Tablas semánticas para lógica de predicados
de primer orden
∗
Angel Nepomuceno
Unidad de Lógica, Lenguaje e Información
Dpto. de Filosofía y Lógica
Universidad de Sevilla
1
Tablas para un lenguaje formal elemental
Las tablas o árboles semánticos son un mecanismo de decisión para senten-cias de un lenguaje formal. Aunque se puede decir que los procedimientos tabulares comienzan con Gentzen (en 1935), se considera a Beth el creador del procedimiento de árboles semánticos, destacando su “Semantic entail-ment and formal derivability”1, donde introduce la terminología de “tabla
semántica”, entendiéndola como un intento de búsqueda sistemática de con-traejemplos con vistas a determinar si una cierta fórmula es consecuencia de otras. Smullyan ha trabajado en la línea de extraer resultados sobre tablas para aplicarlos en teoría de modelos.
Dado un conjunto finito no vacío Γ = {α1, ..., αk} de sentencias de un
lenguaje formal L (las premisas o asunciones), se define la tabla (o árbol) semántica como T (Γ) = {Γ1, ...Γn}, n ≥ 1. Γi es una rama, para cada
i ≤ n, obtenida por aplicación de ciertas reglas (detalladas más abajo) a cada sentencia no marcada, definida como una sucesión de sentencias:
Γi =hα1, ..., αk, βi1, ..., β i ji,
∗Una versión de este trabajo, con ciertas variaciones e incluyendo algunos ejercicios,
forma parte del Curso práctico de lógica formal (en preparación).
1Hay traducción al español, denominada “Entrañamiento semántico y derivabilidad
j ≥ 1, donde α1, ..., αk representan las premisas o asunciones, las cuales
es-tán en todas las ramas. El proceso de construir una rama continúa hasta que aparecen dos literales complementarios2 o hasta que todas las fórmulas
que no son literales estén convenientemente marcadas. Una rama está cer-rada cuando en ella ocurren dos literales complementarios; si una rama no está cerrada, se dice que es abierta. Una rama está acabada si está cerrada o todas sus sentencias no literales están convenientemente marcadas. Una sentencia no literal se marca cuando se aplica la regla correspondiente; si Φ es la parte de una rama y se aplica una regla, entonces se obtiene una nueva parte (podría bifurcarse la rama en este momento, continuando con dos ramas distintas) con nuevas sentencias; para indicarlo escribiremos Φ+η, identificando η mediante la regla de que se trate. Dada una conjunción de fórmulas, cada parte de la conjunción es una fórmula-α; las partes de una disyunción son denominadas fórmulas-β, lo mismo que la negación del an-tecedente y el consecuente de una implicación; las instancias de la matriz de una fórmula cuyo signo principal es ∀ son denominadas fórmulas-γ, y si el signo principal es ∃, se les llama fórmulas-δ.
Las reglas son las siguientes:
1. ¬-regla: ¬¬ϕ ϕ ; ¬(ϕ ∨ ψ) ¬ϕ ∧ ¬ψ; ¬(ϕ ∧ ψ) ¬ϕ ∨ ¬ψ; ¬(ϕ → ψ) ϕ∧ ¬ψ ; ¬∃xϕ ∀x¬ϕ; ¬∀xϕ ∃x¬ϕ; desde Φ, se obtiene Φ + η, donde η es una sentencia de¬-regla, es decir, una de las sentencias ϕ, ¬ϕ ∧ ¬ψ, etc.,
2. α-regla:
α1∧ α2
α1
α2
;
la nueva parte de la rama es Φ + α1+ α2 (α1 y α2 son sentencias-α),
2Es decir, un par de contradicción. Un literal es una fórmula atómica o la negación
de una fórmula atómica —en nuestro caso, nos referiremos a sentencias—. Una sentencia atómica se dice que es un literal positivo, mientras que la negación de una atómica es lla-mada literal negativo. Si λ es un literal positivo,¬λ (literal negativo) es el complementario del primero.
3. β-rule:
β1∨ β2 β1 | β2
; β1 → β2 ¬β1 | β2
entonces Φ se divide en dos nuevas ramas: Φ + β1 (Φ +¬β1) y Φ + β2
(en los dos casos), (β1 y β2 son sentencias-β), 4. γ-regla: ∀xϕ ϕ(b1/x) ϕ(b2/x) ... ϕ(bn/x)
b1, ..., bnson todas las constantes —a veces se les denomina parámetros—
que ocurren en sentencias de la rama3, n
≥ 1 (si no ocurre ninguna, entonces n = 1); la nueva parte de la rama es
Φ + ϕ(b1/x) + ... + ϕ(bn/x)
(ϕ(bi/x), fórmula resultante de sustuituir las ocurrencias libres de x por
bien ϕ, es una sentencia-γ, para todo i≤ n)
5. δ-regla:
∃xϕ ϕ(b/x)
donde b es una nueva constante que no ocurría en ninguna sentencia de la rama; la nueva parte de la rama es Φ + ϕ(b/x) y ésta es una sentencia-δ.
Hemos de tener en cuenta que en un estadio de la construcción de un árbol se presentarán más de una sentencia sin marcar, con lo que podemos aplicar las reglas a una setencia u otra. No hay una norma estricta, por lo que para
3Suponemos que L tiene un conjunto numerable de constantes: b
1, b2, ... (o bien a1, a2...,
resolver la cuestión de qué sentencia se marcará primero lo mejor es averiguar qué paso dado a continuación va a abreviar el proceso (no será lo mismo optar por un camino u otro), aunque una estrategia (no neceseriamente óptima) es la siguiente: se da prioridad a las fórmulas según su signo lógico principal; habrá dos bloques de precedencia, de un lado las sentencias proposicionales y de otro las cuantificacionales, siendo preferible en un buen número de veces considerar prioritarias a las primeras. Así pues, el orden será ¬, ∧, ∨/→ (estos últimos no tienen precedencia entre si), ∃, ∀.
Un interesante teorema sobre árboles, denominado propiedad fundamental de las tablas (o árboles) semánticos, es el siguiente: para toda sentencia α∈ L
α es satisfactible si y sólo si4 el árbol semántico de α es abierto. A partir de aquí se obtienen los corolarios:
α es no satisfactible syss el árbol semántico de α no es abierto (es cerrado)8, |= α syss el árbol semántico de ¬α es cerrado.
Si en lugar de una única sentencia consideramos un conjunto Γ de sentencias (cuyo cardinal es finito), entonces Γ es (simultáneamente) satisfactible syss el árbol semántico cuyas asunciones son las fórmulas de Γ es abierto. Esto se puede aplicar para conocer si hay relaciones de consecuencia lógica.
A continuación damos un ejemplo. Verífiquese, aplicando estos resulta-dos, si
|= ∀x∃y(Rxy → ∃zw(Rzw ∧ Rwz)).
Para ello construimos la tabla de su negación. A la izquierda anotamos un número correspondiente al nivel en que se aplican las reglas. Téngase en cuenta que el proceso de construcción comienza escribiéndose en el nivel 1 la negación de la fórmula, ésta es la única asunción, también es, en ese momento, la única fórmula no convenientemente marcada; a continuación se aplicará una¬-regla, dadas las características de la asunción, escribiéndose la fórmula del nivel 2 y marcando la de 1 con¬ (es ahora cuando se anota este subíndice, tras aplicar la regla). Queda entonces la fórmula del nivel 2 como la única no convenientemente marcada, y por tratarse de una fórmula cuantificacional, se aplicará la δ-regla, teniendo en cuenta que como no ocurre ningua constante en fórmulas precedentes, la constante que sustituirá a la variable x ha de ser a1, con lo que se escribe la fórmula del nivel 3 como una instancia de la
de 2. El proceso continúa hasta llegar a las dos subramas que aparecen en el nivel 14, con sendos literales que son complementarios del literal de 7.
1. ¬∀x∃y(Rxy → ∃zw(Rzw ∧ Rwz))¬ 2. ∃x¬∃y(Rxy → ∃zw(Rzw ∧ Rwz))a1 3. ¬∃y(Ra1y→ ∃zw(Rzw ∧ Rwz))¬ 4. ∀y¬(Ra1y→ ∃zw(Rzw ∧ Rwz))a1 5. ¬(Ra1a1 → ∃zw(Rzw ∧ Rwz))¬ 6. Ra1a1∧ ¬∃zw(Rzw ∧ Rwz)∧ 7. Ra1a1 8. ¬∃zw(Rzw ∧ Rwz)¬ 9. ∀z¬∃w(Rzw ∧ Rwz)a1 10. ¬∃w(Ra1w∧ Rwa1)¬ 11. ∀w¬(Ra1w∧ Rwa1)a1 12. ¬(Ra1a1∧ Ra1a1)¬ 13. ¬Ra1a1∨ ¬Ra1a1∨ / \ 14. ¬Ra1a1 ¬Ra1a1 N N
Veamos un segundo ejemplo: Probar que la sentencia siguiente es uni-versalmente válida ∀x(Rx → ∃yQxy) → ∀x(¬∃yQxy → ¬Rx) (hemos de comenzar, como se había indicado, con la negación de esta sentencia):
1. ¬[∀x(Rx → ∃yQxy) → ∀x(¬∃yQxy → ¬Rx)]¬,
2. ∀x(Rx → ∃yQxy) ∧ ¬∀x(¬∃yQxy → ¬Rx)∧, (¬-regla 1) 3. ∀x(Rx → ∃yQxy)a1, (α-regla 2)
4. ¬∀x(¬∃yQxy → ¬Rx)¬, (α-regla 2) 5. ∃x¬(¬∃yQxy → ¬Rx)a1, (¬-regla 4)
6. ¬(¬∃yQa1y→ ¬Ra1)¬, (δ-regla 5)
7. ¬∃yQa1y∧ ¬¬Ra1∧, (¬-regla 6)
8. ¬∃yQa1y¬, (α-regla 7) 9. ¬¬Ra1¬, (α-regla 7) 10. ∀y¬Qa1ya1,a2, (¬-regla 8) 11. Ra1, (¬-regla 9) 12. Ra1 → ∃yQa1y→, (γ-regla 3) 13. ¬Qa1a1, (γ-regla 10) / \
14. ¬Ra1 ∃yQa1y, (β-regla 12)
N
15. Qa1a2, (δ-regla 14)
16. ¬Qa1a2, (δ-regla 10)12
N
Nótese que en el nivel 5 damos preferencia a la fórmula de 4 sobre la de 3; esta última quedará sin marcar hasta que llegamos a 12, por las razones
12Aunque 10 estaba marcada, al aparecer la constante a
2 hay que marcar con ésta, de
acuerdo con la γ-regla. Como consecuencia, aparece ahora un literal complementario con el literal de 15.
que anteriormente hemos señalado. Hemos obtenido un árbol cerrado —todas sus ramas son cerradas—, por lo que la fórmula de 1 es no satisfactible, es decir, la fórmula propuesta (de la que era negación la de 1) es universalmente válida, como queríamos demostrar.
2
El problema de los árboles infinitos
Determinadas fórmulas satisfactibles poseen una estructura tal que el proceso de construcción de un árbol semántico, tomándolas como asunción, sería infinito. Veamos un ejemplo muy sencillo: ∀x∃yRxy. El árbol comenzaría como sigue
1. ∀x∃yRxya1,a2,.. (asunción)
2. ∃yRa1ya2 (γ-regla 1)
3. Ra1a2 (δ-regla 2) —1 ya no está convenientemente marcada—
4. ∃yRa2ya3 (γ-regla 1) —marcamos 1 con a2—
5. Ra2a3 (δ-regla 4) —marcamos 4 con a3 y hay que volver a 1—
...
El proceso continúa hasta el infinito: cada vez que aplicamos la γ-regla se genera una fórmula cuyo signo principal es el cuantificador existencial, lo que exige la aplicación sobre ésta de la δ-regla, pero la nueva constante no marcaba la fórmula sobre la que se había aplicado la γ-regla, con lo que hemos de aplicar de nuevo la γ-regla, y así sucesivamente. No obstante, la fórmula es satisfactible ¡En un dominio unitario! Sea una estructura in-terpretativa M del mismo tipo que el lenguaje formal L13, M =
hD, =i, D = {#}, y la función = definida de tal manera que =(R) = {h#, #i}, es evidente que M |= ∀x∃yRxy. En efecto, para toda M0, que difiere de M a lo sumo respecto del valor asignado por =0a la constante individual
13Es decir, una estructura interpretativa adecuada al lenguaje formal L, o L-estructura,
la cual consta de un universo de discurso y de predicados y relaciones definidos en dicho universo de discurso (en su caso, también funciones), adecuados para definir la función interpretación (cuyo dominio son elementos de L y cuyo rango está constituido por el universo de discurso y tales predicados y relaciones).
a —abreviadamente, M0 =
a M—, M
0(∃yRay) = 1, pues toda =0(a) = #, y
hay al menos una M00 = b M
0tal que M00(Rab) = 1, ya que =00(b) = #; por
evaluación de los cuantificadores, se tiene que M es un modelo de∀x∃yRxy, es decir M (∀x∃yRxy) = 1. Si se quiere, tómese como universo del discurso la humanidad del “paraiso terrenal”, antes de la operación de la costilla — entonces era unitario: Adán era su único elemento—; si se da el valor de “Adán” (hagamos el esfuerzo de tomar este término como una constante de L) al único elemento de esta clase y se interpreta R como la “identidad”, es decir como hAdán, Adáni, entonces estamos ante otra L-estructura que satisface ∀x∃yRxy.
En realidad, cuando construimos un árbol semántico, hallamos sucesiones de fórmulas de manera que desde una rama abierta podemos definir un mod-elo de las sentencias de la rama, pues ésta determina una clase de modmod-elos de tales sentencias ¿Qué sentido tienen las distintas reglas, especialmente las de los cuantificadores? En principio, si las asunciones son satisfechas en cierta estructura, el resultado de aplicar la γ-regla o la δ-regla es una (o varias) sentencias a las que también satisface tal estructura; en el caso de la δ-regla, hemos de introducir constantes que no hayan aparecido, pasando de ∃xβ, por ejemplo, a β(an+1/x), si an era la última constante (el problema es
que del posible modelo no conocemos, no ya su dominio, sino ni siquiera su cardinalidad). Para evitar en lo posible que nos ocurra como en el ejemplo anterior, se introduce una modificación de acuerdo con los trabajos de E. Díaz (1993)14, y de G. Boolos (1984). Tal modificación consiste en cambiar
la δ-regla por la siguiente:
6 δ0-regla
∃xϕ
ϕ(b1/x)| ϕ(b2/x)| ... | ϕ(bn/x)| ϕ(bn+1/x)
,
donde b1, ..., bn son las constantes que ocurren en fórmulas anteriores
en la rama, para n ≥ 1, y bn+1 es una constante nueva; las nuevas
ramas son Φ + ϕ(b1/x), Φ + ϕ(b2/x), ..., Φ + ϕ(bn+1/x) y ϕ(bj/x) es
una sentencia-δ, para cada j ≤ n + 1.
14Aunque se explicaba en clases de lógica en la Universidad de Sevilla (antes, en la de
Valencia) desde 1980. En este trabajo aparece una breve nota acerca del momento en que aparece este tratamiento.
Atendiendo a esta modificación, construyamos el árbol con la fórmula del ejemplo anterior: 1. ∀x∃yRxya1 (asunción) 2. ∃yRa1ya1,a2,... (γ-regla, 1) / \ 3. Ra1a1 Ra1a2 (δ0-regla 2) 4. ∃yRa2y (γ-regla 1) 5. ...
Nótese que además de la rama de la izquierda, el árbol continúa a la derecha (el borde, por así decir, es justamente la rama que se obtiene con el primer procedimiento), pero la primera rama de la izquierda está abierta y acabada, por lo que se define un modelo a partir de la misma; éste ha de tener un elemento y se tiene que interpretar R como el par formado por ese único elemento.Veamos otro ejemplo: ∀x∃y(Rxy ∧ ¬Ryx),
1. ∀x∃y(Rxy ∧ ¬Ryx)a1,a2 2. ∃y(Ra1y∧ ¬Rya1)a1,a2 / \ 3. Ra1a1∧ ¬Ra1a1∧ Ra1a2∧ ¬Ra2a2∧ 4. Ra1a1 Ra1a2 5. ¬Ra1a1 ¬Ra1a1 N 6. ∃y(Ra2y∧ ¬Rya2)a1,a2,a3 / | \
7. Ra2a1∧ ¬Ra2a2∧ Ra2a2∧ ¬Ra2a2∧ Ra2a3∧ ¬Ra2a2∧
9. ¬Ra2a2 ¬Ra2a2 ...
N
Las reglas se han aplicadode la siguiente manera: el nivel 2 se obtiene desde 1 (la asunción) por γ-regla; 3 de 2 por δ0-regla; 4 y 5 de 3 por α-regla (quedando una rama cerrada); 6 de 1 por γ-regla (al haber aparecido a2había
que volver a la fórmula inicial); 7 de 6 por δ0-regla (originándose tres ramas); 8 y 9 de 7 por α-regla (quedando la rama de la izquierda acabada, pues todas las fórmulas de la misma están convenientemente marcadas; cerrada la central, pues contiene un par de contradicción, y abierta la de la derecha, que continuaría con nuevas ramas, prolongándose —siempre a la derecha— infinitamente). Una rama acabada y abierta determina una clase de modelos mínimos de sus fórmulas. Sea el siguiente modelo: Como universo de discurso tomamos los índices de los parámetros que ocurren en la rama: D = {1, 2}; la función interpretación, para los términos que ocurren en las fórmulas de las ramas, se define de la siguiente manera:
=(a1) = 1, =(a2) = 2, =(R) = {h1, 2i, h2, 1i}.
Nótese que el par h1, 1i /∈ =(R), dado que Ra1a1 no ocurre en la rama (lo
mismo cabe decir del parh2, 2i; los valores de = para otros términos resultan irrelevante). La citada clase de modelos mínimos tendrá, pues, las siguientes características:
• Su universo de discurso tendrá cardinal 2;
• La función interpretación, para las constantes a1 y a2, tomará cada uno
de los elementos del universo de discurso; es decir, =(a1) y =(a2) son
los únicos elementos del universo;
• =(R) = {h=(a1), =(a2)i, h=(a2), =(a1)i}
siendo el modelo especificado de esta clase.
3
Algunas variantes
Para un lenguaje formal con identidad el método presentado es básicamente el mismo. Si ≈ es el símbolo de identidad, se tendrá en cuenta que ≈ xy es una fórmula atómica, con las variables x es y. Para mayor facilidad ≈
xy =def x ≈ y. Si a y b son constantes, entonces la sentencia a ≈ b es
un literal positivo. Una manera sencilla de aplicar el método de tablas ya explicado consiste en ampliarlo de acuerdo con lo siguiente:
1. ≈-regla: a ≈ b ϕ1(b/a) ϕ2(b/a) ... ϕn(b/a)
donde a y b son constantes y las ϕi, i ≤ n, son las fórmulas de la rama
donde ocurre a; la nueva parte de la rama sera Φ + ϕ1(b/a) + ϕ2(b/a) +
... + ϕn(b/a);
2. Si en una rama aparece el literal (negativo) ¬(a ≈ a), para cualquier constante a, entonces la rama es cerrada.
Asimismo se pueden presentar las naturales variaciones, tanto para lengua-jes formales que contienen functores, como aplicando unificación para el tratamiento de fórmulas de cualquier clase, no restringiéndonos a las sen-tencias. En lógica de segundo orden, a pesar de las dificultades específicas de este tipo de lógicas, mediante tablas se alcanzan algunos resultados in-teresantes. También se ha desarrollado el método de árboles semánticos para lógicas modales y temporales, para diversas clases de lógicas no monótonas, etc.. Por otra parte, estos métodos, como procedimientos de búsqueda sis-temática, han encontrado aplicación en filosofía de la ciencia, particularmente en el estudio del razonamiento abductivo.
4
Bibliografía
[1] Bell, J.; Machover, M. (1986, 2th. P.): A Course in Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam.
[2] Beth, E. W. (1955): “Semantic Entailment and Formal Derivability”, en J. Hintikka (1969): The Philosophy of Mathematics. Oxford Uni-versity Press, London [Versión en español en Cuadernos Teorema 18: “Entrañamiento Semántico y Derivabilidad Formal”, Valencia, 1978].
[3] Boolos, G. (1984): “Trees and Finite Satisfactibility”, Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 25, pp. 110-115.
[4] D’Agostino, M.; Gabbay, D.M.; Hähnle, R.; Posegga, J. (eds.) (1999): Handbook of Tableau Methods, Kluwer Academic Press, Dordrecht.
[5] Díaz, E. (1993): “Arboles semánticos y modelos mínimos”. Actas del Primer Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España, Madrid, pp. 51-66.
[6] Nepomuceno, A. (1995): “Lógica formal elemental”, en A. Nepomuceno (ed.) (1995): Lógica formal. Orígenes, métodos y aplicaciones, Kronos, Sevilla, pp. 37-66.
[7] Smullyan, R. M. (1968): First-Order Logic, Springer Verlag (edición revisada en Dover Press, New York, 1994).
