Unidad 9: Geometría Afín

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. UNIDAD 9 GEOMETRÍA AFÍN RECTAS EN EL ESPACIO 1. ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta r queda determinada por: Un punto A(a1 , a2 , a3 ) . r. Un vector de dirección vr (v1 , v2 , v3 ). r. A r ( A; vr ) se le llama determinación lineal de la recta r. Si X ( x, y, z ) es un punto genérico de la recta:. r OX = OA + AX = OA + λvr. Por tanto:. r OX = OA + λvr ; λ ∈ ℜ. Ecuación vectorial de la recta En coordenadas:. r : ( x, y, z ) = (a1 , a 2 , a3 ) + λ (v1 , v2 , v3 ) λ ∈ ℜ Haciendo variar el parámetro λ obtenemos todos los puntos de la recta. Operando ( x, y, z ) = (a1 + λv1 , a2 + λv2 , a3 + λv3 ) e igualando coordenada a coordenada. x = a1 + λv1 ⎫ ⎪ r : y = a 2 + λv 2 ⎬ λ ∈ ℜ z = a3 + λv3 ⎪⎭. Ecuaciones paramétricas de la recta. Despejando λ en estas ecuaciones e igualando:. r:. x − a1 y − a2 z − a3 = = v1 v2 v3. Ecuación en forma continua de la recta. A partir de estas ecuaciones tenemos:. x − a1 y − a2 = v1 v2. y − a2 z − a3 = v2 v3. Operando se llega a dos ecuaciones de la forma:. r:. A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎫ ⎬ Ecuaciones implícitas de la recta A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0⎭. ( ). r. Ejemplo: Dada la recta r A; vr con A(3,1,−2 ) y vr (− 3,2,1) . a) Determina sus distintas ecuaciones. r b) Determina dos puntos de r distintos de A y un vector director distinto de vr . c) Determina si el punto B(2,−1,4 ) pertenece a r. Solución: a) Ecuación vectorial: r : ( x, y , z ) = (3,1,−2 ) + λ (− 3,2,1) λ ∈ ℜ. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. x = 3 − 3λ ⎫ ⎪ Ecuaciones paramétricas: r : y = 1 + 2λ ⎬ λ ∈ ℜ z = −2 + λ ⎪⎭ Ecuación en forma continua: r :. x −3 = −3 Ecuaciones implícitas: y −1 = 2. x − 3 y −1 z + 2 = = 2 1 −3. y −1⎫ 2 x + 3 y − 9 = 0⎫ 2 ⎪⎪ ⎬ ⎬⇒ r: y − 2z − 5 = 0 ⎭ z + 2⎪ 1 ⎪⎭. b) Si λ = 1 ⇒ (x, y, z ) = (3,1,−2 ) + 1(− 3,2,1) = (0,3,−1) ⇒ B(0,3,−1). Si λ = 2 ⇒ ( x, y, z ) = (3,1,−2 ) + 2(− 3,2,1) = (− 3,5,0 ) ⇒ C (− 3,5,0 ). r. r. Otro vector director: wr = 7vr (− 3,2,1) = (− 21,14,7 ) ⇒ wr (− 21,14,7 ) c) Si sustituimos en las ecuaciones paramétricas (por ejemplo):. 2 = 3 − 3λ ⎫ λ = 13 ⎫ ⎪ ⎪ − 1 = 1 + 2λ ⎬ ⇒ λ = −1⎬ ⇒ B no pertenece a la recta r. 4 = −2 + λ ⎪⎭ λ = 6 ⎪⎭. • Ecuación de una recta determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por dos puntos A y B. Una determinación lineal es. (. ). r r A; AB . Es decir, tomamos vr = AB Ejemplo: Dados los puntos A(3,1,0 ) y B (5,0,−1) se pide:. a) Determina las distintas ecuaciones de la recta que pasa por A y B. b) Determina, utilizando la ecuación en forma continua, si el punto C (7,−1,−2 ) pertenece a dicha recta. Solución:. r. r. a) Hallamos un vector director de la recta vr = AB ⇒ vr (2,−1,−1) Ecuación vectorial: r : ( x, y, z ) = (3,1,0 ) + λ (2,−1,−1) λ ∈ ℜ. x = 3 + 2λ ⎫ ⎪ Ecuaciones paramétricas: r : y = 1 − λ ⎬ λ ∈ ℜ z = 0 − λ ⎪⎭ Ecuación en forma continua: r :. x − 3 y −1 z = = 2 −1 −1. x − 3 y − 1⎫ = − 1 ⎪⎪ ⇒ r : − x − 2 y + 5 = 0⎫ 2 Ecuaciones implícitas: ⎬ ⎬ y −1 z ⎪ − y + z +1 = 0 ⎭ = −1 − 1 ⎭⎪ b). 7 − 3 −1 −1 − 2 4 −2 −2 = = ⇒ = = ⇒ 2 = 2 = 2 ⇒ C ∈r . 2 2 −1 −1 −1 −1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dos rectas en el espacio pueden tener las posiciones relativas:. Estudio a partir del rango. Dadas r y s en implícitas: •. •. Dadas dos rectas por sus determinaciones lineales:. r s(B; vs ). r r ( A; vr ). •. r r • Si vr // v s ⇒ Son coincidentes o paralelas.. ⎧Si A ∈ s ⇒ Coincidentes Tomamos A ∈ r y sustituimos en s ⇒ ⎨ ⎩Si A ∉ s ⇒ Paralelas r r r r • Si vr // v s ( v r no es paralelo a v s ): ⎧⎪Si det vrr , vrs , AB = 0 ⇒ r y s se corta n Calculamos AB ⇒ ⎨ r r ⎪⎩Si det vr , v s , AB ≠ 0 ⇒ r y s se cruzan. ( (. ) ). Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:. •. ⎫ ⎬⇒r ≡ s r ( M b) = 2⎭ r (M ) = 2 ⎫ ⎬ ⇒ r // s r ( M b) = 3⎭ r (M ) = 3 ⎫ r ys ⎬ ⇒ secantes r (M b) = 3⎭ r (M ) = 2. r ys. ⎫ ⎬ ⇒ se cruzan en r (M b) = 4⎭ el espacio r (M ) = 3. Nota: ⎛ A1 ⎜ (M b) = ⎜⎜ A2 A ⎜ 3 ⎜A ⎝ 4. B1 C1 − D1 ⎞ ⎟ B2 C2 − D2 ⎟ B3 C3 − D3 ⎟ ⎟ B4 C4 − D4 ⎟⎠. x − 2 y + 3 z +1 = = 2 2 −6 b) r : ( x, y, z ) = (2,1,3) + λ (2,−1,1) λ ∈ ℜ s : ( x, y, z ) = (− 1,−1,4 ) + μ (1,3,−2 ) μ ∈ ℜ ⎧ x = 2 − 3λ ⎧x = 1 − μ ⎪ ⎪ μ ∈ℜ s : ⎨y = μ c) r : ⎨ y = 3 + 5λ λ ∈ ℜ ⎪z = λ ⎪z = 5 ⎩ ⎩. a) r : ( x, y, z ) = (2,1,−3) + λ (1,−3,1) λ ∈ ℜ. ⎧ x = 3 − 5λ ⎪ d) r : ⎨ y = 2 + 3λ λ ∈ ℜ ⎪z = 4 − λ ⎩. s:. ⎧ x = −17 + 5μ ⎪ s : ⎨ y = 14 − 3μ μ ∈ ℜ ⎪z = μ ⎩. Solución: a). r r r r 1 −3 1 vr (1,−3,1), vs (2,−6,2) ⇒ = = ⇒ vr // vs ⇒ Son coincidentes o paralelas. 2 −6 2 2 − 2 1+ 3 Tomamos A(2,1,−3) ∈ r y vemos si pertenece a s: ≠ ⇒ A∉ s 2 −6. Por tanto, r y s son paralelas.. 2 −1 1 ≠ ≠ ⇒ Se cortan o se cruzan. 1 3 −2 Tomamos A(2,1,3) ∈ r y B (− 1,−1,4 ) ∈ s ⇒ AB(− 3,−2,1) 2 1 −3 r r r r det(vr , vs , AB) = − 1 3 − 2 = 0 ⇒ r y s se cortan ya que rang vr , v s , AB = 2 1 −2 1 r. r. b) vr (2,−1,1), v s (1,3,−2 ) ⇒. (. c). ). r r −3 5 1 vr (− 3,5,1), v s (− 1,1,0) ⇒ ≠ ≠ ⇒ Se cortan o se cruzan. −1 1 0 Tomamos A(2,3,0 ) ∈ r y B (1,0,5) ∈ s ⇒ AB(− 1,−3,5). Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. − 3 −1 −1 r r r r det vr , vs , AB = 5 1 − 3 = 14 ⇒ r y s se cruzan ya que rang vr , vs , AB = 3. (. (. ). 1 r. 0. r. d) vr (− 5,3,−1), vs (5,−3,1) ⇒. ). 5 − 5 3 −1 r r = = ⇒ vr // vs ⇒ Son coincidentes o paralelas. 5 −3 1. Tomamos A(3,2,4 ) ∈ r y vemos si pertenece a s:. 3 = −17 + 5μ ⎫ μ = 4⎫ ⎪ ⎪ 2 = 14 − 3μ ⎬ ⇒ μ = 4⎬ ⇒ A ∈ s ⇒ r y s son coincidentes. ⎪ μ = 4⎪ 4=μ ⎭ ⎭. PLANOS EN EL ESPACIO 3. ECUACIONES DEL PLANO. Un plano π queda determinado por: Un punto A(a1 , a2 , a3 ) Dos vectores no paralelos (linealmente r r independientes) u (u1 , u2 , u3 ) y v (v1 , v2 , v3 ) , llamados vectores directores del plano.. r r. Decimos que π ( A; u , v ) es una determinación lineal del plano π . Si X ( x, y, z ) es un punto genérico del plano:. OX = OA + AX Como AX es un vector del plano π. r r AX = λ u + μ v. Por tanto:. r r OX = OA + λ u + μ v ; λ , μ ∈ ℜ Ecuación vectorial del plano En coordenadas:. π : ( x, y, z ) = (a1 , a2 , a3 ) + λ (u1 , u 2 , u3 ) + μ (v1 , v2 , v3 ); λ , μ ∈ ℜ. Haciendo variar λ y μ ∈ ℜ obtenemos todos los puntos del plano. Operando: (x, y, z ) = (a1 + λ u1 + μ v1 , a2 + λ u2 + μ v2 , a3 + λ u3 + μ v3 ) e igualando coordenada a coordenada. x = a1 + λ u1 + μ v1 ⎫ ⎪ π : y = a 2 + λ u 2 + μ v2 ⎬ λ , μ ∈ ℜ z = a3 + λ u3 + μ v3 ⎪⎭. Ecuaciones paramétricas del plano. Eliminando los parámetros λ y μ obtenemos:. π : Ax + By + Cz + D = 0 Ecuación general o implícita del plano. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. • Forma de obtener la ecuación general o implícita del plano. Para eliminar λ y μ a partir de las ecuaciones paramétricas escribimos:. x − a1 = λ u1 + μ v1 ⎫ r r r ⎪ y − a 2 = λ u 2 + μ v2 ⎬ ⇒ AX = λu + μv z − a3 = λ u3 + μ v3 ⎪⎭ r r r r Es decir, AX , u y v son linealmente dependientes ⇒ rang AX , u , v = 2 . Por tanto:. (. x − a1. u1. v1. y − a2 z − a3. u2 u3. v2 = 0 v3. ). y desarrollando este determinante obtenemos la ecuación implícita del plano.. r. Propiedad: El vector n ( A, B, C ) es un vector ortogonal (perpendicular) al plano. Se llama vector normal o característico del plano. Demostración: Si P( p1 , p2 , p3 ) y Q(q1 , q 2 , q3 ) son dos puntos arbitrarios del plano. π : Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ Ap1 + Bp2 + Cp3 + D = 0 y Aq1 + Bq2 + Cq3 + D = 0 . r. Como PQ(q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 ) y n ( A, B, C ) , entonces:. r n ⋅ PQ = A(q1 − p1 ) + B(q2 − p2 ) + C(q3 − p3 ) = Aq1 + Bq2 + Cq3 − ( Ap1 + Bp2 + Cp3 ) = −D + D = 0 1442443 144 42444 3 −D. −D. r Luego n ⋅ PQ = 0 y PQ es un vector arbitrario de dicho plano (por ser arbitrarios P y Q). r Se tiene, por tanto, que n es un vector ortogonal al plano π . Ejemplo 1: Escribe la ecuación vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el r r punto A(2,−1,3) y con vectores directores u (2,1,−1) y v (− 1,0,3) . Ecuación segmentaria Solución: del plano: Ecuación vectorial: π : ( x, y, z ) = (2,−1,3) + λ (2,1,−1) + μ (− 1,0,3); λ , μ ∈ ℜ x y z. + + =1 a b c con a, b, c ≠ 0. Siendo: A(a, 0, 0 ) B(0, b, 0 ) C (0, 0, c ). los puntos de corte del plano con los ejes.. x = 2 + 2λ − μ ⎫ ⎪ Ecuaciones paramétricas: π : y = −1 + λ ⎬ λ, μ ∈ ℜ z = 3 − λ + 3μ ⎪⎭. Ecuación implícita:. x−2. 2 −1. y +1. 1. z − 3 −1. 0 = 0 ⇒ 3( x − 2 ) + y + 1 + z − 3 − 6( y + 1) = 0 ⇒ 3. ⇒ 3x − 6 + y + 1 + z − 3 − 6 y − 6 = 0 ⇒ π : 3x − 5 y + z − 14 = 0 Ejemplo 2: Averigua si los dos sistemas de ecuaciones siguientes representan sendos planos y, en caso que así sea, indica un punto y dos vectores directores de cada uno.. a ) x = 2 + 2λ. ⎫ ⎪ y = 3+ μ ⎬ λ, μ ∈ ℜ z = 2 + λ + 3μ ⎪⎭. b) x = 2 + 3λ − 6 μ ⎫ ⎪ y = 7 − λ + 2μ ⎬ λ , μ ∈ ℜ z = −5 + 4λ − 8μ ⎪⎭. Solución: Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. r. a) El plano pasa por el punto A(2,3,2 ) y tiene por vectores directores u (2,0,1) y. r v (0,1,3) , ya que son linealmente independientes. r r b) Al ser los vectores u (3,−1,4 ) y v (− 6,2,−8) linealmente dependientes, no representan ningún plano. Ejemplo 3: Averigua si los puntos P(0,−3,2 ) y Q (5,3,1) pertenecen al plano π dado por las ecuaciones paramétricas siguientes:. x = 2 + λ + 3μ ⎫ ⎪ y = −λ + 2 μ ⎬ λ , μ ∈ ℜ z = 5 − 2λ + μ ⎪⎭ Solución: Calculamos la ecuación general del plano:. x−2. 1. 3. y − 1 2 = 0 ⇒ π : 3 x − 7 y + 5 z − 31 = 0 z −5 −2 1 ¿ P ∈ π ? 3 ⋅ 0 − 7 ⋅ (− 3) + 5 ⋅ 2 − 31 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ P ∈ π ¿ Q ∈ π ? 3 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 + 5 ⋅1 − 31 = 0 ⇒ −32 ≠ 0 ⇒ Q ∉ π Ejemplo 4: Determina la ecuación general del plano que contiene el punto A(1,0,3) y con. r. r. vectores directores u (− 1,3,2 ) y v (2,1,0 ) . Solución: Llamamos π a ese plano, entonces:. x −1 −1 2 y z −3. 3 1 = 0 ⇒ π : −2 x + 4 y − 7 z + 23 = 0 2 0. • ECUACIÓN DE UN PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. Tres puntos no alineados determinan un plano. Para ello tomamos como determinación lineal. (. ). del plano π A; AB, AC . Ejemplo 5: Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,0,3), B(2,1,−1) y C (3,1,0 ) . Solución: Necesitamos un punto, por ejemplo A, y dos vectores directores del plano:. AB(1,1,−4 ), AC (2,1,−3) π : ( x, y, z ) = (1,0,3) + λ (1,1,−4) + μ (2,1,−3); λ , μ ∈ ℜ Si queremos obtener la ecuación general del plano:. x −1. 1. 2. y 1 1 = 0 ⇒ π : x − 5y − z + 2 = 0 z −3 −4 −3. Ejemplo 6: Dada la ecuación general del plano π : x − 2 y + 3 z − 1 = 0 , determina tres puntos del plano y una ecuación vectorial. Solución: Damos valores a dos de las incógnitas y despejamos la tercera: Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Si y = 0, z = 0 ⇒ x − 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A(1,0,0 ) Si y = 1, z = 0 ⇒ x − 2 ⋅1 + 3 ⋅ 0 − 1 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ B (3,1,0 ). Si y = 0, z = 1 ⇒ x − 2 ⋅ 0 + 3 ⋅1 − 1 = 0 ⇒ x = −2 ⇒ C (− 2,0,1) Calculamos su ecuación vectorial:. AB(2,1,0 ), AC (− 3,0,1) π : ( x, y, z ) = (1,0,0) + λ (2,1,0) + μ (− 3,0,1); λ , μ ∈ ℜ. • ECUACIÓN DE UN PLANO CONOCIDO UN PUNTO Y UN VECTOR NORMAL. Ejemplo 7: Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto P(3,7,−2 ) siendo el vector. r n (3,−2,1) normal al plano.. Solución: r Por ser n un vector normal al plano, su ecuación general es de la forma:. π : 3x − 2 y + z + D = 0 Como P ∈ π ⇒ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 7 − 2 + D = 0 ⇒ D = 7 Por tanto, π : 3 x − 2 y + z + 7 = 0 r. r r. Nota: Resuelve el Ejemplo 4 de la página anterior obteniendo un vector normal n = u × v . • ECUACIÓN DE UN PLANO QUE CONTIENE UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR. A ELLA r r Dada r ( A; vr ) tomamos el punto A de r y su vector director vr . Obtenemos el vector AP.. (. ). r. Entonces π P; vr , AP . Ejemplo 8: Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P (1,3,−2 ) y contiene a la recta r :. x −1 = y +1 = z − 2 3. Solución: Comprobamos primero que el punto P no pertenece a la recta r:. 1 −1 ≠ 3 + 1 ≠ −2 − 2 3 r De la recta r obtenemos: A(1,−1,2 ), vr (3,1,1) y calculamos AP(0,4,−4 ) . (x, y, z ) = (1,3,−2) + λ (3,1,1) + μ (0,4,−4); λ , μ ∈ ℜ Si queremos obtener la ecuación general del plano:. x −1 3. 0. y −3 1 4 = 0 ⇒ π : −2 x + 3 y + 3 z − 1 = 0 z+2 1 −4. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS r. Estudio a partir del rango: •. •. •. π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎫ n1 ( A1 , B1 , C1 ) Dados dos planos ⎬⇒ r n2 ( A2 , B2 , C 2 ) π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0⎭ π1. r (M ) = 1 ⎫. ⎬ ⇒π1 ≡ π 2 r ( M b) = 1⎭. π1 ≡ π 2. r (M ) = 1 ⎫. ⎬ ⇒ π 1 // π 2 r ( M b ) = 2⎭ r (M ) = 2 ⎫ π ,π ⎬⇒ 1 2 r (M b) = 2⎭ secantes. π1. r. π2. π2. A1 B1 C1 D1 Fíjate: Dos planos paralelos o coincidentes = = = ⇒ Coincident es tienen sus vectores normales proporcionales. A2 B2 C 2 D2 En caso contrario son secantes: r r A1 B1 C1 D1 • n1 // n2 ⇒ π1 y π 2 coincidentes o paralelos • Si = = ≠ ⇒ Paralelos r r A2 B2 C 2 D2 • n1 // n2 ⇒ π1 y π 2 secantes A B A C B C • Si 1 ≠ 1 ó 1 ≠ 1 ó 1 ≠ 1 ⇒ Secantes (Se cortan en una recta) A2 B2 A2 C2 B2 C2 • Si. Fíjate: En este último caso, las dos ecuaciones implícitas de los planos forman la ecuación implícita de la recta que determinan. Ejemplo 1: Los planos π 1 : 0.6 x − 0.2 y − 0.4 z + 2.4 = 0 y π 2 : 3 x − y − 2 z + 12 = 0 son. r r 0.6 − 0.2 − 0.4 2.4 = = = . Observa que 5n1 = n2 −2 −1 3 12 Ejemplo 2: Los planos π 1 : 2 x + 3 y − z + 1 = 0 y π 2 : 4 x + 6 y − 2 z + 7 = 0 son paralelos, puesto r r 2 3 −1 1 ≠ . Observa que 2n1 = n2 que: = = 4 6 −2 7 Ejemplo 3: Los planos π 1 : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 y π 2 : x + y + 5 z + 4 = 0 son secantes, puesto r r 2 −1 3 ≠ . Observa que, en este caso, n1 // n2 (no son proporcionales). que: ≠ 1 1 5 coincidentes, puesto que:. • OBTENCIÓN DE LA RECTA EN LA QUE SE CORTAN DOS PLANOS Se necesita un punto y un vector director para obtener una determinación lineal de la recta. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta intersección de los planos π 1 : −2 x + y + 2 z + 1 = 0 y. π 2 : 4x + 3y − z + 4 = 0 .. Para obtener un punto de la recta también se puede resolver el SEL dando un valor a una incógnita cualquiera y resolviendo el sistema 2 × 2 que resulta. Ejemplo: Tomo z = 0 y resuelvo: − 2 x + y = −1⎫ ⎬⇒ 4 x + 3 y = −4 ⎭ 1 ; y =−6 x = − 10 5 −1 ⇒ A( 10 ,. −6 5. , 0). Solución: 1ª Forma: Se resuelve el SEL para obtener las ecuaciones paramétricas:. ⎛− 2 1 ⎛ − 2 1 2 −1 ⎞ − 2 x + y + 2 z = −1⎫ 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ S.C.I. ⇒ ⎬ ⎜ 4 3 − 1 − 4 ⎟ F2 + 2 F1 ⎜ 0 5 3 − 6 ⎟ 5 y + 3 z = −6 ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −3λ −6 ⎫ Tomo z = λ ⇒5y +3λ = −6⇒y = ⎪ x = −1 + 7 λ⎫ 5 10 10 ⎪ ⎪ −3λ −6 ⎪ −6 − 3 λ ⎪ λ∈ℜ y = r : −2x+ y +2z = −1⇒−2x+ +2λ = −1⇒−10x−3λ −6+10λ = −5⎬⇒ 5 5 ⎬ 5 ⎪ ⎪ z =λ ⎪⎭ 7λ −1 ⎪ ⇒10x = 7λ −1⇒x = ⎪ 10 ⎭ r r −1 −6 7 −3 Por tanto: A(10 , 5 , 0 ) ; vr (10 , 5 , 1) , o mejor vr (7, − 6, 10 ). −1 −6 Si queremos la ecuación en forma vectorial: r : ( x, y, z ) = (10 , 5 ,0) + λ(7, − 6, 10) λ ∈ ℜ. La ecuación en forma continua: r :. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. x + 101 y + 65 z = = − 6 10 7. 8. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(9) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 2ª Forma: Obtención de un vector normal usando el producto vectorial. r r r vr = n1 × n2 es un vector director de la recta r_. r r r i j k r π 1 : −2x + y + 2z + 1 = 0 ⇒ n1 (− 2,1,2)⎫ r r r r ⎬ ⇒ vr = n1 × n2 = − 2 1 2 = π 2 : 4x + 3y − z + 4 = 0 ⇒ n2 (4,3,−1) ⎭ 4 3 −1 r r r r = −7i + 6 j − 10k ⇒ vr (− 7,6,−10) . Un punto de la recta se calcula como en la primera forma resolviendo el SEL, o bien como se expresa en el margen de la página anterior. −1 −6 −1 −6 Así se obtiene A( 10 , 5 , 0) , y por tanto, r : (x, y, z) = (10 , 5 , 0) + λ(− 7,6,−10) λ ∈ℜ.. 5. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO 1ª Forma: Útil si tanto r como π vienen dados en implícitas. ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y π : Ax + By + Cz + D = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0. Sean r : ⎨. Sistema compatible indeterminado. Sus soluciones dependen de un pa‐ rámetro. La recta está contenida en el plano.. Sistema incompatible. No hay puntos Comunes. La recta y el plano son paralelos.. Sistema compatible determinado. La recta y el plano son secantes.. r. r. r. π. π. π. Consideramos las matrices asociadas al sistema formado por las tres ecuaciones:. ⎛A ⎜ M = ⎜ A1 ⎜A ⎝ 2. B. (. B1 B2. ). ⎛A ⎜ (M b ) = ⎜ A1 ⎜A ⎝ 2. C⎞ ⎟ C1 ⎟ C 2 ⎟⎠. B B1 B2. C −D ⎞ ⎟ C1 − D1 ⎟ C 2 − D2 ⎟⎠. • Si rang (M ) = rang M b = 3 ⇒ SCD ⇒ La recta corta al plano en un punto.. Para calcular el punto se resuelve el SEL • Si rang (M ) = 2; rang M b = 3 ⇒ SI ⇒ Recta paralela y exterior al plano.. (. (. ). ). • Si rang (M ) = rang M b = 2 ⇒ SCI ⇒ Recta contenida en el plano.. ⎧2 x − y + z − 3 = 0 ⎩x + 5 y − 2z − 8 = 0. Ejemplo: Averigua la posición relativa de la recta r : ⎨. y el plano. π : 2 x + y + z − 9 = 0 . En el caso de que sean secantes, halla el punto de corte. Solución:. ⎛2 1 1 9⎞ ⎜ ⎟ (M b) = ⎜ 2 − 1 1 3 ⎟ ⎜1 5 − 2 8⎟ ⎝ ⎠. 1⎞ ⎛2 1 ⎜ ⎟ M = ⎜ 2 −1 1 ⎟ ⎜1 5 − 2⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1. 1 = 10 ≠ 0 ⇒ rang (M ) = rang (M b ) = 3 ⇒ SCD ⇒ ⇒ La recta corta al plano en un punto. 5 −2. M = 2 −1 1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 9. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. El punto de corte será la solución del sistema. Aplicamos la Regla de Cramer para hallar dicho punto:. 9 1 1 3 −1 1 8 5 −2. 2 9 1 2 3 1 1 8 −2. 10 = 1; y = 10 10 10 Por tanto, el punto de corte es P (1,3,4 ). x=. =. =. 30 = 3; z = 10. 2 1 9 2 −1 3 1 5 8 10. =. 40 = 4. 10. 2ª Forma: Útil si r y π vienen dados por sus determinaciones lineales. r. r r. Sean r ( A; vr ) y π (B; u , v ) . Consideramos el vector AB.. r r r. r r r. • Si u , v , vr son linealmente independientes, es decir, rang (u , v , v r ) = 3 ⇒ Recta y plano se. cortan en un punto P ( r ∩ π = P ).. r r r. r r r. • Si u , v , vr son linealmente dependientes, es decir, rang (u , v , vr ) = 2 ⇒. ⎧⎪Si AB, ur , vr son linealmente independientes ⇒ Recta paralela al plano (r // π ). ⇒⎨ r r ⎪⎩Si AB, u , v son linealmente dependientes ⇒ Recta contenida en el plano (r ⊂ π ).. Ejemplo: Determina la posición relativa de la recta r : ( x, y, z ) = (2,−1,0 ) + λ (1,2,1); λ ∈ ℜ y el. plano π : ( x, y, z ) = (5,0,0 ) + λ (3,0,1) + μ (4,−1,1); λ , μ ∈ ℜ. Solución:. 3. 4 1. 3 4 r r r r r = −3 ≠ 0 , o porque u , v son lin.ind. 0 − 1 2 = 0 ⇒ rang(u , v , vr ) = 2 , ya que 0 −1 1 1 1 Por tanto, la recta estará contenida en el plano o será paralela a él.. A(2,−1,0); B(5,0,0) ⇒ AB(3,1,0) 3 3 4 r r 1 0 − 1 = 4 ≠ 0 ⇒ AB, u , v son linealmente independientes ⇒ 0 1 1 ⇒ La recta r es paralela al plano π .. 3ª Forma: Útil si r viene dada por una determinación lineal y π en implícitas r r Sean r (P; vr ) y n vector normal al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 .. r. r. • Si vr ⊥ n ⇒ Recta paralela o contenida en el plano. ⎧Si P ∈ π ⇒ Recta contenida en el plano ⇒⎨ ⎩Si P ∉ π ⇒ Recta paralela al plano r r • Si vr ⊥ / n ⇒ Recta y plano se cortan en un punto (secantes). r r. r. r r. Nota: Si π (B; u , v ) podemos utilizar esta forma tomando n = u × v . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 10. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 6. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Dados los planos:. π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎫ ⎪ π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0⎬ ⇒ π 3 : A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 ⎪⎭. r n1 ( A1 , B1 , C1 ) r n2 ( A2 , B2 , C 2 ) r n3 ( A3 , B3 , C3 ). Consideramos las matrices asociadas al sistema formado por las tres ecuaciones:. ⎛ A1 ⎜ M = ⎜ A2 ⎜A ⎝ 3. B1 B2 B3. (. ⎛ A1 ⎜ (M b) = ⎜ A2 ⎜A ⎝ 3. C1 ⎞ ⎟ C2 ⎟ C3 ⎟⎠. ). B1 B2 B3. C1 − D1 ⎞ ⎟ C 2 − D2 ⎟ C3 − D3 ⎟⎠. • Si rang (M ) = rang M b = 3 ⇒ SCD ⇒ Los tres planos se cortan en un punto.. (. ⎧Secantes dos a dos. ). • Si rang (M ) = 2; rang M b = 3 ⇒ SI ⇒ ⎨. (. ⎩Dos paralelos y uno secante a ambos.. ). • Si rang (M ) = rang M b = 2 ⇒ SCI (Dependiente de 1 parámetro) ⇒ Tienen una recta en. ⎧Los tres planos secantes en una recta. común ⇒ ⎨. ⎩Dos coincidentes y uno secante a ambos ⎧Planos paralelos y distintos • Si rang (M ) = 1; rang (M b ) = 2 ⇒ SI ⇒ ⎨ ⎩Dos coincidentes y uno paralelo a ambos • Si rang (M ) = rang (M b ) = 1 ⇒ SCI (Dependiente de 2 parámetros) ⇒ Planos coincidentes. Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Compatible Determinado: Sistema compatible indeterminado. Sus soluciones dependen de un parámetro. Por tanto los tres planos Sistema compatible deter‐ Sistema compatible indeter‐ tienen una recta en común. Hay que determinar si existen minado. minado. Sus soluciones de‐ dos planos coincidentes. Los planos son secantes penden de dos parámetros. en un punto. Los planos son coincidentes. No existen planos coinci‐ Existen planos coincidentes. dentes. Los tres planos Dos planos son coincidentes son secantes en una recta. y secantes al tercero.. No existen planos coinci‐ dentes. Planos paralelos y distintos dos a dos.. Sistema Incompatible: Existen planos coincidentes. No existen planos paralelos. Dos planos coincidentes y Los planos son secantes, o se paralelos al tercero cortan dos a dos.. Existen planos paralelos. Dos planos paralelos y secantes al tercero.. Ejemplo: Estudia la posición relativa de los planos dados por las siguientes ecuaciones:. a) π 1 : 2 x + y − z − 2 = 0. b) π 1 : x + 3 y − 5 z − 3 = 0. π 2 : 3x + 2 y − z − 3 = 0 π 3 : 2x + 3 y + z −1 = 0. π 2 : 2x − y + z = 0 π 3 : 2 x + 6 y − 10 z − 7 = 0. Solución:. 2 1 −1 ⎛ 2 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 2 1 a) M = ⎜ 3 2 − 1⎟ ⇒ M = 3 2 − 1 = 0; = 1 ≠ 0 ⇒ rang (M ) = 2 3 2 ⎜ 2 3 1⎟ 2 3 1 ⎝ ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 11. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ⎛ 2 1 −1 2 ⎞ 2 1 2 ⎜ ⎟ (M b) = ⎜ 3 2 − 1 3 ⎟ ⇒ 3 2 3 = −1 ≠ 0 ⇒ rang (M b ) = 3 ⎜2 3 1 1⎟ 2 3 1 ⎝ ⎠ Por tanto, son secantes dos a dos o bien hay dos paralelos y uno secante a ambos. Determinamos si existen planos paralelos:. Recuerda :. 2 1 ⎫ A1 B1 C1 D1 ≠ ⇒ π 1 y π 2 no son paralelos ⎪ = = ≠ ⇒ Paralelos 3 2 A B2 C 2 D2 2 ⎪ 2 1 ⎪ ≠ ⇒ π 1 y π 3 no son paralelos ⎬ ⇒ Luego π 1 , π 2 y π 3 se cortan dos a dos. 2 3 ⎪ 3 2 ⎪ ≠ ⇒ π 2 y π 3 no son paralelos⎪ 2 3 ⎭ 1 3 −5 ⎛1 3 −5 ⎞ ⎜ ⎟ 1 3 b) M = ⎜ 2 − 1 1 ⎟ ⇒ M = 2 −1 1 = 0; = −7 ≠ 0 ⇒ rang(M ) = 2 2 1 − ⎜ 2 6 − 10 ⎟ 2 6 − 10 ⎝ ⎠. ⎛1 3 − 5 3⎞ 1 3 3 ⎜ ⎟ (M b) = ⎜ 2 − 1 1 0 ⎟ ⇒ 2 − 1 0 = −7 ≠ 0 ⇒ rang (M b ) = 3 ⎜ 2 6 − 10 7 ⎟ 2 6 7 ⎝ ⎠ Por tanto, son secantes dos a dos o bien hay dos paralelos y uno secante a ambos. Determinamos si existen planos paralelos:. 1 3 ⎫ ≠ ⇒ π 1 y π 2 no son paralelos ⎪⎪ 2 −1 ⎬ ⇒ π 1 y π 3 son paralelos y secantes a π 2 . 1 3 −5 3 = = ≠ ⇒ π 1 y π 3 son paralelos⎪ 2 6 − 10 7 ⎭⎪. 7. HAZ DE PLANOS 7.1. HAZ DE PLANOS PARALELOS. Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado. r Un plano π : Ax + By + Cz + D = 0 n ( A, B, C ) determina un haz de planos paralelos:. π K : Ax + By + Cz + K = 0; K ∈ ℜ r. Observa: Todos tienen el mismo vector normal n ( A, B, C ) . Ejemplo: Determina la ecuación del haz de planos paralelos al plano π : x − 2 y + 7 z − 1 = 0 .. A continuación, halla el plano del haz que contiene el punto A(5, 0, 3) . Solución: La ecuación del haz de planos paralelos es:. π K : x − 2 y + 7 z + K = 0, K ∈ ℜ El valor de K para el que π contiene el punto A es el que cumple: 5 − 2 ⋅ 0 + 7 ⋅ 3 + K = 0 ⇒ K = −26. La ecuación del plano será:. π −26 : x − 2 y + 7 z − 26 = 0. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 12. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 7.2. HAZ DE PLANOS SECANTES. Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que contienen a una recta llamada arista del haz. Dados los planos. π : Ax + By + Cz + D = 0 ⎫ ⎬ que se π ′ : A′x + B′y + C ′z + D′ = 0⎭. cortan en una recta r, cualquier otro plano que contenga a la recta se puede poner como combinación lineal de π y π ′, ya que la recta es solución común a las tres ecuaciones de los planos que forman un SCI. Por tanto, el haz queda determinado por dos planos distintos, y su ecuación es:. π λ , μ = λπ + μπ ′ ⇒ π λ , μ : λ ( Ax + By + Cz + D ) + μ ( A′x + B′y + C ′z + D′) = 0; λ , μ ∈ ℜ Si dividimos por λ y tomamos k =. μ λ. ( λ ≠ 0 ) la ecuación del haz resulta:. π k = π + kπ ′ ⇒ π k : ( Ax + By + Cz + D ) + k ( A′x + B′y + C ′z + D′) = 0; k ∈ ℜ Ejemplo 1: Halla la ecuación del haz de planos que contiene la recta r y escribe la ecuación del plano del haz que contiene el punto P(2,−1, 0 ) .. ⎧2 x − y + 3 z − 1 = 0 r:⎨ ⎩ −x+ y+2=0 Solución: La ecuación del haz de planos secantes es:. π k : (2 x − y + 3z − 1) + k (− x + y + 2 ) = 0 El valor de k para que π k contenga al punto P es el que cumple:. (2 ⋅ 2 − (− 1) + 3 ⋅ 0 − 1) + k (− 2 − 1 + 2) = 0 ⇒ 4 − k = 0 ⇒ k = 4. La ecuación del plano será:. (2 x − y + 3z − 1) + 4(− x + y + 2) = 0 ⇒ π 4 : −2 x + 3 y + 3z + 7 = 0. Ejemplo 2: Halla la ecuación del haz de planos que contiene la recta r y escribe la ecuación del plano del haz que contiene el punto P(2,0, 0 ) .. ⎧2 x + 3 y − z − 9 = 0 r:⎨ ⎩− x + 2 y + 3 z + 2 = 0 Solución: La ecuación del haz de planos secantes es:. π k : (2 x + 3 y − z − 9 ) + k (− x + 2 y + 3 z + 2) = 0 El valor de k para que π k contenga al punto P es el que cumple:. (2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 − 0 − 9) + k (− 2 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 2) = 0 ⇒ −5 − k ⋅ 0 = 0 ⇒ −5 = 0. ¿Qué ha pasado? Hemos obtenido una contradicción. Ocurre porque P ∈ π ′ con lo cual hemos acabado el ejercicio ⇒ π ′ : − x + 2 y + 3z + 2 = 0 Observación: Esta segunda ecuación de un haz de planos puede no dar el resultado esperado como hemos visto anteriormente . Ocurre si quiero obtener el plano de un haz que pasa por un cierto punto, resulta que es uno de los dos planos iniciales y coincide con el que he multiplicado por k en la ecuación. Fíjate: Si hubiésemos tomado π k : k (2 x + 3 y − z − 9 ) + (− x + 2 y + 3 z + 2 ) = 0. ⇒ k (2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 − 0 − 9 ) + (− 2 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 2 ) = 0 ⇒ −5k = 0 ⇒ k = 0 ⇒ π ′ : − x + 2 y + 3z + 2 = 0 .. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 9: Geometría Afín.

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