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GUÍA 7: FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La forma general de la función logaritmo es f(x)=logb (x) ;con b≠1, donde b es un número real positivo distinto de 1 llamado base y x es un número real positivo llamado argumento del logaritmo. El dominio de la función logaritmo es el conjunto de los números reales positivos.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO
La gráfica de una función logaritmo
f (x) = log
b(x)
es una curva que depende de su baseb
como se muestra a continuación:Observaciones:
La gráfica pasa por el punto (1, 0) ya que log 1 0b = y por el punto (b, 1), ya que, logbb =1.
Si
0 b 1
se dice que la función es decreciente. Si
b 1
se dice que la función es creciente.2
A PARTIR DEL MODELO LOGARÍTMICO RESPONDA
1. Un constructor cotiza materiales en varios lugares para la fabricación de una casa, eligiendo el más conveniente donde el valor a pagar (en miles de pesos) de x cantidad de ladrillos está dado por la función logarítmica f x( )=log (64 )2 x
a) Determina el valor a pagar si se compran 8 ladrillos.
b) Si el valor a pagar es de $10.000, ¿cuántos ladrillos se compraron?
2. Un programador visita una empresa para formatear los computadores de sus trabajadores. El valor total que le ofrece dicha empresa al programador (en cientos de miles de pesos) por x computadores, está dado por una función logarítmica f x( )=log (5 )5 x
a) ¿Cuánto se le paga por formatear 100 computadores?
b) Si la empresa le paga $400.000, ¿cuántos computadores formateó?
3. En una tienda que se dedica a la venta de repuestos automotrices, el valor a pagar (en ciento de miles de pesos) de x cantidad de neumáticos, está dado por la función logarítmica f x( ) log (243 )= 3 x
a) Determinar el valor a pagar si se compran 12 neumáticos.
b) Si el valor a pagar es de $663.093, ¿cuántos neumáticos se compraron?
4. En un laboratorio se estudia la cantidad de bacterias (en miles) que se reproducen después de x segundos, la que está dada por la función logarítmica
( ) log(1.000 )
f x = x
a) Calcular la cantidad de bacterias después de 1 minuto y 40 segundos.
b) ¿Después de cuánto tiempo hay 9.000 bacterias?
5. Una empresa de telefonía móvil ha ingresado al mercado Chileno con precios económicos en sus planes. Las proyecciones del número de clientes (en miles), dependiendo del tiempo en meses del ingreso de la compañía al mercado chileno, están modeladas a través de la expresión logarítmica
C(x) = log
3(x)
3 a) ¿Qué cantidad de clientes tendrá la compañía al cabo de 2 años en el
mercado chileno?
b) ¿Cuántos meses lleva la compañía en el mercado chileno, si tiene 1.000 clientes?
6. El PH es una medida utilizada para evaluar la acidez o alcalinidad de una solución o del suelo, esta depende de la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro (M/l), y se puede modelar a través de la expresión logarítmica
PH(x) = -log(x)
a) ¿Cuál es el PH de un suelo óptimo para la plantación de camelias, si la concentración de iones de hidrógeno es de 10-6 (m/l)?
b) Si el PH de un suelo muy ácido es 4, ¿cuál es su concentración de iones de hidrógeno?
7. La estatura de una planta, después de haber sido plantada, depende del agua proporcionada, y del clima en el cual se encuentre. Considerando que estas condiciones son las óptimas para su crecimiento, a medida que transcurren los días la planta incrementará su altura, de acuerdo a la expresión logarítmica
f (x) = 5 + 3log(x)
a) ¿Qué altura alcanzará una planta al cabo de una semana de haber sido plantada?
b) Si una planta tiene una altura de 11 cm, ¿hace cuántos días fue plantada?
8. En una empresa que se dedica a medir el consumo eléctrico de las casas de cierta comuna, la ganancia que obtiene (en decenas de miles de pesos) de x cantidad de casas medidas, está dada por la función logarítmica f x( )=log (49 )7 x a) ¿Qué ganancia se obtiene si se mide el consumo de 66 casas?
b) Si el valor a pagar es de $36.542, ¿en cuántas casas se midió el consumo eléctrico?
4 9. El banco “Super ideal” ofrece préstamos universitarios a jóvenes provenientes de familias vulnerables. El interés que cobra (en cientos de miles de pesos) depende del monto que se pida (en millones de pesos), el que está modelado por la función logarítmica f x( ) log (4 )= 4 x
a) Determine el interés si se piden $20.000.000.
b) Si el interés es de $200.000, ¿cuánto se pidió de préstamo?
10. La sonoridad de un sonido S(x) medida en decibelios, se define, utilizando la expresión logarítmica
S(x) = log(1000x)
, donde x es el flujo de energía producida por unidad de área (intensidad), medida en watts por metro cuadrado (W/m2).a) ¿Cuál es la sonoridad producida por el tráfico vehicular, si la intensidad es de 90 W/m2?
b) Si la sonoridad producida por un concierto es de 5 decibelios, ¿cuál es intensidad?
11. La magnitud M de una estrella, indica cuál es su clasificación de acuerdo al brillo que esta posea. Esta magnitud se puede determinar conociendo el flujo luminoso de la estrella, a través de la expresión logarítmica
f (x) = 6 - 2 log(x)
a) ¿Cuál es el la magnitud de una estrella, que tiene flujo luminoso 9?
b) Si la magnitud de una estrella es 4,8, ¿cuál es su flujo luminoso?
12. Una población de bacterias cambia según el modelo logarítmico
000 . 1 ) 25 , 0 1 ( ln 000 . 12 )
( t t
P
, donde t es el tiempo en días. Determine:a) ¿Cuál es la población inicial de bacterias?
b) ¿Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días?
c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si se observan 26.681 bacterias?
13. La altura de árboles enanos, medida en centímetros, en un vivero, está dada por la función,
h ( t ) 3 , 5 log( 0 , 75 t 1) 12,5
donde t es el tiempo en meses.Determine:
5 b) ¿Qué altura tendrán los árboles después de 16 meses?
c) ¿cuántos meses han transcurrido si la altura de los árboles alcanza los 16,7 cm?
14. La relación entre la energía liberada E, en Joule, y la magnitud de un terremoto M
(escala Richter) viene dada por
63 , 1
000 . log 10 74 , 1 ) (
E E
M
. Determine:a) Si un temblor libera una energía de 15.000 Joule, ¿cuál es la magnitud del temblor?
b) ¿Y si un terremoto libera 4,5 ·1016 Joule de energía?
c) Si se registra un terremoto de magnitud 8,4 en la escala de Ritchter ¿Cuál fu la cantidad de energía liberada?
6 SOLUCIONES
1. a) El valor a pagar es $9.000. b) Se compraron 16 ladrillos.
2. a) Se le paga $386.135. b) Formateó 125 computadores.
3. a) El valor a pagar es $726.186. b) Se compraron 6 neumáticos.
4. a) Hay 5.000 bacterias.
b) Al cabo de 1.000.000 de segundos o al cabo de 11 días, con 13 horas, 46 minutos y 40 segundos.
5. a) Tendrá 2.893 clientes. b) Lleva 3 meses.
6. a) El PH es 6. b) La concentración es de 10-4 m/l.
7. a) Alcanzará aproximadamente 7,54 cm. b) Hace 100 días.
8. a) Una ganancia de $41.531. b) En 25 casas.
9. a) El interés es de $316.096. b) Se pidió $4.000.000.
10. a) Es aproximadamente de 4,95 decibelios. b) Es de aproximadamente 100 W/m2.
11. a) La magnitud es de 3,6. b) El flujo luminoso es 3.
12. a) La población inicial es de 1.000 bacterias.
b) La población será de 32.232 bacterias.
13. a) La altura inicial de los árboles es de 12,5 centímetros.
b) La altura a los 16 meses será de 16,4 centímetros.
14. a) El temblor es de magnitud 1,2 grados Richter.
b) El temblor es de magnitud 8,8 grados Richter.
