Tema VII
Técnicas MEF-CAD en el diseño de las máquinas eléctricas
Etapas de modelado y análisis
Concepto de potencial
Ecuaciones de campo
Introducción
Aplicación de las técnicas MEF-CAD al estudio electromagnético y térmico
Procesado
Postprocesado
Tema VII
Técnicas MEF-CAD en el diseño de las máquinas eléctricas
METODO
DE LOS
ELEMENTOS
FINITOS
DISEÑO
ASISTIDO
POR
COMPUTADOR
ANALISIS NUMERICO.
ANALISIS NUMERICO.
RESOLUCION DE
ECUACIONES DE CAMPO
ENTORNO GRAFICO.
VISUALIZACION
Paquetes comerciales
de
propósito general
- Software amigable
- Utilización intuitiva
MODELO
MATEMATICO DEL
COMPORTAMIENTO
(………..)
DEL DISPOSITIVO
NI
l
s
1
Φ
µ
=
=
ℜ
=
℘
Formulación
Medidas
COMPORTAMIENTO
NI
l
µ
=
=
ℜ
=
℘
13, 00. km
13, 00. km
13, 00. km
13, 00. km
Seg. 6t.0
Seg. 6t.0
Seg. 6t.0
Seg. 6t.0
155,00
155,00
155,00
155,00
A V
A V
A V
A V
ESTUDIO
EXPERIMENTAL
RESULTADOS
COEFICIENTES DE CORRECCIONMETODOS NUMERICOS METODOS ANALITICOS
∑
℘
=
℘
r
i
i
Introducción
COMPORTAMIENTO
Motor de c.c. (DC)
PROCESADO
Introducción
Formulación del problema Con valores de contorno
Resolución numérica
- Principio variacional - Residuos ponderados
(Metodo de Galerkin)
Cálculo numérico del campo:
El estudio de los fenómenos físicos en medios continuos, conducen sistemáticamente
al establecimiento de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Sistema
físico
P
ri
n
c
ip
io
s
F
ís
ic
o
s
E
c
u
a
c
io
n
e
s
e
n
d
e
ri
v
a
d
a
p
a
rc
ia
le
s
T ra n s fo rm a c ió n d e l s is te m a d e e c u a c io n e sF
o
rm
u
la
c
ió
n
i
n
te
g
ra
l
A
p
ro
x
im
a
c
ió
n
p
o
r
E
le
m
e
n
to
s
F
in
it
o
s
S
is
te
m
a
d
e
e
c
u
a
c
io
n
e
s
a
lg
e
b
ra
ic
a
s
R
e
s
o
lu
c
ió
n
n
u
m
é
ri
c
a
Solución
aproximada
Introducción
Interface
Usuario
In
te
rf
a
ce
g
ra
fi
co
Interface
Grafico
Interface
Grafico
Entornos de las herramientas MEF-CAD de propósito general
Equation solver
Post-procesador
Pre-procesador
Procesador
Base de datos
In
te
rf
a
ce
g
ra
fi
co
Procesador
Base de datos
Introducción
Introducción
Interface
Usuario
Interface
Grafico
Interface
Grafico
3D
Ejemplo
Motor trifásico Cuatro polosUsuario
Equation solverPost-procesador
Pre-procesador
Grafico
Grafico
Procesador
Base de datos
2D
Introducción
Motor de Inducción real – 3D
Geometría del modelo del motor – 2D
Ejemplo
Motor de Inducción real – 3D
Geometría del modelo del motor – 2D
Introducción
Métodos numéricos. MEF
Métodos alternativo al método analítico
Resolución numérica de las ecuaciones de campo.
Permite obtener el MAPA de la distribución del campo.
Etapas de modelado y análisis
Concepto de potencial
Ecuaciones de campo
Introducción
Aplicación de las técnicas MEF-CAD al estudio electromagnético y térmico
Procesado
Postprocesado
Ecuaciones de campo
Analogía entre los diferentes CAMPOS definidos por la ecuación de Poisson
POTENCIAL
POTENCIAL
POTENCIAL
POTENCIAL
Coeficiente
Carga
CAMPO
Ecuación
diferencial
A
A
A
A
vector
potencial
magnético
µµµµ
permeabilidad
JJJJ
Densidad de
corriente
B
B
B
B =
=
=
=
∇
∇
∇
∇
x
xA
x
x
A
A
A
Densidad de
flujo
µµµµ
--1--111∇
∇
∇
∇
2222A
A
A
A =
=
=
= -
-
-
-JJJJ
V
V
V
V
V
εεεε
ρρρρ
ε∇
ε∇
ε∇
ε∇
2 2 2 2V = -
ρρρρ
V
V
V
Potencial
eléctrico
(Tensión)
εεεε
permitividad
densidad de
ρρρρ
carga
eléctrica
D
D
D
D =
=
= -
=
-
-
-
ε∇
ε∇
ε∇
ε∇
V
V
V
V
Corriente de
desplazamiento
ε∇
ε∇
ε∇
ε∇
2 2 2 2V = -
ρρρρ
T
T
T
T
Temperatura
k
k
k
k
conductividad
Q
Q
Q
Q
Fuente de
densidad de
calor
q =
q =
q =
q = -
-
-
-k
k
k
k
∇
∇
∇
∇
T
T
T
T
Flujo de calor
k
k
k
k
∇
∇
∇
∇
2222T = -Q
σσσσ
Tensión
G
G
G
G
módulo de
Young
θθθθ
ángulo
de torsión
ττττ
=
= G
=
=
-1∇σ
∇σ
∇σ
∇σ
torsión
G
-1∇
∇
∇
∇
2222σ
=-2
θ
Etapas de modelado y análisis
Concepto de potencial
Ecuaciones de campo
Introducción
Aplicación de las técnicas MEF-CAD al estudio electromagnético y térmico
Procesado
Postprocesado
Concepto de potencial. Potencial del campo electromagnético
En general, en los problemas físicos, las ecuaciones de campo se
establecen en términos de
POTENCIAL
(eléctrico, temperatura,
tensión mecánica, . . .)
Campo electromagnético
Queda determinado por las ecuaciones de Maxwell
t
B
E
∂
∂
−
=
∇
x
∇
x
H
=
J
∇
B
=
0
∇
D
=
ρ
VLa resolución de estas ecuaciones se dificulta en presencia de discontinuidades producidas por cambios de medio, y con geometrías complicadas.
Para salvar esta dificultad las ecuaciones de Maxwell, por analogía con
otros problemas de campo, pueden expresarse en términos de
potencial.
H
1H
2tH
1nH
1tH
2nB
1n= B
2nH
1t= H
2tµ
1µ
2Concepto de potencial. Potencial del campo electromagnético
Campo electromagnético
A diferencia del potencial eléctrico o térmico, no existe un potencial
magnético con significado físico
Los diferentes potenciales magnéticos son
ENTIDADES
matemáticas.
Para cada tipo de problema (2D, 3D, magnetoestático, magnetodinámico,
En nuestro caso se utilizará en 2D el
VECTOR potencial magnético A.
Para cada tipo de problema (2D, 3D, magnetoestático, magnetodinámico,
etc) debe realizarse una elección apropiada del potencial
A partir de la solución de los problemas en términos de potencial se
calculará las magnitudes de campo:
B =
∇
∇
∇
∇
x A
,
H = 1/µ
B
,
Φ
=
∫
B ds
y magnitudes derivadas:
W =
∫
H dB
, , ,
22
I
W
L
=
x
W
F
∂
∂
=
θ
∂
∂
=
W
T
El método A-V
El método T-
ψ
ψ
ψ
ψ
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
Las ecuaciones de MAXWEL
V
D
=
ρ
∇
t
B
E
∂
∂
−
=
∇
x
0
=
∇
B
t
D
J
H
∂
∂
+
=
∇
x
Medios conductores:
J =
σσσσ
E
[
A/m2
]
(ley de Ohm) Medios dieléctricos:D =
εεεε
E
[
C/m2
]
Medios Magnéticos:
B =
µµµµ
H
[
T = Wb/m2
]
Las ecuaciones constitutivas del medio
t
∂
∂
t
Medios Magnéticos:B =
µµµµ
H
[
T = Wb/m2
]
Máquinas eléctricas
f = 50 Hz. T = 0.02 seg
λ
= c T = 300.000 km/seg 0.02 seg. = 6.000 km
Campos cuasi-estácionarios
VD
=
ρ
∇
t
B
E
∂
∂
−
=
∇
x
0
=
∇
B
t
D
J
H
∂
∂
+
=
∇
x
Medios conductores:
J =
σσσσ
E
[
A/m2
]
(ley de Ohm) Medios dieléctricos:D =
εεεε
E
[
C/m2
]
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
Las ecuaciones de MAXWEL
Las ecuaciones constitutivas del medio
ELECTROMAGNETICS (Maxwel’s Equations)
Electromagnetics
Low Frequency
Electromagnetics
High Frequency (Waves)
Electrostatics
Electrostatics
Magnetostatics
Magnetodinamics
Electromagnetic division for physical application thus, in each block of this diagram, the four Maxwell’s equations are adapted to the corresponding physical situation.
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
Relación matemática:
∇
·B = 0 =
∇
·B =
∇
·(
∇
xA)
Ley de Faraday-Lenz:
∇
xE = -
∂
B/
∂
t = -
∂
(
∇
xA)/
∂
t + 0 = -
∂
(
∇
xA)/
∂
t -
∇
x(
∇
·V)
∇ ∇
B =
∇
xA
Siendo V un potencial escalar, matemáticamente se tiene:
∇
x(
∇
·V) = 0
∇
x
E
= -
∂
(
∇
x A) /
∂
t -
∇
x(
∇
·V) =
∇
x
(-
∂
A/
∂
t -
∇
·V
)
E
= -
(
∂
A/
∂
t +
∇
·V)
Corriente eléctrica total conducida (Medio conductor):
J
=
σ
E
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
Corriente eléctrica total conducida:
J
=
-
σ
(
∂
A/
∂
t +
∇
·V)
ley de Ampere:
∇
xH = J
B =
µµµµ
H
Medio magnetico:
∇
x (
µ
-1
(
∇
xA)) = J
B =
∇
xA
∇
x (
∇
xA)) =
∇
·(
∇
·A) -
∇
2A
Matemáticamente:
Condición de Calibración de Coulomb (Coulomb Gauge): (
∇
·A) = 0
(Solenoidal)
B
A
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
Corriente eléctrica total conducida:
J
=
-
σ
(
∂
A/
∂
t +
∇
·V)
B
∇
2
A =
-
µ
J
B
A
∇
2
A =
-
µ
J
J
ind= -
σ
∂
A/
∂
t
J
cond= J
Fuente=
-
σ
∇
·V
J
mag= -
∇
xHc
J = J
ind+ J
cond+ J
magDensidad de corriente equivalente de magnetización Densidad de corriente inducida
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
∇
2
A =
-
µ
J
B =
∇
xA
A = cte
∂
A/
∂
n = 0
B
A
A
A
0= cte
“Camisa XOSE” del vector AEcuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
Potencial escalar eléctrico V – Potencial vector magnético A
∇
2
A =
-
µ
J
A = cte
∂
A/
∂
n = 0
En caso de variación armónica del campo:
A
0= cte
A = A
o
e
j
ω
t
Ecuación del campo electro-magnético. Formulación potencial V-A
∇
2
A =
-
µ
J
A
0= cte
∂
A/
∂
n
Casos particulares: 2D
A = Az ; Ax = Ay = 0
x
y
z
Problema Plano
∂
/
∂
x (
∂
A/
∂
x) +
∂
/
∂
y (
∂
A/
∂
y) +
µ
σ ∂
A/
∂
t = -
µ
J
FuenteProblema axisimétrico (eje y)
Etapas de modelado y análisis
Concepto de potencial
Ecuaciones de campo
Introducción
Aplicación de las técnicas MEF-CAD al estudio electromagnético y térmico
Procesado
Postprocesado
Etapas de modelado y análisis (MEF-CAD)
Entrada de datos:
Geometría
Material
Fuentes
Condiciones de contorno
Entrada de datos:
Error de redondeo
Máximas iteracciones
Tolerancia de la soluc.
Solución numérica:
Diagramas, mapas de colores
, .
. .
50%
20%
30%
Generación de malla
Pre-procesado
Procesado
Post-procesado
Discretización Aproximación Parametrización Acoplamiento: Campos Geometría Circuitos Movimiento Tipo de problema
Tolerancia de la soluc.
Adaptación de la malla
Método numérico
Solver de ecuaciones
. .
Calculo de magnitudes
parámetros concentrados
Acoplamiento de campos
Optimización
Etapas de modelado y análisis
Concepto de potencial
Ecuaciones de campo
Introducción
Aplicación de las técnicas MEF-CAD al estudio electromagnético y térmico
Procesado
Postprocesado
Preprocesado
y las consideraciones previas
¿Porcentaje de la estructura a modelar?
¿Discretización de la geometría?
Preprocesado
y
las consideraciones previas
Simplificaciones
Simetrías
+
Periodicidad
⇒
Geométricas
(Dimensionales)
Campo
(Fuentes)
¿Porcentaje de la estructura a modelar?
La sección mínima que necesita ser modelada es la que para
la cual las condiciones de contorno pueden ser
correctamente especificas.
Preprocesado
y
las consideraciones previas
Simetrías
+
Periodicidad
⇒
Geométricas
(Dimensionales)
Campo
(Fuentes)
¿Porcentaje de la estructura a modelar?
A
0= cte
∂
A/
∂
n
Frontera
⇒
Condiciones de contorno
A
0= cte
∂
A/
∂
n = 0
∂
A/
∂
n = 0
A
0= cte
Preprocesado
y
las consideraciones previas
¿Porcentaje de la estructura a modelar?
Frontera
⇒
Condiciones de contorno
Neumann
∂
A/
∂
n = 0
∂
A/
∂
n = 0
A
0= cte
Dirichlet
Neumann
Preprocesado
y
las consideraciones previas
¿Porcentaje de la estructura a modelar?
Dos conductores infinitamente largos con corriente conducida
¿Discretización de la geometría?
A
0= cte
∂
A/
∂
n = 0
Entidades geométricas:
- Punto
- Línea
- Superficie
Preprocesado
y
las consideraciones previas
A
0= cte
∂
A/
∂
n = 0
Entidades de discretización:
- NODO
La acción de discretizar:
- MALLADO
Elemento de discretización:
-TRIANGULO
¿Discretización de la geometría?
Preprocesado
y
las consideraciones previas
∂
A/
∂
n = 0
- MALLADO
La geometría resultante del Mallado:
A
0= cte
∂
A/
∂
n = 0
El NODO soporta:
∂
/
∂
x (
∂
A/
∂
x) +
∂
/
∂
y (
∂
A/
∂
y) +
µ
σ ∂
A/
∂
t = -
µ
J
FuenteCada NODO tiene una ecuación de campo:
¿Discretización de la geometría?
Preprocesado
y
las consideraciones previas
∂
A/
∂
n = 0
- Condiciones de contorno (A
0= cte,
∂
A/
∂
n = 0)
- La incognita potencial (A)
- Propiedades de los materiales (
µ
,
σ
)
- Fuentes de campo (J
Fuente)
MALLADO
- Todos los nodos deben estar interconectados
Consideraciones a tener en cuenta en el mallado
-
Idealmente los triángulos del mallado deber
Preprocesado
y
las consideraciones previas
-
Idealmente los triángulos del mallado deber
guardar una relación base/altura lo más próximo
a uno, es decir, triángulos equiláteros.
-La rapidez y exactitud dependen de elemento
de mallado:
tamaño,
número
Ecuación del campo térmico.
Conductividad térmica
Fuentes de calor
Densidad específica
Capacidad calorífica
Calor específico
Ecuación del campo térmico.
Ley de
Fourier
Transmision de calor
Conducción
Ley de
Newton
Transmisión
por
Radiación
Convección
Radiación
Ecuación del campo térmico.
Ley de
Newton
Transmision de calor
Convección
El estudio del fenómenos de la transmisión de calor por convección
El estudio del fenómenos de la transmisión de calor por convección
requiere aplicar la dinámica de fluidos:
- Campo de velocidades
- Campo de presiones
- Campo de temperatura
Resolución de las ec. de Navier-Stokes Aplicando el principio de la conservación - Masa
- Energía
