f g x g x dx   f u du

(1)

Técnicas de integración.

Integración por sustitución o cambio de variable.

Si ^{u g x}^

 

es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces

    ^{ } ^{ } ^.

f g x g x dx   f u du

 

Demostración.

Si ^{F x}^

 

^ ^{f x}

 

^,_entonces

    ^{ }  ^{ } 

f g x g x dx F g x    C



porque, por la regla de la cadena

         

^.

d F g x F g x g x dx   

Si hacemos el cambio de variable ^{u g x}^

 

^,_tenemos

    ^{ }  ^{ }   ^{ }  ^{ } ^.

F g x g x dx F g x      C F g u   C F u du 

 

o bien, ya que ^{F x}^

 

^ ^{f x}

 

^, se tiene que

        ^.

f g x g x dx   f u du

 

La regla para obtener integrales por sustitución, en el caso de integrales definidas es:

Si

g

es continua en

 

^{a b}^, y f es continua en la imagen de ^{u g x}^

 

^,_entonces

    ^{ }

_{ }^{ }

^{ } ^.

b g b

a

f g x g x dx  

g a

f u du

 

Observación importante: En este método, también se deben cambiar los límites de integración de la integral en la nueva variable, esto es más sencillo que regresar a evaluar la integral en la variable original.

(2)

Integrales de potencias de funciones trigonométricas.

Potencias de senos y cosenos.

Para evaluar integrales de la forma

 sin

^m

x cos

ⁿ

x dx ,

donde m y n son enteros no negativos, se consideran los siguientes casos:

a. Si la potencia del coseno es impar



ⁿ^²^k^^{1 ,}



aparte un factor de coseno y use la identidad

2 2

cos x   1 sin x

para expresar los factores restantes en términos del seno:

   

2 1 2 2

sin^mxcos ^k^ x dx sin^mx cos x ^kcosx dx sin^mx 1 sin x ^kcosx dx.

  

A continuación, haga la sustitución

u  sin . x

b. Si la potencia del seno es impar



^m^²^k^^{1 ,}



aparte un factor de seno y use la identidad

2 2

sin x   1 cos x

para expresar los factores restantes en términos del coseno:

   

2 1 2 2

sin ^k^ xcosⁿx dx sin x ^kcosⁿ xsinx dx 1 cos x ^kcosⁿxsinx dx.

  

A continuación, haga la sustitución ucos .x

Si las potencias de seno y coseno son ambas impares, puede usar indistintamente cualquiera de los dos métodos.

c. Si ambas potencias de seno y coseno son pares, se emplean las identidades

Es posible que se vuelva a emplear de manera recurrente las identidades anteriores, hasta que no quede ninguna integral de potencias cuadráticas de cosenos.

(3)

Integrales de productos de secantes y tangentes.

 tan

^m

x sec

ⁿ

x dx ,

donde m y n son enteros no negativos, se consideran los siguientes casos:

a. Si la potencia de la secante es par, se separa un factor de

sec x

² y se emplea la identidad a fin de expresar los factores restantes en términos de

 

¹

 

¹

2 2 2 2 2

tan^mxsec ^kx dx tan^mx sec x ^k^ sec x dx tan^mx 1 tan x ^k^ sec x dx.

  

b. Si la potencia de la tangente es impar se separa un factor de y use la identidad a fin de expresar los factores restantes en términos de

Las integrales de la forma

 cot

^m

x csc

ⁿ

x dx

se pueden obtener por métodos semejantes, empleando la identidad

Los casos serían:

a. Potencias pares de la cosecante.

b. Potencias impares de la cotangente.

Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento.

 cos mx cos nx dx ,  ^sin ^mx ^cos ^{nx dx}

o

sin cos  mx sin nx dx

se emplean las identidades trigonométricas:

   

cos cos 1 cos cos

2 sin cos 1 sin sin

2 sin sin 1 cos cos

2 m n m n m n

m n m n m n

       

       

(4)

Integración por sustitución trigonométrica.

Cuando se tienen integrandos de la forma:

a

²

 x

²

, a

²

 x

²

o x

²

 a

²

,

se realizan sustituciones inversas, que permiten expresar la integral en términos de funciones trigonométricas.

Sustituciones trigonométricas empleadas.

Forma del integrando Sustitución Identidad

2 2

a x sin ,

2 2

x a



  

   1 sin 

²

  cos

²



2 2

a x tan ,

2 2

x a



  

   1 tan 

²

  sec

²



2 2

x a ^{x a}^ ^{sec , 0}^ ^{ }^ ^₂^o^{ }^{ }³₂^

sec

²

   1 tan

²



Figura 1. Gráficas que ilustran las sustituciones trigonométricas.

 



x x

x a

2 2

a x

2 2

a x

a

2 2

x a sin

x a 

sec x a 

tan x a 

(5)

Integración por partes.

La regla de derivación de un producto establece que si f y g son funciones derivables, entonces

           

^.

d f x g x f x g x g x f x

dx    

Al integrar de ambos lados y considerar los teoremas sobre integrales indefinidas, tenemos

            ^,

f x g x   g x f x dx   f x g x

 

 



es decir

            ^.

f x g x dx   g x f x dx   f x g x

 

            ^,

f x g x dx   f x g x  g x f x dx 

 

A esta ecuación se le conoce como la fórmula de integración por partes. La forma en que se le recuerda más fácilmente es la siguiente: sea ^u^ ^{f x}

 

^y^{v g x}^

 

^. Entonces,

 

^y

 

^,

du f x dx dv g x dx  así, la fórmula de integración por partes se transforma en

. udv uv   vdu

 

Observaciones.

 En este método se deben realizar, en principio, dos integrales: la primera, integra dv para encontrar v, y la segunda integral es

 v du .

Si aún no se resuelve la integral original, se deberá continuar integrando nuevamente.

 Por lo general, en la elección de u y dv se debe considerar que la segunda integral a resolver

 v du

sea más sencilla que la integral original.

En el caso de la evaluación de integrales definidas por el método de integración por partes tiene la siguiente forma:

           

b b b

a

f x g x dx   f x g x

a



a

g x f x dx 

 

(6)

Método de integración por descomposición en fracciones parciales.

Fracciones propias.

Considere la función racional

donde y son polinomios. Si el grado del polinomio es mayor que el grado del polinomio se dice que es una fracción impropia. Una fracción impropia siempre se puede expresar como

donde y son polinomios tales que el grado de es menor que el grado de En este caso, se dice que es una fracción propia.

El método de integración por descomposición en fracciones parciales permite integrar funciones racionales propias. El procedimiento considera cuatro casos distintos. El primer paso del método consiste en factorizar el polinomio

puede contener cuatro tipos de factores distintos. Se analizan los siguientes casos 1. El denominador contiene factores lineales distintos.

En este caso, es de la forma

La descomposición en fracciones parciales (Álgebra Superior – Teoría de Ecuaciones) establece que existen constantes tales que

El problema en este tipo de integrales es la determinación de las k constantes.

2. contiene factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Suponga que un factor lineal se repite r veces en la factorización de Entonces, en lugar del término único se emplean los siguientes r términos:

Importante: esta descomposición se debe hacer por cada factor lineal que se repita.

Nuevamente, el problema es la determinación de las constantes.

3. contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite.

Se dice que un factor cuadrático irreducible es un polinomio de la forma , donde Es decir, es una función cuadrática cuyas raíces son complejas.

Si contiene factores cuadráticos irreducibles, además de los factores lineales mencionados en los casos 1 y 2, entonces la expresión contendrá un término de la forma

(7)

donde A y B son constantes que se deben determinar.

4. contiene un factor cuadrático irreducible repetido.

Si en la factorización de aparece un factor donde entonces en lugar de la fracción parcial única del caso anterior, se tiene la siguiente suma

en la descomposición de fracciones parciales de

Integrales que aparecen en la descomposición en fracciones parciales.

Materiales de apoyo en línea sobre métodos de integración.

 Canek Portal de Matemáticas (Cálculo Integral), Universidad Autónoma Metropolitana - Azcapotzalco http://canek.uam.mx/?secc=3

 Curso de Cálculo Diferencial e Integral II (Métodos de Integración), Universidad de Sonora http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf

 Funciones Trigonométricas Un Tratado Elemental en el Cálculo, Rafael Torres Simón UACM https://issuu.com/natos/docs/funtricompletowebprueba

(8)

Integrales impropias.

Integrales impropias de tipo I: intervalos de integración infinitos.

a. La integral impropia de ^{f x}

 

en el intervalo



^a^,^



se define como:

  ^lim

^R

  ^,

a^

f x dx

R a

f x dx





 

siempre y cuando exista este límite como un número finito.

b. La integral impropia de ^{f x}

 

en el intervalo



^^,b



se define como:

  ^lim

^b

  ^,

a^

f x dx

R R

f x dx





 

siempre y cuando exista este límite como un número finito.

Las integrales impropias anteriores se denominan convergentes si existe el límite y divergentes si no existe.

(9)

c. Si las integrales ^a

  ^y  

f x dx

a^

f x dx







son convergentes entonces, por definición:

 

^a

 

_a

 

f x dx f x dx f x dx

 









  

Integrales impropias de tipo II: integrandos discontinuos.

a. Si ^{f x}

 

es continua en



^{a b}^,



y discontinua en b,

  ^lim   ^,

b

a

f x dx

b a^

f x dx

 ^

  

si este límite existe como un número finito.

b. Si ^{f x}

 

es continua en



^{a b}^,



y discontinua en a,

  ^lim   ^,

b b

a

f x dx

a

f x dx

 ^ 

  

si este límite existe como un número finito.

La integral impropia



_a^b

^{f x dx}  

se denomina convergente si existe el límite y divergente si no existe.

c. Si ^{f x}

 

es discontinua en

,

x c  a c b   ,

y si



_a^c

^{f x dx}   ^y 

_c^b

^{f x dx}  

_son

convergentes, se tiene, por definición

      ^.

b c b

a

f x dx 

a

f x dx 

c

f x dx

  

(10)

Ejercicios.

1. Integración por sustitución.

a.

2 3

3

2 1

1 3

x dx x C

x   

 

b. _{3 4}^x x ¹₂^{ln 3 4}



^x



e dx e C

e   





c. ^cos ¹^{ln 2sin}



³



^.

2sin 3 2

x dx x C

x   



 d.

2 4

1 arcsin . 1 2

xdx x C

x  

 

e. ²

ln arcsin 1 arcsin

dx x C

x x  

 

f.

4 1 .

1 dx x C

x x   

 

g.

2 3

2

arccos arccos 3 . 1

xdx x

x    C

 

h. 2



²



²

arctan 1 1

ln 1 arctan .

1 2 2

x x

dx x x C

x

    





i. ² 2 tan 1 .

cos tan 1

dx x C

x x   





j. ₂

¹ ^{arcsin ln}   ^.

1 ln

dx x C

x x  a 

 

k. ^{cos ln}

 

^x ^dx ^{sin ln}

 

^x ^C^.

x  



l.

1ln 5 2 .

5 2 2

dx x C

x    





(11)

2. Integración por partes.

a.

 ^{xe dx e x}

^x

^

^x

 ^{ } ¹  ^C ^.

b. ^cos² ¹



^{sin cos}



xdx 2 x x x



c.

 ^ln ^{x dx x} ^  ^ln ^x ^{ } ¹  ^C ^.

d. ^sin



^sin ^cos



^.

2

x

x e

e x dx x x C



e.



arcsinxdx x arcsinx 1x² C

f. ^cos



^sin ^cos



^.

2

x

x e

e x dx x x C



g.

2

1 ln ln .

2 2

x x dx  x    x      C



h.

 t sin t dt   t cos t  sin t C  .

i.

1

1 ln ln

1 1

n

x

n

x x dx x C

n n



 

        



j.

 t cos t dt t  sin t  cos t C  .

k. ^sin² ¹



^{sin cos}



^.

x dx2 x x x C



l.

_ ^t

²

^cos ^{t dt} ^  ² ^ ^t

²

 ^cos ^t ^ ^{2 sin .} ^t ^t

m.

3. Integrales de potencias de funciones trigonométricas.

a.

3 2 1 5 1 5

sin cos cos cos .

5 5

x x dx x x C



b.

3 2 3 1 5

cos sin sin sin .

3 5

xdx x x x C



c.

2 2 1 1

sin cos sin 4 .

8 32

x xdx x x C



d.

   

4 3 sin 2 sin 4

sin .

8 4 32

x x

x dx x  C



e.

3 3 1 5 1 3

tan sec sec sec .

8 3

x x dx x x C



f.

4 4 1 7 1 5

tan sec tan tan .

7 5

x x dx x x C



3 1 2

tan x dx tan xln secx C .



(12)

h.

6 4 1 7 1 9

tan sec tan tan .

7 9

x x dx x x C



i.

1 1

sin 4 cos 5 cos sin 9 .

2 9

x x dx     x  x     C



j.

   

sin 3 sin 7

sin 5 sin 2 1 .

2 3 7

x x

x x dx   C

    

 



k.

3 2 2

sin cos cos 3 cos cos .

7 3

x xdx x x x C



l.

5 1 4 2

tan sec tan ln sec .

x dx 4 x x x C



4. Integrales por sustitución trigonométrica. Determine las siguientes integrales.

a.

2 2

2

dx

2

ln .

x x a C

x a    

 

b.

2 2

2

9 9

arcsin . 3

x x x

dx C

x x

       



  c.

2

2 2

1 4

4 . 4

dx x C

x x x

   

 

d. ³ ₂

¹ ₃  ¹

²



^{3 2}

¹

²

^.

1 x dx x x C

x     

 

e.

2

25 2

25 5arcsec . 5

x x

dx x C

x

       



f.

^ 

^a²^dx^^x²



³^ ^a^x² ^a²¹^^x² ^^C^.

5. Integración por fracciones parciales. Determine las siguientes integrales.

a. ² ²

1 ln .

2 dx x a

x a a x a C

  

 



b.

  ^x ^ ⁵ ^x  ^ ⁹ ^x ^ ²  ^dx ^ ^2ln ^x ^{ } ^{5 ln} ^x ^{ } ² ^C ^.

c.

  

²



1 1 1 1 1

ln 5 ln 1 .

36 6 5 36

5 1 dx x x C

x x     x   

  



d. ⁴ ²

1 1 1

ln .

2 1

dx x

dx C

x x x x

   

 



(13)

e. ³ ²

1 ln .

1 dx x C

x x  x 

 



f. ⁴

1 1 1 1

ln arctan .

1 4 1 2

dx x x C

x x

   

 



g. ²

cos

sin sin



6d











Ayuda: haga primero un cambio de variable.

6. Integrales impropias. Determine las siguientes integrales impropias.

a. ¹ ²

1 dx 1 x

 



b. ²

1

1 dx

x





 





c.

 

1 2 0 2 3

1 3

2 1 dx 2

x 



 d.

1 0

1 dx 2 x 



e.

 

2 1 2

1 2 dx

x  





Diverge.

f.



⁰^

xe dx

^^x

 0

g.

1 1 2

1 dx x





h. ¹ 1dx x

  



_Diverge.

i.

1 0

1dx x  



_Diverge

1

0

ln x dx   1



http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281%2BTan%5Bx%5D%29%2F%28Tan%5Bx%5D%5E2- 1%29&random=false

f g x g x dx   f u du

Full text

 

        .

f g x g x dx   f u du

 

 

 

         

f g x g x dx F g x    C



         

 

                .

F g x g x dx F g x      C F g u   C F u du 

 

 

 

        .

f g x g x dx   f u du

 

g

 

 

     

  .

f g x g x dx  

f u du

 

 sin

x cos

x dx ,





cos x   1 sin x

   

  

u  sin . x





sin x   1 cos x

   

  

 tan

x sec

x dx ,

sec x

 

 

  

 cot

x csc

x dx

 cos mx cos nx dx ,  sin mx cos nx dx

sin cos  mx sin nx dx

   

   

   

cos cos 1 cos cos

2

sin cos 1 sin sin

2

sin sin 1 cos cos

2

m n m n m n

m n m n m n

m n m n m n

       

       

       

a

 x

, a

 x

o x

 a

,



   1 sin 

  cos

    ^{ } ^{ } ^.

    ^{ }  ^{ } 

    ^{ }  ^{ }   ^{ }  ^{ } ^.

        ^.

    ^{ }

^{ } ^.

 cos mx cos nx dx ,  ^sin ^mx ^cos ^{nx dx}

            ^,

            ^.

            ^,

  ^lim

  ^,

  ^lim

  ^,

  ^y  

  ^lim   ^,