UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
EXTENSIÓN LATACUNGA
Rómulo Mauricio Navarrete Villafuerte
Ingeniería Electrónica e Instrumentación, Quinto, Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.
e-mail: [email protected] [email protected]
Fecha de presentación: 10 de febrero del 2015
REPRESENTACIÓN DE SI STEMAS DISCRETOS EN CELOSÍA
RESUMEN
En el procesamiento digital de señales es común utilizar un tipo de estructura de filtro en el cual se pueda analizar y modelar la señal en base a sus características, estas prestaciones nos brinda la representación celosía, este filtro analiza los coeficientes de reflexión y el análisis hacia adelante y hacia atrás para analizar la señal través de él. Estas estructuras son muy complejas entenderlas debido a su extenso uso y propiedades que la conforman es por ellos que en el presente documento presentamos otra estructura de filtro FIR denominada realización en celosía. El uso de los filtros en celosía está muy extendido en las aplicaciones de tratamiento de voz y en la implementación de filtros adaptativos.
ABSTRACT
In digital signal processing is common to use a type of filter structure in which to analyze and model the signal based on their characteristics, these benefits gives us the lattice representation, this filter analyzes the reflection coefficients and analysis to and forth to analyze the signal through it. These structures are very complex to understand due to their widespread use and properties that comprise it is for them that in this paper we present another FIR filter structure called lattice realization. Using lattice filters are widely used in the treatment of voice applications and implementation of adaptive filters.
PALABRAS CLAVE
Filtro Lattice Sistema
INTRODUCCIÓN
La estructura en celosía, ampliamente utilizada en el procesamiento de voz, se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Se analizarán 3 casos: sistema todo-ceros (MA), sistema todo-polos (AR), y sistema con ceros y polos (ARMA).
DESARROLLO
1. GENERALIDAD DE CELOSÍA
VENTAJAS
Número reducido de coeficientes permite que grandes bloques de datos puedan ser
modelados en tiempo real.
USOS COMUNES
• Procesamiento digital de señales de voz.
• Filtros adaptativos.
• Tratamiento de señales geofísicas
2. CELOSÍA FIR
Dado un filtro FIR con función de transferencia:
𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧−𝑘 𝑀
𝑘=0
Se puede definir un conjunto de filtros:
𝐴𝑚(𝑧) = ∑ 𝑎𝑚(𝑘)𝑧−𝑘 𝑚 𝑘=0 para 𝑚 ≥ 1 y 𝑎𝑚(0) = 1. Entonces 𝐻(𝑧) = 𝐴𝑀(𝑧). La respuesta impulsional es: ℎ𝑚(0) = 1, … , ℎ𝑚(𝑘) = 𝑎𝑚(𝑘)
Para este conjunto de filtros en el dominio temporal será: 𝐴𝑚(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + ∑ 𝑎𝑚(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑚 𝑘=1 Para un filtro de orden 1: m=1
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑎1(1)𝑥(𝑛 − 1) Se considera la siguiente estructura:
La ecuación es la siguiente:
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑘1𝑥(𝑛 − 1)
Si 𝑘1 = 𝑎1(1) esta estructura representa al filtro de orden 1.
Si se consideran dos etapas en cascada: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑘1(1 + 𝑘2)𝑥(𝑛 − 1) + 𝑘2(𝑥 − 2) Luego: 𝑎2(2) = 𝑘2, 𝑎2(1) = 𝑘1(1 + 𝑘2) Al calcular 𝑔2(𝑛) = 𝑘2𝑥(𝑛) + 𝑘1(1 + 𝑘2)𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛 − 2).
Los valores 𝑘𝑖 se denominan coeficientes de
reflexión.
En general para un sistema de M bloques:
Dado que 𝐹𝑚(𝑧) = 𝐴𝑚(𝑧)𝑋(𝑧) y 𝐺𝑚(𝑧) = 𝐵𝑚(𝑧)𝑋(𝑧) se puede obtener la relación:
𝐴𝑚−1(𝑧) = 𝐴𝑚(𝑧) − 𝑘𝑚𝐵𝑚(𝑧) 1 − 𝑘𝑚2 𝐵𝑚(𝑧) = 𝑧−𝑚𝐴𝑚(𝑧−1), 𝑎𝑚(𝑚)
= 𝑘𝑚, 𝑎𝑚(0) = 1 Que permiten obtener los coeficientes de reflexión a partir de H(z).
Para obtener la expresión de H(z) conocidos los coeficientes de reflexión utilizaremos las expresiones:
𝐴𝑚(𝑧) = 𝐴𝑚−1(𝑧) + 𝑘𝑚𝑧−1𝐵𝑚−1(𝑧)
𝐵𝑚(𝑧) = 𝑧−𝑚𝐴𝑚(𝑧−1) 𝐵0(𝑧) = 𝐴0(𝑧) = 1
3. CELOSÍA IIR
Dada la función de transferencia de un sistema todo polos:
𝐻(𝑧) = 1 𝐴𝑁(𝑧) La ecuación en diferencias será:
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + ∑ 𝑎𝑁(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑁
𝑘=1
que es un sistema FIR del que ya se conoce la relación entre la función de transferencia y los coeficientes de reflexión.
Si se utilizan las ecuaciones de la celosía FIR y se intercambian entrada y salida se obtienen las ecuaciones siguientes para la celosía IIR todo polos:
𝑥(𝑛) = 𝑓𝑁(𝑛)
𝑓𝑚−1(𝑛) = 𝑓𝑚− 𝑘𝑚𝑔𝑚−1(𝑛 − 1) 𝑔𝑚(𝑛) = 𝑘𝑚𝑓𝑚−1(𝑛) + 𝑔𝑚−1(𝑛 − 1)
𝑦(𝑛) = 𝑓0(𝑛) = 𝑔0(𝑛)
Si se tienen en cuenta estos cambios en la estructura, se obtiene el diagrama de bloques que se muestra a continuación:
En el diagrama se observa claramente la realimentación del sistema a través de las señales 𝑔𝑖(𝑛) propia de los sistemas recursivos.
Los coeficientes de reflexión son idénticos a los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el diagrama se ordenan en orden inverso. La estabilidad de filtro IIR solo polos está garantizada si |𝑘𝑚| < 1 (test de estabilidad de Schur-Cöhn).
Este tipo de filtros se ha utilizado para modelar el tracto vocal, en este sentido, 𝑘𝑚 representa la reflexión del sonido en cada una de las diferentes cavidades que lo forman.
4. CELOSÍA ESCALONADA
La estructura en celosía escalonada, celosía en escalera o lattice-ladder proporciona una estructura para la representación de sistemas que tienen ceros y polos.
Se considera un sistema general ARMA: 𝐻(𝑧) =𝐶𝑀(𝑧)
𝐴𝑁(𝑧) 𝑀 < 𝑁
Si se utiliza una variable intermedia: 𝐻(𝑧) =𝑌(𝑧)𝑊(𝑧) 𝑊(𝑧)𝑋(𝑧)= 𝐶𝑀(𝑧) 𝐴𝑁(𝑧) 1 𝐴𝑁(𝑧)= 𝑊(𝑧) 𝑋(𝑧) 𝐶𝑀(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑊(𝑧)
Las ecuaciones en diferencias serán:
𝑤(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑁(𝑘)𝑤(𝑛 − 𝑘) + 𝑥(𝑛) 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛) = ∑ 𝐶𝑀(𝑘)𝑤(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=1
En un filtro IIR todo polos se ha visto que 𝑔𝑚(𝑛) es una combinación lineal de las salidas actual y anteriores, además
𝐺𝑚(𝑧)
𝑌(𝑧) = 𝐵𝑚(𝑧)
Cualquier otra combinación de 𝑔𝑚(𝑛) seguirá siendo un sistema todo ceros. Considerando: 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑣𝑚𝑔𝑚(𝑛) 𝑀 𝑚=0 Finalmente se obtiene: 𝐶𝑀(𝑧) = ∑ 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧) 𝑀 𝑚=0
que se puede escribir de forma recursiva como:
𝐶𝑚−1(𝑧) = 𝐶𝑚(𝑧) − 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧), siendo 𝑣𝑚 = 𝑐𝑚(𝑚)
En resumen para obtener la estructura en celosía ARMA, se calculan los coeficientes de reflexión como en los casos anteriores, considerando un sistema todo polos, y posteriormente se calculan los coeficientes 𝑣𝑚 con la expresión anterior.
La estructura resultante es la siguiente:
EJERCICIOS
EJEMPLO 1:
Obtenga los coeficientes de reflexión correspondientes al filtro FIR con función de transferencia 2 1 2 7 2 ) (z z z H
Para aplicar la recursión descendente mediante la que se obtendrán los coeficientes en celosía, también
denominados coeficientes de reflexión, el coeficiente am (0) debe definirse como 1 por conveniencia matemática, luego tomaremos: ) ( ' . 2 ) (z H z H 2 1 2 1 4 7 1 ) ( ' z z z H
Así, obtendremos los coeficientes en celosía de H'(z) y aplicaremos un factor de ganancia 2 a la salida de la estructura resultante.
Otra peculiaridad que debe tenerse en cuenta es que, en el caso de que K2(0) hubiera sido 1, nos hubiéramos encontrado con K2= - 1 = α2(2).
Ha de tenerse presente que siempre que un parámetro de celosía es Km 1 es una indicación de que el polinomio Am-1 (z) tiene una raíz en la circunferencia de radio
unidad. Así, siempre que se obtiene un parámetro de celosía Km 1 se rompe la ecuación recursiva y no se podrá seguir la recursividad descendente.
En estos casos, dicha raíz puede ser factorizada y extraída de Am-1 (z), continuando el proceso iterativo para el sistema de orden reducido. Siguiendo con el caso que nos ocupa, dado H'(z) tenemos que los polinomios A2(z) y B2(z) se definen como 2 1 2 2 1 4 7 1 ) (z z z A 2 1 2 4 7 2 1 ) (z z z B
Por tanto, K2 =α2(2) = - 1/2. Siguiendo con la ecuación recursiva descendente tenemos que: 2 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( K z B K z A z A
4 1 1 4 7 2 1 2 1 2 1 4 7 1 1 2 1 2 z z z z 1 2 7 1 z
Y por lo tanto K1=-7/2. La representación final del diagrama de bloques de H(z) según una estructura de celosía se representa en la Figura, cabe remarcar en esta realización el factor de ganancia dos de la salida del mismo.
EJEMPLO 2:
Considere un sistema IIR causal con función de transferencia: 𝐻(𝑧) = 1 + 1 2 𝑧−1+ 2𝑧−2 1 +5336 𝑧−1+13 12 𝑧−2+ 1 3 𝑧−3 El sistema tiene la forma:
𝐻(𝑧) = 𝐶2(𝑧) 𝐴3(𝑧)
Para obtener los parámetros en celosía del sistema, se divide al problema en obtener los coeficientes de celosía del sistema todo polos 1/𝐴3(𝑧) que se tomará como bloque básico de construcción, dado que el sistema todo-ceros es una combinación lineal de salidas retardadas del sistema todo-polos, las funciones 𝐵𝑚(𝑧).
En primer lugar se deben calcular los coeficientes en celosía de:
𝐻′(𝑧) = 1 1 +5336 𝑧−1+13 12 𝑧−2+ 1 3 𝑧−3 𝐾1 = 3 4 𝐾2 = 2 3 𝐾3 = 1 3
Y las funciones intermedias 𝐵𝑚(𝑧) , que serían usadas para el cálculo de los parámetros 𝑣𝑚(𝑧) son: 𝐵3(𝑧) = 1 3+ 13 12𝑧 −1+53 36𝑧 −2+ 𝑧−3 𝐵2(𝑧) =2 3+ 5 4𝑧 −1+ 𝑧−2 𝐵1(𝑧) =3 4+ 𝑧 −1
Ahora se pueden calcular los parámetros de la escalera mediante la ecuación recursiva descendente
𝐶𝑚−1(𝑧) = 𝐶𝑚(𝑧) − 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧) Sabiendo que 𝐶𝑚(𝑚) = 𝑣𝑚 . De 𝐶2(𝑧) se tiene que:
𝐶2(2) = 2 = 𝑣2
Con este parámetro y las funciones 𝐶2(𝑧) y 𝐵2(𝑧) se puede realizar la recursión descendente: 𝐶1 = (1 +1 2𝑧 −1+ 2𝑧−2) − 2 (2 3+ 5 4𝑧 −1+ 𝑧−2) 𝐶1 = −1 3− 2𝑧 −1
De donde se desprende: 𝐶1(1) = −2 = 𝑣1
Continuando con la recursión descendente una vez más se obtiene:
𝐶0 = (−1 3− 2𝑧 −1) + 2 (3 4+ 𝑧 −1) 𝐶0 = 7 6
Con lo que finalmente 𝑣0 = 𝐶0(0) = 7 6. La estructura del sistema viene representada por:
CONCLUSIONES
Las estructuras en celosía tanto FIR como IIR se caracterizan por los mismos coeficientes de reflexión, diferenciándose únicamente en su diagrama.
Los algoritmos de conversión de parámetros entre el sistema en forma directa 𝑏𝑚(𝑘) de un sistema FIR y los parámetros de la estructura en celosía, 𝑘𝑖, se aplican también a la estructura sólo polos.
Una etapa de la estructura en celosía de filtro FIR está compuesta por dos líneas, una Directa y la otra con retardo donde un sumador en cada línea adiciona la señal proveniente de la otra, ponderadapor una ganancia. Cada línea tiene una entrada y una salida propia.
REFERENCIAS
Realización de sistemas en tiempo discreto. Disponible en
http://ocw.uv.es/ingenieria-y-
arquitectura/filtros-digitales/tema_5_realizacion_de_siste mas_en_tiempo_discreto.pdf
Soria Olivas E., Martínez Sober M., Francés Villora J., Camps Valls G. Tratamiento Digital de Señales. Capítulo 4