N´ umero Combinatorio *

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(1)

Edumate

N´ umero Combinatorio *

Carlos Torres

www.edumate.wordpress.com

1. Introducci´ on

Al estudiar el n´ umero combinatorio estamos entrando al campo de lo que en matem´atica se conoce como Combinatoria. Asimismo, es necesario recalcar que el estudio del n´ umero combinatorio se desliga de un campo mucho m´as general que involucra el teorema del coeficiente binomial, llamado algunas veces como expansi´ on de un binomio, identidad del binomio, teorema del binomio o simplemente series binomiales 1

Siguiendo esa l´ınea, se estudia el n´ umero combinatorio como un aspecto te´orico nece- sario para abarcar ya propiamente lo que se entiende como Binomio de Newton o Teorema del Binomio.

2. Definici´ on

Se define el n´ umero combinatorio como el n´ umero total de grupos que se pueden formar de n elementos tomados de k en k, de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento. Simb´olicamente:

C k n = n k



= n!

k!(n − k)! donde n ≥ k Donde n es llamado ´ındice superior y k es el ´ındice inferior.

De ahora en adelante,utilizaremos n k



para denotar C k n

Ejemplos:

*

Todos los derechos reservados c

1

El Teorema del Binomio se escribe en su forma m´ as usual de la siguiente manera:

(x + y)

n

= X

n k=1

n!

k!(n − k)! x

nk

y

k

1

(2)

Edumate

3 PROPIEDADES

3 2



= 3!

2!(3 − 2)! = 3

4 4



= 4!

4!(4 − 4)! = 1

5 0



= 5!

0!(5 − 0)! = 1

6 2



= 6!

2!(6 − 2)! = 15

6 4



= 6!

4!(6 − 4)! = 15

4 1



= 4!

1!(4 − 1)! = 4

4 2



= 4!

2!(4 − 2)! = 6

5 2



= 5!

2!(5 − 2)! = 10

3. Propiedades

De los ejemplos anteriores, podemos deducir las siguientes propiedades

1. n k



= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) 1 × 2 × 3 × . . . × k 2. n

n



= 1

3. n 0



= 1

4. n p



= n q



, siempre que p = q ∨ p + q = n. De lo ´ ultimo se afirma que

n p



= n q



son llamados n´ umeros combinatorios complementarios.

5. n k

 +

 n k + 1



= n + 1 k + 1



6. n 0

 + n

1

 + n

2



+ . . . n n



= 2 n

F´ ormulas de Degradaci´ on

1. n k



= n k

n − 1 k − 1



2. n k



= n

n − k

n − 1 k



3. n k



= n − (k − 1) k

 n k − 1



= n − k + 1 k

 n k − 1



2

(3)

Edumate

4 PROBLEMAS

4. Problemas

1. Hallar el equivalente de : S = 7

0

 + 8

1

 + 9

2

 + 10

3

 + 11

4

 + 12

5



Resoluci´ on:

Usando la propiedad 3, tenemos: 7 0



= 1, pero asu vez 1 = 8 0



. Entonces, reescribiendo S:

8 0

 + 8

1

 + 9

2

 + 10

3

 + 11

4

 + 12

5



Ahora, por la propiedad 5:

8 0

 + 8

1



| {z }

9 1



+ 9 2



| {z }

10 2



+ 10 3



| {z }

11 3



+ 11 4



| {z }

12 4



+ 12 5



| {z }

13 5



∴ S = 13 5

 .

2. (Examen de Admisi´ on - UNMSM 2009 I)

Si: 2

1

 + n

2

 + n

3



= 12

Hallar el valor de 2n 6

 . Resoluci´ on:

Se conoce que 2 1



= 2, entonces:

2 1



| {z }

2

+ n 2

 + n

3



= 12 ⇒ n 2

 + n

3



= 10

Luego, como n 2

 + n

3



= n + 1 3



y aplicando definici´on de n´ umero combina- torio, tenemos:

n 2

 + n

3



= n + 1 3



| {z }

(n+1)!

3!(n−2)!

= 10

De ah´ı que por la propiedad 1 se tiene:

(n + 1)!

3!(n − 2)! = (n + 1)(n)(n − 1) (n − 2)! 

6 (n − 2)!  = 10

3

(4)

Edumate

4 PROBLEMAS

⇒ (n + 1)(n)(n − 1) = 60 = 5 × 4 × 3

⇒ n = 4 Finalmente:

2n 6



= 8 6



= 8!

6!2! = 8 × 7 × 6!

6!2 = 28

∴ 2n 6



= 28.

3. (Examen de Admisi´ on - UNMSM 2005 I) Hallar el valor de n, de modo que:

n

X

r=0

(2r + 1) n 3



= 2 n+4

Resoluci´ on:

Desarrollando la sumatoria:

n

X

r=0

(2r + 1) n 3



= n 0



+(3) n 1



+(5) n 2



+· · ·+(2n − 1)

 n n − 1



+(2n + 1) n n



Hacemos:

A = n 0



+ (3) n 1



+ (5) n 2



+ · · · + (2n − 1)

 n n − 1



+ (2n + 1) n n

 (1) Luego, reescribiendo A:

A = (2n + 1) n n



+ (2n − 1)

 n n − 1



+ · · · + (3) n 1

 + n

0



(2) Utilizando la propiedad 4 se observa en (1) y (2) que:

n 0



= n n

 , n

1



=

 n n − 1

 , · · · ,

 n n − 1



= n 1

 , n

n



= n 0



Ahora, sumando (1) y (2):

2A = (2n + 2) n 0



+ (2n + 2) n 1



+ · · · + (2n + 2)

 n n − 1



+ (2n + 2) n n



Factorizamos (2n + 2):

2A = (2n + 2) n 0

 + n

1

 + · · · +

 n n − 1

 + n

n



(3) Luego, por propiedad 6, se sabe que:

n 0

 + n

1

 + · · · +

 n n − 1

 + n

n



= 2 n

Entonces en (3), se obtiene al sustituir:

2A = (2n + 2) [2 n ] ⇒  2A =  2(n + 1)2 n ⇒ A = (n + 1)2 n

Por dato: n

X

r=0

(2r + 1) n 3



= 2 n+4 Entonces:

(n + 1)2 n = 2 n+4 ⇒ (n + 1)2 n = 2 n × 2 4 ⇒ n + 1 = 16 ⇒ n = 15

∴ n = 15.

4

Figure

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