Lección 3. Corriente Eléctrica. Circuitos de corriente continua.

Corriente Eléctrica. Circuitos de corriente continua.

1. Movimiento de cargas. Corriente eléctrica. 1

2. Densidad de corriente. Ecuación de continuidad. 2.1. Densidad de corriente. 2.2. Ecuación de continuidad. 2 2 4 3. La conducción en metales

3.1. Modelo microscópico de la conducción eléctrica. 3.2. Conductividad y resistividad.

3.3. Resistencia eléctrica. Ley de Ohm. 3.4. Asociación de resistencias. 5 5 8 9 11 4. Energía de los circuitos eléctricos. Potencia eléctrica, Ley de Joule. 12 5. Fuerza electromotriz. Generadores. Ley de Ohm generalizada. 13 6. Análisis de circuitos de corriente continua.

6.1. Elementos de circuito: Definiciones previas. 6.2. Reglas de Kirchhoff.

6.3. Principio de superposición.

6.4. Métodos sistemáticos de análisis de circuitos. 6.5. Teoremas de Thevenin y Norton.

6.6. Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia.

17 17 20 22 23 27 30 7. Transitorios en circuitos RC. Carga y descarga del condensador. 31

1.- Movimiento de cargas. Corriente eléctrica

.

.

Una corriente eléctrica consiste en un flujo de partículas cargadas o iones. Esto se aplica tanto a las partículas cargadas de un acelerador como a iones en una solución electrolítica o a los electrones y huecos en conductores y semiconductores. La Intensidad de una corriente eléctrica,

I,

se define como la carga eléctrica que pasa por unidad de tiempo a través de la unidad de sección de la región por donde fluye, (p.e. la sección de un cable metálico).

dt

dQ

I

=

[3.1]

La intensidad de corriente es una magnitud escalar y su unidad en el S.I. es el amperio = 1 C⋅s-1_{. Se considera por convenio, que la corriente se mueve según el} sentido de las cargas positivas (es decir a favor del campo o de potenciales decrecientes). Por tanto, si una corriente se debe al movimiento de partículas con carga negativa, como los electrones, la dirección convencional de la corriente es opuesta al movimiento de los electrones. Si hay partículas con cargas opuestas, como en una solución electrolítica o en un semiconductor, la corriente eléctrica consiste en partículas que se mueven en direcciones opuestas. En este último caso, dado que las partículas se mueven en sentidos opuestos, ambas producen corriente en el mismo sentido. En casi todas las aplicaciones, el movimiento de cargas negativas en un sentido es indistinguible del movimiento de cargas positivas en el sentido opuesto.

En el tema de conductores se ha visto que al someter un conductor a un campo eléctrico cuando se alcanza el equilibrio electrostático, el campo se anula en su interior y cesa el movimiento de cargas. En este tema veremos que por causa de una fuente de energía externa, en el interior del conductor, y en cada punto de él, se mantiene un campo eléctrico invariable con el tiempo, por lo que sobre los portadores de carga libre actuará una fuerza y se pondrán en movimiento en el interior del conductor, dando lugar a un transporte de energía eléctrica.

2.- Densidad de corriente. Ecuación de continuidad.

2.1.- Densidad de corriente.

La corriente eléctrica puede relacionarse con el movimiento de las partículas individuales que la constituyen. Para analizar esto, supongamos un conductor filiforme como el de la figura en el que supondremos que sólo existe un único tipo de

portadores todos con la misma

q

y que se mueven con la misma velocidad

v

. Supondremos, además conocido el número de portadores de carga por unidad de volumen que denominaremos

n

.

Para calcular la intensidad de corriente que pasa por un elemento de área

S

será necesario conocer la carga

dQ

que pasa a través de dicha superficie en un cierto intervalo de tiempo ∆

t

. Es evidente, que ese tiempo, todas las partículas contenidas en el volumen

Sv

∆

t

pasarán a través del elemento de área situado en el punto

P

. La carga total que pasa a través de esa superficie es:

t

qnSv

Q

=

∆

∆

[3.2]

la corriente en el punto

P

es, por tanto:

qnvS

t

Q

I

=

∆

∆

=

[3.3]

La corriente por unidad de área se denomina densidad de corriente:

qnv

S

I

J

=

=

[3.4]

cuyas unidades (en el SI) será los A/m2. Esta definición se puede generalizar a cualquier tipo de corriente (confinada o no en conductor): Por tanto, definiremos el vector densidad de corriente como:

v

qn

J

r =

r

[3.5]

Este vector tiene el sentido de la velocidad de desplazamiento para cargas positivas y opuesto para cargas negativas. La velocidad que aparece en [3.3] es la velocidad media de los portadores de carga. Si la corriente se debe a distintos tipos de portadores de carga de diferente carga, velocidad media, o densidad, la densidad de corriente será la suma de las densidades de corriente debidas a los distintos tipos de partículas. Así,

∑

=

i i i i

n

v

q

J

r

r

[3.6]

Si el vector densidad de corriente es constante en una superficie

S

, la corriente que la atraviesa es simplemente

q

v∆t

v

S

P

J

r

S

r

θ

θ

=

⋅

=

J

S

JS

cos

I

r

r

[3.7]

donde hemos tenido en cuenta que la superficie y el vector densidad de corriente no tienen por qué estar alineados. Si la densidad de corriente no es constante en toda la superficie, tendremos que dividirla en elementos diferenciales (en los que podamos considerar que

J

r

es constante), calcular la contribución de cada elemento de superficie, y después sumarlas todas. Por tanto, a corriente que pasa por una superficie arbitraria S será:

∫

⋅

=

S

J

d

S

I

r

r

[3.8]

Por tanto, la intensidad, es el flujo del vector densidad de corriente a través de la superficie.

Ejemplo. Por un conductor de cobre de 10 mm de diámetro circula una corriente de 20 A. Admitiendo que cada átomo tiene un electrón libre, calcular la velocidad de desplazamiento de los electrones. Datos: Densidad del cobre, ρCu = 8.93 g/cm3, Masa

molecular del cobre, MmCu = 6.35 g/mol, Número de Avogadro, NA= 6.023×1023 at/mol,

carga del electrón, qe= 1.60×10-19 C.

Aplicando la ecuación [3.4] la velocidad de desplazamiento será:

⇒

=

=

q

nv

S

I

J

_e

nS

q

I

v

e

=

en esta ecuación, conocemos la carga del electrón

q

_e, la superficie

S

=

π

r

2 y la intensidad de corriente

I

, de forma que debemos determinar la densidad de portadores

n

. Teniendo en cuenta que hay un electrón por cada átomo de cobre, ésta es:

(

) (

)

23 3 3 23

10

47

8

5

63

92

8

10

023

6

cm

at

.

mol

g

.

cm

g

.

mol

at

.

M

N

n

mCu Cu A

×

ρ

=

×

×

=

×

=

sustituyendo los datos en la expresión de la velocidad obtenemos:

(

.

C

) (

.

at

cm

)

(

.

cm

)

.

cm

s

A

nS

q

I

v

e 3 2 3 23 19

₈

₄₇

₁₀

₀

₅

1

9

10

10

609

1

20

− −

_×

_×

_×

_π

_×

=

×

×

=

=

Este resultado nos muestra que las velocidades de desplazamiento típicas de los portadores de carga son muy pequeñas. De forma que la corriente en un conductor no se debe a pequeñas cantidades de carga que se desplazan rápidamente si no a grandes cantidades que se desplazan lentamente.

∫

⋅

=

S

J

d

S

I

r

r

dt

dQ

−

2.2.- Ecuación de continuidad.

Si consideramos una superficie cerrada

S

la corriente

I

que sale por ella representa la rapidez con que la carga abandona el volumen

V

encerrado por ella. Recordemos que unas de las leyes básicas de la física es que la carga es indestructible; es decir que nunca se pierde o se crea.

Las cargas se pueden mover de un sitio a otro pero nunca aparecer de la nada, esto se expresa diciendo que la carga se conserva. Si hay una corriente neta saliendo de una superficie cerrada la cantidad de carga en el interior debe disminuir en la cantidad correspondiente. Este resultado se conoce con el nombre de Ecuación de Continuidad.

∫

⋅

=

−

S dentro

_J

_d

_S

dt

dQ

r

r

[3.9]

Si la carga dentro del volumen encerrado por la superficie

S

permanece constante será porque no hay un aporte o retirada neta de carga (carga neta que entra en el volumen es igual que la que sale), es decir

dQ/dt=0

. En este caso se cumplira que:

∫

⋅

=

S

J

d

S

0

r

[3.10]

Diremos, en este caso, que las corrientes son estacionarias. Una corriente estacionária cumple que

I = Cte

en todo punto del conductor y en todo instante.

En efecto, consideremos un tubo de corriente por el que circula una corriente estacionaria y calculemos el flujo del vector

J

r

.

( )

1 0

( )

2 0

( ) ( )

1 2 2 1 dS J dS J dS I I I I J S d J S S S S ⋅ =

∫

⋅ +

∫

_Lateral⋅ +

∫

⋅ =− + + = ⇒ =

∫

r r r r r r r r [3.11]

y se cumple que la intensidad que entra por la superficie 1 es iguan que la que sale por la superficie 2. En esta lección no dedicaremos fundamentalmente al estudio de las corrientes estacionarias.

J

r

J

r

J

r

lat

S

d

r

1

S

d

r

2

S

d

r

3.- La conducción en metales

3.1.- Modelo microscópico de la conducción eléctrica

Hasta ahora hemos supuesto que las partículas cargadas se mueven con velocidad

v

aunque no nos hemos preocupado de cuáles eran las causas de su movimiento. Con este fin, analizaremos ahora la dinámica de los portadores de carga cuando se establece una corriente eléctrica en un conductor metálico debido a un campo externo aplicado. Para ello utilizaremos un modelo simplificado del propuesto por Drude en el año 1900.

Con un conjunto de cargas libres para moverse en el interior de un conductor metálico. Supongamos, también, que existe un campo eléctrico

E

r

dirigido a lo largo del conductor. Sobre cada carga

q

actuará una fuerza neta de valor

F

r =

q

E

r

de forma que cada carga adquirirá una aceleración

a

r =

(

q

m

)

E

r

según la segunda ley de Newton. Este modelo no es válido para explicar una corriente estacionaria pues velocidad de las cargas aumentaría con el tiempo debido a la aceleración y la intensidad de corriente

I

=

qnvS

también sería cada vez mayor y no sería constante. Es, por tanto, necesaria una fuerza que equilibre la fuerza provocada por el campo eléctrico de forma que la aceleración sea cero.

Analicemos cual puede ser el origen de esta fuerza. El movimiento real de los portadores de carga en el conductor es muy complicado. Si en el conductor no existe campo eléctrico, los portadores se mueven en direcciones aleatorias y a velocidades relativamente grandes debido a su energía térmica. Esta velocidad está dada por:

m

kT

v

_Térmica

=

3

[3.11]

en donde k es la constante de Boltzmann (

k

=

1

.

381

×

10

−23

J

K

). Para tener una idea de la magnitud de esta velocidad calcularemos su valor para una temperatura de 300 K (25 ºC aproximadamente). Esta es:

(

)

(

)

s

m

kg

K

K

J

v

_{Térmica 31} 5 23

10

17

.

1

10

11

.

9

300

10

381

.

1

3

×

=

×

×

×

×

=

− ₋

0

r

r =

E

+

+

+

+

+

+

+

+

+

0

=

m

vr

que es muy alta en comparación con la velocidad de arrastre por el campo calculada en el ejemplo anterior. No obstante, teniendo en cuenta que en un conductor hay un número muy alto de portadores de carga libre (del orden de 1023 como vimos en el ejemplo anterior) moviéndose de forma aleatoria, y que los vectores velocidad de las distintas partículas están orientados al azar, la velocidad media debida a la energía térmica es nula. Es decir por cada partícula que se mueve en un determinado sentido, siempre será posible encontrar otra que se mueva en sentido opuesto, de forma que el desplazamiento de carga neto es nulo y no existirá ninguna intensidad de corriente debida a los efectos térmicos.

Cuando se aplica un campo eléctrico, los portadores adquieren una aceleración instantánea debido a la fuerza

F

r =

q

E

r

, lo que hace que alcancen una pequeña velocidad en la dirección del campo aumentando su energía cinética. Pero debido al movimiento de agitación térmica, existe una gran probabilidad de que el electrón acelerado choque con un ión de la red de forma que la energía cinética que adquieren es disipada rápidamente por los choques con los iones fijos del conductor.

El resultado neto de esta aceleración y disipación de energía repetidas, (además de provocar un calentamiento del conductor), es que los portadores de carga adquieren una pequeña velocidad de desplazamiento en la dirección del campo que se superpone a su velocidad grande, pero aleatoria, de origen térmico.

Podemos relacionar la velocidad de desplazamiento con el campo eléctrico ignorando las velocidades térmicas aleatorias de los electrones y admitiendo que el electrón parte del reposo después de un choque. A continuación plantearemos las ecuaciones de la dinámica del electrón para lo que hemos de hacer un balance de fuerzas. En primer lugar, la fuerza que actúa sobre un portador de carga en un conductor en el que se ha establecido un campo eléctrico sabemos que es:

E

q

F

e

r

r =

[3.12]

En segundo lugar, la disipación de energía por choque con los iones de la red podemos describirla, de forma matemática, suponiendo que sobre cada portador

+

+

+

+

+

+

+

+

+

0

r

r ≠

E

0

≠

m

vr

actúa, además de la fuerza debida al campo, una fuerza

F

r

_r que se opone al movimiento de forma proporcional a la velocidad del portador.

v

b

F

r

_r

=

−

r

[3.13]

Siendo

b

una constante que depende la estructura atómica del conductor y que representa la dificultad con la que el electrón se desplaza a través de la red. Para calcular la velocidad de los portadores, aplicamos la 2ª Ley de Newton:

d e F F dt v d m a m r r r r _{= = + [3.14]}

de forma que, sustituyendo [3.12] y [3.13] y reglando los términos obtenemos que

      − − = ⇒ − = E k q v m k dt dv kv qE dt dv m Fr [3.15]

que es una ecuación diferencial de primer orden y coeficientes constantes. Separando las variables e integrando, obtenemos que

( )

( )

t m k E k q E k q t v dt m k E k q v dv t t v − =             − − ⇒ − =       −

∫

∫

ln 0 0 [3.16]

despejando, obtenemos finalmente que













−

=













−

=

− −τ t t m k

e

v

e

k

qE

t

v

(

)

1

lim

1

[3.17]

vemos que la velocidad parte de cero y alcanza el valor asintótico constante que hemos denominado definido como:

k

qE

v

t

v

(

→

∞

)

=

_lim

=

[3.18]

La rapidez con la que se alcance esta velocidad depende de la constante de tiempo τ=m/k del conductor. Experimentalmente se sabe que, en un buen conductor, esta constante suele ser del orden de 10-12s. Por tanto, prácticamente de forma instantánea los portadores de carga se desplazarán por el conductor con una

v

lim

t

v(t)

velocidad constante. La relación entre la velocidad de desplazamiento y el campo aplicado es, por tanto;

E

v

r

_lim

=

µ

r

[3.19]

donde

µ

=

q

k

es una constante que depende del tipo de portador y de la estructura cristalina del sólido que se denomina movilidad de los portadores de carga. Sus en el sistema internacional unidades son

m

2

Vs

.

3.2.- Conductividad y resistividad.

La ecuación [3.19] nos permite relacionar la densidad de corriente que aparece en el conductor con el campo aplicado al mismo. En efecto si sustituimos [3.19] en [3.5], la densidad de corriente será, una vez se alcance la velocidad límite,

E

E

qn

v

qn

J

r

=

r

lim

=

µ =

r

σ

r

[3.20]

Es decir la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico, este resultado se suele denominar Ley de Ohm microscópica o local. La constante

µ

σ qn

=

[3.21]

depende evidentemente de cada material y se denomina conductividad eléctrica. Sus unidades en el SI son los

C

Vms

. Representa la facilidad que presenta un material para que se establezca una corriente en su interior. También se suele utilizar el inverso de la conductividad que se conoce con en nombre de resistividad: ρ = σ-1_{. En} función de la resistividad la Ley de Ohm microscópica se expresa como:

J

E

r

=

ρ

r

[3.22]

3.3.- Resistencia eléctrica. Ley de Ohm

Consideremos dos puntos de un hilo conductor de sección

S

separados por una longitud

L

, y supongamos que existe un campo eléctrico uniforme en dicho conductor.

La diferencia de potencial entre los dospuntos considerados es, considerando [3.22],

JL

V

V

JL

d

J

d

E

V

V

_{a b} b a b a b a

−

=

∫

⋅

l

=

ρ

∫

l

=

ρ

⇒

−

=

ρ

r

r

[3.23]

y la intensidad que circula por el conductor será, teniendo en cuenta le geometría,

S I J S J S d J I S = ⇒ = ⋅ =

∫

r r . [3.24]

con lo que finalmente:

I S L V

V_a − _b =ρ [3.25]

La cantidad

ρ

L

S

se denomina resistencia eléctrica (R) y es una característica de cada sustancia. Así

S L

R=ρ [3.26]

La ecuación [3.14] se puede expresar¡, entonces

RI V

Va− b = [3.27]

la última expresión es la Ley de Ohm en forma macroscópica que se formula diciendo que la diferencia de potencia a extremos de un conductor es proporcional a intensidad que circula a través de él. La unidad S.I de resistencia es el Ohmio (Ω) = 1 V/A. La unidad de resistividad será, por tanto, el Ω⋅m que se conoce con el nombre siemens.

L

V

_a

V

_b

E

r

J

r

Es importante hacer notar que no todas las sustancias cumplen la Ley de Ohm, los semiconductores, por ejemplo, no la cumplen. En la figura se representa la característica tensión intensidad de un material óhmico y de un semiconductor.

En estos materiales la resistencia no es una constante y depende de

V

e

I

. Para ellos se define la resistencia dinámica en cada punto por

dI dV

rd = [3.28]

Esta no es la única diferencia entre los conductores y los semiconductores, otra diferencia importante es su comportamiento con la temperatura. La resistividad (y por tanto la resistencia) de un material depende fuertemente de la temperatura, esta dependencia se suele expresar de la forma:

(

)

[

1

20

º

]

)

(

T

=

ρ

₂₀

+

α

T

−

ρ

[3.29]

siendo ρ20 la resistividad e 20º centígrados y α un coeficiente llamado coeficiente de temperatura de la resistividad. En la siguiente tabla mostramos estas constantes para distintos materiales.

Resistividades y coeficientes de temperatura

Material Resistividad a 20ºC (Ω⋅m) Coeficiente de temperatura a 20ºC, K-1 Plata 1.6×10-8 _3.8×10-3 Cobre 1.7×10-8 _3.9×10-3 Aluminio 2.8×10-8 _3.9×10-3 Tungsteno 5.5×10-8 _4.5×10-3 Hierro 10.0×10-8 _5.0×10-3 Plomo 22.0×10-8 _4.3×10-3 Mercurio 96.0×10-8 _0.9×10-3 Nicrom 100.0×10-8 _0.4×10-3 Carbono 3500.0×10-8 _-0.5×10-3 Germanio 0.45 -4.8×10-3 Silicio 640.0 -7.5×10-3 Madera 108 − 1014 Vidrio 1010 − 1014 Azufre 1×1015

Vemos, pues, que la resistencia de un conductor aumenta con la temperatura mientras que la de los semiconductores (Ge y Si) disminuye con la temperaturas como

V

∆V

₁

_∆V

₂

I

∆V

n

Ejemplo. Calcular cuánto varía la resistencia de un alambre de cobre de un metro de longitud y 1 cm de diámetro cuando la temperatura varía de 20 a 10ºC.

A partir de [3.26] y [3.39] obtenemos que:

( )

( )

[

(

)

]

S L T S L T T R S L R=ρ ⇒ =ρ =ρ₂₀ 1+α −20º

de forma que: R

( )

T = R

(

20ºC

)

[

1+α

(

T −20º

)

]

. La resistencia a 20º C vale:

(

)

(

)

(

×

)

= × Ω Ω × = = − − − 6 2 2 8 20 1.08 10 10 5 . 0 1 10 7 . 1 º 20 m m m S L C R π ρ

mientras que a 10ºC se cumplirá:

(

)

(

) (

) (

)

(

₍

) (

₎

)

(

20º

)

º 20 º 20 º 10 º 20 º 20 º 20 º 10 = + − ⇒ − = T− C R C R C R T C R C R C R α α con lo que

(

)

5 1 6

10

9

.

3

10

10

9

.

3

×

− −

×

−

=

−

×

−

=

∆

K

K

R

R

con lo cual, la resistencia disminuye en un

3

.

9

×

10

−3

%

3.4.- Asociación de resistencias

Asociación serie

Dos ó más resistencias conectadas de modo que a través de ellas circule la misma intensidad se dicen que está en serie. Una asociación de resistencias puede ser sustituida por otra equivalente

R

_eq que ofrezca la misma caída de potencial

∆

V

al paso de la misma corriente

I

.

Si consideramos un conjunto de resistencias asociadas en serie, se cumplirá que:

(

R

R

)

I

R

I

I

R

I

R

V

V

V

V

=

∆

+

∆

+

+

∆

_n

=

+

+

=

+

+

=

_eq

∆

_{1 2}

....

_{1 2}

....

_{1 2}

...

[3.30] por tanto

∑

= i i eq R R [3.31]

∆V

I

1

I

2

I

3

I

Asociación en paralelo.

Dos ó más resistencias conectadas de modo que estén sometidas a la misma diferencia de potencial se dice que está en paralelo. De nuevo, si consideramos un conjunto de resistencias en paralelo se cumplirá que:

...

...

3 2 1 3 2 1

+

∆

+

∆

+

∆

=

+

+

+

=

R

V

R

V

R

V

I

I

I

I

[3.32] de forma que eq

R

V

V

R

R

R

I

_

∆

=

∆











+

+

+

=

1

1

1

...

3 2 1 [3.33] y así, despejando

∑

= i i eq R R 1 1 [3.34]

4.- Potencia eléctrica. Ley de Joule.

Mantener una corriente eléctrica, requiere un suministro de energía ya que las cargas deben ser aceleradas por el campo eléctrico aumentando, así, su energía cinética. Calculemos la energía que se suministra cuando una cierta cantidad de carga ∆Q se mueve a través de una diferencia de potencial ∆V:

(

b a

)

a b U QV V U U = − =∆ − ∆ [3.35]

La energía por unidad de tiempo, o potencia requerida para mantener la corriente es entonces: V I V t Q t U P ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = [3.36]

Esta expresión da la potencia requerida para mantener una corriente eléctrica a través de una diferencia de potencial aplicada entre dos puntos de un conductor.

Si la partícula se mueve en un conductor que obedece a la ley de Ohm esta ecuación se puede poner de la forma

2

RI

P

=

[3.37]

invierte en acelerar los electrones. En un conductor, debido a la interacción de los electrones con la red cristalina, la energía es transferida a la red, aumentando su energía de vibración. Esto conduce a un aumento de la energía interna del material que se manifiesta en un aumento de temperatura, lo que constituye el conocido efecto de calentamiento por una corriente, llamado Efecto Joule. Por esto se dice que en un conductor la potencia disipada es precisamente RI2.

5.- Fuerza electromotriz. Generadores.

Ley de Ohm

generalizada.

Se ha estudiado que el campo electrostático es conservativo y en consecuencia su circulación a lo largo de una línea cerrada es nula:

0

=

⋅

∫

E

r

electrostático

d

r

l

[3.38]

esto nos indica qu ele trabajo total realizado por el campo electrostático sobre un portador de carga que describe un circuito cerrado es cero. Sabemos que una carga que se mueve en un conductor transfiere energía a la red cristalina y este proceso es irreversible; es decir, la red no devuelve la energía a los portadores, En consecuencia, para mantener una corriente en un circuito cerrado es necesario suministrar energía al circuito. A la energía por unidad de carga suministrada a un circuito se le denomina fuerza electromotriz (ε). Por tanto en un circuito cerrado se cumplirá:

l

r

r

d

E

⋅

=

ε

_∫

[3.39]

Siendo

E

r

el campo total en el conductor causante del movimiento de los portadores. Nótese, que este campo debe tener una componente no conservativa. La unidad de f.e.m. es el voltio.

Los dispositivos que suministran energía a los circuitos se conocen con el nombre de generadores de fuerza electromotriz ó baterías. Existen muchas formas de generar una fuerza electromotriz, por ejemplo a partir de reacciones químicas. Un método muy importante es mediante el fenómeno de inducción electromagnética.

La potencia de un generador de fuerza electromotriz será:

I

P

=

ε

[3.40]

Una batería ideal es una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus dos terminales, independientemente del flujo de carga

que exista entre ellos. La diferencia de potencial entre los terminales de una batería ideal es igual en magnitud a la fem de la batería. El símbolo de circuito para las baterías es:

En una batería real la diferencia de potencial entre los bornes de la batería, denominada tensión en bornes, no es simplemente igual al valor de la fem de la batería. Esto se debe a que cualquier generador de energía eléctrica real, como cualquier conductor, tiene su propia resistencia óhmica interna en la que se disipará una cierta cantidad de energía. Así pues, una batería ideal puede considerarse como una batería ideal de fem (ε) en serie con una pequeña resistencia llamada resistencia interna de la fuente

r

s.

La tensión en bornes de la batería sin ninguna carga (tensión en vacío) es la f.e.m. de la fuente ya que el circuito no está cerrado y por tanto no circula intensidad por

r

s.

Cuando el circuito se cierra con una resistencia de carga

R

L comenzará a circular una

intensidad

I

, y se producirá una caída de tensión en

r

s por lo que la tensión en bornes de la fuente

(a extremos de RL) será:

I

r

V

V

V

V

V

_{r R R ab r s} s L L s

+

∆

⇒

∆

≡

=

−

∆

=

−

∆

=

ε

ε

ε

[3.41]

y la tensión en bornes es algo menor que ε. Este resultado se suele denominar Ley de Ohm Generalizada. Es evidente que cuanto menor sea la resistencia interna más próxima estará la fuente a una ideal. Es importante hacer notar el cambio de notación que hemos hecho en la ecuación [3.41], es frecuente en Teoría de Circuitos indicar la diferencia de potencial entre dos punto como

b a

ab

V

V

V

=

−

[3.42]

en lugar de

∆

V

_ab. A partir de ahora utilizaremos esta notación siempre que no dé lugar a confusión. También utilizaremos el mismo convenio para indicar la caída de tensión

+

−

I

ε

r

s

a

b

ε

_Vab=ε

r

s

_a

b

ε

_I

_R

_L

_V

_ab

₌

_ε-r

_s

_I

en un componente y así pondremos, por ejemplo,

V

_R en lugar de

∆

V

_R para indicar la caída de tensión una resistencia.

Ejemplo. Una pila con una f.e.m. de 12 V tiene una tensión en bornes de 11,4 V cuando proporciona una corriente de 20 A al motor de arranque de un coche. Determinar: a) La potencia (P1) que se proporciona al motor de arranque y b) la potencia disipada en forma

de calor en la batería (P2).

a) La potencia que se proporciona al motor de arranque será, a la vista del circuito:

(

V

) (

A

)

W

I

V

P

₁

=

_ab

=

11

.

4

×

20

=

228

b) La potencia disipara en la batería será 2

2

r

I

P

=

_s . Podemos obtener la resistencia interna a partir de [3.41]

⇒

−

=

r

I

V

_ab

ε

_s

=

−

=

(

) (

−

)

=

0

.

03

Ω

20

4

.

11

12

A

V

V

I

V

r

ab s

ε

de forma que la potencia disipada es:

(

) (

A

)

W

I

r

P

s

0

.

03

20

12

2 2 2

=

=

Ω

×

=

Como vemos en este ejemplo, no toda la potencia que proporciona la fuente se entrega a la carga (en este caso al motor), ya que parte se disipa en forma de calor en la propia fuente. Es frecuente definir el rendimiento de un generador como el cociente entre la potencia realmente entregada (potencia útil, PU) y la potencia total proporcionada por el generado (Pε). Así:

( )

%

=

×

100

ε

η

P

P

U [3.42]

en el ejemplo anterior, el rendimiento de la fuente vale:

( )

%

95

%

95

.

0

240

228

240

228

1

_⇒

₌

₌

_⇒

₌







=

=

=

=

η

η

ε

ε

W

W

W

I

P

W

P

P

_U

Es evidente que la potencia entregada por fuente depende de la resistencia que se conecte entre sus bornes (resistencia de carga). Calcularemos ahora qué valor de la resistencia de carga hace que la potencia entregada por la fuente sea máxima.

r

s

_a

b

Para ellos consideremos el circuito de la figura en el que se cumplirá que:

2

I

R

P

_{R L} L

=

pero L s L s

R

r

I

I

R

I

r

+

=

⇒

+

=

ε

ε

de forma que:

(

)

2 2 2 2 L s L L s L L R

R

r

R

R

r

R

I

R

P

L



=

+











+

=

=

ε

ε

[3.42]

si queremos encontrar la resistencia que hace máxima la disipación hemos de imponer la condición de extremal

(

dP

_R

d

R

_L

)

=

0

L a la función potencia así,

(

)

(

(

)

)

4

2

(

)

0

2 2 2 2 2

=

+

+

−

+

=

















+

=

L s L s L L s L s L L L R

R

r

R

r

R

R

r

R

r

R

dR

d

dR

dP

L

ε

ε

ε

[3.43]

para que se anule el resultado anterior basta con exigir que sea nulo el numerador, por tanto:

(

+

)

−

(

+

)

=

⇒

/

(

+

)

/

=

/

(

+

)

=

⇒

0

2

0

2

2 2 2 2 2 2 L s L L s L s L L s

R

R

r

R

r

R

R

r

R

r

ε

ε

ε

ε

s L

r

R

=

[3.44]

de forma que la potencia será máxima si se carga al circuito con una resistencia igual a su resistencia interna. Más adelante veremos algunas consecuencias importantes de este resultado que se utiliza en electrónica para acoplas distintas etapas en un circuito en lo que se conoce como adaptación de impedancias (en caso más general).

r

s

_a

b