Modelo de comportamiento de suelos granulares: Estudio y determinación de sus parámetros

(1)

Modelo de comportamiento

de suelos granulares:

Estudio y determinaci´

on

(2)

Modelo de comportamiento

de suelos granulares:

Estudio y determinaci´

on

de sus par´

ametros

Pablo Andr´

es Arias Garc´ıa

Asesor:

Arcesio Lizcano Pel´

aez

Programa de Magister en Ingenier´ıa Civil

Facultad de Ingenier´ıa Civil y Ambiental

Universdad de los Andes

Bogot´

a D.C. - Colombia

8 de agosto de 2006

(3)

´Indice General

Introducci´on viii

1 El modelo de estudio: Hipoplasticidad 1

1.1 Descripci´on del estado del suelo . . . 1

1.2 Suposiciones del modelo . . . 3

1.3 El modelo m´as simple: 1D . . . 6

1.4 El modelo hipopl´astico de von Wolffersdorff: 3D . . . 8

2 Par´ametros y su significado f´ısico 12 2.1 Angulo de fricci´on cr´ıtico ϕc . . . 12

2.2 Relaciones de vac´ıos de referencia : ei0, ec0 y ed0 . . . 14

2.3 Dureza granular hs y exponente n . . . . 15

2.4 Exponente α . . . . 17

2.5 Exponente β . . . . 19

2.6 Relación entre las propiedades granulométricas y los párametros del modelo . . . 21

(4)

3.1 Encontrando un camino para: ϕc . . . 24

3.2 Encontrando un camino para: hs y n . . . . 25

3.3 Encontrando un camino para: α . . . . 27

3.4 Encontrando un camino para: β . . . . 27

3.5 Comparaci´on con los par´ametros originales . . . 30

4 Par´ametros de materiales colombianos 34 4.1 Par´ametros arena del Guamo . . . 34

4.1.1 Determinaci´on : ϕc . . . 34

4.1.2 Determinaci´on : ei0, ec0 y ed0 . . . 35

4.1.3 Determinaci´on : hs y n . . . 39

4.1.4 Determinaci´on : α . . . . 41

4.1.5 Determinaci´on : β . . . . 44

4.1.6 Validaci´on de los par´ametros encontrados . . . 44

4.2 Par´ametros mezcla grava - arena para base granular de pavimentos 48 4.2.1 Determinaci´on : ϕc . . . 48

4.2.2 Determinaci´on : ei0, ec0 y ed0 . . . 49

4.2.3 Determinaci´on : hs y n . . . 49

4.2.4 Determinaci´on : α . . . . 52

4.2.5 Determinaci´on : β . . . . 52

4.2.6 Ajuste final de par´ametros . . . 54

4.2.7 Validaci´on de los par´ametros encontrados . . . 55

(5)

(6)

´Indice de Figuras

1.1 Mediciones (arriba) contra simulaciones(abajo). Ensayo triaxial drenado arena Karlsruhe. Tomado de [Herle & Gudehus 1999] . . 2 1.2 Influencia de la presi´on de confinamiento en el comportamiento del

suelo, barotrop´ıa . . . . 4 1.3 Influencia de la densidad inicial en el comportamiento del suelo,

picnotrop´ıa . . . . 5 1.4 Arriba, deformación homogénea. Abajo, deformación no homogénea. 6 1.5 Representación gráfica del tensor de esfuerzo T . . . 9 2.1 Estado estable alcanzado con dos densidades iniciales distintas.

Compresi´on triaxial . . . 13 2.2 Relaciones de vac´ıos de referencia. Para cada ps, e debe mantenerse

dentro del rango ei-ed o el esqueleto deja de existir . . . . 15 2.3 Influencia de hs y n en el comportamiento del suelo. hs influencia

la pendiente, mientras que n influencia la curvatura. Tomado de [Herle & Gudehus 1999] . . . 16 2.4 Determinaci´on de n evaluando dos puntos. Pto1:(ps1, e1),

Pto2:(ps2, e2). Tomado de [Herle & Gudehus 1999] . . . 18

2.5 Significado de α. Entre mayor sea la ca´ıda desde el estado pico hasta el estado estable, mayor ser´a el valor de α . . . . 19 3.1 Determinaci´on de ϕc de tres triaxiales drenados. Experimento con

(7)

3.2 Equipo para ensayo oedométrico tradicional, carga por escalones 25 3.3 Determinación de hs y n de un oedométrico con carga por escalones

y de un oedom´etrico con carga continua. Experimento con la arena

Karlsruhe . . . 26

3.4 Determinaci´on de α de un triaxial drenado confinado a 300 kPa y de uno confinado 75 kPa. Experimento con la arena Karlsruhe . . 28

3.5 Determinaci´on de β de dos ensayos isotr´opicos. Experimento con la arena Karlsruhe . . . 29

3.6 Determinación de β de dos ensayos isotrópicos vs Determinación de dos oedométricos. Experimento con la arena Karlsruhe . . . . 31

3.7 Comparación de gráficas originales contra las simulaciones con los nuevos parámetros . . . 33

4.1 Curva granulom´etrica arena del Guamo . . . 35

4.2 Angulo de reposo por el m´etodo Santamarina . . . 36

4.3 Determinaci´on ϕc del diagrama p vs q. Arena Guamo . . . . 36

4.4 Determinaci´on emin densificando en un molde proctor . . . 37

4.5 Determinaci´on emax m´etodo Santamarina . . . 38

4.6 Montaje para un oedom´etrico con carga continua . . . 40

4.7 El cabezal está unido al pistón de carga mediante una rótula . . . 41

4.8 Resultados del oedométrico con carga continua. Arena del Guamo 42 4.9 Diagramas para determinación directa de hs y n a partir de las propiedades granulométricas Cu y d50. [Patiño 2006] . . . 43

4.10 Tres triaxiales drenados con igual relaci´on de vac´ıos inicial. Deter-minaci´on de α . . . . 43

4.11 Dos ensayos isotr´opicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Determinaci´on de β . . . . 45

4.12 Ensayos triaxiales drenados. Mediciones contra simulaciones. Are-na del Guamo . . . 46

(8)

Guamo . . . 47 4.14 Curva granulométrica mezcla grava-arena para base de pavimentos 47 4.15 Determinación ángulo resposo. Mezcla grava-arena . . . 48 4.16 Determinación emin. Mezcla grava-arena . . . 50 4.17 Determinación emax método Santamarina. Mezcla grava-arena . . 51 4.18 Determinación α, triaxial drenado con muestra densa. Mezcla

grava-arena . . . 53 4.19 Esquema para determinaci´on de β matem´aticamente. Mezcla

grava-arena . . . 53 4.20 Triaxial drenado, mediciones contra simulaciones. Mezcla

(9)

´Indice de Tablas

2.1 Relaciones entre los parámetros y las propiedades granulométricas del suelo . . . 22 3.1 Parámetros de la arena de Karlsruhe, Alemania . . . 24 4.1 Parámetros de la Arena del Guamo . . . 44 4.2 Parámetros de la mezcla grava-arena para base granular de

(10)

INTRODUCCI ´

ON

La geotecnia es esencialmente una ciencia del comportamiento de materiales. Los componentes básicos de esta ciencia son: el material suelo, las formas en que es solicitado el material, la respuesta del material ante las solicitaciones y finalmente la descripción matemática de esta respuesta. Esta descripción matemática es llamada modelo constitutivo o ecuación constitutiva . Por constitutivo se entiende

de comportamiento o en otras palabras relaci´on esfuerzo-deformaci´on.

A través de los llamados ensayos elementales, el investigador estudia el compor-tamiento del suelo. Aunque entender el comporcompor-tamiento del suelo es una parte clave en la investigación, los verdaderos desaf´ıos aparecen cuando se trata de describir tal comportamiento con una ecuación constitutiva.

Ninguna ecuación constitutiva es mala sino mal usada. Es cuestión de enten-der que la misma ecuación no sirve para todo tipo de materiales. El presente trabajo se involucra con una ecuación especialmente diseñada para describir el comportamiento de materiales granulares. El principio de la ecuación es que los materiales granulares son inelásticos y su comportamiento es no lineal. Inelásticos significa que se presentan deformaciones irreversibles desde el inicio de la carga. No lineal significa que la relación esfuerzo-deformación, o rigidez, está cambiando a través del tiempo.

El problema se limita al estudio del comportamiento de suelos granulares y su descripción con un modelo inelástico no lineal, ante cargas monotónicas.

El alcance del trabajo consiste en establecer una metodolog´ıa para determinar los parámetros en laboratorio. Son ocho parámetros correspondientes al modelo hipoplástico de von Wolffersdorff. Con la metodolog´ıa propuesta se determinan los parámetros para la arena Guamo de Tolima Colombia y para una mezcla grava-arena de Bogotá Colombia. La mezcla grava-grava-arena es una base de pavimento BG-2 según las especificaciones INVIAS.

(11)

El trabajo se desarrolla en cuatro etapas. Primero se hace una presentación del modelo. Despues se profundiza en el significado f´ısico de cada uno de los ocho parámetros. Luego se hace un experimento virtual para establecer una metodolog´ıa para determinar parámetros. Finalmente se determinan los parámetros para la arena de Guamo y para la mezcla grava-arena.

(12)

Cap´ıtulo 1

El modelo de estudio:

Hipoplasticidad

La hipoplasticidad es un modelo especialmente desarrollado para describir el com-portamiento de materiales granulares no cohesivos. El modelo ha mostrado gran desempe˜no describiendo el comportamiento varios suelos granulares. Incluyendo arenas y algunas mezclas grava-arena. En la Figura 1.1 se presentan una serie de ensayos realizados en la arena de Karlsruhe. All´ı, se pueden apreciar las bondades del modelo presentado en este trabajo.

El modelo se desarrolla con base en el comportamiento no lineal del suelo. Esto significa que la rigidez del suelo, relación esfuerzo-deformación, no es constante. La rigidez está cambiando a través del tiempo.

El cambio de la rigidez es atribuido al cambio del estado del suelo durante el tiempo. El estado puede ser descrito de varias formas. Sin embargo, el modelo s´olo se compromete con dos, la densidad y el estado de esfuerzos.

El modelo consiste en una sola ecuaci´on del tipo incremental que es capaz de reproducir por si sola tanto la carga como la descarga.

1.1 Descripci´

on del estado del suelo

(13)

CAP´ITULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad MIC 2006-II-5

Figura 1.1: Mediciones (arriba) contra simulaciones(abajo). Ensayo triaxial drenado arena Karlsruhe. Tomado de [Herle & Gudehus 1999]

(14)

• Esfuerzo actuante • Densidad

• Temperatura • Saturaci´on

• Fuerzas electromagn´eticas

Cuando el suelo es deformado, inmediatamente comienza a cambiar su estado. Cuando el estado cambia, la rigidez del suelo cambia. En la Figura1.2 se observa como el suelo cambia su respuesta al cambiar la presión a la cual se confina. En la Figura 1.3 se observa como el suelo cambia su respuesta al cambiar su densidad inicial. A partir de lo anterior, se puede concluir que la respuesta del suelo esta notablemente influenciada por el estado de esfuerzos y la densidad. A partir de lo anterior, la hipoplasticidad solo describirá el estado del suelo con el esfuerzo actuante y con la densidad (Ecuación 1.1)

˙σ = h(σ, e) ˙ε (1.1)

Donde:

˙σ : Esfuerzo actuante

˙ε : Relaci´on vac´ıos actual (Densidad)

El cambio de la respuesta del suelo cuando cambia la presi´on de confinamiento es conocido como barotrop´ıa. El cambio en la respuesta del suelo cuando cambia la densidad inicial es conocido como picnotrop´ıa.

1.2 Suposiciones del modelo

Un modelo consiste en una ecuaci´on que relaciona esfuerzo y deformaci´on. El modelo presentado hace las siguientes suposiciones:

• Las part´ıculas del suelo no cambian debido a fracturamiento o desgaste. La

granulometr´ıa se mantiene.

(15)

Figura 1.2: Influencia de la presi´on de confinamiento en el comportamiento del suelo, barotrop´ıa

(16)

Figura 1.3: Influencia de la densidad inicial en el comportamiento del suelo,

(17)

Figura 1.4: Arriba, deformación homogénea. Abajo, deformación no homogénea.

• Se trabaja en esfuerzos efectivos. S´olo para suelos secos o saturados. El

mod-elo no reproduce comportamiento de sumod-elos parcialmente saturados. Nunca se presenta tensi´on capilar.

• El suelo es un esqueleto granular. Los granos est´an organizados de tal forma

que al aplicar un esfuerzo en un borde del elemento, ´este se transmite hasta el otro borde.

• El modelo no reproduce fen´omenos diferentes a los producidos por esfuerzos

en los bordes.

• Internamente no se producen cementaci´on ni fuerzas electromagn´eticas.

1.3 El modelo m´

as simple: 1D

El modelo logra con una sola ecuación describir por igual la carga y la descarga. Esto se logra al incluir el valor absoluto de la rata de deformación ˙ε.El modelo actualiza el estado del suelo durante todo el proceso de carga. Esto se logra haciendo la ecuación del tipo incremental. Los dos principios anteriores llevan la Ecuación 1.1 a convertirse en la Ecuación 1.2

(18)

¿Por qu´

e se necesita el valor absoluto?

Usando la convención tradicional de mecánica de materiales, los esfuerzos y de-formaciones a compresión son negativos, y los esfuerzos y dede-formaciones a tensión son positivos. As´ı, el valor absoluto hace que a compresión la Ecuación 1.2 se convierta en la Ecuación 1.3. Por otro lado, a tensión la Ecuación 1.2 se convierte en la Ecuación 1.4. Lo anterior cumple con el principio de una sola ecuación para

carga y descarga. Se puede observar que la rigidez en descarga es mucho mayor

que en carga, lo cual es una caracter´ıstica fundamental del comportamiento del suelo.

˙σ = (E2(σ, e) − E1(σ, e)) ˙ε (1.3)

˙σ = (E1(σ, e) + E2(σ, e)) ˙ε (1.4)

Ecuaci´

on del tipo incremental: Actualizaci´

on del estado

La ecuación funciona por incrementos. Cada incremento es un cálculo completo con la ecuación. Los resultados del incremento actual se convierten en los datos de entrada del incremento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo del funcionamiento incremental

Estado incial(t = 0)

e0 relaci´on de vac´ıos inicial

σ0 Estado de esfuerzos inicial, en un ensayo triaxial ser´ıa la presi´on de c´amara

Se establece la rata de deformaci´on

Esto es cuanto se incrementa la deformaci´on en un incremento de tiempo. Este valor se establece al principio y permanece constante durante todos los incremen-tos de c´alculo

•

ε = ∆ε ∆t.

(19)

Calculo del primer incremento (ti = t0, tf = t1)

˙σt1 = E1(σ0, e0) ˙ε + E2(σ0, e0) | ˙ε|

Al final del incremento los valores iniciales σ0y e0 son actualizados, lo que significa

un cambio en el estado del suelo:

σt1 = σ0+ ˙σt1

et1 = e0+ (1 + e0) ˙ε

Calculo del segundo incremento (ti = t1, tf = t2)

˙σt2 = E1(σ1, e1) ˙ε + E2(σ1, e1) | ˙ε|

Se actualiza el estado del suelo:

σt2 = σ1+ ˙σt2

et2 = e1+ (1 + e1) ˙ε

Calculo del tercer incremento (ti = t2, tf = t3)

˙σt3 = E1(σ2, e2) ˙ε + E2(σ2, e2) | ˙ε|

Se actualiza el estado del suelo:

σt3 = σ2+ ˙σt3

et3 = e2+ (1 + e2) ˙ε

Se contin´ua calculando hasta llegar a la deformaci´on final deseada.

εf = f

P

n=1∆εn

1.4 El modelo hipopl´

astico de von Wolffersdorff:

3D

La ecuaci´on en una dimensi´on . . .

(20)

Figura 1.5: Representaci´on gr´afica del tensor de esfuerzo T es llevada a las tres dimensiones . . .

o

T = L (T, e) D + N (T, e) kDk Con las siguientes equivalencias:

˙σ →To (Tensor de velocidad de esfuerzo) ˙ε →D (Tensor velocidad de deformaci´on)

σ →T (Tensor de esfuerzo)

| ˙ε|→kDk(Norma del tensor D)

En la Figura 1.5se muestra una representaci´on gr´afica de los componentes de un tensor, en este caso el tensor de esfuerzo T.

A partir de este punto los desarrolladores de la hipoplasticidad han encontra-do varias combinaciones de términos para las funciones de rigidez L (T, e) D y N (T, e) kDk. Esto se ha logrado a partir del uso de la función expansión. La función expansión, como se presentada en la Ecuación 1.5, es una combinación infinita de las variables T ,e y D.

o

T = C1+ C2T + C3D + C4e + C5T2+ C6D2+ C7e2+ C8T2De + C9TD2e

+C10TDe2+ C11T3+ C10D3+ . . .

(1.5) Dentro de esta combinación existe un grupo de términos que son capases de repre-sentar adecuadamente la relación esfuerzo-deformación. La combinación adecuada

(21)

se logra por observación del comportamiento del material y por ensayo y error. Después de varias versiones que ha tenido la ecuación se ha logrado llegar a la propuesta por von Wolffersdorff (Ecuación1.6).

o T = fs 1 tr³Tˆ2´ h F2D + a2Ttr( ˆˆ TD) + fdaF ( ˆT + ˆT∗) kDk i (1.6)

Aqu´ı el tensor de esfuerzo T es reemplazado por el tensor de esfuerzo normalizado ˆ

T, donde:

ˆ

T = T

trT ; Tensor de esfuerzo normalizado (1.7)

trT = T11+ T22+ T33 ; Traza del tensor T (1.8)

ˆ

T∗ ₌ Tˆ tr ˆT−

1

3tr ˆT ; Tensor desviador de esfuerzo normalizado (1.9) Los escalares de la Ecuaci´on 1.6 son:

a = a (ϕc) a = √ 3 (3 − sin (ϕc)) 2√2 sin (ϕc) (1.10) F = F (T) F = v u u t1 8tan 2_{(ψ) +} 2 − tan2(ψ) 2 +√2 tan(ψ) cos(3ϑ) − 1 2√2tan(ψ) (1.11) Donde. . . tan ψ = q 3tr ˆT∗2 cos 3ϑ = −√6 tr ˆT ∗3 h tr ˆT∗2i3/2

(22)

fd = µ_{e − e} d ec− ed ¶_α (1.12) fs = fs(ϕc, ei0, ec0, ed0, hs, n, α, β, T, e) ; Factor de barotrop´ıa fs = µ_e i e ¶_βµ_{1 + e} i ei ¶ µ −3ps hs ¶_1−η_h s η µ 3 + a2₋√_{3 a} µ_e i0− ed0 ec0− ed0 ¶_α¶₋₁ (1.13)

En total son ocho par´ametros los que se tienen en las Ecuaciones 1.10-1.13. Se resumen a continuaci´on:

ϕc Angulo de fricci´on cr´ıtico´

ei0 Relaci´on de vacios max´ıma posible cuando ps= 0

ec0 Relaci´on de vacios cr´ıtica cuando ps= 0

ed0 Relaci´on de vacios m´ınima posible cuando ps= 0

hs Dureza granular del esqueleto

n Exponente, sensivilidad del esqueleto ante la presi´on α Exponente, picnotrop´ıa

(23)

Cap´ıtulo 2

Los par´

ametros del modelo y su

significado f´ısico

Es de suma importancia entender que los parámetros son más que un factor de ajuste. Lo ideal es que tengan un respaldo teórico, o significado f´ısico. La impor-tancia de esto radica en que los parámetros deben representar al material, no a la gráfica. Un parámetro sin significado f´ısico hace que un modelo dibuje bien una gráfica. Sin embargo, cuando se cambian las condiciones del ensayo, la gráfica cambia y el parámetro ya no sirve.

A continuación se hará una presentación detallada de cada uno de los ocho parámetros y su significado f´ısico

2.1 Angulo de fricci´

on cr´ıtico ϕ

_c

Es una relaci´on entre los esfuerzos principales en el estado cr´ıtico, definida por la Ecuaci´on 2.1. Es importante para el modelo por cuanto define un estado cr´ıtico o estable inherente a cada material (Figura2.1).

sin ϕc= µ_T 11− T22 T1+ T22 ¶ estadoestable (2.1)

Es correcto suponer que el ángulo de fricción cr´ıtico es aproximadamente igual al ángulo de reposo. Suposición que ya ha sido validada experimentalmente [Herle & Gudehus 1999].

(24)

Figura 2.1: Estado estable alcanzado con dos densidades iniciales distintas. Com-presi´on triaxial

(25)

CAP´ITULO 2 - Par´ametros y su significado f´ısico MIC 2006-II-5

¿Como se incluye ϕ

c

dentro del modelo?

En el estado cr´ıtico se tiene . . . o

T11 =

o

T22= 0

trD = 0

Lo anterior se introduce en la ecuación hipoplástica (Ecuación 1.6) y se obtiene:

a = √ 3 · 3 −³T1−T2 T1+T2 ´ estadoestable 2√2³T1−T2 T1+T2 ´ estadoestable

Teniendo en cuenta la relaci´on de la Ecuaci´on 2.1 se llega a:

a = √

3(3 − sin ϕc) 2√2 sin ϕc

Que es la Ecuaci´on 1.10 que se hab´ıa presentado en la P´agina 10.

2.2 Relaciones de vac´ıos de referencia :

e

i0

, e

c0

y e

d0

Para cada presión ps existe una relación de vac´ıos máxima posible, una cr´ıtica y una m´ınima posible. Estas relaciones de vac´ıos de referencia son determinadas con la Ecuación 2.2. ei ei0 = ec ec0 = ed ed0 = exp µ − µ 3ps hs ¶_n¶ (2.2) Donde ei0, ec0 y ed0 son las relaciones de vac´ıos de referencia para una presión

ps = 0. Estas se constituyen en los puntos de partida para construir las gr´aficas de la Figura 2.2 usando la Ecuaci´on 2.2.

La función de estas tres referencias es mantener es mantener la relación de vac´ıos actual dentro de los limites f´ısicamente posibles, ed < e < ei (Figura 2.2).En caso de que e estuviera fuera de los l´ımites, el esqueleto granular dejar´ıa de existir. Además, estas relaciones de vac´ıos de referencia permiten que el modelo conozca la

(26)

Figura 2.2: Relaciones de vac´ıos de referencia. Para cada ps, e debe mantenerse dentro del rango ei-ed o el esqueleto deja de existir

densidad relativa que tiene el suelo en cada ps y as´ı tener en cuenta la picnotrop´ıa. Experimentalmente se ha establecido [Herle & Gudehus 1999]. . .

ed0 ≈ emin (2.3)

ec0 ≈ emax (2.4)

ei0 ≈ 1.15ec0 (2.5) En donde emax y emin son determinados en laboratorio mediante ensayos sencillos. Su determinación se explicará adecuadamente en la Secc´ıon 4.1.2, Página 35.

2.3 Dureza granular h

_s

y exponente n

Estos parámetros están relacionados con el cambio volumétrico del suelo a través de la Ecuación 2.6. ep ep0 = exp µ − µ_3p s hs ¶_n¶ (2.6)

(27)

Figura 2.3: Influencia de hs y n en el comportamiento del suelo. hs in-fluencia la pendiente, mientras que n inin-fluencia la curvatura. Tomado de [Herle & Gudehus 1999]

Donde:

hs Es una presi´on de referencia del esqueleto granular. No debe ser confundido con la dureza de un grano individualmente.

n Es la sensibilidad que tiene el esqueleto granular de cambiar su rigidez ante el

cambio de presi´on ps.

La influencia que tienen los valores de hs y n en el comportamiento del suelo se ve claramente en el caso de compresión unidimensional u oedométrica. En la Figura 2.3 se observa que hs esta directamente relacionada con la pendiente de la gráfica. Entre mayor sea el valor de hs menor pendiente presenta la gráfica, en otras palabras, el suelo es menos compresible. En la misma Figura se observa que n está directamente relacionado con la curvatura de la gráfica. Entre mayor sea el valor de n mayor curvatura presenta la gráfica, en otras palabras, la rigidez cambia con mayor rapidez ante el cambio de ps.

Los valores hs y n se pueden determinar a partir de una compresión oedométrica como se presenta a continuación:

Sabiendo que. . .

K =

µ_−∆p

∆εv

¶

(28)

∆εv =

µ _∆e

1 + e

¶

; Cambio en la deformación volumétrica (2.8) Incluyendo las Ecuaciones 2.7 y 2.8 dentro de la Ecuación 2.6 se obtiene:

K = 1 3 hs n Ã ep+ 1 ep ! µ 3ps hs ¶1−n (2.9) De la mecánica de suelos tradicional se tiene la Ecuación 2.10 para compresión oedométrica . . . K = ps(1 + ep) Cc (2.10) Donde: Cc = ∆e ∆ ln³σt2 σt1

´; Coeficiente de compresi´on en un diagrama ln (σ) vs e

Finalmente la Ecuación 2.9 se iguala con la Ecuación 2.10 y se obtiene una ecuación para determinar hs(Ecuación2.11):

hs = 3p µ_ne p Cc ¶_1/n (2.11)

El valor de n se determina evaluando la Ecuaci´on 2.11 en dos puntos diferentes como se ilustra en la Figura 2.4. Se obtiene la Ecuaci´on 2.12

n = ln ³ e1Cc2 e2Cc1 ´ ln³ps2 ps1 ´ _(2.12)

2.4 Exponente α

Este par´ametro determina la ca´ıda desde el estado pico hasta el estado estable, en muestras densas. Entre mayor sea la ca´ıda desde el pico hasta el estado estable mayor ser´a el valor de α (Figura 2.5).

(29)

Figura 2.4: Determinaci´on de n evaluando dos puntos. Pto1:(ps1, e1),

Pto2:(ps2, e2). Tomado de [Herle & Gudehus 1999]

Se reduce la Ecuaci´on 1.6 para la direcci´on principal 1 y se obtiene:

o T = fs 1 tr³Tˆ2´ h F2_{D + a}2_{Ttr( ˆ}ˆ _{TD) + f} daF ( ˆT + ˆT∗) kDk i o T11 = fs (T11+ 2T22)2 (T2 11+ 2T222) " D11+ a2 T11D11+ 2T22D22 (T11+ 2T22)2 T11+ fd a 3 5T11− 2T22 T11+ 2T22 q D2 11+ 2D222 # (2.13) En el estado pico el esfuerzo en la direcci´on 1 (To11) se estabiliza. Esto equivale

a igualar al Ecuaci´on 2.13 a cero. Se despeja α y se obtiene la Ecuaci´on 2.14: o T11 = 0 α = ln · −3 a· trT3_(D1)+a2_trTDtrT(T₁₁₎ trT2_[6T₁₁_−trT]√_trD2 ¸ lnhe−ed ec−ed i _(2.14)

En un ensayo triaxial no drenado se tiene trD = 0. Esto genera un valor indeter-minado en la Ecuaci´on 2.14. El par´ametro debe ser deterindeter-minado a partir de un ensayo triaxial drenado donde trD = 0.

(30)

Figura 2.5: Significado de α. Entre mayor sea la ca´ıda desde el estado pico hasta el estado estable, mayor ser´a el valor de α

2.5 Exponente β

Este parámetro determina que tanto se afecta la rigidez respecto a la densidad actual del suelo. El parámetro β está incluido en el modelo dentro del factor de barotrop´ıa. Recordando que fs esta definido por:

fs = µ ei e ¶_β A (2.15) Donde... A = µ_{1 + e} i ei ¶µ_3p s hs ¶_1−η_h s η µ 3 + a2−√3 a µ_e i0− ed0 ec0− ed0 ¶_α¶₋₁ (en Ecuaci´on 1.13)

En la Ecuación 2.15, si e es mayor el cociente tiende a uno. Por el contrario, cuando e es menor el cociente se aleja de uno, haciéndose cada vez mayor. Lo anterior se interpreta como un aumento en la rigidez cuando la densidad aumenta. Reduciendo la ecuación 1.6 para el caso isotópico se obtiene:

o T = fs 1 tr³Tˆ2´ h F2_{D + a}2_{Ttr( ˆ}_ˆ _{TD) + f} daF ( ˆT + ˆT∗) kDk i

(31)

CAP´ITULO 2 - Par´ametros y su significado f´ısico MIC 2006-II-5 o T11 = fs h 3 + a2_{− f} da √ 3iD11 (2.16)

Despejando β de la Ecuaci´on 2.16 se obtiene:

β = ln · E3+a2_{−f d} 0a √ 3 3+a2_−f_d_a√₃ ei 1+ei n hs ³ 3p hs ´_n−1¸ ln³ei e ´ (2.17)

As´ı como n relaciona dos puntos en la misma gráfica, β también relaciona dos puntos. La diferencia es que no lo hace en la misma gráfica. Ubicándose en una determinada presión ps , se relaciona un punto correspondiente a un estado suelto con otro punto en estado denso.

Evaluando la Ecuaci´on 2.17 en dos puntos con distintas relaciones de vac´ıos pero con la misma presi´on ps, se obtiene:

β = ln ³ βoE2 E1 ´ ln³e1 e2 ´ (2.18) Donde. . . βo = 3 + a 2 _{− a}√_3f d1 3 + a2 _{− a}√_3fd2 (2.19)

En las Ecuaciones 2.18 y 2.19 el sub´ındice 1 hace referencia al punto en estado suelto y el sub´ındice 2 al estado denso.

Se puede llegar a una expresión equivalente para un ensayo oedométrico. Re-duciendo la Ecuación 1.6 para el caso oedométrico se obtiene:

o T11= fs 1 + 2K0 1 + 2K2 0 " 1 + 2K0+ a2 (1 + 2K0)2 + fd a 3(5 − 2K0) # D11 (2.20)

Evaluando la Ecuaci´on 2.20 en dos puntos con distintas relaciones de vac´ıos pero con la misma presi´on ps, se obtiene:

(32)

β = ln ³ βoE2 E1 ´ ln³e1 e2 ´ Donde. . . βo = 1 + 2K0 + a2 1+2K0 + a 35 − 2K0fd1 1 + 2K0 + a 2 1+2K0 + a 35 − 2K0fd2 (2.21) K0 ≈ 1 − sin (ϕc) (2.22)

K0 es el factor de presi´on de tierras, es una relaci´on σ2 a σ1. Se supone constante,

pero en realidad no lo es.

Experimentalmente se ha demostrado [Herle & Gudehus 1999] que para arenas el valor de β esta alrededor de 1.

2.6 Relaci´

on

entre

las

propiedades

granu-lom´

etricas y los p´

arametros del modelo

Para consolidar el significado f´ısico de los par´ametros, en la Tabla 2.1 se resumen las relaciones directas que hay entre ellos y las propiedades granulom´etricas del suelo.

Los rangos de validez que se han establecido para los par´ametros en la Tabla 2.1 son sustentados claramente en [Herle & Gudehus 1999].

(33)

CAP´ITULO 2 - Par´ametros y su significado f´ısico MIC 2006-II-5 . . . Su valor aumenta cuando. . . d50. . . Cu. . . angularidad . . . Rango de validez

ϕc aumenta no importa aumenta

ei0,ec0 y ed0 no importa disminuye aumenta

n aumenta disminuye disminuye 0 < n < 0.66

β Independiente de la granulometr´ıa 0 < β < 2.5 ϕp aumenta disminuye no es un par´ametro del modelo . . . Su valor aumenta cuando. . . ϕc. . . ϕp. . . angularidad . . . Rango de validez α disminuye aumenta 0.05 < β < 0.3

Tabla 2.1: Relaciones entre los par´ametros y las propiedades granulom´etricas del suelo

(34)

Cap´ıtulo 3

Encontrando un camido adecuado

para determinar los par´

ametros

Para encontrar un camino adecuado para determinar par´ametros se desarrolla el siguiente experimento virtual:

Primero, Se toma un material de la literatura cuyos par´ametros ya est´en vali-dados

Segundo, Se simulan una serie de ensayos elementales (triaxiales, oedométricos e isotrópicos) suficientes para determinar los parámetros a partir de sus gráficas.

Tercero, Se supone que los ensayos en realidad son mediciones de laborat´orio y que los par´ametros son desconocidos.

Cuarto, Se buscara un camino adecuado para determinar los par´ametros y al final se comparar´an los obtenidos con los originales.

Finalmente, Solo se trabajará con la información que en la practica es posible obtener del laboratorio. Se desprecia toda información que no puede ser medida directamente en laboratorio.

El material seleccionado es la arena Karlsruhe de Alemania. Los par´ametros de este material son resumidos en la Tabla 3.1.

El experimento no se aplica para los par´ametros ei0, ec0 y ed0. Se parte del hecho que son conocidos al momento de hacer los ensayos elementales.

(35)

CAP´ITULO 3 - Encontrando un camino adecuado MIC 2006-II-5

ϕc [o] ei0 ec0 ed0 hs [mPa] n α β

30 1 0.84 0.53 5800 0.28 0.13 1

Tabla 3.1: Par´ametros de la arena de Karlsruhe, Alemania

Figura 3.1: Determinaci´on de ϕc de tres triaxiales drenados. Experimento con la arena Karlsruhe

3.1 Encontrando un camino para: ϕ

_c

A partir de tres ensayos triaxiales drenados, se traza la envolvente Mc del estado estable en el diagrama p = σ1+2σ2 3 vs q = σ1− σ2 (Figura3.1). ϕc es determinado con la Ecuaci´on 3.1. ϕc = arcsin µ _3M c 6 + Mc ¶ (3.1) Mc = qc p0 c

El valor ϕc determinado con la Ecuaci´on 3.1 fue 30o, para los ensayos presentados en la Figura 3.1.

(36)

Figura 3.2: Equipo para ensayo oedom´etrico tradicional, carga por escalones

3.2 Encontrando un camino para: h

_s

y n

Se tiene un ensayo oedométrico tradicional. Este ensayo no es cargado continua-mente. Se aplican escalones de carga con pesas como se muestra en la Figura 3.2. En la práctica solo es posible obtener información discontinua de los escalones de carga siguientes:

σ[kPa] 25 50 100 200 400 800 1600

Por otro lado, se supone que se tiene un ensayo oedométrico no tradicional donde es posible cargar continuamente al tiempo que se registra información. En este caso es posible construir una gráfica continua con rigidez tangente punto a punto. Lo que no es posible con un oedométrico tradicional donde la rigidez no es tangente punto a punto sino lineal por tramos (ej:tramo 25 kPa - 50 kPa).

En la Figura 3.3 se comparan los dos tipos de ensayo. De cada gráfica se toman los dos puntos de máxima curvatura para determinar n y un punto intermedio para hs. Claramente se observa que los puntos de máxima curvatura no son los mismos para los dos tipos de ensayo. En la Figura 3.3 se observa que para el ensayo con carga continua, el primer punto de curvatura esta antes de los 25 kPa. No es recomendable obtener los parámetros de un oedométrico con toma de datos por escalones. Las razones se reflejan en los resultados obtenidos.

(37)

Figura 3.3: Determinación de hs y n de un oedométrico con carga por escalones y de un oedométrico con carga continua. Experimento con la arena Karlsruhe Del ensayo con carga por escalones se determina un hsigual a 3000 mPa (Ecuación 2.11, Página 17) y un n igual 0.33 (Ecuación 2.12, Página 17). Esto indica un material más compresible y con rigidez más sensible al aumento de la presión ps. Por otro lado, del ensayo con carga constante se determina un hsigual a 6500 mPa y un n igual a 0.27. Valores que son más parecidos a los originales presentados en la Tabla 3.1.

Recomendaciones para seleccionar los puntos:

1. Como n esta asociado con la curvatura de la gr´afica, es correcto seleccionar los dos puntos de m´axima curvatura:

• Se recomienda tomar el primer punto justo cuando la gr´afica cambia

su tendencia ligeramente lineal y se vuelve mas curvada.

• Se recomienda tomar el segundo punto justo cuando la gr´afica cambia

su tendencia curvada y se vuelve m´as lineal.

2. Como hs esta asociado con la pendiente se recomienda tomar un punto donde la pendiente tangente sea representativa de la inclinaci´on de toda

(38)

la gr´afica. Es correcto seleccionar un punto intermedio cuya pendiente sea aproximadamente paralela a una linea que resulta de unir los puntos ps1 y

ps2.

Posibles causas de error:

1. Si los puntos para n se toman muy cercanos el uno del otro, la relaci´on entre sus pendientes es mas peque˜na y se puede determinar un valor menor del correcto.

2. Si por el contrario, los puntos para n se toman muy lejanos el uno del otro, la relaci´on entre sus pendientes es m´as grande y se puede determinar un valor mayor del correcto.

3. Si el ensayo se realiza con una muestra muy densa, la pendiente representa-tiva de la gráfica es más pequeña. Esto se interpreta como un material poco compresible lo que genera un valor de hs mucho mayor del correcto.

3.3 Encontrando un camino para: α

En el plano ε vs q de un triaxial drenado, se ubica el punto cuando q alcanza su valor máximo. La ubicación de este punto es bastante fácil y no necesita recomendaciones especiales como era el caso de la Sección 3.2.

Se toman dos ensayos triaxiales drenados (Figura 3.4). Uno con presión de confi-namiento de 300 kPa y el otro con 75 kPa. Para cada uno se determina el valor de α haciendo uso de la Ecuación 2.14, Página 18.

Para 300 kPa se determin´o un α de 0.14 y para 75 kPa un α de 0.13.

3.4 Encontrando un camino para: β

Se tienen dos ensayos isotr´opicos con distintas relaciones de vac´ıos inicial e0

co-rrespondientes a una muestra suelta y a una densa. Para una mejor representaci´on de las condiciones reales en laboratorio, se supone que una muestra no se puede construir m´as suelta que la correspondiente a una densidad relativa Dr de 0.42

(39)

Figura 3.4: Determinaci´on de α de un triaxial drenado confinado a 300 kPa y de uno confinado 75 kPa. Experimento con la arena Karlsruhe

(siendo Dr = 0 lo m´as suelto). Por otro lado, se supone que una muestra no se puede construir m´as densa que la correspondiente a una Dr de 0.84 (siendo

Dr= 1 lo m´as denso).

En la práctica el ensayo isotrópico se puede realizar en una cámara triaxial. Los incrementos de carga corresponden a incrementos en la presión de cámara. Solo se usa la información que es posible obtener en laboratorio. Se toma información de cada uno de los siguientes escalones de carga:

σ[kPa] 25 50 100 150 200 250 300

Solo se toma información hasta 300 kPa para tener en cuenta las limitaciones de los equipos con los cuales se realizarán los ensayos más adelante.

Con los dos ensayos isot´opicos presentados en la Figura 3.5 y haciendo uso de las Ecuaciones 2.18 y 2.19, P´agina 20, se determinan varios β para distintas presiones

ps. A continuaci´on se resumen las ps que se evaluaron con sus respectivos β:

ps [kPa] 50 75 150

β 1.04 1.33 0.79

En psigual a 50 kPa se determinó el β que más se aproxima al valor original de la arena Karlsruhe. En la Figura 3.5 se observa que la l´ınea proyectada verticalmente desde esta presión coincide aproximadamente con los puntos de máxima curvatura de ambos ensayos.

(40)

Figura 3.5: Determinaci´on de β de dos ensayos isotr´opicos. Experimento con la arena Karlsruhe

(41)

Tras varios ejercicios se logró establecer que el plano ps vs e es el adecuado para ubicar los puntos de máxima curvatura. Sin embargo, la información para efectuar los cálculos de β no debe tomarse de este plano. La razón, los datos obtenidos son muy sensibles al error, pues una pequeña variación en la relación de vac´ıos representa una gran variación en el módulo E. Se recomienda solo usar el plano

psvs e para ubicar los puntos de m´axima curvatura. Luego, se proyecta la presi´on

ps correspondiente a un plano σ vs ε y de este ´ultimo se obtienen los datos para determinar β.

Ahora, se repite el proceso para determinar β pero ahora para dos ensayos oedométricos (suelto y denso). Haciendo uso de las Ecuaciones 2.18 y 2.21, Página 21 Se determinan varios β para distintas presiones ps. A continuación se resumen las ps que se evaluaron con sus respectivos β:

ps [kPa] 50 100 150 200

β 1.23 2.06 2.85 2.30

En donde 150 kPa es la presión ps desde la cual se proyecta la l´ınea vertical que coincide con los puntos de máxima curvatura de ambos ensayos. La comparación entre los dos isotrópicos y los dos oedométricos con los que se determinaron β se presenta en la Figura 3.6.

Con toda la evidencia anterior se puede concluir que el ensayo oedom´etrico no es recomendable para la determinaci´on de β.

La principal causa de que el valor β oedom´etrico sea mucho m´as grande que el

β istr´opico es que la relaci´on E2

E1 (Ecuaci´on 2.18, P´agina 20) es mucho mayor

para los ensayos oedométricos en comparación con la misma relación para los isotrópicos. Una posible razón de esto es que K0, definido por la Ecuación 2.22,

P´agina 21, no es constante. Este disminuye con el proceso de carga.

3.5 Comparaci´

on con los par´

ametros originales

A continuación se presentan los parámetros determinados del experimento virtual y se comparan contra los originales. Hay pequeñas variaciones entre unos y otros, pero no son significativas. Esto se puede observar en la Figura 3.7, donde se comparan las gráficas generadas con los nuevos parámetros en comparación con los originales.

(42)

Figura 3.6: Determinación de β de dos ensayos isotrópicos vs Determinación de dos oedométricos. Experimento con la arena Karlsruhe

(43)

Par´ametros originales de arena Karlsruhe. Tabla 3.1

ϕc [o] ei0 ec0 ed0 hs [mPa] n α β

30 1 0.84 0.53 5800 0.28 0.13 1

Par´ametros determinados en el experimento virtual.

ϕc [o] ei0 ec0 ed0 hs [mPa] n α β

(44)

Figura 3.7: Comparación de gráficas originales contra las simulaciones con los nuevos parámetros

(45)

Cap´ıtulo 4

Determinaci´

on de par´

ametros

para materiales colombianos

Haciendo uso de los criterios establecidos en el Cap´ıtulo 3 se determinarán los ocho parámetros del modelo hipoplástico de von Wolffersdorff para dos materi-ales colombianos. Primero se determinan los de una arena del Guamo Colom-bia y después los de una mezcla grava-arena para base granular de pavimentos [INVIAS 1996].

4.1 Par´

ametros arena del Guamo

Arena de r´ıo proveniente del municipio del Guamo, Tolima Colombia. En la Figura 4.1 se puede apreciar su curva granulom´etrica. Las propiedades granulom´etricas del material son:

Cu 2.04 : Lo que indica un material con poca diferencia entre el tama˜no de sus part´ıculas

d50 0.51 mm

4.1.1 Determinaci´

on : ϕ

c

Se determinó el ángulo de reposo por el método de Santamarina [Dodds 2003]. Consiste en llenar una probeta con agua y luego agregarle el material. Luego, la

(46)

Figura 4.1: Curva granulom´etrica arena del Guamo

probeta se inclina 60o _{y se endereza. Se toma la medida del ángulo. Se repite el} proceso inclinando la probeta al lado contrario. As´ı sucesivamente hasta que se estabilice la medida del ángulo como se muestra en la Figura 4.2. Se obtuvo una ángulo de reposo de 30o

Por otro lado, se determinó el ángulo de fricción cr´ıtico a partir de tres ensayos triaxiales. Se construye el diagrama p vs q, se traza la envolvente Mc y se mide su pendiente. Luego se calcula en ϕc con la Ecuación 2.1, Página 12. Se obtuvo un ángulo de reposo de 39o_.

En la Figura 4.3 se muestra la envolvente M obtenida de los ensayos realizados. También se muestra la envolvente Mc esperada para el ángulo de reposo de 30o. La diferencia presentada entre las dos envolventes evidencia que los ensayos no están alcanzando el estado estable. La razón principal es que los equipos utilizados son incapaces de generar deformación homogénea, lo cual es importante ya que el estado estable se alcanza en deformaciones del orden del 20%.

Se toma el ´angulo de reposo (30o_{) como el valor de ϕc} _{para la arena del Guamo.}

4.1.2 Determinaci´

on : e

i0

, e

c0

y e

d0

Se determinarán las relaciones emax y emin y luego se aplicarán las equivalencias establecidas en las Ecuaciones 2.3 - 2.5, Página 15.

(47)

CAP´ITULO 4 - Par´ametros de materiales colombianos MIC 2006-II-5

Figura 4.2: Angulo de reposo por el m´etodo Santamarina

(48)

Figura 4.4: Determinaci´on emin densificando en un molde proctor

En términos generales, la determinación de la relación de vac´ıos e se hace midiendo el peso y el volumen de una determinada cantidad de material seco. Conociendo la gravedad espec´ıfica de los sólidos Gs la relación de vac´ıos puede ser calculada con la siguiente ecuación:

e = Gsγw

V Ws

− 1 (4.1)

Donde. . .

Ws : Peso de s´olidos, material seco

V : Volumen

γw : Densidad del agua [1gr/cm3]

e

_{min se determin´o con un molde para Proctor, de volumen conocido. El volumen}

es llenado con material seco. Se coloca un peso encima del material y se golpea continuamente a un lado y al otro, con lo que se logra densificar la

(49)

Figura 4.5: Determinaci´on emax m´etodo Santamarina

muestra por cortante. Cuando se observa que el peso superior no baja más, se tiene la densidad máxima, o relación de vac´ıos m´ınima. Se obtiene el peso para el volumen conocido y se calcula emin con la Ecuación 4.1 (Figura 4.4).

e

max requiere m´as cuidado. Es muy dif´ıcil determinarlo en seco, por eso se

re-comienda el método propuesto por Santamarina [Dodds 2003]. El método consiste en agregar el material, previamente pesado, a una probeta llena de agua. Luego, la probeta se sacude y se deja que el material se asiente lenta-mente. Este método garantiza un acomodamiento lento de las part´ıculas, lo que resulta en un estado muy suelto. Se repitió varias veces el ensayo y se obtuvieron valores más o menos constantes. Se mide el volumen para el peso conocido y se calcula emax con la Ecuación 4.1 (Figura 4.5).

A continuaci´on se resumen los resultados obtenidos:

ed0≈ emin =0.52

ec0≈ emax =1.00

(50)

4.1.3 Determinaci´

on : h

s

y n

Se realiza un montaje para poder tener un ensayo oedométrico con carga continua (Figura 4.6). Se requiere ser muy estricto con la relación de vac´ıos inicial. Por esto, el cabezal de carga esta unido con el pistón de carga. As´ı se evita colocar el cabezal sobre la muestra antes de comenzar el ensayo para no afectarla antes de lo debido, algo que s´ı sucede en un oedométrico tradicional. As´ı se garantiza comenzar desde un estado de esfuerzos igual a cero y que la relación de vac´ıos inicial e0 si es la medida antes de comenzar el ensayo (Figura 4.7).

La gr´afica resultante del ensayo se presenta en la Figura 4.8. All´ı se muestran los puntos que se usaron para determinar hs y n haciendo uso de las Ecuaciones 2.11 y 2.12. Los valores obtenidos fueron:

hs = 4000mPa

y n = 0.27

Existen unos diagramas que relacionan las propiedades granulométricas del ma-terial con los valores de hs y n [Patiño 2006]. Estos diagramas, que se presentan en la Figura 4.9, fueron construidos a partir de la información de una serie de materiales a los que se les han determinado y validado los parámetros.

El valor de n puede ser determinado hallando el valor de la expresi´on Cu/d1/3₅₀ y luego entrando al diagrama correspondiente en la Figura 4.9. El valor de hs se determina hallando el valor de la expresi´on d50/Cu1/2y luego entrando al diagrama correspondiente.

Para la arena del Guamo de tienen los siguientes valores:

Cu = 2.04 Cu/d1/350 = 2.55

d50 = 0.51mm d50/Cu1/2 = 0.36

Se toman los valores de hsy n que se hab´ıan hallado en laboratorio y se ubican en los diagramas de la Figura 4.9. Se comprueba que los parámetros determinados en laboratorio coinciden con los que se podr´ıan determinar de los diagramas. A partir de aqu´ı se puede afirmar que los diagramas quedan validados para determinación directa de los parámetros.

(51)

(52)

Figura 4.7: El cabezal está unido al pistón de carga mediante una rótula

4.1.4 Determinaci´

on : α

Se usan los mismos tres triaxiales presentados en la P´agina 36. Los triaxi-ales corresponden a tres muestras densas con la misma relaci´on de vac´ıos inicial (e0 = 0.56).

Usando la Ecuación 2.14, presentada en la Página 18, se determina α para cada uno de los triaxiales presentados en la Figura 4.10. Los datos usados para los cálculos son tomados de los correspondientes estado pico.

Los valores determinados fueron: Punto triaxial [kPa] α 300 0.17 150 0.10 75 0.18

(53)

(54)

Figura 4.9: Diagramas para determinación directa de hs y n a partir de las propiedades granulométricas Cu y d50. [Patiño 2006]

Figura 4.10: Tres triaxiales drenados con igual relaci´on de vac´ıos inicial. Deter-minaci´on de α

(55)

ϕc [o] ei0 ec0 ed0 hs [mPa] n α β

30 1.15 1.00 0.52 4000 0.27 0.17 1

Tabla 4.1: Par´ametros de la Arena del Guamo

4.1.5 Determinaci´

on : β

Se realizaron dos ensayos isotrópicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Para los ensayos se usa la cámara triaxial. La carga se hizo por escalones, donde cada escalón representa un incremento en la presión de cámara.

Los escalones de carga son los siguientes: Para la muestra suelta

σ[kPa] 25 50 100 150 200 250 300 350 400

Para la muestra densa

σ[kPa] 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

El punto donde se evalúa β es hallado siguiendo el procedimiento establecido en la Sección 27. En la Figura 4.11 se muestra los ensayos isotrópicos realizados y el punto en el cual se determino β.

Tomando la información de la gráfica σ vs ε y calculando con la Ecuación 2.18, Página 20, se determina un β igual a 1.07. Se toma un valor de 1 para el β de la arena del Guamo.

4.1.6 Validaci´

on de los par´

ametros encontrados

En la Tabla 4.1 se resumen los par´ametros de la arena del Guamo hallados en las Secciones 4.1.1 - 4.1.5.

Se simulan una serie de ensayos triaxiales y oedom´etricos y se comparan contra las mediciones de laboratorio (Figura 4.12 y Figura ??fig:valiOedoGuam).

(56)

Figura 4.11: Dos ensayos isotr´opicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Determinaci´on de β

(57)

Figura 4.12: Ensayos triaxiales drenados. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo

(58)

Figura 4.13: Ensayo oedom´etrico. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo

(59)

Figura 4.15: Determinaci´on ´angulo resposo. Mezcla grava-arena

4.2 Par´

ametros mezcla grava - arena para base

granular de pavimentos

Material triturado proveniente de la cantera Conagre, Bogotá D.C. Colombia. En la Figura 4.14 se puede apreciar su curva granulométrica. Las propiedades granulométricas del material son:

Cu 66.67 : Lo que indica un material con gran variaci´on entre el tama˜no de sus part´ıculas.

d50 3.5 mm

4.2.1 Determinaci´

on : ϕ

c

Se toma el valor de ϕc directamente del ángulo de reposo. Utilizando un molde para el ensayo de asentamiento en el concreto se construye un mont´ıculo de ma-terial (Figura 4.15). Durante la construcción del mont´ıculo se debe procurar desmoldar a una velocidad constante. Ni muy lento ni muy rápido. Se determina un valor para ϕ igual a 32o _{para la mezcla grava-arena.}

(60)

4.2.2 Determinaci´

on : e

i0

, e

c0

y e

d0

Se determinarán las relaciones emax y emin y luego se aplicarán las equivalencias establecidas en las Ecuaciones 2.3 - 2.5, Página 15.

e

min Se determina siguiendo la misma metodolog´ıa que en la arena del Guamo

(Secci´on 4.1.2). Se obtiene un valor de 0.24. Adicionalmente se hace un ensayo Proctor con material pasa tamiz 3/4” y se obtiene un valor de 0.26.

e

max Al igual que con la arena se usa el m´etodo Santamarina. Se tamiza el

material por el tamiz 3/4 ”. No se puede utilizar tamaños superiores a 3/4” por que la probeta es solo de 10 cm, de usar estos tamaños se necesitar´ıa una probeta más grande para que la muestra sea representativa (diámetro muestra 6 veces el tamaño de la part´ıcula mayor). Se obtiene un valor de 0.85.

Correcci´on

e

_{max Como el valor de 0.85 es para un material sin part´ıculas} ma-yores 3/4” se hace una corrección para determinar el emaxcuando el material tiene todos los tamaños. Para esto relaciona el emin cuando se tienen to-dos los tamaños con el emin del ensayo Proctor (material pasa 3/4”). Se determina un valor emax corregido de 0.79.

En la Figura 4.16 se muestra la determinaci´on del emin y en la Figura 4.17 la determinaci´on de emax.

A continuaci´on se resumen los resultados obtenidos:

ed0≈ emin =0.24

ec0≈ emax =0.79

ei0≈1.15ec0=0.91

4.2.3 Determinaci´

on : h

s

y n

Usando los diagramas validados en la Sección 4.1.3 (Figura 4.9, Página 43). Se tienen las siguientes propiedades granulométricas:

Cu = 66.67 Cu/d1/350 = 43.91

(61)

(62)

(63)

De los diagramas se puede determinar un hs de 7000 mPa. El valor Cu/d1/350

de 43.91 no puede usarse en el diagrama. Este tiene un rango de validez 1 <³Cu/d1/350

´

< 30. En el punto 30 el valor de n es cero.

Conociendo la relación existe entre la granulometr´ıa y los parámetros, se sabe que el valor de n disminuye cuando el Cu aumenta (Tabla 2.1, Página 22). Esto permite suponer que el valor de n es muy pequeño, menor que 0.1.

Provisionalmente se fija el valor de n en 0.1 y se continua con la determinaci´on de par´ametros.

4.2.4 Determinaci´

on : α

Usando la Ecuaci´on 2.14 (P´agina 18) y evaluando en el estado pico de un triaxial drenado con muestra densa Figura 4.18. . .

Para los valores. . .

hs [mPa] = 7000

n = 0.1

Se obtiene un valor de α igual a 4.43.

Este valor cae por fuera del rango 0.05 < α < 0.3 establecido en la Tabla 2.1. Ya se ha establecido que n máximo puede ser 0.1 (Sección 4.2.3). Cuando n toma valores cada vez menores que 0.1 el valor de α incrementa todabia más (ej:

n = 0.08, α = 5.28).

El valor de α se establece provisionalmente como el m´aximo valor del rango de validez. α igual a 0.3.

4.2.5 Determinaci´

on : β

β puede ser determinado matem´aticamente para las gravas [Herle 2000].

Partiendo de la ecuación para β (Ecuación 2.18). La relación entre las rigideces

Edensa y Esuelta cuando la presi´on de referencia ps ≥ 100kPa es aproximadamente (Edensa/Esuelta) ≈ 10. Donde Edensa es la rigidez cuando e2 = e_d₍₁₀₀_{kPa) y E}suelta es la rigidez cuando e1 = e_c₍₁₀₀_{kPa) (Figura 4.19).}

(64)

Figura 4.18: Determinaci´on α, triaxial drenado con muestra densa. Mezcla grava-arena

Figura 4.19: Esquema para determinaci´on de β matem´aticamente. Mezcla grava-arena

(65)

ϕc [o] ei0 ec0 ed0 hs [mPa] n α β

32 0.91 0.79 0.24 7000 0.05 0.3 1.37

Tabla 4.2: Par´ametros de la mezcla grava-arena para base granular de pavimentos Los valores de e_d₍₁₀₀_{kPa) y ec}₍₁₀₀_{kPa) se calculan evaluando e}d0 y ec0 en la Ecuaci´on 2.2.

haciendo ec = e1 ; fd1 = 1

haciendo ed = e2 ; fd2 = 0

Finalmente se obtiene un valor de β igual a 1.37.

Al hacer e1 = ec y e1 = ed, α deja de influir en el valor de β.

Para distintos valores de hs y n el valor de (ec/ed) se mantiene aproximadamente constante. Se puede afirmar que (ec/ed) es independiente de hsy n y de la presi´on de referencia ps.

El valor obtenido en este procedimiento solo depender´a de los par´ametros ϕc, ec0,

ec0, ed0. Siendo el par´ametro ϕc el que m´as afecta el valor final de β.

4.2.6 Ajuste final de par´

ametros

Aunque no es lo m´as apropiado en este punto se hace necesario. Se opta por fijar algunos par´ametros y mover los restantes con cierto criterio dentro del rango de validez de la Tabla 2.1.

1. Se tiene certeza sobre ϕc, ec0, ec0, ed0, hs y β as´ı que se dejan fijos. 2. Provisionalmente se fija el valor de α en 0.3.

3. Se varia n en el rango 0 < n < 0.1.

4. Se logra una simulaci´on aceptable con un n igual a 0.05.

(66)

4.2.7 Validaci´

on de los par´

ametros encontrados

Los parámetros han sido determinados con un solo ensayo triaxial drenado, mues-tra densa. La medición de εv fue echa a ojo. Por las dimensiones de la cámara de consolidación donde se mide εv los datos tomados son muy sensibles a los errores. Un cambio de 0.1 mm en una cámara de consolidación de 15394 mm2 _representa

1539.4 mm3_{de cambio volum´etrico, lo que es igual a un cambio en ε}

v de 0.03%. En conclusi´on no son confiables la mediciones presentadas en el plano ε vs εv. Es diferente con la mediciones del plano ε vs q, pues fueron tomados con un equipo MTS (multi test system) de alta precisi´on.

En la Figura 4.20, se comprar´an las mediciones de laboratorio con las simulaciones echas con los par´ametros de la Tabla 4.2.

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Figura 4.20: Triaxial drenado, mediciones contra simulaciones. Mezcla grava-arena

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Cap´ıtulo 5

Conclusiones

- El modelo presentado permite simular el comportamiento no lineal de suelos granulares. Esto se logra al hacer la relaci´on esfuerzo-deformaci´on, o rigidez, dependiente del estado de esfuerzos y la densidad.

- Los parámetros de la ecuación del modelo tienen un significado f´ısico. Esto hace que sean inherentes a la naturaleza del material y no a la forma de una gráfica.

- El modelo ha sido validado para arenas colombianas. As´ı mismo, se ha establecido una metodolog´ıa apropiada para determinar los par´ametros del modelo.

- La experiencia con la Arena Guamo permiti´o validar los diagramas granu-lometr´ıa vs hs vs n presentados en [Pati˜no 2006], para arenas.

- La suposición β ≈ 1 en arenas, ha sido validada para arenas colombianas. - Con la validación de los diagramas para hs y n [Patiño 2006] y de la

suposi-ción β ≈ 1, solo se necesitar´ıa un triaxial drenado en toda determinasuposi-ción de parámetros. Sin embargo, es recomendable hacer más ensayos para asegurar el buen desempeño de los parámetros.

- A pesar de la fácil determinación de los parámetros. Se necesita un am-plio entendimiento de que esta pasando durante los ensayos. Con el fin de encontrar puntos cr´ıticos que afecta la calidad de los resultados.

- Es muy sobresaliente el que los parámetros no solo tengan un significado f´ısico sino que también relaciones claras con las propiedades granulométricas.

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CAP´ITULO 5 - Conclusiones MIC 2006-II-5

sin embargo, esto solo puede asegurarse cuando el tama˜no de los granos del material no tiene diferencias significativas (cu < 10).

- En la práctica, es muy dif´ıcil encontrar materiales con tamaño de part´ıculas constante. Los materiales se encuentran como una mezcla de part´ıculas de distintos tamaños. Por ejemplo las bases de pavimentos con Cu > 50. Para este tipo de materiales, el modelo hipoplástico de von Wolffersdorff ha mostrado problemas. Algunos de sus parámetros empiezan a perder su significado f´ısico, as´ı como su relación con las propiedades granulométricas. - El principal aporte de este trabajo es brindar una gu´ıa para determinar los parámetros de una forma clara y relativamente sencilla. Además de validar la fuerte relación que existe, en arenas, entre las propiedades granulométricas y los parámetros del modelo.

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