Derivadas parciales Derivadas parciales de una función de 2 de una función de 2
variables variables
Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas mediante
Sea
z=f ( x , y )
:∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
∆ z
x∆ x = lim
∆ x →0
f ( x +∆ x , y )−f ( x , y )
∆ x
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
∆ z
y∆ y = lim
∆ y → 0
f ( x , y +∆ y )−f ( x , y )
∆ y
Siempre y cuando existan los límites.
Ejemplos
z=e
x + y∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
e
x+ ∆ x+ y−e
x+ y∆ x
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
e
∆ xe
x+ y−e
x+ y∆ x
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
e
x+ y( e
∆ x−1 )
∆ x
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
e
x+ y( ∆ x )
∆ x
∂ z
∂ x =e
x + y∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
e
x+ y+∆ y−e
x+ y∆ y
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
e
∆ ye
x+ y−e
x+ y∆ y
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
e
x+ y( e
∆ y−1 )
∆ y
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
e
x+ y( ∆ y )
∆ y
∂ z
∂ y = e
x+ y
z=ln(
x− y)
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
ln ( x+∆ x− y )−ln ( x− y )
∆ x
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
1
∆ x ( ln ( x +∆ x− y x− y ) )
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
1
∆ x ( ln ( 1+ x− y ∆ x ) )
∂ z
∂ x = lim
∆ x→ 0
1
∆ x ( x− y ∆ x )
∂ z
∂ x = 1 x− y
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
ln ( x− y−∆ y )−ln( x− y )
∆ y
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
1
∆ y ( ln ( x− y−∆ y x− y ) )
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
1
∆ y ( ln ( 1− x− y ∆ y ) )
∂ z
∂ y = lim
∆ y →0
1
∆ y ( −∆ y x− y )
∂ z
∂ y = −1 x− y
z=arctan ( x y )
∂ z
∂ x = 1 1+ y
2x
2( − x
2y )
∂ z
∂ x = x
2x
2+ y
2( − x
2y )
∂ z
∂ x = − y x
2+ y
2∂ z
∂ y = 1 1+ y
2x
2( 1 x )
∂ z
∂ y = x
2x
2+ y
2( 1 x )
∂ z
∂ y = x x
2+ y
2 z=ln ( tan ( x y ) )
∂ z
∂ x = 1
tan ( x y ) ( sec ( x y ) )
2( 1 y )
∂ z
∂ x = 1
y sin ( x y ) cos ( x y )
∂ z
∂ y = 1
tan ( x y ) ( sec ( x y ) )
2( − y x
2)
∂ z
∂ y = − x
y
2sin ( x y ) cos ( x y )
Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x.
De forma análoga, para obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo
Calcular fx y fy para la función Solución
Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta
Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:
Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan
Ejemplo
Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln 2)
Solución
Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es
Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln 2) es
Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,
figura 3.1
Representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c).
De forma similar,
Representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.
figura 3.2
Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0, y0, z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente.
Ejemplo
Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.
Solución
En la dirección x, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.3)
En la dirección y, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.4)
Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
figura 3.3 figura 3.4
Derivadas Derivadas
parciales de orden parciales de orden
superior
superior
Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de orden segundo, tercero y superior, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).
1. Derivar dos veces respecto de x:
2. Derivar dos veces respecto de y:
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial
Orden de derecha a izquierda
Indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial (fy)x=fyx
Orden de izquierda a derechaindica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se deriva primero respecto de la variable que está más cercana a f.
La derivadas parciales van a ser funciones de x y y, y por lo tanto podemos volver a derivar.
En forma general, se obtienen 3 derivadas de segundo orden, ya que:
∂
2z
∂ y ∂ x = ∂
2z
∂ x ∂ y
Cuando dos funciones y sus derivadas son continuas, no importa el orden de derivación, pues se obtendrán dos derivadas idénticas.
z ( x , y )=x
my
n1. ∂ z
∂ x =m x
m −1y
n∂
2z
∂ x
2=m( m−1) x
m−2y
n∂
2z
∂ y ∂ x =mn x
m−1y
n −12. ∂ z
∂ y =n x
my
n−1∂
2z
∂ y
2=n (n−1) x
my
n−2∂
2z
∂ x ∂ y =mn x
m−1y
n −1∴ ∂
2z
∂ y ∂ x = ∂
2z
∂ x ∂ y
EJERCICIOS:
Sea u+v=x y u-y v=0 tal que u y v están definidas implícitamente en función de
(x,y). Calcular
∂
2u
∂ x
2 y∂
2u
∂ y ∂x
.
∂
∂ x ( u+v ) = ∂
∂ x ( x)
∂
∂ x ( u− yv ) = ∂
∂ x (0)
∂ u
∂ x + ∂ v
∂ x =1
∂u
∂ x −v ∂ y
∂ x − y ∂ v
∂ x =0
∂ u
∂ x + ∂ v
∂ x =1
∂u
∂ x − y ∂ v
∂ x =0
Despejamos.
∂ u
∂ x = ∂ v
∂ x
∂u
∂ x − y(1+ ∂u
∂ x )=0
∂u
∂ x (1+ y )= y
∂u
∂ x = y 1+ y
∂
2u
∂ x
2= ∂
∂ x [ 1+ y y ]
⇒ ∂
2u
∂ x
2=0
No depende de la variable x.
∂
2u
∂ y ∂ x =∂
∂ y [ 1+ y y ]
∂
2u
∂ y ∂ x = ( 1+ y− y) ( 1+ y)
2⇒ ∂
2u
∂ y ∂ x = 1 (1+ y)
2Hallar la
∂
2z
∂ x
2 ,∂
2u
∂ y ∂x
si z=ln(x2+y).∂ z
∂ x = ∂
∂ x [ ln( x
2+ y ) ]
∂ z
∂ x = 2 x ( x
2+ y)
∂
2z
∂ x
2= 2( x
2+ y)−2 x (2 x )
( x
2+ y)
2⇒
∂
2z
∂ x
2= −2 x
2+2 y ( x
2+ y )
2∂ z
∂ y = ∂
∂ y [ ln( x
2+ y) ]
∂ z
∂ y = 1 x
2+ y
⇒ ∂
2z
∂ x
2=− 1 ( x
2+ y )
2∂
2z
∂ x∂ y = ∂
∂ x [ x
21 + y ]
⇒ ∂
2z
∂ x ∂ y = −2 x
( x
2+ y )
2∂
2z
∂ y ∂ x = ∂
∂ y [ x 2 x
2+ y ]
⇒ ∂
2z
∂ y ∂ x = −2 x ( x
2+ y )
2Hallar ∂
2u
∂ r
2, si u=f (x , y , z ) , donde z=h ( x , y )
seau=f (x , y , z ) , donde x=x (r , s) ; y= y (r , s ); z=z (r , s)
∂u
∂ r = ∂u
∂ x . ∂ x
∂ r + ∂ u
∂ y . ∂ y
∂ r + ∂ u
∂ z . ∂ z
∂ r
∂
2u
∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂ u ∂ x . ∂ x
∂r + ∂u
∂ y . ∂ y
∂r + ∂ u
∂ z . ∂ z
∂ r )
∂
2u
∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂ u ∂ x . ∂ x
∂r ) + ∂ r ∂ ( ∂ y ∂u . ∂ y
∂ r ) + ∂ r ∂ ( ∂u ∂ z . ∂ z
∂r )
∂
2u
∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂ u ∂ x . ∂ x
∂r ) + ∂ r ∂ ( ∂ y ∂u . ∂ y
∂ r ) + ∂ r ∂ ( ∂u ∂ z . ∂ z
∂r )
∂
2u
∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂ u ∂ x ) ∂ x ∂r + ∂u
∂ x
∂
∂ r ( ∂ x ∂ r ) + ∂ r ∂ ( ∂ u ∂ y ) ∂ y ∂ r + ∂ u
∂ y
∂
∂ r ( ∂ y ∂r ) + ∂ r ∂ ( ∂u ∂ z ) ∂ z ∂ r + ∂ u
∂ z
∂
∂ r ( ∂ z ∂r )
∂
2u
∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂ u ∂ x ) ∂ x ∂r + ∂
2x
∂ r
2∂ u
∂ x + ∂
∂r ( ∂ y ∂ u ) ∂ y ∂ r + ∂
2y
∂ r
2∂ u
∂ y + ∂
∂ r ( ∂u ∂ z ) ∂ z ∂r + ∂
2z
∂r
2∂u
∂ z
∂
∂r ( ∂ u ∂ x ) = ∂ ∂ x
2u
2∂ x ∂ r + ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂
∂r ( ∂ y ∂ u ) = ∂ x ∂ y ∂
2u
∂ x
∂ r + ∂
2u
∂ y
2∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r
∂
∂r ( ∂ u ∂ z ) = ∂ x ∂ z ∂
2u
∂ x
∂ r + ∂
2u
∂ y ∂ z
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z
2∂ z
∂ r
∂
2u
∂ r
2= ( ∂ ∂ x
2u
2∂ x
∂ r + ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r ) ∂ x ∂r + ∂ ∂ r
2x
2∂ u
∂ x + ( ∂ x ∂ y ∂
2u ∂ x ∂ r + ∂ y ∂
2u
2∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r ) ∂ y ∂ r + ∂ ∂ r
2y
2∂ u
∂ y + ( ∂ x ∂ z ∂
2u ∂ x ∂ r + ∂ y ∂ z ∂
2u ∂ y ∂ r + ∂ ∂ z
2u
2∂ z
∂ r ) ∂ z ∂ r + ∂ ∂ r
2z
2∂ u
∂ z
∂
2u
∂ r
2= ( ∂ ∂ x
2u
2∂
2x
∂ r
2+ ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r
∂ x
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂ x
∂ r ) + ∂ ∂r
2x
2∂ u
∂ x + ( ∂ x ∂ y ∂
2u ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r + ∂ y ∂
2u
2∂
2y
∂ r
2+ ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r
∂ y
∂ r ) + ∂ ∂ r
2y
2∂ u
∂ y + ( ∂ x ∂ z ∂
2u ∂ x ∂r ∂ z ∂r + ∂ y ∂ z ∂
2u ∂ y ∂r ∂ z ∂ r + ∂ ∂ z
2u
2∂
2z
∂ r
2) + ∂ ∂ r
2z
2∂ u
∂ z
∂
2u
∂ r
2= ∂
2u
∂ x
2∂
2x
∂ r
2+ ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r
∂ x
∂r + ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂r
∂ x
∂r + ∂
2x
∂ r
2∂ u
∂ x + ∂
2u
∂ x ∂ y
∂ x
∂ r
∂ y
∂r + ∂
2u
∂ y
2∂
2y
∂ r
2+ ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r
∂ y
∂r + ∂
2y
∂r
2∂u
∂ y + ∂
2u
∂ x ∂ z
∂ x
∂ r
∂ z
∂ r + ∂
2u
∂ y ∂ z
∂ y
∂ r
∂ z
∂ r + ∂
2u
∂ z
2∂
2z
∂r
2+ ∂
2z
∂ r
2∂ u
∂ z
∂
2u
∂ r
2= ∂
2u
∂ x
2∂
2x
∂ r
2+ ∂
2x
∂ r
2∂u
∂ x + ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂r
∂ x
∂r + ∂
2u
∂ x ∂ y
∂ x
∂ r
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂ x
∂ r + ∂
2u
∂ x ∂ z
∂ x
∂r
∂ z
∂r + ∂
2u
∂ y
2∂
2y
∂ r
2+ ∂
2y
∂ r
2∂ u
∂ y + ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂r
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ y ∂ z
∂ y
∂ r
∂ z
∂ r + ∂
2u
∂ z
2∂
2z
∂r
2+ ∂
2z
∂ r
2∂ u
∂ z
∂
2u
∂ r
2= ∂
2u
∂ x
2∂
2x
∂ r
2+ ∂
2x
∂ r
2∂u
∂ x +2 ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r
∂ x
∂ r + 2 ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂ x
∂ r + ∂
2y
∂ r
2+ ∂
2y
∂ r
2∂ u
∂ y +2 ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂r
∂ y
∂ r + ∂
2u
∂ z
2∂
2z
∂ r
2+ ∂
2z
∂r
2∂u
∂ z
∂
2u
∂ x
2∂
2x
∂r
2= ∂
2u
∂ r
2− ∂
2x
∂ r
2∂ u
∂ x −2 ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r
∂ x
∂ r −2 ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂ x
∂ r − ∂
2y
∂ r
2− ∂
2y
∂ r
2∂ u
∂ y −2 ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r
∂ y
∂r − ∂
2u
∂ z
2∂
2z
∂ r
2+ ∂
2z
∂ r
2∂ u
∂ z
∂
2u
∂ x
2= ( ∂ ∂ r
2u
2− ∂
2x
∂ r
2∂ u
∂ x −2 ∂
2u
∂ y ∂ x
∂ y
∂ r
∂ x
∂ r −2 ∂
2u
∂ z ∂ x
∂ z
∂ r
∂ x
∂ r − ∂
2y
∂ r
2− ∂
2y
∂ r
2∂ u
∂ y −2 ∂
2u
∂ z ∂ y
∂ z
∂ r
∂ y
∂r −¿ ∂
2u
∂ z
2∂
2z
∂r
2+ ∂
2z
∂ r
2∂ u
∂ z )
∂
2x
∂ r
2Ejemplo
Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de fxy(-1,2)
Solución
Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:
Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta
Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28
Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.
Teorema
Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
Ejemplo
Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función
Solución
Las parciales primeras son,
Y las parciales cruzadas son,
En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie dada f(x,y) en el punto indicado P
fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)-[z-f(a,b)]=0
z=x
2+y
2=f(x,y) ; P(2,-1,5) a b f(a,b)
( , ) 2 (2, 1) 4
( , ) 2 (2, 1) 2 4( 2) 2( 1) ( 5) 0
4 8 2 2 5 0
4 2 5 0
x x
y y
z f x y x f
x
z f x y y f
y
x y z
x y z
x y z
Ecuación del plano tangente a P(2,-1,5)
( . . ) 2 z sen x y
; P(3,5,-1)
. . 5 15
.cos( ) (3,5) cos( ) 0
2 2 2 2
. . 3 15
.cos( ) (3,5) cos( ) 0
2 2 2 2
0( 3) 0( 5) ( 1) 0 1
x
y
z x y
y f
x
z x y
x f
y
x y z
z
Ecuaciones de las Derivadas Parciales
Sea u(x,t) = f(x,t)Unidimensional del calor
2
(
2)
u u
t k x
u(x,t): Temperatura de una varilla x: Longitud de la varilla
t: Instante de tiempo k: Constante
Sea u(x,y,t) = f(x,y,t)
Bidimensional del calor
2 2
2 2
( )
u u u
t k x y
Sea ψ (x,t) = f(x,t) Unidimensional de onda
∂
ψ
∂2u=
a
2 ,∂x
2∂t
ψ
(x,t): Desplazamiento del punto sobre la cuerda en la posición “x” en el instante “t”a: constante
Si u(x,t) = u, función temperatura de estado estacionario de una placa plana y delgada, satisface
Ecuación de Laplace
2 2
2 2
0
u u
x y
Ecuación de Van Der Waals 2
( a )( ) 82.06
p V b T
V
(para 1 mol de gas) P: Presión (atm)
V: Volumen Molar ( cm3 ) T: Temperatura (°k)
a^b: Constantes
Ejercicios:
La temperatura en ºC sobre una placa metálica en el plano xy está dada por T(x,y)=4+2x
2+y
2. Cuál es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia (medida en metros) si nos estamos moviendo del punto P(3,2) en dirección positiva del eje y.
2 2
( , ) 4 3( ) (var )
T x y x y
x fijo
y ía
a)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
0
( )
( )
( )( ) 82.06
u u
x y
u u u
t k x y
u u
t k x
p a V b T
V
Si (x,y)=(3,2) (3, 2) º
4( )
T C
y m
b)
(var ) 2( ) x ia y fijo
4
(3, 2) º 12( )
T x
x
T C
x m
En física se muestra que la temperatura u(x,t) en el instante t en el punto x de una varilla larga y aislada que está sobre el eje x satisface la
ecuación unidimensional del calor:
2 2
u u
t k x
(k es constante)
Muestre que la función u=u(x,t)=e
(-n^2.k.t)sen(nx) satisface la ecuación unidimensional del calor para cualquier elección de la constante n.
Entonces
2 2
u u
t k x
La ley del gas ideal p.V=n.R.T (n es el número de moles del gas, R es una constante) determina cada una de
2
2
2
2
2 . .
. .
2
2 . .
2 2
2 . .
2
. . . ( . ) . .cos( . )
. . ( . )
. . . . ( . )
n k t
n k t
n k t
n k t
u n k e sen n x
t
u n e n x
x
u n e sen n x
x
k u n k e sen n x
x
las tres variables p,V y T (presión, volumen y temperatura) en función de las otras dos.
Muestre que: p V . . T 1
V T P
. .
. . . . p n R T
V V n R T
p T p V
n R
2
( . . )( . )( ) 1 .
1 1
T n R V
n R V p n R
Una superficie mínima tiene la menor área superficial de todas las superficies con la misma frontera. La figura muestra la superficie mínima de Scherk. Tiene la ecuación: z=ln(cos(x))-ln(cons(y))
. .
2.
.
p T
V n R V
V n R
T p
T V
P n R
Se puede demostrar que una superficie mínima z=f(x,y) satisface la ecuación diferencial parcial
(1+z
y2)z
yy-z.z
x.z
y.z
xy+(1+z
x2)z
yy=0
Sólo existe un punto en el que todo plano tangente a la superficie z=x
2+2xy+2y
2- 6x+8y es horizontal. Determínelo.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
tan( ) tan( )
sec ( ) sec ( ) 0
(1 tan ( )).sec ( ) [ln(cos( )) ln(cos( ))]( tan( ))(tan( ))(0) (1 tan ( )).sec ( ) 0 1 tan ( ) sec ( )
sec ( )sec ( ) sec ( )sec ( ) 0 0 0
x y xx yy xy
z x
z y
z x
z y
z
y x x y x y x y
y y
y x y x
Se deriva a la función, para que sea horizontal zx=0, zy=0, se igualan las dos ecuaciones y se sacan los puntos a y b.
Multiplicando por (-1)
2 14 0
2 14
7 b b b
2 2( 7) 6 0 2 20
10 a a a
2 2