Segura - 2013 -- Los Teoremas de Bienestar y la Distribución del Ingreso - 18 Abr - 2013.pdf

(1)

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Los Teoremas de Bienestar y la Distribución del Ingreso

Tres Ejemplos

Versión 1

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La Salle

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniería Facultad de Economía

[email protected] / [email protected] / [email protected] URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter:@JackFlash

(2)

Introducción

 Los Teoremas Fundamentales del Bienestar plantean la posibilidad de hacer compatibles requerimientos mínimos normativos respecto de cualquier asignación de recursos que quepa considerarse: eficiencia y equidad.

 Si dichos objetivos son considerados por la sociedad, es posible decir que, en ausencia de coordinación centralizada y/o de un Planeador Central como el que surge necesariamente de las conclusiones del Teorema de la Imposiblidad de Arrow1_.

 En efecto, aun cuando el Teorema de Arrow es un resultado analítico, con frecuencia suele expresarse mediante asertos como, entre otros: “Ningún Método de Votación es Justo”, “Todo ordenamiento basado en votaciones es defectuoso”, “El único método de votación que no no es defectuoso es una dictadura”.

 Dichas proposiciones son en general falsas. Más bien, lo que el Teorema de Arrow quiere establecer es que un mecanismo de votación preferencial determinista, —uno en el cual el orden de preferencias es la única información disponible en un voto, y en el cual cualquier subconjunto propio de votos da un resultado único—, no tiene por qué cumplir con las condiciones de Arrow en forma simultánea:

(3)

Las Condiciones de Arrow

 Dominio no restringido o universalidad2_{: la Función de Bienestar Social debe crear un orden}

completo para cada posible conjunto de preferencias individuales. Como consecuencia, el resultado del voto debería poder ordenar todas las preferencias y el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes.

 No imposición o criterio de Pareto débil: si A ≿_𝑆 a B, debe existir al menos un 𝑖 ∈ 𝑚 para el

cual A ≿_𝑖 B. Esto implica que la regla no contradice la unanimidad.

 No dictadura: la Función de Bienestar Social no observará las preferencias de un único individuo

sino que deberá tener en cuenta de todos los electores.

 Monotonicidad de las Preferencias Individuales: Cuando para algún 𝑖 ∈ 𝑚 hay modificaciones

en su preorden de preferencias cuando se promueve algún alternativa específica, la función de bienestar social debe promover dicha alternativa y no degradarla.

 Independencia de las alternativas irrelevantes: Al restringir el centro de atención a un

subconjunto de opciones a las que se aplica el operador de preferencia social ≿_𝑆 entonces la función de Bienestar Social deberá ser compatible con el ordenamiento obtenido sobre el conjunto completo de elección. La forma que adopten las preferencias de algún 𝑖 ∈ 𝑚 sobre las alternativas irrelevantes no ejercerán influencia en el orden ≿_𝑆 sobre las alternativas relevantes.

(4)

 En relación con las asignaciones de equilibrio competitivo una de las posibles salidas para este dilema puede surgir de la consideración de algún requerimiento mínimo de aceptabilidad acerca del funcionamiento de las economías competitivas.

 En particular, puede parecer que proposiciones que propendan por que no se desaproveche ninguna oportunidad de aumentar el bienestar de todos los individuos, al tiempo que los recursos aplicados a este propósito no sean sujeto de desperdicio, parecerían no ser demasiado.

 El Criterio de Pareto es una de estas proposiciones; dice en forma específica que una asignación es mejor que otra cuando todos los individuos la prefieren…

 En este sentido, una asignación Óptima de Pareto se puede definir como un elemento maximal de una relación entre asignaciones (factibles): una asignación es Óptima en el Sentido de Pareto si no es posible encontrar otra asignación en la que todos los individuos estén mejor.

(5)

Un resultado del mayor interés surge del hecho de la relación evidente entre el equilibrio competitivo y la optimalidad de Pareto. Considere (de nuevo!) el ejemplo en Mas-Colell et.al. [4.]:

(6)

Primer Teorema Fundamental del Bienestar: Sea 𝔼 una economía en la que ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚 se

verifica no saciedad local. Si un equilibrio para esta economía es una tupla [𝑝∗, (𝑥_𝑖∗)_𝑖=1𝑚 ] entonces la asignación (𝑥_𝑖∗)_𝑖=1𝑚 es Pareto Eficiente.

Demostración: (Reducción al Absurdo): Suponga que el teorema no es cierto. En este caso, existe otra

asignación factible (𝑥_𝑖′)_𝑖=1𝑚 que es Pareto Superior a (𝑥_𝑖∗)_𝑖=1𝑚 . Entonces debe ser cierto que:

[𝑢_𝑖(𝑥_𝑖∗) ≥ (𝑥_𝑖′)] ∧ [𝑢_𝑘(𝑥_𝑘∗) > (𝑥_𝑘′)]

Por no saciedad local se tendrá: i. 𝑝∗𝑥_𝑖′ ≥ 𝑝∗𝑥_𝑖∗ todo 𝑖, y

ii. 𝑝∗𝑥_𝑘′ > 𝑝∗𝑥_𝑘∗ algún 𝑘 ∈ 𝑚 tales que 𝑢_𝑘(𝑥_𝑘∗) > 𝑢_𝑘(𝑥_𝑘′)

En el agregado se debe tener (sumando las dos desigualdades):

𝑝∗ ∑ 𝑥_𝑖 _𝑖′ ≥ 𝑝∗ ∑ 𝑥_𝑖 _𝑖∗

Y dado que en el óptimo cada consumidor satura su ingreso, es decir 𝑝∗𝑥_𝑖∗ = 𝑝∗𝜔_𝑖∗ se deduce que

(7)

Sin embargo se sabe que (𝑥_𝑖′)_𝑖=1𝑚 es asignación factible de modo que tiene que observar:

𝑝∗𝑥_𝑖′ = 𝑝∗𝜔_𝑖∗

O lo que es lo mismo:

𝑝∗(𝑥_𝑖′ − 𝜔_𝑖∗) = 0

Es decir, se tiene:

[𝑝∗(𝑥_𝑖′ − 𝜔_𝑖∗) = 0] ∧ [𝑝∗(𝑥_𝑖′ − 𝜔_𝑖∗) > 0]

Lo que constituye una contradiccón y, en consecuencia, no puede haber una asignación factible (𝑥_𝑖′)_𝑖=1𝑚

(8)

 Se ha probado que toda asignación de equilibrio es Óptima en el Sentido de Pareto. Sin embargo, debe resultar claro que el equilibrio competitivo al que se pueda llegar a través del intercambio, depende de las condiciones iniciales en las que las mercancías se distribuyen: depende de la distribución inicial de la riqueza inicial.

 Como concepto de eficiencia, la Optimalidad de Pareto puede resultar poco controversial. No obstante, como Concepto de Optimalidad dado algún sentido ético, no es para nada suficiente. Como Amartya Sen (1970) anota “an economy can be Pareto-Optimal, yet still “perfectly disgusting”.

(9)

¿Es posible modificar esas condiciones iniciales de modo que bajo las nuevas condiciones, resulte posible alcanzar asignaciones con una distribución deseada (predeterminada, planeada) del bienestar? En relación con esta pregunta, tenga en cuenta las siguientes consideraciones:

 Las dotaciones iniciales dejan de ser un parámetro y se tornan en variables de elección;

 Existirá la posibilidad de obtener asignaciones eficientes, respetando el mecanismo competitivo de asignación de recursos variando únicamente la estructura de derechos de propiedad.

 Con esto se posibilita hacer compatibles dos objetivos de política importantes, si bien a veces conflictivos: eficiencia y equidad.

El primer teorema fundamental del bienestar proporciona, en el caso de los mercados competitivos es una expresión formal de la Mano Invisible de Adam Smith (Mas-Colell, Whinston and Green [1995], p. 524); bajo condiciones estrictamente competitivas cualquier asignación competitiva es Pareto óptima; la única justificación posible desde el bienestar para la intervención de las actividades privadas es el logro de objetivos distribucionales.

(10)

Desde la óptica de la política pública, se sigue de aquí que sería deseable:

(i) Conocer el origen de una determinada distribución del bienestar y, dado esto,

(ii) Saber si es posible modificar dichas condiciones iniciales para obtener óptimos de Pareto coherentes con uno los objetivos de bienestar prescritos.

El Segundo Teorema del Bienestar da una respuesta afirmativa a la segunda pregunta en la medida que, según este teorema es posible lograr óptimos de Pareto como asignaciones de equilibrio competitivo, distribuyendo en forma adecuada los recursos iniciales de los consumidores.

Esto es, abre la puerta a la posibilidad de lograr asignaciones de mercado coherentes con consideraciones éticas sobre distribución, sin tener que esperar que los beneficios del progreso económico, se distribuyan automáticamente entre la colectividad: implica la posibilidad de actuar ya.

(11)

Grosso Modo, el Segundo Teorema del Bienestar establece que si se cumplen ciertas condiciones sobre

convexidad, un Planeador Central puede lograr una asignación Pareto Eficiente determinada redistribuyendo la riqueza inicial en condiciones de suma cero y dejar que, a partir de ese nuevo punto dotacional, el mercado actúe libremente.

Segundo Teorema del Bienestar: Teorema (Segundo Teorema Fundamental del Bienestar): Considere

una economía competitiva descrita por la tupla 𝔼 = [(𝑋_𝑖, 𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑚 ; 𝜔_𝑖] en la que todos y cada uno de los

𝑖 = 1, … , 𝑚 tienen conjuntos de elección 𝑋_𝑖 convexos, con funciones de utilidad continuas, cuasi-

(12)

(13)

(14)

En forma un poco más intuitiva considere una economía de Caja de Edgeworth. Entonces, una asignación 𝑥∗ se dice que es soportable como un equilibrio competitivo con transferencias si existe un régimen

𝑝∗ de precios y transferencias de riqueza 𝜏_𝑖 con ∑𝑚_𝑖=1𝜏_𝑖 = 0 tal que para cada uno de los 𝑖 = 1, … , 𝑚

consumidores se observe que:

𝑥_𝑖∗ ≿_𝑖 𝑥_𝑖′ para todo 𝑥_𝑖′ ∈ 𝑋_𝑖 tal que 𝑝∗𝑥_𝑖∗ ≤ 𝑝∗𝜔_𝑖 + 𝜏_𝑖

 Note que la suma de las transferencias es cero y que el Planeador Central actúa en condiciones de balance fiscal limitándose a redistribuir la riqueza entre los consumidores. El STB puede entonces hacerse más legible de la siguiente manera: si las preferencias de los consumidores son continuas, convexas y fuertemente monótonas entonces cualquier asignación óptima en el sentido de Pareto puede ser soportada como una asignación de equilibrio con transferencias (Mas-Colell, Whinston and Green. Op.Cit., p 524).

 Ahora suponga que una asignación Pareto óptima 𝑥∗ se considera socialmente deseable de acuerdo

con algún criterio político o distribucional, etc.

 Entonces, de acuerdo con el contenido del STB, es posible modificar las condiciones iniciales de la distribución de la riqueza para, a partir de la distribución modificada, llegar a una asignación Pareto Óptima, como una asignación de equilibrio competitivo.

(15)

(16)

Ejemplo [ Maté Y Pérez, 2007: 136 ] Considere una economía sin producción con dos bienes 𝑘 = 1,2

y dos consumidores, 𝑖 = 𝐴, 𝐵 que tienen preferencias representadas por:

𝑢𝐴 = 𝑥₁𝐴𝑥₂𝐴 y 𝑢𝐵 = min{𝑥₁𝐵, 𝑥₂𝐵}

La distribución vigente del ingreso es:

𝕄 = (3 1

1 3)

Suponga que mediante un proceso de planeación participativase decide que la mejor asignación para esta economía es:

𝑥̂_𝑖𝑘 = (1 1

3 3)

(17)

Solución: El individuo A tiene preferencias típicas mientras que las del consumidor B representan

(18)

El Conjunto de Pareto está dado por la diagonal sobre la cual, según se observa, el aumento del bienestar de un individuo implica la disminución del bienestar del otro. Por lo tanto, las asignaciones sobre la diagonal son asignaciones Pareto Eficientes. Por esta razón (y en ausencia de cálculo), la expresión analítica del conjunto de Pareto viene dada por:

𝑥₁𝐴 = 𝑥₂𝐴 𝑥₁𝐴 ∈ [0,4]

El equilibrio competitivo se obtiene operando sobre el sistema de exceso de demanda. Aprovechando la

Ley de Walras considere el equilibrio correspondiente a la mercancía 1.

𝑧₁(𝑝) = 𝑥₁𝐴 + 𝑥₁𝐵 − 𝜔₁𝐴 − 𝜔₁𝐵 = 0

Del proceso de optimización individual:

𝑧₁(𝑝) = 3𝑝1 + 𝑝2

𝑝₁ +

𝑝₁ + 3𝑝₂

𝑝₁ + 𝑝₂ − 4 = 0

La propiedad de Homogeneidad, tomando 𝑝₂ = 1

𝑧₁(𝑝) = 3𝑝1 + 1

𝑝₁ +

𝑝₁ + 3

(19)

De donde, fácilmente se puede verificar que 𝑝₁ = 1, es decir 𝑝∗ = (𝑝1

𝑝₂ , 𝑝₂

𝑝₂) = (1,1). Bajo este sistema

de precios, la asignación de equilibrio es (reemplazando en las funciones de demanda):

𝑥_𝑖𝑘∗ = (2 2

2 2)

Que es diferente a la deseada. El STB garantiza que es posible encontrar una distribución 𝕄 que haga

posible llegar a la asignación

𝑥̂_𝑖𝑘 = (1 1

3 3)

Se precisa encontrar un nuevo (necesariamente diferente) vector de precios que corresponda a la definición del Conjunto de puntos Pareto Eficientes. Es decir, sin importar cual sea el equilibrio debe satisfacer que

(20)

Como las preferencias de A son Cobb-Douglas, las funciones de demanda óptima son:

𝑥₁𝐴 = 𝑝1𝜔1𝐴+𝑝2𝜔2𝐴

𝑝₁ y 𝑥2

𝐴 ₌ 𝑝1𝜔1𝐴+𝑝2𝜔2𝐴 𝑝₂

Como sobre el Conjunto de Pareto se debe observar 𝑥₁𝐴 = 𝑥₂𝐴

𝑝₁𝜔₁𝐴 + 𝑝₂𝜔₂𝐴

𝑝₁ =

𝑝₁𝜔₁𝐴 + 𝑝₂𝜔₂𝐴 𝑝₂

∴ 𝑝₁ = 𝑝₂ = 1

O sea, el precio de equilibrio (también!) es 𝑝∗ = (𝑝1

𝑝₂ , 𝑝₂

𝑝₂) = (1,1) sin importar las dotaciones iniciales del

consumidor A. La recta presupuestal tiene como pendiente los precios relativos con signo cambiado, i.e.

es igual a (−1) y debe pasar por la asignación 𝑥̂_𝑖𝑘. Si esta asignación es un equilibrio competitivo, debe

estar sobre el plano del presupuesto.

Por consiguiente, cualquier punto sobre la recta presupuestal sirve como distribución de punto de partida de los consumidores. Considere por ejemplo la distribución:

𝕄∗ = (1 1

(21)

(22)

Referencias

[1.] Ginsburgh, V. and M. Keyzer (1997): The Structure of Applied General Equilibrium Model.

Cambdrige: MIT Press.

[2.] Jehle, G. and P. Reny (2011) Advanced Microeconomic Theory (3rd Edition). N.J.: Prentice Hall.

[3.] Kreps, D. (2012): Microeconomic Foundations I: Choice and Competitive Markets. Princeton: Princeton

University Press.

[4.] Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford: Oxford

University Press.

[5.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía.

[6.] Sen, A. (1970): Collective Choice and Social Welfare. San Francisco: Holden Day.

[7.] Varian, H. (1993): Análisis Microeconómico. Barcelona: Antoni Bosch.

[8.] Villar, A. (1999): Lecciones de Microeconomía. Barcelona: Antoni Bosch.