1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos

Texto completo

(1)

1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos

Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:

hipotenusa

cateto

cateto

El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado

“HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.

(2)

1.1 Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

(cateto )

2

+(cateto )

2

=(Hipotenusa)

2

(3)

De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide Ejemplo:

(Aplicando teorema de Pitágoras) (Desarrollando)

(Restando)

15

2

+ (QR)

2

= 25

2

225 + (QR)

2

= 625

(QR)

2

= 625 - 225 (QR)

2

= 400

(Despejando (QR)2 )

(4)

• Números pitagóricos:

Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras.

Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de

Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos formados al

multiplicar el trío inicial por cada número natural. Por ejemplo:

3, 4 y 5 6, 8 y 10

5, 12 y 13 10, 24 y 26

8, 15 y 17

(5)

Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.

32 + 42 = 52

62 + 82 = (10)2

92 + 122 = (15)2

(6)

Consideremos los siguientes casos:

1. Cuando un cateto es el doble del otro

2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:

Ejemplo:

(7)

1.2 Teorema de Euclides

Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que:

Además, se cumple que:

∙hc2 = p q a2 = c q ∙ b2 = c p ∙

hc = a·b c

∙p: proyección del cateto AC sobre la

hipotenusa q: proyección del cateto BC sobre la

hipotenusa

(8)

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:

Ejemplo:

Aplicando Teorema de Euclides:

CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)

CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)

CD = 4 3∙ CD = 2 3

(9)

Además, por Euclides se cumple que:

AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando) (Aplicando raíz)

AC = 2 7 AC2 = 7 4 ∙

2 7

2 3

(10)

2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo

2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°

En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

(11)

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo ABC de la figura.

∠ BAC = 30° ⇒

El área del triángulo ABC es:

CB = 5 y AB = 5 3

= 25 3 2

5 5 3

Área = 5 5 3 2

30°

(12)

Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

(13)

2.2 Triángulo rectángulo isósceles

A C

B En el triángulo rectángulo

isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que:

Ejemplo:

∠ CBA = 45°

C

BC = 4 2

⇒ Solución:

45°

4 4 2

⇒ AC = 4 y En la figura, determinar la

medida del lado BC (hipotenusa).

(14)

AM = MB = CM

2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

Si M es punto medio de AB, entonces:

tc : transversal

(15)

Ejemplo:

Completando los ángulos, ∠ CBA = 40°

Solución:

⇒ AD = DB = CD

⇒ D es punto medio

⇒ ∠ CBA = ∠ DCB

40°

40°

Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el ∠ DCB.

Si CD es transversal de gravedad,

⇒ El triángulo CDB es isósceles de base BC

(16)

2.4 Área de un triángulo rectángulo

A = a ∙ b 2 A = cateto 1 ∙ cateto

2 2

En la figura:

(17)

3. Triángulo Equilátero

3.1 Definición

Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y sus tres ángulos congruentes.

AB = BC = CA

(18)

3.2 Propiedades

• Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.

ha = hb= hc ta = tb= tc ba = bb= bc Sa = Sb= Sc

Además:

ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc

Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro

(19)

Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3.

• Área y altura de un triángulo equilátero:

Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como:

A = a2 3 4

h = a 3 2

Ejemplo:

Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

(20)

A partir de la altura determinaremos el lado.

Sea x la medida del lado, entonces:

h = x 3 2 3 3 = x 3

2 3 = x

2 6 = x

Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:

(21)

• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:

h = r + r

2 ⇒ h = 3r 2

(22)

• Relación entre el triángulo equilátero

y la circunferencia inscrita:

(23)

4. Triángulo Isósceles

4.1 Definición

Es aquel que tiene dos lados congruentes y un lado distinto llamado “base”.

Los ángulos basales son congruentes.

4.2 Propiedades

a) La altura, transversal, bisectriz y simetral que

(24)

Ejemplo:

40°

90°

= 50°

En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.

Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.

Si D: punto medio, entonces BD es transversal.

⇒ BD es altura, bisectriz y simetral.

(25)

b) Las alturas, transversales y bisectrices que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo.

ha = hb ta = tb ba = bb

Sa = Sb

Además:

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :