Vectores. Geometría Analítica del Plano 1

(1)

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Geometría analítica Curso 2015/16 1 / 41

(2)

1 Vectores Introducción Definiciones

Operaciones con vectores Espacio vectorial V² Bases y coordenadas Producto escalar Expresión analítica

2 Ecuaciones de la Recta

Ecuaciones vectorial y paramétrica Ecuaciones continua y general Ecuación punto pendiente Ecuación explícita

3 Posiciones relativas de dos rectas

Rectas en forma general Rectas en forma explícita

4 Ángulo de dos rectas

En función de los vectores directores En función de las pendientes

5 Distancias

Distancia entre puntos

Distancia de un punto a una recta

6 Problemas Propuestos

7 ¡No me cuentes historias!

Descartes y Gibbs

8 Complementos Coordenadas polares

9 Bibliografía

10 Créditos

(3)

Ir a Índice

1| Ve tores

(4)

(5)

Necesitamos, además, indicar la dirección y el sentido en que se aplican.

(6)

(7)

Necesitamos, además, indicar la dirección y el sentido en que se aplican. Estas magnitudes se llamanvectoresy decimos que un vector es un segmento orientado.

De esta simple definición vemos que el segmento orientado tiene una longitud omódulo, una direccióno recta sobre la que se asienta y unsentidode aplicación. Gráficamente lo representamos mediante una flecha.

(8)

¿Y como expresamos analíticamente los vectores ?. La respuesta es mediante pares de números reales, (a, b) ∈ R²(recordar que estamos en el plano).

(9)

Necesitamos, además, indicar la dirección y el sentido en que se aplican. Estas magnitudes se llamanvectoresy decimos que un vector es un segmento orientado.

¿Cómo explicamos esto?.

(10)

¿Cómo explicamos esto?. Consideremos una fuerza F , que representamos mediante una flecha.

Esta flecha la podemos proyectar o descomponer en dos componentes, Fx y Fy, sobre los ejes OX y OY ; y estas componentes, en tanto que segmentos dirigidos sobre ejes fijo, pueden definirse mediante un número, positivo o negativo según el sentido; es decir, mediante un par de números reales.

OX OY

F

2 0.5

1.5

0.5

⇒ ^{F = (1}^.5,¹⁾

(11)

(12)

(13)

R²= {(x, y) |x ∈ R, y∈ R}

P es el plano ordinario, cuyos elementos,(x, y) ∈ R², llamamos puntos y los denotamos por P, Q, etc.

(14)

Sean dos puntos A y B del plano P. Estos determinan un segmento AB. Unvector fijoes un segmento cuyos extremos se dan en un cierto orden, y escribimos # »AB. Así, # »ABes distinto de # »BA.

(15)

R²= {(x, y) |x ∈ R, y∈ R}

Sean dos puntos A y B del plano P. Estos determinan un segmento AB. Unvector fijoes un segmento cuyos extremos se dan en un cierto orden, y escribimos # »AB. Así, # »ABes distinto de # »BA.

Se llama coordenadas de un vector fijoAB# »al par de números (x2− x¹, y2− y¹) y se llama módulo de un vector fijo a la distancia entre A y B, esto es

OX OY

B

A

y2− y1

x2− x1

x2

x1

y2

y1

# »

AB= (x2− x¹,y2− y¹)

|AB# »| =^»(x2− x¹)²+ (y2− y¹)²

(16)

OX B1

A1

A2 B3

A3

(17)

OX OY

B1

A1

B2

A2 B3

A3

B

A x

y

Todos los vectores equipolentes se pueden representar por uno,AB, que llamamos# » vector libre, y cuyas coordenadas las representamos por el par (x, y ) ∈ R², que tiene de módulop

x²+ y². Observamos que un vector libre representa a todos los vectores fijos que son equivalentes a él ( se diceclase de equivalencia).

(18)

OX B1

A1

A2 B3

A3

B

A x

y

Lamamosespacio de los vectores libres del plano, V²al conjunto de todos los vectores libres (clases de equivalencia).

(19)

OX OY

B1

A1

B2

A2 B3

A3

B

A x

y

Lamamosespacio de los vectores libres del plano, V²al conjunto de todos los vectores libres (clases de equivalencia).

Nota: A partir de aquí trabajamos con vectores libres, y nos referiremos a ellos simplemente como vectores, y los denotamos como u, ~u, v, ~v, etc. Observar que los elementos de V²se representan como pares (x, y ) ∈ R², igual que los puntos del plano. No hay lugar a confusión pues se denotan de forma distinta.

(20)

Diferencia de u = (u1, u2) y v = (v1, v2), y lo denotamos como u − v, al vector:

u − v = (u1− v¹, u2− v²)

(21)

u + v = (u1+ v1, u2+ v2)

u − v = (u1− v¹, u2− v²)

Suma de vectores

OX OY

O

#»u

#»v

# » u+ v

(22)

u − v = (u1− v¹, u2− v²)

Suma de vectores Diferencia de vectores

OX OY

O

#»u

#»v

# » u+ v

OX OY

O

#»u

#»v

# » u− v

(23)

λ · u = (λu1, λu2)

Producto por un escalar

OX OY

O

λ · #»u

#»u

(24)

OX OY

O

λ · #»u

#»u

Si λ > 0, entonces #»u y λ · #»u tienen el mismo sentido.

(25)

λ · u = (λu1, λu2)

OX OY

O

λ · #»u

#»u

Si λ > 0, entonces #»u y λ · #»u tienen el mismo sentido.

Si λ < 0, entonces #»u y λ · #»u tienen sentido opuesto.

(26)

(27)

Asociativa: Dados lo vectores u, v y w de V², se tiene u + (v + w) = (u + v) + w

(28)

Elemento neutro: Existe el elemento neutro y es 0, pues u + 0 = 0 + u = u

(29)

Asociativa: Dados lo vectores u, v y w de V², se tiene u + (v + w) = (u + v) + w Elemento neutro: Existe el elemento neutro y es 0, pues u + 0 = 0 + u = u Elemento opuesto: Existe el opuesto de u y es −u, pues u + (−u) = 0

(30)

Elemento neutro: Existe el elemento neutro y es 0, pues u + 0 = 0 + u = u Elemento opuesto: Existe el opuesto de u y es −u, pues u + (−u) = 0 Conmutativa: Dados lo vectores u y v de V², se tiene u + v = v + u

(31)

Asociativa: Dados lo vectores u, v y w de V², se tiene u + (v + w) = (u + v) + w Elemento neutro: Existe el elemento neutro y es 0, pues u + 0 = 0 + u = u Elemento opuesto: Existe el opuesto de u y es −u, pues u + (−u) = 0 Conmutativa: Dados lo vectores u y v de V², se tiene u + v = v + u

(32)

El producto de escalares por vectores (que se dice que es una operación externa) cumple las siguientes propiedades en V²:

(33)

λ(u + v) = λu + λv

(34)

λ(u + v) = λu + λv (λ + β)u = λu + βu

(35)

λ(u + v) = λu + λv (λ + β)u = λu + βu (λ · β)u = λ(βu)

(36)

λ(u + v) = λu + λv (λ + β)u = λu + βu (λ · β)u = λ(βu) 1 · u = u

(37)

(38)

El conjunto V²con la suma de vectores y el producto por escalares, se dice que tiene estructura deEspacio Vectorial; es decir

(V²,+,·) ←→ Espacio Vectorial

(39)

El conjunto V²con la suma de vectores y el producto por escalares, se dice que tiene estructura deEspacio Vectorial; es decir

(V²,+,·) ←→ Espacio Vectorial

NOTA: Observa que (R², +, ·) también tiene estructura de Espacio Vectorial.

(40)

(41)

independientes.

OX OY

O i

j

Dos vectores del plano que sean linealmente independientes, como i y j, forma unabase.

(42)

OX

O i

j

Cualquier vector del plano se puede escribir comocombinación linealde la base; es decir

a = xi + xj, (x, y ) ∈ R²

NOTA: Trabajaremos con basesortonormales (vectores perpendiculares y de módulo unidad.

(43)

independientes.

OX OY

O i

j

u v

u = 3i + 2j v = i + 3j

a = xi + xj, (x, y ) ∈ R²

El par (x, y ) ∈ R²se llamacoordenadas Observa que el vector u tiene por coordenadas (3, 2).

y el vector v tiene por coordenadas (1, 3).

(44)

OX

O i

j

u v

u = 3i + 2j v = i + 3j

a = xi + xj, (x, y ) ∈ R²

El par (x, y ) ∈ R²se llamacoordenadas Observa que el vector u tiene por coordenadas (3, 2).

y el vector v tiene por coordenadas (1, 3).

Fijado un punto O en el plano y dada una base B = {i, j} se dice queℜ = {O; i, j}. es unsistema de referencia afín.

(45)

(46)

Se llamaproducto escalarde dos vectores u y v, y lo representamos como u · v, al escalar (número real) siguiente:

u · v = |u| · |v| · cos(u, v)

(47)

Producto escalar

u · v = |u| · |v| · cos(u, v) Como propiedades importantes tenemos:

Conmutativa: u · v = v · u

(48)

Distributiva respecto de la suma: u · (v + w) = u · v + u · w

(49)

Producto escalar

Distributiva respecto de la suma: u · (v + w) = u · v + u · w Producto por si mismo: u · u = |u| ≥ 0

(50)

Si u 6= 0, v 6= 0 y u ⊥ v entonces u · v = 0

(51)

Producto escalar

(52)

OBSERVACIÓN: Si u y v son vectores ortonormales, entonces u · v = 0

y

|u| = |v| = 1

(53)

i · j = j · i = 0

(54)

(55)

i · i = j · j = 1 i · j = j · i = 0

OX OY

O i

j

u v

Sean u = u1i + u2j y v = v1i + v2j

(56)

OX OY

O i

j

u v

Sean u = u1i + u2j y v = v1i + v2j Entonces el producto escalar es

u · v = (u1i + u2j) · (v1i + v2j)

(57)

i · i = j · j = 1 i · j = j · i = 0

OX OY

O i

j

u v

Sean u = u1i + u2j y v = v1i + v2j Entonces el producto escalar es

u · v = (u1i + u2j) · (v1i + v2j) Operando y simplificando, obtenemos

u· v = u¹v₁+ u2v₂

Expresión analítica del producto escalar

(58)

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2| E ua iones de

la Re ta

(59)

OX OY

O P0

P

#»d

Sea un punto conocido P0= (x0, y0) , un vector director #»d= (a, b) y un punto genérico P = (x, y )

Del dibujo vemos que

# » OP=# »

OP₀+ t#»

d con t∈ R (x,y) = (x0,y0) + t(a,b)

que es laecuación vectorialde la recta

(60)

OX O

P0

#»d

Sea un punto conocido P0= (x0, y0) , un vector director #»d= (a, b) y un punto genérico P = (x, y )

Del dibujo vemos que

# » OP=# »

OP₀+ t#»

d con t∈ R (x,y) = (x0,y0) + t(a,b)

que es laecuación vectorialde la recta Si separamos la ecuación vectorial en sus componentes, obtenemos la

Ecuación Paramétrica

x = x₀+ ta y = y₀+ tb

™

t ∈ R

(61)

t = x− x0

a t = y− y⁰

b







⇒ (igualando obtenemos)

x− x⁰

a = y− y⁰ b

que es la Ecuación Continuade la recta.

(62)

t = y− y⁰

b 

⇒ (igualando obtenemos)

x− x⁰

a = y− y⁰ b

que es la Ecuación Continuade la recta.

Quitemos denominadores y agrupemos términos semejantes; tenemos x− x⁰

a =y− y⁰

b ⇒ bx− ay + ay⁰− bx⁰= 0 Si ahora hacemos A = b, B = −a y C = ay⁰− bx⁰, nos queda

Ax+ By + C = 0

que es la Ecuación Generalo Ecuación Implícitade la recta.

(63)

OX OY

O

α α

b P0= (x0, y0)

#»d= (a, b)

a b

La ecuación continua, x− x⁰

a = y− y⁰ b , la escribimos como y − y0= b

a(x − x0)

.

La cantidad b

a se llamapendiente.

y se representa porm.

Observa que m = tan α.

Así pues, la ecuación queda como

y− y⁰= m(x − x⁰)

(64)

OX O

α α

b P0= (x0, y0)

#»d= (a, b)

#»n= (−b, a)

a b

La ecuación continua,

a =

b , la escribimos como y − y0= b

a(x − x0)

.

La cantidad b

a se llamapendiente.

y se representa porm.

Observa que m = tan α.

Así pues, la ecuación queda como

y− y⁰= m(x − x⁰)

Nota: observa que unvector normala #»d= (a, b) = (−B, A)es #»n = (−b, a) = (A, B).

(65)

OX OY

O α

b (0, n)

Si en la ecuación punto-pendiente despejamos la y

tenemos que y = mx + y0− mx⁰

.

Lamemos ahora n = y0− mx0, y tenemos

y= mx + n

El númeronse llamaordenada en el origen

y nos da el punto de corte de la recta con el eje OY . (Ver figura)

(66)

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3| Posi iones

relativas de dos

re tas

(67)

Secantes

Ax+ By + C = 0

A^′x+ B^′y+ C^′ = 0

´

Una solución

Paralelas

Ax+ By + C = 0

A^′x+ B^′y+ C^′ = 0

´

Sin solución

Coincidentes

Ax+ By + C = 0

A^′x+ B^′y+ C^′ = 0

´

Infinitas Soluciones

A continuación resolvemos analíticamente el sistema y vemos la relación que hay entre la posición y las soluciones.

(68)

Ax+ By+ C = 0 (AB− AB )· y = AC − AC La posibles soluciones son:

(69)

Ax+ By + C = 0

A^′x+ B^′y+ C^′ = 0 ⇒ (AB− AB )· x = BC − B C (A^′B− AB^′)· y = AC^′− A^′C La posibles soluciones son:

Secantes: Solución única. Esto sólo es posible si(A^′B− AB^′)6= 0 o A

A^′ 6= B B^′

(70)

Ax+ By+ C = 0 (AB− AB )· y = AC − AC La posibles soluciones son:

A^′ 6= B B^′

Paralelas: No tiene solución. Esto sucede porque(A^′B− AB^′)= 0,BC^′− B^′C6= 0 y AC^′− A^′C6= 0, o

A A^′ = B

B^′ 6= C C^′

(71)

Ax+ By + C = 0

A^′x+ B^′y+ C^′ = 0 ⇒ (AB− AB )· x = BC − B C (A^′B− AB^′)· y = AC^′− A^′C La posibles soluciones son:

A^′ 6= B B^′

Paralelas: No tiene solución. Esto sucede porque(A^′B− AB^′)= 0,BC^′− B^′C6= 0 y AC^′− A^′C6= 0, o

A A^′ = B

B^′ 6= C C^′

Coincidentes: Tiene infinitas soluciones. Esto sucede porque(A^′B− AB^′)= 0, BC^′− B^′C= 0 yAC^′− A^′C= 0, o

A A^′ = B

B^′ = C C^′

(72)

Secantes

y = mx+ n y = m^′x+ n^′

´

⇒ m6= m^′

Paralelas

y = mx+ n y = m^′x+ n^′

´

⇒ m = m^′

n 6= n^′

´

Coincidentes

y = mx+ n y = m^′x+ n^′

´

⇒ m = m^′

n = n^′

´

(73)

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4| Ángulo de

dos re tas

(74)

Ángulo por vectores directores

α

180 − α

v= (v2, v2) u= (u2, u2)

(75)

el concepto de producto escalar. Tenemos:

α

180 − α

v= (v2, v2) u= (u2, u2)

(76)

α

180 − α

v= (v2, v2) u= (u2, u2)

(77)

el concepto de producto escalar. Tenemos:

α

180 − α

v= (v2, v2) u= (u2, u2)

#»u· #»v = | #»u| · | #»v| · cos(#»u, #»v) ⇒ cos( #»u, #»v) =

#»u· #»v

| #»u| · | #»v|

es decir

cos(#»u,#»v) =

#»u · #»v

|#»u| · |#»v|

=

u₁v₁+ u2v₂

»u²₁+ u₂²·^»v₁²+ v₂²

(78)

αr

αs

α r

s y= msx+ n

(79)

αr

αs

α r

s

y = mrx+ n

y= msx+ n

De la trigonometría sabemos que tan α = tan(αr− α^s) = tan αr− tan α^s

1 + tan αrtan αs

(80)

αr

αs

α r

s y= msx+ n

1 + tan αrtan αs

Además sabemos que tan αr= mr y tan αs= ms

(81)

αr

αs

α r

s

y = mrx+ n

y= msx+ n

1 + tan αrtan αs

Además sabemos que tan αr= mr y tan αs= ms

Por tanto tenemos

tan α = m_r − m^s 1+ mr · m^s

(82)

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5| Distan ias

(83)

AB²= AC²+ CB²=p

(x2− x¹)²+ (y2− y¹)²

Distancia entre dos puntos

OX OY

B

A C

Teorema de Pitágoras

x2

x1

y₂

y1

(84)

Distancia entre dos puntos

OX OY

B

A

Módulo de un vector

x2

x1

y₂

y1

Pero en geometría vectorial, la distancia entre dos puntos la calculamos como el módulo del vectorAB# »(ver figura). ComoAB# »= (x2− x¹, y2− y¹), tenemos:

d(AB) = |# »

AB| = ^q(x2− x¹)² + (y2 − y¹)²

Vectores. Geometría Analítica del Plano 1

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