Recta en el plano

1

Ecuación de la recta en el plano

Supongamos que tenemos para de…nir la recta ,un punto que pertenece a la mismaP0y un vector paralelo a ella!A:

P0(x0;y0)2r y !A(ax;ay)qr

!

OP =OP0!+P0P!

el vector OP!0 se puede obtener ya que el punto P0 es dato pero el vector

!

P0P no lo conocemos pues el puntoP es un punto genéricode la recta y puede estar e cualquier lugar de ella.

Sin embargo por ser el vector!A qry por estar el vectorP0P! rpodremos decir que!A qP0P!, luego ambos vectores serán proporcionales.

!

P0P = !A

…nalmente escribiremos la Forma Vectorial de la recta

!

1.1

Forma paramétrica vectorial de la recta

!

OP=OP0!+ !A

(x;y) = (x0;y0) + (ax;ay)

x=x0+ ax y=y0+ ay

1.2

Forma simétrica de la recta

x=x0+ ax y=y0+ ay

despejamos e igualamos

=x x0

ax

=y y0

ay

x x0 ax =

y y0 ay

1.3

Forma General o implícita de la recta

Partiendo de la forma simétrica x x0

ax

=y y0

ay

ay(x x0) =ax(y y0)

ayx ayx0=axy axy0

ayx axy ayx0+axy0= 0

si de…nimos A=ay B= ax

C= ayx0+axy0

Ax+By+C= 0_{:::Forma General}

atento a la composición de los parámteros A y B vemos que la pendiente quedará de…nida como

m= A

B

1.4

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

P0(x0;y0)₂ryP1(x1;y1)₂r

!

OP =OP0!+P0P!

reemplazamosP0!P por P1P!0

!

OP =OP!0+ P1P!0

(x;y) = (x0;y0) + (x1 x0;y1 y0)

x=x0+ (x1 x0)

x x0 x1 x0 =

y y0

y1 y0 _{Forma simétrica}

si continuamos operando

y y0= ( y1 y0

x1 x0) (x x0)

pero(y1 y0

x1 x0

) =mpendiente, luego

y y0=m (x x0)o bien y=mx mx0+y0

resultando de la forma

y=mx+_{b::Forma explícita}

1.5

Forma segmentaria

Ahora bien, supongamos que se nos presenta el caso de una recta que está dada por dos puntosA(a)yB(b)siendo ellos donde la recta corta los ejes coordenados.

Vemos que las coodenadas de los mismos seránA(a;0)yB(0; b)

apliquemos ahora la expresión de laforma simétrica de la recta que pasa por dos puntos

x xa xb xa

= y ya

yb ya

reemplazando x a

0 a =

y 0

b 0

x a+ 1 =

y

b , …nalmente

x a+

y

b = 1::Forma segmentaria

Ejemplo: Dados los puntos A(3;2) yB( 4;6) , se pide hallar las formas

vectorial, paramétrica, simétrica ,explícita y segmentaria de la recta que deter-minan los mismos.

(x;y) = (xa;ya) + (xb xa;yb ya)

(x;y) = (3;2) + ( 4 3; 6 2)

(x;y)=(3,2)+ (-7;4)_{::::::::::::FormaVectorial}

x= 3 7

y= 2 + 4 ::::::::Forma Paramétrica

x 3

7 =

y 2

4 ...Forma Simétrica 4(x 3) = 7(y 2)

4x 12 = 7y+ 14

y= 4 7x+

26

7 ...Forma Explícita

4x+ 7y= 26

4x+ 7y 26 = 0_{... Forma Implícita o General}

x

26 4

+ y 26

7 = 1

...Forma Segmentaria

4 7x+

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-2 2 4 6 8

x

y

1.5.1 Forma Normal

Tomaremos como parámetros mormalesny , donde

n= Distancia de la recta al origen medida en la dirección normal a la misma ( vector!N)

= ángulo que determina el vector!N con el ejeX

Deberemos encontrar la expresión de un puntoP(x; y)genérico (que pertenezca a la recta) en función de nuestros dos parámetros normales.

se puede observar que

n=OP!cos($ )

n=OP!(cos$cos +sen$ sen )

n=OP!cos$cos +OP sen$ sen!

…nalmente xcos +y sen -n=0:::::Forma

Normal

Aplicación de la foma Normal Qué sucede cuándo el punto P(x; y) NO

pertenece a la recta sino que por el contrario es un un punto cualquiera del plano?

El razonamiento es análogo al anterior, veamos.

n+d=OP!cos($ )

n+d=OP!(cos$cos +sen$ sen )

n+d=OP!cos$cos +OP sen$ sen!

…nalmente xcos +y sen -n=d

dondedes la distancia entre el punto y la recta

Finalmente vemos que si reemplazamos las coordenadas de un punto en la expresión Normal de la recta se presentan dos casos

xcos +y sen -n=0 el punto

pertenece a la recta

xcos +y sen -n=dcon d₆= 0 dserá la distancia deP a la recta r

:

Pasaje de la forma implícita a la Normal Consideremos dos expresiones

de unamisma recta, una en forma General y otra en forma Normal

r_!Ax+by+C= 0

los coe…cientes de las mismas A _$ cos ; B _$ sen ; C _$ n, por repre-sentar la misma recta deberán guardar la misma relación de proporcionalidad .

Si determinamos comhal valor de dicha proporción, tendremos

A

cos =

B sen =

C n =h de donde

cos h=A (1)

sen h=B (2) n h=C (3)

elevando al cuadrado (1) y (2) y sumando

(cos2 _+sen2 _{) h}2_=A2_+B2

obtenemos

h=p2

A2_+B2

…nalmente , reemplazadohen (1)(2) y(3)

cos = _p2 A

A2_+B2 ; sen = B 2

p

A2_+B2 ; n= C 2

p

A2_+B2

Conclusión:

Si partimos de una recta dada en forma general

r_!Ax+by+C= 0

la transformaremos en Normal dividiéndola por -p2A2_+B2

Nótese el signo menos que afecta a la raíz, indica que debemos considerar a la misma con el signo contrario del término independiente C

Ejemplo

Calcular la diatancia del puntoP(4;6)a la recta3x+ 4y 2 = 0

1. obtenemos la expresión Normal de la recta

3x+ 4y 2

2

p

92_{+ 4}2 = 0

3x+ 4y 2

calculemos su distancia al puntoP

3(4) + 4(6) 2

5 =

34 5

d=34 5

el signo positivo en la distancia nos indica que la recta se encuentra entre el origen de coordenadas y el punto

1 2

3

4 x

-10 -5 5 10

-10 -5 5 10

1.6

Ejercitación

1. Hallar las ecuaciones vectorial,paramétrica,simétrica ,segmentaria, implícita y explícita de la recta determinada por los puntosA( 3;4)yB(1;2):Gra…car.

(rta.(x; y) = ( 3;4) + (4; 2), x= 3 + 4 y= 4 2 ,

x+3 4 =

y 4 2, y= x

2 + 5 2, y 5 2 +x 5 = 1)

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 y tiene pendiente m y gra…car en los siguientes casos.

(a) P0( 4;3)ym= 1₂ (b) P0(0;5)ym= 2 (c) P0(2;0)ym=3₄

(rta. x 2y+ 10 = 0;2x+y 5 = 0;3₄x y 3₂ = 0)

3. Hallar y gra…car la recta que pasa por los puntosA( 2; 3)yB(4;2)

(rta. 5y 5x+ 8 = 0)

4. Hallar y gra…car la ecuación de la recta que pasa por el puntoP0(2; 3)

y es paralela a la recta que pasa por los puntosA(4;1)yB( 2;2): (rta.x ₆2 =y+ 3)

5. Hallar el valor del parámetrok de forma que :

(a) 3kx+ 5y+k 2 = 0pase por el puntoP( 1;4):Gra…car (b) 4x ky 7 = 0tenga pendientem= 3:Gra…car

(c) kx y= 3k 6tenga de abscisa en el origen 5.Gra…car (rta.k= 9; k=4

3; k= 3)

6. Hallar las ecuaciones de las rectas de mendientem= ₄3 que formen con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de 24 unidades cuadradas de super…cie.Gra…car

(rta.y= ₄3x 6)

7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos(x; y)que disten el doble de la rectax= 5 que de la rectay= 8:Gra…car

(rta. x+ 2y 21 = 0; x 2y+ 11 = 0) 8. Reducir a la forma normal

(a) p3x+y 9 = 0

(c) x+y+ 8 = 0

(rta.p₂3x+y₂ 9₂ = 0;3₅x 4₅y 6₅ = 0;x+y+8p 2 = 0) 9. Hallar la distanciadde

(a) 8x+ 15y 24 = 0 aP( 2; 3)

(b) 6x 8y+ 5 = 0aP( 1;7)

(rta.d= 5; d= 57 10)

10. Hallar el valor de kpara que la distancia de la recta8x+ 15y+k= 0al puntoP(2;3) sea igual a 5 unidades.Gra…car

(rta. k= 146)

11. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta r1_!2x+ 7y 3 = 0en su intersección con la rectar2_!3x 2y+ 8 = 0:Gra…car.

(rta. y=7 2x 8)

12. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta r1 ! 4x+y 1 = 0 que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x 5y+ 3 = 0 y x 3y 7 = 0.Gra…car

(rta.y= x₄ 6 = 0)

13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de r1 _!3x

2y+ 10 = 0yr2_!4x+ 3y 7 = 0y por el punto P(2;1):Gra…car. (rta. 22x+ 25y 69 = 0)

14. Dada la recta 5x 7y+ 11 = 0:Escribir la ecuación que representa todas las rectas paralelas a ella. A partir de ésta hallar la ecuación de la recta paralela que pase por el puntoP(4;2):Gra…car

(rta.5x 7y+k= 0;5k 7y 6 = 0)

15. Hallar la ecuación de la recta en forma general sabiendo que la intersección con los ejesXeY es 3 y -5 respectivamente.

(rta.5x 3y 15 = 0).Gra…car

16. Hallar el valor dekpara que la rectakx+ (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta4x+ 3y+ 7 = 0:Gra…car

(rta.k= 4)

17. Determinar el varlor dekpara que la recta4x+ 5y+k= 0forme con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2,5 unidades cuadradas. (rta.k= 10)

18. En un círculo de centro en el origen y radio igual a 5 hallar la forma normal de la ecuación de su tangente en el punto (-3,4).

19. Dadar_!5x 7y 11 = 0:Reducir su ecuación a la forma normal y hallar los valores deny$:

20. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyos lados se en-cuentran sobre las rectas de ecuación2x+3y= 0; x+3y+3 = 0; x+y+1 = 0:Gra…car

21. Escribir la ecuación de la recta que pasa por P( 2;1)y es paralela a la recta que pasa por los puntosA(0;1)yB(1;5)

22. Escribir la ecuación de la recta que pasa por P(6;3) y es perpendicular a la recta determinada por los puntosA(1;2)yB(0;5):

23. Los vértices de un triángulo son A( 3;2); B(3;0)yC(5;5):Determinar

(a) i. las ecuaciones de los lados ii. las ecuaciones de las alturas iii. gra…car

24. Dados los cuatro puntosA( 1; 1); B(4;1); C(2;6)yD( 3;4):veri…car que ABCD es un cuadrado y hallar la ecuación de sus lados y las de sus diagonales. Gra…car.

25. Los vértices de un triángulo sonA(4;5); B( 4;1)yC(8; 5):Hallar las co-ordenadas del punto de intersección de sus alturas. Gra…car.

26. Determinar la ecuación de la recta que pasa porP(3;2)y por el punto de intersección de2x+y 2 = 0y4x 3y+ 12 = 0:

(rta. x+ 3y 9 = 0)

27. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de las rectas y = 2x+ 1 y3x+y 11 = 0 es paralela a la recta x₄ + y₂ = 1:Gra…car.

28. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x 4y+ 12 = 0y2x y 2 = 0y es perpendicular al segmento determinado porA(6;0)yB(8;2):Graf icar

29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2; 1) y por el punto de intersección de5x 2y 10 = 0yx+ 2y 8 = 0:Gra…car. 30. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de

las rectasx y+ 1 = 0y2x+y 7 = 0determina con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área 12 unidades cuadradas.

31. Dadas las rectasr1yr2:Hallar las ecuaciones de las rectasrperpendicular ar1 yrperpendicular ar2:Gra…car

(rta.r0 _{!y= 6 x; r}00_{!y= 4x 14)}

(a) Ecuación de la recta que pasa porP0y es paralela a la dada.Gra…car (b) Ecuación de la recta que pasa porP0y es perpendicular a la dada.Gra…car

(rta. y= 2x+ 5; y= 1 2x+