Universidad Nacional de Córdoba

(1)

Universidad Nacional de Córdoba

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales - Ingeniería Aeronáutica

Tesis de Grado

“Análisis de fluidos alrededor de cuerpos bidimensionales mediante simulaciones

computacionales"

(2)

Tesis de Grado Título: Ingeniero Aeronáutico Autor: Jorge Darío Montes

Índice General

PORTADA i

INDICE ii

LISTA DE FIGURAS v

LISTA DE TABLAS viii

LISTA DE SIMBOLOS ix

AGRADECIMIENTOS xi

OBJETIVOS xii

ECUACIONES FUNDAMENTALES - CONCEPTOS PREVIOS

1.1 VOLUMEN DE CONTROL 1

1.2 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA 1

1.3 FORMA INTEGRAL DEL TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1

1.4 FORMA INTEGRAL DEL TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO 2

1.5 FORMA INTEGRAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 2

1.6 ECUACIONES DE NAVIER-STOKES 3

1.7 FUERZAS EN UN PERFIL AERODINÁMICO 4

1.8 NÚMERO DE REYNOLDS 7

1.9 NÚMERO DE MACH 8

INTRODUCCIÓN AL CFD

2.1 CONCEPTOS PREVIOS 10

2.2 PROCEDIMIENTOS BÁSICOS EN LA IMPLEMENTACIÓN DEL CFD 12

2.3 EL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS: 13

CASOS ESTUDIADOS

3.1 VALIDACIÓN 16

3.2 CILINDRO BIDIMENSIONAL 18

3.2.1 Geometría 18

3.2.2 Malla 18

3.2.3 Condiciones de contorno 19

3.2.4 Ejecuciones realizadas 20

3.2.5 Número de Strouhal 28

3.2.6 Coeficiente de resistencia y capa límite 32

3.2.7 Comparación con fotografías experimentales 38

3.2.8 Conclusiones 39

3.3 PERFIL AERODINÁMICO NACA 0009 40

3.3.1 Geometría 40

3.3.2 Malla 40

3.3.5 Coeficiente de sustentación 42

3.3.6 Coeficiente de resistencia 43

(3)

3.4.1 Geometría 46

3.4.2 Malla 46

3.4.6 Coeficiente de resistencia: 49

3.5 PERFIL AERODINÁMICO NACA 4412 52

3.5.1 Geometría 52

3.5.2 Malla 52

3.5.6 Coeficiente de resistencia 55

APENDICE A – SOFTWARE OPENFOAM

A.1 INSTALACIÓN 59

A.2 PASOS A SEGUIR 59

A.3 UTILIZACIÓN DEL SOFTWARE OPENFOAM 66

A.4 CARACTERÍSTICAS DE OPENFOAM 66

A.5 ESTRUCTURA DE UN CASO DE OPENFOAM 67

A.6 DESCRIPCIÓN DE LAS PARTES DE UN CASO DE ESTUDIO 68

A.7 DESCRIPCIÓN DE SOLVERS UTILIZADOS 69

A.8 UNIDADES FÍSICAS 69

APENDICE B – SOLVERS DE OPENFOAM

B.1 SOLVER POTENTIALFOAM 70

B.1.1 /case/system/controlDict 70

B.1.2 /case/system/fvSolution 71

B.1.3 /case/system/fvSchemes 72

B.1.4 /case/system/sampleDict 73

B.1.5 /case/constant/boundary 74

B.1.6 /case/0/p 75

B.1.7 /case/0/U 77

B.1.8 Recomendación sobre el archivo U 78

B.1.9 Generar un archivo de log con los resultados de pantalla 78

B.1.10 Ejecutar automáticamente el solver 78

B.2 SOLVER ICOFOAM 80

B.2.6 /case/constant/transportProperties 88

(4)

B.3.6 /case/constant/transportProperties 100

B.3.7 /case/constant/turbulentProperties 101

B.3.8 /case/constant/RASProperties 104

B.3.9 /case/0/p 104

B.3.10 /case/0/U 106

B.3.11 /case/0/nuT 107

B.3.12 /case/0/nuTilda 108

B.3.13 Generar un archivo de log con los resultados de pantalla 109

B.3.14 Ejecutar automáticamente el solver 109

APENDICE C – SOFTWARE GMSH

C.1 INTRODUCCIÓN A LA GENERACIÓN DE LA MALLA CON GMSH 111

C.2 INSTALACIÓN DE GMSH 111

C.3 FUNCIONALIDADES DE GMSH 111

C.4 MODULO GEOMÉTRICO 112

C.4.1 Definir geometría con ficheros de texto 112

C.4.2 Archivos de otros programas 115

C.5 MÓDULO DE MALLADO 115

C.6 COMPATIBILIDAD CON OPENFOAM 119

C.6.1 Error en la conversión del archivo .msh 120

APENDICE D – SOFTWARE PARAVIEW

D.1 POST-PROCESO 121

D.2 FORMATO DE ARCHIVOS 121

D.3 APARIENCIA DE PARAVIEW 121

D.4 BARRAS Y VENTANAS DE HERRAMIENTAS 123

D.4.1 Barra Menu 123

D.4.2 Barra Main Controls 123

D.4.3 Barra Active Variable Control 123

D.4.4 Barra Camera Controls 123

D.4.5 Barra VCR Controls 124

D.4.6 Ventana Lookmarks 124

D.4.7 Ventana Pipeline Browser 125

D.4.8 Ventana Object Inspector 125

D.5 EXPORTAR RESULTADOS 126

APENDICE E – EJECUCIÓN DE CASOS DE OPENFOAM

E.1 USO DEL SOLVER POTENTIALFOAM 127

E.2 USO DEL SOLVER ICOFOAM 130

E.3 USO DEL SOLVER SIMPLEFOAM 133

NOTA IMPORTANTE: 137

(5)

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Fuerzas Actuantes en un avión en vuelo Figura 1.2 - Descomposición de esfuerzos

Figura 2.1 – Ensayo CFD a un automóvil de fórmula uno Figura 2.2 – Aplicación de CFD al ciclismo de competición

Figura 2.3 – (a) Esquema de Celda Centrada (b) Esquema de Celda y Vértice Figura 3.1 – Geometría y contorno del cilindro bidimensional

Figura 3.2 – Malla del cilindro bidimensional

Figura 3.3 – Geometría y contorno del cilindro bidimensional Figura 3.4 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=30

Figura 3.5 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=30 Figura 3.6 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=40 Figura 3.7 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=40 Figura 3.8 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=50 Figura 3.9 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=50 Figura 3.10 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=100 Figura 3.11 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=100 Figura 3.12 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=200 Figura 3.13 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=200 Figura 3.14 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=500 Figura 3.15 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=500 Figura 3.16 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=1000

(6)

Figura 3.19 – Cilindro 2D Campo de Presiones Re=2000

Figura 3.20 – Comportamiento del número de Strouhal para el cilindro 2D Figura 3.21 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 100 Figura 3.22 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 200 Figura 3.23 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 500 Figura 3.24 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 1000 Figura 3.25 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 2000 Figura 3.26 – Coeficiente de sustentación para 70seg<tiempo<80seg

Figura 3.27 – Coeficiente de resistencia experimental (NACA Report 619, 1937) Figura 3.28 – Zona de estudio por las simulaciones numéricas

Figura 3.29 – Coeficiente de resistencia experimental y CFD (30<Re<2000) Figura 3.30 – Contornos de Velocidades (izquierda Re=100, derecha Re=200) Figura 3.31 – Fotografía de un cilindro 2D a Re=2000, campo de velocidades Figura 3.32 – Simulación de un cilindro 2D a Re=2000, campo de velocidades Figura 3.33 – Geometría y contorno del perfil NACA 0009

Figura 3.34 – Malla del perfil NACA 0009

Figura 3.35 – Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque Figura 3.36 – Coeficiente de resistencia para distintos Cl

Figura 3.37 – Campo de velocidades para perfil NACA 0009 para 0º, 5º, 10º y 12º Figura 3.38 – Geometría y contorno del perfil NACA 0012

Figura 3.40 – Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque Figura 3.41 – Coeficiente de resistencia para distintos Cl

Figura 3.42 – Campo de velocidades para perfil NACA 0012 para 0º, 5º, 10º y 12º Figura 3.43 – Geometría y contorno del perfil NACA 4412

(7)

Figura 3.45 – Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque Figura 3.46 – Coeficiente de resistencia para distintos valores de Cl

Figura 3.47 – Campo de velocidades para perfil NACA 4412 Figura A.1 – Estructura de un caso de OpenFOAM

Figura C.1 – Mallado con el comando Extrude Figura C.2 – Uso del comando Transfinite Line = 5 Figura C.3 – Uso del comando Transfinite Line = 20

Figura C.4 – Cavidad con malla semi-estructurada con prismas triangulares Figura C.5 – Cavidad con malla no-estructurada con tetraedros

Figura D.1 – Ventana de trabajo de ParaView

Figura D.2 – Ventana de trabajo de ParaView con un caso en estudio Figura D.3 – Barra de Menu

Figura D.4 – Controles de abrir-guardar-conectar Figura D.5 – Controles de variable activa

Figura D.6 – Control de la cámara Figura D.7 – Control del tiempo Figura D.8 – Visualización 3D Figura D.9 – Navegador de objetos Figura D.10 – Opciones de filtros y vistas

(8)

Lista de Tablas

Tabla 3.1 – Comparación de los números de Strouhal Tabla 3.2 – Comparación de los coeficientes de resistencia

Tabla 3.3 – Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque Tabla 3.4 – Coeficiente de resistencia para distintos valores del Cl

Tabla 3.5 – Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque Tabla 3.6 – Coeficiente de resistencia para distintos valores del Cl

Tabla 3.7 – Coeficientes de sustentación en función del ángulo de ataque Tabla 3.8 – Coeficiente de resistencia para distintos valores de Cl

(9)

Lista de Símbolos

t

∂

: derivada parcial respecto del tiempo

t

: tiempo

ρ

: densidad

τ

: volumen de control

V

: vector velocidad

n

: vector normal unitario

σ

: elemento de la superficie de control

Σ

: superficie de control

R

: resultante de las fuerzas externas

r

: radio vector

M

: resultante de los momentos externos

Q

: calor

T

: potencia suministrada por el fluido

u

: energía interna

Dt D

: derivada sustancial respecto al tiempo

K

: campo vectorial

p

: presión estática local

∇

: operador nabla

µ

: viscosidad dinámica

L

: fuerza de sustentación

N

: fuerza normal a la cuerda del perfil

(10)

ρ

∞ : densidad de la corriente libre

V

∞ : velocidad de la corriente libre

S

: superficie de referencia

C

L : coeficiente de sustentación tridimensional

C

l : coeficiente de sustentación bidimensional

C

D : coeficiente de resistencia tridimensional

C

d : coeficiente de resistencia bidimensional

C

M : coeficiente de momento de cabeceo tridimensional

C

m : coeficiente de momento de cabeceo bidimensional

l

: longitud de referencia

q

∞ : presión dinámica

C

p : coeficiente de presión

p

∞ : presión estática de la corriente libre

Re

: número de Reynolds

ν

: viscosidad cinemática

M

: número de Mach

a

: velocidad del sonido

S

T : número de Strouhal

ϖ

: frecuencia de desprendimiento

U

∞ : magnitud de la velocidad de la corriente fluida

Co

: número de Courant

t

∆

: paso de tiempo dado

x

∆

: longitud de la celda en la dirección de la velocidad

U

∞ : magnitud de la velocidad de la corriente fluida

(11)

Agradecimientos

En cuanto a la confección del presente trabajo y culminación de la carrera de Ingeniería Aeronáutica, es de destacar que se debe a un gran esfuerzo personal y al apoyo de mis padres y de mis familiares más cercanos, quienes siempre confiaron en mí, alentándome y dándome fuerza para que pudiera terminar con esta etapa de mi vida.

También debo destacar el apoyo de mis amigos personales y mis compañeros de carrera que también gracias a ellos, seguí adelante.

Otro agradecimiento sería para los docentes, que gracias a su apoyo me ayudaron a crecer intelectualmente y a desarrollarme como persona y como futuro profesional.

Y por último me gustaría agradecer al director de mi tesis de grado, que confió en mi persona para lograr objetivos que al principio parecían lejanos y también me ayudó en situaciones difíciles para seguir con este trabajo.

Una cosa para tener en cuenta es que “sin un mínimo de esfuerzo, nada se logra” y que en este largo camino, hubo que dedicar mucho tiempo y sacrificar muchas cosas para llegar al final que es el presente trabajo.

Gracias.

Jorge Darío Montes

(12)

Objetivos

Los principales objetivos de este trabajo son los siguientes:

- Conocer los pasos básicos en el campo de la mecánica de los fluidos computacional.

- Implementar el uso de programas computacionales de licencia libre y gratuita para modelar problemas físicos reales.

- Validar los resultados numéricos computacionales obtenidos mediante los datos experimentales conocidos de antemano.

- Generar un cierto adiestramiento en el uso del software

OpenFOAM

para luego volcarlo en una guía de usuario.

(13)

1 Ecuaciones fundamentales - Conceptos previos

1.1 Volumen de control

Un volumen de control se define como un volumen arbitrario del espacio a través del cual pasa el fluido en movimiento. La superficie que delimita al volumen de control se denomina superficie de control y es siempre una superficie cerrada.

1.2 Principio de conservación de la masa

Es un principio básico de la mecánica clásica, y se expresa diciendo que

"la masa de un punto material, y por lo tanto de un sistema de puntos materiales no se altera por efectos del movimiento" (Calvi, 2003).

Este principio es un resumen conciso de las observaciones experimentales, estando ausentes los movimientos con velocidades del orden de la velocidad de la luz y las reacciones nucleares.

La ecuación en su forma integral es:

∫ ∫∫

Σ

⋅

−

∂ =

∂

τ

σ ρ

τ

ρ d V n d

t

^(1.1)

La interpretación física sería: "la variación de la masa dentro del volumen de control es igual al flujo neto de masa a través de la superficie de control" (Calvi, 2003).

Si el movimiento es estacionario con respecto a un sistema de referencia fijo al volumen de control, todas las propiedades del fluido, incluida la densidad, deben permanecer invariables en el tiempo, por lo tanto se tiene:

= 0

∫∫ ⋅

Σ

σ

ρ V n d

_(1.2)

(14)

Para una referencia inercial, la segunda ley del movimiento de Newton se expresa de la manera siguiente: "la derivada con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento resultante de un sistema material cualquiera es igual, en cada instante, a la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema" (Calvi, 2003).

La ecuación es:

∫ ∫∫

Σ

=

⋅

∂ +

∂

τ

σ ρ

τ

ρ V d V V n d R

t ( ) ( )

_(1.3)

Esta ecuación expresa que: "la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el fluido contenido dentro del volumen de control, es igual a la integral de la variación local de la cantidad de movimiento dentro del volumen de control, más el flujo neto de cantidad de movimiento a través de la superficie de control" (Calvi, 2003).

1.4 Forma integral del teorema del momento cinético

Para una referencia inercial, el teorema se expresa: "la derivada con respecto al tiempo del momento cinético de un sistema material cualquiera es igual al momento resultante de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema" (Calvi, 2003).

Por ello se tiene:

∫ ∫∫

Σ

=

⋅

× +

∂ ×

∂

τ

σ ρ

τ

ρ V r d V r V n d M

t ( ) ( )( )

_(1.4)

Otra forma de expresar sería: "el momento resultante de las fuerzas que en el instante t, actúan sobre el fluido contenido dentro del volumen de control, es igual a la variación total del momento cinético del fluido contenido dentro del volumen de control más el flujo neto de momento cinético a través de la superficie de control” (Calvi, 2003).

1.5 Forma integral del principio de conservación de la energía

El principio de la conservación de la energía expresa que: “la diferencia

(15)

control y la potencia suministrada por el fluido contenido dentro del volumen de control es igual a la integral de la variación local de energía dentro del volumen de control más el flujo neto de energía a través de la superficie de control” (Calvi, 2003):

σ ρ

ρ

τ

d n V u V dt

u t V

t T t

Q [ (

¹₂ ²

+ )] + (

¹₂ ²

+ )( ⋅ )

∂

= ∂

∂

− ∂

∂

∂ ∫ ∫∫

Σ

(1.5)

1.6 Ecuaciones de Navier-Stokes

Si se disponen de las expresiones que relacionan al campo de las tensiones debidas a la viscosidad con el campo de las velocidades, se puede establecer el valor de la presión dentro de la ecuación de cantidad de movimiento como función de las magnitudes cinemáticas que caracterizan el movimiento.

Expresando la ecuación de la variación de la cantidad de movimiento en forma vectorial para flujo isotérmico y laminar queda:

) (

¹₃

V V

²

V p

Dt K V

D = ρ − ∇ + µ ∇ ⋅ + ∇

ρ

_(1.6)

En donde:

Dt V

ρ D

: es la resultante de las fuerzas inerciales por unidad de volumen

ρ K

: es la resultante de las fuerzas másicas por unidad de volumen

∇ p

−

: es la resultante de las fuerzas de presión estática por unidad de volumen

) (

¹₃

V ∇ ⋅ V + ∇

²

V

µ

: es la resultante de las fuerzas viscosas por unidad de volumen

(16)

) )

( )

(

¹₃

V

²

u

x x

K p z

w u y v u x u u t u

x

∇ ⋅ + ∇

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ρ µ µ

ρ

_(1.7)

) )

( )

(

¹₃

V

²

v

y y

K p z

w v y v v x u v t v

y

∇ ⋅ + ∇

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ρ µ µ

ρ

_(1.8)

) )

( )

(

¹₃

V

²

w

z z

K p z

w w y v w x u w t w

z

∇ ⋅ + ∇

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ρ µ µ

ρ

_(1.9)

Las ecuaciones anteriores en conjunto con la ecuación de conservación de la masa, la ecuación de estado y la de la variación de la viscosidad con la densidad determinan la presión, la densidad y las componentes de la velocidad para el flujo isotérmico y laminar de un fluido (Calvi, 2003).

1.7 Fuerzas en un perfil aerodinámico

La fuerza resultante que surge de sumergir un perfil aerodinámico en una corriente fluida R, se puede descomponer en una fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad de la corriente libre, la sustentación L, y una fuerza en la dirección de la velocidad de la corriente, llamada resistencia D

,

(Kundu y Cohen, 2010).

En el diseño de los aviones, las alas se fabrican de acuerdo a distintos criterios y necesidades, ellas se fabrican acorde a un determinado perfil aerodinámico, si el avión está volando en vuelo recto y nivelado, la resistencia aerodinámica está equilibrada con la tracción del motor y la sustentación se equilibra con el peso del avión (ver figura 1.1).

(17)

Figura 1.1 – Fuerzas Actuantes en un avión en vuelo

Un diagrama de la descomposición de la fuerza R actuante sobre el perfil se muestra en la figura 1.2, en la que se nota que la resultante R se puede descomponer tanto en sus partes normal y paralela a la velocidad de la corriente libre como también normal y paralela a la cuerda del perfil.

(18)

El ángulo de ataque

α

se define como el ángulo entre la cuerda del perfil y la dirección de la velocidad de la corriente fluida (Anderson, 2001).

Una formulación de las fuerzas de sustentación y resistencia se tiene que:

α α Asen N

L = cos −

(1.10)

α α A cos Nsen

D = +

(1.11)

Si se realiza una integración de las presiones y de las tensiones de corte sobre el perfil, se podrá obtener los coeficientes aerodinámicos (Kundu y Cohen, 2010).

En general, en aerodinámica se suele trabajar con estos coeficientes adimensionales que dan una idea general del comportamiento de una magnitud sin importar las unidades empleadas.

Se definen entonces los coeficientes de sustentación, resistencia y momento respectivamente:

S V

C

_L

L

₂

12

∞

= ρ

^(1.12)

S V

C

_D

D

₂

12

∞

= ρ

^(1.13)

Sl V

C

_M

M

₂

12

∞

= ρ

^(1.14)

(19)

El coeficiente de sustentación es muy útil a la hora de evaluar el comportamiento de un cuerpo aerodinámico, como ser un perfil, un ala, etc, en cuanto a “que cantidad sustenta” ese mismo cuerpo para ciertas condiciones del campo de movimiento.

El coeficiente de resistencia, refleja la resistencia al avance que el cuerpo ofrece al estar sumergido dentro de una corriente fluida.

Los parámetros

S

y

l

se refieren a la superficie de referencia y a una longitud de referencia. Por ejemplo si se estudia un avión, la superficie de referencia será la planta alar y la longitud será la cuerda media aerodinámica, pero si se trata de una esfera, la superficie de referencia será la superficie frontal y la longitud de referencia será el diámetro de la misma (Anderson, 2001; Abbott y Doenhoff, 1959).

De acuerdo a lo mencionado anteriormente, se tiene la necesidad de determinar un parámetro que se denomina presión dinámica y se expresa de la siguiente manera:

2

2 1

∞

= V

q ρ

_(1.15)

De esta manera se podrá definir otro coeficiente de gran importancia en los cálculos aerodinámicos, este es el coeficiente de presión:

∞

−

∞

= q p

C

_p

p

_(1.16)

El uso de estos coeficientes nos permite comparar resultados ya sea numéricos ó mediante experimentos sin necesidad de preocuparse por el sistema de unidades utilizado, siempre y cuando se mantengan las condiciones de similitud.

1.8 Número de Reynolds

El número de Reynolds se define como la relación entre las fuerzas másicas y las fuerzas viscosas.

(20)

En donde:

ρ

: es la densidad del fluido

V

∞: es la magnitud de la velocidad de la corriente fluida

l

: es la longitud de referencia (para un perfil es la cuerda, para un cilindro es el diámetro)

µ

: es la viscosidad dinámica

ν

: es la viscosidad cinemática, es la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad.

Un número de Reynolds alto implica que las fuerzas de inercia ó másicas son preponderantes, mientras que cuando el número de Reynolds es bajo, se deduce que son las fuerzas viscosas las que predominan.

Cuando se realizan trabajos experimentales, se utilizan modelos a escala pequeña y se necesita que sus resultados sean comparables con un modelo de escala real, por ello en número de Reynolds para ambos casos (el real y el experimental) deberá cumplirse su igualdad.

Cuando esto sucede, se dice que el experimento tiene similitud dinámica con la realidad (Shames, 1995).

1.9 Número de Mach

El número de Mach se define como la relación entre la velocidad local del fluido y la velocidad del sonido propia del fluido en cuestión.

Su formulación es la siguiente:

a

M = V

^∞ _(1.18)

En donde:

a

: es la velocidad del sonido propia del fluido

(21)

Un dato importante que otorga el número de Mach, es que cuando su valor está cerca o es mayor a 0.3, comienzan a presentarse efectos de compresibilidad del fluido (Shames, 1995).

(22)

2 Introducción al CFD

2.1 Conceptos previos

Las siglas CFD provienen del inglés Computational Fluid Dynamics y significan dinámica de fluidos computacional.

El CFD es el análisis de sistemas, en el que están presentes flujos de fluidos, transferencia de calor y fenómenos asociados tales como reacciones químicas, basado en simulaciones computacionales (Versteeg y Malalasekera, 1995).

Algunos ejemplos son:

- aerodinámica de aeronaves y vehículos: sustentación y resistencia - hidrodinámica de barcos

- plantas de energía: combustión en motores y turbinas de gas - turbo-máquinas: flujo en partes rotantes, difusores

- ingeniería eléctrica y electrónica: equipos para enfriamiento - procesos químicos

- efectos del viento en estructuras civiles - ingeniería marina

- hidrología y oceanografía: flujo en ríos, estuarios y océanos - meteorología: predicción climática

- ingeniería biomédica: flujos de sangre en arterias y venas

Todos estos ejemplos del uso del CFD son prueba de que la expansión de las áreas de estudio en cuanto al diseño se trata, ha crecido de gran manera (Versteeg y Malalasekera, 1995).

En la figura 2.1 se muestra la aplicación del CFD al estudio del campo de movimiento de un automóvil de fórmula uno de alta gama, en el cual el más mínimo detalle cuenta en lo que se refiere al diseño.

(23)

Figura 2.1 – Ensayo CFD a un automóvil de fórmula uno

En la siguiente figura (figura 2.2) se muestra el caso del estudio del campo de movimiento de un ciclista. Los resultados probablemente se inclinarán a un nuevo diseño del casco o de la indumentaria utilizada por el atleta.

Figura 2.2 – Aplicación de CFD al ciclismo de competición

En general cuando se desea probar un diseño nuevo de algún artefacto que está sumergido en una corriente fluida (un edificio, un avión, un puente, etc) los diseñadores recurren a los ensayos en túneles de viento

(24)

complejos paquetes de software que permiten incluir en el modelo, todos los parámetros y hacer un seguimiento de sus partes integrantes.

Por ello, también existen paquetes de software que permiten la simulación e interacción de fluidos, como así también reacciones químicas, combustión, etc, tanto de uso comercial con licencia paga como así también de uso libre con licencia gratuita y de libre distribución.

Si bien en el caso de software de licencia gratuita no tiene un costo inicial, estos demandan una gran inversión de tiempo en el aprendizaje de los mismos ya que por su licencia gratuita, no traen manuales detallados sino con breves explicaciones de las funciones generales. Lo de licencia gratuita se refiere al uso, modificación y distribución sin cargo alguno, pero en cuanto al soporte técnico y capacitación por parte de los programadores, se tiene un costo económico que no todos los usuarios están dispuestos y/o son capaces de alcanzar, sin mencionar que los cursos de capacitación no se realizan en países latinoamericanos.

Una de las ventajas que un usuario tiene al utilizar un código CFD, es que le permite, una vez que ha adquirido cierta práctica con el mismo, realizar ajustes y simular condiciones que en un túnel de viento convencional requieren horas de preparación de los instrumentos y del modelo, siendo también impracticables algunos tipos de simulaciones y de un costo económico mayor. Un ejemplo podría ser que, en un determinado caso, se requiere variar la densidad del fluido en movimiento, si estamos en presencia de un túnel de viento, esto se puede lograr presurizando ó cambiando la temperatura dentro del mismo (que es algo difícil de lograr) mientras que en un código CFD, solo cambiando los parámetros de la densidad del ensayo y del solver, ya se tiene el modelo listo para correr, sin mencionar las posibilidades que se tiene en cuanto a la toma de datos, visualizaciones, etc.

Pero no todo en CFD es color de rosa, sino que dependiendo del software utilizado, hay que lidiar y aprender a generar la geometría, lo más parecida al modelo, luego hay que discretizar ese volumen ó superficie en una malla para que el software CFD pueda leerla e interpretarla y que realice los cálculos, y por último se tiene a la visualización y obtención de los resultados ya sea con tablas, gráficos, etc.

2.2 Procedimientos básicos en la implementación del CFD

Podemos simplificar todo esto en 4 etapas básicas:

1) Generación de la geometría.

2) Creación de la malla.

3) Utilización del solver adecuado.

(25)

Los pasos 1) y 2) se conocen como el “pre-proceso”, el paso 3) se denomina el “proceso ó resolución” de los datos y el paso 4) se denomina

“post-proceso”.

Por ende, se requiere un paquete de software que le permita al usuario realizar todas estas tareas ó de otra manera tener varios software que realicen una o varias de estas tareas para que luego el “output” o salida de un determinado software sea compatible con el “input” o entrada del otro y así se continúa hasta terminar con el proceso.

Básicamente, si se tiene un software mallador, el archivo de salida que contiene los datos de la malla, debería ser interpretado por el paso siguiente (el proceso del solver), que pueda leer e interpretar la malla para que se realicen los cálculos en forma correcta.

Por otro lado, si se cuenta con un software post-procesador, lo que este realiza, es la visualización de los resultados y de la extracción de algunos datos de interés.

En general, los experimentos de laboratorio tienen un alto costo ya que los modelos que se ensayan deben ser lo más parecido al prototipo en escala real, cualquier error dimensional llevará a resultados indeseados, también se tiene que los instrumentos de medición como las sondas de presión deben estar calibradas y colocadas en el modelo de manera que no perturbe el flujo alrededor de él.

Otra cuestión a tener en cuenta es la puesta en marcha de los túneles de viento, las grandes potencias que requieren, demandan grandes consumos de energía eléctrica y por ende un alto costo económico.

Por otro lado, un paquete CFD del tipo comercial de uso privado, puede proveer datos en pocas horas (dependiendo de la complejidad del modelo), datos relevantes en cuanto a la distribución de las presiones en el modelo y dar puntos claves en su diseño a un bajo costo, sin tener presente que se podrá optar por un software libre que no tiene costo alguno (siempre y cuando el usuario tenga la habilidad en el uso).

2.3 El método de volúmenes finitos:

El método de volúmenes finitos (FVM) utiliza directamente las leyes de conservación, o sea la formulación integral de las ecuaciones de Navier-

(26)

poliédricos, se sabe que un poliedro es un cuerpo geométrico de caras planas que encierra a un volumen finito.

Para recordar, la ecuación de Navier-Stokes “define el intercambio (o sea el flujo) de masa, cantidad de movimiento y de energía a través de la superficie de un volumen de control que está fijo en el espacio” (Blazek, 2001).

Existen varias formas para definir la forma y la posición del volumen de control en referencia a la malla. Se pueden apreciar dos casos particulares:

Esquema de Celda Centrada

(ver figura 2.3a): en este caso las cantidades se almacenan en los centroides de las celdas, por ello el volumen de control coincide con la malla de la celda.

Esquema de Celda y Vértice

(ver figura 2.3b): en este caso, las variables se almacenan en los puntos de cruce de la malla, por ello el volumen de control se puede interpretar como la unión de las celdas que contienen al punto de cruce o también como si fuera otro volumen de control centrado en el punto de cruce.

Figura 2.3 – (a) Esquema de Celda Centrada (b) Esquema de Celda y Vértice La principal ventaja del FVM es que la discretización espacial se lleva a cabo directamente sobre el espacio físico, por ello no hay inconvenientes en cuanto a transformaciones entre sistemas de coordenadas.

Otra ventaja del FVM es que es muy flexible y el mismo puede ser implementado en mallas estructuradas como en las no-estructuradas (Blazek, 2001).

(27)

De aquí se deduce que el FVM es aplicable para los casos de flujos en geometrías complejas.

Como se sabe que el FVM se basa en la discretización directa de las leyes de conservación de la masa, cantidad de movimiento y de energía bajo un esquema numérico, por esto se deduce que otra importante característica del método que es la capacidad de procesar correctamente las soluciones simplificadas de las ecuaciones gobernantes.

Sin embargo, en el caso de las ecuaciones de Euler, se debe satisfacer una condición adicional que es la condición de la entropía. Esto es necesario porque evita que aparezcan fenómenos que no son físicamente posibles, como ser la disminución de la entropía (Blazek, 2001).

Es interesante notar que bajo ciertas condiciones, se pueden obtener resultados con el FVM que son comparables con el método de las diferencias finitas (FDM) o también con el método de elemento finito (FEM) de bajo orden (métodos no tratados en este trabajo) (Blazek, 2001).

(28)

Casos estudiados 3.1 Validación

En este capítulo se ha puesto de manifiesto el uso de los programas computacionales de uso libre, como ser el software

OpenFOAM

que contiene el código CFD (OpenFOAM-1.6a, 2009), el software

Gmsh

para generar la geometría y el mallado (Gmsh 2.4.2, 2009), y el software

ParaView

para visualizar y manipular los resultados (ParaView 3.6.1, 2010).

El análisis realizado por el código CFD de

OpenFOAM

utilizó el solver

icoFoam

y

simpleFoam

y se han comparado los resultados con los datos experimentales (Abbott y Doenhoff, 1959) bajo las mismas condiciones de similitud dinámica, geométrica y cinemática.

Además se han utilizado otros paquetes de software de referencia, como ser el

XFLR5

(Drela XFLR5, 2010) y el

Java Applet Multifoil

(MultiFoil, 2007) que también son de uso gratuito.

Los casos estudiados son de flujo de aire alrededor de perfiles aerodinámicos y de un cilindro bidimensional a determinados valores del número de Reynolds.

El primer caso se trata del

cilindro bidimensional

en el cual se ha utilizado un solver para un número de Reynolds bajo (flujo laminar) y se obtuvieron los valores del coeficiente de resistencia aerodinámica y de sustentación en función del número de Reynolds y del tiempo respectivamente.

El segundo caso se trata de un perfil aerodinámico

NACA0009

, el mismo es un perfil de la serie 4, simétrico, con un espesor máximo del 9% del largo de la cuerda. Se ensayó el mismo a distintos ángulos de ataque para poder obtener las curvas de coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque y también en función del coeficiente de resistencia, comúnmente llamada polar de resistencia.

El tercer caso se trata de otro perfil de la serie 4, el

NACA0012

, este perfil es simétrico y tiene un espesor máximo del 12% del largo de la cuerda. El mismo se utiliza como estándar en la medición experimental e incluso como calibrador de túneles de viento a nivel mundial, ya que sus resultados se encuentran estudiados desde ya hace muchos años atrás y los valores obtenidos en el ensayo indican si el túnel de viento se encuentra en condiciones de operar correctamente.

(29)

El cuarto y último caso se trata de un perfil asimétrico de la serie 4, el

NACA4412

, este perfil tiene un espesor máximo del 12% del largo de la cuerda y su espesor máximo se encuentra al 40% de la cuerda.

El hardware utilizado se basa en una computadora armada con un microprocesador Intel Core i3, con una placa madre Gigabyte H55MS2H, con 2Gb de memoria RAM, disco rígido de 320Gb, grabadora de DVD, lector de tarjetas y floppy, monitor CRT de 17 pulgadas, con teclado y mouse estándar.

Como el hardware soporta la arquitectura de 64bit, se instaló inicialmente el sistema operativo Ubuntu Linux 10.04 64bit, pero al instalar el software CFD hubo problemas en la ejecución del software

OpenFOAM 1.6

y se optó por la versión del sistema operativo Ubuntu Linux 10.04 32bit, en este caso ya no trajo problemas la instalación y ejecución del software

OpenFOAM 1.6

.

El hecho de cambiar de la arquitectura del sistema operativo se debió a que la instalación propia del software CFD no sería una cuestión de minutos sino que requería de un adiestramiento en lo que se refiere a compilación de software bajo Linux, comandos específicos, etc.

Se tiene presente que se sacrificó capacidad de proceso al cambiar de la arquitectura nativa de 64bit a 32bit, pero en los casos simples que se corrieron no se hubiesen encontrado grandes diferencias en los tiempos de ejecución ya que como el sistema operativo reconocía al microprocesador como si tuviera 4 núcleos, se corrían 4 casos a la vez, teniendo el factor crítico ó “cuello de botella” al disco rígido en cuanto a su velocidad de escritura y lectura.

Además se contaba con el sistema operativo Microsoft Windows XP que podía arrancar en forma alternativa al sistema operativo Ubuntu para correr programas no nativos de Linux.

(30)

3.2 Cilindro bidimensional

El flujo alrededor de un cilindro (en sentido transversal) es uno de los casos más estudiados de la mecánica de los fluidos, como así el de la esfera y también de la placa plana. Algunos de ellos de estudian bajo la teoría de flujo potencial y también como ejemplos para desarrollar teorías acerca de la capa límite.

El caso experimental del flujo alrededor de un cilindro otorga resultados interesantes para luego ser comparados con datos obtenidos mediante simulaciones numéricas.

3.2.1 Geometría

Cantidad de puntos: 368 Cantidad de líneas: 15 Cantidad de superficies: 7 Cantidad de volúmenes: 1

Cantidad de grupos físicos (Physical Groups): 7 (arriba, abajo, entrada, salida, cilindro, laterales e internalField)

Ancho: 1 Alto: 4 Largo: 22.5

Distancia al cilindro desde la entrada: 7 Diámetro del cilindro: 1

Origen del eje de coordenadas: en el centro del cilindro

Figura 3.1 – Geometría y contorno del cilindro bidimensional

3.2.2 Malla

Cantidad de divisiones en las caras superior e inferior: 200 Cantidad de divisiones en las áreas de entrada y de salida: 100 Cantidad de divisiones del contorno del cilindro: 100

(31)

Figura 3.2 – Malla del cilindro bidimensional Cantidad de Nodos en las líneas: 1380

Cantidad de Nodos en las superficies: 24056 Cantidad de Triángulos: 49502

Cantidad de Cuadriláteros: 695 Cantidad de Prismas: 24751

3.2.3 Condiciones de contorno

Se aplica la condición de no deslizamiento sobre las paredes del cilindro, las superficies superior e inferior del volumen de control tienen la condición de deslizamiento y sobre los laterales no se calcula nada.

Figura 3.3 – Geometría y contorno del cilindro bidimensional

(32)

3.2.4 Ejecuciones realizadas

Se ensayó al cilindro bidimensional bajo distintos números de Reynolds con el solver

icoFoam

y se obtuvieron los datos del coeficiente de resistencia y el coeficiente de sustentación en función del número de Reynolds y del tiempo respectivamente.

3.2.4.1 Cilindro 2D – Re 30

En este caso, se presenta una estela por detrás del cilindro de una longitud de 7 veces el diámetro del cilindro. No hay presencia de vórtices ni de irregularidades en el flujo ya que se está en una condición laminar.

Figura 3.4 – Cilindro 2D Campo de Velocidades Re=30

(33)

3.2.4.2 Cilindro 2D – Re 40

Para esta condición, se tiene una estela de una longitud de más de 7 veces el diámetro del cilindro. Al igual que el caso anterior no presenta alteraciones en el flujo ya que se sigue con el régimen laminar.

(34)

3.2.4.3 Cilindro 2D – Re 50

Este es un caso muy similar al anterior, estela larga sin alteraciones.

(35)

3.2.4.4 Cilindro 2D – Re 100

Para el valor del número de Reynolds de 100, se tiene que a medida que el flujo se establece, comienza a alterarse levemente con movimientos alternativos de la estela. Existe la presencia de la calle de vórtices de Von Karman. El valor del coeficiente de resistencia sigue por encima de 1.5 y se puede apreciar que el movimiento alternativo del campo de presiones y por ende de velocidades causa una variación del coeficiente de sustentación del tipo alternativa en función del tiempo.

(36)

3.2.4.5 Cilindro 2D – Re 200

Para esta condición de flujo, se tiene que es más notable la calle de vórtices de Von Karman y se presenta un leve incremento en la frecuencia del desprendimiento de los vórtices. Antes de que esto suceda, la estela toma un valor de su longitud que aparentemente es crítico para la formación de los vórtices.

(37)

3.2.4.6 Cilindro 2D – Re 500

Ídem al caso anterior pero con efecto del desprendimiento de vórtices más intenso.

(38)

3.2.4.7 Cilindro 2D – Re 1000

Ídem al caso anterior pero con efecto del desprendimiento de vórtices más intenso. La frecuencia del desprendimiento aumenta respecto al anterior valor anterior.

(39)

3.2.4.8 Cilindro 2D – Re 2000

Ídem al caso anterior pero con efecto del desprendimiento de vórtices más intenso.

(40)

3.2.5 Número de Strouhal

El número de Strouhal es un número adimensional que relaciona el valor de la frecuencia del desprendimiento de los vórtices con la velocidad de la corriente y la longitud de referencia. Se ha demostrado que para un cilindro que embiste la corriente fluida en sentido transversal (por ejemplo un poste, un cable, etc) el número de Strouhal tiende al valor de aproximadamente 0.21 para un cierto rango del número de Reynolds menores a 5000 (Kundu y Cohen, 2010).

Figura 3.20 – Comportamiento del número de Strouhal para el cilindro 2D Utilizando estos datos, es muy sencillo calcular la frecuencia de las oscilaciones a la que puede estar sometida una estructura cilíndrica. Por este fenómeno suele oírse el zumbido de los cables de energía eléctrica cuando los atraviesa una corriente de aire a cierta velocidad.

(41)

En la figura 3.20, se muestran los datos experimentales que se obtuvieron del número de Strouhal para distintos valores del número de Reynolds (NACA Report Nº1191, 1954).

El número de Strouhal se expresa mediante la siguiente ecuación:

∞

⋅

= U S

_T

ϖ l

(C1)

En donde:

ϖ

: es la frecuencia de desprendimiento [1/seg]

l

: es la longitud de referencia [m]

U

∞ : es la magnitud de la velocidad de la corriente fluida [m/seg]

En el caso del cilindro bidimensional, la velocidad y la longitud de referencia se han tomado como unitarias para mayor claridad y simplicidad en los cálculos.

La frecuencia se la puede calcular a través de un gráfico que relaciona el valor del coeficiente de sustentación con el tiempo (figura 3.26). En el mismo se observan las oscilaciones que sufre el cilindro y se mide el tiempo para que la oscilación cumpla un ciclo, se toma la inversa de ese valor de tiempo y así se obtiene la frecuencia.

Como el resto de los factores que intervienen en el cálculo del número de Strouhal son de magnitud unitaria, el valor de la frecuencia coincide con el valor buscado del número de Strouhal.

En las siguientes figuras se aprecian las oscilaciones del coeficiente de sustentación (gráficos de CL en abscisas y tiempo en ordenadas):

(42)

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

tiempo

Cl Re 100

Figura 3.21 – Oscilaciones del coeficiente de sustentación para Re 100

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

tiempo

Cl Re 200

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

tiempo

Cl Re 500

(43)

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

tiempo

Cl Re 1000

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

tiempo

Cl Re 2000

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

tiempo

Cl ^{Re 100}

Re 200 Re 500 Re 1000 Re 2000

(44)

De la figura 3.26, se calculan los números de Strouhal para los diferentes números de Reynolds. La tabla 3.1 muestra un resumen de los valores obtenidos:

Tabla 3.1 – Comparación de los números de Strouhal

Experimental Re 100 Re 200 Re 500 Re1000 Re2000

St 0.21 0,20 0,21 0,22 0,23 0,23

Se puede observar de los valores calculados que, para un número de Reynolds entre 100 y 500, se encuentran valores del número de Strouhal cercanos al valor experimental (ver figura 3.20), mientras que si el valor del número de Reynolds pasa el valor 1000, el número de Strouhal tiende a aumentar levemente para los resultados numéricos.

3.2.6 Coeficiente de resistencia y capa límite

Si se considera el flujo alrededor de un cilindro, el valor del coeficiente de resistencia (Cd) cuando el número de Reynolds es cercano a 10, es elevado y por ende los efectos viscosos dominan el flujo y toda la resistencia se debe a la fricción superficial. A medida que el número de Reynolds aumenta, los efectos viscosos se limitan cada vez más a la capa límite y existe una disminución del coeficiente de resistencia.

Sin embargo, cuando se alcanza un valor del Reynolds de 5000, el Cd empieza a incrementarse un poco, Esto se debe a que el proceso de separación se mueve hacia las partes superior e inferior del cilindro, al mismo tiempo, la presión en la estela se vuelve cada vez menor. Esto se debe a que la velocidad de la corriente principal es mayor a medida que se aproxima a las partes superior e inferior del cilindro, de manera que de acuerdo con la ecuación de Bernouilli, la presión de la corriente libre se vuelve cada vez menor. Luego la separación ocurre cerca de las partes superior e inferior del cilindro con una pequeña recuperación de la presión en la estela, hay una presión menor en la parte posterior del cilindro, lo que produce una resistencia mayor.

A medida que se incrementa el número de Reynolds, hay un descenso súbito de la curva para Reynolds 10⁵ y 10⁶. Para números de Reynolds por debajo del que corresponde al descenso súbito, la separación ocurre en el lado aguas abajo del cilindro y es de una capa límite laminar. Sin embargo, a medida que el número de Reynolds en la corriente principal se incrementa, el número de Reynolds en la capa límite también se incrementa, por ello, la capa límite experimenta una transición a una capa límite turbulenta antes de la separación.

Una de las diferencias importantes entre el flujo en una capa límite

(45)

velocidades de la capa límite turbulenta es más “empinado”. Esto significa que para la misma velocidad de la corriente libre y para el mismo espesor, el flujo en una capa límite turbulenta tiene apreciablemente más cantidad de movimiento que el flujo en una capa límite laminar. Por esta razón, el flujo en una capa límite turbulenta puede atravesar más fácilmente un gradiente de presión adverso de lo que puede hacerlo una capa límite laminar antes de que ocurra la separación, de manera que cuando la transición ocurre en la capa límite del cilindro, el punto de separación súbitamente se vuelve hasta otra posición aguas abajo en la superficie del cilindro, con el resultado de que la resistencia disminuye de manera apreciable. Luego, es la transición en la capa límite lo que explica el descenso súbito mencionado antes, en la curva del coeficiente de resistencia (Shames, 1995).

En la figura 3.27, se puede observar el comportamiento del coeficiente de resistencia experimental para un cilindro bidimensional (NACA Report Nº619, 1937).

Figura 3.27 – Coeficiente de resistencia experimental (NACA Report 619, 1937)

(46)

0 1 10 100

0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000

Re Cd

Cd - Experimental

Figura 3.28 – Zona de estudio por las simulaciones numéricas

En la figura 3.28, se puede apreciar la región de estudio por el solver

icoFoam

para el caso del cilindro bidimensional para ese rango del número de Reynolds, la misma se encuentra marcada con un óvalo.

(47)

0 1 10

10 100 1000 10000

Re

Cd Cd - OpenFOAM

Cd - Experimental

Figura 3.29 – Coeficiente de resistencia experimental y CFD (30<Re<2000)

En la figura 3.29 se aprecian gráficamente los resultados que comparan los valores del coeficiente de resistencia experimental para cierto rango del número de Reynolds con los valores obtenidos mediante las simulaciones computacionales.

(48)

REFERENCIA

REFERENCIA CALCULADO

RELATIVO

Valor

Valor Valor

Error −

=

_(C2)

En donde:

CALCULADO

Valor

: es el valor que se obtiene como resultado de la simulación

REFERENCIA

Valor

: es un valor de referencia, por ejemplo el experimental

En la tabla 3.2 se muestran comparativamente los resultados obtenidos junto con su error relativo.

Tabla 3.2 – Comparación de los coeficientes de resistencia

Re Cd - Experimental Cd - OpenFOAM Error Relativo

30 2,50 2,97 18,69%

40 2,20 2,64 20,18%

50 2,00 2,44 21,88%

100 1,80 2,00 11,26%

200 1,60 1,80 12,33%

500 1,30 1,65 26,80%

1000 0,99 1,47 48,02%

2000 0,97 1,13 16,39%

Para tener una idea del campo de movimiento alrededor del cuerpo en estudio, se suele graficar la magnitud de la velocidad en el software

ParaView

mediante un gráfico de contornos.

Se puede apreciar en la figura 3.30 comparando los resultados de las simulaciones para un número de Reynolds de 100 y de 200 para un tiempo total de 100 segundos. Es de notar que la formación de los vórtices es más acentuada y se genera más rápidamente para el Reynolds de 200 que para el de 100.

Evidentemente, a número de Reynolds bajos, la presencia del efecto de la viscosidad es predominante.