Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x haciendo y f x.

U

U

N

N

I

I

D

D

A

A

D

D

7

7

:

:

F

F

U

U

N

N

C

C

I

I

O

O

N

N

E

E

S

S

Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad.

7.1 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:

       0 0 x si x x si x x Además:  x2  x  x a xa  x aa xa  x axa o xa 7.2 FUNCIÓN

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D llamado Dominio, exactamente un elemento f

 

x de un conjunto I , llamado Imagen. Tal asignación se puede expresar claramente mediante el siguiente diagrama sagital:

Se acostumbra a hacer explícito el valor de la función f evaluada en un valor x de la siguiente manera

 

x f

y , donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente.

Dada la siguiente función

 

x x x f



 ₂18 , exprésela como una ecuación y halle f

 

2 Solución:

Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x haciendo y f

 

x , por lo tanto:

Por otro lado,

 

   

       3 2 2 18 2 ₂ f f

 

2 3

El resultado anterior se puede entender mejor mediante el siguiente diagrama sagital:

7.2.1 Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de tal manera que la función esté bien definida.

7.2.2 Imagen de una función

La imagen de una función es el conjunto de valores que tomará la variable dependiente.

Halle el dominio de las siguientes funciones: a.

 

x x x f   ₂18 b.

 

2 4 x x f   c. f

 

x  x2x2 Solución: a. La función

 

x x x f 

 ₂18 está bien definida si x2 x0. Es decir, si:



x1



0 x x0 y x10 Entonces x0 y x1 Por lo tanto D



xR:x0x1



R

 

0,1 D



,0

    

 0,1  1,

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

b. La función

 

2

4 x

x

f   está bien definida si 4x2 0. Es decir, si:

         4 2 4 2 4 2 2 x x x x 2x2 Por lo tanto D



xR:2x2



D



2,2



La representación gráfica del dominio es la siguiente:

c. La función f

 

x  x2 x2 está bien definida si x2 x20. Es decir, si



x2



x1



0



x2



x1



es mayor o igual que cero si





x20

 

 x10











x20

 

 x10





Para determinar cuáles valores de x cumplen con la anterior condición se debe hacer lo siguiente:



 





x20  x10









x20

 

 x10









x2

 

 x1











x2

 

 x1







,2







,1

 

 2,







1,





,2

 

 1,



Por lo tanto D



xR:x2x1



D



,2

 

 1,



La representación gráfica del dominio es la siguiente:

Un recipiente rectangular con su parte superior abierta tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su largo es el doble de su ancho. El material para construir la base cuesta 10 dolares el m2 y el material para los lados cuesta 6

dolares el m2. Exprese el costo del material en función del ancho de la base.

Solución:

Se sabe que:

Costo del material (C) = Costo de la base (CB) + Costo de los lados (CL) Pero:

CB= 10 x Área de la base (AB) y CL= 6 x Área de los lados (AL)

Dónde:

  

  x x AB 2 AB2x2     xh xh xh xh AL 2 2 AL2xh4xh Por lo tanto:

 

  2 2 10 x CB CB20x2







  xh xh CL 6 2 4 CL36xh

Lo que da como resultado final: C20x236xh

Pero se debe expresar el costo del material C en función del ancho x de la base del recipiente. Para tal efecto se debe tener en cuenta que el volumen V del recipiente es 10 m3, es decir V 10

Pero V 

   

2x x h )2x2h V 2x2h. Por lo tanto 2x2h10

Despejando h de la ecuación anterior y reemplazándola en la ecuación del costo de C se tiene que 5₂ x h Por lo tanto  2 5₂  36 20 x x x C x x C20 2180 , con x0

Exprese el área de un triángulo equilátero en función de la longitud de uno de sus lados.

Solución:

El área A del triángulo equilátero es igual al área A₁ del triángulo rectángulo de la izquierda más el área A₂ del triángulo rectángulo de la derecha. Es decir: A A1A2 Siendo A1  A2 Pero      2 2 2 2 h x h b A 4 2 xh A  Además               4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x h x x h x h x 2 3x h Por lo tanto _       2 3 4 2 x x A 8 3 2 2 x A  Con lo que     8 3 2 8 3 8 3x2 x2 x2 A 4 3x2 A

7.2.3. Grafica de una función

La gráfica de una función f de una variable independiente es el conjunto G



 

x,y R2:y f

 

x



Grafique la función del ejemplo anterior.

Solución:

La grafica de dicha función se muestra en la figura de la derecha:

Trace la gráfica de la función valor absoluto f

 

x  x

Solución:

Según la definición de valor absoluto se tiene que:

 

        0 0 x si x x si x x x f

De lo anterior se tiene que la gráfica de f coincide con la recta yx, a la derecha del eje Y, y coincide con la recta yx, a la izquierda del eje Y.

NOTA: La gráfica de una función de una variable independiente es una curva en el plano XY, pero no toda curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente.

7.2.4 Prueba de la recta vertical

Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente si y solamente si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez.

La curva representa la gráfica de una función. La curva no representa la gráfica de una función.

1. Halle f



xh



y f



2h



si f

 

x xx2

2. Una función está definida por f

 

x 3x1. Determine la solución de la ecuación f

  

2x  f x1



4 3. Sea f una función definida por f

 

x  2x1 . Encuentre los valores de h para los cuales 2hestá en

5. Si f x x2x. Pruebe que     a f a f 1   6. Si   x x f 1. Pruebe que              a b ab f b f a f 7. Si y f x y   5 4 3 5    x x x f . Pruebe que x f y 8. Si   x x f 1. Pruebe que     xh x h x f h x f      ₂

9. Grafique las siguientes funciones: a. f

 

x  x x b. g

 

x  2x c.

 

x x x h 

10. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación de conjuntos y notación de intervalos: a. f

 

x  x24 b.

 

6 5 2 2     x x x x f c.

 

12 1 2 2     x x x x x f d. _{2 1} 4 ) ( 2     x x x f e. _f

 

_x 4 ₈_2x f.

 

3 2    x x x f g.

 

3 2 1    x x x f h. 1 4 16 ) ( 2 2     x x x f

11. Supongamos que un punto P ,

 

x y se mueve, en sentido horario, sobre la parábola



x2



2 16



y5



0. Exprese mediante una función de una variable independiente la distancia del punto

 

x y

P , al punto

 

2,2

12. Exprese mediante una función de una variable independiente, el área del rectángulo que tiene dos vértices en el eje X y los otros dos en la parábola y16x2, por arriba del eje X .

13. Dada una esfera de radio R, exprese mediante una función de una variable independiente el volumen del cono

circular recto de radio r altura h que puede inscribirse en la esfera.

14. Una hoja de papel de dimensiones 12 cm de largo y 8 cm de ancho, se corta por las esquinas en cuadros de x

cm de lado.

a. Pruebe que el volumen de la caja rectangular que se puede construir a partir de la hoja viene dado por



x



x



x

V 4 6 4 , con 0x4

b. Estime el volumen máximo que puede tener la caja.

15. Una pista de patinaje de 400 m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura 1. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los

semicírculos.

17. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes, la primera parte de longitud x cm y la segunda parte de longitud y cm, tal como se muestra en la figura 3. El primer segmento se dobla para formar un

triángulo equilátero y el segundo segmento se dobla para formar un cuadrado. Exprese el área AC del

cuadrado y el área A_T del triángulo en función de la longitud xdel primer segmento.

18. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura 4. Si el perímetro de la ventana es de 30 m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x. 19. Se desea construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para que contenga 1000 cm3 _{de aceite,}

tal como se muestra en la figura 5. Exprese el área superficial del cilindro en función de su altura.

7.3 MODELOS MATEMÁTICOS

Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o evento del mundo real.

7.3.1 Modelos lineales

Un modelo matemático es lineal si la gráfica de la función asociada al modelo es una línea recta. La función asociada a un modelo lineal se denomina función lineal y es de la forma:

 

x mx b

f  

La compañía Silicon Valley puede producir 1000 chips por mes a un costo total de 25000 dólares, y 1025 chips a

25500 dólares. Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, halle las funciones lineales de costo, ingreso y utilidad.

Solución:

Una función lineal de costo es de la forma:

b mx

C  

Si x1 1000 entonces C1 25000

Si x2 1025 entonces C2 25500

Por lo tanto, la pendiente m sería: 20 20

25 500 1000 1025 25000 25500 1 2 1 2           m x x C C m

La función lineal de costo quedaría de la siguiente forma C20xb

Como x1000 y C25000, entonces el valor de b sería:





b

201000

25000  b2500020000  b5000

Por lo tanto, la función lineal de costo es: C20x5000

Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, entonces el ingreso I de vender x chips es 30x. Por lo tanto, la

función lineal de ingreso es:

x

I 30

Si tenemos en cuenta que la utilidad U es igual al ingreso I menos el costo C, es decir U IC. Entonces la

función lineal de utilidad es:







         I C U 30x 20x 5000 U 30x 20x 5000 U U 10x5000

En la siguiente figura la recta C representa la gráfica de la función lineal de costo y la recta I representa la gráfica de la función lineal de ingreso:

La línea recta que representa la gráfica de la función lineal de costo se intercepta con la línea recta que representa la gráfica de la función lineal de ingreso en el punto (500, 15000) denominado punto de equilibrio. Si se producen menos de 500 chips se obtendrán pérdidas debido a que el costo de producción será mayor que los ingresos obtenidos por las ventas (la recta C está por encima de la recta I), si se producen 500 chips el costo será igual al ingreso (la recta C se intercepta con la recta I) y si se producen más de 500 chips el costo de producción será menor que el ingreso obtenido por las ventas (la recta C está por debajo de la recta I)

7.3.2 Modelos cuadráticos

 

x ax bx c

f  2  

Dicha parábola tiene su vértice en

a b x 2  

Además, si a0 la parábola es abierta hacia arriba y si a0 la parábola es abierta hacia abajo.

La cantidad W de dióxido de carbono (en libras) que produce un auto deportivo depende de su rendimiento de combustible de acuerdo con la ecuación cuadrática W  x2 70x1375 , con 15 x40. Donde x representa el rendimiento de combustible (en millas por galón). Según el modelo anterior ¿cuál es el rendimiento de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono?

Solución:

La gráfica de la ecuación W x270x1375 es una parábola que se muestra en la siguiente figura:

Tenemos que a1 y b70, por lo tanto, su vértice está en:

 

1 35 2 70 2       a b x Si x35 entonces: W 150

La parábola tiene el vértice en



35,150



y es abierta hacia arriba ya que a0. Por lo tanto, el rendimiento de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono es 35 millas por galón.

7.3.3 Modelos exponenciales

Son modelos cuya función asociada se denomina función exponencial y son de la forma:

 

x

Ab x

f  , con A,bR y b0

En las primeras etapas de la epidemia del SIDA la cantidad de personas infectadas se duplica cada 6 meses, y en enero de 1985 se estimaba que había 1.3 millones de personas contagiadas.

a) Suponga un modelo de crecimiento exponencial y determine un modelo que pronostique la cantidad de personas infectadas a los t años después de 1985.

b) Use el modelo para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985. c) Grafique el modelo exponencial.

Ejemplo No. 110 Ejemplo No. 109

(35,150)

W: cantidad de dióxido (libras)

Solución:

a) En el momento t 0 (enero de 1985) la cantidad de infectados era 1.3 millones. Como ese número se duplica cada 6 meses, se cuadruplica cada año. A los t años se requiere, en consecuencia, multiplicar los 1.3 millones originales por t

4 . De esta manera el modelo es:

 

t P1.34 , con t0 b) Octubre de 1985 corresponde a 0.75 12 9 _ 

t , ya que octubre es 9 meses después de enero.

Por lo tanto para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985 se debe evaluar la función exponencial

 

 

t t P 1.34 en 0.75 12 9 _  t . Veamos P



0.75



1.3

 

40.75 3.6770 Es decir habrán 3.6770 millones de personas infectadas en octubre de 1985.

c) La gráfica de la función exponencial

 

 

t

t

P 1.34 se muestra en la siguiente figura:

Se terminará esta sección recordando algunos aspectos importantes de las funciones trigonométricas seno,

coseno y tangente. Las gráficas de las funciones f

 

x Senx, g

 

x Cosx y h

 

x Tanx se muestran a continuación:

Grafica de la función Seno

Grafica de la función Coseno

Grafica de la función Tangente

En la siguiente tabla se describe el dominio, la imagen y el período de las funciones seno, coseno y tangente:

Función Dominio (D) Imagen (I) Período

Senx _

_

_

_{ }

_{  }

_

, R x D I 



xR:1x1







1,1



2 Cosx Tanx D



xR_:x n _, nZ



2 1 2  _I 



_y_R

 

 _,



 7.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos las funciones f y g definidas de la siguiente manera:  _f

 

_x 3 _x

 g

 

x x2 2x7

Hallemos g

   

5  5 2 2

 

5 78 g

 

5 8

Es decir, al número 8 le corresponde el número 2 según la función f Veamos gráficamente lo que hace cada función:

El objetivo es buscar una función que al número 5 le asigne el número 2. Veamos: Se sabe que f

 

8 2, pero 8g

 

5

Por lo tanto f



g

 

5



2

Lo anterior indica que la función f



g

 

x



hace que al número 5 le sea asignado el número 2. Tal función está definida así:

 









2 



3 2   7 2 7 2x x x x f x g f f



g

 

x



3 x2 2x7

Veamos si es cierto que la función anterior le asigna al número 5 el número 2:

 



_g 5

  

3 52 2

 

5 7 3 82 f f



g

 

5



2 Gráficamente se tiene: La función



 



3 2 7 2    x x x g

f se denomina función compuesta de f con g. Ahora definamos lo que es una función compuesta en general:

 Sean f y g dos funciones. La función compuesta f g es la función definida de la siguiente manera:



f g

 

x  f



g

 

x



Gráficamente se tiene:

a.



 





 











  4   2 2 2 x x x f x g f x g f 



_{f g}

 

_x 4 ₂_x

La función



_{f g}

 

_x 4 ₂_x está bien definida si

0 2x . Es decir: 2 2    x x Por lo tanto: D



xR:x2

 

 ,2



b.



g f

 

x g



f

 

x



g

 

x  2 x 



g f

 

x  2 x

La función



g f

 

x  2 x está bien definida si x0 y 2 x 0. Es decir: 4 2 2       x x x Por lo tanto: D



xR:0 x4





 

0,4 c.



 





 





 

 4  x x x f x f f x f f 



_{f  f}

 

_x 4 _x

La función



_{f  f}

 

_x 4 _x está bien definida si

0



x

Por lo tanto: D



xR: x0







0,



d.



gg

 

x g



g

 

x



g



2x



 2 2x 



gg

 

x  2 2x

La función



gg

 

x  2 2x está bien definida si 2x0 y 2 2x 0. Es decir: 2 2    x x 2 2 4 2 2 2 2 2             x x x x x Por lo tanto: D



xR:2 x2







2,2



1. Cuando el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura en el suelo es de 20C y la temperatura a un kilometro de altura es de 10C. Exprese la temperatura T en función de la altura h suponiendo que un modelo lineal es el más apropiado.

2. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un costo de 25000 dólares y el martes fabrico 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.

 Halle la función lineal de costo.

 Si se venden los refrigeradores a 1500 dólares cada uno. ¿Cuál es la función lineal de ingreso?  ¿Cuál es la función lineal de utilidad?

 ¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por día para alcanzar el punto de equilibrio?

3. Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su última novela de ciencia ficción será 8

2 



 p

q . Donde q es la cantidad de libros que puede vender por año la editorial a un precio p cada uno

¿Qué precio debe cobrar la editorial para obtener el máximo ingreso I anual?

Nota: El ingreso I depende del precio pa través de la siguiente ecuación: I  pq 4. En cada caso halle f g, g  f , f  f , g g y el dominio de cada una:

a. f

 

x  x1, g

 

x x2 b.

 

1 1   x x f ,

 

1 1    x x x g c. f

 

x  x2 1, g

 

x  1x

5. Si _f

 

_x 4 _x1, _g

 

_x _x₂ y _h

 

_x  _x, halle _{f gh} y su respectivo dominio. 7.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la forma:

 

x

a x

f 

El número aR se denomina base de la función exponencial. Además a0

En la siguiente tabla se muestran los tres casos que se presentan para la función exponencial:

Valor de la base a Tipo de curva Dominio Imagen

Caso 1

 

x a x f  1 0a



 



 , D







 0, I Caso 2

 

x x f 1 1  a I 



1 Caso 3

 

x a x f  1  a I 



0,



7.6 FUNCIONES UNO A UNO

Las funciones que se comportan como la función f se conocen con el nombre de funciones biunívocas o uno a

uno. Una función f es uno a uno si nunca toma el mismo valor dos o más veces. Es decir:

 

x1 f

 

x2

f  siempre que x₁ x₂

Gráficamente se puede saber si una función es uno a uno aplicando la siguiente prueba conocida con el nombre de prueba de la recta horizontal:

7.6.1 Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si y solamente si ninguna recta horizontal corta su grafica más de una vez.

Determine si las funciones

 

2

x x

f  y g

 

x x3 son o no son uno a uno. Justifique su respuesta.

Solución:

 La función

 

2

x x

f  no es uno a uno ya que dos números distintos pueden tener el mismo cuadrado. Es decir la función puede tomar el mismo valor dos veces.

 La función

 

3

x x

g  es uno a uno ya que dos números distintos no pueden tener el mismo cubo. Es decir la función no puede tomar el mismo valor dos veces.

Lo anterior se puede apreciar mejor a través de las gráficas de

 

2

x x f  y g

 

x x3: Ejemplo No. 112

 

 

 

 

 

5 25 20 4 15 3 10 2 5 1      f f f f f

El diagrama sagital muestra que la función f

nunca toma el mismo valor dos veces.

1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 A f B

 

 

 

 

 

5 25 20 4 10 3 10 2 5 1      g g g g g

El diagrama sagital muestra que la función g

toma el mismo valor dos veces. Es decir:

Las funciones uno a uno son importantes ya que se caracterizan por ser funciones que poseen inversa.

7.7 FUNCIÓN INVERSA

Consideremos la función

 

3

x x

g  con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B, cuyo diagrama sagital se muestra a continuación:

Ahora, se define formalmente lo que es la inversa de una función.

 Sea f una función uno a uno con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B. Entonces su función inversa 1

f es la función la cual tiene como dominio el conjunto B y como imagen al conjunto A, la cual se define de la siguiente manera:

Anteriormente se mostró que esta función es uno a uno, y por lo tanto tiene inversa. El objetivo es hallar una función que sea la inversa de g

con dominio el conjunto B e imagen el conjunto A, cuyo diagrama sagital sea el siguiente: - 2 - 1 0 1 2 - 8 - 1 0 1 8 A g B

Es claro que dicha función es _{inversa de g}

 

_x 3 _x. Veamos: Se escoje un número del dominio de g. Por ejemplo él 2 y se halla:

   

2  2 3 8

g

Es decir, la función g le asigna al número 2A el número 8B Ahora, se halla: inversa de g

 

8 3 82

Es decir, la función inversa de g le asigna al número 8B el número 2A.

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la función en más de un punto.

2

x

y yx3

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la función en un solo punto.

 

y x f

 

x y

f1   

Para cualquier x en A y y en B.

Lo anterior se comprende mejor a través del siguiente diagrama sagital: Note que:

 Dominio de f es igual a la imagen de f 1  Imagen de f es igual al dominio de f1

Halle la inversa de f

 

x x32 Solución:

Paso 1: Exprese la función como una ecuación: yx32

Paso 2: Despeje x       3 3 3 3 2 2 x y y x _x3 _y₂ Paso 3: Intercambie x y y 3 ₂  x y

Paso 4: Exprese la ecuación anterior como una función empleando la notación 1

f : f 1

 

x 3 x2 7.7.1 Ecuaciones de cancelación

Sea f una función uno a uno con dominio A e imagen B. Entonces se cumple:  f1



f

 

x



x para todo _x en A  f



f1

 

x



x para todo x en B Si x x x f 2 5 3 1 ) (  

 halle f 1

 

x y compruebe que se cumplen las ecuaciones de cancelación:

Solución:

Expresando la función como una ecuación:

3 2 1 5    y y x Intercambiando x y y: 3 2 1 5    x x y

Expresando la ecuación anterior como una función:

 

3 2 1 5 1     x x x f

Verifiquemos ahora que se cumplen las ecuaciones de cancelación:





 



x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f f                                                 17 17 2 5 6 15 6 2 2 5 2 5 15 5 3 2 5 6 2 1 2 5 15 5 3 2 5 3 1 2 1 2 5 3 1 5 2 5 3 1 1 1 



 



x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f f                                                 17 17 3 2 2 10 15 10 3 2 3 15 3 2 3 2 2 10 5 3 2 3 15 1 3 2 1 5 2 5 3 2 1 5 3 1 3 2 1 5 1 La función exponencial

 

x a x

f  , vista anteriormente es una función uno a uno y, por lo tanto, tiene inversa. La

función inversa a la función exponencial

 

x

a x

f  es la función logarítmica de base a y se denota _{Log a}

7.8 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica es una función de la forma: f

 

x Log_ax

El número aR se denomina base de la función logarítmica. Además a0

Como la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa se tiene que si

 

x

a x

f  ,

entonces f1

 

x Log_ax y si f

 

x Log_ax, entonces f 1

 

x ax

Recordando la definición de función inversa y considerando que f

 

x Log_ax y f 1

 

x ax se tiene que:

 

y x f

 

x y

f1   

Por lo tanto: ay x  Log_ax y

Lo anterior se denomina equivalencia entre la ecuación exponencial y la ecuación logarítmica. Tal equivalencia sirve para calcular logaritmos exactos.

Calcule Log28 y Log381

Solución:

exactamente igual a 8. Tal numero debe ser el 3, ya que 23 8. Es decir: 8 2 3 8 3 2    Log

 Log381 es igual a un número, tal que el 3 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser

exactamente igual a 81. Tal numero debe ser el 4, ya que 34 81. Es decir: Log₃81334 81

¿Cuál es el dominio y la imagen de la función logarítmica?:

Solución:

Suponga que

 

x

a x

f  y considere el siguiente diagrama sagital:

7.8.1 Ecuaciones de cancelación para las funciones exponencial y logarítmica

 Log_a

 

ax x para todo xR  aLogax x para todo

0  x 7.8.2 Propiedades logarítmicas

 

xy Log x Log y Log_a  _a  _a y Log x Log y x Loga  a  a      x nLog x Log_a n  _a Si _x a x f ₂ 10 1 ) ( 

 pruebe que f 1(x)Log₁₀ 1axLog₁₀ x

Solución:

Exprese la función como una ecuación _x a y ₂ 10 1   Despeje x Ejemplo No. 117 Ejemplo No. 116 x  x f D f

 

x ax I

 

x Log x f 1  _a

Recuerde que el dominio de la función exponencial

 

x

a x

f  es el conjunto D



,



, que su imagen es el conjunto I 



0,



y que su inversa es la función logarítmica f

 

x Logax

1 cuyo dominio es la imagen de

 

x

a x

f  y cuya imagen es el dominio de f

 

x ax. Por lo





                y ay Log Log y ay ay y y ay a y x x x x x 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 10 2 10 2 2 2 2



ay



Log y x



Log



ay



Log y



x



Log



ay



 

Log y



Log x _{10 10 10 10 10 10} 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2           





2 1 10 2 1 101 ay Log y Log x     xLog₁₀ 1ayLog₁₀ y

Intercambie x y y: y Log₁₀ 1axLog₁₀ x

Exprese la ecuación anterior como una función: f1

 

x Log₁₀ 1ax Log₁₀ x

7.8.3 Función exponencial natural y función logarítmica natural

De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente para los fines del cálculo. Se trata del número e2.71828 (notación elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727).

Cuando en una función exponencial la base es e , es decir, si f

 

x ex la función se denomina función

exponencial natural. La inversa de la función exponencial natural

 

x

e x

f  es la función logarítmica

 

x Log x

f  e

1 la cual se denomina función logarítmica natural. Usualmente esta función se denota

Lnx en

vez de Log_ex

Es de suma importancia con relación a la función exponencial natural y logarítmica natural recordar lo siguiente: Equivalencia entre la ecuación exponencial

natural y la ecuación logarítmica natural. ey x  Lnx y Ecuaciones de cancelación para las funciones

exponencial natural y logarítmica natural.

 

e x

Ln x  _{para todo} xR

x

eLnx  _{para todo} x0

Propiedades logarítmicas naturales.

Si _yy be ae x ₃ 3 1    pruebe que _y_Ln3 _a_bx Solución:





                 bx a Ln Lne bx a e bx a e bxe ae ae bxe y y y y y y y 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3





















3 1 3 1 3 1 3yLn Ln abx  yLnabx  y Ln abx  yLnabx  _y_Ln3 _a_bx Halle el valor de x si ex25x6 1 Solución: 0 6 5 1 2 6 5 2       x x Ln Lnex x



x3 x



2



0 x30 x3 x20 x2

1. Halle en cada caso f 1(x):

4. Si 1 1 ) (    _xx ae ae x

f pruebe que Lna

x x Ln x f           1 1 ) ( 1 5. 1 ) ( ₂ 2   _xx ae e x f pruebe que f1(x) Ln x Ln ax1 y f f 1x 6. Si

 

_         a t e Q t Q 0 1 halle Q

 

t 1 

7. Halle el valor de x en cada ecuación:

a) Ln



2x1



3 b) _e3x4  ₂ c) LnxLn



x1



1 d) Ln

 

Lnx 1 e) Ln



x2 4



Ln



x2



Ln1 f) Ln

 

4x Ln



x3



Ln

 

x2 g) Lnx2 Ln



32x



0 h) Ln



x3



Ln



x2



 Ln14 8. Si _yy be ae x ₂ 2 1    pruebe que yLn abx

9. Si se invierte una cantidad P, durante T años a una tasa anual de interés R, y si se reinvierte el interés M veces al año, el valor futuro A es MT

M R P A       

 1 . Despeje la variable T de la ecuación anterior.

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. Si x es un número real. Es verdadero que:

A. Si x3, entonces x3  x3 B. Si x0, entonces x2 x2 C. Si xR, entonces x x D. Si xR, entonces x5 5x 2. Sea

 

x x x f 2 2 

 . Considere las siguientes afirmaciones:

I. f

 

x 0 solo si x2 II.





 

2 1 1    f x x f III. f

 

3x 3f

 

x IV. Si f

 

x 1, entonces x2

De las afirmaciones anteriores son verdaderas. A. I y III

B. II y IV C. II y III D. I y IV 3. Si

 

2 20 x x x f    y f

 

a 8 , entonces a es igual a: A. 4 o 3 B. 3 o 4 C. 2 o 5 D. 2 o 5

4. Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes rectangulares

mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita 1000 metros de alambre. Si x

es el largo del campo, el área A del campo se expresa correctamente como:

A.       _ 2 250 x x B. x



500x



C. x



1002x



D. x



250x



5. La siguiente figura muestra la gráfica de y f

 

x :

La grafica de la función y f

 

x es:

A.

C.

D.

6. De la igualdad Log₂



x2 1



Log₂



x1



Log₂



x1



se puede afirmar que:

A. Siempre es falsa.

B. Es verdadera solo si x1

C. Es verdadera para todos los números reales.

D. Es verdadera para los números reales diferentes de 1.

7. La proposición incorrecta es:

A. Todas las funciones exponenciales, al ser graficadas cortan al eje Y en el punto

 

0,1 .

B. Si a1, la función yax es decreciente.

C. La función exponencial no tiene ceros.

D. La curva de una función exponencial jamás corta al eje X.

8. Si f(x) x y g(x)x2 4, el dominio de la función f



g(x)



es:

C. f

 

x

D.  f

 

x

11. Un recinto rectangular requiere 2000 pies de valla para cerrarlo. Si una de sus dimensiones es x

pies. El área y en pies cuadrados expresada en función de x junto con su respectivo dominio es: