EJERCICIOS
Los siguientes ejercicios corresponden a la primera unidad de las notas de clase, que compete a los anillos, definiciones b´asicas y ejemplos..
1. Demostrar que el conjunto M = {(a, b, c, d) : a, b, c, d ∈ Q} con adici´on y multiplicaci´on definidas por
(a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (a + e, b + f, c + g, d + h).
(a, b, c, d)(e, f, g, h) = (ae + bg, af + bh, ce + dg, cf + dh),
para todo (a, b, c, d), (e, f, g, h) ∈ M es un anillo.
2. Demostrar que si R es un anillo con elemento cero z, entonces para todo a ∈ R, a · z = z · a = z.
3. Demostrar que P = {(a, b, −b, a) : a, b ∈ Z} con adici´on y muliplicaci´on definidas (a, b, −b, a) + (c, d, −d, c) = (a + c, b + d, −b − d, a + c)
y
(a, b, −b, a)(c, d, −d, c) = (ac − bd, ad + bc, −ad − bc, ac − bd) es un subanillo conmutativo del anillo M del ejercicio 1.
4. Demostrar que si p es un elemento cualquiera de un anillo conmutativo R, entonces P = {p · r : r ∈ R} es un ideal de R.
5. Demostrar que el conjunto R/I = {r + I : r ∈ R} de las clases laterales de un ideal I en un anillo R es ´el mismo anillos con respecto a la adici´on y multiplicaci´on definidas por
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I y para todo x + I, y + I ∈ R/I
6. Sea
Q[ √
−3] = {a + b√−3 | a, b ∈ Q},
donde Q es le anillo de los n´umeros racionales. Consid´erense en Q[√−3] las ope-raciones habituales de suma y multiplicaci´on de complejos. Demuestre que bajo estas operaciones Q[√−3] es un campo.
7. Demuestre que el conjunto a b 0 c | a, b, c ∈ Z
de las matrices triangulares superiores es un subanillo de M2(Z). Describir los
ideales bil´ateros de A.
8. Sea R un anillo conmutativo con unidad, y sea R[x] el anillo de los polinomios a una indeterminada. Sea a ∈ R y M = {f ∈ R[x] : f (a) = 0}. Mostrar que M es un ideal de R[x].
9. Sea R un anillo con 1. Probar que si u es una unidad en R, entonces −u tambi´en los es.
10. Sea R un anillo con identidad y sea S un subanillo de R que contiene la identidad. Probar que si u es una unidad en S, entonces u es una unidad en R. Demostrar con un ejemplo que el reciproco es falso.
11. Mostrar que a2−b2 = (a−b)(a+b) para todo a, b ∈ R si y s´olo si R es conmutativo.
12. Describir todas unidades de los siguientes anillos
1. Z 2. Q 3. Z × Z 4. Z × Q × Z 5. Z5 6. Z4
13. Un elemento a de un anillo R es idempotente si a2 = a. Mostrar que el conjunto
de todos los elementos idempotentes de un anillo conmutativo es cerrado bajo la multiplicaci´on.
14. Mostrar que un subconjunto S de un anillo R, es un subanillo de R si y s´olo si se cumple lo siguiente:
0 ∈ S;
(a − b) ∈ ∀ a, b ∈ S; ab ∈ S ∀ a, b ∈ S.
15. Un anillo R es un anillo Booleano si a2 = a, ∀ a ∈ R, de modo que cada elemento
es idempotente. Mostrar que cada anillo Booleano es conmutativo.
16. Un elemento a ∈ R es idempotente si a2 = a. Mostrar que un anillo divisi´on
contiene exactamente dos elementos idempotentes.
17. Sea R un anillo que contiene al menos dos elementos. Supongamos que para cada a 6= 0 ∈ R, existe un ´unico b ∈ R tal que aba = a.
1. Mostrar que R no tiene divisores de cero. 2. Mostrar que bab = b.
2. Mostrar que R tiene unidades. 4. Mostrar que R es un anillo divisi´on.
18. Sea K el conjunto de todos los enteros m´ultiplos de√2, es decir, todos los n´umeros reales de la forma n√2 con n ∈ Z. satisface los axiomas del i − iv, pero no es un anillo.
19. Es S = {(a, b) | a + b = 0} un subanillo de Z × Z ? Justifica tu respuesta.
20. Sea S un subanillo de M (R) de todas las matrices de la forma a a b b . Probar que S es un anillo.
21. Sea Z[i] denota el conjunto {a + bi | a, b ∈ Z}. Mostrar que Z[i] es un subanillo de C.
22. Sea Z[√2] denota el conjunto {a + b√2 | a, b ∈ Z}. Mostrar que Z[√2] es un subanillo de R.
23. Una matriz escalar en M (R) es una matriz de la forma k 0 0 k para alg´un n´umero real k.
1. Probar que el conjunto de las matrices escalares es un subanillo de M (R). 2. Si K es una matriz escalar, mostrar que KA = AK para cada A en M (R). 24. Sea R un anillo y sea Z(R) = {a ∈ R | ar = ra para cada r ∈ R}. En otras
palabras, Z(R) consiste de todos los elementos de R que conmutan con otro elemento de R. Probar que Z(R) es un subanillo de R. Z(R) se denomina el centro del anillo.
25. En el anillo M (C), sea 1 = 1 0 0 1 i = i 0 0 −i j = 0 1 −1 0 k = 0 i i 0 El producto de un n´umero real y una matriz, es la matriz dada por la regla:
r t u v w = rt ru rv rw
El conjunto H de Quaterniones reales consiste de todas las matrices de la forma a1 + bi + cj + dk = a 1 0 0 1 + b i 0 0 −i + c 0 1 −1 0 + d 0 i i 0 = a 0 0 a + bi 0 0 −bi + 0 c −c 0 + 0 di di 0 = a + bi c + di −c + di a − bi donde, a, b, c y d son n´umeros reales.
1. Probar que
i2 = j2 = k2 = −1 ij = −ji = k jk = −kj = i ki = −ik = j. 2. Mostrar que H es un anillo no conmutativo con identidad.
3. Mostrar que H es un anillo divisi´on. [sugerencia: Si M = a1 + bi + cj + dk, entonces verificar que la soluci´on de la ecuaci´on M x = 1 es la matriz ta1 − tbi − tcj − tdk, donde t = 1/(a2+ b2+ c2+ d2).]
26. Sea R un anillo y sea a un elemento distinto de cero de R que no es un divisor de cero. Probar que se cumple la cancelaci´on para a, es decir, probar que
1. Si ab = ac en R, entonces b = c. 2. Si ba = ca en R, entonces b = c.
27. Sea R un anillo conmutativo con identidad. Probar que R es un dominio entero si y s´olo si se cumple la cancelaci´on en R (es decir, a 6= 0R y ab = ac en R implica
b = c).
28. Sea R un anillo con identidad. Sea T el conjunto R × Z. Definimos la adici´on y multiplicaci´on en T por las siguientes reglas:
(r, m) + (s, n) = (r + s, m + n) (r, m)(s, n) = (rs + ms + nr, mn) Probar que T es un anillo con identidad.
29. Sea J = 0 0 0 r | r ∈ R
. ¿ Es J un ideal del anillo M (R) de 2 × 2 matrices sobre R?
30. Mostrar que el conjunto
K = a b 0 0 | a, b ∈ R
es un subanillo de M (R) que absorbe productos a la derecha. Demostrar que K no es un ideal porque puede fallar al absorber productos de la izquierda.
31. Enumere los distintos ideales principales en cada anillo
1. Z5 2. Z9 3. Z12
32. Sea I y J son ideales en R. Probar que el conjunto K = {a + b | a ∈ I, b ∈ J } es un ideal en R que contiene a ambos I e J. K es llamado la suma de I y J y es denotada I + J.
33. Sea J un ideal R. Mostrar que K es un ideal, donde
K = {a ∈ R | ra ∈ I para cada r ∈ R}.
34. Sea R un dominio integral y a, b ∈ R. Mostrar que hai = hbi si y s´olo si a = bu para alguna unidad u ∈ R.
35. Si M es un ideal de un anillo conmutativo R con identidad y si a ∈ R con a 6= M, proba que el conjunto
J = {m + ra | r ∈ R, m ∈ M } es un ideal al que M ⊂ J.
36. Sea I y J ideales en R. Sea IJ el conjunto de todas las posibles sumas finitas de elementos de la forma ab (con a ∈ I, b ∈ J ), es decir,
IJ = {a1b1+ a2b2+ · · · + anbn | n ≤ 1, ak∈ I, bk∈ J}.
Probar que IJ es un ideal, IJ se denomina el producto de I y J.
37. Probar que el conjunto T de matrices de la forma a b 0 a con a, b ∈ R es un subanillo de M (R).
38. El centro de un anillo R es {z ∈ R | zr = rz ∀r ∈ R} (es el conjunto de todos los elementos que conmutan con todo elemento de R). Probar que el centro de un anillo es un subanillo que contiene identidad. Probar que el centro es un campo. 39. Para un elemento fijo a ∈ R definimos C(a) = {r ∈ R | ra = ar}. Probar que C(a)
es un subanillo de R conteniendo a a. Probar que el centro de R es la intersecci´on de los subanillos C(a) sobre todo a ∈ R.
40. Si U, V son ideales de R sea U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }. Demostrar que U + V es tambi´en un ideal.
41. Sea M2(Z) un anillo de todas las matrices 2 × 2 sobre los enteros y sea
K = a a − b a − b b | a, b ∈ Z .
Pruebe o refute que K es un subanillo.
