TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES.

TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES.

Antonio J. Barbero C.A. Albacete

Febrero 2017

PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (FILAMENTO).

PROBLEMA 2. CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO) PROBLEMA 2b. CAMPO H EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA

BIBLIOGRAFÍA

APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EJE ESPIRA CIRCULAR

2

Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa _r. Determine:

a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.

b) Las corrientes de imanación en el tubo.

 r ^u



H  I 

1 1

 2

r₁

a b

I

a) Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento

Región 1. r₁ < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r₁

I l d

H 

 ^

¹

^

u

Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u

I r H

₁

 2 

₁







  u

r H I

B   

1 0 1

0

1

  2

1

 0 M 

Región 2. a  r₂  b r₂

1. r₁ < a 2. a  r₂  b 3. r₃ > b

Dentro del material magnético

I l d

H 

 ^

²

^{ H}

²

^{ 2  r}

²

^{ I}







 

 u

r H I

B 

_r



^r



2 0 2

0

2

  2

 r ^u



H  I 

2 2

 2

2 0

2

2

B M

H  

  



 





 u

r

M 

^r

I 

2

2

2

 1



PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN.

C4

3 PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa).

a b

r₁ r₂

r₃ I

Región 3. r₃ > b

u

I l d

H 

 ^

³

^

I r

H

₃

 2 

₃



_

 r ^u

H  I 

3 3

 2





  u

r H I

B   

3 0 3

0

3

  2 M 

₃

 0

b) Corrientes de imanación

J 

_m

M 







n

m

M u

K   





(A/m²) (A/m)

 















 



 











 















 



  





 r

z z r

z r

M r

rM u r

r M z

u M z

M M u r

M  1   1

 

2 2

2 2

) 1

( r

r I f

M ^r







 

 En la región 2 la forma de M es

(resultado apartado anterior) M_2r 0 M_2z 0

Los términos tachados con aspa son nulos porque M₂ no tiene componentes r ni z.

El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M_2respecto a z es cero.

El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM_2 es constante y su derivada respecto a r es cero.

Véase que

J 

_m

   M   0

No hay corrientes volumétricas de imanación a) Región 3 (exterior).

C4

4 PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa 2).

Densidades de corrientes superficiales de imanación

K 

_m

M  u 

_n





a b

I En r₂= a u_n u_r





 



_r



r a n

mr u u

a u I

a r M

K    



 







  



 2 ) 1

( ₂

2 2

 

z

r u

a I  2

1



 



ur

 ^

u uz

Sobre la cara interna r₂= a

ur u^ uz



Sobre la cara externa r₂= b En r₂= b

r

n u

u 



 

r r

b n

mr u u

b u I

b r M

K    

 







  



 2 ) 1

( ₂

2 2



^r

 

u_z



b I 

 

 2

1





Corrientes de imanación

Superficie interna

    I

a a I

a

I

_m ^r _r

1

2 2 1

)

(   



 



 

Superficie externa

 

  ^I

a b I

a

I

_m ^r _r

1

2 2 1

)

(   







  



 



 

C3

5

CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN

Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente. M  M u 

_z



0

PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B

6

Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente. M  M u 

_z



0

' z u

z

M M  



0

L

R

(0,0,z)

' dz

X

Y Z

ur

uz u_

ur

uz

u

r

s

M u

J    

r z

u u M  





₀

M u 

_



0

El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial J

_s

cuyo módulo es M

₀

(A/m)

J 

s

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial J

_s

. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.

2

)2

'

(zz R

El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M

₀

dz’ es

2.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO

 



 ^ _{ }



L

z

R z

z

u dz M B R

d B

0

2 / 2 3 2

0 2 0

) ' (

2

' 



 

u

z

R L

z

L z R

z z

M 





















 





2 2 2 2

0 0

) 2 (



  ^{ }

^















 









 ^{2 2 2 2 2}

0

2 / 2 3 2

1 )

' (

'

R L z

L z R

z z R R

z z

dz

L



^{2 2}



^3/2

0 2 0

) ' (

2

' R z

z

u dz M B R

d

^z







  

 ^{z R}  ^u

^z

I

B  R 

2 / 2 3 2

2 0

2 

 

Véase, por ejemplo http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/

C5

Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L  cuando R << L (imán largo y estrecho)7





















 





2 2 2 2

0 0

)

2 ( z L R

L z R

z z B  M































 







 



 







 







 





 2 2 2 2

0 0

1 1 2

L R L

z L

z

L R L

z L z B  M

El origen z/L = 0 es el polo sur. El imán es la zona gris 0 < z/L < 1.

En el exterior del imán pueden realizarse medidas del campo B y verificar que las mismas se ajustan a la ecuación anterior.

05 . 0 L R

01 . 0 L  R

Imán (R, L) L R

(discontinua)

(continua)

B

2

0 0M



0 0M



PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B

C2

8

1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2

0 20 40 60 80 100

B (mT)

z/L

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

C1

9

Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es:

Representar gráficamente.

u

z

M M  



0

u

z

R L

z

L z R

z z

B  M 





















 





2 2 2 2

0 0

) 2 (



uz

L R L

z L

z

L R L

z L z

M 

1 1

2 ^{2 2 2 2}

0 0































 







 



 







 







 





 

M B H 





0

B M

H  

  

0





























































 







 



 







 







 





 1

1 1 2

1

2 2

2 0 2

L R L

z L

z

L R L

z L z u

M _z

Dentro del imán 0  z/L 1

Fuera del imán

0

H B

 



1 1

2 ^{2 2 2 2}

0































 







 



 







 







 







L R L

z L z

L R L

z L

z u

M _z

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50

H

B

L z / 25 . 0 /L R

Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

unidades M0

PROBLEMA 2b. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO H





























































 







 



 







 







 





 2

1 1

2 ^{2 2 2 2}

0

L R L

z L

z

L R L

z L

z u

H M ^z

 

C2

10

PROBLEMA 2. Gráficas B y H

z

L R L

z L

z

L R L

z L

z B M

1 1

2 ^{2 2 2 2}

0 0































 







 



 







 







 





 





























































 







 



 







 







 





 2

1 1

2 ^{2 2 2 2}

0

L R L

z L

z

L R L

z L

z H M

05 .

0 L R

05 .

0 L R

B

H

1 1

2 ^{2 2 2 2}

0































 







 



 







 







 







L R L

z L

z

L R L z

L z H M

0

L

1 z 2

Dentro

Fuera

H M ,

₀

B

A·m^-1 T

L

R Gráficas de B y H

en función de z/L

2

0 0M



0 0M



0 1 ₂

2 M0

2 M0



M0

Unidades S.I.

C1

11

Dos cilindros indefinidos coaxiales, cuyos radios están indicados en la figura, son de un material conductor, siendo sus respectivas permeabilidades 

₁

y 

₂

. Por los cilindros circulan corrientes del mismo valor (I) pero sentidos contrarios. Se suponen uniformes las densidades de corriente.

Calcular el campo magnético en función de la distancia al eje.

Si las intensidades de corriente I son del mismo valor, y las densidades de corriente son uniformes, el valor absoluto del flujo del vector J₁ a través de la superficie del conductor interno es igual a:

1 2

a J I

 

y el valor absoluto del flujo del vector J₂ a través de la superficie del conductor externo es igual a:



^{2 2}



2 b a

J I

 



PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES

Y Z

X

b

a

2

1

uZ

J J 

1 1 



^u_Z



J

J 



 ₂

2

C3

Una vez calculadas las densidades de corriente J₁, J₂ estamos en condiciones de calcular el campo magnético.

12

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)

Y Z

X

b

a

Y

X

r

1

H

1

a

Vista desde arriba, eje Z saliente Conductor interno

uZ

J J 

1 1

Densidad de corriente



u

El campo sólo tiene componente

H

1

H  



u

ya que

^J₁

sólo tiene componente Z.

C1

uZ

J J 

1 1

Ley de Ampère:

_enc

C

I l d

H 



1

· 



enc C

C

I r H

dl H u dl u

H    



¹

^{· · ·}

^{1 1}

^{· 2}

¹

1 1











C

₁

es la circunferencia centrada en el origen y de radio r

₁

e I

_enc

es la corriente encerrada por C

₁

.

u



r J

H  

1 1

1

2

 1

2 1 1

r J 

 r  r

₁

 a

Válido en

Campo B 

1 1

1

H

B  

  B   J r u 

_

1 1 1

1

2

 1

1 2

a J I



a

r r 

₁



 a ^u



I r 

2 1

2

 1





 a ^u

I r 

2 1

2

1

 1 r

1

C1

H

1

u



C4

13

b

r a 

₂



Y Z

X

b

a

Y

X

r

2

H

2

b

Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entrante Conductor externo



u_Z



J

J 



 ₂

Densidad de corriente

2



u

C2

radio a

C2

r

2

 ^u



H

2

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)



u_Z



J

J 



 ₂

2

El campo sólo tiene componente

H

2

H  



u

ya que

^J₁^{, J}₂

sólo tienen componente Z.

Ley de Ampère:

_enc

C

I l d

H 



2

· 

 C

₂

es la circunferencia centrada en el origen y de radio r

₂

e I

_enc

es la corriente encerrada por C

₂

.

enc C

C

I r H

dl H u

dl u

H    



²

^{· · ·}

^{2 2}

^{· 2}

²

2 2











 b a r ^u



r b

H  I 

2 2 2

2 2 2 2

1

2 





 





 



₂^{2 2}



2 2

1

a J r a

J  

  

Válido en

1 2

a J I

 



^{2 2}



2 b a

J I

 



 



 





 



_{2 2}

2 2

2

a b

a I r

I

b r a 

₂



 



 







₂



₂

2 2 2

b a r I b

Campo B 

_{2 2}

H 

₂







  u

r a b

r b

B  I 

2 2 2

2 2 2 2

2

1

2 





 





 

C4

0,0 14

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50

 b a r ^u



r b

H  I 

2 2 2

2 2 2 2

1

2 





 





 

 a ^u



I r

H  

2 1

1

2

 1

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)

1 2

a J I





^{2 2}



2 b a

J I

 



a I 2 Unidades

4 a  Ejemplo: parámetro b

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Para representar gráficamente conviene adimensionalizar en función de r/a

a r a

r  r b

   

   

^

 b a r a ^u

a r a

b a

H  I 

/ 1 1

/

/ /

2

² ₂

2 2 2

2

 





 







 

 a ^u



r a

H  I 

 

 



 

¹

1

2

1

0 



 



 a r

a b a r



 



 1

H

H1

H2

Zona interna r < a

Zona externa r > a

C3

Recordatorio unidades S.I.

J  A·m^-2 H  A·m^-1

T  T (Wb·m^-2 , kg·A^-1·s^-2) m  H·m^-1, N·A^-2 , kg·m·s^-2·A^-2)

15

PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA

Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·10⁴ A/m. Calcular las densidades de corriente de imanación.

A/m 10

· 2 ⁴

 M

Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca

Z

r2

r1

m 05 . 0 m 10 .

0 ₂

1 r 

r

M 1 2

ur

ur



M J_m 







N

m M u

K  



 Volumétrica

Superficial

Corrientes de imanación: Imanación uniforme  M  0 0

m  J Tendremos dos corrientes superficiales, una exterior (1) y otra interior (2).

ur

M K  



1 



ur



M

K  





2 

Z Y

X r

N u u u u

u^  ^ sincos ^ sinsin ^ cos ^



X Y Z



Z u u u

u

M    

cos sin

sin cos

sin      







X Y Z



Z u u u

u

M    

cos sin

sin cos

sin      









u_Z u_X u_Z u_Y



M

K    







 sin cos sin sin

1    

 



u_Y u_X



M

K  





 sin cos sin sin

1     M

 

uX



uY



cos sin sin

sin     



 u

M

K 

1  sin

 

K1

K1

Z

 u_X u_Y

u  

cos

sin 

   

Corriente superficial exterior (1)

(2) u^N u^r 



sincosu^X sinsinu^Y cosu^Z





u_Z u_X u_Z u_Y



M

K    









 sin cos sin sin

2    

 



u_Y u_X



M

K  







 sin cos sin sin

2     M

 

u_X



u_Y



cos sin sin

sin     





 u

r M

K 

2sin

2 

Solución numérica:

es función del ángulo azimutal 

1 4

12 ·10 sin u_ A·m^

K 

1 4

2 2 ·10 sin u_ A·m^

K 

C3

16

BIBLIOGRAFÍA

LIBROS

1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.

3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.

4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.

5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED) LIBROS DE PROBLEMAS

1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill.

2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial.

http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm RECURSOS EN LA RED

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos

https://www.youtube.com/watch?v=9Tm2c6NJH4Y

Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws.

Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cual puede seguirse sin problemas aunque se tenga alguna dificultad con la comprensión oral. Muy recomendable.

https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky Canal de física de Eugene Khutoryansky.

Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.

VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES

RECOMENDADOS

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php

?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=

71d6396411f7f536ea668cf0de28846c

2013 

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php

?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashDat a=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8

2014 

2015  http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php

?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashDat a=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php

?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashDat a=3db7d3a5903588242624b9800346db0e

2016 

C3

17

⃗ =

 d R I dl I 

1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas

APÉNDICE CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA NORMAL AL PLANO DE LA ESPIRA

2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente.

3.- Este elemento de corriente ⃗ genera un campo magnético en el punto (0,0,z)

⃗

4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart

3 0

4 r

r l d B I

d

 

 

 

 5.- Véanse los ángulos

90 − 90 −

6.- La dirección del campo en el punto (0,0,z) es normal al plano que determinan los vectores ⃗ y . El vector unitario en esa dirección es .

7.- El campo magnético en el punto (0,0,z) tiene una componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY.

El vector unitario determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente

⃗ tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.

(0,0,z)

r

N u u

u  



 _

18 APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA DE

CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA…. (Cont.)

⃗ =

 d R I dl I 

⃗

3 0

4 r

r l d B I

d

 

 

 



90 − 90 −

3 0

4 r

r l d B I

d

 

 

 



ur

r u d R

I  



  _





2 0

4 u^N

r d R

I 

2 0

4





 

Z

Z u

r d R B I

d 

4 ² cos

0  



 



















 





2

0

2

0 cos

4 ^Z

Z u

r d R B I

d

B  





















2

0 2 0

4 u^Z

r R r

d R

B I 















 



2

0 3

2 0

4 u d

r R I

Z





^{R z}



^uZ

R

B I 

2 ^{2 2 3/2}

2 0



 

r

R

 cos

8.- Expresamos en función del vector unitario 9.- Para obtener el campo

debemos integrar  véase que la componente es igual a

10.- Observando la figura debemos notar que el campo magnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en dirección paralela al plano XY, porque cada componente se verá cancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta (la que corresponde al ángulo + ). Por tanto el campo será igual a



 dB_Z B 

Integramos:

2

2 z

R r  

Z

Z u

r d R B I

d 

4 ² cos

0  



 