Derivadas parciales de orden superior Extremos relativos

Derivadas parciales de orden superior

Extremos relativos

Logros esperados

 Aplica las reglas de derivación para calcular derivadas parciales de orden superior.

 Resuelve problemas y ejercicios intra-extra matemáticos haciendo uso de las derivadas parciales de orden superior.

 Calcula los extremos relativos de funciones de varias variables mediante las propiedades de las derivadas parciales.

 Resuelve problemas de optimización en

diversos contextos que involucran el uso de los

criterios del Hessiano y del Hessiano Orlado.

Funciones de varias variables

El estudio de la biodiversidad es un tema central en ecología de

comunidades y ecosistemas. La

biodiversidad, se refiere a la extensa variedad de seres vivos existentes en el planeta. El índice de Shannon es uno de los más comúnmente

usados en ecología y en

agroforestería para medir la

diversidad de la población, y se define como

𝐻 𝑥₁; 𝑥₂; … ; 𝑥_𝑛 = − 𝑥_𝑖 log₂(𝑥_𝑖)

𝑛

𝑖=1

¿Cómo calcularías la diversidad máxima de 𝑛 tipos de flores silvestres?

Derivadas parciales de orden dos

Sea la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥³𝑦⁴ − sen (𝑥𝑦) Derivadas parciales de orden uno:

𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 3𝑥²𝑦⁴ − 𝑦cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 4𝑥³𝑦³ − 𝑥cos(𝑥𝑦) Derivadas parciales de orden dos:

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥

^{= 6𝑥𝑦4 + 𝑦2sen(𝑥𝑦)}

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥

^{= 12𝑥2𝑦3} − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦)

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 12𝑥

²

𝑦

³

− cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦)

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦

^{= 12𝑥3𝑦2 + 𝑥2sen(𝑥𝑦)}

NOTACION

𝜕²𝑓

𝜕𝑥²

𝜕²𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕²𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕²𝑓

𝜕𝑥²

Derivadas parciales de orden dos

Otra notación para las derivadas parciales muy usada es:

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥 = ^𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙^𝟐 = 𝒇_𝒙𝒙 : Se deriva respecto de 𝑥 dos veces

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦 = ^𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚^𝟐 = 𝒇_𝒚𝒚 : Se deriva respecto de 𝑦 dos veces

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥

=

^𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝒇_𝒚𝒙 : Primero se derivada respecto de 𝑥, luego respecto de 𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦

=

_{𝝏𝒙𝝏𝒚}^𝝏𝟐𝒇 = 𝒇_𝒙𝒚 : Primero se derivada respecto de 𝑦, luego respecto de 𝑥

Ejemplo

Derivadas parciales de orden superior

1

Una función es llamada armónica cuando satisface la ecuación

𝜕²𝑓

𝜕𝑥² + 𝜕²𝑓

𝜕𝑦² = 0

en todo su dominio. Demuestre que la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = ln 𝑥² + 𝑦²

es armónica

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

Sea la función no constante 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑒^{𝑎𝑥+𝑏𝑦} tal que satisface ^𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0. Determine por lo menos un valor de 𝑎 y un valor de 𝑏, para que se cumpla la ecuación

𝜕²𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕𝑧

𝜕𝑥 − 𝜕𝑧

𝜕𝑦 + 𝑧 = 0

Solución

Teorema de Schwarz:

Igualdad de las derivadas parciales mixtas

Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ^𝑛 → ℝ una función definida en el abierto 𝑈 y 𝑥₀ ∈ 𝑈. Si para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑛 con 𝑖 ≠ 𝑗 se cumple que:

• Existen ^𝜕2𝑓

𝜕𝑥_𝑗𝜕𝑥_𝑖 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ 𝑈

• La función ^𝜕2𝑓

𝜕𝑥_𝑗𝜕𝑥_𝑖 : 𝑈 → ℝ es continua en 𝑥₀ entonces se cumple la igualdad:

𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑗𝜕𝑥_𝑖 𝑥₀ = 𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑗 𝑥₀ ; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

Teorema de Schwarz:

Igualdad de las derivadas parciales mixtas

Lo que el teorema de Schwarz afirma es que, bajo las hipótesis adecuadas, las derivadas parciales mixtas son iguales

Para una función de dos variables: 𝑓: ℝ² → ℝ 𝒇_𝒙𝒚 = 𝒇_𝒚𝒙

Para una función de tres variables: 𝑓: ℝ³ → ℝ 𝒇_𝒙𝒚 = 𝒇_𝒚𝒙 ; 𝒇_𝒙𝒛 = 𝒇_𝒛𝒙 ; 𝒇_𝒚𝒛 = 𝒇_𝒛𝒚

Ejemplo

Igualdad de las derivadas parciales mixtas

1

Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones y muestre que las derivadas parciales mixtas son iguales

a.- 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒

^{−2𝑥+3𝑦}

b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑒

^{−𝑥+2𝑦}

cos 2𝑦

Solución

EXTREMOS RELATIVOS

Sea 𝑓 una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ^𝑛 y 𝑥₀ ∈ 𝐷 𝑥₀ es un punto de mínimo local de 𝑓 cuando:

𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥₀) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 suficientemente cerca de 𝑥₀ 𝑥₀ es un punto de máximo local de 𝑓 cuando:

𝑓 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥₀) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 suficientemente cerca de 𝑥₀

Cualquier punto del eje X es punto de mínimo local

El punto (0; 0) es punto de máximo local. ¿Existen puntos de mínimo local?

𝑥 𝑦 𝑥

𝑦

𝑧 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒚^𝟐 𝑧 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 − 𝟏

Máximos y mínimos

Funciones de dos variables

Sea 𝑓(𝑥; 𝑦) una función con derivadas parciales de

segundo orden continuas. Para hallar los extremos relativos de la función 𝑓, se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Se hallan los puntos críticos (𝑎; 𝑏) que son las soluciones del sistema:

𝜕𝑓(𝑥; 𝑦)

𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑓(𝑥; 𝑦)

𝜕𝑦 = 0

Paso 2. Para cada punto crítico (𝒂; 𝒃) se calcula el siguiente determinante, llamado Hessiano

𝑑 =

𝜕²𝑓(𝑎; 𝑏)

𝜕𝑥²

𝜕²𝑓(𝑎; 𝑏)

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕²𝑓(𝑎; 𝑏)

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕²𝑓(𝑎; 𝑏)

𝜕𝑦²

Máximos y mínimos

Funciones de dos variables

Paso 3. para hallar los máximos y mínimos se tiene en

cuenta

𝑺𝒊 𝒅 > 𝟎 𝒚 ^{𝝏𝟐𝒇(𝒂;𝒃)}

𝝏𝒙^𝟐 > 𝟎, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en (𝑎; 𝑏)

𝑺𝒊 𝒅 > 𝟎 𝒚 ^{𝝏𝟐𝒇(𝒂;𝒃)}

𝝏𝒙^𝟐 < 𝟎 , entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en (𝑎; 𝑏)

𝑺𝒊 𝒅 < 𝟎, entonces 𝑓 no tiene ni máximo ni mínimo en (𝑎; 𝑏). Punto silla

𝑺𝒊 𝒅 = 𝟎, entonces el criterio no da ninguna conclusión.

Ejemplo

Máximos y mínimos

1

Determine los extremos relativos de las siguientes funciones:

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥³ + 𝑦³ + 9𝑥² − 3𝑦² + 15𝑥 − 9𝑦 + 20 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥(𝑥 + 4𝑦 − 2𝑦²)

c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥²𝑦² + 𝑥² − 4𝑦² + 5𝑥 − 3

Solución:

Ejemplo

Máximos y mínimos

2

Una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 𝑚³ se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta 10 dólares el metro cuadrado; los lados, con un material que cuesta 5

dólares el metro cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.

Solución:

Ejemplo

Máximos y mínimos

2

La empresa sajita S.A . Produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Arequipa y Trujillo. Los costos mensuales totales de producción en cada planta son:

𝐶_𝐴 𝑥 = 50𝑥² + 1000 y 𝐶_𝑇 𝑦 = 8𝑦³ − 400𝑦 + 2000

donde 𝑥 e 𝑦 son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 2000 soles la unidad. ¿Cuántas unidades debería producir mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?

Solución:

Caso para que analice el estudiante: 1

Sea la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 sen(𝑥)

Determine los puntos críticos de 𝑓 y clasifíquelos (máximo relativo, mínimo relativo, punto silla).

Solución:

PASO 1: Hallamos los puntos críticos resolviendo el sistema:

𝑓_𝑥 = 0 → − sin 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 cos 𝑥 = 0 𝑓_𝑦 = 0 → sin 𝑥 = 0

Reemplazamos la segunda ecuación en la primera y obtenemos:

𝑦 − 𝑥 cos 𝑥 = 0

de donde 𝑦 = 𝑥 ∨ cos 𝑥 = 0 y de la segunda ecuación sin 𝑥 = 0 Como las funciones «seno» y «coseno» nunca se anulan

simultáneamente, tenemos que:

𝑦 = 𝑥 ∧ sin 𝑥 = 0 De donde obtenemos las soluciones:

𝑦 = 𝑥 = 𝑛 𝜋 donde 𝑛 ∈ ℤ Luego todos los puntos críticos son de la forma:

𝑛 𝜋; 𝑛 𝜋 donde 𝑛 ∈ ℤ

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 2: Calculemos el Hessiano, para ello hallemos las derivadas parciales de segundo orden:

𝑓_𝑥𝑥 = − 2cos 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 ; 𝑓_𝑥𝑦 = cos 𝑥 ; 𝑓_𝑦𝑦 = 0 luego:

𝐻 𝑥; 𝑦 = − 2cos 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥

cos 𝑥 0

PASO 3: Analizamos en cada punto crítico:

𝑑 = det 𝐻 𝑛 𝜋; 𝑛 𝜋 = − cos 𝑛 𝜋 ² = −1 < 0

(note que este resultado es cierto para cualquier valor de 𝑛 ∈ ℤ)

En consecuencia, todos los puntos críticos son puntos de silla para la función 𝑓.

Máximos y mínimos

Funciones de tres variables

Sea 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) una función con derivadas parciales de

segundo orden continuas. Para hallar los extremos relativos de la función 𝑓, se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Se hallan los puntos críticos (𝑎; 𝑏; 𝑐), que son las soluciones del sistema:

𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 𝑓_𝑦(𝑧; 𝑦; 𝑧) = 0

𝑓_𝑧(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0

Paso 2. Se calculan los siguientes valores:

𝐻₁ 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓_𝑥𝑥 𝑥; 𝑦; 𝑧 , 𝐻₂ 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓_𝑥𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑥𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑦𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑦𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧)

y 𝐻₃(𝑥; 𝑦; 𝑧) =

𝑓_𝑥𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑥𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑥𝑧(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑦𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑦𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑦𝑧(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑧𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑧𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓_𝑧𝑧(𝑥; 𝑦; 𝑧)

Máximos y mínimos

Funciones de tres variables

Paso 3: y para cada punto crítico a; b; c seguimos el siguiente criterio:

𝑺𝒊 𝑯_𝟏(𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎; 𝑯_𝟐(𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎 𝒚 𝑯_𝟑(𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en (𝑎; 𝑏; 𝑐)

𝑺𝒊 𝑯_𝟏 𝒂; 𝒃; 𝒄 < 𝟎; 𝑯_𝟐 𝒂; 𝒃; 𝒄 > 𝟎 𝒚 𝑯_𝟑 𝒂; 𝒃; 𝒄 < 𝟎, entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en (𝑎; 𝑏; 𝑐)

𝑺𝒊 𝑯_𝟑(𝒂; 𝒃; 𝒄) ≠ 𝟎, y cualquier otra posibilidad, entonces 𝑓 no tiene ni máximo ni mínimo en (𝑎; 𝑏; 𝑐) es Punto silla

𝑺𝒊𝑯_𝟑(𝒂; 𝒃; 𝒄) = 𝟎, entonces el criterio no da ninguna conclusión.

Ejemplo 1

Determine y clasifique los puntos críticos de la siguiente función

𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥² + 2𝑦² + 3𝑧² − 𝑥𝑦𝑧

Solución:

EXTREMOS CONDICIONADOS

Sea 𝒇 una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ^𝒏 , 𝐶 ⊂ 𝐷 y 𝑥₀ ∈ 𝐷 ∩ 𝐶

• 𝒙_𝟎 es un punto de mínimo de 𝒇 sujeto a 𝐂 cuando:

𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥₀) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐶

• 𝑥₀ es un punto de máximo de 𝑓 sujeto a 𝑪 cuando:

𝑓 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥₀) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐶

Función con mínimo pero sin máximo.

Gráfica de 𝒇

𝑪

Función con mínimo y máximo condicionado.

Ptos. de max

Ptos. de min

𝑪

𝑥 𝑦

𝑧

𝑥 𝑦

𝑧

Multiplicadores de Lagrange

Sean 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ y 𝑔: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ funciones con

derivadas de orden dos que son continuas.. Para

determinar los extremos relativos de 𝑓 (máximos y

mínimos) sujetos a la condición 𝑔 𝑥 = 0, se siguen los siguientes pasos:

PASO 1. Considere la función 𝐿 de Lagrange definida por:

𝑳 𝝀; 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝝀 𝒈 𝒙

PASO 2. Halle los puntos críticos (𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀) de la función 𝐿, que son las soluciones del sistema:

𝛻𝑓 𝑥 + 𝜆 𝛻𝑔 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 = 0

Método del Hessiano Orlado

∆₃ 𝜆; 𝑥; 𝑦 = 𝑑𝑒𝑡

0 𝑔_𝑥 𝑔_𝑦 𝑔_𝑥 𝐿_𝑥𝑥 𝐿_𝑥𝑦 𝑔_𝑦 𝐿_𝑦𝑥 𝐿_𝑦𝑦

PASO 3. Se define el Hessiano orlado como:

Si ∆₃ 𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀ < 0 entonces hay un mínimo en (𝑥₀; 𝑦₀) para la función 𝑓 sujeta a la restricción 𝑔 = 0

y para cada punto crítico (𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀) seguimos el siguiente criterio:

En ℝ^𝟐

Si ∆₃ 𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀ > 0 entonces hay un máximo en (𝑥₀; 𝑦₀) para la función 𝑓 sujeta a la restricción 𝑔 = 0

Ejemplo

Multiplicadores de Lagrange

1

Determine los puntos donde las siguientes funciones alcanzan sus extremos relativos condicionados

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥² + 𝑦² sujeto a 𝑥 + 𝑦 = 4 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 sujeto a 𝑥² + 𝑦² = 1 c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 4𝑥𝑦 sujeto a ^𝑥₉² + ^𝑦₁₆² = 1

Solución:

Ejemplo

Multiplicadores de Lagrange

2

A un editor se le han asignado 60 mil soles para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si se gastan “𝑥” miles de soles en desarrollo y “𝑦” miles de soles en promoción se venderán aproximadamente 𝑓 𝑥, 𝑦

= 20𝑥³² 𝑦 ejemplares del libro.Determine la cantidad de

dinero que debe asignar el editor al desarrollo y promoción para maximizar las ventas (justifique su respuesta usando el Hessiano orlado)

Solución:

Método del Hessiano Orlado

En ℝ^𝟑

∆₄ 𝜆; 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑑𝑒𝑡

0 𝑔_𝑥 𝑔_𝑦 𝑔_𝑧 𝑔_𝑥 𝐿_𝑥𝑥 𝐿_𝑥𝑦 𝐿_𝑥𝑧 𝑔_𝑦 𝐿_𝑦𝑥 𝐿_𝑦𝑦 𝐿_𝑦𝑧 𝑔_𝑧 𝐿_𝑧𝑥 𝐿_𝑧𝑦 𝐿_𝑧𝑧

PASO 3. Se define el Hessiano orlado como:

Y denotemos por:

∆₃ 𝜆; 𝑥; 𝑦; 𝑧 =

0 𝑔_𝑥 𝑔_𝑦 𝑔_𝑥 𝐿_𝑥𝑥 𝐿_𝑥𝑦 𝑔_𝑦 𝐿_𝑦𝑥 𝐿_𝑦𝑦

Método del Hessiano Orlado

Si

∆

₃

(𝜆

₀

; 𝑥

₀

; 𝑦

₀

; 𝑧

₀

) < 0

y ∆₄(𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) < 0 entonces hay un mínimo en (𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) para la función 𝑓 sujeta a 𝑔 = 0

Si

∆

₃

𝜆

₀

; 𝑥

₀

; 𝑦

₀

; 𝑧

₀

> 0

y ∆₄(𝜆₀; 𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) < 0 entonces hay un máximo en (𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) para la función 𝑓 sujeta a 𝑔 = 0

Ejemplo

Método del Hessiano Orlado

1

Determine y clasifique los extremos condicionados de la función

𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 sujeta a la condición 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4

Solución:

Ejemplo

Método del Hessiano Orlado

2

Una partícula de masa 𝑚 se encuentra ubicada en el interior de una caja de dimensiones 𝑥, 𝑦 y 𝑧. La energía de estado de la partícula está dada por la función

𝐸 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑘² 8𝑚

1

𝑥² + 1

𝑦² + 1 𝑧²

donde es una constante física y 𝑚 es la masa de la partícula.

Si el volumen de la caja debe mantenerse en un valor constante de 8cm³, calcule los valores de 𝑥, 𝑦 y 𝑧 que minimizan la energía de estado de la partícula

Solución:

Multiplicadores de Lagrange

(Cuando la curva de restricción sea acotada). Se sigue el procedimiento:

VARIOS PUNTOS CRÍTICOS

VALOR DE LA FUNCIÓN

𝑃₁ 𝑓(𝑃₁)

𝑃₂ 𝑓(𝑃₂)

𝑃₃ 𝑓(𝑃₃)

Se busca el mayor o menor valor según sea el caso Varios puntos críticos de la forma

𝝀_𝟏; 𝑷_𝟏 , 𝝀_𝟐; 𝑷_𝟐 , 𝝀_𝟑; 𝑷_𝟑 , …

Multiplicadores de Lagrange

UN SOLO PUNTO CRÍTICO

VALOR DE LA FUNCIÓN

𝑃₁ 𝑓(𝑃₁)

𝑃 𝑓(𝑃)

Se busca el mayor o menor valor con respecto a 𝒇(𝑷) Cualquier

punto que satisface la

condición

Un solo punto crítico de la forma 𝝀_𝟎; 𝑷_𝟎

Ejemplo

Multiplicadores de Lagrange

3

Determine los valores extremos de la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦² sujeta a la condición 𝑥² + 𝑦² = 1

Solución:

Ejemplo

Multiplicadores de Lagrange

4

Una plancha de aluminio rectangular se enrolla para obtener un cilindro circular recto. Se desea inscribir el cilindro formado en una esfera de radio 10 cm de tal manera que el área

lateral del cilindro sea la máxima posible.Determine las

dimensiones de la plancha de aluminio para cumplir con el objetivo del problema.

a.- Use el Hessiano Orlado.

b.- Use el criterio para curvas acotadas.

Solución:

Lo que no debes olvidar

• Una función puede tener varios puntos donde ocurre un máximo (o mínimo), pero su valor máximo (o mínimo) es único. Máximo valor

de la función: 2

Mínimo valor de la función: −2 𝑥

𝑦 𝑧

• Para un problema de optimización:

1. Con restricciones, use el criterio del HESSIANO ORLADO.

2. Sin restricciones, use el criterio del HESSIANO.

Lo que no debes olvidar

• En un sistema de ecuaciones no debes eliminar expresiones que contienen variables (a menos que el ejercicio garantice que éstas son diferentes de cero)

Si 𝑓_𝑥 = 𝑥 + 2𝑦 − 𝑦² = 0

𝑓_𝑦 = 2𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0 → 𝑥 + 2𝑦 = 𝑦² 𝑥 = 𝑥𝑦

Al eliminar 𝑥 en la segunda ecuación obtenemos 𝑦 = 1 y al reemplazar en la primera ecuación resulta 𝑥 = −1. Por lo tanto habría un solo

punto crítico 𝑃(−1; 1).

Pero en realidad existen tres puntos críticos: 𝑃₁ −1; 1 , 𝑃₂ 0; 0 y 𝑃₃ 0; 2

• Cuando en el criterio del Hessiano se obtiene 𝒅 = 𝟎, el criterio no da ninguna conclusión. Se tiene que aplicar

otros procedimientos (graficando la función, analizando las

curvas de nivel, etc.)

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Qué dificultades encontré al hallar los

extremos relativos de una función de varias variables?

 ¿Por qué es importante conocer los criterios

para hallar máximos y mínimos de una función?

 ¿Cómo contribuye los aprendido en mi

formación profesional?

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson