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1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

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Academic year: 2021

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(1)

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura:

Algebra Lineal

Carrera:

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Clave:

ACF-0903

Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos:

3 - 2 - 5

EN EL ESTADO DE CAMPECHE

TEMARIO

U N I D A D

1

RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA

(2)

U N I D A D

1

Números Complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.

(3)

U N I D A D

1

Números Complejos.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de

raíces de un número complejo.

U

NA APLICACIÓN DE LA

FÓRMULA DE

M

OIVRE

La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas

trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre

y el desarrollo del binomio de Newton

De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en función del seno y del coseno de

, bastará con considerar por un lado la fórmula de Moivre

(4)

Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos

Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una expresión para

R

AÍCES N

-

ÉSIMAS DE UN

NÚMERO COMPLEJO

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, .

Por tanto, , y además, , o sea,

, para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

(5)

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

(6)

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un

número complejo.

Potencia.

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará

con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x

(7)

(rx)n = (rn)n·x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x) De donde:

cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :

cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x +

(43)·cos x·i3·sen3x + (44)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x

+ sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6·cos2x·sen2x + sen4x sen 4x = 4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x

Raíz n-ésima de un núnero complejo.

Raíz n-ésima.

Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número

complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:

(sn)n·y = rx ==>

sn = r

==> s = r

1/n

n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz

n-ésima de z.

Teorema.

Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración.

Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n

e y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z.

(8)

de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.

Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es: t = p·n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.

Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:

y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·pi

De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk

que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,...,n-1}.

c.q.d.

En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la

siguiente manera:

 El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.

 El argumento viene dado por la fórmula:

y = (x + 2·k·pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,...,n-1

Resolver los siguientes problemas

1) Calcule la potencia de

5

)

1

(

i

a)

4

4

i

b)

6

14

i

c)

14

14

i

d)

24

24

i

(9)

e)

34

24

i

2) Calcular la potencia de

20

)

1

(

i

a) -1024

b) 1234

c) 2345

d) 3487

e) 2354

3) Calcular la potencia

6

)

3

(

i

a) -64

b) 34

c) 56

d) 39

e) 0

(10)

4) Calcular la potencia

6

)

1

(

i

a)

8

i

b)

10

i

c)

9

i

d)

18

i

e)

8

i

5) Calcular la potencia

3

)

7

2

(

i

a)

(

286

.

68

i

258

.

13

)

b)

(

346

.

68

i

458

.

13

)

c)

(

456

.

68

i

348

.

13

)

d)

(

586

.

68

i

648

.

13

(11)

e)

(

666

.

68

i

758

.

13

)

Bibliografía propuesta

Grossman Stanley J.

Álgebra Lineal

Mc. Graw-Hill

Murria R. Spiegel

Variables Complejas (Series Schaum)

Mc. Graw-Hill

Referencias

Documento similar