UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
SEDE DEL LITORAL
CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA
ASIGNATURA DE ÁREA I
TI-2001
- Industrial-
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR SEDE DEL LITORAL
CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA
1.- DATOS GENERALES:
Asignatura:
Asignatura de Área I
Código: TI - 2001
Departamento:
Tecnología de Servicios
Unidades Créditos: 03 Créditos
Horas Semanales: 3 horas Trimestre: Enero-Marzo 2011
Autor: Prof. Asdrúbal Aguilera
2.- INTRODUCCIÓN – JUSTIFICACIÓN:
El presente texto se ofrece como una guía que aunada a las experiencias del Profesor, facilitará la obtención de los objetivos propuestos, además de las actividades de estudio que debe realizar el alumno, como tareas de investigación y lectura de textos alusivos, resolución de problemas y observación de situaciones prácticas. De esta forma el participante recibirá una gran contribución al desarrollo de sus habilidades y destrezas.
3.- OBJETIVOS:
Al finalizar la Asignatura de Área I, el estudiante estará en capacidad de:
1. Conocer las magnitudes escalares y las operaciones vectoriales 2. Analizar lo relacionado a la Cinemática.
3. Analizar la Dinámica y las Leyes de Newton.
4.- CONTENIDO PROGRÁMÁTICO:
Unidades Contenidos
I. – VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales. Representación matemática. Operaciones vectoriales unarias. Operaciones Binarias. Ejercicios.
II.- CINEMÁTICA Cinemática. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Ejercicios. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Problemas
III.- DINÁMICA Leyes de newton. Resolución de problemas. Diagrama de cuerpo libre.
IV.-
CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS
Trabajo. Trabajo conservativo. Potencia. Energía. Conceptos previos. Energía cinética. Potencial. Conservación de la energía. Rozamiento. Impulso y movimiento lineal. Colisiones. Problemas.
V.- MOVIMIENTO DE ROTACION
Cantidades angulares. Problemas.
VI.- ÓPTICA GEOMÉTRICA
Capítulo 1: VECTORES
Magnitudes Escalares y Vectoriales.
Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar.
Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar ``algo más que un sólo número''. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc...Este tipo de magnitudes se denominan vectores. Un vector es un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene un origen y un extremo.
Elementos de un vector:
- Magnitud o módulo es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector - Dirección o línea de acción: es la dirección de la recta que contiene a dicho vector. La dirección puede ser horizontal, vertical e inclinada.
- El punto de aplicación o de origen es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector está representando
- Sentido: está indicado por la unta de la flecha colocada en el extremo
Representación Matemática.
Matemáticamente un escalar se representa con un único número y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.
Así un vector v
se representa como
ˆ ˆ
, ,
x y z x y z
v v v v v i v j v k
siendo vx, vy y vz las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los
Operaciones Vectoriales Unarias.
Se llama módulo de un vector a lo que éste ``mide''. Se calcula como:
2 2 2
x y z
v v v v v
Proyección de un vector sobre un eje es ''la sombra'' de dicho vector sobre el eje si la luz que proyecta dicha sombra cayera justo perpendicularmente. Así las proyecciones de un vector v sobre los ejes X, Y y Z serán vx, vy y vz
respectivamente. El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.
, ,
x y z
v v v v
Operaciones Vectoriales Binarias.
Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las más conocidas son:
Equivalencia.
Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir:
, ,
x x y y z z
a b a b a b a b
Suma y Resta.
La suma de varios vectores también se denomina resultante de dichos vectores. Para sumar un vector a a otro b se suma componente a componente, es decir:
, ,
x x y y z z
a b a b a b a b
Para restar un vector ade otro bse suma el inverso del vectorb, es decir:
, ,
x x y y z z
a b a b a b a b
La resta de dos vectores iguales es el vector cero o nulo.
Producto Escalar.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica su nombre. Para multiplicar así escalarmente un vector a por otro b se opera de la siguiente forma:
cos
a b a b
Siendo el ángulo que forman los vectores a y bentre ellos.
El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar también sabiendo que:
x x y y z z
a b a b a b a b
Propiedades del producto escalar:
Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo. Es nulo si los dos vectores son perpendiculares.
Para proyectar un vector a sobre un eje marcado por un vector b basta con realizar la operación:
b a b proy a b
Dados dos vectores se puede calcular el ángulo que forma entre ellos usando la relación
2 2 2 2 2 2
cos x x y y z z
x y z x y z
a b a b a b
a b
a b a a a b b b
Producto Vectorial.
El producto vectorial, representado como a b o bien como a b, tiene las siguientes propiedades:
Es perpendicular tanto a a
como a b
. Es decir, a b a y a b b .
Su módulo es: a b absen , siendo el ángulo que forman entre ellos.
Su sentido está dado por la regla de la mano derecha (entre otras).
Para hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que si a a ixˆ a jyˆ a kzˆ
y b b ixˆ b jyˆ b kzˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b
EJERCICIOS
1. Sean los vectores A 5, 2 , B 3, 3 y 1,1 2
C
hallar:
a) A
b) Dirección de B
c) A B
d) A B
e) 3A
f) A B
g) A B
h) A B 3 A C
2. Sean los vectores a 3iˆ 2ˆj y b 4iˆ ˆj calcular: a) El vector suma y su módulo.
b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.
c) El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.
3. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 5N
y F2 7N, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60º y
30º respectivamente. Calcular: a) La fuerza resultante. b) Su módulo.
c) Ángulo que forma con el eje OX.
4. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1 6N, F2 3N y
3 4
F N, que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45º, 30º y 60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la fuerza resultante y el coseno del ángulo que forma con el eje OX.
5. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto
1, 2, 0
O y de extremo P 3, 1, 2 . Calcular: a) Componentes del vector OP. b) Módulos y cosenos directores.
6. Dados los vectores a 2, 4, 6 y b 1, 2,3 . Calcular:
a) El vector suma a b, su módulo y cosenos directores.
b) El vector diferencia a b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
7. Dados los vectores a 1, 1, 2 y b 1,3, 4 . Calcular: a) El producto escalar de ambos vectores.
b) El ángulo que forman entre sí. c) La proyección de b sobre a.
8. Dados dos vectores a 2, 1, 0 , b 3, 2,1 y c 0, 2,1 . Calcular:
a) a b c
b) a b c
c) a b c producto mixto.
d) a b c
e) a b c doble producto vectorial.
9. Si el producto vectorial de dos vectores es a b 3iˆ 6ˆj 2kˆ y sus módulos
son 4 y 7, respectivamente, calcular su producto escalar.
10. Sea W el trabajo realizado sobre un cuerpo, por una fuerza F que genera un desplazamiento D
de dicho cuerpo, definido como W F D. Calcule el trabajo realizado por una fuerza de módulo 100 N aplicada con un ángulo de 6 radianes
respecto de la horizontal de modo que produce un desplazamiento de 2 3 m en
dirección del eje de las abscisas. Sol: W 300Nm.
11. Suponga que el vector velocidad v de un cuerpo que describe una
trayectoria curvilínea durante su movimiento, está definido por la siguiente ecuación:
v w r . Donde w representa el vector velocidad angular de dicho cuerpo y r es el
vector de posición móvil. Hallar la velocidad de un cuerpo si su velocidad angular es
ˆ 2
w k
y su vector posición es 3ˆ 3 ˆ
8 10
r i j
. Sol:
3ˆ 3 ˆ
5 4
12. Calcule el módulo y la dirección de la fuerza magnética F , sabiendo que
F v B
; representando estos vectores la velocidad (40 m/s) y el campo magnético (104 Tesla) respectivamente.
13. Si tenemos tres vectores perpendiculares entre sí de módulos a, b, c. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:
a) a b c
es un vector de magnitud nula. b) a b c es un escalar de magnitud nula.
c) a b c es un escalar de magnitud nula.
d)
a b
c a b
es un vector de magnitud 1 c .
14. Hallar la suma de los siguientes vectores mostrados en la siguiente figura (todos los vectores tienen el mismo módulo):
a) aiˆ ajˆ
b) aiˆ 0ˆj
c) 0iˆ 0ˆj
Capítulo 2: CINEMÁTICA
La mecánica es la parte de la física encargada de estudiar el movimiento y el reposo de los cuerpos, haciendo un análisis de sus propias causas, Para su estudio la mecánica se divide en tres ramas: cinemática, estática y dinámica.
La cinemática es la rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que producen dicho movimiento. La dinámica es la rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos analizando las causas que determinan dicho movimiento. La estática es la rama encargada de estudiar el equilibrio de los cuerpos.
Elementos del movimiento.
El móvil o partícula, la trayectoria, la posición, punto de referencia, el tiempo, desplazamiento, distancia recorrida.
Velocidad y Rapidez.
Rapidez y Velocidad son palabras que con frecuencia se utilizan en el lenguaje cotidiano. En física se hace la distinción entre ellas. La rapidez se refiere a que tan lejos viaja un objeto en un intervalo determinado de tiempo. Si un automóvil viaja a 180 kilómetros (km) en 3 horas, decimos que su rapidez promedio es de 60 km/h. en general, la rapidez media de un objeto se define como “la distancia recorrida dividida entre el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia”:
Esta definición podemos escribirla como:
En la cual representa la distancia, el tiempo transcurrido y la rapidez media o promedio.
Cambio de Unidades.
Con frecuencia se necesita pasar de un conjunto de unidades a otro. Por ejemplo, muchas veces es preferible la rapidez de un auto en m/s, y no en km/h, como cuando se miden distancias de frenado, ya que los tiempos y distancias que intervienen son en general segundos y metros, en lugar de horas y kilómetros. También, a veces se debe pasar de unidades métricas a inglesas o viceversa.
Note que en el primer renglón hemos multiplicado el número original (80 km/h) por los factores de conversión: 1000 m/1 km = 1 y 1 h/3600s. Ambos factores de conversión son iguales a uno, y por lo tanto, la ecuación no cambia. Las unidades horas y kilómetros se simplifican y con ello obtenemos m/s.
Al cambiar unidades, con frecuencia es un problema decir si el factor de conversión va en el numerador o en el denominador. El modo más fácil de asegurarse es comprobar si las unidades se simplifican como en el ejemplo anterior.
Los cambios entre unidades métricas e inglesas se pueden efectuar del mismo modo.
Velocidad Instantánea.
Si se conduce un auto por una carretera recta de 200 km en 2 h, la magnitud de la velocidad media es de 100 km/h. sin embargo, no es posible que en todo el trayecto la velocidad haya sido 100 km/h. para manejar este caso se necesita el concepto de velocidad instantánea, que es la velocidad en cualquier momento. La velocidad instantánea en cualquier momento se define como la velocidad media en un intervalo de tiempo infinitamente corto.
Aceleración.
Se dice que un objeto acelera cuando varía su velocidad. Un auto cuya velocidad aumenta de 0 a 100 km/h esta acelerando. Si un auto hace ese cambio de velocidad en menos tiempo que otro, se dice que su aceleración es mayor. La aceleración media se define como la rapidez de cambio de la velocidad, o el cambio de velocidad dividido entre el tiempo que tomo en hacer ese cambio.
En símbolos, la aceleración media, , sobre un intervalo de tiempo ∆t = t2 – t1, cuando la velocidad cambia ∆v = v2 – v1, se define como:
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
El MRU se caracteriza por:
El Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
La Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
Aceleración nula.
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.
0 0
x x v t t v v0= constante a 0
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan:
Figura N 2.1: Representación gráfica de la posición y la velocidad versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniforme.
EJERCICIOS
1. Un móvil A inicia su movimiento con una rapidez constante de 10 m/s y 4 s después sale del mismo punto y en el mismo sentido un móvil B con rapidez constante 15 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida alcanza el móvil B al A y qué tiempo tarda en alcanzarlo?
2. Una recta paralela al eje de los tiempos en una gráfica X vs. t de un M.R.U. significa que el móvil:
d) Recorre distancias iguales en tiempos desiguales. e) Ninguna de las anteriores.
3. La aguja del velocímetro de un automóvil nos mide: a) La rapidez del móvil.
b) La velocidad del móvil.
c) El desplazamiento realizado del móvil. d) El tiempo de movimiento del móvil. e) Ninguna de las anteriores.
4. Cuando decimos que el móvil tiene una rapidez de 150 m/s significa que el recorre:
a) 150 m en 150 s b) 150 m en 1 s c) 15 m en 10 s d) 1 m en 150 s
e) Ninguna de las anteriores.
5. En una gráfica X vs. t del M.R.U. el valor de la pendiente de la recta representa:
a) La distancia recorrida por una partícula. b) El tiempo de movimiento de una partícula. c) La rapidez que tiene una partícula.
d) La distancia y el tiempo. e) Ninguna de las anteriores.
6. El cambio neto de posición experimentado por un cuerpo al pasar de un punto a otro se le llama:
a) Movimiento. b) Rapidez.
c) Desplazamiento. d) Distancia recorrida.
e) Ninguna de las anteriores.
7. La rapidez es una magnitud: a) Escalar
b) Vectorial
c) Escalar - Vectorial d) Fundamental
e) Ninguna de las anteriores.
8. Jesús está trotando a una velocidad constante de 4 km/h y está a un kilómetro por detrás de María, quien corre a una velocidad constante de 3 km/h en la misma dirección que Jesús. ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanzará Jesús a María?
a) ¼ hora. b) ½ hora. c) ¾ hora. d) 1 hora.
Movimiento
Rectilíneo
Uniformemente
Variado
(MRUV)
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración en función del tiempo podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los
instantes t0 y t, mediante integración, o
gráficamente (área del rectángulo sombreado en la Figura N 2.2).
0 0
v v a t t
Figura N 2.2: Gráfica de la aceleración versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre
los instantes t0 y t, gráficamente (área del trapecio
sombreado en la Figura N 2.3), o integrando.
2
0 0 0 0
1 2
x x v t t a t t
Figura N 2.3: Gráfica de la velocidad versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniforme.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de la siguiente manera:
2 0 0
1 2
x x v t at v v0 at a constante
Despejando el tiempo t de la ecuación de velocidad y sustituyendo en la ecuación de posición se obtiene la siguiente relación:
2 2
0 2 0
Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.
También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.
El movimiento uniformemente variado (MRUV) presenta tres características fundamentales:
1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. 2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
EJERCICIOS
9. Analice la siguiente gráfica y responda a las preguntas. Calcule la rapidez en los
segmentos AB, BC, CD y EF. a) ¿En qué segmento queda
representado el momento en el cual el móvil está detenido?. b) ¿A qué distancia del punto de
partida está a los 4 s?.
c) ¿En qué intervalo de tiempo la rapidez ha sido mayor?.
d) ¿Cuántos metros recorre en los 3s?.
e) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el móvil?.
f) ¿Cuál es el desplazamiento total?.
g) ¿Cuánto tiempo estuvo en movimiento?.
h) ¿Se podría construir a partir de los datos de este gráfico un gráfico velocidad versus tiempo? En caso afirmativo, explique cómo.
10. La siguiente gráfica representa tres móviles: a) ¿Cuál de las rectas representa el móvil de
mayor rapidez?.
b) Si las rectas B y C son paralelas, ¿qué se puede decir con respecto a estos móviles?. c) ¿Cuáles móviles parten al mismo tiempo?. d) ¿Cuáles móviles parten del mismo punto?.
GRÁFICO POSICIÓN vs. TIEMPO
0 6 12 18 24
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
X
(
m
11. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 735 m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo llegará al suelo?. Sol: t=150 s
12. Un cuerpo fue lanzado hacia arriba y tardó 20 segundos para regresar al suelo. Calcular la rapidez con que fue lanzado y la altura alcanzada.
Sol: v0 = 98 m/s y
ymax.= 490 m.
13. Un móvil que en un momento dado se desplaza a 20 m/s inicia un M.U.A., el cual mantiene durante 8 s., al final de los cuales tiene una velocidad de 32 m/s. A partir de este momento se desplaza durante 12 s. con velocidad constante. ¿Cuál es
el desplazamiento total?. Sol: 592 m.
14. Un coche viaja de noche a 72 km/h y de repente encuentra un camión estacionado a 30 metros de distancia. Frena con la máxima aceleración negativa de 5 m/s2. Calcular el tiempo que tarda en detenerse y determinar si llega a chocar con
el camión. Sol: t = 4 s. Sí
choca.
15. ¿Con qué velocidad debe ser lanzada verticalmente hacia arriba una pelota para alcanzar un altura máxima de 15,3 m?.
16. El vector de posición de una partícula P es ˆ 2ˆ ˆ
3 8
r ti t j k
en unidades del Sistema Internacional (S.I.). Hallar: a) La velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) Las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 s.
Sol: v = 240m/s; a t= 1,6 m/s2, an = 1,2 m/s2.
17. Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s2 durante un minuto. En ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula libre. Tomando g como constante. Calcular: a) La altura máxima alcanzada; b) El tiempo que está el cohete en el aire. Sol: ymax = 109,5
km; t = 331 s.
18. Un ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s. Cuando se encuentra a 10 m sobre el nivel del suelo los cables se rompen. Prescindiendo del rozamiento, calcular: a) La máxima altura a que llega la cabina. b) Si los frenos de seguridad actúan automáticamente cuando la velocidad del descenso alcanza el valor de 4 m/s, determinar la altura en la que se activan los frenos.
19. Una grúa eleva un objeto pesado a velocidad constante de 10 ms-1. cuando el objeto se encuentra a 5 m sobre el suelo se rompe el cable quedando éste en libertad. Calcular: a)¿Hasta qué altura seguirá subiendo el objeto?. b)¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se rompió la cuerda? Sol: ymax = 10 m; t = 2 min
41 s.
20. En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de 200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la distancia mínima entre los adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no
sea alcanzada. Sol:
xmax=101 m.
21. Cuando la aceleración de un movimiento es cero, se dice que el movimiento es:
a) Acelerado. b) Retardado. c) Uniforme. d) Rectilíneo.
e) Ninguna de las anteriores.
22. El valor numérico del área de la figura encerrada bajo la curva en una gráfica velocidad versus tiempo representa:
a) La rapidez del móvil. b) La aceleración.
c) La distancia recorrida. d) El tiempo de movimiento. e) Ninguna de las anteriores.
23. El lanzamiento vertical ascendente representa un movimiento: a) Uniforme sin velocidad inicial.
b) Uniformemente retardado. c) Uniforme.
d) Uniformemente acelerado. e) Ninguna de las anteriores.
24. La distancia recorrida y el desplazamiento son tales que: a) Ambos son vectoriales.
b) Siempre coinciden.
c) El desplazamiento es magnitud vectorial y la distancia es escalar. d) Coinciden con la trayectoria.
e) Ninguna de las anteriores.
25. La razón entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente se llama:
e) Ninguna de las anteriores.
26. Un móvil que se desplaza a 12 m/s inicia un M.U.A. con aceleración de 1,2 m/s2. Al recorrer 100 m tendrá una rapidez de:
a) 19,59 m/s. b) 384 m/s. c) 15,49 m/s. d) 132 m/s.
e) Ninguna de las anteriores.
27. El cambio de dirección de la recta en una gráfica velocidad versus tiempo significa que:
a) El móvil varió de dirección. b) Hubo cambio de aceleración. c) El móvil cambió de trayectoria.
d) El móvil cambió el sentido del movimiento. e) Ninguna de las anteriores.
28. Un cuerpo que se lanza hacia arriba con una rapidez de 4,9 m/s, dura en el aire:
a) 2 s. b) ½ s. c) 1 s. d) ¼ s.
e) Ninguna de las anteriores.
29. La gravedad es una aceleración: a) Igual en todo el universo. b) Siempre positiva.
c) Es la misma para cualquier cuerpo en un mismo lugar. d) Que depende del cuerpo.
e) Ninguna de las anteriores.
30. Un móvil parte del reposo, con una aceleración de 10 m/s2. El tiempo que demora en alcanzar una velocidad de 72 km/h es:
a) 2 s. b) 4 s. c) 6 s. d) 20 s.
e) Ninguna de las anteriores.
31. Un automóvil debe tomar una curva a 36 km/h para no volcarse, si tiene una velocidad de 144 km/h. Hallar la aceleración que debe aplicarse si se quiere disminuir la velocidad en 3 s.
a) 10 km/h2. b) 100 m/s2. c) 10 m/s2. d) 1 m/s2.
32. Una esfera es lanzada horizontalmente desde el borde de una mesa con una velocidad de 24,4 m/s llegando al suelo 2,5 s. después. Calcular: a)¿Cuánto ha descendido en ese tiempo?, b) ¿cuánto ha avanzado en sentido horizontal?, c)¿cuánto valen las componentes horizontal y vertical de la velocidad en el momento de tocar el suelo?. Sol: x = 31,25 m. Vx = 24,4 m/s , Vy =
25 m/s.
33. En el lanzamiento parabólico el movimiento horizontal es: a) Con aceleración variable.
b) Uniformemente retardado. c) Uniformemente acelerado. d) Uniforme.
e) Ninguna de las anteriores.
34. En una feria existe un juego muy conocido que se trata de tumbar tres frascos colocados en forma de pirámide con una pelota. Claudia quiere regalarle un peluche a su hijita y la única forma es que tumbe los frascos con un sólo tiro. Si la distancia desde el sitio de lanzamiento hasta los frascos es de 8 m., la altura al centro de los tres frascos es de 70 cm y la altura a la que lanza la pelota es de 1,7 m; ¿A qué velocidad debe lanzar la pelota para dar en el blanco?
a) 40 5 m/s.
b) 8 m/s
5 .
c) 8 5 m/s.
d) 5 m/s
5 .
e) Ninguna de las anteriores.
35. Un bateador conecta un home run imprimiéndole a la pelota una velocidad inicial de módulo 50 m/s con un ángulo de inclinación de 30° con respecto a la horizontal y es atrapada por un fanático que se encuentra en el estacionamiento. Suponiendo que el bateador y el fanático se encuentran a la misma altura. Hallar la distancia que los separa.
a) 250 3 m. b) 250 m. c) 125 m. d) 125 3 m.
Capítulo 3: DINÁMICA
Así como la cinemática se encarga de la descripción del movimiento de los cuerpos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a éstos, la dinámica estudia precisamente por qué se mueven los cuerpos, es decir, cuáles son las causas que crean la variación de su estado de movimiento.
Leyes de Newton.
Primera Ley de Newton. Ley de la Inercia.
La ley de la inercia se podría enunciar como: Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta o no equilibrada. Donde la fuerza neta sería la suma vectorial de todas las fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.
Ésta es la razón por la cual es tan peligroso para los astronautas en el espacio separarse de la nave sin un cordón que los una a ella, ya que si chocan con algo y salen impulsados, como la fuerza neta es casi nula sobre ellos, seguirán desplazándose uniformemente y separándose de la nave sin posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequeño impulsor).
Segunda Ley de Newton.
Esta ley es la más importante en cuanto nos permite establecer una relación numérica entre las magnitudes fuerza y aceleración. Se podría enunciar como: La aceleración que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta externa que se le aplica. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, por lo cual:
F ma
Esta expresión nos relaciona F, m y ade una forma unívoca. Básicamente nos dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho cuerpo se acelere en la misma dirección y sentido que la suma de las fuerzas que le son aplicadas y con una intensidad o módulo que será la misma que la resultante de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.
Tercera ley de Newton.
La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: éstas siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como: Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercerá sobre A una fuerza igual en módulo y dirección, pero de sentido contrario.
Gracias a esta ley se pueden entender fenómenos como que, para saltar hacia arriba ¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra también ejerce esta misma fuerza sobre nosotros, pero con sentido contrario (es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparación con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve apreciablemente.
Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario ¿no deberían anularse las fuerzas y nada se podría mover?. Pues no es así, porque las fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. Así en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.
En el desarrollo de problemas físicos se presentan comúnmente ciertas fuerzas de acción y reacción de gran interés, algunas de ellas son:
La Fuerza Normal:
Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo que se le sitúa encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se ''hundiría'' en la superficie. Ésta es, por tanto, la fuerza de reacción que, obediente al tercer principio de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima, hace sobre ella.
Esta fuerza es siempre normal a la superficie, es decir, perpendicular a ésta. Para calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que tomemos como referencia, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma en que sea necesario.
Como ejemplo calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10 kg. si el cuerpo está en reposo sobre ella. Si el cuerpo está en reposo significa que su aceleración total es nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que
0
F ma N P
La Fuerza de Roce:
El rozamiento entre superficies se expresa como:
r
F N
siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede ''demostrar'' porque se trata de un resultado empírico, es decir, fruto de la experimentación.
El coeficiente de rozamiento es adimensional y expresa así la relación entre la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la superficie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa de este empuje. Puede haber dos tipos de coeficiente de rozamiento. Un estático, que se aplica cuando el cuerpo está quieto y que así, utilizado en la expresión anterior, nos va a ofrecer la fuerza máxima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un cuerpo que está quieto, y un dinámico que, aplicado en la misma expresión, nos dice la fuerza que el rozamiento está realizando contra un movimiento.
Por ejemplo, considérese un cuerpo de 4 kg. que se está deslizando por una superficie plana y horizontal con coeficiente de rozamiento (dinámico) 0, 25. Si sobre este cuerpo no actúan más fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qué aceleración se mueve el cuerpo?. Aplicando la ecuación de Newton al eje Y del movimiento obtenemos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto:
y y y
F ma N P ma
Como ay 0 (un cuerpo sobre una superficie no va ''rebotando'' sobre ella, su altura, medida sobre la superficie, es siempre cero) tendremos que N mg. Aplicando ahora Fx max tenemos que la única fuerza en el eje X es la de roce, y
por tanto:
x r x
F F N ma
sustituyendo el valor de la normal se obtiene: ax g, de donde ax 2,5m 2
s . El
signo negativo se debe a que, como estamos suponiendo implícitamente que el cuerpo avanza hacia el signo positivo del eje X, el rozamiento se opondrá al avance y tendrá, por lo tanto, signo negativo.
La Fuerza de Tensión:
La Fuerza Elástica:
Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. A las fuerzas de restauración, originadas en la parte interna del material, que tienden a regresar el cuerpo a su posición original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman fuerzas elásticas. Esta fuerza puede ser calculada a través de la ley de Hooke, es decir:
F k x
donde kes la constante de elasticidad y x es la deformación o desplazamiento medido desde el punto inicial.
Resolución de problemas
Diagrama de Cuerpo Libre
Un diagrama de cuerpo libre no es más que una representación a través de vectores de todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre un determinado cuerpo.
Planos Inclinados.
Es común en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos habrá que tener en cuenta que, así como la gravedad siempre se presenta vertical, la normal será perpendicular al plano inclinado, por lo que ningún sistema de coordenadas ortogonal tendrá exactamente comprendidas las fuerzas en acción sobre sus ejes. Esta pequeña dificultad se soslaya de una manera simple, proyectándose las fuerzas sobre los ejes que se utilicen como referencia.
Figura N 3.1: Diagrama de cuerpo libre para un bloque ubicado en un plano inclinado.
Por ejemplo, considérese un cuerpo que desliza por una rampa inclinada 30° y con un coeficiente de rozamiento 0, 2. Calcular la aceleración con la que
desciende dicho cuerpo suponiendo que g 9,8m 2
s . Tomemos para enfocar este
problema el gráfico representado en la figura anterior. Habremos de aplicar la ecuación de Newton F ma para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales que el eje X presente la misma inclinación que la rampa. De esta forma planteando la ecuación primero para el eje Y se obtiene: Fy may, y
como las fuerzas en el eje Y son la normal (componente positiva) y la proyección sobre este eje Y del peso (componente negativa) tendremos que:
cos 30 y
N mg ma
Ahora hay que darse cuenta que, en el eje Y el cuerpo no se acelera porque, como en ningún momento se despega de la superficie, siempre su posición Y es la misma y, por consiguiente, ay 0. Así se tiene que que:
cos 30 0 cos 30
N mg N mg
Para el eje X tenemos dos fuerzas, la proyección sobre el eje X del peso y la fuerza de rozamiento. Así pues:
30
x x x
F ma mgsen N ma
y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax, que es la aceleración del cuerpo:
2
30 cos30 3, 2
x m
a gsen g
s
Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo análisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensión que ejercen las cuerdas y dándose cuenta de que la aceleración será la misma para todos los cuerpos unidos entre sí por la cuerda, puesto que su movimiento será solidario.
EJERCICIOS
1. Si se tienen dos cuerpos, que se pueden mover libremente, de diferentes masas y les aplicamos la misma fuerza, entonces la mayor aceleración la tendrá:
a) El cuerpo de menor masa.
b) El cuerpo de mayor masa.
c) El cuerpo que se desplace más lento. d) El cuerpo que no se mueva.
e) Ninguna de las anteriores.
2. La fuerza que un plano ejerce sobre un bloque colocado sobre él, recibe el nombre de:
a) Tensión. b) Normal. c) Roce. d) Peso.
e) Ninguna de las anteriores.
3. La fuerza necesaria para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante es:
a) Proporcional a su masa. b) Proporcional a su peso. c) Nula.
d) Proporcional a su aceleración. e) Ninguna de las anteriores.
4. Las fuerzas de acción y reacción:
a) Son aspectos parciales de una interacción.
b) No originan movimiento. c) Actúan simultáneamente.
5. Sobre un cuerpo, apoyado sobre una superficie horizontal, actúan dos fuerzas: la normal y el peso, ellas son:
a) De igual magnitud y sentido. b) Perpendiculares entre sí. c) Actúan simultáneamente.
d) De diferente magnitud y sentidos opuestos. e) Ninguna de las anteriores.
6. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 12 N. y 5 N., formando entre sí un ángulo de 90°. El módulo de la fuerza resultante que actúa sobre él es:
a) 7 N. b) 17 N. c) 60 N. d) 13 N.
e) Ninguna de las anteriores.
7. En el plano inclinado, cuando un cuerpo está apoyado sobre él, la dirección del vector peso del cuerpo es:
a) Perpendicular al plano inclinado. b) Paralelo al plano inclinado.
c) Perpendicular al plano horizontal.
d) De sentido opuesto a la normal. e) Ninguna de las anteriores.
8. La dirección de la fuerza de roce es:
a) Perpendicular a la superficie de contacto. b) Paralela a la superficie de contacto. c) Paralela a la dirección normal.
d) Perpendicular a la dirección del desplazamiento. e) Ninguna de las anteriores.
9. La ley de inercia o primera ley de Newton se cumple para: a) Los cuerpos en reposo únicamente.
b) Todos los cuerpos independientemente de su estado de reposo o de movimiento.
c) Los cuerpos solo en movimiento
e) Ninguna de las anteriores.
10. Si llamamos F a la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo y ademásF 0, se cumple que:
a) La única posibilidad es que el cuerpo esté en reposo.
b) La única posibilidad es que el cuerpo se mueva con velocidad constante.
c) El cuerpo posee aceleración constante.
d) El cuerpo está en reposo o se mueve a velocidad constante. e) Ninguna de las anteriores.
11. Si llevamos una balanza en equilibrio, con una masa m colocada en uno de los platillos equilibrada esta con una masa patrón en el otro, al planeta Venus, podemos afirmar que:
a) Seguirá en equilibrio ya que no se está pesando sino midiendo la relación de masas.
b) Modificará su posición de equilibrio, ya que la aceleración de gravedad de Venus es diferente a la de la Tierra.
c) Se modificará la lectura de la escala ya que la masa patrón aumenta.
d) Se modificará la lectura de la escala, ya que la masa patrón disminuye. e) No se puede afirmar nada ya que nadie ha estado en Venus.
12. Si un cuerpo viaja a velocidad constante, entonces:
a) Sobre él no actúa ninguna fuerza. b) Actúa una fuerza constante sobre él. c) La fuerza resultante que actúa es nula.
d) Existe una fuerza variable que produce el movimiento. e) Ninguna de las anteriores.
13. Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo se incrementa un 50%, la aceleración del cuerpo:
a) Se incrementa en un 50 %. b) Se incrementa en un 100%. c) Se reduce en un 50%. d) Se reduce en un 100%.
14. Si un cuerpo se desliza sobre un plano inclinado de 30° sin rozamiento, la aceleración del cuerpo es: (considere g 9,8m 2
s )
a) 9,8 m 2 s .
b) 4,9 m 2 s .
c) 13, 2 m 2
s
d) 8, 6 m 2
s
e) Ninguna de las anteriores.
15. Sobre un cuerpo de masa m, actúa una fuerza de 4 N, produciéndose en él una aceleración de 2 m/s2. La fuerza que se debe ejercer sobre el mismo cuerpo para producir una aceleración de 6 m/s2 es:
a) 2 N b) 4 N
c) 6 N d) 12 N
e) Ninguna de las anteriores.
16. Si una fuerza F, al actuar sobre un cuerpo de masa m, produce una aceleración a, la misma fuerza al actuar sobre otro cuerpo de masa 2m, produce una aceleración:
a) a
b) 2a
c) 4a
d) a2
e) Ninguna de las anteriores.
17. En la figura se tienen dos fuerzas aplicadas sobre un cuerpo de masa 4 Kg. La aceleración del cuerpo es:
b) 0,5 m 2 s .
c) 0,5 m 2
s dirección horizontal y hacia la izquierda.
d) 0,5 m 2
s dirección horizontal y hacia la derecha.
e) Ninguna de las anteriores.
18. Un bloque de masa m1 4 Kg. Se encuentra sobre una superficie horizontal
sin rozamiento. De este objeto se amarra una cuerda que pasa por una polea y se cuelga otro bloque de masa m2 2 Kg. Tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la
tensión de la cuerda?
a) 12 N. b) 20 N. c) 13,3 N.
Capítulo 4: Consideraciones Energéticas
Los conceptos de trabajo y energía son de gran importancia en física, y también son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea física, por lo que habrá que tratar la intuición con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que intervienen el trabajo y la energía.
Trabajo
La palabra trabajo tiene diversos significados en el lenguaje cotidiano. En física, se le da un significado muy específico para describir lo que se logra mediante la acción de una fuerza, cuando hace que un objeto se mueva cierta distancia. En forma especifica, el trabajo efectuado por una fuerza constante, tanto en magnitud como en dirección, se define como el producto de la magnitud del desplazamiento por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. En forma de ecuación lo anterior es:
.
W F r
La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un N.m. Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que
cos W F r F r
en donde es el ángulo que existe entre la línea de aplicación de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o nulo. Cuando el trabajo realizado por la fuerza es nulo se dice que la fuerza no realiza trabajo.
Se tiene así que una fuerza aplicada perpendicularmente a un desplazamiento no produce
trabajo. Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo,
porque la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. ¿Cómo se puede entender esto intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra trabajo con ``cansancio'' y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa debería producir trabajo físico, porque cansa. Para entender esta situación podemos pensar que realmente no es necesario sujetar personalmente la bolsa a cierta distancia del suelo, puesto que esta misma acción puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el trabajo auténtico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas que se oponen a él, como podría ser en este caso el rozamiento del soporte con el suelo.
Pregunta:
¿Cuánto es el trabajo que produce la normal sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento sobre una superficie cualesquiera?
Ahora bien. ¿Cómo podemos definir el trabajo si la fuerza es variable, o si la trayectoria es curva?.En ese caso suponemos válida la definición de trabajo para una trayectoria muy pequeña (infinitésima) y sumamos (integramos) a todos los ’’pequeños trozos de trayectoria’’. Es decir:
2 2 1
1 1
.
n
i i
i
W W F r F d rF dr
Pregunta:
Un niño arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un ángulo con el suelo de30. ¿Cuál es el trabajo producido?
Utilizando la fórmula W F r cos tenemos simplemente que:
80 100 cos 30 4000 3
W J
Trabajo Conservativo
Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino sólo de los puntos inicial y final, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la acción de una fuerza conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será el mismo independientemente del itinerario del cuerpo.
Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede definir una magnitud denominada energía potencial. Ejemplos de fuerzas conservativas son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional).
Trabajo conservativo es aquél que sólo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria.
Potencia.
La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir:
W P
t
donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como:
W P
y si la fuerza es constante se puede decir que:
P F v
La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. ( ).
Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.
La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presión que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la fórmula la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la velocidad es constante. ¿Qué podemos explicar con esto?. Supongamos que un automóvil está ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente del peso que ``tira de él hacia atrás''. El conductor se ve obligado a ir en una marcha corta, lo cual significa que la relación entre la fuerza y la velocidad va a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, únicamente para vencer los rozamientos. Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia verá como, efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.
EJEMPLO
Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros.
Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua. Usando la fórmula para fuerzas constantes y notando que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de módulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que:
4
1000 9,8 cos 0 9,8 10
W F d J
Aplicando ahora la ecuación de la potencia P W
t se tiene que:
4
3
9,8 10
1, 6 10 60
Energía.
Se considera tácitamente la energía como la capacidad para hacer un trabajo, o bien el trabajo ''acumulado'' por un cuerpo.
El concepto de energía es uno de los más fructíferos de toda la física, pero también es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos definir unos conceptos previos.
Conceptos Previos.
Energía Cinética.
Energía cinética es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velocidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo de energía, pero no tenemos más que pensar que efectivamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformación, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energía.
Se puede demostrar la existencia de la energía cinética de varias formas. Una manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se está aplicando una fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton
F m a, tendremos un cuerpo sometido a una aceleración constante y, usando las ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que será m a x con la velocidad, el trabajo ''se acumula'' en forma de energía cinética, la cual es la energía que tiene un cuerpo por desplazarse con cierta velocidad y su valor es:
2
1 2
c
E mv
Es más correcto expresarlo como:
2 2
2 1 2 1
1 1
2 2
W W mv mv
éste es el llamado teorema de las fuerzas vivas.
convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, además, intentar que el máximo número de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el cálculo.
EJEMPLO
Se aplica una fuerza horizontal de 100 N a un cuerpo de 2 kg. que está inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se moverá al cabo de 20 metros?
Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas a este problema y tendremos que:
0
f
W Ec Ec
siendo 0 y f los instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que, en este caso,
0
Ec es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo será, como la fuerza es paralela al desplazamiento, W F d 100 20 2000 J. Tendremos entonces que:
2
1 2000
2mv
y por tanto:
2000
2 20 5
2
J m
v
Kg s
Potencial.
La energía potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se define la energía potencial en un punto de tal forma que se cumpla:
AB A B
W Ep Ep
El trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminución de la energía potencial W Ep, donde hemos llamado Ep Ep2 Ep1. Es muy
importante darse cuenta de la aparición del signo en la fórmula.
Otra notación para la energía potencial es, en vez de llamarla Ep, denominarla U.
Intuitivamente la energía potencial es la que tiene un cuerpo por el mero hecho de ocupar una determinada posición en el espacio. Así por ejemplo, veremos más adelante que un cuerpo que se encuentre a una cierta altura h sobre la superficie terrestre presenta, sólo por este hecho, una energía potencial. Podemos entender esto dándonos cuenta de que, efectivamente, un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energía, puesto que puede caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo durante su caída.
Gravitatoria en la Superficie Terrestre.
Aplicando la definición de potencial indicada en tendremos que:
siendo y la altura sobre el suelo o el nivel 0.
La energía potencial cuando el valor de g se puede tomar constante es
Ep mgh.
Gravitatoria General.
Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitación universal, es decir, que el módulo de la fuerza de atracción
es F GM m.2
r en donde el signo “ “ informa de que el sentido siempre es de
atracción.
Así pues para calcular la energía potencial que un cuerpo de masa m tiene por
estar a una distancia r de otro de masa M no habrá más que calcular Ep GM m. r .
Energía potencial gravitatoria (en el caso general) es p .
M m
E G
r .
En esta fórmula como en la fórmula un análisis del significado estas expresiones y, más concretamente, de la presencia de una r en el denominador, nos indica que, para estas dos fórmulas, el origen de las energías se toma en el infinito, es decir, que la energía potencial de un planeta (por ejemplo) es nula, cuando este planeta está totalmente aislado, es decir, infinitamente alejado, del otro.
Elástica.
Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan F k r se tiene que,
(tomando una única dimensión) 1 2
2
Ep K x , obedeciendo así a la Ley de Hook.
Electrostática.
Dadas dos partículas con cargas q y Q, el módulo de la fuerza de atracción entre
ambas cargas es F KQq2
r siendo r la distancia que existe entre ambas cargas. De
esta forma se puede extraer fácilmente que la energía potencial electrostática será:
p
E F dr K
Conservación de la Energía.
Cuando en un sistema sólo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que se cumple el siguiente teorema de conservación de la energía:
A A B B
Ep Ec Ep Ec
Siendo A y B dos momentos cualesquiera en la evolución de la partícula, y EpA y
B
Ep la suma de todas las energías potenciales que tenga el cuerpo en los puntos A y B.
Este teorema es muy útil para la resolución de ciertos aspectos de los problemas, sobre todo los relacionados con la obtención de la velocidad en determinados instantes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en superficie, particularizando se tiene:
2 2
1 1 2 2
1 1
2mv mgy 2mv mgy
de donde podremos despejar fácilmente la velocidad en uno y otro instante según los datos que conozcamos.
El teorema de conservación de la energía dice que la energía total en todos los instantes es la misma, siendo la energía total la suma de las energías cinéticas más las potenciales.
EJEMPLO
Un cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. ¿A qué velocidad estará cuando se encuentre tan sólo a un metro sobre el suelo?
Llamemos A al instante inicial, en que encuentra parado y a siete metros, y B al segundo instante, cuando viaja a una velocidad y se encuentra a tan sólo 1 metro. Tendremos entonces que:
A A B B
Ep Ec Ep Ec
en donde EpA mg 7 y EpB mg 1 , como parte del reposo EcA 0 porque vA 0 y
denominando vB a la velocidad cuando pasa por el punto B tendremos que
2
1 2
B B
Ec mv . Tendremos entonces que:
2
1
7 1 2 7 1 2 30
2 B
m
mg mg mv v g
Rozamiento.
En el caso de que exista rozamiento u otras pérdidas de energía no conservativas podremos aún seguir usando las mismas fórmulas siempre que tengamos la precaución de introducir esta energía pérdida por rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo si tenemos un problema en el cual aparece la energía potencial en la superficie terrestre mgh y también una fuerza de rozamiento podríamos plantear la ecuación de conservación de la energía entre los instantes 1 y 2 como:
2 2 *
1 1 2 2
1 1
2mv mgy 2mv mgy E
donde se ha representado por *
E la energía que se ha perdido entre dichos instantes.
Cuando aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas los puedes poner como:
*
A A B B
Ep Ec Ep Ec E
donde E*es el trabajo no conservativo.
A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que
cos
W Fd y que 180 porque el rozamiento siempre se opone al desplazamiento. De esta forma se tendría que W Ngs pero, como el término *
E
se sitúa en el miembro derecho de la ecuación con valor positivo, simplemente
*
E Ns donde N es la normal y s es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir, la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento.
Impulso y Momento Lineal.
El impulso surge de integrar (sumar) la fuerza respecto al tiempo I F t. O lo que es lo mismo:
2 1 2 1
p p p I I F t
donde P es momento lineal.
Una forma intuitiva de comprender el momento lineal p es como una forma de medir la dificultad de llevar una partícula hasta el reposo. Así es claro que, cuanto más masivo sea un cuerpo y más velocidad tenga, tanto más nos costará ``parar'' el movimiento de dicho cuerpo.
Colisiones.
intervienen en las colisiones en ambos casos cumplen el principio de acción y reacción. En el caso de las colisiones elásticas, las fuerzas pueden considerarse conservativas durante el breve tiempo que actúan. En tales interacciones por lo tanto la energía cinética se conserva, pues antes y después de la interacción la energía potencial es cero. Por el contrario, en las colisiones inelásticas, la energía cinética no se conserva.
Veamos que además, en todas las colisiones el momento lineal se conserva (trabajamos en el caso de movimiento unidimensional). Si F12 es la fuerza que la partícula uno ejerce sobre la partícula dos y F21 la fuerza que la partícula dos ejerce sobre la partícula uno, el principio de acción y reacción dice que F12 F21. Usando la segunda ley de Newton para cada partícula y sumando, tenemos:
1 1 2 2 12 21 0
m a m a F F
Entonces para cada intervalo de tiempo t, se tiene:
1 2
1 2 0 1 1 2 2 0
v v
m m m v m v
t t
Como este resultado es cierto para cada intervalo Δt también es válido para todo intervalo transcurrido durante la interacción. Definiendo el momentum lineal total del sistema por:
1 1 2 2
P m v m v
Podemos decir que el momento lineal se conserva en la interacción y escribir:
1 01 2 02 0
f f
P P P P P
EJERCICIOS
1. En física, el trabajo mecánico es lo mismo que:
a) Esfuerzo.
b) Desplazamiento. c) Fuerza.
d) Variación de energía. e) Ninguna de las anteriores.
2. En física decimos que la potencia mecánica es:
a) Capacidad de realizar trabajo mecánico.
b) Trabajo mecánico realizado.
c) Capacidad de realizar trabajo en función del tiempo.
d) Todas las anteriores.
3. Cuando decimos que una máquina A tiene más potencia que una maquina B, queremos decir que:
a) La máquina A puede realizar mas trabajo que la B.
b) La máquina A tarda más tiempo que B en realizar el mismo trabajo.
c) En el mismo tiempo la máquina B efectuará menos trabajo que A
d) La máquina A es más lenta que la B.
e) Ninguna de las anteriores.
4. Decimos que una fuerza es conservativa cuando:
a) Conserva la energía mecánica sobre el que actúa.
b) Su trabajo depende solo de las posiciones inicial y final.
c) Conserva la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el que actúa.
d) Su trabajo es independiente de la distancia entre las posiciones inicial y final..
e) Ninguna de las anteriores.
5. En un lanzamiento vertical hacia arriba afirmamos:
a) La energía cinética inicial es el doble de la energía potencial gravitacional a la mitad de la altura.
b) La energía mecánica es mayor que la energía cinética inicial. c) La energía cinética inicial nunca es igual a la energía potencial. d) La energía potencial nunca es igual a la energía mecánica. e) Ninguna de las anteriores.
6. La energía mecánica de un cuerpo se conserva siempre que: a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo varíen con la distancia. b) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean disipativas.
c) El trabajo de las fuerzas depende únicamente de las posiciones inicial y final.
d) El trabajo de las fuerzas entre dos puntos cualesquiera sea constante. e) Ninguna de las anteriores.
7. Cuando se eleva verticalmente un cuerpo a velocidad constante hasta una altura h, el trabajo realizado por la fuerza de atracción gravitatoria es:
a) Nulo.
c) Igual y de signo contrario al realizado por la fuerza resultante.
d) Dependiente del valor de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo. e) Ninguna de las anteriores.
8. Cuando un cuerpo se mueve en círculo a velocidad constante, la fuerza que realiza su aceleración realiza trabajo:
a) Máximo. b) Nulo. c) Mínimo. d) Negativo.
e) Ninguna de las anteriores.
9. Dos cuerpos A y B tienen masa “m” y “2m” respectivamente e idéntica cantidad de movimiento, entonces:
a) A posee mayor energía cinética. b) B posee mayor energía cinética. c) Posee idéntica energía cinética.
d) No se pueden comparar las energías cinéticas. e) Ninguna de las anteriores.
10. En un choque elástico:
a) Se conserva únicamente la cantidad de movimiento. b) Se conserva únicamente la energía cinética.
c) Se conservan simultáneamente las dos anteriores. d) El coeficiente de restitución es cero.
e) Ninguna de las anteriores.
11. Dos cuerpos A y B tienen masas “m” y “2m” respectivamente e idéntica cantidad de movimiento, entonces:
a) A posee mayor energía cinética. b) B posee mayor energía cinética. c) Poseen idéntica energía cinética.
d) No se pueden comparar las energías cinéticas. e) Ninguna de las anteriores.
12. ¿A qué altura habrá sido elevado un cuerpo de masa 10 Kg. Si el trabajo empleado fue de 500 J?
d) 0,2 m.
e) Ninguna de las anteriores.
13. El carro de un funicular tiene un peso mg y sube hasta una altura h. ¿Cuál es el trabajo total realizado por el peso en un viaje de ida y vuelta?
a) mgh. b) Cero. c) 2mgh.
d) Depende del ángulo formado por el cable del funicular con la horizontal. e) Ninguna de las anteriores.
14. En un movimiento parabólico el trabajo realizado por la fuerza de atracción gravitatoria sería:
a) xmg. b) Cero. c) 2.hmax.mg.
d) (La longitud de la parábola).mg. e) Ninguna de las anteriores.
15. Una grúa puede elevar 2000 Kg de material a una altura de 50 m en 20 s¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor que accionó la grúa?
a) 20000 J. b) 2000 J. c) 50 KJ. d) 500 KJ.
e) Ninguna de las anteriores.
16. Dos cuerpos de masas m1 y m2 tales que m1 4m2, con velocidades v1 y v2
respectivamente, poseen igual energía cinética si:
a) v1 v2.
b) 1 2
1 2 v v .
c) v1 2v2.
d) v1 4v2.
