Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

Práctica 1 de Análisis Numérico Dr. Úrsula Iturrarán Viveros

Parte de Aritmética de Punto Flotante

Ejercicio 1

(1.5 puntos) La aproximación de Stirling

se usa para aproximar el factorial .

Escriba un programa que muestre a modo de tabla tanto a como a , así como los errores relativos y absolutos para

= ⋅

𝑆

𝑛

2𝜋𝑛 ‾ ‾ ‾‾ ( ) 𝑛 𝑒

𝑛

𝑛!

𝑛! 𝑆

𝑛

𝑛 = 1, … , 20

Haga sus calculos en formato simple de IEEE

Construya una rutina de Julia para calcular el factorial de

𝑛

In [ ]:

¿Qué observa en los errores?

(2)

Ejercicio 2 (1.5 puntos)

Ejecute un ciclo que en cada paso reemplaze el valor asignado a la variable por el doble

𝑥

inicie con

Criterio de paro: el nuevo valor asignado a la variable ya no es mayor que el valor anterior

𝑥 = 1.0

In [ ]:

En aritmética exacta el criterio de paro nunca se cumple.

¿por qué se cumple con el formato doble del IEEE que usa Julia?

In [ ]:

Indique cuántas iteraciones realizó el ciclo así como el penúltimo valor y el último valor de la variable calculado por el ciclo

𝑥

In [ ]:

(3)

Ejercicio 3 (1.5 puntos)

Escriba una rutina para aproximar la evaluación de la función exponencial por los primeros términos de su serie de Taylor.

𝑛

In [ ]:

**Criterios de paro**: cuando el -esímo término sea menor que o bien cuando Tu rutina debe evitar errores de cancelación cuando recibe .

𝑛 10

− 6

𝑛 = 25

𝑥 < 0

In [ ]:

Genera una tabla donde muestres los valores que genera tu algoritmo para

así como las evaluaciones correspondientes usando la rutina de Julia para la exponencial. Muestre al menos 7 decimales usando notación científica

𝑥 = − 25, − 10, − 5, 5, 10, 12

In [ ]:

Para aproximar la derivada de la exponencial en , genere una tabla con las diferencias finitas

donde para

Realize las evaluaciones de y usando el algoritmo que diseño.

𝑥 = 0

− y 𝑒

𝑥+ ℎ

𝑒

𝑥

𝑒

𝑥+ ℎ

𝑒

𝑥− ℎ

ℎ = 2

− 𝑖

𝑖 = 1, … , 20. 2ℎ

,

𝑒

𝑥

𝑒

𝑥− ℎ

𝑒

𝑥+ ℎ

(4)

¿Las aproximaciones de la derivada del exponencial en mejoran o empeoran conforme aumenta?

Explique sus resultados.

𝑥 = 0 𝑖

In [ ]:

Parte de Álgebra Lineal Numérica

Ejercicio 4 (1.5 puntos)

Halle un comando para generar la matriz de Hilbert de tamaño . Construya una tabla que muestre y para

𝐻

𝑛

𝑛 × 𝑛

( )

cond

𝐻

𝑛

det( ) 𝐻

𝑛

𝑛 = 1, … , 30

In [ ]:

¿cómo cambia el determinante conforme aumenta?

𝑛

In [ ]:

Gŕafique

cond

( ) 𝐻

𝑛 contra para

𝑛 𝑛 = 1, … , 30

usando escala logarítmica para el eje vertical In [ ]:

(5)

¿qué le dice la gráfica anterior sobre el condicionamiento de

𝐻

𝑛?

In [ ]:

Sea un vector de unos de componentes. Sea .

Calcule la solución del sistema mediante factorización LU con pivoteo por renglones

y para .

NOTAS:

puede usar una rutina para factorización LU con pivoteo ,

no muestre explicítamente todas las factorizaciones y las soluciones, basta con la tabla de la normas

𝑢 𝑛 𝑏 = 𝐻𝑢

𝑥ˆ 𝐻𝑥 = 𝑏

‖ − 𝑢 𝑥ˆ

𝑛 = 5, … , 20

‖ − 𝑢 𝑥ˆ

In [ ]:

En teoría, . Por lo que .

¿esto se refleja en los calculos que hizo? ¿qué ocurre?

= 𝑢

𝑥ˆ ‖ − 𝑢 𝑥ˆ

= 0

In [ ]:

(6)

Ejercicio 5

(1.5 puntos) Normas y Regiones

- Escriba una rutina en Julia que encuantre el número de condición de cua lquier matriz de tamaño $N\times N$, sin usar las funciones predetermindas de julia para este fin.<br>

-Pruebe la rutina anerior con la matriz de Hilbert $H_5$, con</font>

$$H_n(i,j)=\left( \dfrac{1}{i+j-1} \right)_{i,j=1}^{n} $$

In [ ]:

¿Es

𝐻

5 bien condicionada? justifique su respuesta In [ ]:

Ejercicio 6

(2.5 puntos) Solucionador Lineal

- Debe construir tres rutinas en Julia para solucionar ecuaciones lineales, las cuales serán:Eliminación Gaussiana, Cholesky y Factorización LU.

Tenga en cuenta las restricciones y condiciones que se deben cumplir en cada método.

-Además construya un programa donde haga uso de las tres rutinas anteriores para comparar los tiempos (imprimir el tiempo de cada proceso) en la solución de un sistema de ecuaciones cuadrado dado.

- Pruebe el programa anterior con el sistema

𝐻

3

= (1, 2, − 1 )

𝑇

In [ ]:

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