DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [1] FACULTAD DE INGENIERÍA SEMANA 01: INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
1. Resolver las siguientes inecuaciones: a)
x
24 3
x
Solución24 3
x
x
x
x
3
24
x
2
24
x
12
12
;
.
.S
C
b)2
2
6
4
x
Solución2
2
6
4
x
24
2
2
x
26
2
x
13
x
13
;
.
.S
C
c)2
4
33
2
x
x
x
Solución33
4
2
2
x
x
x
33
2
8
4
x
x
x
33
2
11
x
11
66
x
6
x
6
;
.
.S
C
d)2
2
2
1
3
3
2
2
x
x
Solución2
6
2
3
3
4
2
x
x
6
2
3
3
4
2
2
x
x
MATEMATICA BASICADEPARTAMENTO DE CIENCIAS [2] FACULTAD DE INGENIERÍA
6
36
9
8
2
4
x
x
6
19
2
3
x
3
19
3
x
9
19
x
;
9
19
.
.S
C
e)3
)
1
(
2
2
4
6
)
1
(
3
x
x
x
Solución3
2
2
6
)
4
(
3
3
3
x
x
x
3
2
2
6
12
3
3
3
x
x
x
3
2
2
6
15
6
x
x
2
2
2
15
6
x
x
)
2
2
(
2
15
6
x
x
4
4
15
6
x
x
x
10
19
x
10
19
10
19
;
.
.S
C
f))
3
2
(
2
4
4
3
)
1
2
(
4
x
x
x
Solución3
2
4
12
)
4
(
3
)
1
2
(
16
x
x
x
3
2
12
12
12
3
16
32
x
x
x
x
x
2
12
4
28
35
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [3] FACULTAD DE INGENIERÍA
)
2
12
(
4
28
35
x
x
x
x
28
48
8
35
x
x 8
35
28
48
x
43
76
x
43
76
43
76
;
.
.S
C
g) 2 2 3)
2
(
4
)
7
(
4
)
3
2
(
x
x
x
x
)
8
12
6
(
4
28
4
9
12
4
x
2
x
x
3
x
2
x
3
x
2
x
32
48
24
4
24
4
9
12
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
32
48
9
12
x
x
60
x
41
60
x
41
60
41
x
;
60
41
.
.S
C
h)
2
3
4
x
4
Solución3
4
3
4
3
3
2
x
1
4
5
x
1
4
5
x
5
4
1
4
1
x
4
5
4
1
x
4
5
;
4
1
.
.S
C
i)3
1
4
1
3
5
1
x
Solución3
1
4
1
3
5
1
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [4] FACULTAD DE INGENIERÍA
4
1
3
1
4
1
4
1
3
4
1
5
1
x
12
7
3
20
1
x
36
7
60
1
x
36
7
;
60
1
.
.S
C
2. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas:
a)
x
2
4
x
4
0
Solución
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 2)2> 0
Igualando a cero la expresión cuadrática (𝑥 − 2)2= 0 , se tiene como punto crítico 𝑥 = 2 de
multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:
Considerando el punto crítico 2 abierto, por ser la desigualdad estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; por lo tanto:
CS: ℝ − {2}.
b)
x
2
2
x
1
0
Solución
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 + 1)2≥ 0
Igualando a cero la expresión cuadrática (𝑥 + 1)2= 0 , se tiene como punto crítico 𝑥 = −1 de
multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:
Considerando el punto crítico -1 cerrado, por ser la desigualdad no estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; por lo tanto:
CS: ℝ.
+
+
−∞
2
+∞
+
−∞
-1
+∞
+
+
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [5] FACULTAD DE INGENIERÍA
c)
24
x
4
x
1 0
Solución
En primer lugar multiplicamos por (-1) a toda la desigualdad, quedando: 4𝑥2− 4𝑥 + 1 ≤ 0
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (2𝑥 − 1)2≤ 0
Igualando a cero la expresión cuadrática (2𝑥 − 1)2= 0 , se tiene como punto crítico 𝑥 = 1/2 de
multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:
Considerando el punto crítico 1/2 cerrado, por ser la desigualdad no estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; no se ha sombreado ninguna región pues debemos buscar intervalos con el signo menos, que como podemos apreciar no hay, de esta forma la única solución es el punto pintado, es decir:
CS: {1/2}.
d)
x
2
9
6
x
Solución
En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 𝑥2− 6𝑥 + 9 < 0
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 3)2< 0
Igualando a cero la expresión cuadrática (𝑥 − 3)2= 0 , se tiene como punto crítico 𝑥 = 3 de
multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:
Considerando el punto crítico 3 abierta, por ser la desigualdad estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; no se ha sombreado ninguna región pues debemos buscar intervalos con el signo menos, que como podemos apreciar no hay, Tampoco encontramos puntos críticos pintados, es decir: CS: { }
+
+
−∞
1/2
+∞
+
+
−∞
3
+∞
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [6] FACULTAD DE INGENIERÍA
e)
x
2
13
6
x
Solución
En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 𝑥2− 6𝑥 + 13 > 0
Esta expresión no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (−6)2− 4(1)(13)
(discriminante) es ∆= −16 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad mayor que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra:
CS: ℝ.
f)
x
2
x
3
0
SoluciónLa expresión : 𝑥2− 𝑥 + 3 ≤ 0 no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆=
(−1)2− 4(1)(3) (discriminante) es ∆= −11 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata
para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad menor o igual que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra que dice que si el discriminante es negativo y el coeficiente principal positivo, la expresión cuadrática es siempre positiva, en este ejercicio nos piden que la expresión cuadrática sea menor o igual a cero, es decir algo imposible, por lo tanto:
CS: { }.
g)
x
2
2
x
5
0
SoluciónLa expresión : 𝑥2+ 2𝑥 + 5 < 0 no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (2)2−
4(1)(5) (discriminante) es ∆= −16 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad menor que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra que dice que si el discriminante es negativo y el coeficiente principal positivo, la expresión cuadrática es siempre positiva, en este ejercicio nos piden que la expresión cuadrática sea menor que cero, es decir algo imposible, por lo tanto:
CS: { }.
h)
x
2
x
72
0
SoluciónDEPARTAMENTO DE CIENCIAS [7] FACULTAD DE INGENIERÍA
Igualando a cero los factores 𝑥 + 9 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 = −9 ∨ 𝑥 = 8 de Ahora lo ubicamos en la recta real:
Nos quedamos con el intervalo que tiene signo menos pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto: CS: 〈−9; 8〉
i)
x
2
6
x
8 0
Solución
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) > 0
Igualando a cero los factores 𝑥 − 4 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 2 Ahora lo ubicamos en la recta real:
Nos quedamos con el intervalo que tiene signo más pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto: CS: 〈−∞; 2〉 ∪ 〈4; +∞〉
j)
1
2
x
3
x
2
0
Solución
En primer lugar multiplicamos por (-1) a toda la inecuación, quedando 3𝑥2+ 2𝑥 − 1 ≤ 0
Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (3𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≤ 0
Igualando a cero los factores 3𝑥 − 1 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 =13∨ 𝑥 = −1 Ahora lo ubicamos en la recta real:
Nos quedamos con el intervalo que tiene signo menos, incluyendo los extremos pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto:
CS: [−1;
1/3]
-
+
−∞
8
+∞
+
-9
+
+
-
−∞
2
4
+∞
+
+
+
−∞
1/3
+∞
+
-1
-
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [8] FACULTAD DE INGENIERÍA
k)
3
x
2
8
x
11
4
(
x
1
)
Solución
En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 3𝑥2− 8𝑥 + 11 ≥ 4𝑥 − 4 → 3𝑥2− 12𝑥 + 15 ≥ 0 → 𝑥2− 4𝑥 + 5 ≥ 0
Esta expresión no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (−4)2− 4(1)(5)
(discriminante) es ∆= −4 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad mayor que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra:
CS: ℝ.
3. Comisiones. La comisión mensual de un agente de ventas es de 15%, si vende más de $12 000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $3 000 por mes, ¿cuánto debe de vender como mínimo para acceder a dicha comisión?
Solución
Sea “x” la cantidad de dinero por las ventas realizadas. Entonces,
3000
15
,
0
x
15
300000
x
000
20
x
Respuesta.El vendedor debe vender como mínimo $20 000 por mes para obtener una comisión de al menos de $3 000. 4. Ganancias. Para una compañía que fabrica pantalones, el costo variable (mano de obra y material) es $10
por pantalón. El costo fijo (el costo sin importar la producción) es de $80 000. Si el precio de venta de un pantalón es de $30, ¿Cuál es el mínimo número de pantalones que debe vender para que la compañía obtenga ganancias?
Solución
Sea “x” la cantidad de pantalones fabricados y vendidos. Recordando que:
El costo total es el costo variable más el costo fijo. Es decir:
000
80
10
x
C
T El Ingreso es el precio unitario por la cantidad vendida. Es decir:
x
I
30
Ganancia se obtiene cuando el ingreso es mayor que el costo total. Es decir: T
C
I
000
80
10
30
x
x
000
80
10
30
x
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [9] FACULTAD DE INGENIERÍA
000
80
20
x
000
4
x
Respuesta.La cantidad mínima de pantalones que se debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 4 001 unidades.
5. Ganancias. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $ 19,95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $ 12,92. Los costos fijos mensuales son de $ 8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos como mínimo debe fabricar y vender el fabricante para obtener ganancias?
Solución
Sea “x” la cantidad de cartuchos fabricados y vendidos. Ingreso:
x
I
19
,
95
Costo total:8000
92
,
12
x
C
T Utilidad: TC
I
U
La ganancia es:0
I
C
TU
0
)
8000
92
,
12
(
95
,
19
x
x
0
8000
92
,
12
95
,
19
x
x
8000
03
,
7
x
03
,
7
8000
x
98
,
1137
x
Respuesta.La cantidad mínima de cartuchos que se debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 1 138 unidades.
6. Ganancias. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben producirse y venderse de modo que la compañía obtenga ganancias?
Solución
Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 10 000 unidades. Es decir:
000
10
x
Costo unitario de publicación: $1,5, entonces el costo total es:
C
T
1
,
5
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [10] FACULTAD DE INGENIERÍA
Ingreso de publicidad:
I
2
10
%[
1
,
4
(
x
10
000
)]
Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:
T
C
I
I
1
2
x
x
x
10
%[
1
,
4
(
10000
)]
1
,
5
4
,
1
x
x
x
0
,
1
[
1
,
4
(
10000
)]
1
,
5
4
,
1
x
x
x
0
,
14
(
10000
)
1
,
5
4
,
1
x
x
x
0
,
14
1400
1
,
5
4
,
1
x
x
1400
1
,
5
54
,
1
1400
5
,
1
54
,
1
x
x
1400
04
,
0
x
04
.
0
1400
x
000
35
x
Respuesta.La cantidad mínima que se debe reproducir y vender para obtener ganancias es de 35 001 revistas.
7. Ganancias. La editorial AMAUTA S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestión es de S/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los 4000 ejemplares. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga como mínimo una ganancia de S/. 6 500?
Solución
Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 4 000 unidades. Es decir:
000
4
x
Costo unitario de publicación: S/.16, entonces el costo total es:
C
T
16
x
Ingreso de los distribuidores:
I
1
15
x
Ingreso de publicidad:
I
2
10
%[
15
(
x
4
000
)]
Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:
6500
2 1
I
C
T
I
6500
16
)]
4000
(
15
%[
10
15
x
x
x
6500
16
)]
4000
(
15
[
1
,
0
15
x
x
x
6500
)
4000
(
5
,
1
x
x
6500
6000
5
,
1
x
x
6000
6500
5
,
0
x
12500
5
,
0
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [11] FACULTAD DE INGENIERÍA
5
,
0
12500
x
25000
x
Respuesta.La cantidad mínima que se debe vender para obtener una ganancia mínima de 6500 es 25 000 revistas. 8. Rentar o comprar.Un empresario de una constructora está en duda entre alquilar o rentar una camioneta y
le solicita ayuda a uno de sus ingenieros civiles. El ingeniero hace las siguientes investigaciones: a) La renta es de 5 000 dólares mensuales, el mantenimiento diario y pago al chofer es de 50 dólares. b) Si opta por comprar tendrá una inversión 48 000 dólares y mantenimiento diario y pago al chofer de
70 dólares.
Sabiendo que la obra se terminará en un año y que el ingeniero tomó la decisión de alquilar. ¿Qué tipo de análisis matemático utilizó el ingeniero para tomar esa decisión? Y ¿por qué?
Solución
Construyamos una tabla con la información proporcionada. Rentar Comprar x 50 12 000 5
48
000
70
x
Según la pregunta se tiene
x
x
48
000
70
50
12
000
5
x x 48000 70 50 000 60 x x 50 70 48000 000 60 x 20 000 12 x
600
Respuesta.El número mínimo de días que deberá usarse la máquina excavadora para que la renta sea más barata que la compra es de 601 días.
Ahora como la obra termina en un año, tenemos 365 días. Por tanto el ing. No tomó una buena decisión.
9. Rentar o comprar. Un constructor debe decidir si ha de comprar o rentar una máquina excavadora. Si la rentara, tendría que pagar $4800 al mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceite y conductor) sería de $480 por cada día que se utilizara; si la comprara, su costo fijo anual sería de $32 000 y los costos diarios de operación serían de $640 por día. Calcular el número mínimo de días al año que tendría que utilizar la máquina para justificar su rentar en vez de comprarla.
Solución
Construyamos una tabla con la información proporcionada. Rentar Comprar
x
480
12
4800
32
000
640
x
Según la pregunta se tiene
x
x
32
000
640
480
12
4800
x
x
32000
640
480
57600
x
x
480
640
32000
57600
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [12] FACULTAD DE INGENIERÍA
x
160
25600
x
160
25600
160
x
Respuesta.El número mínimo de días que deberá usarse la máquina excavadora para que la renta sea más barata que la compra es de 161 días.
10. Precio. Un empresario compra un lote de 150 motos por un total de $525 000. Vende al público 80 motos a $5 800 cada una. ¿A qué precio le conviene vender las motos restantes en la temporada de liquidación si desea obtener como mínimo un 35% de ganancia?
Solución
Sea es “p” el precio que se asignará a las 70 motos que falta vender.
Ingreso total:
p
I
T
80
5800
70
Costo total000
525
C
Ganancia.)
525000
%(
35
G
Reemplazando se tiene:750
183
000
525
70
000
464
p
750
183
000
61
70
p
000
61
750
183
70
p
750
244
70
p
70
750
244
p
43
,
3496
p
Respuesta.El precio mínimo al cual se debe vender las 70 motos restantes para obtener una ganancia mínima del 35% es de $3 496,43.
11. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 metros de cerca disponibles. calcule los intervalos de variación para el largo y ancho del terreno, si el área delimitada debe ser de al menos 2 100 m2
Solución
Hagamos un bosquejo de la gráfica del terreno
𝑥
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [13] FACULTAD DE INGENIERÍA
De acuerdo al gráfico, se tiene:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 200 → 2𝑥 + 2𝑦 = 200 → 𝑥 + 𝑦 = 100 → 𝑦 = 100 − 𝑥
Por otro lado Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥𝑦 → 𝐴 = 𝑥(100 − 𝑥) → 𝐴 = 100𝑥 − 𝑥2
Se desea 𝐴 ≥ 2100 → 100𝑥 − 𝑥2≥ 2100 → 𝑥2− 100𝑥 + 2100 ≤ 0
Para resolver esta expresión se procede a factorizar (𝑥 − 30)(𝑥 − 70) ≤ 100 Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real.
De acuerdo a esta gráfica 𝑥 ∈ [30; 70], luego reemplazamos en 𝑦 = 100 − 𝑥 , los valores de 𝑥 y obtenemos que 𝑦 ∈ [30; 70]
12. Un ingeniero civil quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sintético alrededor de una cabaña rectangular. La cabaña tiene una longitud de 10 m y un ancho de 6 m. Si se cuenta con gras para cubrir a lo más 36 m2. ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho del borde?
Solución
Hagamos un bosquejo de la gráfica del terreno
Del gráfico mostrado se tiene: Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑠 = (10 + 2𝑥)(6 + 2𝑥) − 60 → 𝐴 = 4𝑥2+ 32𝑥
Se debe cumplir 𝐴 ≤ 36, para dar respuesta a nuestra pregunta, veamos
4𝑥2+ 32𝑥 ≤ 36 → 𝑥2+ 8𝑥 ≤ 9 → 𝑥2+ 8𝑥 − 9 ≤ 0 → (𝑥 + 9)(𝑥 − 1) ≤ 0
Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real:
Por condición lógica 𝑥 > 0, debido a esto y la gráfica de la recta real se tiene que el valor de 𝑥 debe ser: 𝑥 ∈ ⟨0; 1]
+
−∞
70
+∞
+
30
-
x
x
x
x
x
x
x
x
6 10 10 + 2x 6 + 2x+
−∞
1
+∞
+
-9
-
0
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [14] FACULTAD DE INGENIERÍA Por lo tanto el valor máximo que puede tomar el ancho del borde es de 1 metro.
13. La empresa Cementos Lima necesita determinar el mínimo precio que debe asignar a cada bolsa de cemento que produce. Si se sabe que la cantidad de bolsas que produce diariamente está dada por la expresión
p
x
50
2
y además se espera que los ingresos diarios sean como mínimo de $300. SoluciónSea 𝐼: ingreso diarios; Sea 𝑥: cantidad de bolsas de cemento Se tiene: 𝐼 = 𝑝𝑥 → 𝐼 = 𝑝(50 − 2𝑝) → 𝐼 = −2𝑝2+ 50𝑝
Se espera que los ingresos diarios sean como mínimo 300 dólares, es decir: 𝐼 ≥ 300 → −2𝑝2+ 50𝑝 ≥ 300 → 𝑝2− 25𝑝 + 150 ≤ 0
Factorizando, esta expresión y ubicando los puntos críticos en la recta real se tiene: (𝑝 − 15)(𝑝 − 10) ≤ 0
Lo cual indica que el precio varía de 10 a 15 a dólares, como nos piden el precio mínimo, la respuesta sería de 10 dólares.
14. John, gerente de una empresa de agro exportación, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de un producto nuevo desde Perú. Él proyecta que por la venta de “x” cajas de ese producto, el precio de cada caja es
p
5000
2
x
nuevos soles. Además el costo total es 22
1000
360000
x
x
C
nuevos soles ¿Cuántas cajas deberán venderse para obtener utilidades de al menos S/. 640 000?Solución
Sea x el número de cajas vendidas al mercado extranjero.
640000
U
I
C
640000
px C
640000
2(5000 2 )
x x
(360000 1000
x
2 ) 640000
x
2 25000
x
2
x
360000 1000
x
2
x
640000
24
x
4000
x
1000000 0
21000
250000 0
x
x
2500
0
x
.
{500}
C S
15. Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por
+
−∞
15
+∞
+
10
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [15] FACULTAD DE INGENIERÍA
cada incremento de 75 céntimos en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solución
Según el enunciado del problema construimos la siguiente tabla. (Nota: 0.75 = 3/4 )
PRECIO POR CORTE CANTIDAD DE CLIENTES
p = 8 q = 120 p = 8 +(3/4) x q = 120 – 10x x es el número de incrementos de 0,75 soles 4p=32+3x x = (4p -32)/3 q = 120 - 10[(4p -32)/3] q = (680-40p)/3
pq
I
3
)
40
680
(
)
(
p
p
p
I
Por lo tanto, la función es:
3
680
40
)
(
2p
p
p
I
;Dom
(
I
)
[
8
;
17
]
Se desea queI
(
8
)(
120
)
Es decir:72
17
2880
680
40
960
3
680
40
)
120
)(
8
(
2 2 2
p
p
p
p
p
p
I
Entonces:p
2
17
p
72
0
(
p
8
)(
p
9
)
0
Por lo tanto para cumplir lo establecido el precio debe variar de 8 a 9, como nos piden el precio máximo, la respuesta sería de nueve dólares.
16. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $ 60. Por cada disminución de
+
−∞
9
+∞
+
8
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [16] FACULTAD DE INGENIERÍA
$ 5 en el precio se venderán 45 unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $ 19500?
Solución
Según el enunciado del problema construimos la siguiente tabla. (Nota: 0.75 = 3/4 )
PRECIO DE CADA COSMÉTICO CANTIDAD DE UNIDADES DE UN COMÉTICO p = 60 q = 300 p = 60-5 x q = 300+45x x es el número de descuentos de 5 dólares 60-p=5x x = (60-p)/5 q = 300+ 45[(60-p)/5] q = 840-9p
pq
I
p
p
p
I
(
)
9
2
840
Por lo tanto, la función es:p
p
p
I
(
)
9
2
840
;Dom
(
I
)
[
0
;
60
]
Se desea queI
19500
Es decir:0
)
130
3
)(
50
(
0
6500
280
3
19500
840
9
2
2
p
p
p
p
p
p
Luego:Por lo tanto para cumplir lo establecido el precio debe variar de 130/3 a 50, como nos piden el precio máximo, la respuesta sería de 50 dólares.
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