1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura:

Algebra Lineal

Carrera:

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Clave:

ACF-0903

Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos:

3 - 2 - 5

TEMARIO

U N I D A D

1

RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA

U N I D A D

1

Números Complejos.

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.

U N I D A D

1

Números Complejos.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de

raíces de un número complejo.

U

NA APLICACIÓN DE LA

FÓRMULA DE

M

OIVRE

La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas

trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre

y el desarrollo del binomio de Newton

De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en función del seno y del coseno de



Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos

Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una expresión para

R

AÍCES N

-

ÉSIMAS DE UN

NÚMERO COMPLEJO

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, .

Por tanto, , y además, , o sea,

, para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un

número complejo.

Potencia.

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará

con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z·z·..(n veces)..·z = (r_x)·(r_x)·..(n veces)..·(r_x) = (r·r·..(n veces)..·r)_x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x

(rx)n = (rn)n·x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x) De donde:

cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :

cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x +

(43)·cos x·i3·sen3x + (44)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x

+ sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6·cos2x·sen2x + sen4x sen 4x = 4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x

Raíz n-ésima de un núnero complejo.

Raíz n-ésima.

Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número

complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:

(sn)n·y = rx ==>

sn = r

==> s = r

1/n

n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz

n-ésima de z.

Teorema.

Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración.

Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n

e y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z.

de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.

Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es: t = p·n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.

Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:

y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·pi

De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk

que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,...,n-1}.

c.q.d.

En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la

siguiente manera:

 El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.

 El argumento viene dado por la fórmula:

y = (x + 2·k·pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,...,n-1

Resolver los siguientes problemas

1) Calcule la potencia de

5

)

1

(



i

a)



4



4

i

b)



6



14

i

c)



14



14

i

d)



24



24

i

e)



34



24

i

2) Calcular la potencia de

20

)

1

(



i

a) -1024

b) 1234

c) 2345

d) 3487

e) 2354

3) Calcular la potencia

6

)

3

(



i

a) -64

b) 34

c) 56

d) 39

e) 0

4) Calcular la potencia

6

)

1

(



i

a)



8

i

b)



10

i

c)

9

i

d)



18

i

e)

8

i

5) Calcular la potencia

3

)

7

2

(



i

a)

(



286

.

68



i

258

.

13

)

b)

(



346

.

68



i

458

.

13

)

c)

(



456

.

68



i

348

.

13

)

d)

(



586

.

68



i

648

.

13

e)

(



666

.

68



i

758

.

13

)

Bibliografía propuesta

Grossman Stanley J.

Álgebra Lineal

Mc. Graw-Hill

Murria R. Spiegel

Variables Complejas (Series Schaum)

Mc. Graw-Hill