polinomios.pdf

(1)

Polinomios

Definici´on 1.1. Un conjuntoK junto con dos operaciones definidas en ´el que denotaremos por + :K×K→Ky ·:K×K→Kpara las cuales se cumplen las siguientes propiedades:

• Asociatividad

• Conmutatividad

• distributividad

• Elementos neutros (los denotaremos por 0 y 1 y pediremos 16= 0)

• Inverso aditivo

• Es v´alida la ley de simplificaci´on para el producto, es decir, sic6= 0 yac=bcentoncesb=c.

es llamado undominio de integridad (note que no pedimos inverso multiplicativo).

Observaci´on 1.1. Todo cuerpo es un dominio de integridad, luegoC,RyQson dominios de integridad. Zes un

dominio de integridad peroNno lo es.

Definici´on 1.2. Sea (K,+,·) un dominio de integridad. Unpolinomio de gradonsobreK es una expresi´on de la forma

p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn= n X

k=0

akxk

dondean 6= 0,n≥0 yak ∈K parak= 0, . . . , n. Los n´umerosak parak= 0, . . . , nson llamados coeficientes del

polinomio, an es llamadocoeficiente principalya0 es llamadocoeficiente libre.

Definici´on 1.3. El gradode un polinomio es el mayor exponente dexque aparece en la expresi´on, es decir, si

p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn

con an6= 0 entonces gr (p(x)) = gr (p) =n. Como primera propiedad podemos decir que gr (p)≥0. Denotaremos

porK[x] el conjunto de los polinomios enxcon coeficientes en K.

Ejemplo 1.1. p(x) = −1 + 3 2x+x

2 _6∈

Z[x] en efecto, el coeficiente 32 6∈ Z. p(x) = −1 + 3 2x+x

2 _∈

Q[x]

porque todos los coeficientes del polinomio son n´umeros racionales. √2 + 3₂x+x2 _6∈

Z[x] porque

√

2,3₂ 6∈ _Z[x], √

2 +3 2x+x

2_6∈

Q[x] porque

√

26∈Q, sin embargo

√ 2 +3

2x+x 2_∈

R[x] porque todos los coeficientes son n´umeros

reales. El polinomioix2₊_x_{+ 1 esta en}

C[x] pero no enR[x],Q[x],Z[x].

Ejemplo 1.2. Si p(x) = −1 + 3 2x+x

2 _{entonces gr (}_p₍_x_{)) = gr (}_p_{) = 2. Si} _q₍_x_{) = 1 +}_πx₊√₂_x2₋_{(2 +}_i₎_x4

entoncesq∈C[x] y gr (q) = 4.

Definici´on 1.4. SeanpyqenK[x] polinomios

p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn

y

(2)

1. gr (p) = gr (q)

2. Parai= 0,1, . . . , nse cumpleai=bi.

Vamos a introducir dos operaciones enK[x] la adici´on y multiplicaci´on de polinomios. Seanpyqelementos de

K[x] con gr (p) =n≤gr (q) =m, entonces existen constantesai∈K,i= 0, . . . , nybi∈K,i= 0, . . . , mtales que

p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn

y

q(x) =b0+b1x+· · ·+bmxm

se define, la suma y el producto de polinomios de la siguiente forma

(p+q) (x) = p(x) +q(x)

= (a0+a1x+· · ·+anxn) + (b0+b1x+· · ·+bmxm)

= (a0+b0) + (a1+b1)x+· · ·+ (an+bn)xn+bn+1xn+1+· · ·+bmxm

=

n X

i=0

(ai+bi)xi+ m X

i=n+1

bixi

y

(pq) (x) = p(x)q(x)

= (a0+a1x+· · ·+anxn) (b0+b1x+· · ·+bmxm)

= a0b0+ (a0b1+a1b0)x+ (a0b2+a1b1+a2b0)x2+· · ·+anbmxn+m

=

n+m X

k=0



 X

i+j=k

aibj 

xk

Obs: P

i+j=kaibj denota la suma sobre los subindices que sumankpor ejemplo, si k= 3 entonces

X

i+j=3

aibj=a0b3+a1b2+a2b1+a3b0

de estas definiciones obtenemos las siguientes propiedades para los grados.

Proposici´on 1.1. Seanpyq elementos deK[x]entonces:

1. gr (p+q)≤max{gr (p),gr (q)}

2. gr (pq) = gr (p) + gr (q)

3. gr (pn_{) =}_n_{gr (}_p₎

Ejemplo 1.3. Sip(x) = 1 + 2x+ 3x2 yq(x) =−2 + 4x−3x3 entonces

p(x) +q(x) = 1 + 2x+ 3x2+ −2 + 4x−3x3

= −1 + 6x+ 3x2−3x3

y

p(x)·q(x) = 1 + 2x+ 3x2· −2 + 4x−3x3

= −2 + 4x−3x3

+ 2x −2 + 4x−3x3

+3x2 −2 + 4x−3x3

= −2 + 4x−3x3

+ −4x+ 8x2−6x4

+ −6x2+ 12x3−9x5

(3)

Ejemplo 1.4. Si p(x) = 1−x+x2 yq(x) = 2−2x−x2 entonces (p+q) (x) = 3−3xluego gr (p+q) = 1 y max{gr (p),gr (q)}= max{2,2}= 2 luego 1≤2.

1.1 Algebra de polinomios

´

(K[x],+,·) cumple las siguientes propiedades: Para la adici´on:

1. Sipyqpertenecen K[x] entoncesp+q∈K[x]

2. ∀p, q, r∈K[x] se cumplep+ (q+r) = (p+q) +r

3. ∀p, q∈K[x] se cumplep+q=q+p

4. ∃e∈K[x] tal que para cadap∈K[x] se cumplep+e=p(e(x) = 0 es el neutro aditivo)

5. ∀p∈K[x],∃q∈K[x] tal que p+q=e(el inverso aditivo esta dado por−p, es decir, si

p(x) =

n X

k=0

akxk

entonces

−p(x) =

n X

k=0

(−ak)xk

es su inverso aditivo)

Para la multiplicaci´on:

1. Sipyqpertenecen K[x] entoncesp·q∈K[x]

2. ∀p, q, r∈K[x] se cumplep·(q·r) = (p·q)·r

3. ∀p, q∈K[x] se cumplep·q=q·p

4. ∃1∈K[x] tal que para cada p∈K[x] se cumple p·1 =p(1 (x) = 1 es el neutro multiplicativo)

Adem´as se cumpledistributividad, es decir, ∀p, q, r∈K[x] se cumple

p·(q+r) = (p·q) + (p·r)

Observaci´on 1.2. Note que no se enunci´o el inverso multiplicativo, al respecto note lo siguiente: Sip∈K[x] tiene un inverso multiplicativo entonces existeq∈K[x] tal que

pq= 1

de donde obtenemos

gr (pq) = gr (1) = 0

pero

gr (pq) = gr (p) + gr (q)

luego

gr (p) + gr (q) = 0

como gr (p)≥0 y gr (q)≥0 se sigue que

gr (p) = gr (q) = 0

(4)

1.2 Ra´ıces de polinomios

Seap∈K[x] yx0∈K. Si

p(x) =

n X

k=0

akxk =a0+a1x+· · ·+anxn

entonces

p(x0) =

n X

k=0

akxk0 =a0+a1x0+· · ·+anxn0

luego

p(x)−p(x0) =

n X

k=0

akxk− n X

k=0

akxk0

=

n X

k=1

ak xk−xk0

= a1(x−x0) +a2 x2−x20

+· · ·+an(xn−xn0)

y factorizando obtenemos

p(x)−p(x0) = (x−x0)q(x)

dondeq∈K[x] es un polinomio de grado igual an−1, en efecto

n = gr (p(x)−p(x0)) = gr ((x−x0)q(x))

= gr (x−x0) + gr (q(x))

= 1 + gr (q(x))

se sigue

n−1 = gr (q(x))

Definici´on 1.5. Diremos quex0∈Kes unara´ız dep(x) si se cumplep(x0) = 0.

Observaci´on 1.3. Note que del c´alculo anterior sabemos que podemos escribir

p(x)−p(x0) = (x−x0)q(x)

y six0 es ra´ız dep(x) entoncesp(x0) = 0 se sigue

p(x) = (x−x0)q(x)

luego podemos decir quex0∈K es una ra´ız dep(x) si y solo si podemos escribir

p(x) = (x−x0)q(x)

dondeqes un polinomio con gr (q) = gr (p)−1.

Observación 1.4. Con la observación anterior e inducción concluimos que un polinomio de gradona lo más puede tenernra´ıces (si tiene más denra´ıces debe ser el polinomio nulo).

En efecto, si el grado depes uno, es claro que a lo m´as posee una ra´ız. suponga que los polinomios de gradok

tienen a lo m´askra´ıces y mostremos que eso implica que los de gradok+ 1 tienen a lo m´ask+ 1 ra´ıces. En efecto, sipes un polinomio de grado k+ 1 y no tiene ra´ıces estamos listos (tiene menos de k+ 1 ra´ıces) siptiene por lo menos una ra´ızx0 entonces podemos escribir

p(x) = (x−x0)q(x)

(5)

Definici´on 1.6. Sea p∈K[x] y x0∈K. Diremos quex0 es unara´ız de multiplicidad ksi existe un polinomioh tal que

p(x) = (x−x0)

k

h(x)

conh(x0)6= 0.

Ejemplo 1.5. Sip(x) =x3−3x+ 2 entoncesp(x) = (x−1)2(x+ 2) luegox= 1 es una ra´ız de multiplicidad 2 y

x=−2 es una ra´ız de multiplicidad 1. Decimos queptiene 3 ra´ıces contando multiplicidades y su grado es tres.

Ejemplo 1.6. Si p(x) = (x−2)3(x−1)6 x−√2

entonces x= 2 es ra´ız de multiplicidad 3, x= 1 es ra´ız de multiplicidad 6 yx=√2 es ra´ız de multiplicidad 1. Podemos decir queptiene 10 ra´ıces contando multiplicidades.

Definici´on 1.7. Sea K un cuerpo, lo denotaremos por _K. Diremos que _K es algebraicamente cerrado si todo polinomio en_K[x] tiene por lo menos una ra´ız en _K. Esto es equivalente a pedir que todo polinomio de gradon

tiene ex´actamentenra´ıces contando sus multiplicidades.

Observaci´on 1.5. _Ry_Qno son algebraicamente cerrados pues el polinomiox2_{+ 1 =}_p₍_x_{) no tiene ninguna ra´ız} en esos cuerpos.

El cuerpoCes algebraicamente cerrado.

Teorema Fundamental del ´

Algebra

F

Este teorema nos dice que todo polinomio en _C[x] de gradon tiene exactamentenra´ıces contando multiplici-dades, esto nos permitir´a escribirlo en la forma

p(x) =an(x−z1) (x−z2)· · ·(x−zn)

dondezi son las ra´ıces que pueden estar repetidas (es decir, pueden ser ra´ıces de multiplicidad mayor que 1).

Ejemplo 1.7. Sabemos quep(x) =xn−z0 dondez0∈Ctiene exactamentenra´ıces enC.

Proposici´on 1.2. Supongamos quep∈R[x] yz0∈Ces una ra´ız de pentonces z0 tambi´en es ra´ız dep.

En efecto, si

p(x) =

n X

k=0

akxk

conak ∈Ryz0∈Ces una ra´ız depentonces

0 =p(z0) =

n X

k=0

(6)

tomemos conjugados

0 = 0 =

n X

k=0

akz0k

=

n X

k=0

akz0k=

n X

k=0

akz0k

=

n X

k=0

ak(z0) k

=p(z0)

luegoz0 tambi´en es ra´ız de p.

Ejemplo 1.8. Seap(z) = 2z4₊_z2₋_z_{+ 1, resolver la ecuaci´}_on

p(z) = 0

sabiendo que una de las ra´ıces cubicas de la unidad es ra´ız dep.

Desarrollo: Las ra´ıces c´ubicas de la unidad son losz∈Ctales que z3= 1

y las soluciones de esta ecuaci´on son

1,−1 +

√ 3i

2 ,

−1−√3i

2

una de ellas debe ser ra´ız dep, notemos quep(1) = 36= 0 por lo que debe ser

−1 +√3i

2 o

−1−√3i

2

pero note que p∈R[z] entonces si −1+

√ 3i

2 es ra´ız deppor ´ultimo el teorema

−1−√3i

2 =

−1+√3i

2 tambi´en lo es. Si −1−√3i

2 es ra´ız depentonces −1−√3i

2 =

−1−√3i

2 tambi´en lo es. En cualquiera de los casos ambos n´umeros son ra´ıces dep. luego podemos escribir

2z4+z2−z+ 1 = z− −1− √

3i

2

!!

z− −1 + √

3i

2

!!

q(z)

note que

z− −1− √

3i

2

!!

z− −1 + √

3i

2

!!

=z2+z+ 1

luego

2z4+z2−z+ 1 = z2+z+ 1

q(z)

por grados qtiene grado 2

q(z) =az2+bz+c

as´ı

2z4+z2−z+ 1 = z2+z+ 1

az2+bz+c

como esta igualdad debe cumplirse para todos losz reemplazamos en algunos puntos para obtener los valores de las constantes

z= 0⇒1 =c

z= 1⇒3 = 3 (a+b+ 1)

(7)

as´ı

a+b = 0

a−b = 4

que tiene soluci´ona= 2 yb=−2

2z4+z2−z+ 1 = z2+z+ 1 2z2−2z+ 1

y

2z2−2z+ 1 = 0

es f´acil de resolver. (Nota: Si se sabe dividir polinomios no es necesario obtener los valores de las constantes de esta forma).

Observaci´on 1.6. Suponga que p ∈ _R[x] tiene la forma p(x) = anxn +an−1xn−1+· · ·+a1x+a0, podemos mirar ap como un elemento deC[x] de esta forma por el teorema fundamental del ´algebra, existenz1, z2, . . . , zn

n-ra´ıces (posiblemente complejas) dep. Por el ´ultimo teorema, sabemos que las ra´ıces complejas en un polinomio con coeficientes reales se presentan junto con su conjugado, de esta forma hagamos la siguiente selecci´on, sean

r1, r2, ..., rj las ra´ıces reales depy seana1+ib1, a1−ib1, a2+ib2, a2−ib2, ..., ak+ibk, ak−ibk las ra´ıces complejas

dep, se sigue que

p=anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0

= an(x−r1) (x−r2)· · ·(x−rj) (x−(a1+ib1)) (x−(a1−ib1))· · ·(x−(ak+ibk)) (x−(ak−ibk))

= an(x−r1)· · ·(x−rj) ((x−a1)−ib1) ((x−a1) +ib1)· · ·((x−ak)−ibk) ((x−ak) +ibk)

= an(x−r1)· · ·(x−rj)

(x−a1) 2

−(ib1) 2

· · ·(x−ak)

2 −(ibk)

2

= an(x−r1)· · ·(x−rj)

(x−a1) 2

+b2₁· · ·(x−ak)

2 +b2_k

esto nos dice que todo polinomio de grado≥1 enR[x] puede ser factorizado en productos de polinomios de grado

1 con coeficientes reales y en polinomios de grado dos con coeficientes reales (estos ´ultimos con discriminantes negativos)

Definición 1.8. Sea p ∈ _R[x] es un polinomio. Si f : A ⊆ _R→_R es una función definida por f(x) = p(x) entonces decimos que f es unafunción polinomial. Note que en el gráfico de f los puntos donde la curva corta el ejexcorresponden a las raices reales del polinomio. Una función racional es una función de la forma

R(x) = p(x)

q(x)

dondep, q∈R[x], el dominio natural de esta funci´on esR− {r∈R:q(r) = 0}.

Ejemplo 1.9. Las funciones

A

(x−r)k,

Bx+C

(x2₋₂_ax_{+ (}_a2₊_b2₎₎n

(8)

Sean p, q ∈ K[x] con gr (p) ≥ gr (q). Entonces existen

polinomios h, r∈K[x] tales que

p(x) =h(x)q(x) +r(x)

donde gr (r)<gr (q) or(x) = 0.

Algoritmo de la divisi´

on

F

Ejemplo 1.10. Considere los polinomiosp(x) =x4₋₃_x2_{+ 2}_x_{+ 1 y}_q₍_x_{) =}_x2₊_x_{+ 1 entonces}

x4₋₃_x2_{+ 2}_x_{+ 1} _:_x2₊_x_{+ 1} _x2₋_x₋₃ − x4₊_x3₊_x2

−x3₋₄_x2_{+ 2}_x_{+ 1} − −x3₋_x2₋_x

−3x2_{+ 3}_x_{+ 1} − −3x2₋₃_x₋₃

6x+ 4

luegox4₋₃_x2_{+ 2}_x_{+ 1 =} _x2₊_x_{+ 1}

x2₋_x₋₃

+ (6x+ 4).

Ejemplo 1.11. Considere los polinomiosp(u) =u8_y_q₍_u_{) =}_u3₊_u_{+ 2 entonces}

u8 _:_u3₊_u_{+ 2} ₌_u5₋_u3₋₂_u2₊_u_{+ 4} − u8₊_u6_{+ 2}_u5

−u6₋₂_u5 − −u6₋_u4₋₂_u3

−2u5₊_u4_{+ 2}_u3 − −2u5₋₂_u3₋₄_u2

u4_{+ 4}_u3_{+ 4}_u2 − u4₊_u2_{+ 2}_u

4u3_{+ 3}_u2₋₂_u − 4u3_{+ 4}_u_{+ 8}

3u2−6u−8

luego

u8= u3+u+ 2

u5−u3−2u2+u+ 4

+ 3u2−6u−8

Definici´on 1.9. Sean p, q ∈ K[x]. Diremos que q divide a p si el resto del algoritmo de la divisi´on es cero, equivalentemente, si existe un polinomiohtal que

p(x) =q(x)h(x)

utilizaremos la notaci´onq(x)\p(x) para denotarqdivide ap.

Proposici´on 1.3. Seanp, q, h∈K[x], se cumplen las siguientes propiedades:

1. p(x)\p(x)

(9)

3. Siq(x)\p(x)y q(x)\h(x)entonces q(x)\(a(x)p(x) +b(x)q(x))cualquiera sean a(x)yb(x).

En el caso especial en el cual se esta dividiendo por un polinomio de grado 1 de la formax−cexiste un método especial de división llamadodivisión sintéticaoregla de Ruffiniconsiste en lo siguiente: Considere el polinomio

anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0y lo queremos dividir por x−c entonces

an an−1 . . . a1 a0

cbn−1 cb1 cb0 c

bn−1 bn−2 . . . b0 r

donde

bn−1 = an

bn−2 = an−1+cbn−1 ..

.

b0 = a1+cb1

r = a0+cb0

el cuociente quedar´ah(x) =bn−1xn−1+bn−2xn−2+...+b1x+b0y el resto esr.

Ejemplo 1.12. Dividir 3x3₋₄_x_{+ 2 por} _x_{+ 3.}

Desarrollo: Formamos la tabla

3 0 −4 2

(−3) 3 (−3) (−9) (−3) (23) −3

3 −9 23 −67

se sigue que 3x3−4x+ 2 = 3x2−9x+ 23(x+ 3)−67

El resto de dividir un polinomiop(x) porx−aesp(a).

Teorema del resto

F

En efecto, por el algoritmo de la divisi´onp(x) =h(x) (x−a) +r(x) donde gr (r)<gr (x−a) = 1 se sigue que el resto es constante as´ı

p(x) =h(x) (x−a) +C

evaluando ambos lados enx=ase sigue

p(a) = h(a)·0 +C

= C

Un polinomio p(x) es divisible por (x−a) si y solo si a

es ra´ız dep.

Teorema del factor

F

Ejemplo 1.13. ¿Para que valores deaybel polinomio

(10)

Desarrollo: Como 3x2+ax−a2−bes divisible porx−2 por el teorema del factor se sigue que 2 es ra´ız depas´ı 12 + 2a−a2−b= 0

por el teorema del resto, el resto de dividir 3x2₊_ax₋_a2₋_b_por_x₋_{1 es}_p_{(1) luego}

3 +a−a2−b=p(1) = 1

tenemos el sistema

12 + 2a−a2−b = 0

3 +a−a2−b = 1

que tiene soluci´ona=−10 yb=−108.

Definici´on 1.10. Seap∈K[x]. Diremos quepes reducible o reductible enK[x] si existen polinomiosq, h∈K[x] de grados mayores o iguales a 1 tales que p(x) = q(x)h(x). En caso contrario diremos que el polinomio es irreducible o primo enK[x].

Ejemplo 1.14. p(x) =x2_{+ 1 es reducible en}

C[x] en efecto

x2+ 1 = (x−i) (x+i)

dondex−iyx+ison polinomios enC[x]. Sin embargop(x) =x2+ 1 es irreducible enR[x] yQ[x] (no se puede

factorizar porque si pudiera tendr´ıa que ser en factores de grado uno, luego deber´ıa tener ra´ıces enRoQlo que no

se cumple)

Por el teorema fundamental del ´algebra todo polinomio en C[x] de grado mayor que 1 es reducible a factores

irreducibles de grado 1. De manera similar en R[x] todo polinomio se puede factorizar en polinomios irreducibles

de grado 1 o 2.

Ejemplo 1.15. ¿Esx4_{+ 1 un polinomio irreducible en}

R[x]? La respuesta es no porque

x4+ 1 =x2+√2x+ 1 x2−√2x+ 1

(enRlos irreducibles tienen grado 1 o 2)

Teorema 1.1. Sip∈R[x]es de grado impar entonces posee una ra´ız .

(En efecto las ra´ıces complejas en un polinomio con coeficientes reales se presentan de dos: la ra´ız y su conjugada).

Teorema 1.2. Si p∈Q[x]tiene una ra´ız en la forma a+

√

b con a, b∈Qy b no es el cuadrado de un racional,

entonces a−√b tambi´en es ra´ız.

Ejemplo 1.16. Resolverx3−5x2+ 5x−1 = 0 sabiendo quex= 2 +√3 es una ra´ız.

Desarrollo: Por el teorema anterior, comox3−5x2+ 5x−1∈Q[x] se sigue que 2−

√

3 tambi´en debe ser ra´ız. Se sigue que x3−5x2+ 5x−1 es divisible por

x−2 +√3 x−2−√3= x2−4x+ 1

luego

x3−5x2+ 5x−1 :x2−4x+ 1 =x−1

(11)

Teorema 1.3. Sip(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0∈Z[x]tiene una ra´ız racionalx= cd conmcd(c, d) = 1

(m´aximo com´un divisor) entoncesc\a0 y d\an.

Demostraci´on: Six= c_d es ra´ız entonces

an c

d

n

+an−1

c

d

n−1

+· · ·+a1

c

d

+a0= 0

entonces multiplicando pordn _{se tiene:}

ancn+an−1cn−1d+an−2cn−2d2+· · ·+a1cdn−1+a0dn= 0

despejando

ancn =− an−1cn−1d+an−2cn−2d2+· · ·+a1cdn−1+a0dn

note que el n´umero de la derecha es divisible pordluegoddivideancn perodno tiene divisores en com´un concse

sigue qued\an.

Similarmente

− ancn+an−1cn−1d+an−2cn−2d2+· · ·+a1cdn−1=a0dn

note que c divide − ancn+an−1cn−1d+an−2cn−2d2+· · ·+a1cdn−1

luego c divide a0dn pero como c no tiene divisores en comun condse siguec\a0.

Este teorema nos permite buscar las posibles ra´ıces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, formamos loas racionales de la forma

±divisor dea0 divisor dean

y comprobamos si es ra´ız. es posible que ninguno de estos n´umero sea ra´ız en cuyo caso el polinomio no tiene ra´ıces racionales pero puede tener ra´ıces reales de tipo irracional.

Ejemplo 1.17. Encontrar las ra´ıces del polinomio 4x6₋₁₆_x5_{+ 15}_x4_{+ 4}_x3₋₂₀_x2_{+ 4 sabiendo que 1 +}√_{3 es ra´ız} del polinomio

Como 4x6₋₁₆_x5_{+ 15}_x4_{+ 4}_x3₋₂₀_x2_{+ 4}_∈

Q[x] y 1 +

√

3 es ra´ız se sigue que 1−√3 tambi´en es ra´ız, luego el polinomio es divisible por

x−1 +√3 x−1−√3=x2−2x−2

efectuando la divisi´on tenemos

4x6−16x5+ 15x4+ 4x3−20x2+ 4 = 4x4−8x3+ 7x2+ 2x−2

x2−2x−2

ahora busquemos ra´ıces racionales de

4x4−8x3+ 7x2+ 2x−2

los divisores de 2 son±1,±2 y los divisores de 4 son±1,±2,±4 se sigue que las posibles ra´ıces racionales son

±1,±1 2,±

1 4,±

2 1,±

2 2,±

2 4

es decir

±1,±1 2,±

1 4,±2

reemplazando obtenemos que±1

2 son las ´unicas ra´ıces racionales, se sigue que 4x

4₋₈_x3_{+ 7}_x2_{+ 2}_x₋_{2 es divisible}

por (2x−1) (2x+ 1) = 4x2₋_{1 efectuando la divisi´}_{on obtenemos}

4x4−8x3+ 7x2+ 2x−2 = x2−2x+ 2 4x2−1

as´ı

4x6−16x5+ 15x4+ 4x3−20x2+ 4

= x2−2x+ 2

4x2−1

x2−2x−2

(12)

por ´ultimo las ra´ıces dex2−2x+ 2 son

2±√4−4·1·2

2 = 1±

√

−1 = 1±i

se sigue que

x2−2x+ 2= (x−(1 +i)) (x−(1−i))

as´ı

4x6−16x5+ 15x4+ 4x3−20x2+ 4

= (x−(1 +i)) (x−(1−i)) (2x−1) (2x+ 1)x−1 +√3 x−1−√3

donde tenemos las 6 ra´ıces del polinomio.

Aprovechando el ejercicio podemos obtener la descomposici´on de 4x6₋₁₆_x5_{+ 15}_x4_{+ 4}_x3₋₂₀_x2_{+ 4 en}

C[x], R[x] yQ[x]: EnC[x] la descomposici´on es

(x−(1 +i)) (x−(1−i)) (2x−1) (2x+ 1)x−1 +√3 x−1−√3

enR[x] la descomposici´on es

x2−2x+ 2

(2x−1) (2x+ 1)x−1 +√3 x−1−√3

y enQ[x] la descomposici´on es

x2−2x+ 2

(2x−1) (2x+ 1) x2−2x−2

1.3 Ejercicios Resueltos

1. Demuestre que

(x−b) (x−c) (a−b) (a−c) +

(x−c) (x−a) (b−c) (b−a) +

(x−a) (x−b) (c−a) (c−b) = 1

Desarrollo: Definamos

p(x) =(x−b) (x−c) (a−b) (a−c) +

(x−c) (x−a) (b−c) (b−a) +

(x−a) (x−b) (c−a) (c−b) −1

entoncesp(x) es un polinomio de grado≤2 luego puede tener a lo m´as 2 ra´ıces, si tiene m´as ser´ıa el polinomio nulo. evaluando enx=a, b, cse cumplep(a) =p(b) =p(c) = 0 luego el polinomio debe ser nulo es decir

(x−b) (x−c) (a−b) (a−c) +

(x−c) (x−a) (b−c) (b−a) +

(x−a) (x−b)

(c−a) (c−b) −1≡0 as´ı

(x−b) (x−c) (a−b) (a−c) +

(x−c) (x−a) (b−c) (b−a) +

(x−a) (x−b) (c−a) (c−b) = 1

para todos los valores de x.

2. Hallar las condiciones para quex3₊_px2₊_qx₊_r_{sea divisible por}_x2₊_ax₊_b

Desarrollo: Supongamos quex3₊_px2₊_qx₊_r_{es divisible por}_x2₊_ax₊_b _{entonces existe un}_x₋_k _{tal que}

x3+px2+qx+r= x2+ax+b

(x−k)

(por grados debe ser un polinomio de grado 1). Desarrollando el producto tenemos

ax2−kx2−bk+bx+x3−akx = x3+px2+qx+r

(13)

igualando coeficientes

(a−k) = p

(b−ak) = q

−bk = r

de la ´ultima ecuaci´on tenemos

k=−r

b

as´ı

a+r

b

=p

y

b+ar

b

=q

es decir el polinomio debe tener la forma

x3+a+r

b

x2+b+ar

b

x+r

3. Resolver la ecuaci´on 4x3₋₂₄_x2_{+ 23}_x_{+ 18 = 0 sabiendo que las ra´ıces est´}_{an en progresi´}_{on aritm´}_etica.

Desarrollo: Seanr1, r2, r3 las ra´ıces del polinomio entonces podemos escribir

4 (x−r1) (x−r2) (x−r3) = 4x3−24x2+ 23x+ 18

expandimos

4x3−4 (r2+r3+r1)x2+ 4 (r1r2+r1r3+r2r3)x−4r1r2r3= 4x3−24x2+ 23x+ 18

de donde obtenemos

−4 (r2+r3+r1) = −24 4 (r1r2+r1r3+r2r3) = 23

−4r1r2r3 = 18

sabemos que las ra´ıces del polinomio están en progresión aritmética entonces tienen la formaa, a+dya+ 2d

reemplazando en el sistema anterior

−4 (a+ (a+d) + (a+ 2d)) = −24 4 (a(a+d) +a(a+ 2d) + (a+d) (a+ 2d)) = 23

−4a(a+d) (a+ 2d) = 18

y tratamos de resolver este sistema, en la primera ecuaci´on se tiene

−12 (a+d) =−24

es decir la segunda ra´ız esa+d= 2 reemplazando en la ´ultima

−4a(2) (2 +d) = 18

tenemos el sistema

a+d = 2

a(2 +d) = −9 4

que tiene soluciones a=9₂, d=−5

2 ya=− 1 2, d=

5

2 que dan las ra´ıces

9 2,2,

−1 2 y

(14)

4. Demostrar que la ecuaci´on

A2 1

x−a1 + A

2 2

x−a2

+· · ·+ A 2

n

x−an

=k

no tiene ra´ıces complejas (todos los n´umeros que aparecen en la ecuaci´on son reales)

Desarrollo: Suponga quex=x1+iy1 es una ra´ız compleja, entonces por teoremax=x1−iy1tambi´en ser´ıa ra´ız entonces

A2 1 (x1+iy1)−a1

+ A

2 2 (x1+iy1)−a2

+· · ·+ A 2

n

(x1+iy1)−an

=k

y

A21 (x1−iy1)−a1

+ A

2 2 (x1−iy1)−a2

+· · ·+ A 2

n

(x1−iy1)−an

=k

se sigue que

A21(x1−a1−iy1)

(x1−a1) 2

+y2 1

+A 2

2(x1−a2−iy1) (x1−a2)

2 +y2

1

+· · ·+A 2

n(x1−an−iy1)

(x1−an)

2 +y2

1 =k

y

A2₁(x1−a1+iy1)

(x1−a1) 2

+y2 1

+A 2

2(x1−a2+iy1) (x1−a2)

2 +y2

1

+· · ·+A 2

n(x1−an+iy1)

(x1−an)

2 +y2

1 =k

restando ambas tenemos

A2 1iy1 (x1−a1)

2 +y2

1

+ A

2 2iy1 (x1−a2)

2 +y2

1

+· · ·+ A 2

niy1 (x1−an)

2 +y2

1 = 0

se sigue que

y1= 0