Mínimos Cuadrados

Contenido

Métodos Numéricos

para Ingenieros Químicos

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

AJUSTE DE DATOS

c) b)

a) x

x

x

f(x) Se caracterizó la

tendencia general de los datos con una línea

recta.

Se usaron segmentos lineales o interpolación lineal para conectar los puntos.

Se usaron curvas para capturar el serpenteado sugerido por los datos. Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

AJUSTE DE DATOS

En muchos casos los datos experimentales son no lineales y se necesita ajustarlos a otra función que no sea una línea recta.

x y

A X . B Y a x

1 b . a y 1

x x b a y 1 x

b x a y

 

        

   

   

    

 

 

log(x) log(y)

B Pendiente

log(a) y = a.xb

log(y) = log(a.xb₎

log(y) =log(a)+log(xb₎

log(y) =log(a)+b.log(x) Y = A + B.X

x log(y)

B Pendiente

log(a) y = a.eb.x

ln(y) = ln(a.eb.x₎

ln(y) =ln(a)+ln(eb.x₎

ln(y) =ln(a)+b.x.ln(e) Y = A + B.X

y=a

x

b

x y

y=a

e

bx

x y

y=a

x _

b+x

1/x 1/y

B Pendiente

1/a Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Introducción

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

La regresión por mínimos cuadrados es una técnica aplicada cuando todos o algunos de los datos (x,y) exhiben un grado significativo de error, como por ejemplo datos tomados experimentalmente.

La estrategia a seguir es determinar la mejor función, o curva, que represente la tendencia general de los datos que están sujetos a error.

El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el caso de aproximar un conjunto de datos (x,y) a una línea recta, es decir la ”regresión lineal".

e x a a

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

SUMA DE ERRORES MÍNIMA





 

 

 n

i

i i

n

i

i y a a x

e

1

1 0

1

)

( -e

e

La mejor línea es la que conecta los dos puntos, pero cualquier línea que pasa por el punto medio

genera un valor de cero (los errores se cancelan).

SUMA DEL ERROR ABSOLUTO MÍNIMO





 

 

 n

i

i i

n

i

i y a a x

e

1

1 0

1

) (

Esto es cuando dos de los puntos están en el mismo valor de x (caso típico cuando se duplican los experimentos). Cualquier línea que se encuentre

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

SUMA MÍNIMO CUADRADO DE ERRORES

Este criterio ignora las restricciones anteriores, además de dar un resultado único para un conjunto de datos. Este método esta de acuerdo con el principio estadístico de la

máxima probabilidad.





 

 

  n

i

n

i

i i

i y a a x

e s

1 1

2 1

0 2

) (

AJUSTE DE DATOS

Introducción Regresión Lineal Mínimos Cuadrados Criterios Ajuste Lineal Ajuste General Regresión Lineal Mínimos Cuadrados Introducción Criterios



        n i i i a a x

y a s 1 1 0 0 ) ( 2 0



        n i i i

i y a a x

x a s 1 1 0 1 ) ( 2 0





      n i n i i i

i y a a x

e s 1 1 2 1 0 2 ) (







      n i i n i n i

i a a x

y 1 1 1 0 1 0





    n i i n i

i na a x

y 1 1 0 1







      n i i n i i n i i

ix a x a x

y 1 2 1 1 0 1 0







     n i i n i i n i i

ix a x a x

y 1 2 1 1 0 1







 

   2 2 1 ) ( i i i i x x n y x y x n a x a y n x a n y

a₀ 



i  ₁



i   ₁

Ajuste Lineal

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

La cuantificación del error se basa en

términos estadísticos. Para ello se toman en cuenta los valores reales o experimentales (S_t) y los valores proporcionados por el ajuste (S_r):







2

)

(

y

y

s

_{t i}

s

_r





(

y

_i



a

_o



a

_i

x

_i

)

2

La diferencia entre s_t y s_r cuantifica la mejora en la reducción del error debido al modelo de la línea recta. Esta diferencia se puede normalizar al error total y obtener:

t r t

s

s

s

r

2





Ajuste Lineal

AJUSTE DE DATOS

EJEMPLO N°1

Aplicar regresión lineal a la tabla de datos: Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

Ajuste Lineal

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

y

xi yi

1,0 0,5

2,0 2,5

3,0 2,0

4,0 4,0

5,0 3,5

6,0 6,0

7,0 5,5



xiyi

0,5 5,0 6,0 16,0 17,5 36,0 38,5

xi2

1,0 4,0 9,0 16,0 25,0 36,0 49,0

sumatoria 28,0 24,0 119,5 140,0

n = 7 

0714 ,

0 8393

,

0 

 x

y

8683 ,

0

2 

r

AJUSTE DE DATOS

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

y

EJEMPLO N°2

Aplicar regresión lineal a la tabla de datos:

-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

lo

g

y

xi yi

1,0 0,5 2,0 1,7 3,0 3,4 4,0 5,7 5,0 8,4



log(xi) log(yi)

0,0000 -0,3010 0,3010 0,2304 0,4771 0,5315 0,6021 0,7559 0,6990 0,9243

log(xi)log(yi)

0,0000 0,0694 0,2536 0,4551 0,6460

[log(xi)]2

0,0000 0,0906 0,2276 0,3625 0,4886

2,0792 2,1411 1,4241 1,1693

 n=5

 

1,7517 log

 

0,3002

log y   x 

1

2 

r

7517 , 1

5010 ,

0 x

y  

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión lineal.

x a a

y  ₀  ₁

Regresión polinomial.

m mx a x

a x

a x a a

y  ₀  ₁  ₂ 2  ₃ 3 

Regresión multifunciones.

m m x

f a e

a x

a x a a

y  ₀  ₁  ₂ 1  ₃ 

Cualquier tipo de función Regresión multivariables.

m m x

f a e

x a x

x a x

a a

y     _{3 2} 

1 2 2 1

1 0

Cualquier tipo de función y variables

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Y_j

y₁

x₁ y₂

x₂ x_j

y_j Y_j

e_j=(y_j-Y_j)

x y





 

 

 

m

i i j

m m j

f a Y

f a f

a f

a f

a f

a

Y _{0 0 1 1 2 2 3 3} 

x variable indep.

y valor real/exp.

Y valor aprox.

n núm. datos

m núm. funciones

AJUSTE DE DATOS

Introducción Regresión Lineal Mínimos Cuadrados Criterios Ajuste Lineal Ajuste General Regresión Lineal Mínimos Cuadrados Introducción Criterios Ajuste Lineal Ajuste General

Después de un profundo y complejo análisis matemático similar al realizado al ajuste lineal se tiene la siguiente solución:

f y f f a f f a f f a f f a n j j n j m m n j n j n j     











_{    } 1 0 1 0 1 0 2 2 1 0 1 1 1 0 0 0  MÉTODO GENERAL f y f y f y f y a a a a f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f n j j n j j n j j n j j m n j m m n j m n j m n j m n j m n j n j n j n j m n j n j n j n j m n j n j n j                                                                      









































                    1 3 1 2 1 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 1 0 0 M M  M M M M M   

AJUSTE DE DATOS

Introducción

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General

Regresión Lineal

Mínimos Cuadrados Introducción

Criterios

Ajuste Lineal Ajuste General