Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica para Salud ´
Profr. Fausto Cervantes Ortiz Ejercicios
Conjuntos
1. Definir por extensi´on los siguientes conjuntos a) A={x— x es un d´ıgito en el n´umero 352
646}
b) B={x | x es una letra de la palabra HI- POP ´OTAMO }
c) C={x | x es un vocal en la palabra MUR- CI ´ELAGO }
d ) D={x | x es una consonante labial}
2. Sea U el conjunto de las letras del alfabeto latino. Sean A = {x|x es una consonante}, B = {x|x es una letra vocal} y C = { c, a , r, l, o, s }. Encontrar los conjuntos indicados:
a) A ∪ B b) A ∩ B c) B ∩ C d ) A − C e) BC∩ C
3. Sea U el conjunto de los n´umeros enteros. Sean A = {x|x es un n´umero par}, B = {x|x es un m´ultiplo de 3 } y C = {x|x es un m´ultiplo de 5}. Encontrar los conjuntos indicados (escri- birlos preferentemente por comprensi´on):
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A − B d ) BC∩ A
4. Sea U el conjunto de los n´umeros reales. Sean A = [−3, 1), B = [−1, 2] y C = (0, ∞) Encon- trar los conjuntos indicados:
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A − B
d ) BC∩ A e) A ∩ C f ) A − C g) BC∩ C
5. Representar en diagramas de Venn las siguien- tes relaciones entre conjuntos
a) A ∪ B ∪ C b) A ∩ B ∩ C c) A ∩ B ∩ CC d ) AC∩ B ∩ C e) AC∩ BC∩ CC f ) (A ∪ B)C∩ C g) A ∪ (B ∩ C)C h) (A ∪ B ∪ C)C
6. Encontrar los conjuntos que se piden, dada la figura siguiente
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ (B ∪ C)
d ) (B ∩ C)C e) (B ∪ C)C f ) AC
g) (A ∩ B) ∩ CC h) (A ∪ B ∪ C)C
7. Supongamos que se entrevista a 50 estudian- tes para ver si han estudiado ingl´es o franc´es, encontr´andose que 20 estudiaron franc´es, 25 estudiaron ingl´es y 5 estudiaron ambos. En- contrar el n´umero de estudiantes que:
a) Estudiaron s´olo ingl´es b) No estudiaron franc´es c) Estudiaron ingl´es o franc´es
d ) No estudiaron ninguno de los dos lengua- jes
8. Supongamos que #U = 70, #A = 30, #B = 45, #(A ∩ B) = 10. Encontrar:
a) #(A ∪ B) b) #AC c) #BC
d ) #(AC∩ BC)
9. En una escuela los alumnos deben tomar un curso de matem´aticas y un curso de f´ısica. Una encuesta a los alumnos de segundo muestra que: 60 ya tomaron matem´aticas, 45 ya toma- ron f´ısica, 20 ya tomaron ambos cursos. Encon- trar el n´umero de alumnos que han tomado:
a) S´olo uno de los dos cursos b) Al menos uno de los dos cursos c) Ninguno de los dos cursos
10. Un estudio de las opiniones de 10 economis- tas mostr´o que, debido a que se espera una subida en los precios del petr´oleo durante los pr´oximos 12 meses
7 redujeron su estimaci´on de la tasa de infla- ci´on
8 aumentaron su estimaci´on de la tasa de cre- cimiento del PIB
2 redujeron su estimaci´on de la tasa de infla- ci´on pero no aumentaron su estimaci´on de la tasa de crecimiento del PIB
¿Cu´antos economistas redujeron su estimaci´on de la tasa de inflaci´on y aumentaron su esti- maci´on de la tasa de crecimiento del PIB?
11. Una encuesta a 300 lectores de peri´odicos arroj´o los siguientes resultados
122 se suscriben a La Jornada 150 se suscriben a Reforma 62 se suscriben a El Universal
38 se suscriben a La Jornada y a Reforma 28 se suscriben a El Universal y a Reforma 20 se suscriben a La Jornada y a El Universal 16 est´an suscritos a los tres peri´odicos a) ¿Cu´antos no est´an suscritos a ninguno de los tres peri´odicos?
b) ¿Cu´antos est´an suscritos a s´olo uno de estos peri´odicos?
c) ¿Cu´antos est´an suscritos a La Jornada, pero no a El Universal ?
d) ¿Cu´antos no est´an suscritos a Reforma?
12. Se realiz´o una encuesta a una muestra repre- sentativa de 500 usuarios del Metrob´us, los cuales afirman que el servicio es malo en deter- minadas l´ıneas. La encuesta arroja los siguien- tes resultados:
l´ınea 1: 329 quejas l´ınea 2: 186 quejas l´ınea 3: 295 quejas l´ıneas 1 y 2: 83 quejas l´ıneas 1 y 3: 217 quejas l´ıneas 2 y 3: 63 quejas
Establecer las siguientes cantidades:
Quejas en las 3 l´ıneas
Quejas en l´ınea 1, pero no en l´ınea 3 Quejas en l´ınea 2, pero no en l´ınea 1 Quejas en l´ınea 3, pero no en l´ınea 2 Quejas en l´ınea 1 ´o 3, pero no en l´ınea 2 Quejas en l´ınea 1, pero no en l´ıneas 2 ´o 3
Lenguaje algebraico
Expresar cada uno de las siguientes enunciados en forma algebraica
1. Un n´umero incrementado en cuatro.
2. El duplo de un n´umero.
3. Un n´umero disminuido en cinco.
4. A nueve se le resta un n´umero.
5. Un n´umero dividido entre ocho.
6. El triple de un n´umero m´as dos 7. Seis veces un n´umero menos cuatro.
8. Tres veces la suma de un n´umero aumentada en cinco.
9. El triple de un n´umero al cuadrado.
10. La suma del cuadrado de un n´umero, el cu- bo de otro n´umero y la cuarta potencia de un tercer n´umero.
11. La suma de dos enteros consecutivos.
12. La suma de tres n´umeros enteros pares conse- cutivos.
13. Si han transcurrido x d´ıas de un a˜no, ¿cu´antos d´ıas faltan por transcurrir?
14. Si un sombrero cuesta $a y un traje $b,
¿cu´anto costar´an 3 sombreros y 6 trajes?
15. Si compro a − 8 caballos a x + 4 bol´ıvares cada uno, ¿cu´anto importa la compra?
16. Se compran n − 1 caballos por 300 colones,
¿cuanto cuesta cada caballo?
Ecuaciones de primer grado con una inc´ ognita
1. 3x − 5 = 7x + 8 2. 12x + 35 =107x
3. 5(2x − 3) − 3(2 − x) = 4(x − 2) + 5 4. x−25 −x+43 = 2x−115
5. 3x − 2 = 3 − 2x 6. 4 − 2x = 3x + 14 7. x2 −3x5 = x−62 8. x+32 −2−3x7 = 4x3 9. 3x − (x + 3) = x + 4 10. x − [4 − (x + 1)] = 4x − 15 11. 8x − 15 = 3x
12. 5x − 4 = 3x − 6
13. x − 5 = 5x + 11 14. x − 4 = 5 + 2x 15. 3 + 7 = 5x − 3x 16. 2x − 9 = 6x + 5x 17. 12x − 16x = 13 18. 13x + 14x = 76 19. 23x − 12x = 13 20. 25x + 13x = −2215 21. 32x + 13 =15x + 416 22. 52x − 23x + 556 = 0 23. 34x = 252 −43x 24. 16x − x + 23−32 = 0 25. x +23x = 353
26. 3(4 − 5x) − 2(x + 4) = 4 27. 2(x − 7) = −3(2x + 1) − 3 28. −9 = 7(x − 1) − 3(2x + 3) 29. 3(7 − x) − 5(3 + 2x) − 6 = 0 30. 9 = 5x − 2 + 3(2x + 1) 31. 4x + 13 = 3(5x + 20) + 8 32. 3y−46 +5+2y3 = 181 33. 4y+13 −3y+25 = 152 34. 2−4y5 −2y−32 = −32 35. 3y+37 −2y+13 = 215 36. 5y+44 +125 =1−2y3 37. y+22 −y+33 = 2y+34 38. 1−y2 = 1−2y4 +1−3y6 39. 3−4y5 = 4−3y4 −5−2y2 40. 2y+74 +y−53 = y+16 41. y7+y−13 = 2y+121 −13
Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado
1. Encontrar dos n´umeros, uno doble del otro, que sumen 141.
2. Encontrar el n´umero que aumentado en 3/4 de s´ı mismo se hace 133.
3. La suma de tres enteros consecutivos es 156.
Encontrar los enteros.
4. La suma de dos n´umeros es 110, y uno de los n´umeros excede al otro en 42. Encontrar los n´umeros.
5. La suma de tres n´umeros es 171. El segundo n´umero es 1/2 del primero, y el tercer n´umero es 3/4 del primero. Encontrar los n´umeros.
6. La suma de tres n´umeros es 90. El segundo es el triple del primero, y el primero es cinco veces menor que el tercero. Encontrar los n´umeros.
7. Cada uno de los ´angulos iguales de un tri´angu- lo is´osceles es 15◦ mator que el tercer ´angulo.
Encontrar los ´angulos, recordadno que la suma de los ´angulos de un tri´angulo es 180◦. 8. Un ´angulo de un tri´angulo es doble del ´angulo
menor, y 2/3 del ´angulo mayor del tri´angulo.
Encontrar los tres ´angulos.
9. El ´angulo menor de un tri´angulo es 2/3 del mayor, y 19◦m´as peque˜no que el otro ´angulo.
Encontrar los ´angulos.
10. El ancho de un rect´angulo es igual al lado de un cuadrado, y el largo es cuatro unidades ma- yor que el ancho. Encontrar las dimensiones del rect´angulo si su ´area es 52 unidades cua- dradas mayor que el ´area del cuadrado.
11. Una persona tiene $120 d´olares en 33 billetes de $5 y $2 d´olares. ¿Cu´antos billetes son de cada valor?
12. En un cine hay 700 personas entre adultos y ni˜nos. Cada adulto pag´o $40 y cada ni˜no pag´o $15 por su boleto. Si en total se recauda- ron $18 000, ¿Cu´antos adultos y cu´antos ni˜nos asistieron a la funci´on?
13. 6 libras de caf´e y 5 libras de az´ucar cuestan
$2.27 d´olares. 5 libras de caf´e y 4 libras de az´ucar (a los mismos precios) cuestan $1.88 d´olares. Hallar el precio de una libra de caf´e y una de az´ucar.
14. En una granja se cuentan las gallinas y los cerdos, encontr´andose que hay 244 patas y 86 cabezas. ¿Cu´antos animales de cada clase hay en la granja?
15. Alicia platica con Tweedledum y Tweedledee.
Tweedledee le dice a Alicia: La suma de su pe- so (de Tweedledum) y dos veces el m´ıo es 361 libras. A esto, Tweedledum replica: La suma de su peso (de Tweedledee) y dos veces el m´ıo es de 360 libras. ¿Cu´anto pesa cada quien?
16. Los montes m´as altos de M´exico son el Popo- cat´epetl y el Citlalt´epetl, siendo el Citlalt´epetl 295 m m´as alto que el Popocat´epetl. Si los pu- si´eramos uno encima del otro, ser´ıan 2352 m m´as altos que el monte Everest, con una alti- tud de 8847 m. ¿Cu´anto mide cada monte?
17. Un hombre tiene 32 a˜nos y su hijo tiene 5.
¿Dentro de cu´antos a˜nos ser´a la edad del padre diez veces mayor que la de su hijo?
18. La edad de una madre es 21 a˜nos m´as grande que la edad de su hijo. Dentro de 6 a˜nos la edad de la madre ser´a cinco veces la edad de su hijo. ¿Qu´e est´a haciendo la madre ahora?
19. Una compa˜n´ıa vende tenis a $400 el par en pe- didos de menos de 50 pares; si se piden m´as de 50 pares (hasta 600), el precio por par se redu- ce a raz´on de $0.40 multiplicado por el n´umero de pares pedidos. ¿Cu´antos pares puede com- prar un distribuidor por $84 000?
20. Cuando una tienda vende un reproductor de discos compactos de cierta marca a $3 000 por unidad, agota 15 unidades por semana. Sin embargo, cada vez que reduce el precio en $100 hay dos ventas m´as por semana. ¿Qu´e precio de venta producir´a ingresos semanales de $70 000?
21. Un anillo pesa 80 g y est´a hecho de oro y plata.
Al medir el desplazamiento del anillo en agua, se determina que el volumen del anillo es de 5 cm3. La densidad del oro es de 19.3 g/cm3y la de la plata es de 10.5 g/cm3. ¿Cu´antos gramos de oro contiene el anillo?
22. Una empresa debe decidir qu´e gr´ua comprar.
El modelo A cuesta $500 000 y requiere $40 000 anuales de mantenimiento; el modelo B tiene un precio de $400 000 y el costo por mantenimiento anual es de $55 000. ¿Duran- te cu´antos a˜nos se usar´a el modelo A antes de que sea m´as econ´omico que el modelo B?
23. La comisi´on mensual de un agente de ventas es de 15 % de las ventas por arriba de $12 000.
Si su objetivo es alcanzar una comisi´on de al menos $3 000 por mes, ¿cu´al es el volumen m´ınimo de ventas que debe alcanzar?
24. Una persona va a decidir sobre la compra de un veh´ıculo. El auto A cuesta US$10 000 con un rendimiento de 30 millas por gal´on y un seguro de US$60 al a˜no; el auto B cuesta US$12 000, con un rendimiento de 50 millas por gal´on y un seguro de US$60 al a˜no. Considerar que el comprador recorre 15 000 millas al a˜no y que el precio de la gasolina permanece constante en US$1.25 por gal´on. Bas´andonos en estos datos,
¿cu´anto tiempo pasar´a para que el costo total del coche B sea menor que el del A?
25. Se desea construir una caja con tapa y base cuadradas de lado x. Se quiere que la longitud x sea al menos de 0.20 m y su altura sea igual al doble de la longitud del lado de la base.
Determinar el intervalo de variaci´on de x para que la superficie total de la caja no exceda de 2.5 m2.
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas
1.
3x − y = 2 2x + 3y = 5 2.
x + 4y = 7 2x + 3y = 4 3.
2x − 3y = 9 3x + 4y = 5 4.
3x + 2y = 0 2x + 5y = 11 5.
9x + 7y = 0 5x − 9y = 0 6.
2x − 11y = 4 4x + 7y = 8 7.
3x + y = 5 6x + 2y = 7 8.
4x − 2y = 4 2x − y = 2 9.
2x − 6y = 2 x − 3y = 3
10.
7x + 2y = 1 21x + 6y = 3 11.
2x − 3y = 2 4x + 3y = 22 12.
3x + y = 8 5x − y = 16 13.
x + y = 1 3x − y = 3 14.
4x + 3y = 1 2x + 5y = 11 15.
x − 6y = 5 6x − y = −5 16.
3x − 4y = 3 6x − 8y = 6 17.
2x − 7y = 17 4x − 5y = 25 18.
5x + 3y = 8 4x + 2y = 6 19.
7x − 2y = 16 5x + 8y = 2 20.
15x + 3y = 2 10x + 2y = 3 21.
6x − 4y = 0 12x − 8y = 0 22.
3y − 5x = 6 4y + 6x = −30 23.
3x − 4y = 7 5x − 5y = 8 24.
7x + 3y = 4 4x + 2y = 3 25.
x + 2y = 2 12x − 15y = −11 26.
3x − 4y = 5 6 − 7xy = 10 27.
2x − 4y = −3 4x + 2y = 9 28.
12x − 12y = 13 4x + 6y = 1 29.
5y − 4x = 3 4x − 5y = 2
30.
5x + 7y = −2 4x + 6y = −3 31.
8x − 9y = 10 4x + 3y = 4
Problemas con sistemas
1. La suma de dos n´umeros es 98 y su diferencia es 30. Encontrar los n´umeros.
2. La diferencia de dos n´umeros es 13, y el doble del m´as peque˜no es una unidad mayor que el m´as grande. Encontrar los n´umeros.
3. La suma de 2 n´umeros es 72, y el mayor divi- dido entre el menor da un cociente de 4 y un residuo de 2.
4. Una bolsa contiene $11.65 en monedas de 25 y 10 centavos. Si el n´umero total de monedas es 70, encontrar cu´antas hay de cada valor.
5. En un concurso se ofrecen $2000 en premios de $20 y $5. Encontrar el n´umero de premios de cada clase, si hay 256 en total.
6. En un juego de futbol se venden 22000 bole- tos en $23000. Los boletos costaban $1.50 pa- ra adultos y 25 centavos para ni˜nos. ¿Cu´antos boletos de cada clase se vendieron?
7. ¿Cu´antas libras de nueces, que valen 45 centa- vos por libra, deben mezclarse con 100 libras de almendras, que valen 34 centavos por libra, para formar una mezcla que valga 40 centavos por libra?
8. ¿Cu´antas onzas de plata pura deben agregarse a 24 onzas de una aleaci´on al 60 % para con- vertirla en una al 76 %?
9. ¿Cu´anta leche con grasa al 3 %, y cuanta crema con grasa al 30 % deben mezclarse para formar 100 litros de leche con grasa al 4 %?
10. Un estudiante tiene un promedio de 74 en 3 pruebas. ¿Qu´e calificaci´on en la cuarta prueba le dar´ıa un promedio final de 80?
11. Un estudiante tiene un promedio de 74 en cier- to curso antes del examen final. Si la califi- caci´on en dicho examen vale el 40 %, ¿cu´anto debe sacar para elevar su promedio a 80?
12. En un curso de Matem´aticas un alumno tiene un promedio de 86 en su tarea y de 74 en el examen parcial. ¿Qu´e calificaci´on final le dar´ıa
un promedio total de 80 si la tarea cuenta por 1/5, el examen parcial 3/5 y el examen final por 1/5?
13. Un hombre es 46 a˜nos mayor que su hijo. Den- tro de 10 a˜nos, su edad ser´a el doble de la de su hijo. Encontrar las edades actuales.
14. Hace 5 a˜nos un padre ten´ıa el triple de la edad de su hijo. Dentro de 5 a˜nos su edad ser´a el doble de la del hijo. Encontrar las edades ac- tuales.
15. Las edades de un padre y su hijo suman 60 a˜nos. Si la edad del padre se disminuyera en 15 a˜nos se tendr´ıa ,el doble de la edad del hijo.
Hallar ambas edades.
16. En una clase hay 60 alumnos entre j´ovenes y se˜noritas. El n´umero de se˜noritas excede en 15 al duplo de los j´ovenes. ¿Cu´antos j´ovenes hay en la clase y cu´antas se˜noritas?
17. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condici´on de que por cada problema que re- suelva el muchacho recibir´a 12 pesos y por ca- da problema que no resuelva perder´a 5 pesos.
Despu´es de trabajar en los 16 problemas el mu- chacho recibe 73 pesos. ¿Cu´antos problemas resolvi´o y cu´antos no resolvi´o?
18. Un capataz contrata un obrero por 50 d´ıas pag´andole $300 por cada d´ıa de trabajo con la condici´on de que por cada d´ıa que el obrero deje de asistir al trabajo perder´a $200. Al cabo de los 50 d´ıas el obrero recibe $9000. ¿Cu´antos d´ıas trabaj´o y cu´antos no trabaj´o?
19. El denominador de una fracci´on es 8 unidades mayor que el numerador. Si se suma 1 al nume- rador y se resta 11 al denominador, la nueva fracci´on es igual al la rec´ıproca de la primera.
Encontrar la primera fracci´on.
20. El denominador de una fracci´on es 8 unidades mayor que el numerador. Si se suma 2 al nume- rador y 6 al denominador, la fracci´on resultan- te es igual a la original. Encontrar la fracci´on.
Ecuaciones de segundo grado
Resolver las siguientes ecuaciones 1. 3x2− 5x + 2 = 0
2. 4x2+ 3x − 22 = 0
3. x2+ 11x = −24 4. x2= 16x − 63 5. 12x − 4 − 9x2= 0 6. 5x2− 7x − 90 = 0 7. 6x2= x + 222 8. x + 11 = 10x2 9. 49x2− 70x + 25 = 0 10. 12x − 7x2+ 64 = 0 11. x2= −15x − 56 12. 32x2+ 18x − 17 = 0 13. 176x = 121 + 64x2 14. 8x + 5 = 36x2 15. 27x2+ 12x − 7 = 0 16. 15x = 25x2+ 2 17. 8x2− 2x − 3 = 0 18. x52 −x2 =103 19. x62 −x2 = 3(x − 5)
20. 14(x − 4) +25(x − 5) = 15(x2− 53)
Desigualdades
1. 1 − x ≤ 2 2. −1 < 2x − 5 < 7 3. 1 < 3x + 4 ≤ 16 4. x + 3 > −2 5. 3x − 9 < 6 6. 32x + 4 ≤ 10 7. 5 −54x ≥ −4 8. 32− x > x
9. −(1 − x) ≥ 2x − 1 10. 2 + x ≥ 3(x − 1) 11. −7x + 3 ≤ 4 − x 12. −203 < 23x < 4 13. −3 ≤ −x < 2
14. 7 < 3 − 12x ≤ 8
15. 100 + x ≤ 41 − 6x ≤ 121 + x 16. −1 ≤ x−44 < 12
17. 2 ≤ 4x+2−3 ≤ 10
