 2/3 mientras que Verónica se quedó con 1/3. Para evitar que su amiga se enojara, Sandra cortó 1/4 de su porción y se lo dio a Verónica. En este momento: A) Sandra tiene 5/12 del pastel B) Sandra tiene 1/4 del pastel C) Sandra tiene 7/12 del pastel D) Sandra tiene 1/2 del pastel E) Sandra tiene 1/3 del pastel. Semana Nº 8. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 5.

(47) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA. CENTRO PREUNIVERSITARIO. Aritmética SEMANA N° 9 FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO AVAL 1. AVAL EXACTO K cifras     ab... x (n) ab... x (n) 0, abc... x (n)   nK 100 ... 0    (n ). .. " k ceros". Ejemplo:. 42 21 0,42   100 50. 2. AVAL PERIÓDICO PURO. 0, abc x (n )   ...   K cifras. abc... x (n) abc... x (n)  nK  1 (n  1) (n  1) ... (n  1)   (n ) "k cifras". Ejemplo: 0,3333. . . = 0, 3 =. 3 1  9 3. Ejemplo : 1,7373. . . = 1,73 =. 173  1 172  99 99. 3. AVAL PERIÓDICO MIXTO. 0,a1a2 ...aKb1b2...bm (n). Semana Nº 9. a1a2 ...aKb1b2 ...bm   a1a2 ...aK    (n)   (n)  nK (nm  1). (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 1.

(48) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. . Ciclo Ordinario 2016-I.  a1a2 ...aK b1b2 ...bm    a1a2 ...aK   (n)   ( n) (n  1)(n  1) ...(n  1) 00 ... 0 " m cifras ". Ejemplo:. 0,2131313. . . = 0,213 =. " k ceros ". 213  2 211  990 990. RECONOCER EL DECIMAL A PARTIR DE SU FRACCIÓN GENERATRIZ. Sea f . a fracción irreducible b. 1) Si b = 2p x 5q con p y q no nulos a la vez. El número decimal correspondiente es exacto. # cifras decimales de f = Mayor exponente de 2 y 5 = máx. {p ; q} Ejemplo:.  f. 21 21  4  0,0525 400 2  52. # cifras decimales = máx. { 4; 2} = 4. Por lo tanto, f tiene cuatro cifras en la parte decimal. Regla de los 9:. Nivel:. 9 = 32. Representantes 1. 3. 99 = 32 x 11. 2. 11. 999 = 33 x 37. 3. 27. 9999 = 32 x 11 x 101. 4. 101. 99999 = 32 x 41 x 271. 5. 41. = 33 x 7 x 11 x 13 x 37. 6. 7. = 32 x 239 x 4649. 7. 239 y 4649. = 32 x 11 x 73 x 101 x 137. 8. 999999 9999999 99999999. 73. y. 9. y. 37. y 271 y. y. 13. 137. Obs: El nivel se considera de arriba hacia abajo.. Semana Nº 9. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 2.

(49) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. Ejemplo: El nivel del 11 es 2 (dos), pues se encuentra por primera vez como factor de 99 (dos nueves); así como el nivel del 37 es 3 y no 6, pues el 37 aparece por primera vez como factor de 999 (tres nueves), etc. 2) Si b se descompone en factores primos diferentes a 2 y/o 5 Supongamos que b = r x … x s. donde r,…,s son PESI con 2 y 5, entonces el. número decimal correspondiente es periódico puro; por lo tanto # Cifras del periodo de f = MCM {nivel (r);…; nivel (s)}. Ejemplo 01:. 1  0, 142857 7 # Cifras del periodo = nivel (7) = 6. Luego, f tiene 6 cifras en su periodo. Ejemplo 02:. 1  0, 003484320557491289198606271777 7  41 # Cifras del periodo de f = MCM {nivel (41); nivel (7)} = MCM {5; 6} = 30. Por lo tanto, f tiene 30 cifras en su periodo. 3) Si b tiene factores primos 2 y/o 5, y otros factores PESI con 2 y/o 5. Supongamos que b = 2p x 5q x r x … x s con p y q no nulos a la vez donde r,…,s son PESI con 2 y 5, entonces el número decimal correspondiente es periódico mixto; por lo tanto: # cifras de la parte no periódica de f = Mayor exponente de 2 y 5 = máx. {p ; q} # Cifras de la parte periódica de f = MCM {nivel (r);…; nivel (s)}. Ejemplo: f=. 7 = 0,000072765 2 ×5 ×37×13 3. 2. # Cifras parte no periódica de f = máx. { 3; 2} = 3. #Cifras de parte periódica de f = MCM {nivel (37); nivel (13)} = MCM {3; 6} = 6 Semana Nº 9. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 3.

(50) UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO. Ciclo Ordinario 2016-I. TEOREMA DE MIDY(1836): Sea p  2, 5 un número primo y 0 < a < p talque. a = 0,c1c 2 ...c nc n 1...c 2n 1c 2 n entonces c1c 2 ...c n +c n 1...c 2n 1c 2n  99...99 . p n cifras Obs: c j + cn+j = 9,  j =1,2,...,n.. Semana Nº 9. (Prohibida su reproducción y venta). Pág. 4.